Fourier Reeksen De kortste inleiding Een eindwerk door Stefanie Van der Sypt
FOURIER REEKSEN
Inhoud Fourierreeksen, een inleiding..................................................................................................................3 Fourierreeksen, praktisch........................................................................................................................4 Bepaling van de sinuscoëfficiënt ...................................................................................................4
Bepaling van de cosinuscoëfficiënt ..............................................................................................6 De testfunctie: eens kijken of het werkt… ..........................................................................................7 Uitbereiding van de periode ...............................................................................................................8 Fourierreeksen, bewijzen en zo ............................................................................................................10 De Dirichlet-condities ........................................................................................................................10 Het bewijs van Dirichlet ....................................................................................................................11 Half-bereik reeksen ...............................................................................................................................12 Over het nut van even en oneven functies .......................................................................................12 De even functie-uitbreiding ..............................................................................................................12 De oneven functie-uitbreiding ..........................................................................................................13 Het Gibbs fenomeen: een paradox? .....................................................................................................14 Fourierreeksen en geluid.......................................................................................................................15 Over Geluid........................................................................................................................................15 De Monochord van Pythagoras: een eerste experiment ..................................................................16 Mijn piano: een tweede experiment.................................................................................................18 Fourierreeksen en Pi .............................................................................................................................19 Het geluid van Pi................................................................................................................................20 Een besluit aangaande Fourierreeksen .................................................................................................21 Bronvermelding .....................................................................................................................................22
2
FOURIER REEKSEN
Fourierreeksen, een inleiding nleiding Jean-Baptiste Baptiste Joseph Fourier was een veelzijdig man. Hij zat een tijdje in de Bastille tijdens de Franse Revolutie; Revolutie hij ging met Napoleon naar Egypte en schreef de inleiding van het monumentale werk ‘Description de l’Egypte’; l’E hij hield zich bezig met de leeftijd van de aarde en gaf leiding aan stedenbouwkundige projecten. Zijn meest memorabele memorabele werk ligt echter op het domein van de wiskunde en de fysica. Na zijn terugkeer uit het warme Egypte had Fourier in Frankrijk het altijd koud. Hij verliet zijn huis niet meer zonder dat een bediende één of twee Figuur 1: Fourier extra jassen mee had, en toen hij ouder werd verliet hij gewoon zijn huis niet meer. Het hoeft dus geen verbazing te wekken dat Fourier vooral onderzoek deed naar warmte. Hij ontdekte het broeikaseffect, bestudeerde thermometers, en systemen voor centrale verwarming, en schreef “Théorie Analytique ue de la Chaleur”. Het was in dat laatste boek dat hij zijn wet voor de geleiding van warmte presenteerde: De Wet van Fourier.
‘De hoeveelheid warmte die tussen twee punten in een materiaal stroomt, is evenredig met het verschil in temperatuur tussen die punten punten en omgekeerd evenredig met de afstand ertussen’ Q is de warmtestroom, ∆TT is het temperatuursverschil, ∆x is de dikte van de laag waardoor aardoor geleiding plaatsvindt, A is de oppervlakte en K is een materiaalafhankelijke evenredigheidsconstante. Het minteken en geeft de temperatuurgradiënt aan: van warm naar koud. In zekere zin is deze wet het thermodynamische zusje van de Wet van Ohm voor de weerstand van een geleider. Met deze wet is een partiële differentiaalvergelijking te vinden, de zogenaamde warmteverge warmtevergelijking. In Fourier’s tijd bestond er geen algemene methode om oplossingen ervan te vinden. Er waren wel specifieke oplossingen bekend: dit waren de zogenaamde ‘eigenoplossingen’, waarvoor de in de vergelijking gebruikte warmtebron sinussinus of cosinusgolven geeft. Fourier had het geweldige idee om de andere oplossingen te beschouwen als superposities van de eigenoplossingen. Deze ‘superposities’ zijn oneindige sommen van sinussen en cosinussen. Fourier geloofde dat iedere periodieke functie benaderd kon worden n door een reeks sinussen en cosinussen. Hiermee zijn we (eindelijk) aanbeland bij het eigenlijke onderwerp van dit artikel: Fourierreeksen. ...the manner in which the author arrives at these equations is not exempt of difficulties and...his analysis to integrate them still leaves something to be desired on the score of generality and even rigor. rigor (Bespreking van Fouriers werk door o. a. Lagrange, Legendre en Laplace)
Toentertijd werd Fourier niet geloofd geloof door veel van zijn collega’s, omdat hij zijn theorieën ieën niet streng bewees. Tegenwoordig vinden we echter overal toepassingen van Fourierreeksen, van warmte en geluid tot kwantumfysica en medische beeldvorming!
