Fourier-transzformáció

¨ ¨ LORAND ´ ´ EOTV OS TUDOMANYEGYETEM INFORMATIKAI KAR

Simon P´ eter

Fourier-transzform´ aci´ o

Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinansz´ırozásával kész¨ ult ´ (a támogatás száma: TAMOP 4.2.1/B-09/1/KMR-2010-0003).

BUDAPEST, 2012

El˝ osz´ o

Az alábbiakban egyfajta válogat´ ast adunk a trigonometrikus Fourier-transzform´ aci´ oval kapcsolatos fogalmakról és eredményekr˝ ol. El¨ olj´ ar´ oban r¨ oviden ¨ osszefoglaljuk a mértékés integrálelméletben (is) alapvet˝o szerepet j´ atszó konvol´ uci´ ora vonatkoz´ o alapismereteket. A klasszikus Fourier-transzformáci´ o mellett kitekintést ny´ ujtunk a disztrib´ ució-elmélet keretében történ˝o tárgyalás, ill. az absztrakt harmonikus anal´ızis fogalomk¨ ore felé is. Az alkalmazások illusztrációjaként bemutatjuk a pr´ımsz´ amtétel egy lehetséges bizony´ıtását, ill. az ahhoz vezet˝o u ´t részeként a klasszikus Wiener-, ill. Ingham-tételt. A Heisenberg-féle ´ egyenl˝otlenség kapcsán röviden szólunk a hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ okr´ ol. Erintj¨ uk a modern transzformációs módszerek alkalmaz´ asai szempontj´ ab´ ol fontos u ń. θ-szumm´ ació, ill. az ablakos Fourier-transzform´ aci´ o (vagy G´ abor-transzform´ aci´ o) alapjait. Az Irodalomjegyzékben azokat a forrásokat soroljuk fel, amelyekre a tanulm´ any meg´ır´ asakor t´ amaszkodtunk. A bels˝o hivatkozásokat általában mell˝ ozz¨ uk, de minden eredmény, amely eml´ıtésre ker¨ ul, megtalálható a felsorolt m˝ uvekben.

Ez a tanulm´ any az Eur´ opai Uni´ o t´ amogat´ as´ aval, az Eur´ opai Szoci´ alis Alap t´ arsfinansz´ıroz´ as´ aval ´ k´ esz¨ ult (a t´ amogat´ as sz´ ama: TAMOP 4.2.1/B-09/1/KMR-2010-0003).

2

Tartalomjegyzék

Tartalomjegyzék

1. Konvol´ uci´ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2. Trigonometrikus Fourier-transzformáci´ o

. . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1. 2.2.

Borel-mértékek Fourier-transzform´ aci´ oja . . . . . . . . . . . . . . uggvények Fourier-transzform´ altja . . . . . . . . . . . . . L1 -beli f¨

5 6

2.3.

L2 -beli f¨ uggvények Fourier-transzform´ altja

9

3. Fourier-inverzi´ o 3.1. 3.2. 3.3.

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

A Fourier-transzformált integr´ alhat´ os´ aga . . . . . . . . . . . . . . 17 Inverziós formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Absztrakció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4. Lp -beli f¨ uggvények Fourier-transzformáltja . . . . . . . . . . . . . . 71 5. Differenciálhat´ oság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

5.5.

A Fourier-transzformált differenci´ alhat´ os´ aga Schwartz-osztály . . . . . . . . . . . Disztrib´ uciók . . . . . . . . . . . . . Alkalmazások . . . . . . . . . . . . . • Wiener-tétel . . . . . . . . . . . . • Ingham-tétel . . . . . . . . . . . . • Pr´ımszám-tétel . . . . . . . . . . . Határozatlansági reláci´ ok . . . . . . . .

6. Gábor-transzformált 6.1. 6.2.

. . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . 76 . . 85 . . 87 . 100 . 100 . 102 . 107 . 110

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119

A Gábor-transzformált értelmezése . . . . . . . . . . . . . . . Gábor-inverzió . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

119 124

7. Irodalomjegyzék

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134

1. Konvol´ uci´ o

3

1. Konvol´ ució. Legyen (X, T ) egy lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport, M(X) az X Borelhalmazainak a B(X) szigma-algebr´ aj´ an értelmezett korl´ atos Borel-mértékek halmaza. Vezess¨ uk be a következ˝o P : X × X → X leképezést: P (x, y) ) := x • y

(x, y ∈ X) ,

ahol • az X-beli szorzást” (mint multiplikat´ıv csoportm˝ uveletet) jel¨ oli. Ha X × X-en ” a T által generált szorzat-topológi´ at tekintj¨ uk, akkor a P leképezés nyilv´ an folytonos. Tetsz˝oleges µ, ν ∈ M(X) mértékek esetén az X × X-beli Borel-halmazok B(X × X) σ-algebráján legyen κ := µ ⊗ ν a µ, ν mértékek ´ altal meghat´ arozott szorzatmérték. Vegy¨ uk a κ mérték P által létes´ıtett P [κ] képét, azaz legyen P [κ](B) := κ(P −1 [B])

(B ∈ B(X)).

A µ ∗ ν := P [κ] mértéket a µ, ν mértékek konvol´ uci´ oj´ anak nevezz¨ uk. A defin´ıcióból nyilvánvaló, hogy µ ∗ ν ∈ M(X). Tov´ abb´ a a ∗ m˝ uvelet kommutat´ıv és asszociat´ıv, ill. a mértékek ¨ oszead´ as´ ara nézve disztribut´ıv, valamint tetsz˝oleges α ∈ [0, +∞), µ, ν ∈ M(X) mellett µ ∗ (α· ν) = (α· µ) ∗ ν = α· (µ ∗ ν). A fentiek nyilván elmondhatók M(X) helyett a µ : B(X) → R korl´ atos variációj´ u el˝ojeles Borel-mértékek V(X) halmaz´ aban is. (Emlékeztet¨ unk a most eml´ıtett fogalmakra, miszerint µ ∈ V(X) egy olyan el˝ojeles mérték B(X)-en, amelyre sup

(

X

A∈A

|µ(A)| : A ∈ FX

)

< +∞,

ahol FX -szel az összes olyan véges, p´ aronként diszjunkt, S B(X)-beli halmazokból álló A halmazrendszerek halmazát jelölt¨ uk, amelyekre X = A∈A .) Legyen µ, ν ∈ M(X), A ∈ B(X), ekkor µ ∗ ν(A) =

Z

χA d(µ ∗ ν) =

Z

µ(y

−1

• A) dν(y) =

Z

Gyakran ez utóbbit tekintik a µ ∗ ν konvol´ uci´ o defin´ıci´ oj´ anak.

ν(x−1 • A) dµ(x).

4

2.1. Borel-mértékek Fourier-transzform´ altja

Ha valamilyen 0 < n ∈ N esetén X := Rn és T az Rn -beli euklideszi norma által 1 indukált topológia, akkor tekints¨ uk B(X)-en a µ Lebesgue-m´ R ertéket. Legyen f ∈ L , ekkor az f s´ ulyf¨ uggvény által generált µf mérték – µf (A) := A f dµ (A ∈ B(X)) – nyilván V(X)-beli és bármely ν ∈ V(X) mellett µf ∗ ν(A) = Ha g(y) :=

R

Z

µf (A − x) dν(x)

(A ∈ B(X)).

f (y − x) dν(x) =: f ∗ ν(y) (y ∈ X), akkor µf ∗ ν(A) =

Z

g· χA dµ = µg (A).

Legyen most a fenti f mellett adott egy h ∈ L1 f¨ uggvény is és ´ırjunk ν helyébe µh -t. Ekkor az el˝obbiekhez hasonló módon kapjuk, hogy µf ∗ µh (A) =

Z

χA · f ∗ h dµ =

Z

A

f ∗ h dµ

(A ∈ B(X)),

ahol f ∗ h(x) :=

Z

f (x − y)· h(y) dµ(y)

(x ∈ X).

A most értelmezett f ∗ h f¨ uggvényt az f, h ∈ L1 f¨ uggvények konvol´ uci´ oj´ anak nevezz¨ uk. 1 Ekkor L (a szokásos f¨ uggvénym˝ uveletekkel és a k.k1 norm´ aval) a ∗ konvol´ ucióra nézve egy kommutat´ıv Banach-algebra. Tov´ abb´ a 1 ≤ p, q, r ≤ +∞, 1/p + 1/q ≥ 1, 1/r = 1/p + 1/q − 1 = 1 − 1/r ∗ , ill. f ∈ Lp , g ∈ Lq esetén f ∗ g ∈ Lr és kf ∗ gkr ≤ (Ap Aq Ar∗ )n kf kp · kgkq (Young-féle egyenl˝ otlenség.) Itt az 1 ≤ u, v ≤ +∞, 1/u + 1/v = 1 jel¨ olésekkel A1 := A∞ := 1 , Au :=

u1/u v 1/v

1/2

(1 < u < +∞)

jelenti az u ń. Babenko-Beckner-konstanst. Speci´ alisan, ha q = 1, akkor r = p, azaz p 1 p f ∈ L , g ∈ L mellett f ∗ g ∈ L és kf ∗ gkp ≤ kf kp · kgk1 .

2.1. Borel-mértékek Fourier-transzform´ altja

5

2. Trigonometrikus Fourier-transzformáci´ o. 2.1. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja. Vezess¨ uk be a következ˝o jelöléseket: jelentse h, i az Rn -ben j´ ol ismert Pn skaláris szorzást, azaz x = (x1 , ..., xn), y = (y1 , ..., yn) ∈ Rn eset´ e n legyen hx, yi := k=1 xk yk . p n aj´ ara az kxk := hx, xi szimb´ olumot használjuk. Az R -beli x elemek euklideszi norm´ n Legyen továbbá egy a ∈ R elem mellett ea a k¨ ovetkez˝ o f¨ uggvény : ea (x) := eıhx,ai

(x ∈ Rn ).

Nyilvánvaló, hogy tetsz˝oleges a ∈ Rn esetén ea folytonos, |ea | = 1, ezért bármely µ ∈ M(Rn ) mellett ea a µ-mértékre nézve integr´ alhat´ o és kea k1 = µ(Rn ). Legyen µ ∈ M(Rn ) egy tetsz˝oleges korl´ atos Borel-mérték. Ekkor a µ b(x) :=

Z

(x ∈ Rn )

ex dµ

hozzárendeléssel definiált µ b : Rn → C f¨ uggvényt a µ mérték Fourier-transzform´ altjának n pontban koncentr´ a lt Dirac-m´ e rt´ e k, akkor b´ armely nevezz¨ uk. Ha pl. µ a valamely a ∈ R R n x ∈ R esetén µ b(x) = ex dµ = ex (a) = ea (x), azaz µ b = ea .

Világos, hogy tetsz˝oleges µ ∈ M(Rn ) mértékre és x ∈ Rn pontra |b µ(x)| ≤ µ(Rn ), ill. µ(Rn ) = µ b(0). Egyszer˝ uen adódik tov´ abb´ a, hogy a µ b leképezés egyenletesen folytonos. n Valóban, ha ε > 0 tetsz˝oleges, akkor µ(R \ KN (0)) → 0 (N → ∞) miatt alkalmas N ∈ N mellett µ(Rn \ KN (0)) < ε. Ekkor b´ armely x, y ∈ Rn esetén |ˆ µ(x) − µ ˆ(y)| ≤ Z

KN (0)

2

Z

KN (0)

Z

KN (0)

|ex − ey | dµ +

Z

Rn \KN (0)

|ex − ey | dµ ≤

|ex−y (t) − 1| dµ(t) + 2µ(Rn \ KN (0)) ≤

| sin(ht, x − yi/2)| dµ(t) + ε ≤

Z

KN (0)

|ht, x − yi| dµ(t) + 2ε ≤

N · µ(KN (0))kx − yk + 2ε < 3ε, hacsak kx − yk < δ olyan δ > 0 választ´ assal, amellyel N · µ(KN (0))δ < ε.

2.2. L1 -beli f¨ uggvények Fourier-transzform´ altja

6

Belátható, hogy µ ˆ pozit´ıv definit” is, azaz tetsz˝ oleges 1 ≤ m ∈ N index és ” n a1 , ..., am ∈ R vektorok mellett az m

(b µ(aj − ak ))j,k=1 ∈ Cm×m mátrix pozit´ıv szemidefinit. S˝ot, igaz az al´ abbi Bochner-tétel, nevezetesen, ha h : Rn → C korlátos és folytonos f¨ uggvény, akkor a k¨ ovetkez˝ o két kijelentés egym´ assal ekvivalens: atos pozit´ıv Borel-mérték, hogy h = µ ˆ; 1o van olyan µ ∈ M(Rn ) korl´ 2o a h f¨ uggvény pozit´ıv definit, azaz b´ armely f ∈ L1 f¨ uggvény esetén Z Z

h(x − y)f (x)f (y) dx dy ≥ 0. n

A defin´ıcióból rögtön adódik, hogy a b : M(Rn ) → CR megfeleltetés addit´ıv és pozit´ıv homogén, tehát bármely µ, ν ∈ M(Rn ) és R ∋ α ≥ 0 esetén dµ = α· µ µd +ν =µ b + νb , α· b.

Belátható továbbá, hogy µd ∗ν =µ b· νb, ill. µ 6= ν =⇒ µ b 6= νb.

Legyen (az eddigi n mellett) s is egy pozit´ıv természetes sz´ am és legyenek adottak a µ ∈ M(Rn ), ν ∈ M(Rs ) korlátos Borel-mértékek. Ekkor µd ⊗ ν(x, y) = µ b(x)· νb(y)

(x, y) ∈ Rn × Rs .

(Az el˝obbi egyenl˝oség bal oldalán az Rn , ill. az Rs feletti Borel-mértékekb˝ol képzett szorzatmérték Fourier-transzformáltja ´ all, amely teh´ at az Rn × Rs téren van értelmezve. Röviden azt mondjuk, hogy a szorzatmérték Fourier-transzform´ altja a (tényez˝ o-) mértékek Fourier-transzformáltjainak a szorzata”.) ”

2.2. L1 -beli f¨ uggvények Fourier-transzformáltja. Ha most (és a továbbiakban is) µ az Rn -beli Lebesgue-mértéket jel¨ oli és valamely 1 (a µ mértékre nézve integrálható) f ∈ L , f ≥ 0 mellett ν(A) := µf (A) (A ∈ B(Rn )), akkor ν ∈ M(Rn ), ill. νb(x) =

Z

ex dµf =

Z

f ex dµ

(x ∈ Rn ).


7

Ebb˝ol a szempontból nyilván lényegtelen, hogy f egy nemnegat´ıv f¨ uggvény, azaz bármely 1 n 1 f ∈ L és x ∈ R mellett f ex ∈ L . A most mondottakat figyelembe véve vezess¨ uk be a 1 következ˝o defin´ıciót: egy f ∈ L Lebesgue-integr´ alhat´ o f¨ uggvény esetén az fˆ(x) :=

Z

f ex dµ =

Z

f (t)eıht,xi dt

(x ∈ Rn )

uggvény Fourierhozzárendelési utas´ıtással értelmezett fˆ : Rn → C leképezést az f f¨ transzform´ altj´ anak nevezz¨ uk. Ha teh´ at f ≥ 0 is igaz, akkor µ cf = fˆ.

Részben a mértékekkel kapcsolatos anal´ og ´ all´ıt´ asokra hivatkozva k¨ onnyen adódnak az alábbiak: aris és korl´ atos: kfˆk∞ ≤ kf k1 (f ∈ L1 ); i) az L1 ∋ f 7→ fˆ ∈ L∞ operátor line´

ii) bármely f ∈ L1 esetén az fˆ f¨ uggvény egyenletesen folytonos;

iii) fd ∗ h = fˆ· ˆh

(f, h ∈ L1 );

iv) ha f ∈ L1 és F (x) := f (−x) (x ∈ Rn ), akkor Fb = fˆ; v) f, g ∈ L1 , f 6= g =⇒ fˆ 6= gˆ;

vi) (szorz´ asi szab´ aly:) f, g ∈ L1 =⇒

R

fˆg dµ =

R

gˆf dµ.

vii) (Riemann-Lebesgue-lemma:) b´ armely f ∈ L1 esetén limkxk→+∞ fˆ(x) = 0. Ti. az i) áll´ıtás triviális, a ii)-t l´ attuk mértékekre. A iii) igazol´ as´ ahoz alkalmazzuk a Fubini-tételt: fd ∗ h(x) =

Z

f (y) Z

Z

Z

ıht,xi

f ∗ h(t)e

ıht,xi

h(t − y)e ıhy,xi

f (y)e

dy

Z

dt

dt =

Z Z

dy =

Z

ıht,xi

h(t)e

dt

f (y)h(t − y) dy eıht,xi dt =

f (y)

Z

ıht+y,xi

h(t)e

ˆ = fˆ(x)h(x)

dt

dy =

(x ∈ Rn ).

A iv) igazolása csupán egyszer˝ u sz´ amol´ ast jelent, az v) egyértelm˝ uségi” ´ all´ıtást kés˝obb ” látjuk be (ld. 3.2.1. vi) megjegyzés). A vi) bizony´ıt´ asa is meglehet˝ osen egyszer˝ u: a Fubinitétel miatt Z

fˆ(x)g(x) dx =

Z Z

ıht,xi

f (t)e

dt g(x) dx =


8 Z

f (t)

Z

ıht,xi

g(x)e

dx

dt =

Z

f (t)ˆ g(t) dt.

A Riemann-Lebesgue-lemma eléggé nyilv´ anval´ o intervallum” karakterisztikus f¨ uggvé” nyére. Az egyszer˝ uség kedvéért csak egydimenzi´ os esetben (n = 1) részletezve mindezt legyen g = χ[a,b] az [a, b] ⊂ R intervallum karakterisztikus f¨ uggvénye és 0 6= x ∈ R. Ekkor Z b eıbx − eıax ≤ 2 →0 |ˆ g (x)| = eıxt dt = |x| a ıx

(|x| → +∞).

Világos, hogy ezért ugyanez igaz karakterisztikus f¨ uggvények véges line´ aris kombinációira 1 is (lépcs˝ osf¨ uggvényekre). Ugyanakkor tetsz˝ oleges f ∈ L f¨ uggvényhez megadható lépcs˝osf¨ uggvényeknek egy olyan (gn ) sorozata, amelyre kf − gn k1 → 0 (n → ∞). Mivel |fˆ(x) − gc n (x)| ≤ kf − gn k1

(x ∈ R),

ezért bármely ε > 0 számhoz van olyan n ∈ N, amellyel |fˆ(x) − gc n (x)| < ε Tehát |fˆ(x)| ≤ |fˆ(x) − gc gn (x)| < ε + |c gn (x)| n (x)| + |c

(x ∈ R).

(x ∈ R),

ahol alkalmas r > 0 esetén |c gn (x)| < ε (x ∈ R, |x| > r). M´ as sz´ oval |fˆ(x)| < 2ε, hacsak x ∈ R, |x| > r. Ez éppen a Riemann-Lebesgue-lemma ´ all´ıt´ asa. Megjegyezz¨ uk, hogy a Riemann-Lebesgue-lemma megfelel˝ oje nem igaz M(Rn )-beli mértékekre. Legyen ui. ν ∈ M(Rn ) a (Rn ) ∋ 0-ban koncentr´ alt Dirac-mérték, ekkor νb ≡ 1.

A fenti bizony´ıtásból n = 1 esetén a k¨ ovetkez˝ o ´ atfogalmaz´ ast nyerj¨ uk: legyen −∞ ≤ a < b ≤ +∞, f : (a, b) → R (Lebesgue-)integr´ alhat´ o. Ekkor lim

x→+∞

Z

β

f (t) cos(tx) dt = lim α

x→+∞

Z

β

f (t) sin(tx) dt = 0,

α

mégpedig az (α, β) ⊂ (a, b) intervallumokra nézve egyenletesen. M´ as sz´ oval: b´ armely ε > 0 számhoz van olyan x0 > 0, hogy x > x0 esetén Z Z β β f (t) cos(tx) dt < ε , f (t) sin(tx) dt < ε α α


9

igaz tetsz˝oleges (α, β) ⊂ (a, b) intervallumra. Mindehhez elég annyit megjegyezni, hogy az fα,β := f χ(α,β) ∈ L1 f¨ uggvényre fd α,β (x) =

Z

Z

β ıxt

f (t)e

dt =

α

β

f (t) cos(tx) dt + ı

α

Z

β

f (t) sin(tx) dt

α

(x ∈ R).

b 1 szimbólummal az ¨ Jelölj¨ uk az L osszes L1 -beli f¨ uggvény Fourier-transzformáltja által b 1 a k.k∞ norma alkotott halmazt. A Stone-Weierstrass-tétel alkalmaz´ as´ aval kapjuk, hogy L értelmében minden¨ utt s˝ ur˝ u az Rn -en értelmezett kompakt tart´ oj´ u folytonos f¨ uggvények n C1 (R ) terében.

2.3. L2 -beli f¨ uggvények Fourier-transzformáltja. uggvények nem feltétlen¨ ul integr´ alhat´ ok, követkeA p > 1 esetben az Lp -beli f f¨ 1 n p zésképpen f ex ∈ / L (x ∈ R ) b˝oven el˝ ofordulhat, ezért az ilyen L f¨ uggvényosztályok elemeire a Fourier-transzformált a fenti defin´ıci´ o alapj´ an nem értelmezhet˝ o. A következ˝o egy-két megjegyzésben ezt a kérdésk¨ ort vizsg´ aljuk. Legyen el˝ osz¨ or p = 2. Emlékeztet¨ unk 1 2 2 ur˝ u altér L -ben. Ezért minden f ∈ L2 arra, hogy L ∩ L egy (a k.k2 norma értelmében) s˝ 1 2 f¨ uggvényhez megadható olyan fk ∈ L ∩ L (k ∈ N) sorozat, amelyre kf − fk k2 → 0 (k → +∞). Ilyen pl. az fk := f χGk (k ∈ N) f¨ uggvények sorozata, ahol Gr := {t ∈ Rn : ktk ≤ r} (r > 0). Az L1 ∩L2 altér g elemeire természetesen minden tov´ abbi nélk¨ ul értelmezhet˝ o a gb Fouriertranszformáció. Az el˝obbi fk := f χGk (k ∈ N) péld´ an´ al maradva

azaz n = 1 esetén

fbk (x) =

Z

fbk (x) =

f (t)eıhx,ti dµ(t)

Gk

Z

(x ∈ Rn , k ∈ N),

k

f (t)eıxt dµ(t)

−k

(x ∈ R, k ∈ N).

Nem triviális viszont az, hogy minden ilyen g esetén gˆ ∈ L2 és kˆ g k2 = (2π)n/2 · kgk2. Ez azt is jelenti egy´ uttal, hogy a (nyilv´ an line´ aris)


10

L1 ∩ L2 ∋ g 7→ gˆ ∈ L2 operátor korlátos, azaz folytonos. Ezt a tényt (és az (L2 , k.k2 ) norm´ alt tér teljességét) 1 2 b felhasználva ezért az el˝obbiekben szerepl˝ o fk ∈ L ∩ L f¨ uggvények fk (k ∈ N) Fouriertranszformáltjainak a sorozata k.k2 norm´ aban konverg´ al egy L2 -beli f¨ uggvényhez. Legyen ebben az értelemben fˆ := lim fbk , k

tehát kfˆ − fbk k2 → 0 (k → +∞). Ez az értelmezés korrekt (azaz fˆ nem f¨ ugg az f -et alaszt´ as´ at´ ol) és az el˝oáll´ıtó” (fk ) sorozat konkrét megv´ ” L2 ∋ f 7→ fˆ ∈ L2

(∗)

leképezés egy korlátos, lineáris oper´ ator, amely injekt´ıv és a norm´ aja (2π)n/2 . Világos, asi defin´ıci´ o szerint ugyanaz. hogy f ∈ L1 ∩ L2 esetén fˆ a mostani értelmezés és a kiindul´ Megmutatható, hogy a (∗) oper´ ator sz¨ urjekt´ıv is, azaz tetsz˝ oleges g ∈ L2 f¨ uggvényhez 2 létezik egy (és csak egy) olyan f ∈ L , amelyre g = fˆ. A (∗) oper´ ator teh´ at az L2 térnek egy önmagára való bijekciója és kb gk2 = (2π)n/2 · kgk2 (g ∈ L2 ) (Plancherel-t´ etel). Mi lesz R az inverze? Ehhez el˝oször is azt jegyezz¨ uk meg, hogy az hf, hi := f · h dµ (f, h ∈ L2 ) jelöléssel (az L2 -beli skaláris szorzás) hfˆ, ˆhi = (2π)n · hf, hi

(f, h ∈ L2 ).

Jelölj¨ uk a (∗) operátor adjungáltját A-val, ekkor ˆ (2π)n hf, hi = hfˆ, ˆ hi = hf, A(h)i

(f, h ∈ L2 ),

amib˝ol tetsz˝oleges h ∈ L2 esetén ˆ h = (2π)−n · A(h) ˆ következik. Legyen h ∈ L2 mellett H(x) := h(−x) (x ∈ Rn ), ekkor k¨ onny˝ u meggy˝oz˝odni arról, hogy hf, A(h)i = hfˆ, hi = hf, Hi Így A(h) = H, azaz a (∗) operátor unitér, az inverze a

(f ∈ L2 ).


11

L2 ∋ h 7→ (2π)−n · H ∈ L2 leképezés.

2.3.1. Megjegyzések. olj¨ uk Tξ -vel, ill. Mξ -vel az ξ ´ altal meghatározott i) Valamely ξ ∈ Rn esetén jel¨ transzl´ aci´ os, ill. modul´ aci´ os oper´ atorokat: Tξ f (t) := f (t + ξ) , Mξ f (t) := eıht,ξi f (t)

(f ∈ L1 , t ∈ Rn ).

Ekkor egyszer˝ uen ellen˝orizhet˝ o, hogy Tξ Mη = eıhξ,ηi Mη Tξ

(ξ, η ∈ Rn ).

Speciálisan, Tξ Mη = Mη Tξ akkor és csak akkor igaz (teh´ at a ξ-transzláció és az η-moduláció pontosan akkor cserélhet˝ o fel), ha valamilyen k ∈ Z egész számmal hξ, ηi = 2kπ. Azt sem nehéz tov´ abb´ a bel´ atni, hogy a most értelmezett operátorok és a Fourier-transzformáci´ o kapcsolata a k¨ ovetkez˝ o:

Hasonlóan,

ˆ d ˆ Td ξ f = M−ξ f , Mη f = Tη f

(ξ, η ∈ Rn , f ∈ L1 ).

ˆ Mη f = M−ξ Tη fˆ , Md Tξd η Tξ f = Tη M−ξ f

(ξ, η ∈ Rn , f ∈ L1 ).

A Fourier-transzformáció L2 -re val´ o kiterjesztésére gondolva (a Lebesgue-integrál eltolás-invariánciáját is kihaszn´ alva) a fenti formul´ ak igazak maradnak f ∈ L2 2 2 esetén is. Világos, hogy Tξ , Mη : L → L (ξ, η ∈ Rn ). Ezek az operátorok folytonosak is a következ˝o értelemben: b´ armely f ∈ L2 , ξ0 , η0 ∈ Rn esetén kTξ f − Tξ0 f k2 → 0 (ξ → ξ0 ) , kMη f − Mη0 f k2 → 0 (η → η0 ). A Lebesgue-integrál most eml´ıtett eltol´ as-invari´ anci´ aja miatt kTξ f − Tξ0 f k2 = kTξ−ξ0 f − f k2 . Ezért a transzl´ aci´ o folytonoss´ aga azzal ekvivalens, hogy lim kTξ f − f k2 = 0

ξ→0

(f ∈ L2 ),


12

ami jól ismert az integrálelméletb˝ ol. Innen fˆ ∈ L2 (f ∈ L2 ) alapj´ an a modulációról a következ˝oket mondhatjuk:

lim kMη f − f k2 =

η→0

1 1 d ˆk2 = lim k M f − f lim kTη fˆ − fˆk2 = 0. η (2π)n/2 η→0 (2π)n/2 η→0

Mivel kMη f − Mη0 f k2 = kMη−η0 f − f k2 , ezért a modul´ aci´ o fent eml´ıtett folytonossága már adódik. 2

(x ∈ Rn ) (nyilv´ an folytonos és L1 -beli) ii) Szám´ıtsuk ki a h(x) := e−kxk /2 f¨ uggvény Fourier-transzform´ altj´ at, és mutassuk meg, hogy ˆ = (2π)n/2 h. h Legyen ehhez x ∈ Rn , ekkor ˆ h(x) = Z Y n

k=1

n Z Y

−yk2 /2

e

Z

−

e

Pn

ıxk yk

·e

k=1

yk2 /2

ı·

·e

Pn

dy1 · · · dyn =

−(yk −ıxk )2 /2−x2k /2

e

dyk =

k=1

n Y

k=1

xk yk

n Z Y

k=1

k=1

2

e−yk /2 · eıxk yk dyk =

−x2k /2

e

dy1 · · · dyn =

·

Z

2

e−(yk −ıxk )

/2

dyk .

