Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Modul 1

Deret Fourier Prof. Dr. Bambang Soedijono

PE NDAHUL UA N

P

ada modul ini dibahas masalah ekspansi deret Fourier Sinus – Cosinus untuk suatu fungsi periodik ataupun yang dianggap periodik, dan dibahas pula transformasi Fourier ataupun transformasi Cosinus Fourier dan transformasi Sinus Fourier. Hal ini cukup penting, terutama dalam penyelesaian berbagai masalah syarat batas yang penyelesaiannya disajikan dalam bentuk deret fungsi sinus-cosinus. Pada bagian akhir modul ini dibahas pula berbagai aplikasi deret Fourier. Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu memahami masalah ekspansi deret Fourier ataupun transformasi Fourier suatu fungsi, dan mempunyai keterampilan dalam mengaplikasikan Deret Fourier. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan: 1. mampu menyajikan ekspansi deret Fourier ataupun transformasi Fourier suatu fungsi, 2. terampil mempergunakan transformasi Fourier untuk menghitung nilai suatu integral tertentu, 3. terampil menyelesaikan suatu masalah syarat batas dengan memanfaatkan ekspansi deret Fourier suatu fungsi.

1.2

Metode Matematis I 

Kegiatan Belajar 1

Deret Fourier

P

ada kegiatan belajar ini dibahas ekspansi suatu fungsi dalam bentuk Deret Fourier. Deret Fourier merupakan suatu deret tak hingga dengan suku-suku memuat komponen trigonometri, sinus-cosinus, yang konvergen ke suatu fungsi periodik. FORMULA DERET FOURIER Suatu fungsi f merupakan fungsi periodik jika dan hanya jika terdapat konstanta c , sehingga untuk setiap x dalam domain f dipenuhi f ( x 2c) f ( x) , dan 2c disebut periode dari fungsi f . Mudah dipahami apabila 2c merupakan periode dari fungsi f , maka 2nc juga merupakan periode dari fungsi yang sama, fungsi f . Contoh pada aplikasi, suatu gaya dengan besar (magnitude) konstan bekerja pada suatu sistem mekanik akan digambarkan sebagai grafik fungsi periodik sebagaimana disajikan dengan Gambar 1.1 di bawah ini.

Gambar 1.1

1.3

 MATA4431/MODUL 1

Misalkan f , y

f (t ) suatu fungsi periodik dengan periode 2 , dan

disajikan sebagai:

a0 a1 cos t b1 sin t L an cos nt bn sin nt L (1.1) 2 dengan an , bn konstanta, dan jika untuk setiap x deret tersebut konvergen ke f x , maka

a0 a1 cos x b1 sin x L 2

f ( x)

an cos nx bn sin nx L

(1.2)

Selanjutnya, deret (1.2) disebut deret Fourier untuk fungsi periodik f x , dengan periode 2 . Jika kedua ruas persamaan (1.2) dikalikan dengan cos mx (m integer) dan selanjutnya diintegralkan terhadap x dari hingga , diperoleh:



f  x  cos mx dx=

a0 2



cos mx dx + a1 

+L + an





cos x cos mx dx  b1 

cos nx cos mx dx +bn





sin x cos mx dx

sin nx cos mx dx+L

dan dengan mengingat:



0 jika m  n  cos nx cos mx dx       jika m  n  0

π

π sin nx cos mx dx= 0

untuk setiap integer m, n

diperoleh



f ( x)cos mx dx  am , m 1,2,K

atau dapat disajikan sebagai

an 

1



f ( x)cos nx dx, n 1,2,K

(1.3)



f ( x) dx .

(1.4)

dan untuk n = 0,

a0 

1

1.4


Jika kedua ruas persamaan (1.2) dikalikan dengan sin mx (m integer) dan selanjutnya diintegralkan terhadap x dari hingga , diperoleh



f  x  sin mx dx=

a0



2

sin mx dx + a1  cos x sin mx dx +b1  sin x sin mx dx -

-

+ L  an  cos nx sin mx dx  bn 



-

sin nx sin mx dx  L

dengan mengingat



 0 sin nx sin mx dx      

jika m  n jika m  n  0

maka diperoleh

bn 

1



f ( x)sin nx dx, n 1,2,K

Dengan demikian, setiap fungsi

f, y

(1.5)

f x

merupakan fungsi

periodik dengan periode 2 selalu dapat disajikan dalam bentuk deret Fourier (1.2) dengan an , bn ditentukan dengan persamaan (1.3), (1.4), dan (1.5). Contoh 1.1 periode 2

dan

f x

0,

f x

1,

f x

0,

f

f, y

Diberikan

2

x x

2 2 f

2 2

x

2

1 2

f x

suatu fungsi periodik dengan

1.5


Gambar 1.2

Sajikan y

f ( x) dalam bentuk deret Fourier.