3
FOURIER REEKSEN
Fourierreeksen, praktisch Een voorbeeld van een trigonometrische reeks –al voor Fourier bekend uit het werk van Euler- is deze:
Deze trigonometrische reeks ‘werkt’ enkel goed in het interval – .
Figuur 2: trigonometrische reeks
Fourier had, zoals eerder gezegd, het idee dat iedere periodische functie benaderd kon worden met een dergelijke reeks. Hij bedacht een soort ‘recept’ om de reeks van iedere periodische functie samen te stellen. De basisingrediënten zijn sinussen en cosinussen. Zoals te zien in de voorbeeldreeks, zijn die allemaal ook voorzien van een coëfficiënt. Deze coëfficiënten kunnen worden beschouwd als de hoeveelheid van elk ‘ingrediënt’ dat in onze reeks moet, en dat is verschillend per reeks die beschouwd wordt. Om de Fourierreeks-benadering van een functie te bepalen is het met andere woorden noodzakelijk om de coëfficiënten ervan te kennen, voor zowel de sinus- als de cosinustermen.
De sinuscoëfficiënt noemen we , de cosinuscoëfficiënt noemen we . We zullen deze nu allebei proberen te bepalen.
Dit deel heet ‘praktisch’ voor iets: we zullen proberen het eenvoudig te houden. Om de berekeningen handzaam te houden gebruiken we voorlopig de periode 2π. Later zullen we deze uitbreiden tot de algemene periode 2L. We beginnen met de sinussen.
Bepaling van de sinuscoëfficiënt
We zoeken dus . Hiervoor proberen we de functie f(x) zo goed mogelijk te benaderen met de functie . Een benadering is optimaal wanneer de oppervlakte tussen beide curven minimaal is. Een goede maat daarvoor is de volgende integraal:
&
'&
!" #$%
4
FOURIER REEKSEN Het kwadraat heeft hier tot doel de integraal positief te houden, zodat de geöriënteerde oppervlaktes niet tegen elkaar wegvallen. Deze integraal is minimaal wanneer de afgeleide van I naar gelijk is aan 0.
% % &
'&
% !" #$% '& % &
" % &
'&
" ( %
We passen hier de formules van Carnot toe om $ te vereenvoudigen.
" )* % '& &
&
'&
" %
&
'&
)* % '&
" %
&
'&
&
" %
&
'& &
'&
)* %
)* %
We rekenen de tweede integraal even apart uit… &
'&
&
'&
)* %
+
)* % + +
En als we die uitkomst terug in onze oorspronkelijke integraal invoeren krijgen we…
&
'&
" %
Om het minimum te bekomen stellen we dit gelijk aan nul. We vinden dan voor :
&
'&
" %
En daar hebben we dan de ‘hoeveelheid’ sinussen in een Fourierreeks! Ook voor de cosinussen werkt deze methode. 5
FOURIER REEKSEN
Bepaling van de cosinuscoëfficiënt
We zoeken op soortgelijke manier naar een coëfficiënt die de hoeveelheid cosinussen in de reeks aangeeft. We zoeken opnieuw naar het minimum van de volgende integraal…
&
'&
!" )* #$%
En opnieuw vinden we dat minimum met de afgeleide, nu naar .
% % &
'&
% !" )* #$% '& % &
" )* )* %
&
'&
)* " ,- ( %
Opnieuw de formules van Carnot…
)* " )* % '& &
&
'&
)* " %
&
'&
)* %
We rekenen de tweede integraal apart uit… &
'&
&
'&
)* %
+
)* % + +
We vullen dat in en vinden…
&
'&
)* " %
We stellen dit gelijk aan nul en vinden vervolgens de volgende uitdrukking voor :
&
'&
" )* %
Hiermee hebben we dan voor zowel de sinustermen als de cosinustermen de coëfficiënten gevonden. Nu willen we natuurlijk ook weten of dat onze formules werken. We laten ze los op een testfunctie. 6
FOURIER REEKSEN
De testfunctie: eens kijken of het werkt… Om na te kijken of onze formules een goede benadering geven, hebben we de testfunctie
" .)* ( .. /
Vooraleerst berekenen we de hoeveelheid sinussen .
