Fourier transzformáció

Fourier transzformáció A szeizmikus hullámok tanulmányozása során igen nagy jelentősége van a hullámok frekvencia tartalmának. Ezt használjuk a hullámok alakjának mintavételezésekor, lineáris szűrések alkalmával, különböző inverz feladatokmegoldásakor ... stb. A matematikából ismert fogalmak a Fourier sorok, Fourier integrál és a Fourier transzformált. Gyakorlatban a Fourier transzformáltat fogjuk használni, he, hogy eljussunk hozzá, az előző kettővel is foglalkoznunk kell. Egy periodikus jel összetevőkre bontható, amelyek összege szolgáltatja az eredeti jelet. Ha ezt a felbontást hagyományos módon az idő függvényében, az időtartományban végezzük, akkor az eredeti jel egymáshoz képest kötött fázisviszonyú harmonikus jelekből állítható össze. A legkisebb összetevő frekvenciája megegyezik az eredeti jel ismétlődési frekvenciájával, és az egyes összetevők frekvenciája ennek az alapfrekvenciának egész számú többszöröse. Vizsgáljunk meg egy g(t) periódikus függvényt, melynek periódus ideje T. Ez azt jelenti, hogy tetszőleges t-re érvényes a g(t)=g(t+kT) összefüggés, ahol k=... -2, -1, 0, 1, 2, ... A g(t) függvény előállíthatjuk a Fourier sora segítségével:

2 2 2 2
    2     2   2  2   3    2          2 2 2  2     2   2    2        

Ebben a kifejezésben a

2 2    é     

kifejezéseket alapharmonikusoknak, a 2t, 3t, ... kt tartalmú tagokat második, harmadik, ... k-adik felharmónikusnak nevezik. A sorban minden tag rendelkezik a T periódusidővel, míg a felharmónikus tagok a rövidebb, T/k periódusidővel is. A Fourier sorban szereplő a0, a1, a2, ... b1, b2, ... bk együtthatókat Fourier együtthatóknak nevezzük. A Fourier sorban szereplő

1,  

2 2 2 2 2 2  ,   2 , …    ,    ,   2 , …         

függvények ortogonálisak egymásra. Az ortogonalitás definíció szerint azt jelenti, hogy bármely két különböző függvény szorzatának a teljes T periódusidőre számított integrálja nullát eredményez. Az ortogonalitás biznyításához fel kell használnunk a következő, közismert összefüggéseket:

1   !  "   !    # !$ 2 1  !  "   ! #  # !$ 2

1

 !  "  # ! #    !$ 2

Példák:

Első eset: az egyik tag 1, a másik tag a tetszőleges k-adik cosinus &'(

&'( 2  2 %    )  *   +  2  ,-&

&

A sinus függvény periodicitása miatt a határokon felvett értékek egyformák, ezért ez a kifejezés nullát eredményez. Második példa: az egyik tag az m-edik, a másik az n-edik cosinus &'(

%  

&

2 2 .    )   &'(

 % &

2 2 1 .     . # + ) *  2 

&'( 2 2 . .

  

 #  1    /  0 2 2 2 .   . #    &

Ez pedig, hasonlóan az eredeti esethez a sinusos tagok T szeinti periodicitása miatt nullát eredményez. Hasonlóképpen igazolható az ortogonalitás a többi (különböző indexű) tagokra is. Harmadik példa. Nézzük meg két azonos indexű tag esetét:

&'( 4 4 1   .

 . 1  2   1  %   .)  % )  /   0 4  2 2 2 . & &  & &'(

&'(

Tehát az azonos indexű elemek szorzatán kívül minden más kombináció nullát eredményez. Ezt nevezzük ortogonális függvényrendszernek.

