Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Reeksen Definitie, notatie en voorbeelden
Definitie: Een reeks is een koppel {un }n≥l , {sn }n≥l met n sn = uk = ul + ul+1 + ul+2 + . . . + un−1 + un k=l
ul = sl , un = sn − sn−1 , n = l + 1, l + 2, . . . {un }n≥l noemt men de termenrij, {sn }n≥l de rij van partieelsommen van de reeks. ∞ Notatie: un = ul + ul+1 + ul+2 + . . . n=l
Voorbeelden:
•
De harmonische reeks:
∞
1 n
=1+
1 2
+
1 3
+
1 4
+ . . ., {sn }n≥1 = 1, 32 ,
11 25 , ,... 6 12
n=1
•
De harmonische wisselreeks:
∞
(−1)n+1 n
=1−
1 2
+
1 3
−
1 4
+ . . .,
n=1
{sn }n≥1 = 1, 21 , 56 ,
•
7 ,... 12
De meetkundige reeks met reden q: sn q sn
= =
∞
q n , sn =
n=0
1 + q + q2 + . . . + qn q + q 2 + q 3 + . . . + q n+1
1 − q n+1 want 1−q
=⇒ sn (1 − q) = 1 − q n+1
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergente reeksen Deelreeksen
Definitie: Als {ukn } een deelrij is van {un } dan is n ukn een deelreeks van k uk . ∞ (−1)n+1 heeft deelreeksen Voorbeeld: De harmonische wisselreeks ∞ n=1 un = n=1 n ∞ ∞ 1 1 1 = n=0 u2n+1 n=0 2n+1 = 1 + 3 + 5 + . . . en ∞ −1 ∞ 1 1 1 = n=1 u2n n=1 2n = − 2 − 4 − 6 − . . . Meer algemeen spreken we over de deelreeksen van de positieve (negatieve) termen van een gegeven reeks en noteren die als u , resp. (∞) k (∞) uk waarbij k∈Jpos
(n) Jpos
= {k | k ∈ N, k ≤ n, uk ≥ 0} en
(n) Jneg
k∈Jneg
= {k | k ∈ N, k ≤ n, uk < 0}
Convergente en divergente reeksen ∞
un is convergent als lim sn = s ∈ R. s noemen we de som van de reeks n→∞ ∞ ∞ en we noteren s = un . un is divergent als de rij {sn }n≥l niet convergeert.
Definitie:
n=l
n=l
Voorbeeld:
∞ n=0
qn =
n=l
lim
n→∞
1 − q n+1 1 = als |q| < 1 1−q 1−q
divergeert als |q| ≥ 1
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Een nodige en voldoende voorwaarde voor convergentie Convergente en divergente reeksen Voorbeeld:
∞
n=1
n q n−1 = lim
n→∞
1 − (n + 1)q n + n q n+1 1 = als |q| < 1 2 (1 − q) (1 − q)2
Het convergentiecriterium van Cauchy Stelling:
∞
un is convergent a.s.a. ∀ > 0, ∃N zodanig dat ∀m ≥ n ≥ N geldt: |un + un+1 + · · · + um | <
n=l
Bewijs:
∞
un conv. ⇐⇒ {sn }n≥l conv. ⇐⇒ {sn }n≥l is een Cauchy–rij, m.a.w.