Az utóbbi integrálok kiszám´ıt´ as´ ahoz legyen valamilyen a > 0 és R ∋ b 6= 0 (pl. b > 0) esetén T az a téglalap a komplex s´ıkon, amelynek a cs´ ucspontjai: ±a, ±a − ıb, ill. legyen ϕa a T ker¨ ulete (az ´ oramutat´ o j´ ar´ as´ aval megegyez˝ o irányban). Ekkor a komplex f¨ uggvénytanb´ ol j´ ol ismert Cauchy-féle alaptétel szerint Z

e−z

2

/2

dz = 0.

ϕa

A T téglalap f¨ ugg˝oleges (ϕ1,2 a ) oldalainak a z = ±a + ıt (−b ≤ t ≤ 0) pontjaiban

´ıgy

2 2 2 2 2 −z /2 e = e−a /2 et /2 ≤ eb /2 e−a /2 → 0

(a → +∞),

2.3. L2 -beli f¨ uggvények Fourier-transzform´ altja Z

ϕ1,2 a

−z 2 /2

e

13

2 2 dz ≤ |b|eb /2 e−a /2 → 0

(a → +∞).

A T v´ızszintes oldalain az integr´ alok: −

Z

a

−(t−ıb)2 /2

e

Z

dt , ill.

−a

a

2

e−t

/2

dt.

−a

Következésképpen

0 = lim

a→+∞

Z

−z 2 /2

e

dz = lim

a→+∞

ϕa

Z

a

−t2 /2

e

−a

dt − lim

a→+∞

Z

a

2

e−(t−ıb)

/2

dt,

−a

amib˝ol Z lim

a→+∞

Z

a

−(t−ıb)2 /2

e

−t2 /2

e

dt =

−a

dt = lim

a→+∞

Z

−t2 /2

e

Z

a

2

e−(t−ıb)

/2

dt =

−a

√ Z −t2 √ dt = 2· e dt = 2π

következik. (Ha b < 0, akkor anal´ og sz´ amol´ assal jutunk ugyanerre az eredményre.) Tehát bármely k = 1, ..., n mellett Z ˆ ezért h(x) = (2π)n/2 · (Mivel a, b ∈ R esetén Z

−(y−ı(a+ıb))2 /2

e

Qn

2

e−(yk −ıxk )

dyk =

√

2π,

2

k=1

dy =

/2

e−xk /2 = (2π)n/2 h(x), amit bizony´ıtani kellett.

Z

−(y+b−ıa)2 /2

e

dy =

Z

2

e−(y−ıa)

/2

dy =

ezért a fentiekben x ∈ Rn helyett x ∈ Cn is ´ırhat´ o.)

√

2π,

iii) Legyen n = 1 és tegy¨ uk fel, hogy az f ∈ L1 f¨ uggvény p´ aros, azaz f (−t) = f (t) (m.m. t ∈ R). Ekkor fˆ(x) =

Z

ıtx

f (t)e

dt =

Z

0

−∞

ıtx

f (t)e

dt +

Z

+∞

f (t)eıtx dt = 0


14 Z

+∞

−ıtx

f (−t)e

dt +

0

Z

+∞ ıtx

f (t)e

dt =

0

2

Z

Z

0

+∞

f (t) cos(tx) dt =

0

Z

+∞

f (t) eıtx + e−ıtx dt =

f (t) cos(tx) dt

(x ∈ R).

Ugyan´ıgy kapjuk az fˆ(x) = 2ı

Z

+∞

f (t) sin(tx) dt = ı

0

Z

f (t) sin(tx) dt

(x ∈ R)

formulát páratlan f esetén, azaz, amikor f (−t) = −f (t) (m.m. t ∈ R). iv) Gondoljuk meg, hogy az integr´ alhat´ o f : R → R f¨ uggvény akkor és csak akkor ˆ páros (páratlan), ha az f Fourier-transzform´ alt p´ aros (p´ aratlan). Valóban, ha f páros (páratlan), akkor az el˝ obbi megjegyzés formul´ ai alapj´ an r¨ ogtön adódik ˆ ˆ ugyanez f -ra is. Ford´ıtva, ha pl. f p´ aros, akkor az F (t) := f (−t) (t ∈ R) f¨ uggvényre

Fb(x) =

Z

ıtx

f (−t)e

dt =

Z

f (t)e−ıtx dt = fˆ(−x) = fˆ(x)

(x ∈ R).

Innen a Fourier-transzform´ alt injektivit´ asa (ld. 3.2.1. vi) megjegyzés) alapján F (x) = f (−x) = f (x) (m.m. x ∈ R). Anal´ og m´ odon okoskodhatunk akkor is, ha fˆ páratlan. v) Legyen f ∈ L1 , 0 6= c ∈ R és δc f (x) := f (cx) (x ∈ Rn ). Vil´ agos, hogy δc f ∈ L1 . Ha c > 0, akkor

d δc f (x) =

Z

1 dt = n c

ıht,xi

f (ct)e

Z

f (t)eıht,x/ci dt =

1 ˆ f (x/c) cn

(x ∈ Rn ).

Ha c = −1, akkor δd −1 f (x) =

Z

ıht,xi

f (−t)e

dt =

Z

f (t)eıht,−xi dt = fˆ(−x)

(x ∈ Rn ).

Speciálisan, ha n = 1 és f p´ aros (p´ aratlan), akkor δ−1 f = f (δ−1 f = −f ), azaz ˆ ˆ d ˆ fˆ(−x) = δd −1 f (x) = f (x) (f (−x) = δ−1 f (x) = −f (x))

(x ∈ R).


15

Tehát fˆ páros (páratlan). Vég¨ ul, ha c < 0, akkor δc f = δ−1 (δ−c f ). Ezért 1 ˆ 1 ˆ f (−x/(−c)) = f (x/c) (−c)n (−c)n

d δd c f (x) = δ−c f (−x) =

(x ∈ Rn ).

Megjegyezz¨ uk, hogy a kés˝ obbiekben fontos szerepet j´ atsz´ o fc := c−n δ1/c f (c > 0) (nyilván L1 -beli) f¨ uggvényre 1 fbc (x) = n c

Z

ıhx,ti

f (t/c)e

dt =

Z

f (t)eıhcx,ti dt = fˆ(cx)

(x ∈ Rn ),

azaz fbc = δc fˆ.

vi) Tegy¨ uk fel, hogy n = 1, f ∈ L1 és fˆ p´ aratlan. Legyen 1 < b < +∞. Ekkor iii) és a Fubini-tétel szerint Z

b

1

2ı

Z

+∞

f (t)

0

Z b Z +∞ fˆ(x) 1 dx = 2ı f (t) sin(tx) dt dx = x 1 x 0 Z

1

b

sin(tx) dx x

!

dt = 2ı

Z

+∞

f (t)

0

Z

Jól ismert, hogy

következésképpen

Mivel

Z β sin x C := sup dx < +∞, x 0≤α<β α Z b fˆ(x) dx ≤ Ckf k1 . sup x b>1 1 Z b 1 sup dx = +∞, x ln(1 + x) b>1 1

t

bt

sin x dx x

!

dt.


16

ezért nincs olyan f ∈ L1 f¨ uggvény, amelyre fˆ(x) = 1/ ln(1 + x) =: g(x) (≥ 1) teljes¨ ulne. (Dacára annak, hogy g rendelkezik a Fourier-transzform´ ació jellemz˝o tulajdonságaival: g ∈ C és limx→+∞ g(x) = 0.)

vii) Valamely f ∈ L1 f¨ uggvény és h ∈ R esetén legyen

∆h f (t) := f (t + h/2) − f (t − h/2)

(t ∈ R),

ill. ω(f, δ) := sup k∆h f k1

(δ ≥ 0)

|h|≤δ

agi modulusa). Mutassuk meg, hogy (az f f¨ uggvény L1 -folytonoss´ 1 ω(f, π/|x|) 2

|fˆ(x)| ≤

(0 6= x ∈ R).

Vegy¨ uk észre ehhez ui., hogy

fˆ(x) =

Z

ıtx

f (t)e

dt = −ı

Z

ıx(t+π/(2x))

f (t)e

dt = −ı

Z

π ıtx f t− e dt, 2x

ill. hasonlóan fˆ(x) = ı

Z

ıx(t−π/(2x))

f (t)e

dt = ı

Z

π ıtx f t+ e dt. 2x

Innen azt kapjuk, hogy ı fˆ(x) = 2

Z π π ıtx f t+ −f t− e dt, 2x 2x

következésképpen 1 |fˆ(x)| ≤ 2

Z

|∆π/xf (t)| dt ≤

1 ω(f, π/|x|). 2

viii) Nem nehéz belátni, hogy vii)-ben limδ→0 ω(f, δ) = 0. Ezért lim

|x|→+∞

ω(f, π/|x|) = 0,

3.1. A Fourier-transzform´ alt integr´ alhat´ os´ aga

17

azaz a vii)-beli becslés alapj´ an u ´jb´ ol megkaptuk a Riemann-Lebesgue-lemma ˆ áll´ıtását: lim|x|→+∞ f (x) = 0.

3. Fourier-inverzi´ o. 3.1. A Fourier-transzformált integrálhat´ osága. Az eléggé triviális, hogy egy f ∈ L1 f¨ uggvény fˆ Fourier-transzformáltja nem feltétlen¨ ul integrálható. Err˝ol könnyen meggy˝ oz˝ odhet¨ unk, ha kisz´ am´ıtjuk pl. az f := χ[0,1] ˆ f¨ uggvény esetén (n = 1) az f -ot. Ugyanakkor a Fourier-transzform´ alt integr´ alhatósága 1 több szempontból is lényeges. Számos kritérium ismert egy f ∈ L f¨ uggvényt illet˝oen, hogy fˆ ∈ L1 igaz legyen. A továbbiakban ezzel a kérdéssel foglalkozunk, feltéve, hogy n = 1 és f ∈ L1 ∩ L2 . Vegy¨ uk észre el˝oször is, hogy az Rz := {t ∈ R : |t| > z} Cauchy-Bunyakovszkij-egyenl˝otlenség alkalmaz´ as´ aval

kfˆk1 =

Z Z

Z

|fˆ(t)| dt = +∞ 0

sZ

+∞

0

Z

Rx

Z

1 0

Z

Z

sZ

Rx

sZ

dx =

Z

1 2 πkf k2 + √ 2

1

!

Z

1

0

1

dx =

+∞

1

·

x3/2

Z

+∞

1 √ · 2x

R1/x

·

0

Rx

sZ

1

+∞

Z

+∞

0

Z

x3/2

0

Z

0

|fˆ(t)|2 dt dx +

1 2kfˆk2 + √ 2

√

1 dt t2

Rx

Z Z

|fˆ(t)| dt =

χ[0,|t|] (x) ˆ |f (t)| dt |t|

√

Tehát

!

dx |t|

0

|fˆ(t)|2 dt·

1 √ · 2x

|t|

sZ

χ[0,|t|] (x) dx |fˆ(t)| dt = |t| |fˆ(t)| dt |t|

1 √ · 2x

sZ

Rx

sZ

Rx

!

dx ≤

|fˆ(t)|2 dt dx =

|fˆ(t)|2 dt dx ≤

|fˆ(t)|2 dt dx =

R1/x

(z > 0) jelöléssel a

|fˆ(t)|2 dt dx.

18


f ∈ L1 ∩ L2 ,

Z

1

1 x3/2

0

·

sZ

R1/x

|fˆ(t)|2 dt dx < +∞ =⇒ fˆ ∈ L1 .

Az el˝obbi következtetésben szerepl˝ o feltétel vizsgálat´ ahoz legyen Z

1 Uh f (x) := h

h/2

f (x + t) dt −h/2

(f ∈ L1 , h > 0)

(els˝orend˝ u Sztyleklov-f¨ uggvény). Egy egyszer˝ u sz´ amol´ assal ellen˝ orizhet˝ o, hogy Uh f ∈ L1 : Z

1 |Uh f (x)| dx ≤ h

Z

Z

h/2

−h/2

1 h

Z

|f (x + t)| dt

!

1 dx = h

Z

h/2

−h/2

Z

|f (x + t)| dx

dt =

h/2

kf k1 dt = kf k1 < +∞.

−h/2

Ha most Vh f := Uh (Uh f )

(f ∈ L1 , h > 0)

(másodrend˝ u Sztyleklov-f¨ uggvény), akkor 1 Vh f (x) = h

Z

x+h/2 x−h/2

1 Uh f (t) dt = h

Z

0

x+h/2

1 Uh f (t) dt + h

Z

0

Uh f (t) dt x−h/2

(x ∈ R).

Ezért az integrálf¨ uggvény differenci´ alhat´ os´ ag´ ar´ ol sz´ ol´ o Lebesgue-tétel értelmében Vh f ∈ D és 1 1 (Uh f (x + h/2) − Uh f (x − h/2)) = Uh (∆h f )(x) (m.m. x ∈ R), h h R (ahol ∆h f (x) = f (z + h/2) − f (z − h/2) (z ∈ R)). Vil´ agos, hogy ∆h f (z) dz = 0, ´ıgy – bevezetve a ′

(Vh f ) (x) =

∆2h f (t) := ∆h f (t + h/2) − ∆h f (t − h/2) szimbólumot –

(t ∈ R)


1 (Vh f ) (x) = 2 h ′

1 h2 1 h2

Z

1 h2

Z

1 h2

Z

Z

h/2

1 ∆h f (x + t) dt = 2 h −h/2

x+h/2

−∞

Z

∆h f (t) dt −

Z

∆h f (t) dt +

−∞

x

∆h f (t + h/2) dt +

−∞

∆h f (t + h/2) dt −

x+h/2

∆h f (t) dt =

x−h/2

=

!

=

∆h f (t) dt

Z

Z

+∞

∆h f (t) dt x−h/2 +∞

∆h f (t − h/2) dt

x −∞

!

x−h/2

x

Z

Z

−∞

x+h/2

x

−∞

19

∆h f (t − h/2) dt

1 = 2 h

Z

=

x

−∞

∆2h f (t) dt.

A fentiekb˝ol már nyilvánvaló, hogy 1 lim Vh f (x) = lim x→+∞ h x→+∞ 1 lim (Vh f ) (x) = 2 x→+∞ h ′

1 h2

Z

Z

Z

x+h/2

Uh (t) dt = 0,

x−h/2

(∆h f (t + h/2) − ∆h f (t − h/2)) dt =

∆h f (t) dt −

Z

∆h f (t) dt = 0.

Mutassuk meg, hogy 1 Vh f (x) = h 1 Vh f (x) − f (x) h

Z

Z

h

−h

f (x + t)(1 − |t|/h) dt,

h

0

∆2t f (x)(1 − t/h) dt

(x ∈ R).

Az els˝o egyenl˝oséghez ui. legyen F az f integr´ alf¨ uggvénye, ekkor Uh f (x) =

F (x + h/2) − F (x − h/2) , h

20


azaz 1 Vh f (x) = 2 h Z

1 h2

Z

h/2

h

0

(F (x + t + h/2) − F (x + t − h/2)) dt =

−h/2

F (x + t) dt −

Z

0

F (x + t) dt

−h

!

1 = 2 h

Z

h

F (x + t) sign t dt. −h

Innen parciális integrálással oda jutunk, hogy 1 Vh f (x) = 2 h

h

[F (x + t)(|t| − h)]−h − 1 h

Z

Z

h

−h

f (x + t)(|t| − h) dt

!

=

h

f (x + t)(1 − |t|/h) dt,

−h

ami az els˝ o egyenl˝oség. A második igazolásához vegy¨ uk észre, hogy Z

1 h

h

(1 − t/h) dt =

0

1 , 2

amib˝ol (és az els˝o egyenl˝oségb˝ol) 1 Vh f (x) − f (x) = h 1 h

Z

h 0

Z

h

−h

f (x + t)(1 − |t|/h) dt − f (x) =

1 (f (x + t) + f (x − t)(1 − t/h) dt − h 1 h

Z

0

Z

h

0

2f (x)(1 − t/h) dt =

h

∆2t f (x)(1 − t/h) dt,

ahogyan áll´ıtottuk. Szám´ıtsuk ki a Vh f (h > 0) f¨ uggvény Fourier-transzform´ altj´ at. A derivált és a Fourier-transzformált kapcsolatáról sz´ ol´ o formul´ akat alkalmazva (ld. 3.2.1. xix) megjegyzés, ill. 5. pont) parciális integrálással

3.1. A Fourier-transzform´ alt integr´ alhat´ os´ aga ı d′ ı Vd (Vh f ) (x) = h f (x) = x x

1 − 2 x

Z

′′

ıtx

(Vh f ) (t)e 1 − 2 2 x h

Z

21 Z

′

(Vh f ) (t)eıtx dt =

1 dt = − 2 2 x h

d 2 f (x) ∆ h

Z

∆2h f (t)(t)eıtx dt =

(0 6= x ∈ R).

Az el˝obbi megjegyzésekre, a k.k2 -ra vonatkoz´ o Minkowski-egyenl˝ otlenségre és a Fourier-transzformálttal kapcsolatos Parseval-formul´ ara (ld. 2.) hivatkozva azt mondhatjuk, hogy sZ

Rx

|fˆ(t)|2 dt ≤

sZ

2 ˆ f (t) f (t) − Vd dt + 1/x

Rx

sZ

Rx

ahol az ω2 (f, δ) := sup|u|≤δ k∆2u f k2 (δ ≥ 0) jel¨ oléssel B=

sZ

Rx

√

2π

sZ

2 x4 d 2 f (t) ∆ dt ≤ 1/x t4

2 d V1/x f (t) dt =: A + B,

sZ 2 d ∆21/x f (t) dt =

2 √ 2 ∆1/x f (t) dt ≤ 2πω2 (f, 1/x)

(f ∈ L1 ∩ L2 , x > 0).

Az A vizsgálatához használjuk fel az al´ abbi egyenl˝ oséget (ld. fent): V1/x f (t) − f (t) =

Z

1/x 0

(x − x2 u)∆2u f (t) du

(t ∈ R, x > 0).

Ekkor az el˝obb már eml´ıtett Parseval-formul´ at ismét alkalmazva a Cauchy-Bunyakovszkijegyenl˝otlenségb˝ol

A≤

√

2π

sZ

f (t) − V1/x √

2π

s

Z

0

v uZ √ u 2 f (t) dt = 2π t

Z

1/x

(x − x2 u)∆2u f (t) du

0

1/x

k∆2u f k22 (x − x2 u) du ≤

√

πω2 (f, 1/x).

!2

dt =

22


¨ Osszefoglalva a fentieket ´ıgy azt mondhatjuk, hogy alkalmas C > 0 (abszol´ ut) konstanssal sZ

Rx

|fˆ(t)|2 dt ≤ Cω2 (f, 1/x)

(f ∈ L1 ∩ L2 , x > 0).

Ezért egy korábbi becslés¨ unket folytatva az ad´ odik, hogy 1 √ 2

Z

0

1

1

x

· 3/2

sZ

C |fˆ(t)|2 dt dx ≤ √ 2 R1/x

Z

1

0

ω2 (f, x) dx. x3/2

Vég¨ ul tehát az alábbiakat láttuk be: √

C kfˆk1 ≤ 2 πkf k2 + √ 2

Z

1 0

ω2 (f, x) dx x3/2

(f ∈ L1 ∩ L2 ),

más szóval a szóban forgó f f¨ uggvényt illet˝ oen az Z

0

1

ω2 (f, x) dx < +∞ x3/2

feltétel elegend˝o ahhoz, hogy fˆ ∈ L1 igaz legyen. Legyen α > 0 és

Lip (α, 2) := {f ∈ L2 : ω2 (f, δ) = O (δ α ) (δ → +0)}. Ekkor f ∈ L1 ∩ Lip (α, 2), α > 1/2 esetén alkalmas Cα > 0 konstanssal Z

0

1

ω2 (f, x) dx ≤ Cα x3/2

Z

1

xα−3/2 dx = 0

Cα < +∞, α − 1/2

azaz az el˝ obbiek szerint fˆ ∈ L1 . Az fˆ ∈ L1 kérdés szempontjából (is) k¨ ul¨ on¨ osen fontosak a kompakt tart´ oj´ u folytonos f¨ uggvények. Legyen ϕ ∈ C[0, 1], ϕ(1) = 0 és terjessz¨ uk ki a ϕ f¨ uggvényt R-re a következ˝oképpen:  ϕ(x) (0 ≤ x ≤ 1)     f (x) := 0 (x > 1)     f (−x) (x < 0).


23

Nyilvánvaló, hogy f : R → R kompakt tart´ oj´ u (supp f ⊂ [−1, 1]) p´ aros folytonos f¨ uggvény, 1 2 speciálisan f ∈ L ∩ L . Legyen ω(f, δ) := sup{|f (x) − f (t)| : x, t ∈ R, |x − t| ≤ δ}

(δ ≥ 0).

Megmutatjuk, hogy √ ω2 (f, δ) ≤ 2 3ω(f, δ)

(δ ≥ 0).

Valóban, a k.k2 -ra vonatkozó Minkowski-egyenl˝ otlenség alapj´ an

k∆2t f k2 = sZ

sZ

|∆2t f (x)|2 dx = sZ

|∆t f (x + t/2)|2 dx +

sZ

|∆t f (x + t/2) − ∆t f (x − t/2)|2 dx ≤

|∆t f (x − t/2)|2 dx = 2k∆t f k2

(t ≥ 0),

ahol az

I1 :=

Z

t/2

|f (x + t/2) − f (t/2 − x)|2 dx,

0

I2 :=

Z

1−t/2

|f (x + t/2) − f (x − t/2)|2 dx,

t/2

I3 :=

Z

1+t/2

1−t/2

|f (1) − f (x − t/2)|2 dx

jelölésekkel k∆t f k22

2

Z

=2

t/2

ω 2 (f, 2x) dx + 0

Z

+∞

0

Z

|∆t f (x)|2 dx = 2(I1 + I2 + I3 ) ≤

1−t/2

t/2

ω 2 (f, t) dx +

Z

1+t/2

1−t/2

ω 2 (f, 1 − x + t/2) dx

!

≤

24

3.2. Inverzi´ os formula

2

Z

1+t/2

ω 2 (f, t) dx ≤ 3ω 2 (f, t).

0

Következésképpen k∆t f k2 ≤

√

3ω(f, t) (t ≥ 0), amib˝ ol az ´ all´ıt´ asunk m´ ar k¨ ovetkezik.

Ha tehát (ld. fent) ω(f, δ) = O (δ α ) (δ → +0) és α > 1/2, akkor fˆ ∈ L1 .

3.2. Inverzi´ os formula. abbi inverzi´ os formula: Belátjuk, hogy ha f , fˆ ∈ L1 , akkor igaz az al´ f (x) = (2π)

−n

·

Z

fê−x dµ

(m.m. x ∈ Rn ).

R (Mivel fb ∈ L1 miatt az Rn ∋ x 7→ (2π)−n · fê−x dµ leképezés folytonos, ezért – az f f¨ uggvényt esetleg egy nulla-(Lebesgue-)mérték˝ u halmazon megv´ altoztatva – az el˝obbi egyenl˝oség tetsz˝oleges x ∈ Rn esetén igaz lesz.) Tekints¨ uk ui. (ld. 2.3.1. ii) megjegyzés) az FN (t) := fˆ(t)e−ıhx,ti h(t/N )

(t ∈ Rn , 0 < N ∈ N)

f¨ uggvénysorozatot, ahol x ∈ Rn r¨ ogz´ıtett. Ekkor minden Rn ∋ t-re limN→∞ FN (t) = o a Lebesgue-tétel, fˆ(t)e−ıhx,ti , ill. |FN | ≤ |fˆ| ∈ L1 (0 < N ∈ N) miatt alkalmazhat´ miszerint Z

fˆ(t)e

−ıhx,ti

dt = lim

N→∞

Z

fˆ(t)e−ıhx,ti h(t/N ) dt.

Lássuk be, hogy Z

fˆ(t)e−ıhx,ti h(t/N ) dt = N n

Z

f (x + t)h(N t) dt

(0 < N ∈ N).

n Valóban, fˆ(t)e−ıhx,ti = Td oléssel x f (t), ill. a HN (t) := h(t/N ) (t ∈ R ) jel¨

N

n

Z

d H N (y) =

Z

ıhy,ti

h(t/N )e

dt = N

n

Z

h(z)eıhy,Nzi dz =

ˆ y) = N n (2π)n/2 h(N y) h(z)eıhNy,zi dz = N n h(N

(y ∈ Rn ).


25

Következésképpen Z Z Mivel N n

R

fˆ(t)e−ıhx,ti h(t/N ) dt =

d Tx f (t)H N (t) dt = (2π)

h(N t) dt =

R

n/2

Z

N

Td x f (t)HN (t) dt = n

Z

f (x + t)h(N t) dt.

ˆ h(t) dt = h(0) = (2π)n/2 , ezért

1 ∆N (x) := (2π)n Nn (2π)n/2

Z

Z

fˆ(t)e−ıhx,ti h(t/N ) dt − f (x) =

(f (x + t) − f (x)) h(N t) dt.

A Fubini-tételt alkalmazva tehát azt mondhatjuk, hogy Nn k∆N k1 ≤ (2π)n/2 Nn (2π)n/2

Z

Z Z

|f (x + t) − f (x|) h(N t) dt

Nn h(N t)kTt f − f k1 dt = (2π)n/2

Z

Gr

··· +

Z

dx =

Rn \Gr

···

!

(tetsz˝oleges r > 0 mellett, ahol Gr := {t ∈ Rn : ktk ≤ r}). Vil´ agos, hogy Nn (2π)n/2

Z

Gr

h(N t)kTt f − f k1 dt ≤

1 khk1 · sup kTt f − f k1 = (2π)n/2 ktk2 ≤r

sup kTt f − f k1 → 0

ktk2 ≤r

(r → 0).

Továbbá Nn (2π)n/2

Z

2kf k1 N n h(N t)kTt f − f k1 dt ≤ (2π)n/2 Rn \Gr 2kf k1 (2π)n/2

Z

Rn \GN r

h(t) dt → 0

Z

h(N t) dt = Rn \Gr

(N → ∞).

26


A fentiekb˝ol már nyilván következik, hogy limN→∞ k∆N k1 = 0, azaz egy´ uttal egy alkalmas n (Nk ) indexsorozattal m.m. x ∈ R esetén limk→∞ ∆Nk (x) = 0 is igaz. Ismét a Lebesguetételt alkalmazva ezért azt kapjuk, hogy 1 f (x) = lim (2π)n k→∞ 1 (2π)n

Z

Z

fˆ(t)e−ıhx,ti h(t/Nk ) dt =

fˆ(t)e−ıhx,ti lim h(t/Nk ) dt = k→∞

1 (2π)n

Z

fˆ(t)e−ıhx,ti dt.

3.2.1. Megjegyzések. i) (Hobson (1926), Bochner (1932), Titchmarsh (1937).) Az el˝ obbi bizony´ıtás mögött Raz alábbi általános érvény˝ u meggondol´ as h´ uz´ odik meg. Tegy¨ uk fel, hogy g ∈ L1 , g(t) dt = 1 és legyen Tλ f := f ∗ gλ ahol λ > 0 és gλ (t) := λn g(λt) f ∈ L1 f¨ uggvényre

(f ∈ L1 ),

(t ∈ Rn ) (Fejér-t´ıpus´ u mag.) Ekkor bármely

lim kTλ f − f k1 = 0.

λ→+∞

Ti. tetsz˝oleges f ∈ L1 , x ∈ Rn és λ > 0 mellett Z

n

Tλ f (x) − f (x) = λ hiszen λn

R

g(λt) dt =

n

f (x − t)g(λt) dt − f (x) = λ R

kTλ f − f k1 ≤ λ λ

n

λ

Z

Gr

Z

(f (x − t) − f (x)) g(λt) dt,

g(t) dt = 1. Ezért n

n

Z

Z Z

|g(λt)|

Z

|f (x − t) − f (x)|· |g(λt)| dt |f (x − t) − f (x)| dx n

|g(λt)|· kTtf − f k1 dt + 2λ kf k1

Z

dx =

dt ≤

Rn \Gr

|g(λt)| dt ≤


27

sup kTt f − f k1 · kgk1 + 2kf k1

ktk2 ≤r

Z

Rn \Gλr

|g(t)| dt,

ahol

sup kTt f − f k1 → 0 (r → 0), ill.

ktk2 ≤r

Z

Rn \Gλr

|g(t)| dt → 0 (λ → +∞).