Penyelesaian: Perderetan Fourier untuk fungsi berbentuk

a0 2

f x

an cos nx bn sin nx n 1

dengan

a0 

1

an 

1





1

2 cos nx dx



f  x  dx 

1

2 dx 1 2

f  x  cos nx dx

2



1

  2     n     2 an    n          0

sin

n n  sin 2 2 n

untuk n  3, 7,11,15,... untuk n 1,5,9,13,... untuk n  2, 4, 6,8,...

f,y

f x

di atas

1.6


bn 

1





1

2  xsin nx dx

f  xsin nx dx

2

n n  cos 2 2  n  0 untuk n 1, 2, 3,... .  cos

Dengan demikian deret Fourier di atas dapat ditulis

f ( x)

1 2

2

cos x

2 2 2 cos3x cos5 x cos7 x L . 3 5 7

Selanjutnya, jika diambil:

1 2 1 2 S1 ( x) cos x 2 1 2 2 S 2 ( x) cos x cos3x 2 3 maka grafik kurva S0 , S1 , dan S2 disajikan dengan Gambar 1.3. S0 ( x )

Gambar 1.3

1.7


Diketahui fungsi f , y pada

C , C 

interval

f x merupakan fungsi kontinu dan terdefinisi dan

di

luar

interval

tersebut

dipenuhi

f ( x 2C) f ( x) , misalkan f ( x) merupakan fungsi kontinu dan periodik dengan periode 2C, dengan demikian fungsi f dapat disajikan dalam bentuk deret Fourier. Untuk menyusun perderetan Fourier fungsi f tersebut dilakukan substitusi variabel

t

x.

C

Sehingga f x periode 2

C

f

t

t dengan

suatu fungsi periodik dengan

dan perderetan Fouriernya adalah

C f ( t)

a0 2

an cos nx

b n sin nx

n 1

dengan

C  f  t  cos nt dt  

an 

1





1

C f  xcos C x d  C x



n

C




an 

1 C n f ( x)cos x dx, n 1,2,...   C C C

dan

C  f  t sin nt dt  

bn 

1





1

C f  xsin C

C

n

  x d  x  C 


bn 

1 C n f ( x)sin x dx, n 1,2,... .   C C C

(1.6)

1.8


Dengan demikian persamaan (1.6) dapat disajikan sebagai

f ( x)

a0 2

an cos n 1

n x C

b n sin

n x C

(1.7)

dengan

1 C n f ( x)cos x dx, n 1,2,...  C C C 1 C n (1.8) bn   f ( x)sin x dx, n 1,2,... C C C dengan an , bn diperoleh dari persamaan (1.8). Apabila f ( x) suatu fungsi kontinu dengan periode 2C , maka perderetan Fourier fungsi f ( x) dapat disajikan dengan persamaan (1.7) an 

di atas dengan koefisien an dan bn disajikan sebagai

1 L2C n f ( x)cos x dx, n 1,2,... C L C 1 L2C n bn   f ( x)sin x dx, n 1,2,... L C C dengan L suatu bilangan real. an 

Contoh 1.2 Sajikan fungsi f ( x)

x2 , 0

apabila fungsi tersebut mempunyai periode 6. Penyelesaian:

x

(1.9)

6 dalam deret Fourier

1.9


Fungsi f ( x) x 2 mempunyai periode 2 C 6 berarti C 3 dan dengan mengambil L 0 , dengan demikian koefisien Fourier (1.9) menjadi

1 L 2C n f ( x)cos x dx  L C C 1 6 n x   x 2 cos dx 3 0 3 A1 10,93

an 

A2

2,73

A3 1, 22 A4

0,68

1 L2C n f ( x)sin x dx  C L C 1 6 n x   x 2 sin dx 0 3 3 B1 34,36

bn 

B2

17,18

B3

11, 45

B4

8,39

Dengan demikian diperoleh

f ( x)

