TKE 3105
ISYARAT DAN SISTEM Bab 4 – Deret Fourier Untuk Isyarat Periodik
Indah Susilawati, S.T., M.Eng.
Program Studi Teknik Elektro Fakultas Teknik dan Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2009
79 BAB IV DERET FOURIER UNTUK ISYARAT PERIODIK
Tujuan Instruksional 1. Umum Setelah menyelesaikan mata kuliah ini, mahasiswa dapat melakukan analisis dan sintesis sistem yang sangat bermanfaat untuk menunjang kreativitas perekayasaan terutama dalam desain sistem. 2. Khusus Setelah menyelesaikan bab ini, diharapkan: -
Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu kontinyu.
-
Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu kontinyu.
-
Mahasiswa dapat menyatakan deret Fourier isyarat periodik waktu diskrit.
-
Mahasiswa dapat memahami sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit.
-
Mahasiswa dapat menentukan tanggapan frekuensi sistem LTI.
-
Mahasiswa dapat memahami tentang filter-filter pemilih frekuensi.
4.1. Tanggapan Sistem LTI Terhadap Eksponensial Kompleks Tanggapan sistem LTI terhadap masukan eksponensial merupakan isyarat eksponensial yang sama tetapi dengan perubahan amplitudo. Hal ini dapat dinyatakan sebagai: est
→
H(s) est
(sistem waktu kontinyu)
zn
→
H[z] zn
(sistem waktu diskrit)
Suatu isyarat yang menghasilkan keluaran yang merupakan hasil kali suatu konstanta dengan masukannya tersebut, disebut eigenfunction dari sistem tersebut (dalam hal ini adalah est atau zn). Sedangkan faktor amplitudonya disebut dengan eigenvalue sistem tersebut (dalam hal ini adalah H(s) atau H[z]) .
80 Berikut adalah ilustrasi pada sistem LTI waktu kontinyu. Terdapat sistem LTI waktu kontinyu dengan tanggapan impuls h(t). Untuk masukan x(t) = est maka keluarannya dapat ditentukan dengan integral konvolusi, yaitu:
y(t) = = =
∫ ∫ ∫
+∞
−∞ +∞
−∞ +∞
−∞
= e st
h (τ) x ( t − τ)dτ h (τ)e s( t−τ)dτ h ( τ ) e st e − s τ d τ
∫
+∞
−∞
h ( τ ) e − sτ d τ
= e st H ( s ) dengan est merupakan eigenfunction sistem +∞
H(s) = ∫ h (τ)e −sτ dτ merupakan eigenvalue sistem −∞ Sedangkan ilustrasi pada sistem LTI waktu diskrit dapat dijelaskan sebagai berikut. Sistem LTI waktu diskrit dengan tanggapan impuls h[n] mempunyai masukan x[n] = zn maka keluaran sistem dapat ditentukan dengan jumlah konvolusi sebagai
y[n ] =
∞
∑ h[k]
x[n − k ]
k = −∞
=
∞
∑ h[k]
zn −k
k = −∞
=
∞
∑ h[k]
zn z−k
k = −∞
= zn
∞
∑ h[k]
k = −∞
= z H[z] n
dengan
z−k
81 zn merupakan eigenfunction sistem H[ z] =
∞
∑ h[k ]
z −k merupakan eigenvalue sistem
k = −∞
4.2. Sifat Superposisi
Sistem LTI memiliki sifat superposisi. Jika x(t) merupakan kombinasi linier yang dinyatakan dengan persamaan x ( t ) = a 1 e s1t + a 2 e s 2 t + a 3 e s3t
maka tanggapan sistem LTI waktu kontinyu yang dihasilkan merupakan jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang membentuk masukannya. Perhatikan: x 1 ( t ) = a 1 e s1t
→
x 2 ( t ) = a 2 e s2t
→
y 2 ( t ) = a 2 H(s 2 ) e s2 t
x 3 ( t ) = a 3 e s3t
→
y 3 ( t ) = a 3 H (s 3 ) e s3t
x (t ) →
∑a
k
y1 ( t ) = a 1 H (s1 ) e s1t
+ y( t ) →
e sk t
k
∑a
k
H (s k ) e sk t
k
Dengan demikian, keluaran y(t) dapat dinyatakan sebagai y( t ) = ∑ a k H(s k ) e sk t k
Sifat superposisi juga terdapat pada sistem LTI waktu diskrit. Jika masukan x[n] merupakan kombinasi linier yang dinyatakan sebagai x[ n ] = ∑ a k z k
n
k
maka tanggapan sistem LTI waktu diskrit yang dihasilkan juga merupakan jumlahan (superposisi) dari tanggapan masing-masing komponen yang membentuk masukannya. Dengan cara yang sama, maka keluaran y[n] dapat dinyatakan dengan y[ n ] = ∑ a k H[ z k ] z k k
n
82 4.2.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan masukan dan keluaran sebagai berikut: y(t) = x(t – 3) Jika masukannya adalah x(t) = e
j2t
, maka tentukanlah keluaran sistem
tersebut. Penyelesaian Cara 1
Dengan masukan x(t) = e j2t, maka y(t) = x(t – 3) = e j2(t – 3) = e – j6 e j2t Dalam hal ini e
j2t
merupakan eigenfunction dan eigenvalue untuk
s = j2 dituliskan sebagai H(s) = H(j2) = e – j6
Cara 2
H(s) dapat ditemukan dengan rumusan H(s) =
∫
h(t) = δ(t – 3), sehingga +∞
H(s) = ∫ h (τ) e −sτ dτ −∞
+∞
= ∫ δ (τ − 3) e −sτ dτ −∞
+∞
= ∫ e −3s δ (τ − 3) dτ −∞
=e
−3 s
+∞
∫
δ (τ − 3) dτ
−∞
= e −3 s Jika x(t) = e j2t, maka s = j2 dan dengan demikian H(j2) = e – 3s = e – j6
+∞
−∞
h (τ)e −st dτ , dengan
83 2. Untuk sistem LTI yang sama dengan pada contoh soal no. 1, maka tentukanlah keluaran sistem jika masukannya adalah x(t) = cos 4t + cos 7t Penyelesaian Masukan x(t) merupakan kombinasi linear yang terdiri atas dua komponen, sehingga soal ini dapat diselesaikan dengan sifat superposisi yang dimiliki sistem LTI. Masukan x(t) dapat diuraikan menggunakan rumus Euler menjadi: x ( t ) = cos 4 t + cos 7 t 1 1 = {e j 4 t + e − j 4 t }+ {e j 7 t + e − j 7 t } 2 2 maka keluaran y(t) dapat ditemukan sebagai y( t ) = x ( t − 3) 1 1 1 1 = e j4 ( t −3) + e − j4( t −3) + e j7 ( t −3) + e − j7 ( t −3) 2 2 2 2 = cos{4( t − 3)} + cos{7( t − 3)} Eigenfunction
dan
eigenvalue
untuk
masing-masing
komponen
diperlihatkan pada tabel 4.1.