Határozzuk meg a sorfejtés együtthatóit. Ehez először képezzük a fejtegetésünk elején felírt Fourier sor integrálját az a és a a+T határok között. &'(

&'(

&'(

&

&

&

%
)   % )  2 %  &'(

 2 %  &

2 )     

2 )   

A jobb oldalon álló első tag értéke: a0T. Az össze többi tag értéke az ortogonalitás miatt nulla. &'(

1   %
)  &

Hátra van még a további ak (k=1,2,...k...) tagok meghatározása. Ehhez szorozzuk be a Fourier sorfejtés mindkét oldalát

 és integráljuk a és a+T között. '(&

%


&

2  # 345, 

2 ) 

&'(

&'(

& &'(

&

2 2 2 )  2 %   )       %      2 %  &

2 2  )    

Ekkor az ortogonalitás miatt egy kivételével minden tag nulla lesz. Az egyetlen tag ami megmarad az a cosinusos tag lesz, ahol n egyenlő az a-együttható k indexével. Ez esetben a korábban vizsgált m=n=k esethez jutunk, melynek eredménye T/2 volt. Ebből következően: &'(

%


Igy a k-adik a együttható:

&

2 )    

&'(

1 2   %
cos  )   &

Hasonló levezetéssel juthatunk el a b együtthatók meghatározásához: &'(

1 2   %
sin  )   minden k=1,2,3,...k,...-ra.

&

Szokás a felírásban a T periódusidő reciproka helyett az

;  kifejezést és a

2 

helyett az

1 

<  2;

kifejezéseket használni, azaz az alapharmónikus frekvenciáját és körfrekvenciáját. Hasznos az a felismerés is, hogy páros függvények esetén, amikor g(t)=g(-t) akkor a cosinusos tagok párossága, illetve a sinusos tagok páratlansága miatt az egy periódusra vett inegrálásból csak a cosinusos tagok, az „a” együtthatók maradnak meg, méghozzá páros módon, tehát: ak = a-k, bk = 0 lesz. Hasonó módon páratlan függvényekre ak = 0, és bk = -b-k lesz, tehát páratlan „b” együtthatók adódnak. Összefoglava, és az origóra szimmetrikus fél-fél periódusra szorítkozva általánosan felírhatjuk:

 

( 

1 2 %
   ) ,   =

( 

é

 

( 

1 2 %
    )   =

( 

Példa: számítsuk ki az ábrán látható négyszögimpulzus Fourier együtthatóit.

Mivel szimmetrikus függvényről van szó, a „b” tagok eleve nullák lesznek. Az „a” együtthatók a következőképpen alakulnak: ?( 

?(

1 1 1  1   % )  * + ?(  >  > ,-=  =

A további ak együtthatók:

?( 



?(

?( 

 2 1 2 1  @  A 1 sin > 1   %    )   /  0 2  >  >  >  ?( ?(  = ,-=  

Tehát az ak együtthatókra egy sinus cardinális függvényt kapunk. Ezt később még fel fogjuk használni. Összefoglalva: Egy T periódussal rendelkező g(t) függvény Fourier sora a következő alakú: C

C

-

-

2 2
    2 B     2 B     

ahol az ak és bk együtthatókat az előzőekben meghatároztuk. Tömörebb írásmódhoz jutunk az Euler összefüggések felhasználásával:

4 EF  4 =EF 4 =EF # 4 EF  D  é D  G , H 5 G  √#1 2 2

J

J

C

J

J

C

4 E ( ,  4 =E ( , 4 =E ( , # 4 E ( ,
    2 B   2G B  2 2 -

C


    B  # -

J E , ( 4 G

C

-

J

 B   G 4 =E ( , -

Vezessük be a következő komplex Fourier együtthatókat (definició szerint): c-k = ak + j bk,

c0 = a0,

ck = ak - jbk

Ezekkel a komplex együtthatókkal a fenti kifejezés egyszerűbb alakra hozható: C


    B  4 -

E

J , (

C

 B = 4 -

=E

J , (

C

C

   B  4 -

E

J , (

J

 B  4 =E ( ,

J


  B  4 E ( , -=C

=

-=C

ahol a ck komplex együtthatókat a már korábban levezetett összefüggés adaptálásával állíthatjuk elő: &'(