x2 10,93cos

x

2, 73cos

3

34,36sin

x 3

2 x

1, 22 cos x 0, 68cos

3

17,18sin

2 x 3

4 x

L

3

11, 45sin x 8,39sin

4 x 3

L

1.10


DERET SINUS FOURIER, DERET COSINUS FOURIER Suatu fungsi f , y fungsi genap jika

f

f x terdefinisi pada selang

f

x

f x

a x a dikatakan

dan dikatakan fungsi ganjil jika

x

f x , dengan demikian dipenuhi  0 jika f fungsi ganjil  a   (1.10) a f  xdx 2 a f  xdx jika f fungsi genap    0 Karena cos x merupakan fungsi genap dan sin x merupakan fungsi

ganjil, maka persamaan (1.8) menjadi

an 

1 C n 2 C n f  xcos x dx   f  xcos x dx  C C C C 0 C

(1.11)

jika f merupakan fungsi genap, dan

an 

1 C n f  xcos x dx  0  C C C

jika f merupakan fungsi ganjil, dan

bn 

1 C n f  xsin x dx  0 C C C

jika f merupakan fungsi genap, dan

bn 

1 C n 2 C n f  xsin x dx   f  xsin x dx  C C C C 0 C

(1.12)

jika f merupakan fungsi ganjil. Selanjutnya, jika f merupakan fungsi periodik dengan periode 2C dan juga merupakan fungsi genap, maka perderetan Fourier (1.7) untuk fungsi f tersebut menjadi

f x

a0 2

an cos n 1

n x C

(1.13)

dengan an , n 0, 1, 2,..., diperoleh dari persamaan (1.11). Jika f merupakan fungsi periodik dengan periode 2C dan juga merupakan fungsi ganjil, maka perderetan Fourier (1.7) untuk fungsi f tersebut menjadi

f x

bn sin n 1

n x C

(1.14)

1.11


dengan bn , n 1, 2,..., diperoleh dari persamaan (1.12). Jika fungsi f , y

f x terdefinisi pada selang 0, C , dan selanjutnya

didefinisikan fungsi f1 , fungsi periodik dengan periode 2C,

f1 x

f

x , C x 0

f x , 0 x C berarti f1 merupakan fungsi genap, sehingga perderetan Fourier untuk fungsi f1 berbentuk

a0 2

f1 x

an cos n 1

n x. C

Karena f1 ( x) f x , 0 x C , maka diperoleh

a0 2

f x

an cos n 1

n x, 0 C

x C

(1.15)

dengan

an 

2 C

C

f  xcos

0

n x dx, n  0,1,2,... . C

(1.16)

Persamaan (1.15) disebut perderetan Cosinus Fourier untuk fungsi f,

y f x , 0 x C. Dengan cara yang sama, didefinisikan fungsi f 2 , fungsi periodik dengan periode 2C ,

f2 x

f

x ,

f x ,

C x 0 0 x C

berarti f 2 merupakan fungsi ganjil, sehingga perderetan Fourier untuk fungsi f 2 berbentuk

f2 x

bn sin n 1

Karena f 2 x

f x

f x untuk 0 x C, maka diperoleh bn sin

n 1

n x. C

n x, 0 x C C

(1.17)

1.12


dengan

bn 

2 C n f  xsin x dx . C 0 C

(1.18)

Persamaan (1.17) disebut perderetan Sinus Fourier untuk fungsi f,

y f x ,0 x C. Contoh 1.3 Sajikan fungsi

f x

x, 0 x

dalam bentuk deret

Cosinus Fourier. Penyelesaian:

a0 

2

0 

 x  dx 

an 

2

0 

 x  cos nx dx

2 1  1  n2 0

n

a2 n

4

a2 n1 

2n  1

2

Deret Cosinus Fourier untuk f x

x

Contoh 1.4

4 cos 2n 1 x 2

2n 1

n 0

2

Sajikan fungsi f x

Fourier. Penyelesaian: 1

bn  2  x 2 sin n x dx 0

2

x adalah

n 1 2  n 2

n3

3

2

 2

.

x2 , 0 x 1 dalam bentuk deret Sinus

1.13


Deret Sinus Fourier untuk f x

x

1

2

n

2 n2

2

n3

n 1

2

x 2 adalah 2 sin n x .

3

LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Ekspansikan fungsi f x

2 x untuk 0 x 4, f x

4 x 8 , dalam bentuk deret Fourier dengan periode 8.