0'& .)* . % & ( /
&
/
De functie f(x) is altijd positief op het interval – , dus we kunnen de absolute waardetekens weglaten. De functie
)* 1( 2 is een oneven functie. Ze is symmetrisch rond /
nul (want – is een interval symmetrisch rond de y-as).
de oorsprong. Dit heeft tot gevolg dat de integraal gelijk is aan
Hieruit kunnen we dus besluiten dat er in de Fourierreeks van onze testfunctie geen sinussen zitten. De cosinussen dan. Omdat we hiermee enkel tot doel hebben de effectiviteit van onze benadering aan te tonen, zullen we voor verdere berekeningen met de Testfunctie ons rekentoestel gebruiken. We zien op het rekentoestel dat de benadering van de vorm wel goed zit, maar dat de grafiek lager ligt dan de te benaderen functie. We moeten ons dus afvragen wat het probleem is met onze benadering. Vanuit de grafiek gezien lijkt het alsof er een constante term mist. dat er op het interval – exact evenveel onder als boven de x-as zit. Het gemiddelde van de functie op het interval is nul. Omdat de termen van de reeks allemaal gemiddelde nul hebben (het zijn cosinussen en sinussen), heeft het resultaat dat dus ook. Om onze benadering toch te doen kloppen, voeren we zoals verwacht een constante term in. Deze heeft als waarde exact het gemiddelde van de functie f(x) over
Dit fenomeen is eigenlijk niet verrassend. Wanneer we de grafiek een beetje beter bekijken, zien we
– .
,- 3 34 3456
&
'&
" %
We blijven deze tem natuurlijk niet “constante term” noemen… Want eigenlijk is hij gelijk aan /2 met 7. Logischerwijze wordt dat dan:
8
Voor onze testfunctie is deze term gelijk aan
&
'& ( . &
" % Wanneer we dat invoeren, zien we dat de
benaderende functie nu inderdaad op de goede hoogte zit. 7
FOURIER REEKSEN
Uitbereiding van de periode We weten nu wat de Fouriercoëfficiënten zijn van functies met periode 2π. Ons eigenlijke doel was het bepalen van deze coëfficiënten van willekeurige periodische functies. We gaan nu dus de periode veralgemenen. functiewaarden op het interval – 9 9 kennen.
We willen de functie f(x) met periode 2L benaderen. Deze functie is volledig bekend als we haar We definiëren een functie : ; " & ; . Het benaderen van f(x) op – 9 9 komt nu overeen met <
het benaderen van g(y) voor – . Van g(y) berekenen we de Fouriercoëfficiënten:
& 8 : ; %; '& & : ; ,- ; %; A '& ? & > > : ; ; %; '& = @ > >
Deze kunnen we ook uitdrukken met f(y). we vervangen de integratievariabele y door B . Zo vinden
we de constante term…
8 E
E De cosinuscoëfficiënt…
E
E
9
9
&
9 " C ;D %; '& &
" % 9 '< <
<
'<
" %
9 " ; ,- ; %; '& &
" ,- 1 2 % 9 9 '< <
" ,- 1 2 % 9 '< <
8
FOURIER REEKSEN En ten slotte ook de sinuscoëfficiënt!
E
E
9
9 " ; ; %; '& &
" 1 2 % 9 9 '< <
" 1 2 % 9 '< <
We hebben nu de algemene formule voor de Fourierreeks van een periodische functie met periode 2L. Deze ziet er in één stuk als volgt uit: G
8
F )* 1 2 1 2 9 9 H/
Nu kunnen we ons opnieuw een vraag stellen. Kunnen we hier nu werkelijk iedere periodische functie mee benaderen?
9
FOURIER REEKSEN
Fourierreeksen, bewijzen en zo Kunnen we iedere periodische functie een benaderende Fourierreeks vinden? En werkt de formule werkelijk altijd? Fourier dacht van wel. Veel van zijn tijdgenoten geloofde hem echter niet omdat hij zijn theorieën niet streng bewees. Bovendien kennen we allemaal een voorbeeld van een periodische functie die niet te benaderen is met een Fourierreeks: de goniometrische functie tan(x). Deze is periodische met periode π, maar toch kunnen we er geen Fourierreeks voor vinden.