Tabel 4.1. Eigenfunction dan eigenvalue untuk masing-masing komponen untuk contoh soal no. 2 Komponen
Eigenfunction j4t
Eigenvalue
e j4(t – 3)
e
e – j4(t – 3)
e – j4t
½ e – j12
e j7(t – 3)
e j7t
½e
e – j7(t – 3)
e – j7t
½ e – j21
½e
j12
j21
4.2.2. Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan masukan yang dinyatakan dengan persamaan
84 y(t) = 2 x(t – 1) Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem. 2. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai hubungan keluaran dan masukan yang dinyatakan dengan persamaan y(t) = x(t) + 2 x(t – 1) Jika masukannya adalah x(t) = e j3t, maka tentukanlah keluaran sistem.
4.3. Representasi Deret Fourier Pada Isyarat Periodik Waktu Kontinyu
Untuk isyarat periodik waktu kontinyu x(t) yang mempunyai perioda dasar T dan frekuensi dasar ω0 = 2π/T, maka deret Fourier atas x(t) didefinisikan sebagai berikut: x(t) =
+∞
∑a
k = −∞
=
+∞
k
e jkω0 t
∑ ak e
⎛ 2π ⎞ jk ⎜ ⎟t ⎝ T ⎠
k = −∞
dengan ak = =
1 x ( t ) e − jkω0 t dt ∫ TT ⎛ 2π ⎞ 1 − jk ⎜ T ⎟ t ⎝ ⎠ dt x ( t ) e T ∫T
Koefisien ak disebut koefisien deret Fourier atau koefisien spektral dari x(t). Koefisien a0 (yaitu ak saat k = 0) disebut komponen dc atau konstan dari x(t), yang ditentukan oleh: a0 =
1 x ( t ) dt T ∫T
Besarnya ak menunjukkan besarnya sinyal x(t) pada setiap harmonik dari komponen dasar. Pada subab berikut akan diberikan beberapa contoh soal berikut penyelesaiannya dalam hal menyatakan sebuah isyarat menjadi deret Fouriernya.
85 4.3.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Isyarat x(t) = sin ω0 t mempunyai frekuensi dasar ω0. Tentukanlah deret Fourier untuk menyatakan x(t). Penyelesaian Salah satu cara untuk menentukan deret Fourier untuk x(t) = sin ω0 t adalah dengan menguraikan x(t) menggunakan rumus Euler.
x ( t ) = sin ω 0 t
{
}
1 e jω 0 t − e − jω 0 t j2 1 jω 0 t 1 − jω 0 t e = − e j2 j2 =
Dari penguraian x(t) dapat diketahui bahwa a −1 = −
1 j2
a0 = 0 a1 =
1 j2
dan ak = 0 untuk nilai k yang lain. 2. Isyarat x(t) didefinisikan sebagai berikut: x(t) = 1 + sin ω0 t + 2 cos ω0 t + cos (2ω0 t + π/4) Nyatakanlah x(t) dalam deret Fourier. Penyelesaian Isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 dan dapat diuraikan menjadi:
π⎞ ⎛ x ( t ) = 1 + sin ω 0 t + 2 cos ω 0 t + cos ⎜ 2ω 0 t + ⎟ 4⎠ ⎝ =1+
π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ − j ⎜ 2 ω0 t + ⎟ ⎫ 4⎠ ⎪ ⎝ 1 j ω0 t 1 ⎧⎪ j⎜ 2 ω0 t + 4 ⎟⎠ e − e − j ω0 t + e j ω0 t + e − jω 0 t + ⎨ e ⎝ −e ⎬ j2 2 ⎪⎩ ⎪⎭
{
} {
}
π π ⎡ 1 ⎤ j ω0 t ⎡ 1 ⎤ − j ω0 t 1 j 4 j 2 ω0 t 1 − j 4 − j 2 ω0 t = 1 + ⎢1 + ⎥ e + ⎢1 − ⎥ e + e e + e e j2 ⎦ j2 ⎦ 2 2 ⎣ ⎣
maka
86
x(t) = 1
→ k=0
⎡ 1⎤ + ⎢1 + ⎥ e jω0 t ⎣ j2 ⎦
→ k =1
⎡ 1⎤ + ⎢1 − ⎥ e − jω0t → k = −1 ⎣ j2 ⎦ π
1 j 4 j2ω0t e e → k=2 2 π 1 − j 4 − j2ω0t + e e → k = −2 2 +
dan dapat diketahui bahwa: a0 = 1 ⎡ a 1 = ⎢1 + ⎣ ⎡ a −1 = ⎢1 − ⎣
1⎤ 1 =1− j ⎥ j2 ⎦ 2 1⎤ 1 = 1+ j ⎥ j2 ⎦ 2 π
1 j 2 a2 = e 4 = (1 + j) 2 4 π 1 − j4 2 a −2 = e = (1 − j) 2 4 a k = 0 untuk k > 2 Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.1.