Innen limλ→+∞ kTλ f − f k1 = 0 m´ ar nyilv´ an k¨ ovetkezik. ii) Az i) megjegyzésben szerepl˝ o gλ (λ > 0) f¨ uggvénysereg egy speci´ alis u ń. egységapproxim´ aci´ o. Nevezetesen, legyen • eλ ∈ L1 , R • eλ (t) dt = 1 (λ > 0),

• supλ>0 keλ k1 < +∞,

• bármely r > 0 esetén

R

Rn \Gr

|eλ (t)| dt → 0 (λ → +∞).

Ekkor tetsz˝oleges f ∈ L1 f¨ uggvényre kf ∗ eλ − f k1 → 0

(λ → +∞).

S˝ot, L1 -et, k.k1 -t kicserélhetj¨ uk Lp -re, ill. k.kp -re (1 ≤ p < +∞) vagy C0 := {f ∈ C : supktk>r |f (t)| → 0 (r → +∞)}-ra (a végtelenben elt˝ un˝o folytonos f¨ uggvények terére) és k.k∞ -re. Nyilv´ an (ld. i)) eλ := gλ (λ > 0) egységapproximáció. uk fel, hogy a (Lebesgue-)mérhet˝ o f : Rn → R iii) Legyen Φ ∈ C0 , Φ(0) = 1 és tételezz¨ f¨ uggvényre minden ε > 0 sz´ am mellett létezik az MΦ (f, ε) :=

Z

f (x)Φ(εx) dx

integrál (az f Φ-integr´ alk¨ ozepe). Vil´ agos, hogy tetsz˝ oleges f ∈ L1 ilyen. Ha az ε 7→ MΦ (f, ε) leképezésnek van (véges) hat´ arértéke ε → 0 esetén, akkor azt mondjuk, hogy az f f¨ uggvény Φ-integr´ alhat´ o, a limε→0 MΦ (f, ε) határérték az f Φ-integr´ alja. A Lebesgue-tétel miatt b´ armely f ∈ L1 esetén lim MΦ (f, ε) =

ε→0

Z

f (t) dt

28

3.2. Inverzi´ os formula (azaz a Φ-integrál permanens.) Pl. (ld. választással minden f ∈ L1 f¨ uggvényre MΦ (f, ε) =

Z

−ε2 kxk2 /2

f (x)e

2.3.1.

dx →

Z

ii) megjegyzés) a Φ := h

f (x) dx

(ε → 0).

Ebben a speciális esetben Gauss- (vagy Gauss-Weierstrass-)integr´ alr´ ol beszél¨ unk. −kxk n Hasonlóan, a Φ(x) := e (x ∈ R ) v´ alaszt´ assal Abel-integr´ al´ asnak nevezz¨ uk a szóban forgó eljárást. Nem Rnehéz meggondolni, hogy az f (x) := (sin x)/x (0 6= x ∈ R, n = 1) esetben az f (x) dx integr´ al nem létezik, de az f f¨ uggvény Abel-integrálható. Ha Φ(x) := h(x) = e−kxk

2

/2

MΦ (M−x fˆ, ε) =

(x ∈ Rn ), akkor tetsz˝ oleges f ∈ L1 f¨ uggvényre

Z

2 2 fˆ(t)e−ıht,xi e−ε ktk /2 dt

(x ∈ Rn ).

Ha még fˆ ∈ L1 , akkor lim MΦ (M−x fˆ, ε) =

(∗)

ε→0

Z

fˆ(t)e−ıht,xi dt

(x ∈ Rn ).

ˆ = (2π)n/2 h, azaz Ugyanakkor (ld. 2.3.1. ii) megjegyzés) h MΦ (M−x fˆ, ε) = 1 (2π)n/2

Z Z

1 (2π)n/2

ıhy,ti

f (y)e

Z

ˆ dt = fˆ(t)e−ıht,xi h(εt)

ˆ dy e−ıht,xi h(εt) dt

(x ∈ Rn ).

A Fubini-tételt alkalmazva innen azt kapjuk, hogy MΦ (M−x fˆ, ε) =

1 (2π)n/2

Z

f (y)

Z

ıhy−x,ti ˆ h(εt)e dt

Továbbá Z

ˆ h(εt)e

ıhy−x,ti

(2π)n/2 εn

1 dt = n ε Z

Z

ıh(y−x)/ε,ti ˆ h(t)e dt =

h(t)eıh(y−x)/ε,ti dt =

dy.


29

(2π)n/2 ˆ (2π)n h((y − x)/ε) = h((y − x)/ε) εn εn

(ε > 0, x, y ∈ Rn ).

Így (2π)n/2 MΦ (M−x fˆ, ε) = εn Z

Z

h((y − x)/ε)f (y) dy =

˜ ε (y − x) dy f (y)h

(x ∈ Rn ),

˜ ε (t) := (2π)n/2 ε−n h(t/ε) (t ∈ Rn ). Kés˝ ahol h obb megmutatjuk (ld. v)), hogy lim

ε→0

Z

˜ ε (y − x) dy = f (x) f (y)h

Z

˜ 1 (t) dt = (2π)n f (x) h

(m.m. x ∈ Rn ),

amib˝ol (∗) alapján az inverzi´ os formula k¨ ovetkezik. iv) Tegy¨ uk most fel, hogy Φ ∈ L1 ∩ C0 és legyen b ε (x) := ε−n Φ(x/ε) b Φ

(x ∈ Rn , ε > 0).

Z

Z

Ekkor a 2. pont vi) formula és a 2.1. i) megjegyzés szerint b´ armely f ∈ L1 f¨ uggvényre

MΦ (M−x fˆ, ε) =

fˆ(t)e

−ıht,xi

Φ(εt) dt =

b ε (t − x) dt f (t)Φ

(x ∈ Rn ).

v) Az el˝obb mondottakhoz kapcsol´ odva l´ assuk be az al´ abbi ´ all´ıt´ ast. Legyen ehhez ϕ ∈ L1 ∩ C0 és vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o jel¨ oléseket: ψ(x) := kϕχRn \Kkxk (0) k∞ , ϕε (x) := ε−n ϕ(x/ε)

(x ∈ Rn ),

ahol Kr (0) := {t ∈ Rn : ktk < r} (r > 0), ill. ε > 0. Tegy¨ uk fel, hogy ψ ∈ L1 , 1 ≤ p ≤ +∞. Ekkor tetsz˝oleges f ∈ Lp f¨ uggvényre az f b´ armely x Lebesguepontjában igaz, hogy lim Tε f (x) = f (x)

ε→0

Z

ϕ(t) dt,

30

3.2. Inverzi´ os formula ahol Tε f (z) :=

Z

f (t)ϕε (t − z) dt (z ∈ Rn ).

Valóban, ha δ > 0 tetsz˝oleges, akkor v´ alasszuk az η > 0 sz´ amot u ´gy, hogy 1 rn

Z

Kr (0)

|f (x − t) − f (x)| dt < δ

(0 < r ≤ η).

(Emlékeztet¨ unk a Lebesgue-pont fogalm´ ara: 1 lim r→0 r n

Z

Kr (0)

Világos, hogy bármely 0 < ε-ra

R

|f (x − t) − f (x)| dt = 0.)

ϕε (t) dt =

R

ϕ(t) dt =: α, ezért

Z |Tε f (x) − αf (x)| = (f (x + t) − f (x)) ϕε (t) dt ≤

Z Z (f (x + t) − f (x)) ϕε (t) dt + (f (x + t) − f (x)) ϕε (t) dt =: Kη (0) Rn \Kη (0) I1 + I2 .

Az egyszer˝ uség kedvéért csak az n = p = 1 esetben részletezz¨ uk a bizony´ıtás további részét (az egyéb esetek anal´ og m´ odon intézhet˝ ok” el). ” Az I1 becsléséhez vegy¨ uk észre, hogy a ψ0 (r) := ψ(x) (x ∈ R, r = |x|) f¨ uggvénnyel (ami nyilván monoton fogy´ o és ψ integr´ alhat´ os´ aga miatt integrálható, azaz limr→+∞ ψ0 (r) = 0)

rψ0 (r) ≤

Z

{t∈R: r/2≤ktk≤r}

ψ(x) dx → 0

(r → 0 vagy r → +∞).

Következésképpen rψ0 (r) → 0, ha r → 0 vagy r → +∞. Ezért van olyan C > 0 konstans, amellyel rψ0 (r) ≤ C (0 < r < +∞). Mindezt el˝ ore bocsájtva azt mondhatjuk, hogy 1 I1 ≤ ε

Z

η −η

|f (x + t) − f (x)|ψ(t/ε) dt =


31 Z

1 ε

η

(|f (x − r) − f (x)| + |f (x + r) − f (x)|)ψ0(r/ε) dr.

0

Rs Legyen G(s) := 0 (|f (x − s) − f (x)| + |f (x + s) − f (x)|) ds (s ≥ 0). Ekkor a δ, ill. az η megválasztásából Z

r

−r

|f (x − t) − f (x)| dt =

Z

r 0

(|f (x − t) − f (x)| + |f (x + t) − f (x)|) dt =

G(r) ≤ rδ

(0 < r ≤ η).

Tehát parciális integrálással 1 I1 ≤ ε

Z

η

0

G(η)ψ0 (η/ε) 1 − G (r)ψ0 (r/ε) dr = ε ε ′

ηδψ0 (η/ε) 1 − ε ε Z δ C−

Z

η/ε

0

+∞ 0

Z

G(rε) d(ψ0 (r)) ≤ Cδ − δ rψ0′ (r) dr

Z =δ C+

η

G(r) d(ψ0 (r/ε)) ≤

0

Z

η/ε

r d(ψ0 (r)) ≤

0

+∞

ψ0 (r) dr

0

=

Z 1 δ C+ ψ(x) dx =: Bδ. 2 A most definiált B konstans nyilv´ an csak ψ-t˝ ol f¨ ugg. Az I2 becsléséhez legyen gη := χR\(−η,η) , ψε (x) := ε−1 ψ(x/ε)

(x ∈ R).

Ekkor I2 ≤ kf k1 kgη ψε k∞ + |f (x)|kgη ψε k1 . Az el˝obbi becslés második tagj´ ar´ ol ψ ∈ L1 miatt a k¨ ovetkez˝ ot mondhatjuk: kgη ψε k1 =

Z

R\(−η,η)

ψε (x) dx =

Z

R\(−η/ε,η/ε)

ψ(x) dx → 0

(ε → 0).

32

3.2. Inverzi´ os formula Ugyanakkor ηkgη ψε k∞ =

η ψ0 (η/ε) → 0 ε

(ε → 0).

Figyelembe véve az el˝obb az I1 -r˝ ol mondottakat az ´ all´ıt´ asunkat bebizony´ıtottuk. vi) RAz el˝obbi megjegyzésbeli szerepl˝ okkel a gλ := ϕ1/λ (λ > 0) f¨ uggvénysereg ϕ(t) dt = 1 esetén nyilván egységapproxim´ aci´ o (ld. i), ii) megjegyzések), ezért a ii)-ben megfogalmazott áll´ıt´ as szerint b´ armely f ∈ X f¨ uggvényre kTε f − f k∗ → 0

(ε → 0),

ahol

(X, k.k∗ ) :=

 p  (L , k.kp ) 

(C0 , k.k∞ )

(1 ≤ p < +∞) (p = +∞.)

R b ∈ L1 ∩C0 és Φ(t) b dt = 1, akkor bármely Speciálisan (ld. iv) megjegyzés), ha Φ, Φ R f ∈ L1 f¨ uggvényre az fˆ Fourier-transzform´ alt fˆ(t)e−ıht,xi Φ(εt) dt (x ∈ Rn ) Φ-integrálközepei ε → 0 esetén k.k1 -norm´ aban konverg´ alnak f -hez. Ha itt még 1 ˆ f ∈ L is igaz, akkor (az inverzi´ os formula fentebbi bizony´ıt´ as´ aban m´ ar alkalmazott technikával”) azt kapjuk, hogy a c := Φ(0) jel¨ oléssel ” Z (m.m. x ∈ Rn ). f (x) = c fˆ(t)e−ıht,xi dt Így pl. (ld. 2.3.1. ii) megjegyzés) a Φ(t) := (2π)−n e−ktk2 /2 (t ∈ Rn ) v´ alasztással ´jfent ad´ odik az inverzi´ os formula. Vil´ agos, hogy ha fˆ(x) = 0 c = (2π)−n , azaz u (m.m. x ∈ Rn ), akkor ugyanez igaz az f f¨ uggvényre is. Innen r¨ ogt¨ on következik 1 ˆ a Fourier-transzformáció injektivit´ asa: ha f, g ∈ L és f (x) = gˆ(x) (m.m. n x ∈ R ), akkor f (x) = g(x) (m.m. x ∈ Rn ). 2 √ vii) Válasszuk pl. vi)-ban (n = 1 esetén) a ϕ(t) := e−t / π (t ∈ R) f¨ uggvényt. Ekkor nyilván teljes¨ ulnek a ϕ-vel kapcsolatban vi)-ban (és v)-ben) megfogalmazott feltételek, ezért bármely f ∈ C0 f¨ uggvényre limε→0 kTε f − f k∞ = 0, ahol 1 Tε f (x) = √ ε π

Z

2

f (t)e−(t−x)

/ε2

dt

(x ∈ R).

Mutassuk meg a fentiek alapj´ an, hogy igaz a Weierstrass-féle approxim´ aciós tétel, nevezetesen: ha −∞ < a < b < +∞ és g : [a, b] → R folytonos, akkor bármely δ > 0 számhoz van olyan P (algebrai) polinom, amellyel


33

max |g(x) − P (x)| < δ.

a≤x≤b

Terjessz¨ uk ki ehhez a g f¨ uggvényt az egész sz´ amegyenesre u ´gy, hogy a kiterjesztett f¨ uggvényre (jelölj¨ uk ezt f -fel) f ∈ C0 és supp f ⊂ [a − 1, b + 1] teljes¨ uljön. (Ezt nyilván megtehetj¨ uk.) Ekkor limε→0 kTε f − f k∞ = 0 miatt b´ armely σ > 0 számhoz van olyan ε > 0, hogy kTε f − f k∞ < σ. K¨ ovetkezésképpen Z b+1 2 2 1 max g(x) − √ f (t)e−(t−x) /ε dt < σ. a≤x≤b ε π a−1

Ha x ∈ [a, b], t ∈ [a − 1, b + 1], akkor (t − x)/ε c := (a − b − 1)/ε, P∞∈ [c, d],k ahol 2k d := (b − a + 1)/ε. A [c, d] intervallumon a k=0 (−1) z /k! Taylor-sor egyenletesen konvergens, ´ıgy alkalmas N ∈ N természetes sz´ ammal N 2k X 2 2 (t − x) −(t−x) /ε − (−1)k 2k < σ. e ε k! k=0

Következésképpen a C := (b − a + 2)kf k∞ konstanssal tetsz˝ oleges [a, b] ∋ x-re Z Z b+1 N b+1 2k X 2 2 (t − x) f (t)e−(t−x) /ε dt − f (t) (−1)k 2k dt ≤ Cσ. a−1 ε k! a−1 k=0

Azt kaptuk tehát, hogy

N k Z b+1 X 1 C (−1) 2k max g(x) − √ f (t)(t − x) dt ≤ 1 + √ σ. a≤x≤b ε2k k! a−1 ε π ε π k=0

Mivel

Z

b+1

a−1

! Z b+1 2k X 2k f (t)(t − x)2k dt = (−1)j f (t)t2k−j dt xj =: j a−1 j=0 2k X j=0

ezért a

ckj xj

(k = 0, ..., N ),

34


N 2k 1 X (−1)k X P (z) := √ ckj z j ε π ε2k k! j=0

(z ∈ R)

k=0

f¨ uggvény polinom, amellyel max |g(x) − P (x)| ≤

a≤x≤b

C 1+ √ ε π

σ < δ,

hacsak σ elég kicsi. altnak a vi) megjegyzésben (az viii) Legyen f ∈ L1 , ekkor az fˆ Fourier-transzform´ R −ıht,xi ˆ ottani szerepl˝okkel) eml´ıtett f (t)e Φ(εt) dt (x ∈ Rn ) Φ-integrálközepei ε → 0 esetén v) szerint f (x)-hez tartanak az f f¨ uggvény minden x Lebesguepontjában. Nyilván minden olyan x pont ilyen, amelyben f folytonos, azaz f ∈ C{x} esetén Z

lim

ε→0

fˆ(t)e−ıht,xi Φ(εt) dt = f (x).

Ha tehát f ∈ C{0}, akkor lim

ε→0

Z

fˆ(t)Φ(εt) dt = f (0).

2 Tegy¨ uk fel, hogy fˆ ≥ 0 és legyen Φ(t) := (2π)−n e−ktk /2 (t ∈ Rn ). Ekkor

lim

ε→0

Z

2 2 fˆ(t)e−ε ktk /2 dt = (2π)n f (0),

azaz a Fatou-lemma miatt Z lim inf

ε→0

Z

Z

fˆ(t) dt =

−ε2 ktk2 /2

Z

|fˆ(t)| dt =

fˆ(t)e

dt = lim

ε→0

Z

2 2 lim inf fˆ(t)e−ε ktk /2 dt ≤

ε→0

2 2 fˆ(t)e−ε ktk /2 dt = (2π)n f (0) < +∞.

Ez azt jelenti, hogy fˆ ∈ L1 . K¨ ovetkezésképpen, ha f ∈ L1 , fˆ ≥ 0 és f ∈ C{0}, akkor igaz az inverziós formula:


35 1 f (x) = (2π)n

Továbbá f (0) = (2π)−n

R

Z

fˆ(t)e−ıht,xi dt

fˆ(t) dt.

ix) Legyen n = 1, g ∈ L1 és P g(t) := u ń. periodiz´ altja). Mivel Z

π

+∞ X

−π k=−∞

k=−∞

ezért a

P+∞

k=−∞

P+∞

g(t + 2kπ) (t ∈ [−π, π]) (a g f¨ uggvény

k=−∞

|g(t + 2kπ)|dt =

+∞ Z X

(m.m. x ∈ Rn ).

+∞ Z X

(2k−1)π

−π

k=−∞

(2k+1)π

|g(t)|dt =

Z

π

|g(t + 2kπ)|dt =

|g(t)|dt < +∞,

g(t + 2kπ) sor m.m. t ∈ R helyen abszol´ ut konvergens és Z

π −π

|P g(t)|dt ≤ kgk1 < +∞,

Rπ R azaz P g ∈ L1 [−π, π] és (a Lebesgue-tétel miatt) −π P g(t)dt = g(t)dt. Az P g f¨ uggvény nyilván periodikus 2π-szerint. Ha f ∈ L1 [−π, π], akkor terjessz¨ uk ki f -et R-re 2π-szerint periodikusan (a kiterjesztett f¨ uggvényt is f -fel jel¨ olj¨ uk). Legyen f ⋆ g := f ∗ (P g), ekkor

f ⋆ g(x) =

Z

+∞ X

π

−π k=−∞

f (x − t)g(t + 2kπ)dt

(x ∈ R).

Továbbá Z

π

−π

Z

|f ⋆ g(x)|dx ≤

π

−π

|f (x)|dx

+∞ Z X

k=−∞

+∞ Z X

k=−∞

π −π

Z

−π

|f (x − t)|dx |g(t + 2kπ)|dt =

π −π

π

|g(t + 2kπ)|dt =

Z

π −π

|f (x)|dx·

Z

|g(t)|dt,

36

3.2. Inverzi´ os formula tehát f ⋆ g ∈ L1 [−π, π] és kf ⋆ gk1 ≤ kf k1 · kgk1 . Ha pl. f (t) := ej (t) := eıjt (j ∈ Z, t ∈ [−π, π]), akkor Z

ıjx

f ⋆ g(x) = ej ⋆ g(x) = e

ıjx

e

Z

π

+∞ X

π

+∞ X

e−ıjt g(t + 2kπ)dt =

−π k=−∞

e−ıj(t+2kπ) g(t + 2kπ)dt =

−π k=−∞

ıjx

e

Z

π ıjx

−π

P (ge−j )(t)dt = e

Z

g(t)e−ıjt dt

(x ∈ R).

Legyen most θ ∈ L1 ∩ C olyan, hogy θˆ ∈ L1 és valamely 0 < m ∈ N mellett g(t) := θm (t) :=

m ˆ · θ(mt) 2π

(t ∈ R).

Az el˝obbiek és az inverziós formula (ld. 3.) szerint ıjx

ej ⋆ θm (x) = e

ıjx

e

1 2π

Z

m 2π

Z

−ıjt ˆ θ(mt)e dt =

−ıjt/m ˆ dt = eıjx θ(j/m) θ(t)e

(x ∈ R).

A továbbiakban feltessz¨ uk, hogy +∞ X

k=−∞

|θ(k/m)| < +∞

(0 < m ∈ N).

θ θ Definiáljuk ekkor a Tm , σm (0 < m ∈ N) oper´ atorokat a k¨ ovetkez˝ oképpen:

θ Tm f

:= f ⋆ θm ,

θ σm f

:=

+∞ X

k=−∞

θ(k/m)ck (f )ek

(f ∈ L1 [−π, π]),

Rπ ahol ck (f ) := (2π)−1 −π f (t)e−ıkt dt az f f¨ uggvény k-adik Fourier-egy¨ utthatója. 1 A fentiek alapján bármely f ∈ L [−π, π] f¨ uggvényre


37

θ kTm f k1

mkf k1 = kf ⋆ θm k1 ≤ kf k1 · kθm k1 = 2π kf k1 2π

Z

ˆ |θ(t)|dt =

Z

ˆ |θ(mt)|dt =

ˆ 1 kθk kf k1 , 2π

´ıgy a θ Tm : L1 [−π, π] → L1 [−π, π]

(0 < m ∈ N)

(nyilván lineáris) operátorok (egyenletesen) korl´ atos line´ aris oper´ atorok. Hasonlóan,

θ kσm f k1

azaz a

P+∞

k=−∞

≤

+∞ X

k=−∞

|θ(k/m)|· |ck (f )|· kek k1 ≤ kf k1 ·

+∞ X

k=−∞

|θ(k/m)|,

|θ(k/m)| < +∞ (0 < m ∈ N) feltétel miatt a θ σm : L1 [−π, π] → L1 [−π, π]

(0 < m ∈ N)

operátorok is korlátos line´ aris oper´ atorok. Mivel ck (ej ) = δkj (k, j ∈ Z), ezért θ θ σm ej = θ(j/m)ej = Tm ej

(j ∈ Z, 0 < m ∈ N),

θ θ amib˝ol bármely τ trigonometrikus polinomra is σm τ = Tm τ következik. Tudjuk, hogy a trigonometrikus polinomok halmaza k.k1 -ban minden¨ utt s˝ ur˝ u 1 az (L [−π, π], k.k1) Banach-térben, ´ıgy egy´ uttal θ θ σm f = Tm f

(f ∈ L1 [−π, π], 0 < m ∈ N).

S˝ot, ha θ(0) = 1, akkor

θ kσm ej − ej k1 = |1 − θ(j/m)|· kej k1 = |1 − θ(j/m)| → 0

(m → ∞).

38

3.2. Inverzi´ os formula ¨ Osszefoglalva a fentieket (a Banach-Steinhaus-tételre hivatkozva) az alábbi tételt láttuk be: tegy¨ uk fel, hogy a θ ∈ L1 ∩ C f¨ uggvényre a k¨ ovetkez˝ o feltételek teljes¨ ulnek: P+∞ θˆ ∈ L1 , θ(0) = 1 , k=−∞ |θ(k/m)| < +∞

(0 < m ∈ N).

θ Ekkor b´ armely f ∈ L1 [−π, π] esetén kσm f − f k1 → 0

(m → ∞).

Az itt szerepl˝o (L1 [−π, π], k.k1) tér kicserélhet˝ o (C[−π, π], k.k∞)-re vagy p (L [−π, π], k.kp)-re (1 ≤ p < +∞), s˝ ot, tetsz˝ oleges (X, k.k∗ ) homogén Banachtérre. (Tehát T ⊂ X ⊂ L1 [−π, π] (a trigonometrikus polinomok halmazát T-vel jelölve), k.k1 ≤ k.k∗ , Tx f ∈ X, kTx f k∗ = kf k∗ (f ∈ X, x ∈ R), ill. minden X ∋ f -hez megadható trigonometrikus polinomoknak egy olyan (τm ) sorozata, hogy kf − τm k∗ → 0 (m → ∞).) θ (0 < m ∈ N) oper´ atorok egy speci´ alis szumm´ aci´ os elj´ ar´ ast határoznak A σm P ∞ meg. Legyen ui. valamely k=−∞ xk sz´ amsor esetén

tm :=

∞ X

(0 < m ∈ N).

θ(k/m)xk

k=−∞

P+∞ Ha a θ páros f¨ uggvényre igaz, hogy (0 < m ∈ N), k=0 |θ(k/m)| < +∞ akkor nyilván minden korl´ atosP(xk ) sorozatra létezik a (tm ) (sz´ am-)sorozat. Azt ∞ mondjuk, hogy a szóban forg´ o k=−∞ xk sor θ-szumm´ abilis, ha a (tm ) sorozatnak van (véges) határértéke. Ez ut´ obbi esetben limm→∞ tm a sor θ-szumm´ aja. Legyen S−1 := 0 , Sm :=

m X

k=−m

xk

(k ∈ N).

Ekkor

tm =

∞ X j=0

θ(k/m)(Sk − Sk−1 ) = ∞ X j=0

amj Sj

∞ X j=0

(θ(j/m) − θ((j + 1)/m)) Sj =:

(0 < m ∈ N).

Az ismert Toeplitz-tétel szerint ez a szumm´ aci´ o akkor és csak akkor permanens (azaz limm→∞ tm = limm→∞ Sm ), ha


sup

39

∞ X

0<m∈N j=0

|amj | < +∞ ,

lim

m→∞

P+∞ A k=−∞ |θ(k/m)| < +∞ (0 < m ∈ N), ezért ∞ X

∞ X

amj = 1 ,

lim amj = 0

m→∞

j=0

(j ∈ N).

(0 < m ∈ N) feltétel miatt limk→∞ θ(k/m) = 0

(0 < m ∈ N).

amj = θ(0)

j=0

P∞ Tehát θ(0) = 1 esetén limm→∞ j=0 amj = 1. Ha θ még folytonos is 0-ban, akkor P∞ nyilván limm→∞ amj = 0 (j ∈ N) is igaz. A sup0<m∈N j=0 |amj | < +∞ korlátossági feltétel is teljes¨ ul, ha pl. a θ f¨ uggvény korl´ atos v´ altoz´ as´ u.

Ha pl. a θ ∈ L1 f¨ uggvényr˝ ol azt tudjuk, hogy θˆ ≥ 0 és θ ∈ C{0}, akkor (ld. viii)) 1 ˆ θ∈L . Világos, hogy ha θ := χ[−1,1] , akkor a θ-szumm´ aci´ o a sz´ oban forgó sorok közönséges értelemben vett (szimmetrikus) ¨ osszegzését jelenti. Hasonlóan, ha γ > 0 és θ(t) := (1 − |t|γ )χ[−1,1] (t) (t ∈ R), akkor a klasszikus Riesz-szummációhoz jutunk. Speciálisan a γ = 1 v´ alaszt´ assal kapjuk a (C, 1)- (vagy Fejérféle) összegzést. (Számos egyéb klasszikus szumm´ aci´ os elj´ ar´ as ´ırhat´ o le még ilyen módon.) θ x) A fentiekben bevezetett σm (0 < m ∈ N) oper´ atorokr´ ol a k¨ ovetkez˝ oket mondhatjuk:

θ σm f (x)

=

∞ X

θ(k/m)

k=−∞ ∞ Z X

k=−∞

ahol Cm := ∞ X

k=−∞

P∞

k=−∞

−π

1 2π

Z

π

−π

−ıkt

e

dt eıkx =

1 f (t)θ(k/m)eık(x−t) dt, 2π

|θ(k/m)| < +∞ (0 < m ∈ N) miatt

ık(x−t)

|f (t)θ(k/m)e

π

|=

Ezért a Lebesgue-tétel szerint

∞ X

k=−∞

|f (t)|· |θ(k/m)| ≤ Cm |f (t)|

(t ∈ [−π, π]).