Figuur 6: tangensfunctie
De Dirichlet-condities Pas in 1829, één jaar voor de dood van Fourier, gaf en bewees de Duitse wiskundige Johann Dirichlet de voorwaarden waaronder de Fourierreeks van een functie ook convergeert naar die functie. Ze worden de Dirichlet-condities genoemd.
– 9 9.
•
f(x) mag maximaal een eindig aantal discontinuïteiten hebben in het beschouwde interval
• •
F(x) moet periodisch zijn buiten het interval – 9 9 met periode 2L. Zowel f(x) als de afgeleide functie f’(x) moeten stuksgewijze gedefinieerd zijn op het interval
– 9 9.
‘Stuksgewijze gedefinieerd’ of ‘stuksgewijze continu’ betekent dat de linker- en rechterlimiet van de functie voor ieder punt (met uitzondering van de randpunten van het interval) gedefinieerd en eindig is. Deze condities geven ons meteen een verklaring voor het feit dat er geen Fourierreeks bestaat die de tangensfunctie benadert. Deze is wel periodiek, en op het interval I– ( ( J heeft ze & &
niet oneindig veel discontinuïteiten, maar ze is niet stuksgewijze continu.
De Fourierreeks van een functie die aan de Dirichlet-condities voldoet, convergeert naar…
• •
" , als de functie continu is in dat punt K LM8 MK L'8 als (
de functie discontinu is in dat punt.
" 7 en " 7 zijn respectievelijk de rechter- en linkerlimiet van de functie in de discontinuïteit. Op de discontinuïteit gaat de Fourierreeks naar de gemiddelde waarde van die limieten. 10
FOURIER REEKSEN
Het bewijs van Dirichlet Dirichlets bewijs voor de voorwaarden en de convergentie valt buiten het bestek van dit artikel, maar we kunnen wel kort weergeven hoe het was opgebouwd. Het bestond eigenlijk uit drie grote delen. Ten eerste toonde hij aan dat er voor iedere functie die aan de voorwaarden voldoet een trigonometrische polynoom -een som van goniometrische functies dus- bestaat die de functie willekeurig dicht benadert. Vervolgens toonde hij aan dat er een optimale benadering mogelijk is: één trigonometrische polynoom benadert de functie beter dan alle andere. En tot slot bewees hij dat deze optimale benadering overeenkomt met de Fourierreeks van de functie, wanneer het aantal termen naar oneindig gaat.
11
FOURIER REEKSEN
Half-bereik reeksen Over het nut van even en oneven functies Voordat er kan worden uitgelegd wat half-bereik reeksen zijn, is het noodzakelijk dat het concept (on)even functie wat wordt verduidelijkt. Even en oneven functies zijn respectievelijk symmetrisch rond de y-as en de oorsprong. Ze worden als volgt gedefinieerd. Oneven functie: " "
Even functie: " "
Door hun mooie symmetrie zijn even en oneven functies vrij eenvoudig om mee te werken. Voor wat betreft integralen geldt bijvoorbeeld: Voor oneven functies: 0'< " % 7 <
Voor even functies: 0'< " % 08 " % <
<
Voor producten gelden de volgende regels:
4N4 O 4N4 4N4
- 4N4 O 4N4 - 4N4 - 4N4 O - 4N4 4N4
Terug naar de titel. Half-bereik slaat op functies die zijn gedefinieerd over een half interval. Voor een Fourierreeks heb je, zoals bekend, een heel interval nodig, dus op zich kan men van deze functies geen reeksontwikkeling uitwerken. Het is echter mogelijk om een functie uit te breiden, door voor de andere helft van het gevraagde interval er een aanhangsel bij te bedenken. Dit mag in principe iedere functie zijn die voldoet aan de Dirichlet-condities. Om de berekeningen eenvoudig te houden doet men hiervoor een beroep op -jawel- even en oneven functies. Ze zijn eenvoudig om mee te rekenen, en hun gebruik vereenvoudigt de Fourierreeks enorm. We zullen nu bekijken wat het effect is van zowel de even als de oneven functie-uitbreiding.