n=l
∀ > 0 , ∃N zodanig dat ∀m ≥ n ≥ N geldt: Gevolg:
∞
|sm − sn−1 | < |un + un+1 + · · · + um | <
un is divergent a.s.a. ∃ > 0, zodanig dat ∀N, ∃m, n ≥ N met
n=l
Toepassing: De harmonische reeks
∞ n=1
|un + un+1 + · · · + um | ≥ 1 is divergent want ∃ = 12 , zodanig dat ∀N, n
∃n = N + 1, m = 2N met |un + un+1 + · · · + um | =
1 N+1
+
1 N+2
Reeksen
+ ... +
1 2N
1 ≥ N 2N
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentie criteria Nodige maar niet voldoende voorwaarden voor convergentie •
Als
∞ n=l
un convergeert dan geldt dat lim un = 0 n→∞
Bewijs: Uit het convergentiecriterium van Cauchy volgt dat ∀ > 0, ∃N zodanig dat ∀m = n ≥ N geldt: |un + un+1 + · · · + um | = |un | < Gevolg: Als lim un = 0 divergeert de reeks. n→∞ ∞ n Voorbeeld: De meetkundige reeks n=0 q divergeert als |q| ≥ 1.
•
Opgelet: De voorwaarde lim un = 0 is niet voldoende voor convergentie. n→∞ ∞ 1 1 Voorbeeld: De reeks n=1 n divergeert en toch geldt limn→∞ n = 0 ∞ Als un convergeert dan zijn de rijen {un }n≥l en {sn }n≥l begrensd. n=l
Gevolg: Als {sn }n≥l niet begrensd is, divergeert de reeks. ∞ 1 √1 divergeert want sn = 1 + √ Voorbeeld: + ... + n=1 n 2
√1 n
≥
n √ n
=
√
n
Opgelet: De begrensdheid van {sn }n≥l is niet voldoende voor convergentie. ∞ n+1 divergeert en {s } Voorbeeld: n n≥l = 1, 0, 1, 0, 1, . . . is begrensd n=0 (−1)
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Voorwaardelijke en absolute convergentie Definities en voorbeelden Stelling: Als
∞
|un | convergeert, convergeert ook
n=l
∞
un
n=l
Bewijs: Uit het convergentie criterium van Cauchy volgt dat ∀ > 0, ∃N zodanig dat ∀m ≥ n ≥ N geldt |un | + |un+1 | + · · · + |um |
< ⇓ <
|un + un+1 + · · · + um |
∞ ∞ Definities: Als |un | convergeert, noemt men un absoluut convergent. ∞ ∞ ∞ n=l n=l Als un convergeert, maar |un | divergeert, noemt men un voorwaardelijk n=l
n=l
convergent.
n=l
Voorbeeld: Elke convergente meetkundige reeks (|q| < 1) is absoluut convergent. ∞ ∞ (−1)n 1 1 1 2 , = = =2 = 1 1 n n 2 3 2 1 − (− ) 1 − 2 2 n=0 n=0 Voorbeeld: De harmonische wisselreeks
∞ (−1)n+1 is voorwaardelijk convergent n n=1
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Voorwaardelijke en absolute convergentie Convergentie/divergentie van de deelreeksen Beschouw
∞
un met de deelreeksen
n=l
uk =
∞
vn en
n=1
(∞) k∈Jpos
uk =
∞
wn .
n=1
(∞) k∈Jneg
De deelreeks met de positieve termen convergeert (divergeert) als limn→∞ nk=1 vk = v > 0 (∞). De deelreeks met de negatieve termen convergeert (divergeert) als limn→∞ nk=1 wk = w < 0 (−∞). ∞ ∞ un en |un | beschouwen we de limieten Voor het convergentieonderzoek van lim sn = lim
n→∞
n→∞
lim Sn = lim
n→∞
limn→∞ sn w -∞
n
n→∞
k=l n k=l
v v+w -∞
n=l
uk = lim
n→∞
uk +
(n) k∈Jpos
|uk | = lim
n→∞
∞ ∞ ∞−∞
n=l
uk , resp.