40


θ σm f (x)

Z

Z

∞ 1 X = f (t) θ(k/m)eık(x−t) dt = 2π −π π

k=−∞

π

−π

θ θ f (t)Km (x − t) dt = f ∗ Km (x)

(x ∈ [−π, π])

a θ Km

∞ 1 X := θ(k/m)ek 2π

(0 < m ∈ N)

k=−∞

magf¨ uggvénnyel. A Cm < +∞ feltételb˝ ol k¨ ovetkez˝ oen a (2π-szerint periodikus) θ θ Km -t definiáló végtelen sor egyenletesen konvergens, ´ıgy Km ∈ C[−π, π]. Innen az is következik, hogy az θ C[−π, π] ∋ f 7→ σm f ∈ C[−π, π]

(0 < m ∈ N)

θ operátor normája kKm k1 . Mivel

θ θ kσm f k∞ = kTm f k∞ ≤ kf k∞ · kθm k1 =

1 ˆ kθk1 · kf k∞ 2π

(f ∈ C[−π, π]),

θ ˆ 1 /(2π), azaz ezért kKm k1 ≤ kθk θ sup kKm k1 ≤

0<m∈N

1 ˆ kθk1 . 2π

Kés˝obb belátjuk (ld. xii)), hogy a fenti egyenl˝ otlenségben egyenl˝ oség is ´ırható. xi) Világos, hogy Cm < +∞ (0 < m ∈ N) alapj´ an (ld. Lebesgue-tétel) θ cl (Km )

Z π ∞ 1 X 1 = θ(k/m) eıkt e−ılt dt = θ(l/m) 2 4π 2π −π k=−∞

(l ∈ Z).

Ugyanakkor θˆ ∈ L1 miatt (az inverzi´ os formul´ at is alkalmazva) 1 cl (P θm ) = 2π

Z

π

−π

−ılt

P θm (t)e

1 dt = 2π

Z

π

∞ X

−π j=−∞

θm (t + 2jπ)e−ılt dt =


41

m (2π)2 m (2π)2 m (2π)2

Z

Z

Z

∞ X

ˆ θ(m(t + 2jπ))e−ılt dt =

−π j=−∞

2π 0

π

∞ X

ˆ θ(m(t + 2jπ))e−ıl(t+2jπ) dt =

j=−∞

1 1 −ılt ˆ θ(mt)e dt = 2π 2π

Z

1 −ıtl/m ˆ θ(t)e dt = θ(l/m) 2π

(l ∈ Z).

θ Tehát Km (t) = P θm (t) (m.m. t ∈ [−π, π]), azaz ∞ X

θ(k/m)eıkt = m

∞ X

ˆ θ(m(t + 2jπ))

( m.m. t ∈ R, 0 < m ∈ N).

j=−∞

k=−∞

(Ld. még: Poisson-formula (5.1.1. vii) megjegyzés).) xii) (Tyeljakovszkij (1961), Zsuk-Natanszon (1983).) Mutassuk meg, hogy (a ix)-beli feltételek mellett) θ k1 = sup kKm

0<m∈N

1 ˆ kθk1 . 2π

Bontsuk fel ehhez a θm (0 < m ∈ N) f¨ uggvényt a k¨ ovetkez˝ oképpen: (1) (2) θm = θm χ[−π,π] + θm χR\[−π,π] =: θm + θm .

Ekkor tetsz˝oleges (2π-szerint periodikus) f ∈ C[−π, π] f¨ uggvényre (1) (2) kf ∗ P θm k∞ ≥ kf ∗ P θm k∞ − kf ∗ P θm k∞ ≥

(1) (2) (1) (2) kf ∗ P θm k∞ − kf k∞ kP θm k1 ≥ kf ∗ P θm k∞ − kf k∞ kθm k1 ,

ahol

(2) kθm k1

Z

m = |θm (t)| dt = 2π {x∈R:|x|>π}

Z

{x∈R:|x|>π}

ˆ |θ(mt)| dt =

42

3.2. Inverzi´ os formula 1 2π

Z

ˆ |θ(t)| dt → 0

{x∈R:|x|>mπ}

(m → ∞).

A folytonos mag´ u integr´ al-oper´ atorok norm´ aj´ aval kapcsolatos klasszikus ismeretek alapján (1) (1) kθm k1 = kP θm k1 =

sup {f ∈C[−π,2π]:kf k∞=1}

(1) kf ∗ P θm k∞ ,

ezért alkalmas gk ∈ C[−π, π], kgk k∞ = 1 (0 < k ∈ N) sorozattal (1) (1) k1 − 1/m < kgm ∗ P θm k∞ kθm

(0 < m ∈ N).

Következésképpen az el˝obbiekre tekintettel azt mondhatjuk, hogy 1 ˆ θ θ kθk1 = kθm k1 ≥ kP θm k1 = kKm k1 ≥ kgm ∗ Km k∞ = 2π (1) (2) kgm ∗ P θm k∞ > kθm k1 − 1/m − kθm k1

(0 < m ∈ N).

Innen lim inf m→∞

θ kKm k1

1 lim inf 2π m→∞

Z

≥ lim inf m→∞

(1) kθm k1

1 = lim inf 2π m→∞

mπ

1 ˆ |θ(t)| dt = lim 2π m→∞ −mπ

Z

mπ

−mπ

Z

π

ˆ m|θ(mt)| dt =

−π

ˆ |θ(t)| dt =

1 ˆ kθk1 , 2π

amib˝ol az áll´ıtásunk már nyilv´ anval´ o. xiii) (Sz˝ okefalvi-Nagy (1948), (Young-)Hardy (1922).) B´ armely (2π-szerint periodikus) f ∈ C[−π, π] f¨ uggvény és x ∈ [−π, π] esetén θ σm f (x)

1 = 2π

Z

ˆ dt. f (x − t/m)θ(t)

θ θ A Tm = σm (0 < m ∈ N) egyenl˝ oségb˝ ol ui. θ σm f (x)

= f ⋆ θm (x) =

Z

π

∞ X

−π k=−∞

f (x − t)θm (t + 2kπ) dt =


43 Z

π

∞ X

−π k=−∞

∞ Z X

k=−∞

f (x − (t + 2kπ))θm (t + 2kπ) dt =

π

−π

f (x − (t + 2kπ))θm (t + 2kπ) dt =

m 2π

Z

1 ˆ f (x − t)θ(mt) dt = 2π

Z

Z

f (x − t)θm (t) dt =

ˆ dt. f (x − t/m)θ(t)

P+∞ xiv) A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a θ ∈ L1 ∩ C, k=−∞ |θ(k/m)| < +∞ (0 < m ∈ N) feltételek mellett mikor igaz az al´ abbi k¨ ovetkeztetés: θ k1 < +∞ =⇒ θˆ ∈ L1 . sup kKm

(∗)

0<m∈N

θ Becs¨ ulj¨ uk ehhez kKm k1 -et a k¨ ovetkez˝ oképpen: ha 0 < m, M, N ∈ N és M ≤ mπ, akkor

Z mπ +∞ +∞ X X 1 θ ıkt ıkt/m θ(k/m)e dt = θ(k/m)e 2πkKm k1 = dt ≥ −π −mπ m Z

π

k=−∞

+∞ 1 X θ(k/m)eıkt/m dt ≥ −M m

Z

Z

M

−M

1 m

mN X

k=−mN

1 −M m

Z

Mivel m−1

k=−∞

M

PmN

k=−mN

M

k=−∞

Z M 1 θ(k/m)eıkt/m dt − −M m mN X

k=−mN

X ıkt/m θ(k/m)e dt ≥ |k|>mN

2M θ(k/m)eıkt/m dt − m

X

|k|>mN

|θ(k/m)|.

θ(k/m)eıkt/m (−M ≤ t ≤ M ) nem m´ as, mint a [−N, N ] ∋ x 7→ θ(x)eıtx

f¨ uggvény (Riemann-) integr´ al k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszege, ezért

44


1 lim m→∞ m

mN X

ıkt/m

θ(k/m)e

=

Z

N

θ(x)eıtx dx

(−M ≤ t ≤ M ).

−N

k=−mN

Ugyanakkor tetsz˝oleges 0 < m ∈ N, −M ≤ t ≤ M esetén 1 m

mN X

k=−mN

θ(k/m)eıkt/m ≤ (2N + 1) max |θ(x)|, |x|≤N

ezért a Lebesgue-féle konvergencia-tétel értelmében

lim

m→∞

Továbbá

1 −M m

Z

mN X

M

1 m

k=−mN

X

|k|>mN

Z M ıkt/m θ(k/m)e dt = −M

|θ(k/m)| ≤

Z N θ(x)eıtx dx dt. −N

m−1 1 X X |θ(j + l/m)|. m |j|≥N l=0

Tegy¨ uk fel, hogy alkalmas γj ≥ 0 (j ∈ Z) sz´ amokkal m−1 1 X |θ(j + l/m)| ≤ γj m

(∗∗)

l=0

(j ∈ Z, 0 < m ∈ N) ,

+∞ X

γj < +∞.

j=−∞

Ekkor m−1 X 1 X X |θ(j + l/m)| ≤ γj . m |j|≥N l=0

|j|≥N

Tehát

θ 2πkKm k1 ≥

azaz

Z

M

−M

1 m

mN X

k=−mN

X ıkt/m θ(k/m)e γj , dt − 2M |j|≥N


45

Z

θ 2π sup kKm k1 ≥ lim

m→∞

0<m∈N

Z

M

−M

1 m

mN X

k=−mN

X ıkt/m θ(k/m)e γj = dt − 2M |j|≥N

Z N X ıtx θ(x)e dx dt − 2M γj . −M −N M

|j|≥N

R N Vegy¨ uk figyelembe, hogy egyrészt −N θ(x)eıtx dx ≤ kθk1 (|t| ≤ M ), ezért a Lebesgue-tétel szerint lim

N→∞

Z

Z Z M N ıtx θ(x)e dx dt = −M −N −M M

Z

M

−M

Másrészt a

P

j∈Z

N→∞

Innen

ıtx

θ(x)e

−∞

Z dx dt =

M

−M

P

ˆ θ(t) dt.

|j|≥N

γj → 0 (N → ∞), ´ıgy

Z Z M N X ˆ ıtx θ(x)e dx dt−2M lim γj = θ(t) dt. N→∞ −M −N −M

Z

M

ˆ 1 = lim kθk

M →∞

már következik.

+∞

γj < +∞ feltételezés miatt

θ sup kKm k1 ≥ lim

0<m∈N

Z

Z N θ(x)eıtx dx dt = lim N→∞ −N

|j|≥N

Z

M

−M

ˆ θ k1 < +∞ θ(t) dt ≤ 2π sup kKm 0<m∈N

xv) A fentiekhez a következ˝o észrevételeket f˝ uzz¨ uk. • Tegy¨ uk fel, hogy f ∈ C és legyen +∞ X

m−1 1 X kf kS := sup |f (j + l/m)|, m j=−∞ 0<m∈N

ill.

l=0

46


S(C, ℓ1 ) := {f ∈ C : kf kS < +∞}. R j+1 Pm−1 Mivel m−1 l=0 |f (j + l/m)| (f ∈ S(C, ℓ1 ), 0 < m ∈ N) az j |f (t)| dt integrálnak egy közel´ıt˝o összege, ezért Z j+1 m−1 1 X lim |f (j + l/m)| = |f (t)| dt. m→∞ m j l=0

Következésképpen Z j+1 m−1 1 X |f (j + l/m)| ≥ |θ(t)| dt. sup 0<m∈N m j l=0

Innen Z +∞ X

|f (t)| dt =

+∞ Z X

j=−∞

j

j+1

|θ(t)| dt ≤

m−1 1 X |f (j + l/m)| = kf kS < +∞ m 0<m∈N j=−∞

sup

l=0

miatt S(C, ℓ1 ) ⊂ L1 ∩ C k¨ ovetkezik. Könnyen látható, hogy S(C, ℓ1 ) vektortér (R felett) és k.kS norma. Ui. k0kS = 0 triviális. Ha viszont kf kS = 0, akkor tetsz˝ oleges j ∈ Z, 0 < m ∈ N esetén f (j + l/m) = 0 (l = 0, ..., m − 1). Viszont b´ armely x ∈ R számhoz és ε > 0 k¨ uszöbhöz” az f folytonoss´ aga miatt megadhat´ ok a j ∈ Z, 0 < m ∈ N, ” l = 0, ..., m − 1 számok u ´gy, hogy az y := j + l/m jel¨ oléssel |f (x) − f (y)| = |f (x)| < ε egyenl˝otlenség teljes¨ ulj¨ on. Ezért f (x) = 0, azaz f ≡ 0. Továbbá a kλf kS = |λ|· kf kS (f ∈ S(C, ℓ1), λ ∈ R) egyenl˝ oség, ill. az kf + gkS ≤ kf kS + kgkS (f, g ∈ S(C, ℓ1 )) egyenl˝ otlenség szintén meglehet˝ osen nyilvánval´ o. • Következésképpen (S(C, ℓ1), k.kS ) norm´ alt tér. Legyen adott egy fn ∈ S(C, ℓ1 ) (n ∈ N) sorozat és tegy¨ uk fel, hogy valamely f ∈ S(C, ℓ1 ) f¨ uggvénnyel kfn − f kS → 0 Tehát

(n → ∞).


47

+∞ X

m−1 1 X sup |fn (j + l/m) − f (j + l/m)| → 0 m j=−∞ 0<m∈N l=0

(n → ∞).

Ha 0 6= r ∈ R racionális sz´ am, akkor alkalmas j0 ∈ Z, 0 < m0 ∈ N, agos, hogy l0 = 0, ..., m0 − 1 számokkal r = j0 + l0 /m0 . Vil´

|fn (r) − f (r)| ≤

m 0 −1 X l=0

|fn (j0 + l/m0 ) − f (j0 + l/m0 )| ≤ m0 kfn − f kS

(n ∈ N),

azaz f (r) = lim(fn (r)). • Mutassuk meg, hogy az (S(C, ℓ1 ), k.kS ) tér nem teljes. Legyen ehhez 0 < n ∈ N esetén

fn (t) :=

  sin(π/x) (1/n ≤ x ≤ 1) 

(x ∈ R \ (1/n, 1)).

0

Nyilvánvaló, hogy fn ∈ C, ill.

kfn kS =

m−1 1 X |fn (l/m)| ≤ 1 0<m∈N m

sup

l=0

a, ha 0 < n, k, m ∈ N, k > n, akkor miatt fn ∈ S(C, ℓ1 ). Tovább´ m−1 X l=0

m−1 X

l=0,1/k
|fn (l/m) − fk (l/m)| =

|fn (l/m) − fk (l/m)| =

m−1 X

l=0,m/k
|fk (l/m)| ≤

ezért m−1 1 X kfn − fk kS = sup |fn (l/m) − fk (l/m)| ≤ 0<m∈N m l=0

m m − , n k

48

3.2. Inverzi´ os formula 1 1 − →0 n k

(n, k → ∞).

Ez azt jelenti, hogy az (fn ) sorozat Cauchy-sorozat a k.kS norm´ ara nézve. Ha lenne olyan f ∈ S(C, ℓ1 ) f¨ uggvény, amellyel kfn − f kS → 0 (n → ∞) teljes¨ ulne, akkor az el˝oz˝oek szerint minden r ∈ (0, 1) racion´ alis sz´ amra f (r) = lim(fn (r)) = sin(π/r). Ilyen f : R → R folytonos f¨ uggvény viszont nincs. • Egy f ∈ C[0, 1] f¨ uggvény esetén jel¨ olj¨ uk sm -mel a k¨ ovetkez˝ o´ atlagot: m−1 1 X sm (f ) := |f (l/m)| m l=0

(0 < m ∈ N).

Legyen továbbá

fml := max{|f (t)| : l/m ≤ t ≤ (l + 1)/m}

(l = 0, ..., m − 1),

ill.

Sm (f ) :=

m−1 1 X fml m l=0

(0 < m ∈ N)

és s(f ) :=

sup sm (f ) , S(f ) :=

0<m∈N

sup Sm (f ).

0<m∈N

Világos, hogy s(f ) ≤ S(f ). Tekints¨ uk ugyanakkor valamely 0 < n ∈ N esetén azt az fn ∈ C[0, 1] f¨ uggvényt, amelynek a grafikonja a [0, 1/n] intervallum felett egy 1-magasság´ u egyenl˝ o sz´ ar´ u h´ aromsz¨ og és fn (t) := 0 (1/n ≤ t ≤ 1). Ekkor S1 (fn ) = 1 miatt S(fn ) ≥ 1. Ugyanakkor m = 1, ..., n esetén sm (fn ) = 0, m´ıg ha m = n + 1, n + 2, ..., akkor [m/n] [m/n] 1 X 1 X 1 sm (fn ) = fn (l/m) ≤ 1≤ . m m n l=1

l=1


49

Tehát s(fn ) ≤ 1/n (0 < n ∈ N), azaz nincs olyan q ≥ 0 konstans, amellyel S(f ) ≤ q· s(f ) teljes¨ ulne tetsz˝ oleges f ∈ C[0, 1] f¨ uggvényre. Vezess¨ uk be egy f ∈ S(C, ℓ1 ) f¨ uggvényre az al´ abbi jel¨ olést: kf kSW :=

+∞ X

j=−∞

m−1 1 X sup kf χ[j+l/m,j+(l+1)/m] k∞ . 0<m∈N m l=0

Nyilvánvaló, hogy k.kSW norma és k.kS ≤ k.kSW , de a fentiek szerint a két szóban forgó norma nem ekvivalens. • Igaz tehát az alábbi következtetetés: θ tegy¨ uk fel, hogy θ ∈ S(C, ℓ1 ). Ekkor sup0<m∈N kKm k1 < +∞ =⇒ θˆ ∈ L1 .

• Nyilvánvaló, hogy m−1 1 X |θ(j + l/m)| ≤ sup |θ(j + x)| m 0≤x<1 l=0

(j ∈ Z).

Ezért +∞ X

sup |θ(j + x)| < +∞

j=−∞ 0≤x<1

esetén a γj := sup0≤x<1 |θ(j + x)| (j ∈ Z) v´ alaszt´ as eleget tesz (∗∗)-nak. Legyen azonban θ ∈ C olyan, amelyre kθχ(j,j+1/j) k∞ = 1/j (j = 1, 2, ...) és θ(t) = 0 1 (t ∈ R\A), ahol A := ∪∞ es b´ armely 0 < m ∈ N, j ∈ Z j=1 (j, j +1/j). Ekkor θ ∈ L ´ mellett

1 m

m−1 X l=0

|θ(j + l/m)| ≤

tehát (∗∗) teljes¨ ul. Viszont +∞ X

 0 

m−1

P[m/j] l=1

sup |θ(j + x)| =

j=−∞ 0≤x<1

(j ≤ 0) 1/j ≤ j −2 =: γj

+∞ X 1 j=1

j

= +∞.

(0 < j),

50

3.2. Inverzi´ os formula • Legyen valamely f : R → R f¨ uggvény esetén kf kW :=

∞ X

sup |f (k + x)|,

k=−∞ x∈[0,1)

olummal az ¨ osszes olyan folytonos f : R → R f¨ uggill. jelölj¨ uk a W (C, ℓ1 ) szimb´ vény által alkotott halmazt, amelyre kf kW < +∞. A fentiek szerint W (C, ℓ1 ) valódi altere S(C, ℓ1 )-nek, ill. (Feichtinger-Weisz (2006)): θ tegy¨ uk fel, hogy θ ∈ W (C, ℓ1 ). Ekkor sup0<m∈N kKm k1 < +∞ =⇒ θˆ ∈ L1 .

• (Zsuk-Natanszon (1983).) Vil´ agos, hogy ha a sz´ oban forg´ o θ kompakt tartój´ u folytonos f¨ uggvény, akkor θ ∈ W (C, ℓ1 ). Ezért minden ilyen θ esetén igaz a (∗) következtetés. Megjegyezz¨ uk, hogy ekkor a fenti bizony´ıt´ as lényegesen leegyszer˝ usödik. Ha ui. 0 < N ∈ N olyan, hogy supp θ ⊂ [−N, N ], akkor P ıkt/m = 0 (|t| ≤ M ), azaz |k|>mN θ(k/m)e 1 θ k1 ≥ 2πkKm −M m Z

mN X

M

k=−mN

következésképpen

θ k1 ≥ lim 2π sup kKm

m→∞

0<m∈N

Z

Z

1 −M m M

θ(k/m)eıkt/m dt, mN X

k=−mN

ıkt/m θ(k/m)e dt =

Z Z M N ˆ ıtx θ(x)e dx dt = θ(x) dt. −M −N −M M

• Ha pl. α : [0, +∞) → [0, +∞) monoton fogy´ o, β : (−∞, 0] → [0, +∞) pedig monoton növ˝o f¨ uggvény és

|θ(x)| ≤ akkor

|θ(j + l/m)| ≤

  α(j) (j ≥ 0) 

β(j)

(j < 0)

  α(x) 

β(x)

(x ≥ 0) (x < 0),

(j ∈ Z, 0 < m ∈ N, l = 0, ..., m − 1).

3.2. Inverzi´ os formula Ezért a

P∞

51

j=0 (αj

+ β(−j − 1)) < +∞ feltétel elegend˝ o (∗)-hoz.

• Ha θ ∈ S(C, ℓ1), akkor +∞ +∞ m−1 X 1 X 1 X sup |θ(k/m)| ≤ sup |θ(j + l/m)| = kθkS < +∞, m 0<m∈N m j=−∞ 0<m∈N k=−∞

l=0

´ıgy

(∗ ∗ ∗)

+∞ 1 X |θ(k/m)| < +∞. 0<m∈N m

sup

k=−∞

Pm−1 Viszont l=0 |θ(j + l/m)| ∼ |j|−1−1/m (0 < m, |j| ∈ N) esetén (nem nehéz P+∞ ilyen θ f¨ uggvényt konstruálni) k=−∞ |θ(k/m)| ∼ m, azaz (∗ ∗ ∗) igaz, de (∗∗) nem (azaz θ ∈ / S(C, ℓ1 )). Ui. γj ∼ 1/(|j| ln |j|) (1 < |j| ∈ N), ´ıgy kθkS = +∞. K´ erd´ es: elegend˝o-e a (∗) k¨ ovetkeztetéshez a (∗ ∗ ∗) feltétel?

• (Trigub (1974-1975).) Tegy¨ uk fel, hogy f ∈ L1 és supp f ⊂ [−π, π]. Legyen fô (x) := ı

Z

f (t) sign te−ıtx dt

(x ∈ R).

1) Tekints¨ uk az al´ abbi kijelentéseket: 1o fˆ ∈ L1 , P∞ ˆ 2o k=−∞ maxk≤x≤k+1 |f (x)| < +∞, P∞ 3o van olyan ξ ∈ (0, 1), hogy k=−∞ (|fˆ(k)| + |fˆ(k + ξ)|) < +∞, P∞ ˆ ˆ′ 4o k=−∞ (|f (k)| + |(f ) (k)|) < +∞, P∞ ˆ ˆ ˆ 5o k=−∞ (|f (k)| + |fo (k + 1) − fo (k)|) < +∞.

Ekkor 1o ⇐⇒ 2o ⇐⇒ 3o ⇐⇒ 4o ⇐⇒ 5o .

Megjegyezz¨ uk, hogy jóval kor´ abbr´ ol m´ ar ismert volt az al´ abbi ´ all´ıt´ as (ld. Wiener (1933)): van olyan C > 0 abszol´ ut konstans, amellyel ∞ X

k=−∞

max

k≤x≤k+1

|fˆ(x)| ≤ Ckfˆk1 .

52

3.2. Inverzi´ os formula 2) Jelölj¨ uk f∗ -gal a következ˝ o f¨ uggvényt: f∗ (t) := tf (t) (t ∈ R). Világos, hogy az f -re tett feltétel miatt f∗ ∈ L1 . Ezért a Fourier-transzformáció és a deriválás kapcsolat´ ab´ ol fb∗ (x) = −ı(fˆ)′ (x) (x ∈ R). Tehát |fb∗ | = |(fˆ)′ |, következésképpen a 4o feltétel azt jelenti, hogy az f χ[−π,π] , f∗ χ[−π,π] f¨ uggvények (trigonometrikus) Fourier-sorai abszol´ ut konvergensek. Így az o o 1 ⇐⇒ 4 ekvivalenci´ at szem el˝ ott tartva a k¨ ovetkez˝ ot mondhatjuk: f ∈ L1 , supp f ⊂ [−π, π] esetén fˆ ∈ L1 akkor és csak akkor igaz, ha az f χ[−π,π] , f∗ χ[−π,π] f¨ uggvények (trigonometrikus) Fourier-sorai abszol´ ut konvergensek.

3) Legyen most θ ∈ C[−π, π], xk := 2kπ/(2n + 1) (k = −n, ..., n). Ekkor R π Pn a supn∈N −π −n θ(xk )eıkx dx < +∞ korl´ atoss´ ag azzal ekvivalens, hogy uggvények (trigonometrikus) Fourier-sorai abszol´ ut a θχ[−π,π] , θ∗ χ[−π,π] f¨ 1 ˆ konvergensek, azaz az el˝ obbiek szerint azzal, hogy θ ∈ L . xvi) Ha most  (C[−π, π], k.k∞)     (X, k.k∗ ) := vagy     1 L [−π, π], k.k1 ,

θ θ ekkor a σm : X → X oper´ ator norm´ aja kKm k1 (0 < m ∈ N). Ezért (az el˝ozményeket ld. fentebb) θ(0) = 1 esetén a Banach-Steinhaus-tételt figyelembe véve a következ˝ot mondhatjuk:

θ lim kσm f − f k∗ = 0 (f ∈ X)

m→∞

⇐⇒

θˆ ∈ L1 .

Vég¨ ul, ha θ ∈ W (C, ℓ1 ), θ(0) = 1, akkor θ lim kσm f − f k2 = 0

(f ∈ L2 [−π, π]).

m→∞

Valóban, tetsz˝oleges 0 < m ∈ N esetén a Parseval-egyenl˝ oség szerint θ kσm f k22

2π

∞ X

k=−∞

= kf ∗

|ck (f )|

2

θ Km k2

∞ X θ 2 ck (f ∗ Km = 2π ) =

θ 2 · |ck (Km )|

k=−∞

= 2π

∞ X

k=−∞

|ck (f )|2 · |θ(k/m)|2 ≤


53

2π· sup |θ(k/m)| k∈Z

2

∞ X

k=−∞

|ck (f )|2 = sup |θ(k/m)|2 · kf k22 . k∈Z

Ha k = jm + l ∈ Z (j ∈ Z, l = 0, ..., m − 1), akkor |θ(k/m)| = |θ(j + l/m)| ≤ sup |θ(j + x)| ≤ kθkW (C,ℓ1 ) , x∈[0,1)

θ f k2 ≤ kθkW (C,ℓ1 ) · kf k2 . Ez azt (is) jelenti, hogy a azaz kσm θ σm : L2 [−π, π] → L2 [−π, π]

(0 < m ∈ N)

operátor-sorozat egyenletesen korl´ atos. Innen az ´ all´ıt´ asunk m´ ar a BanachSteinhaus-tétel alapján következik (figyelembe véve, hogy a trigonometrikus polinomok halmaza k.k2 -ban minden¨ utt s˝ ur˝ u L2 [−π, π]-ben). Jegyezz¨ uk meg, hogy mindez nem igaz akkor, ha csak θ ∈ S(C, ℓ1 ). Tekints¨ uk ui. azt a θ f¨ uggvényt, amelyre kθχ(j,j+1/j 2 ) k∞ =

√

j

(|j| = 1, 2, ...) és θ(t) = 0 (t ∈ R \ A),

S∞ √ ahol A := |j|=1 (j, j + 1/j 2 ) és mondjuk θ(j + 1/(2j 2 )) = j (0 < |j| ∈ N). Ekkor θ ∈ S(C, ℓ1 ) lényegében ugyan´ ugy ad´ odik, mint fentebb a W (C, ℓ1 ) 6= S(C, ℓ1) relációt igazoló anal´ og péld´ ankban (a γj := j −3/2 (0 < |j| ∈ N) választással). Viszont a k jm + l l 1 = =j+ =j+ 2 m m m 2j

(0 < j ∈ N)

esetben, amikor is tehát m := 2j 2 , l := 1, azt mondhatjuk, hogy |θ(k/m)| = amib˝ol

√

j,

sup sup |θ(k/m)| = +∞

0<m∈N k∈Z

θ θ következik. Mivel σm ek = θ(k/m)ek (k ∈ Z, 0 < m ∈ N), ezért kσm ek k2 = θ |θ(k/m)|· kek k2 . Innen (ld. vi)) vil´ agos, kσm k = supk∈Z |θ(k/m)|. Más szóval θ a σm : L2 [−π, π] → L2 [−π, π] (0 < m ∈ N) oper´ atorok nem egyenletesen korlátosak. A Banach-Steinhaus-tétel miatt van teh´ at olyan f ∈ L2 f¨ uggvény, θ amelyre a (σm f ) sorozat (k.k2 -ban) nem konvergens.