-3
-2
-1
0
1
2
3
k
Gambar 4.1 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2
3. Isyarat x(t) pada gambar 4.2 dapat dinyatakan sebagai
⎧1, t < T1 ⎪ x(t ) = ⎨ T ⎪⎩0, T1 < t < 2 Nyatakanlah isyarat tersebut dalam deret Fourier.
87 X(t) 1
-T
-T1
T1
T
Gambar 4.2 Isyarat x(t) untuk soal no. 3 Penyelesaian Isyarat x(t) merupakan isyarat yang periodik, maka untuk satu periode x(t) dapat ditemukan koefisien ak. •
Saat k = 0, maka T
a0 =
1 1 x ( t ) e − jkω0 t dt ∫ T −T1 T
=
1 1 1.1 dt T −∫T1
1 T t −1T 1 T 1 = [T1 − (−T1 )] T 2T = 1 T =
•
Saat k ≠ 0, maka T
1 1 a k = ∫ x ( t ) e − jkω0t dt T −T1 T
1 1 = ∫ e − jkω0t dt T −T1 =
T 1 −1 × × e − jkω0t 1 − T1 T jkω0
=
−1 × e − jkω0T1 − e jkω0T1 jkω0 T
=
1 × e jkω0T1 − e − jkω0T1 jkω0 T
=
2 e jkω0T1 − e − jkω0T1 × kω 0 T j2
[
]
[
]
88
Ingat bahwa ω0 =
=
2 × sin (kω0 T1 ) kω0 T
=
2 sin(kω0 T1 ) kω0 T
=
sin(kω0 T1 ) kπ
2π T
Sebagai gambaran, maka dapat dimisalkan suatu kasus jika T = 4T1 sehingga ω0 =
2π 2π π atau ω0 T1 = . Dengan pemisalan ini dapat = T 4T1 2
ditemukan nilai-nilai koefisien deret Fourier x(t) untuk berbagai harga k. a0 =
2T1 2T1 1 = = T 4T1 2
⎡ π⎤ sin ⎢k ⎥ sin( kω0 T1 ) ⎣ 2⎦ ak = = kπ kπ maka sin( π / 2) 1 a1 = = → a −1 = a 1 π π sin π =0 → a −2 = a 2 a2 = 2π sin(3π / 2) − 1 → a −3 = a 3 = a3 = 3π 3π sin 2π =0 → a −4 = a 4 a4 = 4π sin(5π / 2) 1 = → a −5 = a 5 a5 = 5π 5π dan seterusnya
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.3. ak
-3 -5
-4
3 -2
-1
0
1
2
4
5
k
Gambar 4.3 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 3
89 4.3.2 Soal-soal Tambahan
1. Untuk soal yang sama dengan contoh soal no. 3, tentukanlah koefisien deret Fourier dari x(t) jika: a. T = 8T1 b. T = 16T1 c. Apa kesimpulan anda? 2. Tentukanlah deret Fourier untuk isayarat x(t) yang diperlihatkan pada gambar 4.4 berikut ini.
X(t)
-8
-5
-2
0 1
4
7
k
Gambar 4.4 Isyarat x(t) untuk soal no. 2
4.4. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Kontinyu
Untuk kepentingan kemudahan dalam pembahasan tentang sifat-sifat deret Fourier waktu kontinyu, maka koefisien deret Fourier dari sebuah isyarat x(t), yaitu ak , akan dituliskan dengan notasi: FS x ( t ) ←⎯→ ak
Artinya, isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier dengan koefisienkoefisien ak (FS = Fourier Series = Deret Fourier). Berikut adalah sifat-sifat deret Fourier waktu kontinyu: 1. Linearitas Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan FS x ( t ) ←⎯→ ak FS y( t ) ←⎯→ bk
maka untuk isyarat z(t) yang didefinisikan sebagai z(t) = A x(t) + B y(t) berlaku sifat linearitas sebagai berikut: FS z( t ) ←⎯→ ck = A a k + B bk
90 yaitu koefisien deret Fourier dari z(t) adalah ck = A ak + B bk , dengan A dan B adalah konstanta. 2. Pergeseran waktu Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan FS x ( t ) ←⎯→ ak
dan y(t) merupakan isyarat tergeser waktu dari x(t) yang dinyatakan sebagai y(t) = x(t – t0) maka berlaku sifat y( t ) ←⎯→ a k .e FS
− jkω0 t 0
= a k .e
− jk
2π t0 T
yaitu koefisien deret Fourier dari y(t) merupakan perkalian ak dengan e
− jkω0 t 0
=e
− jk
2π t0 T
.