2) Ekspansikan fungsi

1, 0 x

2

f x 0,

x

2 ke dalam bentuk deret Sinus Fourier. 3) Tentukan ekspansi deret Fourier untuk fungsi

0, 1 t, 1 t, 0,

f t

2 1 0 1

t 1 t 0 t 1 t 2

Petunjuk Jawaban Latihan

1) f x

2) f x

16

x 1 3 x 1 5 x cos cos L 2 2 4 3 4 5 4 n 1 cos 2 2 sin n n n 1 2

cos

x 6 untuk

1.14


1 4 8 , an untuk n 1,3,5,..., an untuk n 2, 6,10,..., 2 2 2 2 n n 2 an 0 untuk n 4,8,12, dan bn 0 untuk n 1, 2,3,...

3) a0

RA NGK UMA N Setiap fungsi f , y periode 2

f x

merupakan fungsi periodik dengan

dapat disajikan dalam bentuk deret Fourier:

a0 2

f x


dengan

a0 

1



f  x dx

an 

1



f  xcos nx dx, n  1, 2,...

bn 

1



f  xsin nx dx, n 1, 2,... .

Jika fungsi

f, y

f x

merupakan fungsi periodik dengan

periode 2C , maka ekspansi deret Fouriernya berbentuk

f x

a0 2

an cos n 1

n n x bn sin x C C

dengan

1 C n f  x cos x dx, n  0,1, 2,...  C C C 1 C n bn   f  x sin x dx, n 1, 2,... C C C an 

atau dapat pula disajikan sebagai

1 L2C n f ( x)cos x dx, n 1,2,...  L C C 1 L 2 C n bn   f ( x)sin x dx, n 1,2,... L C C an 

dengan L konstanta.

1.15


Jika fungsi f , y

f x terdefinisi pada selang 0 x L dan juga

kontinu (kontinu bagian demi bagian), maka ekspansi deret Cosinus Fouriernya berbentuk:

f x

a0 2

an cos n 1

n x, 0 C

x

L

dengan

an 

2 L n f  xcos x dx, n  0,1,2,...  0 L L

dan ekspansi deret Sinus Fouriernya berbentuk

f x

bn sin n 1

n x, 0 L

x

L

dengan

bn 

2 L n f  xsin x dx, n  1,2,...  L 0 L

TES FO RMA TIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jika

fungsi

f x

0, 5 x 0 3, 0 x 5

fungsi

periodik

dengan

periode 10 diperderetkan ke dalam bentuk deret Fourier, maka koefisien-koefisiennya adalah ….

A. a0 3; an 0, n 0; bn B. an 0, n 0,1,2,... ; bn

3 1 cos n , n 1,2,... ; bn 0, n 1,2,3,K n 3 1 cos n , n 0,1,2,... ; bn 0, n 1,2,3,... n

C. a0 3; an

D. an

3 1 cos n , n 1,2,3,K n 3 1 cos n , n 1,2,3,... n

1.16


2) Ekspansi deret Fourier fungsi f x pada soal nomor 1 adalah ….

3 1 cos n

A. f x

n

n 0

B. f x

3 1 cos n

3 2

3 1 cos n n

n 1

sin

n

n 1

n x 5

n x 5

3 1 cos n

3 2

n x 5

cos

n

n 1

C. f x D. f x

cos

sin

n x 5

3) Berdasarkan jawaban soal nomor 2, deret di ruas kanan konvergen titik demi titik ke f x , dan untuk x 0 deret tersebut konvergen ke …. A. 0

3 2 C. 3 2 D. 3 B.

4) Ekspansi deret Sinus Fourier fungai f x

A. f x B. f x

C. f x D. f x

8 n

n sin 2nx 1 2n 1

n

n sin 2nx 1 2n 1

8

8

n n 1 4n

2

8

1

n n 1 4n

2

1

sin 2nx sin 2nx

cos x, 0

x

adalah ….

1.17


Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

×100%

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.18


Kegiatan Belajar 2

Integral Fourier

P

ada kegiatan belajar ini dibahas ekspansi suatu fungsi dalam bentuk integral Fourier. Integral Fourier merupakan suatu integral tak sebenarnya yang merupakan bentuk pendekatan suatu fungsi, dengan demikian kegiatan belajar ini didasarkan pada integral tak sebenarnya dan juga kekonvergenan integral tak sebenarnya. FORMULA INTEGRAL FOURIER Sebagaimana telah dipelajari, apabila diberikan fungsi f, y f ( x) , terdefinisi pada selang ( c, c) dan juga merupakan fungsi periodik dengan periode 2c, maka fungsi f dapat diperderetkan dalam deret fourier sebagai

f ( x)

a0 2


dengan

1 xc f ( x) dx c xc 1 xc n an   f ( x)cos x dx c xc c 1 xc n bn   f ( x)sin x dx x  c c c a0 


f ( x) 

1 xc 1  xc n f ( ) d  f ( )cos( (  x)) d . (1.19)    x  c x  c 2c c n1 c

Apabila fungsi f terdefinisi dan memenuhi kondisi di atas untuk setiap interval, untuk setiap nilai c cukup besar tetapi berhingga, maka deret xc 1 xc 1  n f ( ) d  f ( )cos( (  x)) d    2c xc c n1 xc c konvergen ke f ( x) .