De even functie-uitbreiding
Stel dat we een functie ; " hebben, gedefinieerd op het interval !7 9#. We breiden haar uit door te eisen dat " " Zo bekomen we het symmetrische interval ! 9 9#. De Fouriercoëfficiënten hiervan zijn dan:
< < @ 8 " % " % 9 '< 9 '< > > < " ,- 1 2 % 9 9 '< 9 ? < > > " 1 2 % 7 9 '< 9 =
<
8
" ,- 1 2 % A 9
12
FOURIER REEKSEN Door toepassing van de eerder geziene regels voor even en oneven functies zijn de coëfficiënten vereenvoudigd. We zien ook dat er in de reeks geen sinustermen zitten. Dit is een algemeen verschijnsel voor even functies: denk maar aan de Testfunctie. Dit geldt dus niet alleen voor functies met ‘aanhangsels’. We noemen de Fourierreeks dan een cosinusreeks. De reeksontwikkeling is de volgende:
"
G
8
F ,- 1 2 9 H/
De oneven functie-uitbreiding
We nemen dezelfde situatie als bij de even uitbreiding, alleen eisen we nu dat " " De Fouriercoëfficiënten zijn dan:
< 8 " % 7 9 '< < A " ,- 1 2 % 7 9 '< 9 ? < > < > " 2 % " 1 2 % 1 9 '< 9 9 8 9 = @ > >
Niet onverwacht ontbreken nu de cosinustermen uit de reeks. In overeenstemming met de even uitbreiding noemen we deze reeks een sinusreeks. G
" F 1 2 9 H/
De bekomen reeksen noemen we half-bereik reeksen. We stelden al eerder dat ze vooral een praktisch nut dienen omdat ze het werken met asymmetrische intervallen eenvoudiger maken.
13
FOURIER REEKSEN
Het Gibbs fenomeen: een paradox?
Figuur 7: Gibbs fenomeen
In het voorgaande deel hadden we het over de convergentie van Fourierreeksen. We zagen de voorwaarden waaronder een functie convergeert, en we zagen eveneens naar wat ze dan precies convergeert. Voor functies met discontinuïteiten was convergentie ook mogelijk, dankzij het principe van stuksgewijze continuïteit. Wanneer we echter een discontinuïteit eens van dichtbij bekijken, zien we dat die convergentie eigenlijk niet zo vlot verloopt. Hoeveel termen we ook nemen, de reeks blijft ‘pieken’ vertonen ter hoogte van de discontinuïteit. Dit fenomeen staat bekend als het Gibbs- fenomeen.
De pieken in kwestie worden ‘overshoot’ en ‘undershoot’ genoemd, of boven- en ondersprong. Het fenomeen werd eigenlijk ontdekt door Albert Michelson, die Fourierreeks-benaderingen tekende met een mechanisch apparaat. Hoeveel termen hij ook invoerde, ter hoogte van de discontinue punten bleef de machine een piek tekenen. Hij weet de vreemde pieken aan dat apparaat, en realiseerde zich niet dat het om een wiskundig fenomeen ging. Uiteindelijk was het Josiah Willard Gibbs die de ‘ware aard’ van het fenomeen ontdekte. De over- en undershoot zijn samen even groot als zo’n 18% van het verschil van de linker- en rechterlimiet in de discontinuïteit. Dit is altijd zo, onafhankelijk van de beschouwde functie. Het Gibbs fenomeen heeft te maken met hoe je convergentie definieert. Het lijkt paradoxaal; enerzijds hebben we bewezen dat de reeks naar de functie convergeert, maar anderzijds nemen we wel een rare piek waar, die niet verdwijnt naarmate er meer termen zijn! Net zoals bij de Dirichletcondities, waar we “continu” anders definieerden dan gewoonlijk, is het mogelijk om convergentie op verschillende manieren te definiëren. We zullen kort twee begrippen uitleggen: • •
Puntsgewijze convergentie: de limiet van de partieelsommen van de Fourierreeks van f(x) convergeert voor iedere x naar f(x). Uniforme convergentie: de limiet van het absolute verschil tussen de reeks en de functie f(x) gaat naar nul.
Beide begrippen zijn niet heel erg voor de hand liggend, maar het is vast wel duidelijk dat puntsgewijze convergentie een iets soepelere definitie heeft dan uniforme convergentie. De Fourierreeks is puntsgewijze convergent, maar niet uniform: voor iedere x gaat de limiet naar de functie toe, maar door de under-en overshoot gaat het absolute verschil tussen de reeks en de functie niet naar nul.
