1
MODUL 9. (Pertemuan 17 s/d 26)
INTEGRAL FOURIER 9.1
DEFINISI INTEGRAL FOURIER Mari kita mengasumsikan kondisi yang berikut pada f(x) : 1. f(x) dalam kondisi stabil Dirichlet tiap-tiap interval terbatas (-L,L). 2.
∫
∞
−∞
f ( x) dx konvergen, jika f(x) integrasi absolut dalam (-L,L).
Maka Teorema Integral Fourier : ∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα
(1)
0
A(α ) = 1 ∞ f ( x) cos αx dx π ∫− ∞ di mana ∞ B(α ) = π1 ∫−∞ f ( x) sin αx dx
(2)
Dengan melihat hasil ( 1), jika x adalah suatu titik kesinambungan f(x). Jika x adalah suatu titik kesinambungan, kita harus menggantikan f(x) f ( x + 0) + f ( x − 0) dengan seperti di kasus Deret Fourier. Jangan catat 2 bahwa itu di atas kondisi-kondisi adalah cukup tetapi perlu. Persamaan ( 1) dan ( 2) dengan bersesuaian hasil untuk Deret Fourier adalah nyata. Sisi tangan kanan ( 1) kadang-kadang disebut suatu Perluasan Integral Fourier f(x). Teorema (Integral Fourier) Jika f(x) fungsi kontinu sepotong demi sepotong pada setiap interval berhingga, memiliki derivatif kiri maupun derivatif kanan di sekitar titik, dan
integral
lim
∫
0
a → −∞ a
b
f ( x) dx + lim ∫ f ( x) dx b →∞ 0
direpresentasikan oleh integral Fourier. ∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα 0
A(α ) = 1 ∞ f ( x) cos αx dx π ∫− ∞ di mana ∞ B(α ) = π1 ∫−∞ f ( x) sin αx dx
ada
,
maka
f(x)
dapat
2213 Di titik di mana f(x) tak kontinu, nilai interval sama dengan rata-rata dari limit kiri dan limit kanan f(x) di titik tersebut. Contoh : Cari representasi integral Fourier dari fungsi
1 , jika x < 1 f (x) = 0 , jika x > 1 Penyelesaian : ∞
1 −1 ∞ f ( x) cos αx dx = π1 ∫ (0 ) ⋅ cos αx dx + ∫ (1) ⋅ cos αx dx + ∫ (0 ) ⋅ cos αx dx −∞ 1 −1
A(α ) =
π
∫
=
π
1
∫ (1) ⋅ cos αx dx = π ⋅ α ∫
1
−∞ 1
1
1
1
−1
A(α ) =
πα
B (α ) =
π
1
1
−1
⋅ cos αx d (αx ) =
1
πα
[sin αx ] = 1
−1
1
πα
[sin α − sin (− α )]
[sin α + sin α ] = 2 sin α . πα
∫
∞
−∞
−1 ∞ 1 f ( x) sin αx dx π1 ∫ (0 ) ⋅ sin αxx dx + ∫ (1) ⋅ sin αxx dx + ∫ (0) ⋅ sin αxx dx −∞ −1 1
1 1 1 1 1 π ∫−1 (1) ⋅ sin αxx dx = π ⋅ α ∫−1 ⋅ sin αxx d (αx ) = πα [− cos αx −1 ] = − πα [cos α − cos(− α )] B (α ) = − πα1 [cos α − cos α ] = 0 .
=
1
1
1
∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα , 0
∞ 2 sin α 2 ∞ sin α ⋅ cos αx dα . f ( x) = ∫ cos αx + 0 ⋅ sin αx dα = ∫ 0 π 0 α πα
Latihan Soal : Carilah representasi integral Fourier fungsi 0 jika x < 0 f ( x) = π2 jika x = 0 πe - x jika x > 0 ∞
Kunci Jawabanya : f ( x) = ∫0
cos αx + αsinαx dα 1+α 2
3313
INTEGRAL COSINUS DAN INTEGRAL SINUS FOURIER Jika f(x) fungsi genap, maka integrand f ( x) cos αx merupakan fungsi genap dalam x, dan f ( x) sin αx fungsi ganjil dalam x. Dengan demikian : ∞
∫ f ( x) sin αx dx = 0 , A(α ) = π ∫ f ( x) cos αx dx = π ∫ f ( x) cos αx dx , f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + 0 x}dα f ( x) = ∫ A(α ) cos α x dα yang merupakan Integral Cosinus Fourier.