3. Waktu-balikan Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan FS x ( t ) ←⎯→ ak
maka untuk isyarat waktu balikan dari x(t) yaitu x(-t) berlaku sifat sebagai berikut: FS x (− t ) ←⎯→ a −k
4. Perkalian Jika x(t) dan y(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dan FS x ( t ) ←⎯→ ak FS y( t ) ←⎯→ bk
maka berlaku FS x ( t ) y( t ) ←⎯→ hk =
∞
∑a
l = −∞
l
b l −k
yaitu koefisien deret Fourier dari perkalian x(t) dan y(t) merupakan jumlah konvolusi diskrit dari ak dan bk. 5. Penskalaan waktu (time scalling) Jika isyarat x(t) dapat dinyatakan dengan deret Fourier sebagai
91
x(t) =
∞
∑a
k = −∞
k
e jkω0 t
maka isyarat x(t) yang terskala waktu (sebesar α) mempunyai deret Fourier yang dinyatakan sebagai ∞
x (α t ) =
∑a
k = −∞
e jk ( αω0 ) t
k
6. Konjugat dan simetri konjugat Jika x(t) adalah isyarat periodik dengan periode T dengan FS x ( t ) ←⎯→ ak
maka FS x ( t ) ←⎯→ a −k
dimana x ( t ) adalah konjugat kompleks dari x(t) dan a k adalah konjugat kompleks dari ak . Jika x(t) merupakan bilangan riil murni, maka x ( t ) = x(t) dan koefisien deret Fourier akan menjadi simetri konjugat, yaitu: a −k = a k
4.5. Deret Fourier Isyarat Periodik Waktu Diskrit
Jika isyarat periodik waktu kontinyu x[n] periodik dengan periode dasar N dan frekuensi dasar ω0 = 2π / N , maka x[n] dapat dinyatakan sebagai deret Fourier waktu diskrit sebagai berikut:
x[n ] =
∑
k= N
=
∑
k= N
a k e jk ω 0 n ak e
jk
2π n N
dengan ak adalah koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n], dan didefinisikan dengan pernyataan
92 1 x[n ] e − jkω0n ∑ N k= N
ak =
2π
− jk n 1 x[n ] e N ∑ N k= N
=
4.5.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Jika x[n] = sin ω0 n, maka tentukan deret Fourier untuk x[n]. Penyelesaian Isyarat x[n] = sin ω0 n periodik hanya jika 2π/ω0 merupakan bilangan bulat atau perbandingan bilangan bulat. Jika ω0 =
2π , maka x[n] periodik N
dengan periode dasar N dan x[n] dapat diuraikan menjadi deret Fourier sebagai berikut:
x[n ] = sin ω0 n ⎡ 2π ⎤ = sin ⎢ ⎥ n ⎣N⎦ 2π
=
2π
1 j N n 1 −j N n e − e j2 j2
Dengan demikian, koefisien deret Fouriernya adalah a1 =
1 j2
1 j2 a k = ..... ? untuk k yang lain
a −1 = −
Untuk harga k yang lain, dapat dicari dengan cara berikut. Oleh karena x[n] periodik dengan periode dasar N, maka koefisien-koefisien deret Fourier x[n] juga akan berulang dengan periode N, sehingga a N+1 = a 1
dan a N−1 = a −1
Misalkan diambil periode dasar N = 5, maka dapat ditentukan: a1 =
1 j2
93 a −1 = −
1 j2
a N +1 = a 5+1 = a 6 =
1 j2
(= a 1 )
1 (= a −1 ) j2 1 (= a 1 ) = a −5+1 = a −4 = j2 1 (= a −1 ) = a −5−1 = a −6 = − j2 1 = a 10+1 = a 11 = (= a 1 ) j2 1 = a 10−1 = a 9 = − (= a −1 ) j2
a N −1 = a 5−1 = a 4 = − a − N +1 a − N −1 a 2 N+1 a 2 N−1
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.5.
ak 1/j2 -6
4
-1 -5 -4 -3 -2
0 1 2 3
9 5 6 7 8
10 11
k
-1/j2
Gambar 4.5 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 1 2. Untuk soal yang sama dengan soal no. 1, maka misalkan 2π/ω0 merupakan perbandingan bilangan bulat sebagai berikut: ω0 =
2π M N
atau
2π N = ω0 M
maka nyatakanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n]. Penyelesaian Dengan mensubsitusikan ω0 =
2π M pada persamaan isyarat x[n], maka N
x[n] dapat dinyatakan kembali sebagai:
94 x[n ] = sin ω0 n ⎡ 2π ⎤ = sin ⎢ M ⎥ n ⎣N ⎦ 2π
=
2π
1 jM N n 1 − jM N n e − e j2 j2
Sehingga aM =
1 j2
a −M = −
1 j2
Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, jika dipilih M = 3 dan N = 5, maka diperoleh: aM = a3 =
1 j2
a − M = a −3 = −
1 j2
a N + M = a 5+ 3 = a 8 =
1 j2
(= a 3 )
1 ( = a −3 ) j2 1 a − N + M = a −5 + 3 = a − 2 = (= a 3 ) j2 1 a − N −M = a −5−3 = a −8 = − ( = a −3 ) j2 1 a 2 N+ M = a 10+3 = a 13 = (= a 3 ) j2 1 a 2 N−M = a 10−3 = a 7 = − ( = a −3 ) j2 1 a −2 N+ M = a −10+3 = a −7 = (= a 3 ) j2 1 a −2 N−M = a −10−3 = a −13 = − ( = a −3 ) j2
a N − M = a 5 −3 = a 2 = −
Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.6.