1.19


Hal di atas menunjukkan suatu gambaran bahwa deret tersebut konvergen untuk c cukup besar dekat pada tak hingga, dan fungsi f bukan fungsi periodik. Dalam hal ini suku pertama dari deret bernilai nol,

1 x c f ( ) d  0 , untuk c 2 c  xc

x

, karena

x f (

)d

mempunyai nilai berhingga. Selanjutnya diambil

1



c

xc



xc f (

n1

dan deret di atas dapat disajikan sebagai

(  x)) d , c 

)cos(n

atau dapat pula disajikan sebagai

1





xc

 xc f (

)cos(n

n1

 (  x)) d  

, c

.

Misalkan x diangap tetap, dan ∆υ positif cukup kecil, maka n berjalan sepanjang sumbu υ positif, dengan demikian diperoleh

lim

dan 0

1





xc

 xc f ( 0

lim

)cos(n

n1



1

 



 0   f (

 (  x)) d    )cos( (  x)) d  d . 

Sehingga diperoleh hubungan

f ( x) 

1





 0   f (

)cos( (  x)) d d

(1.20)

yang dikenal sebagai formula integral Fourier untuk fungsi f ( x) . Formula integral Fourier untuk fungsi f ( x) sebagaimana disajikan dengan persamaan (1.20) mudah dijabarkan menjadi

f ( x)  

 0

 A( )cos x  B( )sin x d ,  x  

A( ) 

1

  f (

B( ) 

1

  f (



(1.21)

)cos

d

(1.22)

)sin

d .

(1.23)

1.20


Contoh 1.5 Bila diberikan fungsi f ( x) Fourier untuk fungsi f ( x) tersebut.

eax , tentukan bentuk integral

Penyelesaian: Formula integral Fourier disajikan sebagai

f ( x)  

 0

 A( )cos x  B( )sin x d

dengan

A( )   B( )  

1



  e

a

cos

d

ea a cos b  b sin b  a 2  b2 1



  e

a

sin

d

ea a sin b b cos b  a 2  b2

sehingga diperoleh   ea a cos b  b sin b    ea a sin b b cos b   d . eax   cos x  sin x  0   a 2  b2 a 2  b2   Contoh 1.6 Tentukan formula integral Sinus Fourier untuk fungsi

f x

1, 0 x c 1 ,x c 2 0, x c .

Penyelesaian: Fungsi f dapat dianggap sebagai fungsi ganjil, sehingga formula integral Sinus Fourier untuk fungsi f tersebut adalah 



f  x 

2

0 0



2

0  0





f t  sin t sin x dt d  f t  sin t dt  sin x d . 

1.21




0

c

f t  sin t dt   f t  sin t dt   0 c

 c

f t sin t dt

  sin t dt 0



1  cos c

.

Dengan demikian formula di atas menjadi

f  x 

2

 1  cos

0

c

sin x d .

Contoh 1.7 Tentukan formula integral Cosinus Fourier untuk fungsi

e x cos x, x 0 .

f x

f, f x

Penyelesaian: Fungsi

e x cos x x 0 , dapat dianggap

sebagai fungsi genap, sehingga formula integral Cosinus Fourier untuk fungsi tersebut adalah 







f  x

2

0 0



2

0  0



0

f t  cos t cos x dt d  f t  cos t dt  cos x d . 

f t  cos t dt 



0

et cos t cos t dt

1  t  e cos 1  2 0 1    e t cos 1  2 0 1 1 1   2 2 1  1   2 



2 4

2 4

.

t  cos 1 t  dt t dt 

1 2



0

1 1  1  

2

e t cos 1  t dt

1.22


Dengan demikian formula di atas menjadi

f  x 

2

 2

2

4

4

0

cos x d .