(n) k∈Jneg
uk −
(n) k∈Jpos
uk
(n) k∈Jneg
limn→∞ Sn w -∞
v v-w ∞
∞ ∞ ∞
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Voorwaardelijke en absolute convergentie Besluiten en voorbeelden •
•
•
Een reeks convergeert absoluut a.s.a. de deelreeksen met positieve en negatieve termen beide convergeren. Voorbeeld: ∞ ∞ (−1)n 1 = = = 23 = v + w n=0 un n=0 2n 1−(− 12 ) ∞ ∞ 1 1 1 1 1 1 = n=0 |un | n=0 2n = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + . . . = 2 = v − w ∞ 1 1 1 4 1 = 1 + 14 + 16 + 64 + ... = ∞ n=1 vn n=0 4n = 1− 1 = 3 = v 4 ∞ 1 = − 12 − 18 − 32 − . . . = (− 21 ) v = − 23 = w n=1 wn Als een reeks voorwaardelijk convergeert, divergeren beide deelreeksen. ∞ (−1)n+1 ∞ Voorbeeld: = = log(2) n=1 un n=1 n ∞ ∞ 1 = n=1 |un | n=1 n divergeert ∞ 1 = 1 + 13 + 15 + . . . = ∞ n=1 vn n=0 2n+1 divergeert ∞ = (− 12 )(1 + 12 + 13 + . . .) divergeert n=1 wn Als ´ e´ en deelreeks convergeert en de andere divergeert, divergeert de reeks. Voorbeeld: 1 − 1 +
1 2
−
1 2
+
1 4
−
1 3
+
1 8
−
1 4
+
1 16
−
1 5
+
Reeksen
1 32
− ...
Machtreeksen en Taylorreeksen
Het Cauchy–product van twee reeksen Definitie en stelling Definities: De reeks
∞
wn met wn =
n=0
n
uj vn−j = u0 vn + u1 vn−1 + . . . + un v0
j=0
noemt men het Cauchy–product van de reeksen ∞
Verklaring:
∞
∞
un en
n=0
∞
vn .
n=0
(u0 + u1 + u2 + . . .) (v0 + v1 + v2 + . . .) u0 v0 + u0 v1 +u0 v2 +u0 v3 + . . . +u1 v0 +u1 v1 +u1 v2 + u1 v3 + . . . +u2 v0 +u2 v1 + u2 v2 + u2 v3 + . . . +... = w0 + w1 +w2 +w3 + . . . = ∞ n=0 wn ∞ ∞ Stelling: Als n=0 un absoluut convergeert met som s en n=0 vn absoluut convergeert met som t, dan convergeert ook ∞ n=0 wn absoluut met som s t. n=0 un
n=0 vn
= =
Voorbeeld: We berekenen ∞ n van de absoluut convergente het Cauchy–product n en n n (−q) meetkundige reeksen ∞ n=0 n=0 q . Hier is un = (−q) , vn = q en n n n j n−j = q n j wn = j=0 uj vn−j = j=0 (−q) q j=0 (−1) ∞
w2n
= =
wn
=
n=0
q n (1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)n ) q 2n , w2n+1 = 0 ∞ ∞ ∞ 2 n n=0 (q ) = n=0 w2n+1 = n=0 w2n +
1 1−q 2
=
1 1 1+q 1−q
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten Het Cauchy–product bij voorwaardelijke convergentie Opgelet: De stelling is niet algemeen geldig bij voorwaardelijk convergente reeksen. ∞ (−1)n √ met zichzelf is Voorbeeld: Het Cauchy-product van de convergente reeks n+1 n=0 een divergente reeks, want lim wn = 0, nl. n→∞
wn
=
w2n
=
n
(−1)j (−1)n−j √ √ j=0 j+1 n−j+1
√ 1 2n+1
+
√ 1√ 2 2n
, w2n =
+ ...