14
FOURIER REEKSEN
Fourierreeksen en geluid Over Geluid In het woordenboek vinden we de volgende definitie van het begrip geluid:
1) datgene wat met het gehoororgaan kan worden waargenomen (perceptie) 2) het fysische verschijnsel van zich in een medium voortplantende elastische golven. De woordenboekdefinitie is niet van bijster groot belang, maar ze zet ons op het juiste spoor omtrent de aard van geluid. “Zich in een medium voortplantende elastische golven” , dat gaat over trillingen. Een betere beschrijving van geluid is verandering van (lucht) druk met de tijd. Dit levert ons geluid als functie van de tijd. Maar geluid is dus een trilling, en een trilling is een bron van golven… en toevallig is er nu net een soort golven waar we al eerder mee in aanraking kwamen, met name sinusgolven. We zoomen even in op een standaard sinusgolf om enkele belangrijke begrippen te verduidelijken.
amplitude A = golfhoogte; golflengte λ = afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen; frequentie f = aantal toppen die een gegeven punt per tijdseenheid passeren; periode T =
/ K
= tijd tussen twee
opeenvolgende golftoppen die een gegeven punt passeren;
golfsnelheid v =
P Q
= snelheid
waarmee de golftoppen voortbewegen.
zich
De frequentie f wordt uitgedrukt in Hertz (Hz). Ze bepaalt de toonhoogte van het geluid. Hoe hoger de frequentie, hoe hoger het geluid. De standaard sinusgolf heeft het volgende voorschrift:
; R S3 T
Hierbij is S gelijk aan " of UV . Het symbool T staat voor de beginfase; het punt op de curve waar je nulpunt gesitueerd ligt. Op de tekening is dit gewoon gelijk aan nul.
15
FOURIER REEKSEN
De Monochord van Pythagoras: een eerste experiment Buiten zijn beroemde stelling (die hij misschien niet eens zelf heeft bewezen) heeft Pythagoras nog andere verdiensten. Hij deed namelijk ook onderzoek naar toonafstanden en muziek. Hij gebruikte hier een eenvoudig instrument voor, bestaande uit slechts één snaar, aan beide uiteinden vastgemaakt. Dit noemt men een monochord. Dit instrument leent zich goed voor ons onderzoek, en daarom hebben we er ook maar eentje gemaakt; zij het een primitief exemplaar. Tussen de twee bevestigingspunten kan de snaar trillen in verschillende ‘trillingsmodes’. Al deze modes hebben een eigen frequentie. De eerste mode is de traagste, deze geeft ook de laagste toon. Dit is de grondtoon, met frequentie "8 . De andere modes zijn allemaal veelvouden van de grondtoon. We noemen ze de harmonieken of harmonischen van "8 . Wanneer we die trillingsmodes eens van dichterbij bekijken op onze monochord, ziet dat er ongeveer uit als volgt, geschikt van laag naar hoog:
Figuur 9: trillingsmodes
De ‘stabiele’ punten, die we hebben aangegeven met een rood punt, noemen we de knopen van de golf. De uitwijkende gebieden zijn de buiken. Het verband met de veelvouden is als volgt: de W-de trillingsmode heeft W buiken, en veroorzaakt een toon met frequentie W"8 . Tot zover de theorie. Als we onze monochord aanslaan, trilt de snaar niet in exact één van de voorgenoemde trillingsmodes. Ze trilt in verschillende modes tegelijkertijd. En dat brengt ons (eindelijk) terug bij het onderwerp waarmee we zijn vertrokken: Fourierreeksen. De Fouriercoëfficiënten van de geluidsfunctie f(t) komen overeen met het aandeel van iedere harmoniek in de functie. We kunnen de formules die we eerder zagen voor de coëfficiënten ‘aanpassen’ zodat we de specificaties van de geluidgolf er beter in kunnen invullen. Dat komt er dan, voor periode als volgt uit te zien:
8 & @ " % S3 '& > > & " )* S3 % S3 A '& ? & > > " S3 % S3 '& = 16
FOURIER REEKSEN In golftermen gesproken bereken je met de coëfficiënten eigenlijk de amplitudes van de samenstellende sinusgolven. Deze bepalen hoezeer een bepaalde toon doorklinkt in het eindresultaat –dat is, hetgeen dat uiteindelijk je oor bereikt. De verhouding van de verschillende coëfficiënten bepaalt de klankkleur van de toon. Er bestaan een massa verschillende synoniemen voor; toonkarakter, timbre, klanktint, stemkleur,… Het komt er uiteindelijk op neer dat klankkleur datgene is dat ervoor zorgt dat een la op een viool niet hetzelfde klinkt als een la op een fagot. Het geeft een instrument zijn typische klank. Deze typische klank kan worden weergegeven in de vorm van een frequentiespectrum. Dit geeft grafisch het aandeel van de verschillende harmonieken in de uiteindelijke klank weer. Het is ook een alternatieve manier om een functie weer te geven: als de samenstellende harmonieken gekend zijn, is de functie zelf immers ook volledig bekend.