54

3.2. Inverzi´ os formula xvii) A fenti inverziós formula és a Plancherel-tétel, ill. a Parseval-egyenl˝ oség kapcsolatát illet˝oen induljunk ki el˝ osz¨ or az ut´ obbiak fenn´ all´ as´ ab´ ol. Ekkor fˆ(x) =

Z

(f, fˆ ∈ L1 ∩ L2 , x ∈ Rn )

f (t)K(x, t) dt

(ahol K(u, v) := eıhu,vi (u, v ∈ Rn )) alapj´ an a (∗) oper´ ator adjung´ altja (azaz (∗) unitér volta miatt az inverze) a fentiek alapj´ an az Rn ∋ (u, v) 7→ (2π)−n K(v, u) = (2π)−n e−ıhu,vi magf¨ uggvény által meghat´ arozott T integr´ aloper´ ator. Teh´ at f (x) = T fˆ(x) = (2π)−n

Z

fˆ(t)e−ıhx,ti dt

(x ∈ Rn ),

ami nem más, mint az inverzi´ os formula. Ford´ıtva, ha f ∈ L1 ∩ L2 , akkor kf k22

=

Z

f (t)f (t) dt = f ∗ F (0),

ahol F (t) := f (−t) (t ∈ Rn ). Tov´ abb´ a F ∈ L1 ∩ L2 , fd ∗ F = fˆ· Fˆ és Fb(x) = Z

Z

ıhx,ti

F (t)e

dt =

Z

f (t)eıhx,ti dt = fˆ(x)

f (−t)e−ıhx,ti dt =

(x ∈ Rn ).

Így fd ∗ F = |fˆ|2 ≥ 0. Mivel f, F ∈ L2 , ezért tetsz˝ oleges x ∈ Rn esetén a CauchyBunyakovszkij-egyenl˝otlenség szerint Z |f ∗ F (x) − f ∗ F (0)| = f (t)(F (x − t) − F (−t)) dt ≤

kf k2

sZ

|f (t − x) − f (t)|2 dt = kf k2 · kT−x f − f k2 → 0

(x → 0).


55

Tehát f ∗F ∈ C{0}, amib˝ol a viii) megjegyzés alapj´ an az inverzi´ os formula f ∗F -re való alkalmazhatósága következik: f ∗ F (x) = (2π) (2π)

−n

Z

−n

Z

fd ∗ F (t)e−ıhx,ti dt =

|fˆ(t)|2 e−ıhx,ti dt

(x ∈ Rn ).

Speciálisan az x := 0 választ´ assal kf k22

= f ∗ F (0) = (2π)

−n

Z

|fˆ(t)|2 dt = (2π)−n kfˆk22 ,

ami a Plancherel-tétel. xviii) Mutassuk meg, hogy ha n = 1, f ∈ C 2 és f, f ′ , f ′′ ∈ L1 , akkor fˆ ∈ L1 . Ezzel kapcsolatban emlékeztet¨ unk arra, ha g : R → R, g ∈ C 1 és g, g ′ ∈ L1 , akkor R x hogy limx→−∞ g(x) = 0 és g(x) = −∞ g ′ (t) dt (x ∈ R). Nyilv´ an Z

′

g (t) dt = lim

x→+∞

Z

x

g ′ (t) dt = lim g(x) x→+∞

−∞

is létezik és g ′ ∈ L1 miatt limx→+∞ g(x) = 0. K¨ ovetkezésképpen az el˝obbi f -re vonatkozó feltételek alapj´ an limx→±∞ f (x) = limx→±∞ f ′ (x) = 0. Ezért tetsz˝oleges 0 6= x ∈ R helyen fˆ(x) =

Z

ıtx

f (t)e

dt = lim

a→+∞

Z

a

f (t)eıtx dt = −a

f (a)eıax − f (−a)e−ıax 1 lim − lim a→+∞ ıx ıx a→+∞

Z

f ′ (a)eıax − f ′ (−a)e−ıax 1 lim − 2 lim 2 a→+∞ x x a→+∞ 1 − 2 lim x a→+∞

Z

a

−a

′′

ıtx

f (t)e

1 dt = − 2 x

Z

a

f ′ (t)eıtx dt =

−a

Z

a

f ′′ (t)eıtx dt =

−a

f ′′ (t)eıtx dt = −

1 c′′ f (x). x2

Mivel a feltétel szerint f ′′ ∈ L1 , ´ıgy kfc′′ k∞ ≤ kf ′′ k1 , azaz alkalmas C > 0 konstanssal

56


|fˆ(x)| ≤

  kf k1

(|x| ≤ 1) )

 1 kf ′′ k1 x2

≤

(|x| > 1)

C 1 + x2

(x ∈ R).

Innen már világos, hogy fˆ ∈ L1 (azaz m˝ uk¨ odik” az inverzi´ os formula). ” xix) Speciálisan azt kapjuk xvii)-ben, hogy n = 1, f ∈ C 1 , f, f ′ ∈ L1 esetén fb′ (x) = −ıxfˆ(x)

(x ∈ R).

Ebb˝ol a szempontból elegend˝ o azt feltenni, hogy az f ∈ L1 f¨ uggvény ut R x abszol´ ′ 1 ′ folytonos. Ekkor ui. f ∈ D{x} (m.m. x ∈ R), f ∈ L és f (x) = −∞ f (t)dt (m.m. x ∈ R). Következésképpen limx→±∞ f (x) = 0 ugyan´ ugy ad´ odik, mint xv)-ben, ill. parciális integr´ al´ assal tetsz˝ oleges R ∋ x-re fb′ (x) = lim

a→+∞

ıax

f (a)e

Z

′

ıtx

f (t)e

dt = lim

a→+∞

−ıax

− f (−a)e

− ıx lim

Z

a→+∞

a

f ′ (t)eıtx dt =

−a

Z

a

−a

f (t)eıtx dt = −ıxfˆ(x).

xx) Lássuk be, hogy ha f, fˆ ∈ L1 , akkor f ∈ L2 (és egy´ uttal fˆ ∈ L2 ). A feltétel miatt ui. f -re alkalmazható az inverzi´ os formula: 1 f (x) = (2π)n

Z

fˆ(t)e−ıht,xi dt =

1 b F (−x) (2π)n

(m.m. x ∈ Rn ),

ahol F := fˆ. Mivel Fb folytonos és a Riemann-Lebesgue-lemma alkalmazásával limkxk→∞ Fb(x) = 0, ezért van olyan r > 0, hogy |Fb (x)| < 1 (x ∈ Rn \ Gr ). Következésképpen Z

1 |f (x)| dx = (2π)2n 2

Z

Gr

|Fb (x)|2 dx +

|Gr | 1 max |Fb(x)|2 + 2n (2π) x∈Gr (2π)2n

|Gr | 1 max |Fb(x)|2 + 2n (2π) x∈Gr (2π)n

1 (2π)2n

Z

Rn \G

Z

r

Z

Rn \Gr

|Fb (x)|2 dx ≤

|Fb(x)|dx ≤

|f (x)| dx < +∞,


57

ahol |Gr | a Gr = {x ∈ Rn : kxk ≤ r}

g¨ omb” (Lebesgue-)mértéke. ” ˆ gˆ ∈ L1 , A most mondottak alapján m´ ar k¨ onny˝ u igazolni az al´ abbiakat: ha f, g, f, akkor R R 1o fˆ(t)ˆ g (t) dt = (2π)n f (t)g(t) dt; 2o kfˆk2 = (2π)n/2 kf k2 .

Nyilvánvaló, hogy 2o következik 1o -b˝ ol (g := f ). Az 1o bizony´ıt´ as´ ahoz vegy¨ uk észre, hogy a Fubini-tételt és az inverzi´ os formul´ at alkalmazva Z

fˆ(t)ˆ g (t) dt =

Z Z

Z

fˆ(x)

Z

−ıhx,ti

g(t)e

dt

dx =

Z −ıhx,ti n ˆ dx g(t) dt = (2π) f (x)e f (t)g(t) dt.

(Megjegyezz¨ uk, hogy fˆ(x)g(t)e−ıhx,ti = |fˆ(x)||g(t)| miatt

(x, t ∈ Rn ) és fˆ, g ∈ L1

R2n ∋ (x, t) 7→ fˆ(x)g(t)e−ıhx,ti integrálható ( kétváltozós”) f¨ uggvény, ezért val´ oban alkalmazhat´ o volt a Fubini” tétel.) xx) Az el˝obbi megjegyzést felhaszn´ alva nem nehéz bebizony´ıtani az L2 -beli f¨ uggvények Fourier-transzform´ altj´ aval kapcsolatban a 2.1. pontban megfogalmazott áll´ıtásokat. Ehhez el˝ osz¨ or is jegyezz¨ uk meg, hogy tetsz˝ oleges f ∈ L2 f¨ uggvényhez és ε > 0 sz´ amhoz van olyan kompakt tart´ oj´ u 2 g ∈ C f¨ uggvény, hogy kf − gk2 < ε. Ui. (az uség kedvéért csak az n = 1 esetre szor´ıtkozva) létezik olyan P egyszer˝ h = epcs˝ osf¨ uggvény, amellyel kf − hk2 < ε/2. Vil´ agos, hogy k ck χ[ak ,bk ] l´ b´ armely itt szerepl˝o (véges sok) k-hoz és minden δ > 0 sz´ amhoz megadhat´ Po olyan 2 gk ∈ C kompakt tartój´ u f¨ uggvény, hogy kgk − χ[ak ,bk ] k2 < δ. Ha g := k ck gk , 2 akkor g ∈ C , kompakt tart´ oj´ u és kh − gk2 ≤

X k

|ck |· kgk − χ[ak ,bk ] k2 ≤ δ

X k

|ck | < ε/2,

hacsak δ > 0 elég kicsi”. K¨ ovetkezésképpen kf − gk2 ≤ kf − hk2 + kh − gk2 < ε. ” Az itt szerepl˝o g f¨ uggvényre nyilv´ an alkalmazhat´ o a x) megjegyzés (n > 1 esetre ld. 5. pont), miszerint g, gˆ ∈ L1 . Mindez azt jelenti, hogy tetsz˝ oleges f ∈ L2

58

3.2. Inverzi´ os formula f¨ uggvényhez megadható olyan fk ∈ L1 (k ∈ N) sorozat, hogy fbk ∈ L1 (azaz (ld. xix) megjegyzés) fk , fbk ∈ L1 ∩ L2 (k ∈ N)) és kf − fk k2 → 0 (k → +∞). Ekkor minden j, k ∈ N esetén (ld. xvii) megjegyzés) kfbk − fbj k2 = (2π)n/2 kfk − fj k2 → 0

(j, k → ∞),

amib˝ol (lévén (L2 , k.k2 ) Banach-tér) az (fbk ) sorozat k.k2 norm´ aban való konver2 genciája következik. Van teh´ at olyan F ∈ L f¨ uggvény, amellyel kfbk − F k2 → 0

(k → ∞).

Könny˝ u meggondolni, hogy az el˝ obbi F f¨ uggvény csak f -t˝ ol f¨ ugg. Más szóval, 1 1 ha a gk ∈ L (k ∈ N) sorozat is olyan, hogy gbk ∈ L (k ∈ N) és kf − gk k2 → 0 (k → ∞), akkor a G ∈ L2 , kG − gbk k2 → 0 (k → ∞) f¨ uggvényre F (x) = G(x) n (m.m. x ∈ R ). Ti. kF − Gk2 ≤ kF − fbk k2 + kgbk − fbk k2 + kG − gbk k2 = kF − fbk k2 + (2π)n/2 kgk − fk k2 + kG − gbk k2 ≤

kF − fbk k2 + (2π)n/2 (kfk − f k2 + kf − gk k2 ) + kG − gbk k2 → 0

(k → ∞).

Innen kF − Gk2 = 0, azaz F (x) = G(x) (m.m. x ∈ Rn ) val´ oban k¨ ovetkezik. Ha a fentiekben f ∈ L1 ∩ L2 , akkor F (x) = fˆ(x) (m.m. x ∈ Rn ). Ekkor ui. (könnyen beláthatóan) a fenti (fk ) sorozatr´ ol az is feltehet˝ o, hogy kf − fk k1 → 0 n ´ (k → ∞). Igy tetsz˝oleges x ∈ R esetén Z ıhx,ti ˆ b |f (x) − fk (x)| = (f (t) − fk (t)) e dt ≤ kf − fk k1 → 0

(k → ∞),

azaz fbk (x) → fˆ(x) (k → ∞), mégpedig x-ben egyenletesen. Tudjuk, hogy kfbk − F k2 → 0 (k → ∞). Legyen r > 0, ekkor sZ

Gr

|F (x) − fˆ(x)|2 dx ≤


59 sZ

Gr

|F (x) − fbk (x)|2 dx +

kF − fk k2 +

p

sZ

Gr

|f (x) − fbk (x)|2 dx ≤

|Gr | sup |fˆ(x) − fbk (x)| → 0 x∈Rn

(k → ∞)

(ahol emlékeztet˝ou ¨l Gr := {ξ ∈ Rn : kξk ≤ r} és |Gr | a Gr R mértéke). Ez azt jelenti, hogy Gr |F (x) − fˆ(x)|2 dx = 0, (m.m. x ∈ Gr ). Mivel itt r > 0 tetsz˝ oleges, ´ıgy F (x) = fˆ(x) következik.

g¨ omb” (Lebesgue-) ” ezért F (x) = fˆ(x) (m.m. x ∈ Rn ) már

Kézenfekv˝o tehát a következ˝ o defin´ıci´ o: fˆ := F. Lássuk be, hogy bármely f, g ∈ L2 esetén: 1o ⌊fˆ, gˆ⌋ :=

R

fˆ(x)ˆ g (x) dx = (2π)n ⌊f, g⌋ (Parseval-egyenl˝ oség);

2o kfˆk2 = (2π)n/2 kf k2 (Plancherel-formula); R R 3o fˆ(x)g(x) dx = f (x)ˆ g(x) dx (szorz´ asi szab´ aly).

Ha ui. fk , gk ∈ L1 (k ∈ N) olyan sorozatok, amelyekre fbk , gbk ∈ L1 (k ∈ N) és kf − fk k2 → 0 (k → ∞), ill. kg − gk k2 → 0 (k → ∞), akkor a CauchyBunyakovszkij-egyen˝otlenségb˝ ol ˆ ⌊f , gˆ⌋ − ⌊fbk , gbk ⌋ ≤ ⌊fˆ − fbk , gˆ⌋ + ⌊fbk , gˆ − gbk ⌋ ≤ kfˆ − fbk k2 · kˆ gk2 + kfbk k2 · kˆ g − gbk k2 ≤

kfˆ − fbk k2 · kˆ gk2 + sup kfbj k2 · kˆ g − gbk k2 → 0 j∈N

(k → ∞).

uk, hogy az (fbk ) sorozat k.k2 Ezért ⌊fˆ, gˆ⌋ = limk→∞ ⌊fbk , gbk ⌋. (Megjegyezz¨ normában való konvergeciája miatt supj∈N kfbj k2 < +∞.) A xix) megjegyzésben viszont már láttuk, hogy ⌊fbk , gbk ⌋ = (2π)n ⌊fk , gk ⌋

(k ∈ N),

60

3.2. Inverzi´ os formula ahol (az el˝obbiek analógi´ aj´ ara) ⌊fk , gk ⌋ → ⌊f, g⌋ (k → ∞.) Így ⌊fˆ, gˆ⌋ = n o o (2π) ⌊f, g⌋, ami az 1 áll´ıt´ as. A 2 -beli Plancherel-formula nyilv´ an speciális o o esete az 1 Parseval-egyenl˝ oségnek (g := f ). A 3 szorz´ asi szab´ aly igazolása az 1o egyenl˝oséghez hasonl´ o m´ odon t¨ orténhet. Ha ui. fk , gk (k ∈ N) az 1o bizony´ıtásában szerepl˝o két sorozat, akkor Z Z fˆ(x)g(x) dx − fbk gk (x) dx ≤

Z Z (fˆ(x) − fbk (x))g(x) dx + (fbk (x)(g(x) − gbk (x)) dx ≤ kfˆ − fbk k2 · kgk2 + kfbk k2 · kg − gbk k2 → 0

(k → ∞).

Következésképpen

Z

fˆ(x)g(x) dx = lim

k→∞

Z

fbk (x)gk (x) dx,

ahol minden k ∈ N esetén a 2. pont vi) ´ all´ıt´ asa miatt (lévén fk , gk ∈ L1 ) Z

fbk (x)gk (x) dx =

Mivel (az el˝obbiekkel analóg m´ odon) Z

Z

gbk (x)fk (x) dx.

f (x)ˆ g(x) dx = lim

k→∞

ezért 3o már következik az eddigiekb˝ ol.

Z

gbk (x)fk (x) dx,

Vég¨ ul gondoljuk meg, hogy ha f ∈ L2 és fk ∈ L2 (k ∈ N) tetsz˝ oleges olyan ˆ b sorozat, amelyre kf − fk k2 → 0 (k → ∞), akkor kf − fk k2 → 0 (k → ∞). Ti. kfˆ − fbk k2 = (2π)n/2 kf − fk k2

(k → ∞).

Az L2 ∋ f 7→ fˆ ∈ L2 leképezés nyilv´ an line´ aris, ezért az c2 := {fˆ ∈ L2 : f ∈ L2 } L


61

képtér altere L2 -nek. Ez az altér 2o miatt z´ art is (az (L2 , k.k2 ) Banach-térben). Ui., ha fk ∈ L2 (k ∈ N) és az (fbk ) sorozat (k.k2 norm´ aban) konvergens (legyen F := limk→∞ fbk , azaz kfbk − F k2 → 0 (k → ∞)), akkor kfk − fj k2 =

1 kfbk − fbj k2 → 0 (2π)n/2

(k, j → ∞).

Tehát van olyan f ∈ L2 , amellyel limk→∞ kf − fk k2 = 0. K¨ ovetkezésképpen c c 2 2 limk→∞ kfˆ − fbk k2 = 0, amib˝ ol F = fˆ ∈ L , azaz L z´ arts´ aga ad´ odik.

c2 = L2 , m´ Mutassuk meg, hogy L as sz´ oval: az

L2 ∋ f 7→ fˆ ∈ L2

c2 6= L2 esetén a funkcionálanal´ızis Fourier-transzformáció sz¨ urjekci´ o. Val´ oban, L R alaptételei miatt lenne olyan g ∈ L2 , amelyre kgk2 6= 0 és fˆ(x)g(x) dx = 0 (g ∈ LR2 ) teljes¨ ulne. A fentiek szerint ezért minden f ∈ L2 f¨ uggvényre fennállna, 2 hogy gˆ(x)f (x) dx = 0, amib˝ ol gˆ = 0 (∈ L ), azaz 0 = kˆ g k2 = (2π)n/2 kgk2 következne. Így kgk2 = 0 lenne, ami (az indirekt feltételezés¨ unk miatt) nem igaz. A 3o szorzási szabályt (is) felhaszn´ alva pontonkénti” el˝ o´ all´ıt´ ast is adhatunk egy ” f ∈ L2 f¨ uggvény fˆ Fourier-transzform´ altj´ ara. Csak az n = 1 esetre részletezve mindezt legyen ui. pl. x > 0 mellett g := χ[0,x] . Ekkor 3o szerint Z

fˆ(t)g(t) dt =

Z

0

x

fˆ(t) dt =

Z

f (t)ˆ g(t) dt = −ı

Z

f (t)

eıxt − 1 dt =: F (x). t

Mivel fˆ ∈ L2 , ezért fˆ lok´ alisan integr´ alhat´ o, F pedig az integr´ alf¨ uggvénye ´ a (0, +∞) félegyenesen. Igy az integr´ alf¨ uggvények differenci´ al´ as´ ara vonatkozó Lebesgue-tétel szerint fˆ(x) = F ′ (x)

(m.m. x > 0)

(és mindezt x < 0 esetén is anal´ og m´ odon kapjuk). Ha itt f ∈ L1 ∩ L2 , akkor a ıht t 7→ (e − 1)/(ht) f¨ uggvény korl´ atoss´ aga miatt ıht e − 1 f (t)eıxt ≤ C|f (t)| ht

alkalmas C > 0 abszol´ ut konstanssal. Ezért az

(t, h ∈ R \ {0})

62


F (x + h) − f (x) F (x) = lim = −ı lim h→0 h→0 h ′

−ı lim

h→0

Z

f (t)eıxt

Z

f (t)

eı(x+h)t − eıxt dt = th

eıht−1 1 dt h t

derivált kiszám´ıtásakor (az integr´ al´ as és a hat´ ar´ atmenet felcserélhet˝ oségér˝ol szóló aci´ o bevihet˝ o” az integr´ aljel mögé: Lebesgue-tétel alapján) a limh→0 ” oper´ ” ” ′

F (x) = −ı

Z

ıxt

f (t)e

eıht−1 1 lim dt = h→0 h t

Z

f (t)eıxt dt = fˆ(x)

(m.m. x ∈ R).

(Ezzel mellesleg u ´jra megmutattuk az L2 -beli Fourier-transzform´ ació egyfajta 1 2 ˆ permanenciáját, miszerint f ∈ L ∩ L esetén az f Fourier-transzform´ alt L1 -, ill. 2 L -értelemben ugyanaz.) A fenti 2o Plancherel-formula alkalmaz´ as´ aval mutassuk meg, hogy Z

sin2 x dx = π. x2

Szám´ıtsuk ki ehhez az f := χ[−1,1] f¨ uggvény Fourier-transzform´ altj´ at: ha x 6= 0, akkor fˆ(x) =

Z

1

eıxt dt =

−1

eıx − e−ıx 2 sin x = . ıx x

Ezért 2o szerint 2πkf k22

= 4π = kfˆk22 = 4

Z

sin2 x dx. x2

xxii) Egy L1 -beli f f¨ uggvény Fourier-transzform´ altj´ at gyakran az fˇ(x) :=

Z

f e−2πx dµ

(x ∈ Rn )

el˝o´ırással értelmezik. Ekkor fˇ(x) = fb(−2πx) (x ∈ Rn ) és az inverzi´ os formula a következ˝o alakot ölti:

3.3. Absztrakci´ o

63

f (x) =

Z

fˇe2πx dµ

(x ∈ Rn ).

xxiii) Egy másik gyakori változat a Fourier-transzform´ aci´ o értelmezésére az alábbi: f˘(x) := (2π)−n/2 ·

Z

(x ∈ Rn )

f · e−x dµ

Nyilván f˘(x) = (2π)−n/2 fb(−x) (x ∈ Rn ), ill. az inverzi´ os formula alakja: f (x) = (2π)

−n/2

·

Z

f˘ex dµ

(x ∈ Rn ).

xxiv) Ha f˙ := (2π)−n/2 f˘, akkor az inverzi´ os formula a k¨ ovetkez˝ o alakot ¨ olti: f (x) =

Z

f˙ex dµ

(x ∈ Rn ).

Világos, hogy (ld. 3.) f˙(x) = (2π)−n Z

Z

f (t)e−ıhx,ti dµ(t) =

f (2πz)e−2πıhx,zi dµ(z) = Fˇ (x)

(x ∈ Rn ),

ahol F (z) := f (2πz) (z ∈ Rn ).

3.3. Absztrakci´ o. Az el˝ obbi megjegyzések mög¨ ott az al´ abbi ´ altal´ anos érvény˝ u h´ attér h´ uzódik meg. Legyen (X, T ) egy tetsz˝oleges lok´ alisan kompakt Abel-csoport, Γ a csoport karaktereinek a halmaza, ν Haar-mérték az (X, T ) csoporton és vezess¨ uk be az al´ abbi defin´ıciót: az f : X → C (a ν mértékre nézve) integr´ alhat´ o f¨ uggvény esetén a Γ ∋ γ 7→ fb(γ) :=

Z

f γ dν

uggvény Fourier-transzform´ altj´ anak nevezz¨ uk. (Id˝ onként az f˘(γ) := Rleképezést az f f¨ f γ dν (γ ∈ Γ) egyenl˝oség révén értelmezik az f f¨ uggvény Fourier-transzformáltját. Világos, hogy pusztán formai k¨ ulönbségr˝ ol van sz´ o, ui. az el˝ obbi jel¨ olésekkel f˘(γ) = fb(γ).)

64

3.3. Absztrakci´ o

c1 := {fb ∈ CΓ : f ∈ L1 } és vezess¨ Legyen L unk be Γ-ban egy TΓ topológiát a c1 elemei következ˝oképpen: TΓ a leggyengébb olyan topol´ ogia, amelyre vonatkoz´ oan az L folytonosak. Ekkor (Γ, TΓ ) lokálisan kompakt Abel-csoport. Jel¨ olj¨ uk N -nel azoknak az f : X → C f¨ uggvényeknek az oszt´ aly´ at, amelyek valamilyen m, a (Γ, TΓ ) csoport Borelhalmazain értelmezett korlátos (Borel-)mérték seg´ıtségével a k¨ ovetkez˝ oképpen áll´ıthatók el˝o: f (x) =

Z

γ(x) dm(γ)

(x ∈ X).

(Tehát minden rögz´ıtett x ∈ X esetén a Γ ∋ γ 7→ γ(x) leképezés (m-szerinti) integráljáról van szó.) Az N halmaz elemeire bebizony´ıthat´ o az al´ abbi ´ all´ıt´ as: megadhat´ o olyan m 1 Haar-mérték a (Γ, TΓ ) karaktercsoporton, hogy tetsz˝ oleges f ∈ L ∩ N (azaz f : X → C, b a ν mértékre nézve integr´ alhat´ o N -beli) f¨ uggvény f Fourier-transzform´ altja L1 -ben van és igaz a k¨ ovetkez˝ o inverzi´ os formula: f (x) =

Z

fb(γ)γ(x) dm(γ)

(x ∈ X).

Ha pl. (az egyszer˝ uség kedvéért csak az 1-dimenzi´ os esetet idézve) X := R (az euklideszi topológiával és a valós sz´ amok k¨ oz¨ otti o¨sszead´ assal, mint csoportm˝ uvelettel), akkor Γ = {eγ : γ ∈ R} ≡ R és alkalmas α > 0, β > 0 sz´ amokkal ν = αµ , m = βµ (ahol tehát µ az R-feletti Lebesgue-mérték). Az f (t) := e−|t| (t ∈ R) f¨ uggvény L1 ∩ N -beli és fb(γ) =

Z

−|t| ıγt

e

e

dν(t) = α

Z

e−|t| eıγt dµ(t) =

2α 1 + γ2

(γ ∈ R).

Tehát az el˝obb idézett inverziós formula szerint −|x|

e

=

Z

2α −ıγx e dm(γ) = 2αβ 1 + γ2

Z

e−ıγx dµ(γ) 1 + γ2

(x ∈ R).

Az x := 0 választással innen 1 = 2αβ

Z

+∞

−∞

1 dγ = 2παβ 1 + γ2

adódik. Rögz´ıts¨ uk a ν Haar-mértéket (azaz α-t), akkor az inverzi´ os formul´ aban szerepl˝o normált m Haar-mérték a következ˝ o: µ . 2πα

3.3. Absztrakci´ o

65

Például α := 1 , β := 1/2π, amikor is

fb(γ) =

Z

+∞ ıγt

f (t)e −∞

1 dµ(t) , f (x) = 2π

Z

+∞ −∞

vagy α := β := (2π)−1/2 , amikor meg 1 fb(γ) = √ 2π

Z

+∞

−∞

ıγt

f (t)e

1 dµ(t) , f (x) = √ 2π

Z

fb(t)e−ıtx dµ(t)

+∞

−∞

(ld. az el˝oz˝o megjegyzéseket).

fb(t)e−ıtx dµ(t)

(γ, x ∈ R)

(γ, x ∈ R)

Eml´ıts¨ unk meg néhány fontos speci´ alis csoportot. 1o Legyen X := R, T := az euklideszi t´ avols´ ag ´ altal meghat´ arozott szokásos” ” topológia, ν := a Lebesgue-mérték a sz´ amegyenesen, • := +. Ekkor (X, T ) lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport. Ha ϕ ∈ Γ, akkor ϕ folytonos, ϕ(0) = 1, ezért egy alkalmas δ > 0 sz´ ammal α :=

Z

ϕ· χ[0,δ] dν 6= 0.

Mivel ϕ(x + t) = ϕ(x)· ϕ(t) (x, t ∈ X) , k¨ ovetkezésképpen α· ϕ(x) =

Z

ϕ(x + t)· χ[0,δ] (t) dt =

Z

x+δ

ϕ(t) dt, x

azaz ϕ differenciálhat´ o és ϕ′ (x + t) = ϕ(x)ϕ′ (t) (x, t ∈ X) miatt ϕ′ = ϕ′ (0)ϕ. Ugyanakkor ϕ(0) = 1, ´ıgy van olyan y ∈ X, hogy ϕ = ey megoldás, ill. bármely y ∈ X esetén ey ∈ Γ. Teh´ at: Γ = {ey ∈ C(R) : y ∈ R} és Γ ∋ ey 7→ y ∈ R izomorfia.