2n j=0
1√ √ n+1 n+1
√1 √ j+1 2n−j+1
+ ... +
√ 1 2n+1
≥
2n+1 n+1
≥1
Convergentietesten bij reeksen met positieve termen (1) De vergelijkingstest (2) De integraaltest (3) De verhoudingstest (criterium van d’ Alembert) (4) Het klein–criterium van Cauchy (5) De convergentietest van Raabe
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De vergelijkingstest Stelling: Als ∃N zodanig dat ∀n ≥ N geldt dat 0 ≤ un ≤ vn , dan ∞ ∞ vn convergeert =⇒ un convergeert n=l
∞ n=l
n=l
un divergeert
=⇒
∞
vn divergeert
n=l
Een reeks met een convergente majorante convergeert zelf ook, een reeks met een divergente minorante divergeert zelf ook. ∞ 1 Voorbeeld 1: De reeks n=1 2n −1+sin2 n3 convergeert want ∀n ≥ 1 geldt dat ∞ ∞ 1 n 1 1 1 1 0 ≤ 2n −1+sin =2 2 n3 ≤ 2n −1 ≤ 2n−1 en n=1 2n−1 = n=0 2 ∞ 1 Voorbeeld 2: De reeks n=2 log n divergeert want ∀n ≥ 2 geldt dat 1 0 < log n < n =⇒ 0 < n1 < log1 n en de harmonische reeks ∞ n=1 n divergeert. ∞ 1 Voorbeeld 3: De reeks n=0 2n+1 divergeert want ∀n ≥ 0 geldt dat 1 1 1 1 ∞ 1 0 < 2n+2 < 2n+1 en de reeks ∞ n=0 2n+2 = 2 n=1 n divergeert.
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De integraaltest Stelling: Zij f (x) ≥ 0 en dalend op [1, ∞) en zij un = f (n), dan convergeert de reeks ∞ ∞ n=1 un a.s.a. de oneigenlijke integraal 1 f (x) dx convergeert. n+1 ∞ Bewijs: We beschouwen de reeks f (x) dx n=1 vn met vn = n ∞ ∞ • n=1 vn convergeert a.s.a. 1 f (x) dx convergeert ∞ r conv eindig ⇐⇒ lim f (x) dx f (x) dx div oneindig r →∞ 1 1
n eindig lim f (x) dx oneindig n→∞ 1
∞ conv eindig ⇐⇒ lim v1 + v2 + . . . + vn−1 vn div oneindig n→∞ n=1 ∞ • ∞ n=1 un convergeert a.s.a. n=1 vn convergeert, want f (x) is dalend: n+1 n
f (n + 1)
≤ ≤
f (x) n+1 f (x) dx n
f (n + 1) dx 0 ≤ un+1
≤ ≤
f (n) , ∀x ∈ [n, n + 1] n+1 f (n) dx n
≤
vn
≤
un
en toepassen van de vergelijkingstest.
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De integraaltest: toepassingen •
•
∞ 1 convergeert voor elke vaste p > 1 en divergeert voor np n=1 elke vaste p ≤ 1, verwijzend naar 1∞ x1p dx. ∞ 1 1 Voorbeelden: De reeks ∞ n=1 n2 is convergent, de reeksen n=1 n en ∞ 1 √ zijn divergent. n=1 n Meer algemeen, als un ∼ ncp , n → ∞, dan convergeert de reeks un a.s.a. p > 1. ∞ 1 convergeert voor elke vaste p > 1 en divergeert voor De reeks p log n n n=2 elke vaste p ≤ 1.
De Dirichlet reeks
Bewijs: Als p > 1 convergeert de Dirichlet reeks en ∀n ≥ 3 geldt dat De reeks
∞
0<
1 n=2 n log n
1 np log n
<
1 np
divergeert want limr →∞
r
dx 2 x log x
= ∞.
Ook voor p < 1 divergeert de reeks want ∀n ≥ 1 geldt dan dat 0<
1 n log n
<
1 np log n
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De verhoudingstest, niet–limietvorm
Stelling: Gegeven de reeks ∞ n=l un met un > 0, ∀n ≥ l. Als ∃s ∈ (0, 1) en ∃N u zodanig dat ∀n ≥ N geldt dat n+1 ≤ s dan convergeert de reeks. Als ∃N zodanig dat u ∀n ≥ N geldt dat
un+1 un
n
≥ 1 dan divergeert de reeks.