Figuur 10: frequentiespectrum
Terug naar onze monochord. Als we de snaar in het midden aanslaan, trillen alleen de oneven modes mee. Aan één van de uiteinden van de snaar trillen alle modes mee. Dit kunnen we ook afleiden uit de figuur; de oneven modes hebben in het midden buiken, de even modes hebben daar een knoop. Aan het uiteinde wordt voor alle modes een buik aangeslagen. Dit geeft een verschil in klank (althans in theorie, aangezien onze monochord geen klankkast heeft is het vrij moeilijk te horen): de “midden”-toon klinkt warmer, en minder schel dan de “volledige” toon. Hiervan wordt gebruik gemaakt bij alle tokkelinstrumenten; zo bestaat er bijvoorbeeld de flageolettechniek waarmee de muzikant bepaalde modes kan laten meetrillen of juist niet. Zo kan hij de klankkleur variëren. “Harmonieken” is eigenlijk een beetje een noodlottige naamkeuze voor de samenstellende sinusgolven. Lang niet alle harmonieken klinken namelijk mooi samen. Zo is er bijvoorbeeld de zevende harmoniek van de grondtoon, die ronduit vals klinkt in combinatie met de grondtoon. Hierop is ingespeeld bij de bouw van veel tokkelinstrumenten waarbij de zevende harmoniek vrijwel niet aanwezig is in het frequentiespectrum.
17
FOURIER REEKSEN
Mijn piano: een tweede experiment Ik heb toevallig de beschikking over een piano. Een piano is een snaarinstrument, dus in feite is het een perfect proefobject om de theorie van Fourierreeksen op los te laten. Bovendien hebben piano’s per definitie een klankkast, waardoor de effecten die we proberen aan te tonen beter hoorbaar worden in het algemeen. We duwen één toets naar beneden, zodanig dat de hamer de snaar niet raakt, maar de demper wel wordt opgeheven. De snaar kan nu vrij trillen, hoewel ze niet wordt aangeslagen. We luisteren goed en slaan ondertussen “random” andere toetsen aan, kort en hard. We horen de vrije snaar bij sommige toetsen “meezingen”: ze resoneert. Dat houdt in dat ze meetrilt met de andere aangeslagen snaren. Resonantie is een verschijnsel dat enkel optreedt wanneer de aangeslagen snaar trilt met een veelvoud van de eigenfrequentie van de vrije snaar. Dit fenomeen treedt met andere woorden op bij (in het geval van een vrije la-snaar) alle veelvouden van 440 Hz. De grondtoon resoneert wanneer haar harmonieken worden aangeslagen. Ook andere, misschien onverwachtere resonanties treden op: wanneer de mi-snaar vrij is (330 Hz), zal het aanslaan van de la-snaar resonantie veroorzaken: de snaren delen namelijk een boventoon van 1320 Hz. Het systeem van de resonantiesnaar is niet alleen interessant; sommige snaarinstrumenten, zoals de Sitar maken er ook echt gebruik van. Ook onze piano heeft daar de mogelijkheid toe: daarvoor dienen de pedalen. Door de rechterpedaal in te duwen, worden in één keer alle dempers van de snaren getild, tijdens het pianospelen. Dit veroorzaakt een indrukwekkende nagalm die goed van pas komt bij het spelen van dramatische stukken.