&'(

&

&

1 2 G 2    # G  %
   ) # %
    )     &'(

&'(

J 1 2 2 1 =E ,   %
 *   # G   + )  %
4 ( )     &

&

A jelek döntő többsége nem periodikus. Tehát szükséges a Fourier-sornál kapott eredményeinket nem periodikus jelekre is kiterjeszteni. A nem periodikus jel úgy is felfogható, mint egy a végtelenben ismétlődő periodikus jel. Így bizonyos megkötésekkel alkalmazni lehet a periodikus jelekre vonatkozó Fourier-sorfejtést. A Fourier sorfejtés eddigi vizsgálatainkban egy olyan ck diszkrét függvényt szolgáltatott, melyet csak az f = k/T diszkrét frekvenciáknál (illetve más jelöléssel az ω = 2πk/T diszkét körfrekvenciáknál) értelmeztünk. Az egyes minták közötti lépésköz: ∆f = 1/T. Zsugoritsuk össze a ∆f lépésközt. Ez megfelel annak, hogy T-t végtelen hosszúvá tesszük. Ekkor a ck diszkrét együtthatók egy folyamatos c(f) függvénnyé válnak:

C

;  %
4 =EJK, ) =C

Ezt az integrált Fourier integrálnak nevezzük. Ez egy komplex értékű függvény, amit a g(t) idő függvény komplex ferkvenciaspektrumának is szokás nevezni. A Fourier integrált tehát úgy kaptuk, hogy a diszkrét ck amplitúdókat, melyek az f = k/T diszkrét frekvenciákhoz tartoznak, amplitúdó sűrűségekkel helyettesítjük. Egy kijelölt ∆f frekvenciatartományhoz tartozó amplitúdó az amplitúdósűrűségnek a tartományra vett határozott integrálja. A Fourier integrálból a már korábban tárgyalt módon az eredeti g(t) függvény kiszámítható: C


  % ;4 EJK, ); =C

Azt a műveletet, amivel a g(t) időfüggvényhez a c(f) frekvenciafüggvényt hozzárendeltük, Fourier transzformációnak nevezzük, g(t) visszaállítását pedig inverz Fourier transzformációnak. A Fourier transzformációnak van néhány fontos esete, amiket a szeizmikában gyakran használunk. Néhány példa (a példákban kis betüvel az időtartománybeli, nagy betüvel a frekvenciatartománybeli függvényeket jelöljük): Linearitás:

Hasonlóság:


   H

Eltolás időben:

Eltolás frekvenciában:

Deriválás idő szerint:

Deriválás frekvencia szerint:

L

 M;   NO




L

; 1 M  || 


 #  

L

M;4 =EJK,Q

M; # ; 

L


4 =EJKQ,


R 

L

G2;MO

M R ;

L

#G2


Konvolúciós tétel (konvolúció később kerül tárgyalásra, a műveletet *-gal jelöljük):


 S H

L

M;N;, é 3 T : M; S N;

L


H

A c(f) függvény egy komplex értékű függvény. Abban az esetben, ha g(t) tiszta valós értékű függvény volt, akkor a komplex spektrumának a valós része szimmetrikus, képzetes része asszimmetrikus függvény lesz.

A komplex spektrumot ábrázolhatjuk polár diagramm formájában is. Ekkor az f frekvencia a piros vonal mentén változik. A spektrum értékeit az abszolút értékkel és a fázissal szemléltethetjük.

A következő ábrákon szeizmikus csatornák amplitúdó spektrumai láthatók.