Bewijs: (a) divergentie: ∀n ≥ N geldt
un+1 un
(b) convergentie: ∀k ≥ 1 geldt ⎫ uN+1 ≤ s ⎪ uN ⎪ ⎪ uN+2 ≤ s ⎬ uN+1
uN+k uN+k−1
... ≤
⎪ ⎪ ⎪ s ⎭
≥ 1 =⇒ un+1 ≥ un > 0 =⇒ lim un = 0
=⇒
n→∞
uN+1 uN+2 ... uN+k uN uN+1 ... uN+k−1 uN+k uN
0 < uN+k
≤
sk
≤
sk
≤
uN s k
∞ k is een convergente majorante voor De meetkundige reeks k=0 uN s ∞ ∞ N−1 ∞ k=0 uN+k . Ook k=0 uN+k convergeert. n=l un = k=l uk + ∞ ∞ 1 un+1 1 Voorbeeld: De reeks = n+1 ≤ 12 , ∀n n=1 un = n=1 n! convergeert want u n
un+1 un
Opgelet: Als enkel geldt dat < 1 , ∀n ≥ N , is er geen algemeen besluit. ∞ 1 un+1 n2 Voorbeeld: n=1 n2 convergeert ( un = (n+1)2 < 1 , ∀n ≥ 1) ∞ 1 un+1 n = n+1 < 1 , ∀n ≥ 1) n=1 n divergeert ( u n
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Het criterium van d’Alembert limes inferior, limes superior Definities:
M = lim sup xn = n→∞
m = lim inf xn = n→∞
lim vn met vn = sup{xn , xn+1 , . . .}
n→∞
lim wn met wn = inf{xn , xn+1 , . . .}
n→∞
Eigenschappen: ∀ > 0, ∃N ∈ N zodanig dat ∀n ≥ N geldt dat M en m zijn ophopingspunten van {xn }n≥l , de limiet als M = m.
xn xn
< >
M + , m−
De verhoudingstest, limietvorm 1
un+1 un+1 Stelling: Zij M = lim sup en m = lim inf . Als M < 1 convergeert de n→∞ n→∞ un un ∞ reeks n=l un , als m > 1 is er divergentie, bij m ≤ 1 ≤ M geen algemeen besluit. Bewijs: (a) Als M < 1 kiezen we een s ∈ (M, 1) en dus s − M > 0. Er geldt ∀ > 0, ∃N zodanig dat ∀n ≥ N geldt:
un+1 un un+1 un
<
M +
< s<1 Uit de niet–limietvorm van de verhoudingstest volgt de convergentie. u
(b) Zij m > 1: ∃N zodanig dat ∀n ≥ N geldt n+1 > m − (m − 1) = 1 un Uit de niet–limietvorm van de verhoudingstest volgt de divergentie. ∞ 1 1 (c) ∞ n=1 n2 en n=1 n zijn voorbeelden waarbij M = m = 1
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De verhoudingstest, limietvorm 2
u Stelling: Zij μ = limn→∞ n+1 . Als μ < 1 convergeert de reeks ∞ n=l un , als μ > 1 is un er divergentie, bij μ = 1 geen algemeen besluit. ∞ 2n n! un+1 2 2 Voorbeeld: n=1 nn convergeert want limn→∞ un = limn→∞ ( n+1 )n = e < 1 n
Klein criterium van Cauchy
√ Stelling: Zij Λ = limn→∞ sup n un . Als Λ < 1 convergeert de reeks ∞ n=l un , als Λ > 1 is er divergentie, bij Λ = 1 geen algemeen besluit. Bewijs: (a) Als Λ < 1 kiezen we een s ∈ (Λ, 1). ∃N zodanig dat ∀n ≥ N geldt: √ n u < s n 0 < un < s n ∞ n is een convergente majorante van de gegeven reeks. n=0 s √ (b) Λ > 1 is een ophopingspunt van de rij { n un }n≥l . Er zijn oneindig veel √ n–waarden waarvoor n un > 1 =⇒ un > 1 =⇒ lim un = 0. n→∞ ∞ 1 1 (c) ∞ en zijn voorbeelden waarbij Λ=1 n=1 n2 n=1 n ∞ ∞ 1 √ 1 n u = lim Voorbeeld: n n→∞ n = 0 n=1 un = n=1 nn convergeert want limn→∞