95 ak
-8
1/j2
-3 -7 -6 -5 -4
7
2 -2 -1 0 1
3 4 5 6
8 9
k
-1/j2
Gambar 4.6 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 2 ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ 3. Tentukanlah deret Fourier untuk isyarat x[n ] = 1 + sin ⎢ ⎥ n + 3 cos ⎢ ⎥ n ⎣N⎦ ⎣N⎦
Penyelesaian Isyarat x[n] periodik dengan periode dasar N, dan dapat diuraikan menjadi: ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ x[n ] = 1 + sin ⎢ ⎥ n + 3 cos ⎢ ⎥ n ⎣N⎦ ⎣N⎦ ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ ⎡ 2π ⎤ − j⎢ ⎥ n ⎫ − j⎢ ⎥ n ⎫ 1 ⎧⎪ j ⎢⎣ N ⎥⎦ n 3 ⎧⎪ j⎢⎣ N ⎥⎦ n ⎪ ⎣N⎦ ⎪ +e ⎣N⎦ ⎬ = 1 + ⎨e −e ⎬ + ⎨e j2 ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎭ 2 ⎪⎩ ⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
⎧ 3 1 ⎫ j⎢ ⎥ n ⎧ 3 1 ⎫ − j⎢ ⎥ n ⎧ 3 1 ⎫ j⎢ ⎥ n = 1 + ⎨ + ⎬e ⎣ N ⎦ + ⎨ − ⎬e ⎣ N ⎦ ⎨ + ⎬e ⎣ N ⎦ ⎩ 2 j2 ⎭ ⎩ 2 j2 ⎭ ⎩ 2 j2 ⎭
Sehingga diperoleh:
a0 = 1 3 + 2 3 a −1 = − 2 a1 =
1 3 1 = −j j2 2 2 1 3 1 = +j j2 2 2
4. Tentukanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk isyarat x[n] jika isyarat x[n] diperlihatkan pada gambar 4.7.
X[n] 1
-N
-N1
0
N1
Gambar 4.7 Isyarat x[n] untuk soal no. 4
N
n
96 Penyelesaian Dari gambar isyarat x[n] di atas, diketahui bahwa x[n] = 1 untuk harga –N1 < n < N1 , maka dapat dinyatakan: ⎡ 2π ⎤
1 N1 − jk ⎢⎣ N ⎥⎦ n ak = ∑e N n =− N1
Dengan menganggap bahwa m = n + N1 , maka ⎡ 2π ⎤
1 2 N1 − jk ⎢ ⎥ ( m− N1 ) ak = ∑ e ⎣ N ⎦ N m=0 ⎡ 2π ⎤
=
1 jk ⎢⎣ N ⎥⎦ N1 e N
2 N1
∑
e
⎡ 2π ⎤ − jk ⎢ ⎥ m ⎣N⎦
)*
m =0
⎛ 2 N1 +1 ⎞ ⎧ − jk 2 π ⎜ ⎟⎫ ⎡ 2π ⎤ ⎝ N ⎠ 1 jk ⎢⎣ N ⎥⎦ N1 ⎪1 − e ⎪ = e ⎨ ⎬ ⎛ 2π ⎞ − jk ⎜ N ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ N ⎠ ⎩ 1− e ⎭ 2 2 π π ⎡ ⎤ ⎛ 2 N1 +1 ⎞ ⎧ jk ⎡⎢ N ⎤⎥ N1 jk ⎢ ⎥ N1 − jk 2 π ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣N⎦ ⎝ N ⎠ −e 1 ⎪e .e = ⎨ ⎛ 2π ⎞ − jk ⎜ N⎪ ⎟ ⎝ N ⎠ − 1 e ⎩
=
⎡ 2π ⎤ − jk ⎢ ⎥ ⎣ 2N ⎦
1 e × ⎡ 2π ⎤ − jk ⎢ N ⎥ e ⎣ 2N ⎦
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
⎡ N +0,5 ⎤ ⎧⎪ jk 2 π ⎡⎢ N1 +N0,5 ⎤⎥ − jk 2 π ⎢ 1 ⎥⎫ ⎣ ⎦ ⎣ N ⎦⎪ −e ⎨e ⎬ ⎪⎩ ⎪⎭ × 2 2 π π ⎡ ⎤ ⎧⎪ jk ⎡⎢ 2 N ⎤⎥ − jk ⎢ ⎥⎫ ⎣ ⎦ ⎣ 2N ⎦ ⎪ − e e ⎨ ⎬ ⎪⎩ ⎪⎭
⎡ ⎛ N + 0,5 ⎞⎤ sin ⎢2πk⎜ 1 ⎟⎥ 1 ⎝ N ⎠⎦ ⎣ = × N ⎡ πk ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣N⎦
; k ≠ 0, ± N, ± 2 N, ....
Catatan )* Suku
2 N1
∑e
⎡ 2π ⎤ − jk ⎢ ⎥ m ⎣N⎦
merupakan sebuah deret geometri dengan 2N1+1 suku, sehingga
m =0
jumlah deret geometri tersebut dapat diketahui menggunakan rumus jumlah deret geometri.