18
FOURIER REEKSEN
Fourierreeksen en Pi Tot zover enkele vooral natuurkundige toepassingen van Fourierreeksen. Fourierreeksen zijn echter meer dan een handig hulpmiddel in de fysica. Ze hebben ook puur wiskundige toepassingen. Zo is er bijvoorbeeld een interessant bewijs van een reeksontwikkeling van het getal . We nemen de volgende functie:
" X
Y Z [ 7A Y 7 Z Z
Dit is een blokgolf die er als volgt uitziet: Het is een oneven functie, dus we weten op voorhand al dat er geen cosinustermen in de reeks zitten. We berekenen enkel . Deze coëfficiënt wordt 7 als even is, en U als oneven is. We krijgen aldus ene reeks met alleen maar oneven coëfficiënten.
" \ ] ^ \ ] ^
Nu is er een interessant verband tussen goniometrische functies en het getal . Wanneer we nu & invullen (
in deze reeks, worden de sinussen afwisselend gelijk aan 1 en -1, zodat we het volgende
verkrijgen:
Dan nog delen door vier…
C D \ ] ^ \ ] ^
En we hebben zowaar een reeksontwikkeling voor !
Er zit wel een bepaald nadeel aan deze reeksontwikkeling. Het duurt namelijk enorm lang voordat je ook maar een klein beetje in de buurt van komt… Je hebt al zo’n honderdduizend termen nodig voordat je vijf decimalen juist hebt…
19
FOURIER REEKSEN
Het geluid van Pi We legden het verband tussen Fourier en geluid, het verband tussen Fourier en pi… zou er misschien een manier zijn om een verband te trekken tussen pi en geluid? De functie die ons in de vorige paragraaf een reeksontwikkeling voor pi opleverde, had evengoed de functie van een geluidssignaal kunnen zijn! We kunnen dus in principe het geluid van het getal pi laten horen… & (
Met een applet benaderden we de pi-blokgolf zo goed mogelijk. Vervolgens vulden we als frequentie in… en ziedaar: pi maakt lawaai! Heel erg muzikaal was ons bijzondere getal niet –het monotoon
gepiep werkte iedereen op zijn zenuwen- maar leuk was het wel.
Figuur 12: Fourier Applet
Dit gewoon als kleine illustratie van de bijzonder interessante zaken die gedaan kunnen worden met Fourierreeksen.
20
FOURIER REEKSEN
Een besluit aangaande Fourierreeksen Het mag duidelijk zijn: Fourierreeksen zijn geweldig; bovendien zijn ze o-ver-al. Elk periodiek verschijnsel, of dat nu een geluidsgolf, een ventilator of mijn maandelijks ongemak is, heeft wel een Fourierreeks-ontwikkeling. Het is een prachtige illustratie van het feit dat wiskunde echt wel overal aanwezig is. Zodra je erop begint te letten -en echt, als je een jaar lang ermee bezig bent, doe je datkan je er gewoon niet meer naast kijken. Ik heb nauwelijks meer gedaan dan een tipje van de sluier oplichten wat betreft de techniek en de ontelbare toepassingen van Fourierreeksen. Ik hoop alleen dat de volgende keer dat je op een schommel zit in de speeltuin, een muziekinstallatie bedient, de merengue danst of onder de scanner moet in het ziekenhuis, je dan even denkt aan Fourierreeksen…
21
FOURIER REEKSEN
Bronvermelding DE SMIT, B., en TOP, J.,Speeltuin van de wiskunde. Opties, kansspelen, Escher, pi, Fermat en meer. 5de druk, Veen Magazines/Natuurwetenschap en Techniek, 2006, 139 blz. DEVOS, R. en EERLINGEN, K., Inleiding tot de industriële elektronica. , 6de herwerkte druk, De Sikkel en J. Van In, 1991, 805 blz. PICKOVER, C., De natuurwetten. Van Archimedes tot Hawking., 1ste druk, VBK Media, 2010, 511 blz. PICKOVER, C., Het Wiskundeboek, 1ste druk, Librero Nederland, 2010, 528 blz. THOMAS, G.B., FINNEY, R.L., WEIR, M.D., en GIORDANO, F.R., Thomas’ Calculus, 10de editie, Addison Wesley Publishing Company, 2000, 1256 blz. SPIEGEL, M.R., Schaum’s Outline of theory and problems of advanced mathematics for engineers and scientists., 25ste druk, Mc Graw-Hill Books Company, 1980, 407 blz. Fourier Series Applets: http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=17 http://www.falstad.com/fourier/ Wikipedia-pagina’s: http://nl.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier http://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Fourier http://nl.wikipedia.org/wiki/Fourierreeks http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_series
22