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De test van Raabe
un+1 Stelling: Als lim n 1 − = c ∈ R dan convergeert de reeks ∞ n=l un als n→∞ un c > 1 en divergeert de reeks als c ≤ 1. ∞ 1 n n = limn→∞ n+1 divergeert want lim n 1 − = 1, Voorbeeld: n→∞ n=1 n n+1 ∞ 1 2 n(2n+1) n = limn→∞ n2 +2n+1 = 2. n=1 n2 convergeert want limn→∞ n 1 − (n+1)2
Convergentietesten voor reeksen met ook negatieve termen (1) Als ∃N zodanig dat ∀n ≥ N geldt un ≥ 0: vorige testen toepassen ∞ ∞ (2) Als ∃N zodanig dat ∀n ≥ N geldt un ≤ 0: n=l un = − n=l (−un ) (3) Als ∀N , ∃n1 , n2 ≥ N met un1 > 0 en un2 < 0 ∞ ∞ (3a) Beschouw ∞ n=l |un |: Als n=l |un | convergeert, is n=l un absoluut convergent; in het andere geval is er geen algemeen besluit. (3b) Beschouw de deelreeksen (∞) en (∞) : Als beide deelreeksen k∈Jpos
k∈Jneg
convergeren, is de gegeven reeks absoluut convergent, als slechts ´ e´ en van de deelreeksen convergeert, is de gegeven reeks divergent. (3c) Is de reeks een Leibniz reeks?
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Convergentietesten De stelling van Leibniz Definitie: Een reeks waarvan de termen afwisselend positieve en negatieve getallen zijn, wordt een alternerende reeks of wisselreeks genoemd. ∞ Stelling: Een wisselreeks (−1)n+1 un met 0 < un+1 ≤ un , ∀n en limn→∞ un = 0 n=1 is convergent. Bewijs: We bewijzen dat de deelrijen {s2n }n≥1 en {s2n+1 }n≥0 dezelfde limiet hebben.
•
de rij der even parti¨ eelsommen {s2n }n≥1 is stijgend: s2n+2 = u1 − u2 + . . . − u2n + u2n+1 − u2n+2 = s2n + u2n+1 − u2n+2 ≥ s2n
•
de rij der oneven parti¨ eelsommen {s2n+1 }n≥0 is dalend: s2n+3 = u1 − u2 + . . . + u2n+1 − u2n+2 + u2n+3 = s2n+1 − u2n+2 + u2n+3 ≤ s2n+1
•
•
Elke oneven parti¨ eelsom sl is groter dan elke even bepaal n zodanig dat 2n > k =⇒ sk ≤ s2n 2n − 1 > l =⇒ sl ≥ s2n−1 s2n = s2n−1 − u2n < s2n−1
parti¨ eelsom sk : Gegeven k, l, ⎫ ⎬ =⇒ sk < sl ⎭
{s2n }n≥1 heeft een limiet α (stijgend en naar boven begrensd), {s2n+1 }n≥0 heeft een limiet β (dalend en naar onder begrensd) en β = limn→∞ s2n+1 = limn→∞ s2n + u2n+1 = α =⇒ limn→∞ sn = s = α = β
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Leibniz reeksen Voorbeelden en eigenschap
(−1)n+1 Voorbeelden: De harmonische wisselreeks ∞ is een voorwaardelijk n=1 n ∞ (−1)n+1 convergente Leibniz reeks, n=1 een absoluut convergente. n2 Eigenschap: ∀n geldt:
− u4 − u2 − u2n s4
s2
...