Sedangkan untuk k = 0, ±N, ±2N, … maka koefisien deret Fouriernya adalah
97 ak =
2 N1 + 1 N
Sebagai contoh, koefisien-koefisien ak untuk (2N1 + 1) = 5 dapat digambarkan untuk berbagai nilai N, misalnya N = 10. •
Untuk k = 0, ±10, ±20, … maka ak =
•
2 N1 + 1 5 1 = = N 10 2
Untuk k ≠ 0, ±10, ±20, … maka ⎡ ⎛ N + 0 ,5 ⎞ ⎤ sin ⎢ 2 π k ⎜ 1 ⎟⎥ N 1 ⎝ ⎠⎦ ⎣ × ak = k π N ⎤ ⎡ sin ⎢ ⎥⎦ N ⎣ ⎡ ⎛ 2 N 1 + 1 ⎞⎤ sin ⎢ π k ⎜ ⎟⎥ N 1 ⎝ ⎠⎦ ⎣ = × N ⎡ πk ⎤ sin ⎢ ⎣ N ⎥⎦ ⎡ πk ⎤ sin ⎢ 1 ⎣ 2 ⎥⎦ = 10 ⎡ πk ⎤ sin ⎢ ⎣ 10 ⎥⎦ Sehingga diperoleh:
⎡π⎤ sin ⎢ ⎥ 1 ⎣ 2 ⎦ = 0,3 → a −1 = a 1 a1 = 10 ⎡π⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣10 ⎦ 1 sin π =0 → a −2 = a 2 a2 = 10 ⎡π⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣5⎦ ⎡ 3π ⎤ sin ⎢ ⎥ 1 ⎣ 2 ⎦ = −0,124 → a = a a3 = −3 3 10 ⎡ 3π ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣ 10 ⎦ 1 sin 2π =0 → a −4 = a 4 a4 = 10 ⎡ 4π ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣ 10 ⎦
98 ⎡ 5π ⎤ sin ⎢ ⎥ 1 ⎣ 2 ⎦ = 0,1 a5 = 10 ⎡π⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣2⎦ 1 sin 3π =0 a6 = 10 ⎡ 3π ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣5⎦
→ a −5 = a 5
→ a −6 = a 6
⎡ 7π ⎤ sin ⎢ ⎥ 1 ⎣ 2 ⎦ = −0,124 → a = a a7 = −7 7 10 ⎡ 7π ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣ 10 ⎦ 1 sin 4π a8 = =0 → a −8 = a 8 10 ⎡ 4π ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣5⎦ ⎡ 9π ⎤ sin ⎢ ⎥ 1 ⎣ 2 ⎦ = 0,3 a9 = → a −9 = a 9 10 ⎡ 9π ⎤ sin ⎢ ⎥ ⎣ 10 ⎦ Karena sifatnya yang periodik dengan periode N = 10, maka a 11 = a 1
→ a −11 = a 11
a 12 = a 2
→ a −12 = a 12
.... a 19 = a 9
→ a −19 = a 19
a 21 = a 1
→ a −21 = a 21
a 22 = a 2
→ a −22 = a 22
..... Koefisien ak dapat diplot seperti pada gambar 4.8. ak
-7 -10
3
-3 -5
-1 0 1 2
7 4 5 6
8 9 1011
k
Gambar 4.8 Plot koefisien-koefisien deret Fourier pada soal no. 4
99 4.5.2. Soal-soal Tambahan
1. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 3, tentukanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika a. N = 5 b. N =10 c. N = 15 Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut. 2. Untuk soal yang sama dengan pada contoh soal no. 4, tentukanlah koefisien-koefisien deret Fourier untuk x[n] jika a. N = 20 b. N = 40 Gambarkan plot dari koefisien-koefisien tersebut.
4.6. Sifat-sifat Deret Fourier Waktu Diskrit
Untuk isyarat waktu diskrit x[n] yang periodik dengan periode N dan mempunyai koefisien deret Fourier ak, maka hubungan ini akan ditulis sebagai berikut: FS x[n ] ←⎯→ ak
Berikut ini adalah sifat-sifat deret Fourier waktu diskrit. 1. Perkalian Jika x[n] dan y[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan FS x[n ] ←⎯→ ak FS y[n ] ←⎯→ bk
maka berlaku FS x[n ].y[n ] ←⎯→ dk =
∑a
l= N
l
b k −l
2. Diferensiasi pertama Jika x[n] adalah isyarat periodik dengan periode N dan FS x[n ] ←⎯→ ak
100 maka koefisien deret Fourier yang sesuai dengan diferensiasi pertama dari x[n] dinyatakan sebagai: ⎛ 2π ⎞ ⎡ − jk ⎜ ⎟⎤ x[n ] − x[n − 1] ←⎯→ a k ⎢1 − e ⎝ N ⎠ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ FS
dimana frekuensi dasar x[n] adalah ω0 = 2π/N.