Dirac delta függvény Definiáljunk a következő módon egy tüske szerű függvényt: V  0,

H

X0

é

C

% V)  1 =C

A függvény neve Diractól ered, aki a fizikában gyakran használt absztrakcióknál alkalmazta következetesen. Ponttömeg, ponttöltés, ... stb. sűrűséggel, töltéssűrűséggel való leírásakor olyan mennyiségre van szükség, mely az adott pontot kivéve mindenütt zérus, és a pontot magába foglaló tartományra vett integrálja pedig éppen a tömeget, töltést, ... stb. adja. Egységimpulzusnak is nevezik. A véges hosszúságú impulzusok szélességének csökkentése egyidejűleg az intenzitás növelését is magával vonja. A Dirac deltával helyettesíthetünk minden olyan impulzust, melynek további összehúzása, illetve intenzitásának növelése egy adott pontossági szinten már további változást nem okoz. A Dirac delta függvény felhasználható arra, hogy egy tetszőleges f(t) függvényből kiválasszuk annak egy elemét. Z'[

Z'[

;Y  % V # Y;)  ;Y % V # Y) Z=[

Z=[

mert az integrálásban szereplő szorzat a kiválasztási helytől különböző minden más helyen nulla. Számítsuk ki a Dirac delta függvény Fourier transzformáltját.

C

O\V]  % V 4 =EJK, )  1 =C

Ha a Dirac delta nem az origóban helyzkedik el: C

O\V # ]  % V #  4 =EJK, )  4 =EJK&  cos2; # G 2; =C

Ebből a kifejezésből látszik, hogy két szimmetrikusan, +a és –a időpontokban elhelyezett Dirac delta pár Fourier transzformáltja egy cosinust ad, két asszimmetrikusan elhelyezett Dirac delta pár pedig egy sinust eredményez. Ez visszafelé is igaz, egy tiszta cosinus függvény Fourier transzformáltja egy szimmetrikus Dirac delta párt, egy tiszta sinus függvény Fourier transzformáltja egy asszimmetrikus Dirac delta párt eredményez.

O ^  O ^  

1   2 1 _  V ; #   V ;   2    2

1   2 1 _  V ;   # V ; #  2    2

Ehez az eredményhez fel kellett használnunk a Fourier transzformációnak azt a szabályát, miszerint, ha a g(t) időfüggvény transzformáltja k(f), akkor k(t) transzformáltja g(-f) lesz. Ennek bizonyítása: C

;  %
4 =EJK, ) , é =C

C


  % ;4 EJK, );

C

C

=C

=C

=C

O\]  % 4 =EJK, )  % Y4 EJ=KZ )Y 
#; Esetünkben legyen:


  V #   V   é

Ekkor a k(t) transzformáltjának g(-f) nek kell lennie:

;  cos2;

O\]  O\cos 2] 
#;  V#; #   V#;      ;45H Tá53, H
a    V ;    V ; #  ,   

Hasonló gondolatmenettel kitalálható, hogy a konstans egységfüggvény Fourier transzformáltja egy Dirac delta:

O\1]  V;

Térjünk vissza a periódikus függvényekhez, azoknak is a Fourier sorba fejtett alakjához. Készítsük el a sorfejtés Fourier transzformációját: C

C

-

-

2 2
    2 B      2 B      

Az előbbi képleteket felhasználva:

C

  O\
]   V;  B  *V ;    V ; # +   C

-

   G B  *V ;   # V ; # +   -

Áttérve a tömörebb, komplex alakra:

C

 O\
]  B  V ; #   -=C

Tehát, egy periódikus függvény Fourier transzformáltja egy Dirac delta sorozat, ahol az impulzusok amplitúdói a Fourier együtthatók. Fordítva, ahogy az az előbbiekből látható, egy mintákból álló Dirac delta sorozat Fourier transzformáltja egy periódikus függvény lesz.

