6. OPTIKA FOURIER 6.1. ANALISIS FOURIER
• Dalam interferensi, difraksi, terjadi superposisi dua buah gelombang bahkan lebih. • Seringkali superposisi terjadi antara gelombang yang memiliki amplitudo, panjang gelombang yang berbeda, sehingga sulit untuk mendeskripsikan gelombang hasil superposisi. • Baron de Fourier (1768-1830) membuat Teorema untuk mengatasi masalah tersebut (TEOREMA FOURIER).
Superposisi dua gelombang harmonik dengan frekuensi berbeda menghasilkan gelombang tak-harmonik
• Teorema Fourier : suatu fungsi yang memiliki perioda ruang λ dapat dianalisis sebagai jumlah fungsi-fungsi harmonik, dimana panjang gelombangnya merupakan integral dari subperkalian dari λ (λ, λ/2, λ/3,…). • Deret Fourier :
2π 2π f ( x ) = C0 + C1 cos x + ε 1 + C2 cos x + ε 1 + ... λ/2 λ 2π = Cm cos m x + εm λ = Cm cos(mkx + ε m ) ; k = 2π / λ
• C adalah konstanta dan f(x) menggambarkan gelombang yang menjalar f (x - vt).
Cm cos(mkx + ε m ) = Am cos mkx + Bm sin mkx dimana : Am = Cm cos ε m Bm = −Cm sin ε m maka : ∞ A0 ∞ f (x ) = + ∑ Am cos mkx + ∑ Bm sin mkx 2 m =1 m =1
Proses penentuan koefisien-koefisien A0, Am, dan Bm untuk suatu fungsi periodik spesifik f(x) dikenal dengan ANALISIS FOURIER.
• Penentuan koefisien A0. λ
λ
0
0
∫ sin mkx dx = ∫ cos mkx dx =0 λ
∫ 0
λ
A0 λ f ( x ) dx = ∫ dx = A0 2 2 0
A0 =
2
λ
∫ λ 0
f (x ) dx
• Penentuan koefisien Am dan Bm digunakan ortogonalitas fungsi sinusoidal. λ
∫ sin akx cos bkx dx = 0 0
λ
λ
∫ cos akx cos bkx dx = 2 δ
ab
0
λ
λ
∫ sin akx sin bkx dx = 2 δ
ab
= 1 ; a = b δ ab = 0 ; a ≠ b
0
• a, b adalah bilangan bulat positif bukan 0. dan δab = delta Kronecker
• Sekarang kalikan fungsi f(x) dengan cos mkx kemudian integralkan dari 0 sampai perioda λ : λ
λ
∫ f (x )cos mkx dx = ∫ A
m
0
Am =
cos mkx dx = 2
0
λ
f ( x ) cos mkx dx ∫ λ 2
• dengan cara yang sama diperoleh :
Bm =
f ( x )sin mkx dx ∫ λ 2
0
2
; m = 0,1,2,...
0
λ
λ
; m = 0,1,2,...
Am
• Maka fungsi periodik f(x) dapat diungkapkan dalam deret Fourier : ∞
∞
A0 f ( x ) = + ∑ Am cos mkx + ∑ Bm sin mkx 2 m =1 m =1 Am =
λ
f ( x ) cos mkx dx ∫ λ 2
0
Bm =
λ
f ( x )sin mkx dx ∫ λ 2
0
Sifat-sifat fungsi f(x) dalam deret Fourier 1. Jika f(x) fungsi genap f(-x) = f(x), atau simetri di x = 0, maka hanya ada komponen cosinus saja atau Bm = 0. 2. Jika f(x) fungsi ganjil f(-x) = - f(x), maka hanya ada fungsi sinus saja (Am = 0).
Contoh : Gelombang periodik persegi f(x) +1
λ
−λ/2
0
λ/2
λ
3λ/2
-1
Dengan menggunakan deret Fourier, cari bentuk fungsi f(x) dan gambarkan bentuk gelombangnya sampai orde-5
x
• Bentuk matematik gelombang diatas adalah :
+ 1 ; 0 < x < λ / 2 f (x ) = − 1 ; λ / 2 < x < λ • Karena fungsinya ganjil, maka Am = 0 :
Bm =
2
λ
λ/2
2
λ
∫ (+1) sin mkx dx + λ λ∫ (−1) sin mkx dx 0
/2
1 1 λ/2 (− cos mkx ) 0 + (cos mkx ) = mπ mπ 2 (1 − cos mπ ) ; k = 2π / λ = mπ
λ λ/2
• Maka koefisien-koefisien Bm :
4
4 4 ; B4 = 0 ; B5 = B1 = ; B2 = 0 ; B3 = ; ... 3π 5π π maka : 4 1 1 f ( x ) = sin kx + sin 3kx + sin 5kx + ... 3 5 π
Semakin besar orde m yang dihitung, maka bentuk fungsi semakin mendekati gelombang persegi, namun menjadi fungsi kontinu.