2o Ha most X := [0, 2π), A ⊂ [0, 2π) ny´ılt”, ha b´ armely a ∈ A esetén van ” olyan r > 0 szám, amellyel

A ⊃ Kr (a) :=

  (a − r, a + r) 

(a 6= 0)

[0, r) ∪ (2π − r, 2π) (a = 0),

66

3.3. Absztrakci´ o • := az X-beli modul´ o 2π vett ¨ osszead´ as, ν := a Lebesgue-mérték [0, 2π)ben, akkor (X, T ) kompakt topologikus Abel-csoport. Minden ϕ ∈ Γ esetén (ld. 1o ) valamilyen y ∈ R mellett ϕ(x) = ey (x) =: e˜y (x) (x ∈ X). De ϕ(0) = 1 = limx→2π−0 ϕ, amib˝ ol y ∈ Z, ill. b´ armely Z ∋ y-ra e˜y ∈ Γ. Tehát: Γ = {˜ ey ∈ C(X) : y ∈ Z} (komplex trigonometrikus rendszer). Nyilv´ an Γ ∋ e˜y 7→ y ∈ Z izomorfia, tehát [0, 2π) duális csoportja megegyezik Z-vel. 3o Legyen 2 ≤ n ∈ N és X := Zn := {0, 1, ..., n − 1}, T := P(Zn ), • := modulo n vett ¨ osszead´ as, ν(A) := νn (A) := |A|/n (A ∈ P(X)). Ekkor (X, T ) kompakt topologikus Abel-csoport. Tov´ abb´ a (ld. 2o ) bármely ıxy ϕ ∈ Γ karakterhez van olyan y ∈ R, amellyel ϕ(x) = e (x ∈ X) Viszont ϕ karakter, ezért n

1 = ϕ(0) = ϕ(1 • 1 • ... • 1) = ϕ(1) = eıny , ´ıgy alkalmas k ∈ Z sz´ ammal y = 2kπ/n. Legyen ϕk (x) := e2kπı/n (x ∈ X). Figyelembe véve a nyilv´ anval´ o k ≡ j (mod n) ⇐⇒ ϕk = ϕj relációt azt mondhatjuk tehát (az eddigi péld´ ak szellemében), hogy Γ = {ϕk : k = 0, 1, ..., n − 1} , ill., hogy (X, T ) duális csoportja ¨ onmaga. Az (X, T ) csoport kompaktsága (és a ν normáltsága) alapj´ an az n−1/2 · ϕk (k = 0, 1, ..., n − 1) diszkrét trigonometrikus rendszer ortonorm´ alts´ ag´ at kapjuk. 4o Diadikus csoport. Q Tekints¨ uk az m = (mn ) (2 ≤ mn ∈ N, n ∈ N) sorozatot ∞ és legyen Gm := k=0 Zmn , Tm := a P(Zmn ) (n ∈ N) topol´ ogiák által generált szorzat-topol´ ogia, a csoportm˝ uvelet pedig a k¨ ovetkez˝ o: x ⋆ y := (xn + yn (mod mn ), n ∈ N)

(x = (xn ), y = (yn ) ∈ Gm ).

A ν mértéket definiáljuk a νmn (n ∈ N) mértékek ´ altal meghatározott szorzatmértékként. Ekkor (Gm , Tm ) kompakt topologikus Abel-csoport (Vilenkin). Ha mn := 2 (n ∈ N), akkor (G2 , T2 ) az u ń. diadikus csoport.

Illusztrációképpen csak az ut´ obbi csoport karaktereivel foglalkozunk. Ha rk (x) := (−1)xk

(k ∈ N, x = (xn ) ∈ G2 ),

3.3. Absztrakci´ o

67

akkor rk ’k nyilván karakterek (Rademacher). Az is vil´ agos, hogy bármely Q véges ∅ = 6 N ⊂ N halmazzal n∈N rn is karakter.PLegyen N ∋ n = P∞ ∞ k am diadikus kifejtése és az n(x) := k=0 nk xk jelöléssel k=0 nk 2 az n sz´ wn :=

∞ Y

rknk , azaz wn (x) = (−1)n(x)

k=0

(x = (xn ) ∈ G2 ).

A {wn ∈ Γ : n ∈ N} halmaz teh´ at az rk (k ∈ N) f¨ uggvények véges szorzatainak a halmaza. Megmutathat´ o, hogy ez nem m´ as, mint Γ, azaz a diadikus csoport minden karaktere wn (n ∈ N) alak´ u (Walsh-Paley). A (G2 , T2 ) csoport kompakt lévén a Γ rendszer ortonorm´ alt. Vezess¨ uk be N-ben a következ˝o m˝ uveletet: ha

n=

∞ X

k=0

k

nk · 2 , m =

∞ X

k=0

mk · 2k ∈ N,

P∞ akkor legyen n ⊕m := k=0 |nk −mk |· 2k . Eléggé nyilv´ anval´ o, hogy N ezzel a m˝ uvelettel egy Abel-csoport és wn⊕m = wn · wm . Ez azt is jelenti, hogy a Γ karaktercsoport izomorf N-nel. Tetsz˝oleges m esetén legyen ρk (x) := exp és Mn :=

Qn−1 k=0

n=

2πıxk mk

(k ∈ N, x = (xn ) ∈ Gm )

mk (k ∈ N). Ekkor minden n ∈ N egyértelm˝ uen ´ırható fel ∞ X

k=0

nk M k

(nk = 0, ..., mk − 1 (k ∈ N))

ń. alakban és belátható, hogy a Γ = {Ψn : n ∈ N} karakterrendszer (az u Vilenkin-rendszer) a k¨ ovetkez˝ o:

Ψn :=

∞ Y

ρnk k ,

k=0

ami Gm kompaktsága miatt ONR. Ha mk = 2 (k ∈ N), akkor nyilván ρk (x) := eπıxk = (−1)xk = rk (x)

(k ∈ N, x = (xn ) ∈ G2 ),

68

3.3. Absztrakci´ o Mk = 2k (k ∈ N) és Ψn = wn (n ∈ N). Speci´ alisan legyen p ∈ N pr´ım 2πıxk /p és mn := p (n ∈ N). Ekkor ρk (x) := e (k ∈ N, x = (xn ) ∈ Gp ) és 2πın(x)/p Ψn (x) = e (x = (xn ) ∈ Gp , n ∈ N) (Chrestenson-rendszer).

3.3.1. Megjegyzések. i) Mivel (Γ, TΓ ) lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport, ezért képezhet˝o ennek is a karaktercsoportja, az X u ń. m´ asodik du´ alisa. Ekkor: X izomorf a második duálisával (Pontrjagin-féle dualit´ asi tétel). Igaz tov´ abb´ a Plancherel2 2 tétel: megadható egy olyan minden¨ utt s˝ ur˝ u L0 (Γ) altér L (Γ)-ban, hogy az L1 (X) ∩ L2 (X) ∋ f 7→ fb ∈ L20 (Γ)

uen leképezés egy izometria (a k.k2 norma értelmében). Ez a leképezés egyértelm˝ terjeszthet˝o ki egy L2 (X) → L2 (Γ) izometri´ av´ a. Ha speci´ alisan (X, T ) kompakt, akkor L2 (X) ⊂ L1 (X) és a Plancherel-tétel az ortogon´ alis sorok elméletéb˝ol jól ismert Riesz-Fischer-tételt jelenti. ii) Röviden vázoljuk a Plancherel-tételben eml´ıtett izometria egy megvalós´ıtását. 2 Jelölj¨ uk ehhez az R-en értelmezett, az R ∋ x 7→ e−x s´ ulyf¨ uggvényhez tartozó Hermite-polinomokat Hn -nel (n ∈ N) és legyen 2

hn (x) := αn e−x

/2

(x ∈ R, n ∈ N),

Hn (x)

ahol az αn > 0 számok u ´gy vannak defini´ alva, hogy khn k2 = 1 (n ∈ N) teljes¨ uljön. Nem nehéz megmutatni, hogy a (hn ) f¨ uggvényrendszer – az u ń. 2 Hermite-f¨ uggvények rendszere – egy teljes, ortonorm´ alt rendszer az (L , k.k2 ) Hilbert-térben (azaz ugyanebben a térben Schauder-b´ azis). Innen az is rögtön uggadódik, hogy az Hermite-f¨ uggvények valamennyien beletartoznak az L1 f¨ ˘ vényosztályba is, következésképpen kisz´ am´ıthatjuk a hn (n ∈ N) Fouriertranszformáltakat (ld. 3.2.1. xxiii) megjegyzés). Felhaszn´ alva az Hermitepolinomok el˝oáll´ıtására vonatkoz´ o ismert Rodrigues-formul´ at azt kapjuk, hogy n x2 /2

hn (x) = αn (−1) e

dn −x2 · ne dx

(x ∈ R, n ∈ N).

Innen egyszer˝ u számolás ut´ an az ad´ odik, hogy ˘ n = (−i)n · hn h

(n ∈ N),

azaz a hn (n ∈ N) Hermite-f¨ uggvény saj´ atf¨ uggvénye a ˘ Fouriern transzformációnak a (−i) saj´ atértékkel. Ez egy´ uttal azt is jelenti, hogy az Hermite-f¨ uggvényekre igaz az inverzi´ os formula.

3.3. Absztrakci´ o

69

Tekints¨ unk ezek után egy tetsz˝ oleges f ∈ L2 f¨ uggvényt, és fejts¨ uk Fourier-sorba f -et a (hn ) rendszer szerint. Ekkor teh´ at a cn :=

Z

f hn dµ1

(n ∈ N)

P∞ egy¨ utthatókkal f = oban forg´ o sor k.k2 normában konn=0 cn hn , ahol a sz´ vergens. Mivel a (cn ) egy¨ utthat´ o-sorozattalP egy¨ utt a ((−i)n · cn ) sorozat is ℓ2 -be tartozik, ezért a Riesz–Fischer-tétel miatt a ((−i)n cn hn ) sor is konvergens k.k2 normában. Legyen ebben az értelemben T (f ) :=

∞ X

(−i)n cn hn .

n=0

Ezzel egy T : L2 → L2 leképezést értelmezt¨ unk, amely nyilv´ an line´ aris és kT (f )k22

=

∞ X

n=0

n

2

|(−i) cn | =

∞ X

n=0

|cn |2 = kf k22

miatt izometria. A könnyen ellen˝ orizhet˝ o hn (−x) = (−1)n hn (x) n ∈ N), azaz a T (T (f ))(x) = f (−x)

(x ∈ R,

(f ∈ L2 , x ∈ R)

egyenl˝oség alapján az is ad´ odik, hogy a fenti T leképezés bijekci´ o. (A funkcion´ alanal´ızis nyelvén fogalmazva T unitér oper´ ator.) Belátható, hogy f ∈ L1 ∩ L2 esetén T (f ) = f˘, azaz T val´ oban tekinthet˝o u ´gy, mint a Fourier-transzform´ aci´ o kiterjesztése az L2 f¨ uggvényoszt´ alyra. Megmutatható továbbá, hogy amennyiben f ∈ L2 és a, b ∈ (0, +∞) esetén Iab (f )(x) := (2π)

−1

Z

f e−x χ[−a,b] dµ

(x ∈ R),

akkor kT (f ) − Iab (f )k2 → 0 ill., ha

(a, b → +∞),

70

3.3. Absztrakci´ o

Jab (f )(x) := (2π)

−1

Z

T (f )ex χ[−a,b] dµ

(x ∈ R),

akkor kf − Jab (f )k2 → 0

(a, b → +∞).

Mivel (a fenti paraméterekkel) Jab (f )(x) = Iab (T (f ))(−x), aci´ o is tekinthet˝ o egyfajta inezért az kf − Jab (f )k2 → 0 (a, b → +∞) rel´ verziós formulának. A k¨ ulönbség csup´ an” annyi, hogy az f el˝ o´ all´ıt´ asa a Fourier” transzformáltjából nem pontonként t¨ orténik, hanem k.k2 norm´ aban. iii) Ha az el˝obbiekben f ∈ L1 , akkor (ld. Fubini-tétel) Jab f (x) = (2π)

−1/2

Z

f˘χ[−a,b] ex dµ =

Z

f (x − t)Dab (t) dt

(x ∈ R),

ahol

Dab (t) := (2π)−1/2

eıbt − e−ıat ıt

(0 6= t ∈ R).

A Dab f¨ uggvény a Fourier-sorok elméletéb˝ ol j´ ol ismert Dirichlet-féle megf¨ uggvény megfelel˝oje. Speciálisan Jaa f (x) → (f (x + 0) + f (x − 0))/2 (a → +∞), ha x ∈ R és f korlátos változ´ as´ u az x pont egy k¨ ornyezetében. anak nincs egységeleme. Ha ui. u ∈ L1 az iv) Lássuk be: az (L1 , +, ∗) Banach-algebr´ lenne, akkor u ∗ f = f, azaz u bfb = ud ∗ f = fb (f ∈ L1 ). De: χ[−1,1] d (x) =

Z

1

−1

eıxt dt =

2 sin x x

(0 6= x ∈ R),

azaz χ[−1,1] d (x) 6= 0 =⇒ u b(x) = 1 (x 6= kπ (k ∈ Z)). Így u b(t) → 0 (|t| → +∞) nem teljes¨ ulhet, ami ellentmond a Riemann-Lebesgue-lemm´ anak.

4. Lp -beli f¨ uggvények Fourier-transzform´ aci´ oja

71

4. Lp-beli f¨ uggvények Fourier-transzformáci´ oja. Vég¨ ul legyen p ∈ [1, +∞] és pr´ ob´ aljuk meg egy f ∈ Lp f¨ uggvény Fouriertranszformáltját értelmezni. (Világos, hogy a fentiek ut´ an m´ ar csak az 1 < p 6= 2 eset az érdekes.) Ezzel kapcsolatban emlékeztet¨ unk arra, hogy tetsz˝ olegesen adott 1 ≤ p ≤ r ≤ q < +∞ kitev˝ok” esetén ” Lr ⊂ Lp + Lq (:= {f + g : f ∈ Lp , g ∈ Lq }). Ha ebben a relációban q := 2 , p := 1, akkor b´ armely r ∈ [1, 2] kitev˝ ore” Lr ⊂ L1 + L2 . ” Ez azt jelenti, hogy minden f ∈ Lr f¨ uggvény el˝ o´ all´ıthat´ o f = g + h alakban alkalmas g ∈ L1 , h ∈ L2 f¨ uggvényekkel. Legyen fb := gb + b h.

Ez az értelmezés korrekt, mert f = G + H (G ∈ L1 , H ∈ L2 ) esetén g − G = h − H ∈ L1 ∩ L2 , amib˝ol b = hd b =⇒ b b + H. b gd −G=b g−G −H =b h−H g+b h=G

Ezzel 1 ≤ r ≤ 2 mellett értelmezt¨ uk az Lr -beli f¨ uggvények Fourier-transzformáltját. A 2-nél nagyobb kitev˝o” esete ennél lényegesen bonyolultabb, a szok´ asos” f¨ uggvényfogalom ” ” keretén bel¨ ul nem is valós´ıtható meg a Fourier-transzform´ aci´ o fogalm´ anak a kiterjesztése. (Ld. még a 5.2.1. iv) megjegyzés.)

4.1. Megjegyzések. i) Jegyezz¨ uk meg, hogy ha 1 ≤ p ≤ 2 és f ∈ L1 , h ∈ Lp , akkor f ∗ h ∈ Lp és fd ∗ h = fb· b h.

ii) A Plancherel-tétel szerint az L2 ∋ f 7→ fb ∈ L2 leképezés (és az inverze) folytonos. Mivel bármely f ∈ L2 esetén az fr := f χGr (r > 0) jel¨ oléssel kf − fr k2 → 0 R (r → +∞), ezért kfbr − fbk2 → 0 (r → +∞). Vil´ agos, hogy fbr (x) = Gr f ex dµ R (x ∈ Rn ). Ugyan´ıgy kapjuk, hogy ha frˆ(x) := (2π)−n fbe−x dµ (x ∈ Rn ), akkor kfrˆ − f k2 → 0 (r → +∞).

Gr

iii) Legyen 1 ≤ p ≤ 2 és jelölj¨ uk q-val a p konjug´ altj´ at”: 1/p + 1/q = 1. Ha f ∈ Lp , ” akkor fb ∈ Lq ,


72

kfbkq ≤ Cp kf kp ,

ahol a Cp > 0 konstans csak p-t˝ ol (és n-t˝ ol) f¨ ugg (Hausdorff-Youngegyenl˝ otlenség). Az utóbbi konstanst illet˝ oen a k¨ ovetkez˝ oket mondhatjuk: ha Ap jelöli a Babenko-Beckner-konstanst (ld. 1.), akkor a Cp := (2π)n/q Anp választás megfelel˝o, azaz kfbkq ≤ (2π)n/q Anp kf kp

(f ∈ Lp ).

Ha p = 2, akkor nyilván q = 2, azaz visszakapjuk a Plancherel-tétel kapcsán eml´ıtett C2 = (2π)n/2 konstanst: kfbk2 = (2π)n/2 kf k2 (f ∈ L2 ). Tehát a ii)-ben mondottakhoz hasonl´ oan k¨ ovetkezik, hogy az Lp ∋ f 7→ fb ∈ Lq leképezés folytonos és kfbr − fbkq → 0 (r → +∞).

iv) A iii)-beli feltételekkel, ill. jel¨ olésekkel legyen n = 1 és Z M f (x) := sup u≥0

u −u

f ex dµ

(x ∈ R).

ol f¨ ugg˝ o C˜p > 0 konstanssal) igaz, hogy Ekkor M f ∈ Lq és (alkalmas, csak p-t˝ kM f kq ≤ C˜p kf kp . Tovább´ a fb(x) = limz→+∞ fbz (x) (m.m. x ∈ R) (ahol most Rz fbz (x) = −z f ex dµ (z > 0, x ∈ R)). Megjegyezz¨ uk, hogy itt az 1 ≤ p ≤ 2 feltétel lényeges, ui. van olyan f f¨ uggvény, amelyre f ∈ Lp (p > 2) és M f (x) = +∞ (m.m. x ∈ R). Legyen ui. +∞ X 1 √ χ[2n ,2n +1] . f := n n=1

Mivel

|f |p =

+∞ X

1

np/2 n=1

χ[2n ,2n +1] ,

P+∞ ezért kf kpp = n=1 n−p/2 < +∞. Vil´ agos, hogy k = 1, 2, ... esetén (bevezetve a χk := χ[2k ,2k +1] jelölést) Z k k 2 X 1 √ χ M f (x) ≥ sup f ex dµ = sup cn (x) = n k k k n=1 −2


73

ıx k e − 1 X n 1 ıx2 √ sup e = ıx n=1 n k

Ha

k X sin(x/2) n 1 ıx2 sup √ e x/2 n k n=1

A :=

(0 6= x ∈ R).

) k X n 1 √ eıx2 = +∞ , x ∈ R : sup n k n=1

(

akkor A minden N ∈ N esetén periodikus 2−N -szerint, hiszen A=

Legyen ck :=

R1 0

(

) k X 1 ıx2n √ e x ∈ R : sup = +∞ . n k≥N n=N

χA (x)e−2πıkx dx (k ∈ Z), ekkor minden N ∈ N, k ∈ Z esetén ck =

N 2X −1 Z 2−N

j=0

Z

χA (x)e−2πık(x+j2

−N

)

dx =

0

2−N

−2πıkx

χA (x)e

dx

0

N 2X −1

e−2πık2

−N

j=0

j

.

Ha itt k2−N ∈ / Z, akkor N 2X −1

j=0

e−2πık2

−N

j

=

e−2πık − 1 = 0, e−2πık2−N − 1

azaz tetsz˝oleges 0 6= k ∈ Z mellett ck = 0. Ez azt jelenti, hogy a χA∩[0,1] f¨ uggvény Fourier-sora a konstans c0 sor. M´ as sz´ oval χA∩[0,1] (x) = c0 (m.m. x ∈ [0, 1]). Következéskésképpen µ(A ∩ [0, 1]) = 0 vagy 1. Némi meggondol´ assal belátható, hogy µ(A ∩ [0, 1]) > 0, teh´ at µ(A ∩ [0, 1]) = 1. Innen µ(R \ A) = 0 már nyilván következik. v) Tegy¨ uk fel iv)-ben, hogy 1 < p és legyen


74

Z f M f (x) := sup u≥0

u

−u

b f e−x dµ

(x ∈ R).

ff ∈ Lp és (alkalmas, csak p-t˝ Ekkor M ol f¨ ugg˝ o Cp∗ > 0 konstanssal) igaz, hogy ff kp ≤ C˜ ∗ kf kp , ill. kfzˆ − f kp → 0 (z → +∞) és f (x) = limz→+∞ fzˆ(x) kM p Rz (m.m. x ∈ R) (ahol most fzˆ(x) = (2π)−1 −z fbe−x dµ (z > 0, x ∈ R)) (CarlesonHunt-tétel.)

vi) Ha pl. n = 1, f ∈ C 1 (R \ A), ahol A ⊂ R véges halmaz és f ′ ∈ L1 , akkor (ld. v)) lim fzˆ(x) =

z→+∞

f (x + 0) + f (x − 0) 2

(x ∈ R).

vii) Az el˝obbi megjegyzések bizonyos analogonjai ´ atvihet˝ ok az n > 1 esetre is. Így pl. n os kocka”) és legyen z > 0 esetén Iz := [−z, z] (n-dimenzi´ ” Z −n fIz (x) := (2π) · fbe−x dµ (x ∈ Rn ). Iz

Ekkor f ∈ Lp , p > 1 esetén

kfIz − f kp → 0 (z → +∞), ill. f (x) = lim fIz (x) (m.m. x ∈ Rn ). z→+∞

viii) A vii) (és részben a ii)) megjegyzésben mondottakhoz kapcsol´ odik a következ˝o kérdésfelvetés (ld. még 2.2. iv), vi) megjegyzések): legyen valamely Φ : Rn → R, Φ(0) = 1 f¨ uggvény esetén Tr f (x) := (2π)

−n

Z

Φ(t/r)fb(t)e−ıhx,ti dt

(x ∈ Rn ).

Mit mondhatunk Tr f -r˝ol r → +∞ esetén (k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o értelemben, pl. k.kp -ban, m.m., stb.)? Ha pl. Φ := χG1 , akkor Φ(t/r) = χGr (t) (t ∈ Rn ) és Tr f = frˆ. ator (Lp , Lp )-korl´ atoss´ aga ekvivalens az Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy a Tr oper´ MΦ f (x) := (2π)

−n

Z

Φ(t)fb(t)e−ıhx,ti dt

(x ∈ Rn )

operátor (Lp , Lp )-korlátoss´ ag´ aval. Ha ez ut´ obbi korl´ atoss´ ag igaz, akkor Φ egy p u ń. L -Fourier-multiplier. A ii)-ben mondottak szerint Φ := χG1 L2 -Fouriermultiplier. Megmutathat´ o ugyanakkor, hogy ebb˝ ol a szempontb´ ol L2 nem


75

cserélhet˝o fel más Lp -vel: ha n ≥ 2 és p 6= 2, akkor Φ := χG1 nem Lp -Fouriermultiplier. ix) Mindez speciális esete a Bochner-Riesz-multipliereknek, amikor is Φλ (t) := (1 − |t|2 )λ+ := (max{1 − |t|2 , 0})λ

(t ∈ Rn ),

ahol λ ≥ 0 adott paraméter. Vil´ agos, hogy Φ0 = χG1 . A fentiek szerinti Tr operátor tehát a következ˝ o alak´ u:

Tr,λ f (x) := (2π)

−n

Z

(1 − |t|2 /r 2 )λ+ fb(t)e−ıhx,ti dt

(x ∈ Rn , r > 0)

(az f f¨ uggvény r-edrend˝ u Bochner-Riesz-k¨ ozepe.) Az

Mλ f (x) := (2π)

−n

Z

(1 − |t|2 )λ+ fb(t)e−ıhx,ti dt

(x ∈ Rn , r > 0)

Bochner-Riesz-multiplier (Lp , Lp )-korl´ atoss´ ag´ ar´ ol pl. az al´ abbiakat mondhatjuk: ha λ > (n − 1)/2, akkor Mλ minden 1 ≤ p ≤ +∞ esetén (Lp , Lp )-korlátos; ha 0 < λ ≤ (n − 1)/2 és |1/p − 1/2| < λ/(n − 1), akkor az el˝ obb eml´ıtett korlátosság igaz, m´ıg az |1/p − 1/2| ≥ (2λ + 1)/(2n) esetben nem. A Tλ,r f (r → +∞) Bochner-Riesz-közepek m.m. konvergenci´ aj´ at illet˝ oen a Tλ∗ f := sup |Tλ,r f | r>0

maximál-operátor vizsgálat´ aval kaphatunk eredményeket. Feltéve pl., hogy λ > (n−1)/2 ( kritikus index”), akkor a Hardy-Littlewood-féle maxim´ al-operátor ” ∗ p p tulajdonságaiból következ˝oen a Tλ oper´ ator (L , L )-korl´ atos és ezért lim Tλ,r f (x) = f (x)

r→+∞

(m.m. x ∈ Rn ).

Ha 0 < λ < (n − 1)/2, akkor pl. n = 2, p ≥ 2 v´ alaszt´ assal lim Tλ,r f (x) = f (x)

r→+∞

(m.m. x ∈ Rn , f ∈ Lp ),

hacsak 1/2 − 1/p < (2λ + 1)/4. Ugyanez igaz n ≥ 3, p ≥ 2, λ ≥ (n − 1)/(2(n + 1)) esetén. Mindkét most idézett eredmény azon m´ ulik, hogy a Tλ∗ oper´ ator (Lp , Lp )korlátos.

76

5.1. A Fourier-transzform´ alt differenci´ alhat´ os´ aga

5. Differenciálhatóság. 5.1. A Fourier-transzformált differenciálhat´ osága. A továbbiakban az M(Rn )-beli mértékek Fourier-transzform´ altj´ at fogjuk vizsgálni differenciálhatósági szempontból. Ezzel kapcsolatban ´ allapodjunk meg bizonyos (a többváltozós differenciálszám´ıtásban m´ ar megszokott) jel¨ olésekben. Nevezetesen, egy j = (j1 , ..., jn) ∈ Nn multiindex” mellett legyen ” |j| :=

n X

j

jk , x :=

k=1

n Y

xjkk

k=1

(x = (x1 , ..., xn) ∈ Rn ) , ∂ j := ∂1j1 ...∂njn ,

alhat´ o) f¨ uggvény k-adik változója ahol ∂k f (k = 1, ..., n) egy f ∈ Rn → C (differenci´ szerinti parciális deriváltját jelenti. Legyen tov´ abb´ a egy ν ∈ M(Rn ) mértékre Mj (ν) :=

Z

xj dν(x)

(feltéve, hogy az Rn ∋ x 7→ xj f¨ uggvény a ν mérték szerint integr´ alhat´ o). Jelentse vég¨ ul valamely s = (s1 , ..., sn) ∈ Nn esetén j ≤ s azt, hogy minden k = 1, ..., n indexre jk ≤ sk . A fenti jelölésekkel most már egyszer˝ uen megfogalmazhatjuk a bevezet˝ oben eml´ıtett differenciálhatóságra vonatkozó áll´ıt´ ast. Legyen ehhez ν ∈ M(Rn ) , j ∈ Nn és tegy¨ uk n fel, hogy minden s ∈ N , s ≤ j multiindex mellett létezik a ν mértékMs (ν) s-edik momentuma. Ekkor 1o 2o

tetsz˝oleges s ∈ Nn , s ≤ j esetén létezik a ∂ s νb parci´ alis deriv´ alt; bármely 1o -beli s multiindexre s

3o

|s|

∂ νb(x) = ı ·

Z

ex (y)· y s dν(y)

(x ∈ Rn );

az eddigi jelölések mellett a ∂ s νb f¨ uggvény egyenletesen folytonos és korlátos.

Speciálisan ∂ s νb(0) = ı|s| · Ms (ν). Az n = 1 esetben egy ν ∈ M(R) mérték k-adik Mk (ν) momentumának a létezéséb˝ol (valamely k ∈ N mellett) m´ ar minden s = 0, ..., k indexre s k következik az Ms (ν) létezése is, hiszen |x| ≤ 1 + |x| (x ∈ R). Legyen 0 ≤ f ∈ L1 , ν := µf . Ekkor az Ms (ν) (s ∈ N) momentum létezése azt jelenti, hogy az Rn ∋ x 7→ xs f (x)


77

f¨ uggvény L1 -beli. Innen tetsz˝oleges f ∈ L1 esetén a k¨ ovetkez˝ ot kapjuk: tegy¨ uk fel, hogy n n valamely j ∈ N mellett minden s ∈ N , s ≤ j multiindexre az fs (x) := xs f (x) (x ∈ Rn ) f¨ uggvény L1 -beli. Ekkor az ilyen s-ekre ∂ s fb = ı|s| fbs .