Formula integral Fourier untuk fungsi f ( x) sebagaimana disajikan dengan persamaan (1.20),

f ( x) 

1





 0   f (

)cos( (  x)) d d

dapat pula disajikan sebagai   1 (1.24) f ( ) ei (  x ) d d .   0  2 Apabila f ( x) tidak kontinu di x, maka persamaan (1.24) disajikan

f ( x) 

sebagai   f ( x  0)  f ( x  0) 1  f ( ) ei (  x ) d d (1.25)   0  2 2 dan apabila f ( x) suatu fungsi genap maka persamaan (1.20) menjadi

f ( x) 

f ( x) 

2





 0  0

f ( ) cos

cos x d d ,  x  (1.26)

dan apabila f ( x) suatu fungsi ganjil maka persamaan (1.20) menjadi 



2

 0  0

f ( x 0)

lim f ( x

x) limit kanan

f ( x 0)

lim f ( x

x) limit kiri

f ( x) 

f ( )sin

sin x d d ,  x  . (1.27)

Catatan: x

x

0

0

Contoh 1.8 Buktikan bahwa  cos

 0

2

x d  ex , x 0 . 2 1

1.23


Bukti: Misalkan f ( x)

x

e

, mudah ditunjukkan bahwa f ( x) suatu fungsi

genap, maka berdasarkan formula integral Fourier diketahui

f ( x) 

2





 0  0

f ( )cos

cos x d d .

Dengan demikian diperoleh 

2



 0  0

e cos

cos x d d  ex

Mudah ditunjukkan bahwa 

 0 sehingga 2

e cos





 0  0

d 

2

e cos

1 1

cos x d d 

2

 cos

 0

2

x

1

d  ex

terbukti

2

 cos

 0

2

x d  ex 1

atau  cos

 0

2

x d  ex . 2 1

Selanjutnya teorema di bawah ini membuktikan bahwa untuk setiap f ( x) suatu fungsi kontinu bagian demi bagian pada selang berhingga dan untuk setiap titik diskontinu x0 dipenuhi f ( x0 )

f ( x0

0)

f ( x0

0)

2 maka fungsi f ( x) juga dapat disajikan dalam bentuk formula integral Fourier. Teorema 1.1 Misalkan f suatu fungsi kontinu bagian demi bagian pada setiap selang berhingga dan untuk setiap titik diskontinu x0 berlaku

f x0

f x0

f x0 2

.

1.24




Jika

 f  x dx

ada, maka untuk setiap x, f R  x dan f L x

ada,

fungsi f dapat disajikan dalam bentuk formula integral Fourier:

f  x

1





0  f t  cos

t  x dt d

(1.28)

dengan f R dan f L berturut-turut menyatakan derivatif kanan dan derivatif kiri fungsi f. Bukti: Ditinjau integral 



0  f t  cos



t  x dt d  lim

  f t cos  0 



 f t   0  

 lim



 f t   

 lim dengan demikian diperoleh 



0  f t  cos




 f t   

t  x  dt d

 cos t  x d  dt 

sin t  x dt tx

sin t  x dt . (1.29) tx

Selanjutnya ditinjau integral 

 f t 

a sin t  x  sin t  x  dt  lim  f t  dt a a tx tx x sin t  x   lim  f t  dt a a tx a sin t  x   lim  f t  dt . x a tx

Jika diambil substitusi x

a f t 

ax sin t  x sin dt   f x   0 tx

dan jika diambil substitusi a

x

f t 

x t , diperoleh

t

d

x , diperoleh

ax sin t  x sin dt   f x   0 tx

d .

1.25


Didefinisikan fungsi g dan h, dengan

g

f x

dan h

f x

.


g 0

f x 0

gR 0

fL x

dan h 0

f x 0

dan

dengan f L x

dan hR 0

dan f R x

fR x

berturut-turut menyatakan derivatif kiri dan

derivatif kanan fungsi f. Karena untuk setiap titik diskontinu fungsi f, namakan titik x, berlaku

f x f x

f x 2

atau dapat pula ditulis

f x

f x 0

f x 0 2

berlaku untuk setiap x, dengan demikian diperoleh a x a sin t  x  sin t  x  sin t  x  dt   f t  dt   f t  dt  f t  a

tx

tx

a





ax

g



sin

0

d 



ax

h



sin

d

0

 

g 0

tx

x

ax



sin

d 

0



ax

 

g   g 0



sin

d

0

 

h 0



ax



0

ax

sin

d 

0

 

h   h 0



sin

d

.