B (α ) =
1
π
−∞ ∞
1
2
−∞
∞
0
∞
0
∞
0 ∞ 0
Jika f(x) fungsi ganjil, maka integrand f ( x) cos αx merupakan fungsi ganjil dalam x, dan f ( x) sin αx fungsi genap dalam x. Dengan demikian : ∞
∫ f ( x) cos αx dx =0 , B (α ) = π ∫ f ( x) sin αx dx = π ∫ f ( x) sin αx dx , f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα f ( x) = ∫ {0 x + B(α ) sin αx}dα f ( x) = ∫ B(α ) sin αx dα yang merupakan Integral Sinus Fourier. A(α ) =
1
π
−∞ ∞
1
2
−∞
∞
0
∞
0 ∞ 0 ∞ 0
Contoh : Cari Integral Cosinus dan Integral Sinus Fourier dari (x > 0, k > 0) f ( x) = e − kx , Penyelesaian :
A(α ) =
1
π
∫
∞
−∞
∞
f ( x) cos αx dx = π2 ∫ f ( x) cos αx dx = 0
p
A(α ) = π ⋅ lim ∫ e 2
p →∞ 0
− kx
2
π
∫
∞
0
e − kx cos αx dx ,
p e −kx , { ( ) } cos αx dx = ⋅ lim k cos α x α sin α x − + π p →∞ (− k )2 + α 2 0
2
4413 2 e − kp e0 ( ) ( k cos α p α sin α p ⋅ lim 2 − + − − k cos 0 + α sin 0) , 2 2 2 π p →∞ k + α k +α 2 1 (− k + α ⋅ 0) = 2k ⋅ 2 1 2 . A(α ) = ⋅ 0 − 2 2 π k +α π k + α
A(α ) =
B (α ) =
1
π
∫
∞
−∞
f ( x) sin αx dx =
2
π
∫
∞
0
f ( x) sin αx dx =
2
π
∫
∞
0
e − kx sin αx dx ,
p e − kx , { ( ) } B (α ) = π ⋅ lim ∫ e sin αx dx = ⋅ lim k sin α x α cos α x − − p →∞ 0 π p →∞ (− k )2 + α 2 0 e0 2 e − kp ( ) ( ) B (α ) = ⋅ lim 2 k p p sin α α cos α k sin 0 α cos 0 − − − − − , 2 2 π p →∞ k + α 2 k +α 2 1 (− k ⋅ 0 − α ⋅ ⋅1) = 2 ⋅ 2 α 2 . B (α ) = ⋅ 0 − 2 2 π k +α π k + α 2
p
2
− kx
Maka Integral Cosinus Fourier : ∞
f ( x) = ∫ A(α ) cos αx dα , 0
f ( x) = ∫
∞
0
2k 1 2k cos α dα = ⋅ 2 2 π k + α π
∫
∞
0
cos αx k 2 + α 2 dα .
Maka Integral Sinus Fourier : ∞
f ( x) = ∫ B(α ) sin α x dα , 0
f ( x) = ∫
∞
0
2 α 2 ∞ α sin αx sin α dα = ∫ 2 dα . ⋅ 2 2 π k +α π 0 k + α 2
Soal Latihan : 1. Carilah representasi Integral Cosinus Fourier fungsi 1 , jika 0 < x < 1 f (x) = 0 , jika x > 1
Kunci Jawaban : f ( x) =
2
π∫
∞
0
sin α ⋅ cos αx dα α
5513 2. Carilah representasi Integral Sinus Fourier fungsi e x , jika 0 < x < 1 f ( x) = 0 , jika x > 1
Kunci Jawaban : f ( x) =
2
π∫
∞
0
α − e(α cos α − sin α ) sin αxdα 1+α 2
FORMAT PADANAN DARI TOREMA INTEGRAL FOURIER Teorema Integral Fourier dapat juga ditulis dalam bentuk : f ( x) =
f ( x) = =
1
∞
∫ ∫
∞
π α = 0 u = −∞ ∞
∫e π ∫ ∫
1 2π 1 2
− iα x
−∞
∞
f (u ) cos α ( x − u ) du dα ∞
dα ∫ f (u )e iαu du −∞
∞
f (u )e
−∞ −∞
(3)
iα ( u − x )
(4)
du dα
di mana jika f(x) tidak kontinu di sebelah kiri x harus diganti dengan f ( x + 0) + f ( x − 0) . 2 These results can be simplified somewhat if f(x) is either an odd or an even function, and we have : f ( x) =
π
f ( x) =
π
2
2
∫
∞
∫
∞
0
0
∞
cos αx dα ∫ f (u ) cos αu du , 0
∞
sin αx dα ∫ f (u ) sin αu du , 0
if f(x) is even
(5)
if f(x) is odd
(6)
6613 9.2
DEFINISI TRANSFORMASI FOURIER
Definisi Fungsi F (α ) disebut transformasi Fourier dari fungsi f (x) dan ditulis F (α ) = F{ f ( x)}, bila dari (4), akan diperoleh berikut ini : ∞ 1 iαu F (α ) = ∫ f (u )e du . 2π −∞
(7)
Sedangkan fungsi f (x) disebut transformasi Fourier inverse dari fungsi F (α ) dan ditulis
f ( x) = F −1{F (α )}, bila
f ( x) =
1 2π
∞
∫ F (α )e
− iαx
dα .