Könny˝ u kiszámolni deriváltf¨ uggvények Fourier-transzform´ altj´ at. Legyen ehhez pl. f : R → R folytonosan differenciálhat´ o, kompakt tart´ oj´ u f¨ uggvény, ekkor b´ armely x ∈ R mellett parciális integrálással azt kapjuk, hogy Z

fb′ (x) = lim

ıxa

a→+∞

f (a)e

′

f ex dµ = lim

a→+∞

−ıxa

− f (−a)· e

− ıx

Z

a

f ′ (t)eıxt dµ(t) =

−a

Z

a

−a

f (t)eıxt dµ(t) = −ıxfb(x).

Innen teljes indukcióval már rögtön ad´ odik a k¨ ovetkez˝ o ´ all´ıt´ as: ha a K(Rn ) szimbólum jelöli az f : Rn → R kompakt tart´ oj´ u folytonos f¨ uggvények halmaz´ at és az f ∈ K(Rn ) f¨ uggvény végtelen sokszor differenci´ alhat´ o, akkor j f (x) = (−ı)|j| xj · f(x) b ∂d

(x ∈ Rn , j ∈ Nn ).

5.1.1. Megjegyzések. i) A Fourier-transzformált defin´ıci´ oja alapj´ an nem meglep˝ o, hogy valamely f ∈ L1 f¨ uggvény esetén fb(x) (x ∈ Rn ) kisz´ am´ıt´ asa sor´ an komplex f¨ uggvénytani esz−t2 közök is szerepet kaphatnak. Legyen pl. n := 1 és f (t) := e (t ∈ R) (ld. 2.3.1. ii) megjegyzés). Valamely x > 0, ill. r > 0 mellett tekints¨ uk a komplex s´ıkon (pozit´ıv kör¨ uljárással) azt a Γr,x z´ art komplex g¨ orbét, amelyet a (−r, 0), (r, 0), (r, −ıx/2), (−r, −ıx/2) cs´ ucspont´ u téglalap” ker¨ ulete hat´ aroz meg. Ekkor R ” −z 2 a Cauchy-féle alaptétel szerint Γr,x e dz = 0. K¨ onny˝ u meggy˝ oz˝ odni arról, hogy lim

r→+∞

azaz

Z

−z 2

e Γr,x

dz =

Z

+∞

x2 /4−t2 +ıtx

e −∞

dt −

Z

+∞

−∞

2

e−t dt,

78


x2 /4

e

Z

+∞

−t2 ıtx

e

e

x2 /4

dt = e

−∞

fb(x) =

Z

+∞

2

e−t dt =

√

π.

−∞

√ 2 Tehát fb(x) = πe−x /4 (ami az fb transzform´ alt nyilv´ anval´ o p´ arossága miatt √ b b x < 0 esetén is igaz). Mivel f folytonos, ezért f (0) = π.

ii) A reziduum-tétel alkalmaz´ as´ ara tekints¨ uk az f (t) := 1/(1 + t2 ) f¨ uggvényt. Legyen x > 0 és F (z) :=

eızx 1 + z2

(t ∈ R)

(±ı 6= z ∈ C),

ill. r > 1 esetén Γr,x jel¨ olje most azta z´ a rt komplex g¨ orbét (szintén pozit´ıv (1) o k¨ ozéppont´ u, r sugar´ u, kör¨ uljárással), amelyet a [−r, r] szakasz Γr,x és az orig´ (2) az Im z ≥ 0 (z ∈ C) féls´ıkban lév˝ o félk¨ or Γr,x egyes´ıtésével kapunk. Ekkor a reziduum-tétel alapján Z

F (z) dz = 2πı resı F, Γr,x

ahol az FR f¨ uggvény ı-beli reziduuma: resı F = e−x /(2ı). K¨ onny˝ u belátni, hogy limr→+∞ Γ(2) F (z) dz = 0, ezért r,x

−x

πe

= lim

r→+∞

Z

F (z) dz = lim

Γr,x

r→+∞

Z

(1)

F (z) dz =

Γr,x

Z

+∞

−∞

(és f párossága miatt mindez x < 0 esetén is igaz, ill. fb(0) = π is következik).

eıtx dt = fb(x) 1 + t2

fb folytonosságából

iii) Illusztrációképpen mutassuk meg, hogy id˝ onként pl. a differenci´ alegyenletek révén is eljuthatunk a Fourier-transzform´ alt kisz´ am´ıt´ as´ ahoz. Tekints¨ uk példaként 2 az i)-beli f (t) := e−t (t ∈ R) f¨ uggvényt. Ekkor 2

f ′ (t) = −2te−t = −2tf (t)

(t ∈ R),

azaz a deriválás és a Fourier-transzform´ aci´ o kapcsolat´ ara el˝ obb kapott formulák alapján −ıxfb(x) = 2ı(fb)′ (x)

(x ∈ R).


79

Tehát (fb)′ (x) = −(x/2)fb(x) (x ∈ R), ami fb-re nézve egy homogén els˝orend˝ u −x2 /4 differenciálegyenlet. Ennek minden megold´ asa αe (x ∈ R) alak´ u alkalmas R +∞ −t2 √ √ α ∈ R egy¨ utthatóval. Mivel fb(0) = −∞ e dt = π, ezért α = π, azaz √ 2 fb(x) = πe−x /4 (x ∈ R). ′′

′′

′′

iv) Példa: f − λ2 f + g = 0, ahol f, f , g ∈ L1 , f ∈ C és λ > 0. Ekkor (ld. deriválás) gb(x) = (λ2 +x2 )fb(x), ill. h(x) := e−λ|x| /(2λ) esetén b h(x) = (λ2 +x2 )−1 (x ∈ R) =⇒ fb = b hb g = hd ∗ g =⇒ 1 f (x) = h ∗ g(x) = 2λ

Z

e−λ|x−t| g(t) dt

(x ∈ R).

v) Világos, hogy bármely ε > 0 és 1 < q ≤ +∞ mellett az R ∋ y 7→ y −1 χ{|y|>ε} f¨ uggvény Lq -beli. Legyen n = 1, f ∈ Lp (1 ≤ p < +∞), ekkor a most mondottak és a H¨ older-egyenl˝otlenség szerint j´ ol defini´ alt és véges a Hε f (x) :=

Z

{|y|>ε}

f (x − y) dµ(y) y

(x ∈ R)

ator f¨ uggvény. Belátható, hogy a Hε oper´ • gyengén (1,1)-t´ıpus´ u és • minden 1 < p < +∞ esetén (p,p)-t´ıpus´ u, mégpedig mindkét áll´ıtásban ε-szerint egyenletesen: megadhat´ ok olyan C > 0 és (csak p-t˝ol f¨ ugg˝o) Cp > 0 konstansok, hogy tetsz˝ oleges ε > 0 és f ∈ L1 , ill. g ∈ Lp f¨ uggvényekre • µ({|Hε f | > y}) ≤ Ckf k1 /y (y > 0) és

• kHε f kp ≤ Cp kf kp (f ∈ Lp ).

Megjegyezz¨ uk, hogy Hε f = Kε ∗ f, ahol Kε (t) :=

  1/t (|t| > ε) 

0

(|t| ≥ ε).

uci´ o minden f ∈ Lp Mivel Kε ∈ Lq (1 < q ≤ +∞), ezért a fenti konvol´ (1 ≤ p < +∞) f¨ uggvény esetén értelmezhet˝ o, Kε ∗ f folytonos, korl´ atos f¨ uggvény. d b c Ha tehát p = 2, akkor Hε f = Kε f . K¨ ovetkezésképpen 1 1 c d cε k∞ kf k2 . kHε f k2 = √ kH kKε k∞ kfbk2 = kK ε f k2 ≤ √ 2π 2π

80

5.1. A Fourier-transzform´ alt differenci´ alhat´ os´ aga Ugyanakkor cε (x) = lim K

r→+∞

Z

ıxt 1

e

r>|t|>ε

t

dt = 2ı

Z

+∞

xε

sin t dt t

(x > 0),

ezért azt kell csupán ellen˝ orizni, hogy az ut´ obbi integr´ al egyenletesen korlátos: van olyan abszol´ ut C2 konstans, hogy Z

+∞ xε

sin t dt ≤ C2 t

(x > 0, ε > 0).

Ezzel a kHε f kp ≤ Cp kf kp (f ∈ Lp ) becslést p = 2-re elintézt¨ uk”. Ebb˝ol és a ” gyenge (1,1)-becslésb˝ol interpol´ aci´ oval kapjuk az 1 < p ≤ 2 esetet. Ugyanakkor belátható, hogy ha 1/p+1/q = 1, akkor kHε f kq ≤ Cp kf kq , azaz az 1 < p ≤ 2 eset maga után vonja a 2 < p < +∞ esetet. Az is bel´ athat´ o, hogy Cp ≤ Cp2 /(p − 1) (alkalmas C abszol´ ut konstanssal). Megmutatható továbbá, hogy a most mondott gyenge (1,1)- és (p, p)-tulajdonság a H ∗ f := sup |Hε f | ε>0

(f ∈ Lp )

maximál-operátorra is teljes¨ ul. Innen az is k¨ ovetkezik, hogy létezik a Hf (x) := lim Hε f (x) ε→0

(m.m. x ∈ R)

határérték, az f f¨ uggvény u ń. Hilbert-transzform´ altja és a H oper´ ator is gyengén (1,1)- és (p, p)-tulajdonság´ u (1 < p < +∞). Igaz tov´ abb´ a, hogy p = 2, azaz f, g ∈ L2 esetén • kHf k2 = kf k2 ,

• H 2 f = −f, R R • Hf · g dµ = − f · Hg dµ,

d (x) = ıfb(x) sign x (x ∈ R). • 2π Hf

j f (x) = (−ı)|j| xj fˆ(x) formula alapj´ vi) A fenti ∂d an gondoljuk meg, hogy ∂ j f ∈ L2 (j ∈ Nn , |j| ≤ N valamilyen N ∈ N mellett) akkor és csak akkor igaz, ha

Z

|fˆ(x)|2 1 + kxk2

N

dx < +∞.


81

Valóban, a Plancherel-tétel szerint k∂ (2π)

−n

j

f k22

Z

= (2π)

−n

j f k2 = (2π)−n k∂d 2

|x | |fˆ(x)|2 dx ≤ (2π)−n j 2

Z

Z

|xj fˆ(x)|2 dx =

kxk2|j| |fˆ(x)|2 dx.

Egyszer˝ uen ellen˝orizhet˝o, hogy alkalmas c > 1 konstanssal X 1 (1 + kxk2 )N ≤ |xj |2 ≤ c(1 + kxk2 )N , c |j|≤N

amib˝ol a mondott ekvivalencia m´ ar nyilv´ an k¨ ovetkezik. uggvény eleget tesz az al´ abbi feltételeknek: vii) Tegy¨ uk fel, hogy az f : Rn → R f¨ alkalmas ε > 0, C > 0 paraméterekkel ˆ |f (x)|, |f(x)| ≤

C n+ε

(1 + kxk)

(x ∈ Rn ).

Ekkor igaz a következ˝o, u ń. Poisson-féle szumm´ aci´ os formula: X

j∈Zn

f (x + 2πjb) =

X 1 ˆ(j/b)e−ıb−1 hj,xi f (2πb)n n j∈Z

(x ∈ Rn , b > 0),

ahol mindkét sor abszol´ ut konvergens. Speci´ alisan (2πb)n

X

f (2πjb) =

j∈Zn

X

fˆ(j/b),

j∈Zn

ill. X

j∈Zn

f (j) =

X

fˆ(2πj).

j∈Zn

K¨ ulönösen egyszer˝ uvé” válik az ut´ obbi formula, ha (ld. 3.2.1. xxii) megjegyzés) ” a Fourier-transzformált fˇ(x) :=

Z

f (t)e−2πıhx,ti dt

(x ∈ Rn )

82

5.1. A Fourier-transzform´ alt differenci´ alhat´ os´ aga alakját használjuk: X

(∗)

f (j) =

j∈Zn

X

fˇ(j).

j∈Zn

A Poisson-formula indokl´ as´ at illet˝ oen vil´ agos, hogy f ∈ L1 , ill. ezért (és az f -re tett feltételek miatt) a ϕ(x) :=

X

f (x + 2πbj)

j∈Zn

(x ∈ [0, 2πb]n)

f¨ uggvényre ϕ ∈ L1 [0, 2πb]n igaz. Sz´ am´ıtsuk ki a ϕ Fourier-egy¨ utthat´ oit: ϕ(k) ˆ = (2πb)

−n

Z

−1

ϕ(t)e−ıb

hk,ti

dt =

[0,2πb]n

(2πb)−n

Z

[0,2πb]n

(2πb)−n

(2πb)

−n

Z

Z

 

j∈Zn

[0,2πb]n

−1

f (y)e−ıb

X

 



−1

f (t + 2πbj) e−ıb

X

−1

f (t + 2πbj)e−ıb

j∈Zn

hk,yi

hk,ti

dt = 

hk,t+2πbji 

dy = (2πb)−n fˆ(−k/b)

dt =

(k ∈ Zn ).

P ˆ Az f -re tett feltételek miatt ert a ϕ f¨ uggvény j∈Zn |f (j/b)| < +∞, ez´ (n-változós) Fourier-sora abszol´ ut konvergens, ´ıgy ϕ(x) = (2πb)−n

X

−1 fˆ(−j/b)eıb hj,xi = (2πb)−n

j∈Zn

X

j∈Zn

2 viii) Legyen pl. α > 0, f (t) := e−αt , ekkor (ld. i)) fb(t) = Tehát (ld. vii))

2π

+∞ X

−1 fˆ(j/b)e−ıb hj,xi .

−4απ 2 k2

e

k=−∞

vagy a β := 4απ 2 helyettes´ıtéssel

=

p

π/α

+∞ X

k=−∞

e−k

2

p

/4α

,

2

π/α· e−t

/(4α)

(t ∈ R).


+∞ X

−βk2

e

=

k=−∞

p

83

+∞ X

π/β

e−π

2 2

k /β

.

k=−∞

A z := β/π jelöléssel +∞ X

−πk2 z

e

k=−∞

Ha ϑ(t) :=

P+∞

k=−∞

e−πk

+∞ 1 X −πk2 /z =√ e . z k=−∞

2

t

(t > 0) (ϑ-f¨ uggvény), akkor

ϑ(t) = t−1/2 ϑ(t−1 )

(t > 0)

(Jacobi-formula) (ld. számelmélet, ill. elliptikus integr´ alok). ix) Vezess¨ uk be pl. az alábbi W (Rn ) Wiener-algebr´ at: W (Rn ) :=

(

f ∈C:

X

k∈Zn

)

max |f (x + 2πk)| < +∞ .

x∈[0,2π]n

Ekkor f, fˆ ∈ W (Rn ) esetén igaz a vii)-beli (∗) Poisson-formula (az ott mondott bizony´ıtással egy¨ utt). Megmutathat´ o, hogy ebb˝ ol a szempontb´ ol az f, fˆ ∈ C feltétel nem elegend˝o. x) Az el˝obbiekben az f -re és fˆ-ra tett feltételek (pl.) a (∗) egyenl˝ oségekben szerepl˝o végtelen sorok abszol´ ut konvergenci´ aj´ at biztos´ıtott´ ak. Ha csak mondjuk a szóban forgó sorok konvergenci´ aj´ at (és a sor¨ osszegek egyenl˝ oségét) akarjuk, akkor 1 enyh´ıthet¨ unk a feltételeken. Legyen ehhez n = 1, f ∈ L ∩ C, 1 ≤ p, q ≤ +∞, a > 1/˜ p, b > 1/˜ q (ahol 1/p + 1/˜ p = 1/q + 1/˜ q = 1), 1/(pq) < (b − 1/˜ q)(a − 1/˜ p) és a p bˆ q az R ∋ x 7→ x f (x) f¨ uggvény tartozzon L -be, az R ∋ x 7→ x f (x) pedig L -ba. P+∞ P+∞ Ekkor a k=−∞ f (k), k=−∞ fˆ(k) sorok konvergensek és igaz a (∗) egyenl˝oség.

xi) Ha n = b = 1 és f ∈ L1 , akkor a vii)-ben szerepl˝ o ϕ f¨ uggvény L1 [0, 2π]-beli és P +∞ 2π ϕ(k) ˆ = fˆ(−k) (k ∈ Z). Tegy¨ uk fel még, hogy k=−∞ |fˆ(k)|2 < +∞, ekkor P +∞ ıjx ϕ ∈ L2 [0, 2π]. Így a Carleson-tétel miatt a ϕ(x) = j=−∞ ϕ(j)e ˆ egyenl˝oség, P+∞ P+∞ ˆ −ıjx azaz a 2π j=−∞ f (x + 2πj) = j=−∞ f (j)e Poisson-formula P m.m. x ∈ R esetén igaz. Ugyanez elmondhat´ o akkor is, ha n > 1 és a osszegzés n ¨ P PN PN j∈Z négyzetesen ” értend˝o: j∈Zn ... = limN→+∞ j1 =−N · · · jn =−N ... ” xii) Alkalmazzuk a vii)-beli eredményt (b = 1 mellett) f helyett a Tt My f f¨ uggvényre (t, y ∈ Rn ) az x = 0 helyen, akkor az al´ abbi egyenl˝ oséget kapjuk:

84

5.1. A Fourier-transzform´ alt differenci´ alhat´ os´ aga X

f (t + 2πj)eıhy,t+2πji =

j∈Zn

X 1 fˆ(j + y)e−ıhj,ti . n (2π) n j∈Z

Ha F (x) := f (2πx) (x ∈ Rn ), akkor Fˆ (x) =

Z

ıhx,ti

f (2πt)e

1 dt = (2π)n

Z

−1

f (z)eıh(2π)

x,zi

dz =

1 ˆ f (x/(2π)). (2π)n

Írjunk a Poisson-formula el˝ obbi alakj´ aban t helyébe 2πt-t, akkor X

F (t + j)e2πıhy,t+ji =

j∈Zn

X

Fˆ (2π(j + y))e−2πıhj,ti =

j∈Zn

X

j∈Zn

Fˇ (j − y)e2πıhj,ti,

azaz X

j∈Zn

F (t − j)e−2πıhy,t−ji =

X

Fˇ (j + y)e−2πıhj,ti.

j∈Zn

Innen X

j∈Zn

F (t − j)e2πıhy,ji =

X

Fˇ (y + j)e2πıhy−j,ti

j∈Zn

következik. Valamely α > 0 paraméter esetén

Zα F (t, y) :=

X

j∈Zn

F (t − αj)e2πıαhy,ji

az F f¨ uggvény u ń. Zak-transzform´ altja. A Poisson-formul´ ab´ ol tehát a most értelmezett Zak-transzform´ altra vonatkoz´ o al´ abbi azonoss´ agot kaptuk:

Z1 F (t, y) =

X

j∈Zn

Fˇ (y + j)e2πıhy−j,ti

(t, y ∈ Rn ).

5.2. Schwartz-oszt´ aly

85

5.2. Schwartz-osztály. Vezess¨ uk be a következ˝o (L. Schwartz-r´ ol elnevezett) f¨ uggvényoszt´ alyt: S := {f ∈ D∞ (Rn ) : sup |xk · ∂ j f (x)| < +∞ x∈Rn

(k, j ∈ Nn )}.

Nyilvánvaló, hogy K(Rn ) ∩ D∞ (Rn ) ⊂ S ⊂ L∞ . Azt sem nehéz bel´ atni, hogy S ⊂ L1 . Világos, hogy S lineáris altere D∞ (Rn )-nek és f ∈ S ⇐⇒ f ∈ D∞ (Rn ), sup |∂ k fj (x)| < +∞ x∈Rn

(k, j ∈ Nn )

(ahol fj (x) := xj · f (x) (x ∈ Rn )). Innen r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik, hogy f ∈ S esetén ∂ j f ∈ S n os P polinomra P · f ∈ S. Vég¨ ul eml´ıts¨ unk meg (j ∈ N ) és bármely n-változós val´ még egy meglehet˝osen nyilvánvaló tényt, miszerint az S f¨ uggvényoszt´ aly z´ art a szokásos f¨ uggvényszorzásra nézve, azaz tetsz˝ oleges f, g ∈ S f¨ uggvényekre f · g ∈ S. Bármely f ∈ S, k, j ∈ Nn és x ∈ Rn esetén

k f (x). xk · ∂ j fb(x) = ı|j| · xk · fbj (x) = ı|j|+|k| · ∂d j

kf Innen többek között az is adódik, hogy minden f ∈ S f¨ uggvényre fb ∈ D∞ (Rn ), ui. a ∂d j n (k, j ∈ N ) f¨ uggvények valamennyien folytonosak.

Az S f¨ uggvényosztályban vezess¨ uk be a k¨ ovetkez˝ o jel¨ olést: valamely f ∈ S és k, j ∈ Nn esetén legyen kf kk,j := sup |xk · ∂ j f (x)|. x∈Rn

A fentiek szerint minden itt szerepl˝ o paraméterre kf kk,j < +∞, tov´ abb´ a k.kk,j egy félnorma S-en. Mivel az el˝obbi f -re, k-ra és j-re egy alkalmas Ck,j > 0 konstanssal minden x ∈ Rn pontban

≤

Z

Z k j b k x · ∂ f (x) = ex · ∂ fj dµ ≤

k ∂ fj dµ ≤ Ck,j ·

Z

1 dz < +∞, (1 + kzk)2n

ezért kfbkk,j < +∞. Ez azt jelenti, hogy fb ∈ S. M´ as sz´ oval: ha

86

5.2. Schwartz-oszt´ aly

Sb := {fb ∈ C(Rn ) : f ∈ S},

2 h = (2π)n/2 · h. akkor Sb ⊂ S. Ha pl. h(x) := e−kxk /2 (x ∈ Rn ), akkor h ∈ S és b

Legyen valamely g : Rn → C mellett g˜(x) := g(−x) (x ∈ Rn ). Ekkor b´ armely f ∈ S f¨ uggvényre az inverziós formulával kapcsolatban (ld. 3.) l´ atottakkal anal´ og m´ odon kapjuk, hogy b fb = (2π)n · f˜.

b Az nyilvánvaló, hogy f˜ ∈ S, ´ıgy az F := f˜ jel¨ oléssel

Fb = (2π)n · f˜˜ = (2π)n · f.

A g := (2π)−n · F választással egy olyan S-beli f¨ uggvényt kaptunk, amelyre gb = f. Mindez azt jelenti, hogy Sb = S. Mivel a Fourier-transzform´ aci´ o injekt´ıv, ezért S ∋ f 7→ fb ∈ S

bijekció. A fentiek szerint könnyen megadhat´ o ennek a bijekci´ onak az inverze is, ui. n bármely f ∈ S és x ∈ R esetén (∗)

f (x) = (2π)

b · fb(−x) = (2π)−n ·

−n

Z

fb· e−x dµ.

Belátható továbbá, hogy tetsz˝ oleges f , h ∈ S v´ alaszt´ assal fd · h = (2π)−n · fb ∗ b h. 1 2 b b Ugyanezt mondhatjuk, ha f, f , h, h ∈ L vagy f, h ∈ L .

5.2.1. Megjegyzések.

i) Világos, hogy S ⊂ C0 . Ha 1 ≤ p < +∞, akkor S ⊂ Lp . Legyen ui. ϕ ∈ S és α := kϕk∞ , β := supx∈Rn kxk2n |ϕ(x)|. Ekkor kϕkpp p

=

Z

G1

p

|ϕ(x)| dx +

α |G1 | + β

p

Z

Rn \G

1

Z

Rn \G1

|ϕ(x)|p dx ≤

kxk−2np dx < +∞

5.3. Disztrib´ uci´ ok

87

(ahol |G1 | a G1 := {x ∈ Rn : kxk ≤ 1} g¨ omb” (Lebesgue-)mértéke). ” ii) A fentebb definiált k.kk,j (k, j ∈ Nn ) félnorm´ ak a ρ˜k,j (u, v) := ku − vkk,j

(u, v ∈ S)

félmetrikákat generálják. Rendezz¨ uk ezeket egy ρ˜0 , ρ˜1 , ... sorozatba és legyen

ρl := ρ˜l /(1 + ρ˜l ) (l ∈ N) , ρ :=

∞ X

2−l ρl .

l=0

Ekkor ρ metrika S-en és k¨ onnyen bel´ athat´ oan (S, ρ) egy teljes szeparábilis metrikus tér. Világos, hogy ul , u ∈ S (l ∈ N) esetén ρ(ul , u) → 0 (l → ∞) azzal ekvivalens, hogy minden k, j ∈ Nn mellett kul − ukk,j → 0 (l → ∞). Továbbá a S 2 ∋ (ϕ, ψ) 7→ ϕ + cψ (c ∈ C) leképezés folytonos (az S 2 -en a ρ-ból a szokásos” módon sz´ armaztatott szorzat-metrika értelmében). Ezért S ” topologikus vektortér. Azt sem nehéz bel´ atni, hogy az S ∋ u 7→ u ˆ ∈ S leképezés egy homeomorfizmus S-r˝ol S-re.

5.3. Disztrib´ uci´ ok. Legyen S ′ az F : S → C folytonos line´ aris funkcion´ alok halmaza (az a ´ltal´ anos´ıtott f¨ uggvények (vagy más néven ( temper´ alt”) disztrib´ uci´ ok) halmaza). Ha pl. 1 ≤ p ≤ +∞, ” f ∈ Lp és Ff (u) :=

Z

f (t)u(t) dt

(u ∈ S)

(mivel az 5.2.1. i) megjegyzés szerint u ∈ Lq (ahol 1/p + 1/q = 1), ´ıgy a H¨ older1 egyenl˝otlenség miatt f u ∈ L ), akkor Ff : S → C nyilv´ an line´ aris funkcion´ al. Ha adott az uk ∈ S (k ∈ N) sorozat és ρ(uk , 0) → 0 (k → ∞), akkor az el˝ obbi q-val i) alapján older-egyenl˝ otlenség szerint kuk kq → 0 (k → ∞) is igaz. Következésképpen ismét a H¨ |Ff (uk )| ≤ kf kp · kuk kq → 0

(k → ∞),

azaz Ff folytonos (S ∋ 0-ban, ´ıgy a linearit´ asa miatt minden S-beli helyen). Tehát ′ Ff ∈ S (regul´ aris disztrib´ uci´ o). Az Ff ≡ f azonos´ıtással ´ıgy azt mondhatjuk, hogy f ´ altal´ anos´ıtott f¨ uggvény. Legyen pl. f ≡ 1. Ekkor

88


F1 (u) =

Z

(u ∈ S),

u(t) dt

R azaz az S ∋ u 7→ u(t) dt integrál-funkcion´ al regul´ aris disztrib´ uci´ o. Ugyanakkor legyen assal értelmezett (nyilv´ an lineáris) z ∈ Rn és δz : S → C a δz (u) := u(z) (u ∈ S) utas´ıt´ ′ funkcionál. Világos, hogy δz folytonos is, azaz δz ∈ S (Dirac-disztrib´ uci´ o), viszont (eléggé nyilvánvalóan) δz nem reguláris a fenti értelemben. Az S ′ jellemzését illet˝oen a következ˝ o ekvivalencia l´ athat´ o be: valamely F : S → C lineáris funkcionál akkor és csak akkor ´ altal´ anos´ıtott f¨ uggvény (azaz F ∈ S ′ ), ha alkalmas C > 0 és m, l ∈ N számokkal |F (u)| ≤ C

X X

|k|≤m |j|≤l

kukk,j

(u ∈ S).

A közönséges” f¨ uggvényekkel kapcsolatos bizonyos manipul´ aci´ ok” anal´ ogia alapján ” ” könnyen átvihet˝ok disztrib´ uciókra is. Illusztr´ aci´ oképpen mutassuk meg mindezt el˝oször a alisan |j|-szer deriválás vonatkozásában. Legyen ehhez f, g ∈ S és j ∈ Nn . Ekkor (parci´ integrálva) azt kapjuk, hogy Z

j

∂ f (t)g(t) dt = (−1)

|j|

Z

∂ j g(t)f (t) dt.

Logikusnak látszik ezért F ∈ S ′ esetén a ∂ j F ∈ S ′ disztrib´ uci´ ot u ´gy defini´ alni, hogy ∂ j F (u) := (−1)|j| F (∂ j u)

(u ∈ S).