4.7. Deret Fourier dan Sistem LTI
Dalam waktu kontinyu, jika x(t) = est merupakan input atau masukan sistem LTI waktu kontinyu, maka keluarannya adalah y(t) = H(s) est dengan +∞
H(s) = ∫ h (τ)e −sτ dτ −∞
dan h(t) merupakan tanggapan impuls sistem LTI. Jika s = jω maka e st = e jωt sehingga masukan LTI merupakan eksponensial kompleks dengan frekuensi ω. Dalam hal ini, maka H(s) = H(jω) yang dinyatakan: +∞
H( jω) = ∫ h (τ)e −sτdτ −∞
H(jω) disebut dengan istilah tanggapan frekuensi (frequency response) sistem LTI. Jika isyarat masukan x(t) dinyatakan dalam deret Fourier sebagai berikut x[n ] =
+∞
∑a
k = −∞
k
e jkω0 t
maka keluaran sistem LTI dapat dinyatakan dengan y[n ] =
+∞
∑a
k = −∞
k
H ( jkω0 ) e jkω0t
dimana dalam hal ini sk = jkω0 , dan koefisien dari y(t) adalah bk = ak H(jkω0)
101 Dengan cara yang sama, dalam waktu diskrit jika x[n] = zn merupakan masukan sistem LTI waktu diskrit, maka keluarannya adalah y[n] = H(z) zn dengan H (z) =
∞
∑ h[k ]
z −k
k = −∞
dan h[n] adalah tanggapan impuls sistem LTI. Jika harga z dipilih sedemikian rupa sehingga ⎢z⎥ = 1, maka z = e jω dan zn = e jωn Dengan demikian, maka diperoleh persamaan yang menyatakan tanggapan frekuensinya, yaitu: H (e jω ) =
+∞
∑ h[n ] e
− jωn
n = −∞
Jika isyarat masukan x[n] merupakan isyarat periodik yang dinyatakan dalam deret Fourier sebagai x[n ] =
∑a
k= N
k
e
⎡ 2π ⎤ jk ⎢ ⎥ n ⎣N⎦
maka keluaran sistem LTI (dengan tanggapan impuls h[n]) adalah y[n ] =
∑a
k= N
k
H (e
⎡ 2π ⎤ jk ⎢ ⎥ ⎣N⎦
)e
⎡ 2π ⎤ jk ⎢ ⎥ n ⎣N⎦
dimana koefisien y[n] adalah bk = ak H(e j2πk/N)
4.7.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah sistem LTI waktu kontinyu mempunyai tanggapan impuls h(t) = e −t u(t) Jika masukan sistem sistem ini adalah
102
x[n ] =
3
∑a
k = −3
k
e jk 2 πt
dengan a0 = 1 a1 = a−1 = ¼ a2 = a−2 = ½ a3 = a−3 =
1
3
maka tentukanlah tanggapan frekuensi dan keluaran sistem LTI tersebut. Penyelesaian Tanggapan frekuensi dapat ditemukan sebagai berikut: ∞
H( jω) = ∫ h ( t ) e − jωt dt −∞ ∞
= ∫ e − t u ( t ) e − jωt dt −∞
∞
= ∫ e − t e − jωt dt 0
∞
= ∫ e −(1+ jω) t dt 0
∞
1 =− e −(1+ jω) t 1 + jω 0 =
1 1 + jω
Oleh karena isyarat x(t) mempunyai frekuensi dasar ω0 = 2π maka keluaran sistem LTI tersebut adalah y[n ] =
3
∑b
k = −3
k
e jk 2 πt
dengan bk = ak H( jk2π ) sehingga dapat ditentukan besaranya bk untuk harga-harga k yang berbeda sebagai berikut.
103 b 0 = a 0 H (0) = 1 1 1 × 4 1 + j2π 1 1 b 2 = a 2 H( j4π) = × 2 1 + j4π 1 1 b 3 = a 3 H( j6π) = × 3 1 + j6π 1 1 b −1 = a −1 H (− j2π) = × 4 1 − j2π 1 1 b −2 = a −2 H (− j4π) = × 2 1 − j4π b1 = a 1 H( j2π) =
1 1 b −3 = a −3 H(− j6π) = × 3 1 − j6π 2. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls h[n] = α n u[n] dimana −1 < α < 1. Jika masukan sistem ini adalah 2πn N
x [ n ] = cos
maka tentukanlah tanggapan frekuensi sistem tersebut. Penyelesaian 2 πn N
x [ n ] = cos
2π
=
1 jN e 2
n
2π
+
1 −j N e 2
n
maka dapat diperoleh tanggapan frekuensi untuk jω = j2π/N dan jω = −j2π/N, sebagai berikut:
(
) ∑ h[n ] e +∞
H e j2 π / N =
− j( 2 π / N ) n
n = −∞ +∞
∑α
=
n
u [ n ] e − j( 2 π / N ) n
n = −∞
=
∑ [α e +∞
n=0
=
]
− j( 2 π / N ) n
1 1 − α e − j2 π / N
104 dan
(
) ∑ h[n ] e +∞
H e − j2 π / N =
j( 2 π / N ) n
n = −∞ +∞
∑α
=
n
u [ n ] e j( 2 π / N ) n
n = −∞
∑ [α e +∞
=
]
j( 2 π / N ) n
n =0
1 1 − α e j2 π / N
=
Secara umum, tanggapan frekuensinya dapat dinyatakan dengan
( )
H e jω =
1 1 − α e − jω
Cara lain untuk menentukan tanggapan frekuensi sistem adalah sebagai berikut. Masukan x[n] dapat ditulis sebagai deret Fourier ⎡ 2π ⎤
⎡ 2π ⎤
1 j⎢ ⎥ n 1 − j⎢ ⎥ n x[n ] = e ⎣ N ⎦ + e ⎣ N ⎦ 2 2 dan tanggapan frekuensinya adalah H (e jω ) =
+∞
∑ h[n] e
− jωn
n = −∞
=
+∞
∑α
n
u[n ] e − jωn
n = −∞ ∞
= ∑ α n e − jωn n =0 ∞
= ∑ α n e − jωn n =0
=
1 1 − α e − jω
Dengan demikian, keluaran sistem dapat dinyatakan sebagai: y[ n ] =
∑ a k H ( e j 2 πk / N ) e
jk
2π n N
k= N
2π
2π
j n −j n 1 1 H (e j2 π / N ) e N + H (e − j2 π / N ) e N 2 2 ⎫ j 2Nπ n 1 ⎧ ⎫ − j 2Nπ n 1⎧ 1 1 = ⎨ + ⎨ ⎬e ⎬e 2 ⎩1 − α e − j 2 π / N ⎭ 2 ⎩1 − α e j 2 π / N ⎭
=
105
4.7.2. Soal-soal Tambahan
1. Sebuah sistem LTI waktu diskrit mempunyai tanggapan impuls ⎡1⎤ h[n ] = ⎢ ⎥ ⎣2⎦
n
maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y[n] jika masukan x[n] adalah isyarat periodik dengan periode 6 dan dinyatakan sebagai berikut n = 0, ± 1 ⎧1, x[n ] = ⎨ ⎩0, n = ±2, ± 3 2. Sebuah sistem LTI waktu kontiyu dengan tanggapan impuls h(t) = e −4⎜t⎥ maka tentukanlah representasi deret Fourier dari y(t) jika masukan x(t) seperti pada gambar berikut. X(t)
...