(8)
−∞
Contoh : Carilah transformasi Fourier dari fungsi
1 , bila f ( x) = 0 , bila
x
a
di mana a konstanta positif. Gambarlah grafik dari f (x) dan F (α ) = F{ f ( x)} tersebut. F(x) F (α )
1 α -a
a
7713
Solusi ∞
1
F (α ) =
2π
∫
f (u ) e iαu du =
−∞
a
1 2π
∫1⋅ e
iα u
du
−a
1 1 iau a 1 1 iaα (e − e −iaα ) e = − a 2π iα 2π iα 2 e iaα − e −iaα 4 sin( aα ) , α ≠ 0, = = α 2i α 2π 2π
=
=
4 sin(aα ) 2 sin(aα ) = α π α 2π
F (0) =
a
1 2π
∫ 1 dx =
−a
2a 2π
=
4 2π
a=
Jadi,
F (α ) =
2 sin(aα )
π 2
π
α a
, bila α ≠ 0 , bila α = 0.
Assignment 1 1. Carilah transformasi Fourier dari fungsi 1 , bila x < a, f ( x ) = 2a 0 , bila x > a, di mana a konstanta positif. 2. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
1 − x 2 , bila x < 1 f ( x) = , bila x > 1. 0
2
π
a
8813 TRANSFORMASI COSINUS FOURIER Bila f(x) fungsi genap, buktikan bahwa : Fc (α ) = F{ f ( x)} =
2
π
∞
∫ f (u ) cos(αu ) du, 0
dan f ( x) = F −1{Fc (α )} =
2
π
∞
∫ F (α ) cos(α x) dα . c
0
Solusi (a)
Fc (α ) = = = Fc (α ) =
∞
1 2π
∫
f (u ) e iαu du =
−∞
∞
∫ f (u )[cos(αu ) + i sin(αu )] du
−∞
∞ ∞ 1 ∫ f (u ) cos(αu ) du + i ∫ f (u ) sin(αu ) du 2π −∞ −∞ ∞ ∞ 4 1 2 ∫ f (u ) cos(αu ) du = ∫ f (u ) cos(αu ) du 2π 0 2π 0
2
π
∞
∫ f (u) cos(αu) du 0
mengingat bahwa f ( x) cos(αx) adalah fungsi genap dan f ( x) sin(αx) adalah fungsi ganjil (keduanya terhadap variable x). (b) f ( x) = = = f ( x) =
∞
1 2π 2π
2π
∫ F (α ) cos(αx) dα − c
−∞ ∞
2 2π
π
−∞
1
∞
1
2
− iαx ∫ Fc (α )e dα =
∫ Fc (α ) cos(αx) dα = 0
∞
∫ F (α ) cos(αx) dα c
0
∞
∫ F (α )[cos(αx) − i sin(αx)] dα c
−∞
∞
i 2π 4 2π
∫ F (α ) sin(αx) dα c
−∞ ∞
∫ F (α ) cos(αx) dα c
0
9913 mengingat Fc (α ) adalah fungsi genap yaitu Fc (−α ) = Fc (α ) untuk tiap α , di mana f(x) adalah Transformasi cosinus Fourier ( Fourier Cosine Transform ) TRANSFORMASI SINUS FOURIER Definisi Fungsi Fs (α ) disebut transformasi sinus Fourier dari fungsi f (x) dan ditulis
Fs (α ) = Fs { f ( x)}, bila Fs (α ) =
2
π
∞
∫ f (u ) sin(αu ) du . 0
Sedangkan fungsi f (x) disebut transformasi sinus Fourier inverse dari fungsi Fs (α ) dan ditulis
f ( x) = Fs−1 {Fs (α )}, bila f ( x) =
2
π
∞
∫ F (α ) sin(αx) dα s
0
mengingat Fs (α ) adalah fungsi ganjil yaitu Fs (−α ) = − Fs (α ) untuk tiap α , di mana f(x) adalah Transformasi Sinus Fourier ( Fourier Sine Transform )
Contoh-contoh 1. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi
1, bila 0 < x < 1 f ( x) = 0, bila x > 1.