s s 2n s 2n+2 s
+ u5
|s − s2n−1 | < u2n u1
... s 3
2n+1 s 2n−1
|s − s2n | < u2n+1
s1
=⇒ |s − sn | < un+1
+ u 2n+1
+ u3
Toepassing: De berekening van het getal π. ∞ ∞ (−1)n (−1)n x 2n+1 = bgtg (x) =⇒ 4 = 4 bgtg (1) = π ∀x ∈ [−1, 1] geldt 2n + 1 2n + 1 n=0 n=0 sn =
n
(−1)k 4 = 4 − 43 + 45 − 47 2k+1 10−5 ? Het volstaat dat u
k=0
|π − sn | <
(−1)n 4 π. Hoe groot moet n zijn opdat 2n+1 4 −5 10 =⇒ 2n+3 < 10−5 of n 200000!!
+...+ n+1
<
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Herschikking van reeksen Definities en stellingen Definities: De rij {hn }n≥1 is een herschikking van de rij {un }n≥1 als hn = uf (n) met f ∞ een bijectie van N op N. De reeks ∞ n=1 hn is een herschikking van de reeks n=1 un als {hn }n≥1 een herschikking is van {un }n≥1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Voorbeeld: De reeks ∞ n=1 hn = 1 − 2 − 4 + 3 − 6 − 8 + 5 − 10 − 12 + 7 − . . . is een herschikking van de harmonische wiselreeks (f (3m) = 4m, f (3m + 1) = 2m + 1, f (3m + 2) = 4m + 2). ∞ Stelling: Als n=1 un absoluut convergeert met som s, convergeert elke herschikking ∞ n=1 hn ook absoluut convergent met som s. ∞ ∞ (−1)n 1 1 1 1 1 1 1 Voorbeeld: = 23 n=1 hn = 1 − 2 − 23 + 22 − 25 − 27 + 24 − 29 − . . . = n=0 2n ∞ Stelling: Als n=1 un voorwaardelijk convergeert, dan kan ∀α een herschikking ∞ h gevonden worden met som α. n n=1 Bewijs: (Constructief) De deelreeksen (∞) uk en (∞) uk zijn beide k∈Jpos
k∈Jneg
divergent. Stel dat α > 0. Neem dan, in volgorde, positieve termen van de gegeven reeks tot een som gevormd is die juist groter is dan α. Neem dan negatieve termen, eveneens in volgorde, tot de som juist kleiner is dan α, dan weer positieve termen tot de som juist groter is dan α en ga zo verder. Het resultaat is een herschikking van de gegeven reeks die convergeert naar α, vermits limn→∞ un = 0.
Reeksen
Machtreeksen en Taylorreeksen
Herschikking van reeksen Voorbeeld We construeren een herschikking van de harmonische wisselreeks (som log 2) die convergeert met som α = 1.5. Zij tn = nk=1 hk , limn→∞ tn = 1.5 n
hn
tn
n
hn
tn
1 19 1 21 1 23 1 25 − 16 1 27 1 29 1 31 1 33 1 35 − 18
1.3832...
1
1
1
12
2
1 3 1 5
1.3333...
13
1.5333...
14
− 12 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 − 14 1 17
1.0333...
15
1.1761...
16
...
17
...
18
1.4551...
19
1.5218...
20
1.2178...
21
1.3306...
22
3 4 5 6 7 8 9 10 11
... 1.4743... 1.5143... 1.3476... 1.3847... ... ... 1.4817... 1.5103... 1.3853...
∞ (−1)n+1 Oefening: Construeer een herschikking van met lim tn = ∞ n→∞ n n=1