Deret Fourier mengubah fungsi diskrit menjadi fungsi kontinu
Gelombang Tak-Periodik • Semua gelombang nyata berbentuk pulsa, sehingga penting untuk menganalisis fungsi-fungsi tak-periodik
• Bentuk pulsa dapat diubah dari fungsi f(x) menjadi suatu bentuk fungsi amplitudo sebagai fungsi dari bilangan gelombang k.
f (x ) → Am (k )
• Perubahan tersebut menggunakan Transformasi Fourier (Fourier Transform, FT) • Deret Fourier diubah menjadi integral Fourier. ∞ ∞ 1 f ( x ) = ∫ A(k ) cos kx dx + ∫ B(k )sin kx dx π 0 0
A(k ) =
∞
∫ f (x )cos kx dx
−∞
B (k ) =
∞
∫ f (x )sin kx dx
−∞
PULSA DAN PAKET-PAKET GELOMBANG 1. Pulsa Persegi
f (x ) E0
x -L/2
0
L/2
E0 ; x < L / 2 f (x ) = 0 ; x > L / 2 Karena pulsa f(x) merupakan fungsi genap, maka B(k) = 0
A(k ) =
∞
+L/2
∫ f (x )cos kx dx = ∫ E
−∞
0
cos kxdx
−L / 2
E0 2 E0 sin kL / 2 +L / 2 sin kx − L / 2 = sin kL / 2 = E0 L = k k kL / 2 kL = E0 Lsinc 2
f (x ) =
1
π
∞
( ) E L sinc kL / 2 cos kx dx 0 ∫ 0
2. Gelombang Cosinus
E0 cos k p x E (x ) = 0
; −L≤ x≤ L ; x >L
Karena E(x) merupakan fungsi genap, maka B(k) = 0
+L
A(k ) = ∫ E0 cos k p x cos kx dx −L
+L
[
1 = ∫ E0 cos(k p + k )x + cos(k p − k )x dx 2 −L
[
= E0 L sinc(k p + k )L + sinc(k p − k )L
]
]
Jika terdiri dari banyak gelombang ( λ << L), maka kpL >> 2π
(k
p
+ k )L >> 2π
sinc(k p + k )L << (kecil/diabaikan)
A(k ) = E0 Lsinc(k p − k )L
• Jika gelombang cosinus dalam domain waktu, maka ditransformasi ke domain frekuensi ω.
E0 cos ω p t E (t ) = 0
; −T ≤ t ≤ T ; t >T
f (t ) → Fourier Transform ( FT ) → f (ω ) A(ω ) = E0T sin c(ω p − ω )T
FOURIER TRANSFORM DISKRIT (DFT) •
Suatu fungsi yang menggambarkan beberapa proses fisis dapat dianalisis dengan analisis Fourier, dan fungsi transformasinya dapat ditentukan secara analitik.
•
Contoh : proses interferensi, difraksi dll.
•
Namun untuk beberapa situasi tidak ada fungsi yang dapat menggambarkan data.
• Dalam beberapa kasus, fungsi/data dapat dgitalisasi. • Penentuan frekuensi dari data yang terkumpul menggunakan teknik numerik yaitu transformasi Fourier Diskrit (Discrete Fourier Transform, DFT). • Contoh :
(a). Pulsa persegi 1D , (b). Transformasi Foruier-nya (c). Pulsa persegi 2D, (d). Trans. Fourier, (e). Intensitas E. Hechts,”Optics”, Addison Wesley, 2002
Aplikasi : Filter frekuensi Gambar Gambar monalisa tidak dapat digambarkan dengan fungsi tertentu. Gambar discan, digitalisasi dan dikomputasi dengan DFT. (a). Gambar Mona Lisa (b). Spektrum Intensitas hasil DFT (c). Gambar setelah frekuensi tinggi dibuang (d). Gambar setalah frekuensi rendah dihilangkan E. Hechts,”Optics”, Addison Wesley, 2002
Tugas Individu/Mandiri 1.
Dengan deret Fourier, cari fungsi f(x) dari sinyal dibawah ini sampai orde ke-7 dan gambarkan fungsinya. f(x) λ/2 −3λ/2
+λ/2
−λ/2
−λ
+3λ/2 +λ
x
−λ/2 E (x)
2.
L
Cari transformasi Fourier dari sinyal segitiga dibawah ini, dan gambarkan
x -L
+L