Mintavételezés A digitális szeizmikus feldolgozás mintavételezett, digitalizált hullám amplitúdókat ígényel. Nézzük meg, hogy a geofonok által folyamatos függvényként regisztrált hullámalakok hogyan alakíthatók át digitalizált adatsorozattá. Legyen a regisztrált hullámalak a g(t) folyamatos függvény. Ebből a függvényből kell egyenközű minákat vennünk. Amint azt az előzőekben láttuk, az egyenközű Dirac delta sorozattal ezt a mintakiválasztást egyszerűen elvégezhetjük. A Dirac delta impulzusok közötti távolságot a továbbiakban mintavételi távolságnak fogjuk nevezni. A mintavételi távolság első látásra szabadon megválasztható. Mégis van egy lazább és egy nagyon lényeges kötöttségünk. A lazább kötöttség a legnagyobb sűrűségre vonatkozik. Minden időtartományban fizikailag regisztrált függvénynek van egy frekvencia tartalma. Van egy maximális frekvencia, ami fölött a hullámok már nem keltődnek, illetve a berendezések fizikai korlátai miatt nem regisztrálódnak. A laza megkötöttségünk az, hogy nem érdemes egy határnál sűrűbb mintavételezést alkalmazni, mert egy határnál gyorsabb változások úgysem nem történnek a g(t) függvényben. A fontos megkötöttség arra vonatkozik, hogy legalább milyen sűrűen kell mintavételeznünk. A mintáknak legalább olyan sűrűeknek kell lenniük, hogy később a digitalizált adatrendszerből az eredeti folytonos függvény hiba nélkül visszaállítható legyen.

A megoldást a periodicitás adja. Mint láttuk, a Dirac delta sorozat, így az általa mintavételezett adatsor Fourier transzformáltja periódikus függvény lesz. A mintavételezést egy végtelen Dirac delta sorozattal végezzük. Jelölje távolságot. A mintavételező Dirac delta függvény alakja:

τ

a mintavételi

C

bC   B V # Y -=C

Ennek a Fourier transzformáltja az előzőek felhasználásával: C

1  bC ;  B V ; #  Y Y -=C

A mintavételezett adatrendszert a végtelen Dirac deltával való szorzással kapjuk: C

bC 
  B
YV # Y -=C

Jelöljük az eredeti g(t) Fourier transzformáltját G(f)-el, a digitalizált adatrendszer spektrumát pedig Gd(f)-el. A digitalizálást elvégző szorzat:

M c ;  O\bC 
]  bC ; S M;

ahol a „*” jel az úgynevezett konvolúció képzést jelöli.

Itt egy kis kitérőt kell tennünk, hogy megértsük a konvolúcióképzés fogalmát és szabályait. Legyen két időtartományban definiált függbényünk: a(t) és b(t). Tételezzük fel, hogy ezeknek a Fourier transzformáltjai léteznek: A(f) és B(f). A két függvény konvolúciója definíció szerint:

C

 S   % Y # Y)Y =C

Eszerint a definíció szerint a konvolúciót úgy kell elvégezni, hogy az első függvényt helyben hagyjuk, a másodikat pedig az időtengely mentén visszafordítjuk, eltóljuk, majd a szorzatuk integrálját képezzük. Az eljárást a következő ábra szemlélteti.

A konvolúcióképzésnek van néhány fontos tulajdonsága. Kommutativitás: a(t)*b(t) = b(t)*a(t). Ennek bizonyításához használjuk a τ = t - u helyettesítést: C

 S   % Y # Y)Y =C

=C

C

 # %  # dd)d  % d # d)d   S  C

=C

Asszociativitás (bizonyítás nélkül):

 S " S $  " S $ S 

Fontos megismerni a konvolúció Fourier transzformáltját. Legyen ismét a két időfüggvényünk a(t) és b(t). Ezek Fourier transzformáltjai legyenek A(f) és B(f). Keressük, hogy mi lesz a(t) és b(t) konvolúciójának a Fourier transzformáltja. Segítségként először nézzük meg, mi lesz a két függvény szorzatának a Fourier transzformáltja. Jelölje a szorzat Fourier transzformáltját G(F). C

M;  % 4 =EJK, ) =C

Tudjuk, hogy b(t) a B(f) Fourier spektrum inverz Fourier transzformációjával kapható. Ezt felhasználva:

C

C

M;  %  e % fD4 EJF, )Dg 4 =EJK, ) =C

=C C C

 % %  fD4 EJF, 4 =EJK, )D) =C =C C C

 % e % 4 =EJK=F, )g fD)D =C =C C

 % h; # DfD)D  h; S f; =C

Tehát két időfüggvény szorzatának Fourier transzformáltja egyenlő a Fourier transzformáltak frekvencia tartománybeli konvolúciójával. Ezek után nézzük meg, mi lesz a két függvény időtartománybeli konvolúciójának a Fourier transzformáltja. Jelöljük ezt H(f)-el. C

C

N;  O\ S ]  % e %  # YY)Yg 4 =JK, ) C

C

=C =C

 % %  # YY 4 =JKZ 4 =JK,=Z )Y) =C =C

A t változó helyett vezessük be a λ = t – τ változót. ∞ ∞

∞ ∞ #2;Y #2;j #2;j N;  % % ijkY 4 4 )Y)j  % ijk 4 )j % Y4#2;Y )Y #∞ #∞

#∞

N;  h;fO

#∞

Tehát két időfüggvény konvolváltjának Fourier transzformáltja a Fourier spektrumok szorzata.

Ez után a kitérő után térjünk vissza a mintavételezéshez. Ott tartottunk, hogy a digitalizálást elvégző szorzat frekvencia tartományban a Dirac delta frekvencia spektrumának és a digitalizálandó függvény spektrumának a konvolúciója:

M c ;  O\bC 
]  bC ; S M;

A Dirac delta tulajdonságainál láttuk, hogy: C

1  bC ;  B V ; #  Y Y -=C

Ezt beírva az előbbi egyenletbe: M

c ;

C

1   B M ; #  Y Y -=C

Tehát a mintavételezés a spektrumot periódikussá teszi, az eredeti spektrumot 1/τ távolságonként megismétli. Ez megadja a τ mintavételi távolság választásának a szükséges és elégséges feltételét. A mintavételi távolságot úgy kell megválasztani, hogy a periódikus ismétlés következtében beismételt spektrumok ne fedjék át egymást. A következő ábra ezt érthetővé teszi:

Azt a felső frekvencia határt, mely felett a frekvencia spektrum nullának tekinthető, Nyquist frekvenciának nevezzük. A mintavételi távolságot úgy kell megválasztani, hogy

;mnopqr, s

1 2Y

legyen. Ez másszóval azt jelenti, hogy a mintavételi távolságnak olyan kicsinek kell lennie, hogy a legmagasabb frekvenciakomponensből is legalább két mintát vegyünk. Nem okoz torzulást, ha ennél kisebb mintavételi távolságot választunk, de felesleges, csupán a számítási időt növeli.

A periódikus spektrumot szorozzuk meg egy frekvencia tartománybeli origó középpontú,

τ

magasságú és 1/τ szélességű négyszögimpulzussal. Készítsük el ennek a szorzatnak az inverz Fourier transzformáltját. Már a korábbiakban láttuk, hogy a négyszögimpulzus Fourier transzformálja az 1/τ frekvenciájú sinus cardinális függvény. Először nézzük a szorzatot:

Yt;, YM c ;  M;

ami az eredeti függvény mitavételezés előtti frekvencia spektruma. Az inverz transzformáció után:


  O = \Yt;, YM c ;]

 1 , Y    , Y Y

ezek felhasználásával:

C


c Y  B
YV # Y


   u v S Y

-=C

∞

B

#∞


iYkV # Y

Itt egyrészt a sinus cardinális bevihető az összegzás alá, másrészt alkalmazható rá a Dirac delta eltólási tulajdonsága.

  # Y

   S V # Y    Y Y

C


  B
Y  #  Y -=C

Ez azt jelenti, hogy az eredeti függvényt úgy kapjuk vissza a digitalizált adat pontokból a t időnél, hogy az adatpontokra egy t-nél centrális helyzetű sinus cardinális függvényt helyezünk és az adatpontok helyén felvett értékével az adatokat megszorozzuk, majd összeadjuk. Ilymódon az eredeti függvény tetszőleges t időpontban visszaállítható.