101013 Solusi 1 ∞ 2 FS (α ) = f (u ) sin(αu ) du = ∫ 1 ⋅ sin(αuu ) du + ∫ 0 ⋅ sin(αuu ) du ∫ π0 π 0 1 1 2 1 2 1 − (cos α − cos 0), = − cos(αu ) = 0 π α π α
2
∞
2 1 1 − cos α − (cos α − 1) = π α α
FS (α ) =
2
π
,
α ≠0
2. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi f ( x) = e − x , x ≥ 0. Solusi Fc (α ) =
2
π
∞
∫ 0
∞ 2 −u f (u ) cos(αu ) du = ∫ e cos(αu )du π 0
p −u p 2 2 −u e ((−1) cos(αu ) + α sin (α )u ) = lim ∫ e cos(αu )du = lim 2 2 π p →∞ 0 π p →∞ (− 1) + α 0 0 − p 2 e e lim ( ) ( ) p p cos( α ) α sin( α ) cos 0 α sin 0 − + − − + 2 π p →∞ 1 + α 2 1 α +
= =
2 1 (− 1 + 0) = 2 1 2 0− 2 π 1+α π 1 + α
Jadi,
Fc (α ) =
2 1 π 1 + α 2
Assignment 2 1. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi
1, bila 0 < x < 1 f ( x) = 0, bila x > 1.
111113 2. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi-fungsi : (a)
f(x)=e-x , x ≥ 0
(b)
f(x)=e-2x , x ≥ 0.
9. 3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER Dalam hal ini digunakan notasi
f ( x) ↔ F (α ) untuk menunjukkan pasangan transformasi
F (α ) = F{ f ( x)} = f ( x) = F −1 {F (α )} =
∞
1 2π
∫ f ( x) e
iαx
dx
−∞
∞
1 2π
∫ F (α ) e
− iαx
dα
−∞
Sifat-sifat Elementer 1. Linieritas Bila f1 ( x) ↔ F1 (α ) dan f 2 ( x) ↔ F2 (α ), maka a1 f1 ( x) + a2 f 2 ( x) ↔ a1F1 (α ) + a2 F2 (α ), a1 , a2 konstanta.
2. Time-shifting Bila f ( x) ↔ F (α ), maka f ( x − x0 ) ↔ F (α ) e iαx0 .
3. Frequency-shifting Bila f ( x) ↔ F (α ), maka f ( x) e − iα 0 x ↔ F (α − α 0 ) .
121213 4. Scaling Bila f ( x) ↔ F (α ), maka untuk konstanta a yang bernilai nyata (real) dan tidak sama dengan nol berlaku f (ax) ↔
1 α F ( ). a a
5. Time-reversal Bila f ( x) ↔ F (α ), maka
f (− x) ↔ − F (−α ) . 6. Simetri Bila f ( x) ↔ F (α ), maka
F ( x) ↔ f (−α ).
Contoh-contoh 1. Buktikan sifat linieritas di atas. Solusi ∞
F [a1 f 1 ( x) + a 2 f 2 ( x)] = ∫ [a1 f 1 ( x) + a 2 f 2 ( x)]e −iαx dx = a1 −∞
= a1F [ f1 ( x)] + a 2 F [ f 2 ( x)],
di mana a1 , a 2 kostanta.
∞
∫
−∞
f1 ( x) e −iαx dx + a 2
∞
∫f
−∞
2
( x) e −iαx dx
131313 2. Buktikan sifat frequency-shifting di atas. Solusi ∞
∞
−∞
−∞
F [ f ( x)e iα 0 x ] = ∫ [ f ( x)e iα 0 x ] e −iαx dx =
∫f
( x) e −i (α −α 0 ) x dx = F(α − α 0 ).
Assignment 3 1. Buktikan sifat-sifat time-shifting, scaling, time-reversal, dan simetri di atas.