1.26


Selanjutnya untuk lim 

a



a

f (t )

diperoleh

t  x 

sin

tx

  lim 

dt  g 0







 

g 0





sin

a x



d  lim

0



 

h 0 2

d  lim

0

  lim 

h 0

sin

ax



ax

g

 g 0 

sin

d

0



ax

h

  h 0  

sin

d

0



2

   h 0 

g 0







2 f  x  0  f  x  0



2 f  x



.

Dengan demikian persamaan (1.29) menjadi 



0  f t cos


sin t  x dt tx a sin t  x   lim  f t  dt    a tx  f  x 

 f t   

  lim  a    lim a



f  x

dan diperoleh

f  x

1





0  f t cos

t  xdt d

.

Contoh 1.9 Tentukan formula integral Fourier untuk fungsi f,

f x dengan f (1)

1, x 1 0, x 1

f ( 1)

1 . 2

1.27


Penyelesaian: Karena fungsi f merupakan fungsi kontinu bagian demi bagian 1 pada setiap selang berhingga dan untuk titik diskontinu x0 1 dan x0

f x0

berlaku f x0

f x0 2



f  x  

 A cos 

0

, maka

x  B  sin

x d

dengan

A  

1



 f  xcos

x dx

1   1  1   f  x cos x dx   f  x cos x dx  f  x cos x dx  1 1    1 1   cos x dx



1



2

B  

1

sin

dan 

 f  x sin

x dx

1 1  1 f  xsin x dx  f  x  sin x dx   1   1 1   sin x dx





1 f  x sin

1

0. Dengan demikian diperoleh

f  x   

2

 0

2

sin cos x d

 sin

0

cos x

d .


f ( x)

0, x 0 dan x sin x, 0 x .

 x dx  

1.28


Penyelesaian: Karena fungsi f merupakan fungsi kontinu bagian demi bagian pada setiap selang berhingga maka formula integral Fourier untuk fungsi f adalah 

f  x 

0

 A cos x  B  sin x d  

dengan 

B  

1

 f  xsin



1

 f  xsin



1

0



1 2



1 2



0

x dx x dx 

1

0

1

f  x sin x dx 





f  x sin x dx

sin x sin x dx

0

cos 1   x  cos 1  x dx  

 sin 1   sin 1        1  1   sin

1 2 

dan 

A  

1

 f  x cos



1

 f  x cos



1

0



1 2

0

0

1

0

1



1 1

   

f  x  cos x dx 

sin 1   x  sin 1  x dx  

1 2



x dx 

sin x cos x dx

 cos 1     1  1  cos  . 1 2 

x dx





cos 1  1  1 1





f  x  cos x dx

1.29



 sin f  x    cos x  2 0  1 1 2   cos x  cos cos x  sin  0 1 2  1  cos













1

1 2 

0





  sin x  d   sin x d

 cos x  1 cos   x  1 cos   x  2 2 

 1 1 cos   x  cos   x d  2 2 1  cos x  cos   x   d . 0 1 2 


0, x 0 1 , x 0 2 e x, x 0 .

f ( x)

Penyelesaian: Karena fungsi f merupakan fungsi kontinu bagian demi bagian pada setiap selang berhingga maka diperoleh

f  x 



0

 A  cos x  B   sin x  d  

dengan

A  

1



 f  x cos

x dx

  1 0 f  x cos x dx  f  x  cos x dx   0    1    ex cos x dx



0



1

1  2 

1.30


dan

B  



1

 f  x sin

x dx

  1 0 f  x sin x dx  f  x sin x dx    0    1   ex sin x dx



0



1  2 

.


f  x 

0



1

   



1

1  2   cos

0

cos x 

1  2 

  sin x d  

x  sin x d . 1 2

LA TIH AN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Tentukan representasi integral Fourier untuk fungsi a.

b.

f x

f x

eax , x 0 a 0 ax e ,x 0 1 x2 , x2 1 0,

x2 1

2) Tentukan representasi integral Fourier untuk fungsi

f x

0, t 1 1, 1 t 0 1, 0 t 1 0, 1 t

1.31


3) Jika diberikan fungsi f ( x) 0 untuk x 0 , f ( x) e

x

untuk x 0 ,

1 , maka buktikan bahwa fungsi f ( x) memenuhi kondisi 2

dan f 0

formula integral Fourier, dan selanjutnya untuk setiap nilai x berlaku

f  x 

1



 0

cos x  sin vx d ,   x   . 1 2

4) Pergunakan formula integral cosinus Fourier untuk membuktikan

ex cos x 

2

v

 0

2 4

2 cos x d , x  0 4

5) Pergunakan identitas Parseval untuk menentukan nilai integral x

a.

x0

dx

 x2 1

2

x2

x

b.

x0





x2 1

2

dx

Petunjuk Jawaban Latihan 1) a.

f  x 

2a

b.

f  x 

4

2)

f  x 

2



 0



 0



 0

cos x d a2  2 sin  cos

1 cos

3

cos x d

sin x d

5) Pergunakan transformasi sinus Fourier dan transformasi cosinus Fourier untuk f ( x) e a. b.