...
-2
-1
0
1
2
3
t
Gambar 4.9 Isyarat x(t) untuk soal no. 2
4.8. Filter-filter Pemilih Frekuensi
Tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu kontinyu, secara garis besar dibedakan menjadi: 1. Lowpass ideal Filter ini melewatkan frekuensi rendah saja. Perhatikan gambar 4.10.
H(jω) 1
ω −ωc
0
ωc
Gambar 4.10 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu kontinyu)
106
2. Highpass ideal Filter ini melewatkan frekuensi tinggi saja. Perhatikan gambar 4.11. H(jω) 1
ω −ωc
ωc
0
Gambar 4.11 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu kontinyu)
3. Bandpass ideal Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.12. H(jω)
1
ω −ω2
ω1
−ω1
ω2
Gambar 4.12 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu kontinyu)
Sedangkan tanggapan frekuensi suatu filter dalam waktu diskrit, secara garis besar juga dibedakan menjadi: 1. Lowpass ideal Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.13. H(e jω) 1
−2π
−π −ω 1
ω 0
ω1
π
2π
Gambar 4.13 Tanggapan frekuensi filter lowpass ideal (waktu diskrit)
2. Highpass ideal Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.14.
107 H(e jω) 1
ω
−π
−2π
π
0
2π
Gambar 4.14 Tanggapan frekuensi filter highpass ideal (waktu diskrit)
3. Bandpass ideal Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal diperlihatkan pada gambar 4.15. H(e jω) 1
−π
−2π
ω π
0
2π
Gambar 4.15 Tanggapan frekuensi filter bandpass ideal (waktu diskrit)
4.8.1. Contoh Soal dan Penyelesaian
1. Sebuah rangkaian filter lowpass RC sederhana pada gambar 4.16. Jika masukan sistem adalah Vs(t) dan keluarannya adalah Vc(t), tentukanlah persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan sistem. R
Vs(t) C
Vc(t)
i(t)
Gambar 4.16 Rangkaian filter RC lowpass sederhana
Penyelesaian Dengan Vs(t) sebagai masukan sistem dan Vc(t) sebagai keluarannya, maka untuk rangkaian RC di atas berlaku:
108 VR ( t ) + VC ( t ) = VS ( t ) R i( t ) + VC ( t ) = VS ( t ) RC
d VC ( t ) + VC ( t ) = VS ( t ) dt
Jika masukan Vs(t) = e jωt maka keluaran Vc(t) harus menjadi Vc(t) = H(jω) e jωt Sehingga diperoleh
{
}
d H( jω) e jωt + H( jω) e jωt = e jωt dt RCjω H( jω) e jωt + H( jω) e jωt = e jωt RCjω H( jω) + H( jω) = 1
RC
[RCjω
+ 1] H( jω) = 1 H( jω) =
1 RCjω + 1
Jika ω ≈ 0 maka ⎢H(jω)⎥ ≈ 1 dan
ω > 0 maka ⎢H(jω)⎥ <<
Tanggapan frekuensi filter ini dapat digambarkan secara grafis pada gambar 4.17. IH(Jω)I 1
ω -1/RC
1/RC
Gambar 4.17 Tanggapan filter lowpass RC pada soal no. 1
Filter lowpass RC sederhana pada contoh soal no. 1 ini merupakan filter yang non-ideal. 2. Sebuah rangkaian filter highpass RC sederhana pada gambar 4.18. Jika masukan sistem adalah Vs(t) dan keluarannya adalah VR(t), tentukanlah persamaan yang menyatakan hubungan antara keluaran dan masukan sistem.
109 VR(t) R
Vs(t) C i(t)
Gambar 4.18 Rangkaian filter RC highpass sederhana
Penyelesaian Dengan Vs(t) sebagai masukan sistem dan VR(t) sebagai keluarannya, maka untuk rangkaian RC di atas berlaku: VR ( t ) + VC ( t ) = VS ( t ) 1 i( t )dt = VS ( t ) C∫ 1 V (t) VR ( t ) + ∫ R dt = VS ( t ) C R 1 VR ( t ) + VR ( t ) dt = VS ( t ) RC ∫ d d RC VR ( t ) + VR ( t ) = RC VS ( t ) dt dt VR ( t ) +
Jika masukan Vs(t) = e jωt maka keluaran VR(t) harus menjadi VR(t) = H(jω) e jωt Sehingga diperoleh d d VR ( t ) + VR ( t ) = RC VS ( t ) dt dt d d RC H( jω).e jωt + H ( jω).e jωt = RC e jωt dt dt j ωt jωt RCjω . H( jω) e + H ( jω).e = RCjω. e jωt RC
[
]
(RCjω + 1) H ( jω) = RCjω RCjω H ( jω) = RCjω + 1
Terlihat dari persamaan tanggapan frekuensi sistem, bahwa jika ⎜ω⎟ >> 1/RC maka terjadi redaman. Dengan kata lain, jika ω mendekati nol maka ⎢H(jω)⎥ << dan jika ⎜ω⎟ = 1/RC maka ⎢H(jω)⎥ = 1.
110 Tanggapan frekuensi filter ini dapat digambarkan secara grafis pada gambar 4.19. IH(Jω)I 1
ω -1/RC
1/RC
Gambar 4.19 Tanggapan filter highpass RC pada soal no. 2
Filter highpass RC sederhana pada contoh soal no. 2 ini merupakan filter yang non-ideal.