4 4

x

, x 0.

1.32


RA NGK UMA N Apabila fungsi f terdefinisi dan merupakan fungsi periodik dengan periode 2c untuk setiap interval, untuk setiap nilai c cukup besar tetapi berhingga, maka deret xc n  1 xc 1  f ( ) d  f ( )cos  (  x) d     c  2c xc c n1 xc konvergen ke f ( x) .

Hal di atas menunjukkan suatu gambaran bahwa deret tersebut konvergen untuk c cukup besar dekat pada tak hingga, dan fungsi f bukan fungsi periodik. Sehingga diperoleh hubungan

1

f ( x) 





 0   f (

)cos( (  x)) d d

yang dikenal sebagai formula integral Fourier untuk fungsi f ( x) . Formula integral Fourier untuk fungsi f ( x) mudah dijabarkan menjadi

f ( x)  

 0

 A( )cos x  B( )sin x d ,  x  

A( ) 

1

  f (

B( ) 

1

  f (



)cos

d

)sin

d .

Selanjutnya apabila f suatu fungsi kontinu bagian demi bagian pada setiap selang berhingga dan untuk setiap titik diskontinu x0 berlaku

f x0

f x0

f x0 2

dan jika 

 f  x dx ada maka untuk setiap x, f R  x dan f L  x ada, fungsi f dapat disajikan dalam bentuk formula integral Fourier:

f  x

1





0  f t  cos

t  x dt d

1.33


dengan f R dan f L berturut-turut menyatakan derivatif kanan dan derivatif kiri fungsi f. TES FO RMA TIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jika diketahui

2

Fc  f  



 0

f  x cos x d

maka …. A.

f  x 

2

B.

f  x 

1 2

C.

f  x 

D.

f  x 

2



 0

Fc  f  cos x d



 0 

Fc  f cos x d

 0

Fc  f cos x d

2 2



 0

Fc  f cos x d

2) Jika diketahui x

 x 0

 1  , 0   1 f  x  cos x dx     1   0,

maka f x adalah ….

A.

B. C. D.

2 1 sin x x2 2 1 sin x

x2 2 1 cos x x2 2 1 cos x x2

1.34


3) Dengan mempergunakan soal nomor 2 diperoleh nilai integral  sin 2

0

x

x

2

dx adalah ….

A. 2

B.

3 2

C. D.

2

4) Bentuk umum persamaan gelombang satu dimensi, jika sebuah senar direntangkan dengan kedua ujungnya terikat, adalah …. 2

A.

y x, t 2

x y 0, t

0

y ( L, t ),

y x, t 0

y x, 0

0

t

2

,

y ( L, t ),

0

t

0

0

x

0

x

L

L

t t

0

0

,

y x, t

2

1

2

t

L

0

x

L

g x

t

y x, 0

y x, t

2

x y 0, t

y x, 0

2

1

2

x y 0, t

t

,

y x, 0

C.

x

g x

t

2

t

0

,

2

f x

y x, 0

B.

y x, t

2

y x, 0

2

2

1

y x, t

2

0

t

y ( L, t ),

2

,

0

x t

L 0

t

0

0

x

f x , 0

L

1.35


2

D.

y x, t

1

2

2

y x, t

2

x y 0, t

0

y x, 0

0

t

2

y ( L, t ), y x, 0 t

,

,

0

x t

L 0

t

0

0

x

L

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

×100%

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.

1.36


Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) D 2) A 3) B 4) C

Tes Formatif 2 1) B 2) C 3) D 4) A


1.37

Daftar Pustaka Kreider D.L. et al. (1966). Introduction to Linear Analysis. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. Wylie C.R. and Barrett L.C. (1982). Advanced Engineering Mathematics. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. Murray R Spiegel, PhD. 1971. Theory and Problems of Advanced Mathematics for Engineers and Scientists, Schaum’s Outline Series, New York: McGraw-Hill Book Company. Ruel V Churchill. 1963. Fourier Series and Boundary Value Problems, New York: McGraw-Hill Book Company.

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Recommend Documents