(Egyszer˝ uen meggondolható, hogy ´ılym´ odon val´ oban egy S ′ -beli funkcion´ alt definiáltunk.) Legyen pl. (n = 1 esetén) a, b ∈ R, a < b és F := Fχ[a,b] . Ekkor ′

′

F (u) = −Fχ[a,b] (u ) = −

Z

b

u′ (t) dt =

a

u(a) − u(b) = δa (u) − δb (u)

(u ∈ S),

azaz (az Fχ[a,b] ≡ χ[a,b] azonos´ıtásra gondolva) a disztrib´ uci´ o-értelemben vett deriválás szerint χ′[a,b] = δa − δb . Hasonlóan, ha f, g, akkor az f˜(t) := f (−t) (t ∈ Rn ) jel¨ oléssel


89

Ff ∗g (u) = Z

g(x)

Z

Z

f ∗ g(t)u(t) dt =

u(t)f (t − x) dt Z

Z Z

dx =

Z

g(x)f (t − x) dx u(t) dt =

g(x)

Z

u(t)f˜(x − t) dt

g(x)f˜ ∗ u(x) dx = Fg (f˜ ∗ u)

dx =

(u ∈ S).

Mindez az alábbi defin´ıciót motiv´ alja: f ∗ F (u) := F (f˜ ∗ u)

(f, u ∈ S, F ∈ S ′ ).

Speciálisan

f ∗ δz (u) = δz (f˜ ∗ u) = f˜ ∗ u(z) =

Z

f (t − z)u(t) dt

tehát f ∗ δz = FT−z f . Ha itt z := 0, akkor f ∗ δ0 = Ff ≡ f S-beli konvol´ ució-szorzásra nézve az egység-oper´ ator.

(z ∈ Rn ),

(f ∈ S), m´ as sz´ oval δ0 az

A most mondottak szellemében emlékeztet¨ unk arra (ld. 3.2.1. xiii) megjegyzés 3o 2 1 szorzási szabály), hogy ha f ∈ L (vagy f ∈ L ), akkor b´ armely u ∈ S esetén Ffˆ(u) =

Z

fˆ(t)u(t) dt =

Z

f (t)ˆ u(t) dt = Ff (ˆ u).

Ezért kézenfekv˝onek látszik tetsz˝oleges F ∈ S ′ esetén az Fb Fourier-transzform´ altat olyan Fb ∈ S ′ általános´ıtott f¨ uggvényként defini´ alni, amelyre Fb (u) := F (ˆ u)

(u ∈ S)

teljes¨ ul. (Mivel S ∋ u 7→ u ˆ ∈ S homeomorfizmus S-r˝ ol S-re, az el˝ obbiekben valóban egy ′ Fb ∈ S funkcionált (általános´ıtott f¨ uggvényt) defini´ altunk.) Így pl. a 6.1. (∗) inverziós formula szerint c1 (u) = F1 (ˆ F u) =

Z

u ˆ(t) dt = (2π)n u(0) = (2π)n δ(u)

(u ∈ S),

90


c1 = (2π)n δ. Hasonlóan kapjuk a Dirac-féle δz (z ∈ Rn ) disztrib´ más szóval F ució (ld. iii)) Fourier-transzformáltját is: δbz (u) = δz (ˆ u) = u ˆ(z) =

Z

u(t)eıht,zi dt = Fez (u)

(u ∈ S)

(ahol ez (t) := eıht,zi (t ∈ R)), azaz δbz = Fez .

b Legyen valamely F ∈ S ′ esetén Fe(u) := F (˜ u) (u ∈ S). Ekkor Fb = (2π)n Fe. Valóban, ˆˆ = (2π)n u u ˜ (u ∈ S) miatt b ˆˆ) = (2π)n F (˜ Fb(u) = Fb(ˆ u) = F ( u u) = (2π)n Fe(u)

(u ∈ S).

Ha 1 ≤ p ≤ 2, f ∈ Lp és F := Ff , akkor k¨ onnyen bel´ athat´ oan Fb = Ffˆ (azaz Fb reguláris disztrib´ ució: Fb ≡ fˆ. Ezért: ha p > 2 és f ∈ Lp , akkor legyen fˆ := Fbf , m´ as sz´ oval cf (u) = Ff (ˆ F u) =

Z

(u ∈ S).

f (t)ˆ u(t) dt

Pl. a disztrib´ ució-deriválásra utalva azt mondhatjuk, hogy ha F ∈ S ′ és j ∈ Nn , akkor (emlékeztet˝ou ¨l: uj (t) := tj u(t) (t ∈ Rn )) j F (u) = ∂ j F (ˆ ∂d u) = (−1)|j| F (∂ j u ˆ) = (−ı)|j| F (ubj ) = (−ı)|j| Fb(u) =

Fb (−ı)|j| uj = Fb(u∗j )

(u ∈ S),

alisan az F := δ0 (ahol (−ı)|j| uj (t) = (−ı)|j| tj u(t) = (−ıt)j u(t) =: u∗j (t) (t ∈ Rn )). Speci´ esetben j δ (u) = (−ı)|j| u ∂d bj (0) = (−ı)|j| 0

Z

j

t u(t) dt =

Z

(−ıt)j u(t) dt

(u ∈ S),

j δ regul´ következésképpen ∂d aris disztrib´ uci´ o, ill. a hj (t) := (−ıt)j u(t) (t ∈ Rn ) jelöléssel 0 j δ = F . (Megjegyezz¨ ∂d uk, hogy bizonyos h ∈ C ∞ f¨ uggvényekre (amelyek az összes 0 hj deriváltjukkal egy¨ utt a +∞-ben legfeljebb polinomi´ alis nagys´ agrend˝ uek”) értelmezhet˝o a ” hF szorzat tetsz˝oleges F ∈ S ′ esetén:

(hF )(u) := F (hu)

(u ∈ S).


91

j F (u) = g F b Ekkor a gj (t) := (−ıt)j (t ∈ Rn ) jel¨ oléssel a fentiek szerint ∂d j (u) j ˆ jF = g F b (u ∈ S), azaz ∂d osszhangban van a klasszikus” ∂d j . Ez teljes ¨ j f (x) = (−ıx) f (x) ” n (f ∈ S, x ∈ R ) egyenl˝oséggel.)

Hasonlóan: a g˜j (t) := gj (−t) = (ıt)j disztrib´ ució-szorzást is figyelembe véve)

(t ∈ Rn ) jel¨ oléssel (az el˝ obbi f¨ uggvény-

∂j Fb (u) = (−1)|j| Fb(∂j u) =

(−1)|j| F (∂d gj u ˆ) = g˜d j u) = F (˜ j F (u)

(F ∈ S ′ , u ∈ S).

Ez azt jelenti, hogy ∂j Fb = g˜d osszhangban a m´ ar jól ismert j F , megint csak ¨ ˆ d ∂j f = g˜j f (f ∈ S) egyenl˝oséggel. A disztrib´ ució-értelemben vett Fourier-transzform´ aci´ o és bizonyos oper´ atorok kapcsolatát tárgyaló el˝obbi példákhoz csatlakozva mutassuk meg, hogy fd ∗ F = fˆFb

(f ∈ S, F ∈ S ′ ).

Valóban, tetsz˝oleges u ∈ S esetén fd ∗ F (u) = f ∗ F (ˆ u) = F (f˜ ∗ u ˆ), ahol f˜ ∗ u ˆ(x) = Z Z

Z

u ˆ(t)f˜(x − t) dt = ıhy,ti

f (t − x)e Z

Innen azt kapjuk, hogy

dt u(y) dy =

Z Z

Z Z

ıhy,ti

u(y)e

dy f (t − x) dt =

ıhy,zi

f (z)e

c fˆ(y)u(y)eıhy,xi dy = fû(x)

dz eıhy,xi u(y) dy =

(x ∈ Rn ).

c fd ∗ F (u) = F (fû) = Fb(fû) = (fˆFb)(u)

(u ∈ S).

Ez a fentebb eml´ıtett f¨ uggvény-disztrib´ uci´ o-szorz´ as szerint éppen azt jelenti, amit áll´ıtottunk. Ugyan´ıgy kapjuk az fc F = fˆ ∗ Fb

(f ∈ S, F ∈ S ′ )

92


ford´ıtott” szabályt is. Ti. ” fc F (u) = (f F )(ˆ u) = F (f u ˆ)

m´ıg (a h := fˆ jelöléssel)

(u ∈ S),

˜ ∗ u) = F (h ˜d ˜ˆ u) = F (f u fˆ ∗ Fb(u) = Fb (h ∗ u) = F (hˆ ˆ).

5.3.1. Megjegyzések. i) Nem nehéz belátni, hogy az S ′ ∋ F 7→ Fb ∈ S ′ leképezés izomorfizmus, ha S ′ -n a gyenge∗ -topológiát vezetj¨ uk be (azaz azt a leggyengébb topol´ ogi´ at, amelyre nézve az S ′ ∋ F 7→ F (u) ∈ C line´ aris funkcion´ al minden r¨ ogz´ıtett u ∈ S f¨ uggvényre folytonos). ii) Megmutatható továbbá, hogy minden p > 2 esetén van olyan f ∈ Lp , amelyre az fˆ Fourier-transzform´ alt nemR k¨ oz¨ onséges” f¨ uggvény, azaz nincs olyan R ” g f¨ uggvény, hogy f (t)ˆ u(t) dt = g(t)u(t) dt teljes¨ ulne b´ armely S ∋ u-ra. Tegy¨ uk fel ui. indirekt m´ odon (az egyszer˝ uség kedvéért n = 1 mellett), hogy valamely p > 2 kitev˝ ore” minden Lp ∋ f -re fˆ regul´ aris disztrib´ ució: ” ˆ f (Lebesgue-mérhet˝o) f¨ uggvény, amellyel Z

f (t)ˆ u(t) dt =

Z

fˆ(t)u(t) dt

(u ∈ S).

R an van), akkor az fˆ(t)u(t) dt integrál Ha itt u|[0,1] ≡ 1 (ilyen u ∈ S nyilv´ R1 létezéséb˝ol következik, hogy az 0 fˆ(t) dt integr´ al is létezik. Megmutatjuk, hogy p 1 az L ∋ f 7→ f χ[0,1] ∈ L (nyilv´ an line´ aris) oper´ ator folytonos. Legyen ehhez fk ∈ Lp (k ∈ N) olyan sorozat, hogy kfk − f kp → 0 (k → ∞). Ekkor az indirekt feltevés¨ unk miatt Z

fbk (t)u(t) dt =

Z

fk (t)ˆ u(t) dt

(k ∈ N, u ∈ S),

ahol a H¨ older-egyenl˝otlenség miatt tetsz˝ oleges S ∋ u-ra Z Z fk (t)ˆ u(t) dt − f (t)ˆ u(t) dt ≤ kfk − f kp · kˆ ukq → 0

(k → ∞).

(Az 1 ≤ q < 2 kitev˝ore” teh´ at 1/p + 1/q = 1.) K¨ ovetkezésképpen ”


93

lim

k→∞

Z

fbk (t)u(t) dt =

Z

f (t)ˆ u(t) dt =

Z

fˆ(t)u(t) dt

(u ∈ S).

uggvényekre, amelyekre Szor´ıtkozzunk olyan kompakt tart´ oj´ u C ∞ -beli u f¨ supp u ⊂ [0, 1] (legyen ezeknek a halmaza S ∗ ), akkor lim

k→∞

Z

fbk (t)u(t) dt =

Z

1

fˆ(t)u(t) dt.

0

Ha mármost valamilyen (Lebesgue-mérhet˝ o) g : R → C f¨ uggvénnyel teljes¨ ul, hogy R1 ∗ b armely u ∈ S f¨ uggvényre limk→∞ 0 |fk (t) − g(t)| dt = 0, akkor b´ Z

0

1

fbk (t)u(t) dt −

Így limk→∞

R1 0

Z

1

0

Z g(t)u(t) dt ≤ kuk∞ ·

0

fbk (t)u(t) dt = Z

1

0

Innen fˆ(t) = g(t) (k → ∞).

R1 0

1

|fbk (t) − g(t)| dt → 0

(k → ∞).

g(t)u(t) dt. Azt kaptuk teh´ at, hogy

(fˆ(t) − g(t))u(t) dt = 0

(u ∈ S ∗ ).

(m.m. t ∈ [0, 1]) k¨ ovetkezik, teh´ at k(fbk − f )χ[0,1] k1 → 0

Az eddigieket összegezve azt mondhatjuk, hogy az

Lp ∋ f 7→ fˆχ[0,1] ∈ L1 leképezés zárt operátor. Alkalmazhat´ o ezért a z´ art gr´ af-tétel, miszerint a szóban ´ forgó leképezés korlátos line´ aris oper´ ator. Igy egy alkalmas Cp > 0 konstanssal

(∗)

Z

1

0

|fˆ(t)| dt ≤ Cp kf kp

(f ∈ Lp ).

Lássuk be, hogy az utóbbi egyenl˝ otlenség nem lehet igaz minden f ∈ Lp f¨ uggvényre. Legyen ehhez valamilyen δ > 1 paraméterrel c := 1 + ıδ és 2 1 hδ (t) := √ e−t /(2c) c

(t ∈ R).

94

5.3. Disztrib´ uci´ ok cδ Fourier-transzform´ Nyilván hδ ∈ L1 ∩ Lp . Szám´ıtsuk ki a h altat, azaz mutassuk meg, hogy (ld. 2.3.1. ii) megjegyzés) √ √ c ˆ cx) = 2πe−cx2 /2 hδ (x) = h(

(x ∈ R).

Legyen tehát 0 6= x ∈ R, ekkor 1 c hδ (x) = √ c

Z

−t2 /(2c) ıxt

e

e

1 dt = √ c

Z

e−(t/

√

2c)2 ıxt

e

dt

√ (a c értékeként szóba jöhet˝ o két sz´ am k¨ oz¨ ul azt v´ alasztva, amelyiknek az imaginárius része pozit´ıv.) Tekints¨ uk valamilyen r > 0 mellett √ √a komplex s´ıkon azt a Φr zárt, szakaszonként sima utat, amely a [0, r], [0, r c/| c|] szakaszoknak és annak a ϕr origó kö√zéppont´ u k¨ or´ıvnek az egyes´ıtése, amely (a komplex √ u r sugar´ s´ıkon) az r és az r c/| c| pontokat k¨ oti ¨ ossze. Ha F (z) := e−(z/

√

2c)2 ıxz

(z ∈ C),

e

akkor a Cauchy-tétel miatt

0=

Z

F (z) dz =

Φr

Z

[0,r]

F (z) dz −

Z

√ √ [0,r c/| c|]

F (z) dz +

Z

F (z) dz =:

ϕr

I1r − I2r + I3r . Ekkor |I3r | ≤ rα max |F (z)|, z∈ϕr

√ √ √ 4 ahol α ∈ (0, π/4) a c argumentuma (azaz a ρ := | c| = 1 + δ 2 jelöléssel √ ıα c = ρe ) és z ∈ ϕr esetén alkalmas 0 és α k¨ oz¨ otti γ-val z = reıγ . Ezért 2 2 2 2 −z2 /2c ıxz |F (z)| = e · |e | = e−r cos(2α−2γ)/(2ρ ) e−xr sin γ ≤ e−r cos(2α)/(2ρ ) .

Innen világos, hogy rα maxz∈ϕr |F (z)| → 0 (r → +∞), azaz limr→+∞ I3r = 0. Továbbá I1r =

Z

0

r

−t2 /2c ıxt

e

e

dt →

Z

0

+∞

2

e−t

/2c ıxt

e

dt

(r → +∞),


95

ill.

I2r =

√

c

Z

r/ρ

√ −t2 /2 ıx ct

e

e

0

√

dt →

c

Z

+∞

2

e−t

√ /2 ıx ct

e

(r → +∞),

dt

0

következésképpen Z

+∞

−t2 /2c ıxt

e

e

√

dt =

c

0

Z

+∞

2

e−t

√ /2 ıx ct

e

dt.

0

Ugyan´ıgy kapjuk az Z

0

−t2 /2c ıxt

e

e

dt =

√

c

−∞

Z

0

2

e−t

√ /2 ıx ct

e

dt

−∞

egyenl˝oséget is, más szóval (ld. 2.3.1. ii) megjegyzés) Z

−t2 /2c ıxt

e

e

dt =

√

c

Z

2

e−t

√ /2 ıx ct

e

dt =

√ √ 2 c 2πe−cx /2

√ (azaz igaz a t = cy komplex” helyettes´ıtéssel form´ alisan megkapható egyenl˝o” ség a fenti integrálok között). Mindezek alapján Z

1

|b hδ (x)| dx =

0

m´ıg

2

|hδ (t)| =

e−t

√

2π

√ cos(2α)/(2 1+δ 2 )

(1 + δ 2 )1/4

Z

1

2

e−x

/2

dx =: A (> 0),

0

2

2

e−t /(2(1+δ )) 1 = ≤√ 2 1/4 (1 + δ ) δ

(t ∈ R)

miatt khδ k∞ = δ −1/2 , ill. 2 < p < +∞ esetén khδ kpp

1 = (1 + δ 2 )p/4

Z

−pt2 /(2(1+δ 2 ))

e

1 (1 + δ 2 )p/4

s

1 dt = (1 + δ 2 )p/4

2π(1 + δ 2 ) <2 p

r

s

2(1 + δ 2 ) p

π 1−p/2 δ . p

Z

2

e−y dy =

96

5.3. Disztrib´ uci´ ok Innen a   1 ep := q 1/p C   2 π p

(p = +∞) (p < +∞)

ep δ 1/p−1/2 k¨ (csak p-t˝ol f¨ ugg˝o) konstanssal khδ kp ≤ C ovetkezik. Az el˝obbi (∗) 1/p−1/2 ep δ egyenl˝oségb˝ol ezért A ≤ Cp C , ami a p > 2 feltétel (és ezért δ 1/p−1/2 → 0 (δ → +∞)) miatt nem teljes¨ ulhet.

iii) Megmutatjuk, hogy ha f ∈ L1 , t ∈ Rn és ε > 0, akkor van olyan H ∈ L1 , amellyel kHk1 < ε és f d + H(x) = fˆ(t) (x ∈ U ) teljes¨ ul a t pontnak egy alkalmas U környezetében. Más sz´ oval teh´ at a Fourier-transzform´ aci´ o a f¨ uggvények k.k1 approximációjára nézve egyfajta (lok´ alis) stabilit´ assal rendelkezik. Válasszunk uggvényt, amelyre a 0 ∈ Rn elem valamely ehhez el˝oször is egy olyan g ∈ L1 f¨ V környezetében gˆ(x) = 1 (x ∈ V ) teljes¨ ul. (Ha pl. arra gondolunk, hogy S ∋ u 7→ u ˆ ∈ S bijekció, akkor k¨ onnyen bel´ athat´ o ilyen g létezése.) Legyen ezek után λ > 0 és gλ (y) := e−ıht,yi λ−n g(λ−1 y) (y ∈ Rn ) , Hλ := fˆ(t)gλ − f ∗ gλ . Ekkor könnyen ellen˝orizhet˝ oen c gλ (x) = 1 környezetében, ti. 1 gλ (x) = n c λ

Z

−ıht,yi

e

Z

−1

g(λ

ıhx,yi

y)e

(x ∈ Vλ ) a t pont valamely Vλ

dy =

Z

e−ıht,λyi g(y)eıhx,λyi dy =

g(y)eıhλ(x−t),yi dy = gˆ(λ(x − t)) = 1,

´ ha λ(x − t) ∈ V. Ez ut´ obbi azt jelenti, hogy x ∈ Vλ := t + λ−1 V. Ugyhogy cλ = c kHλ k1 < ε esetén H gλ (fˆ(t) − fˆ) miatt az H := Hλ v´ alaszt´ as megfelel˝o lesz. Viszont Hλ (x) =

Z

f (y) eıht,yi gλ (x) − gλ (x − y) dy

(x ∈ Rn ),

ahol ıht,yi gλ (x) − gλ (x − y) = λ−n g(λ−1 x) − g(λ−1 (x − y)) . e


97

Ezért (a Fubini-tételt és megfelel˝ o helyettes´ıtést alkalmazva)

−n

kHλ k1 ≤ λ Z

|f (y)|

Z

Z

|f (y)|

Z −1

|g(x) − g(x − λ

−1 g(λ x) − g(λ−1 (x − y)) dx y)| dx

dy =

Z

dy =

|f (y)|· kg − T−y/λ gk1 dy.

Nyilván kg − T−y/λ gk1 ≤ 2kgk1 , tov´ abb´ a kg − T−y/λ gk1 → 0 (λ → +∞), ezért a Lebesgue-féle konvergencia-tétel alapj´ an kHλ k1 → 0 (λ → +∞). Következésképpen van olyan λ > 0, amellyel kHk1 = kHλ k1 < ε. iv) Legyen F ∈ S ′ és értelmezz¨ uk az F funkcion´ al Supp F tart´ oj´ at” a követ” n kez˝oképpen. Tegy¨ uk fel, hogy valamilyen A ⊂ R ny´ılt halmazzal F (u) = 0 minden olyan u ∈ S f¨ uggvényre, amelyre supp u ⊂ A. Ekkor azt mondjuk, hogy F elt˝ unik az A halmazon. Ha A jel¨ oli az ¨ osszes ilyen A egyes´ıtésével létrejött n halmazt, akkor Supp F := R \ A. Pl. a δz (z ∈ Rn ) Dirac-disztrib´ ució (ld. iii)) nyilván elt˝ unik minden olyan ny´ılt A ⊂ Rn halmazon, amelyre z ∈ / A, ´ıgy Supp δz = {z}. Világos tov´ abb´ a (ld. iii)), hogy b´ armely f ∈ C esetén Supp Ff = supp f. Legyen már most ϕ ∈ L∞ , L ⊂ L1 pedig altere L1 -nek és tegy¨ uk fel, hogy ∞ f ∗ ϕ = 0 (∈ L ) (f ∈ L). Ekkor Supp ϕˆ ⊂ Z :=

\n

f ∈L

o x ∈ Rn : fˆ(x) = 0 .

R cϕ , azaz ϕ(u) ˆ = ϕ(t)ˆ u(t) dt (u ∈ S).) (Emlékeztet¨ unk arra, hogy S ′ ∋ ϕˆ = F n Tetsz˝oleges t ∈ R \Z ponthoz ui. v´ alasszunk egy olyan f ∈ L f¨ uggvényt, amelyre 1 ˆ f (t) = 1. Az el˝obbi megjegyzés szerint van olyan H ∈ L , hogy kHk1 < 1 és a t b b (x) pont valamely Vt környezetében H(x) = 1 − fˆ(x) (x ∈ Vt ). Így fˆ(x) = 1 − H b (x ∈ Vt ), azaz |H(x)| ≤ kHk1 < 1 miatt fˆ(x) 6= 0 (x ∈ Vt ). Ez azt jelenti, hogy Vt ∩ Z = ∅. Ha tehát ϕˆ elt˝ unik a Vt (t ∈ Rn \ Z) halmazon, akkor Supp ϕˆ ⊂ Rn \

[

t∈Rn \Z

Vt ⊂ Z.

Az, hogy ϕˆ elt˝ unik a Vt (t ∈ Rn \ Z) halmazon, nyilv´ an azzal ekvivalens, hogy ϕ(ˆ ˆ u) = 0 minden olyan u ∈ S f¨ uggvényre, amelyre supp uˆ ⊂ Vt (ti. az u 7→ u ˆ leképezés sz¨ urjekció S-r˝ol S-re). Viszont

98


ϕ(ˆ ˆ u) =

Z

ˆˆ(t) dt = (2π)n ϕ(t)u

Z

ϕ(t)u(−t) dt = (2π)nϕ ∗ u(0).

obbi u-t rögz´ıtve Elegend˝o ezért azt megmutatni, hogy ϕ ∗ u = 0 (∈ L∞ ). Az el˝ 1 ehhez tekints¨ uk az alábbi rekurzi´ oval megadott gm ∈ L (m ∈ N) f¨ uggvénysorozatot: g0 := u , gm := H ∗ gm−1

(m = 1, 2, ...).

(n ∈ N), m´ asrészt kHk1 < 1 miatt Ekkor egyrészt kgm k1 ≤ kHkm 1 · kuk1 P P ∞ ∞ m etezik a G := m=1 gm ∈ L1 f¨ uggvény. Továbbá m=0 kHk1 < +∞, azaz l´

ill.

m b b ˆ(x) gc m (x) = H(x)gd m−1 (x) = ... = (H(x)) u

b G(x) =

∞ X

m=1

gc m (x) =

∞ X

m=1

m b (H(x)) u ˆ(x)

(x ∈ Rn ),

(x ∈ Rn ).

b Nyilvánvaló, hogy fˆ(x) = 1 − H(x) (x ∈ supp u ˆ), k¨ ovetkezésképpen b (1 − H(x))ˆ u(x) = u ˆ(x)fˆ(x)

(x ∈ Rn ).

b an Innen |H(x)| < 1 (x ∈ Rn ) alapj´

∞ X u ˆ(x)fˆ(x) m b b fˆ(x) = Gd u ˆ(x) = = (H(x)) u ˆ(x)fˆ(x) = G(x) ∗ f (x) b 1 − H(x) m=0

(x ∈ Rn )

következik. Ezért u = G ∗ f, amib˝ ol az f ∗ ϕ = 0 feltételezést is figyelembe véve ϕ ∗ u = u ∗ ϕ = G ∗ f ∗ ϕ = 0 m´ ar ad´ odik.

v) Tegy¨ uk fel, hogy az L ⊂ L1 z´ art altér eltol´ as-invari´ ans (azaz b´ armely f ∈ L és n x ∈ R esetén Tx f ∈ L) és o \n n ˆ x ∈ R : f (x) = 0 = ∅.

(∗)

f ∈L

Ekkor L = L1 .


99

Ha ui. L valódi (és a feltételezés szerint z´ art) altere lenne L1 -nek, akkor a HahnBanach-tétel ismert következménye szerint lenne olyan Φ : L1 → C korlátos lineáris funkcionál, amely nem azonosan nulla, de Φ|L ≡ 0. Az (L1 )∗ duálisára vonatkozó Riesz-tétel miatt viszont egy egyértelm˝ uen létez˝ o ϕ˜ ∈ L∞ f¨ uggvénnyel Φ(f ) =

Z

(f ∈ L1 ).

f (t)ϕ(t) ˜ dt

Az L altér feltételezett eltol´ as-invarianci´ aj´ ara hivatkozva ezért (a ϕ(t) := ϕ(−t) ˜ (t ∈ Rn ) jelöléssel) tetsz˝oleges f ∈ L f¨ uggvényre f ∗ ϕ(x) = Z

Z

f (t)ϕ(t ˜ − x) dt =

Z

˜ dt = Φ(Tx f ) = 0 Tx f (t)ϕ(t)

f (x + t)ϕ(t) ˜ dt =

(x ∈ Rn ).

Alkalmazható ezért a iv) megjegyzésben szerepl˝ o´ all´ıt´ as, miszerint a (∗) feltételt is figyelembe véve Supp ϕˆ = ∅. Ez nyilv´ an azt jelenti, hogy Z

ϕ(t)ˆ u(t) dt = 0 (u ∈ S)

⇐⇒

Z

ϕ(t)v(t) dt = 0 (v ∈ S),

´ıgy ϕ = 0 (∈ L∞ ). Más szóval Φ ≡ 0 (∈ (L1 )∗ ), ami az indirekt feltételezés¨ unkb˝ol kifolyólag nem igaz. Következésképpen L = L1 . vi) Jegyezz¨ uk meg a vi)-beli áll´ıt´ as al´ abbi k¨ ovetkezményét: legyen K ∈ L1 és jelölje 1 L az L -nek azt a legsz˝ ukebb eltol´ as-invari´ ans alterét, amely tartalmazza K-t. b Ekkor az L = L1 egyenl˝oség pontosan abban az esetben ´ all fenn, ha K(x) 6= 0 n (x ∈ R ). Valóban, a feltételekb˝ol (figyelembe véve a 2.1. i) megjegyzésben mondottakat) \n

f ∈L

o ˆ b x ∈ R : f (x) = 0 = {x ∈ Rn : K(x) = 0} =: Y. n

b Ha tehát K(x) 6= 0 (x ∈ Rn ), azaz Y = ∅, akkor vii) miatt L = L1 . Ford´ıtva a b dolog triviális: ha L = L1 és x ∈ Rn olyan, hogy K(x) = 0, akkor (ld. 2.3.1. i) megjegyzés) −ıhx,ξi b Td K(x) = 0 ξ K(x) = e

(ξ ∈ Rn )

100

5.4. Wiener-tétel miatt fˆ(x) = 0 (f ∈ L1 ). Ez ut´ obbi nyilv´ an nem igaz.

5.4. Alkalmazások. 1o Wiener-t´ etel. b Legyen most ϕ ∈ L∞ , K ∈ L1 , K(x) 6= 0 (x ∈ Rn ) és tegy¨ uk fel, hogy valamilyen α ∈ C sz´ ammal lim

kxk→+∞

Ekkor lim

kxk→+∞

b K ∗ ϕ(x) = αK(0).

f ∗ ϕ(x) = αfˆ(0)

(f ∈ L1 ).

Tekints¨ uk ui. a ψ(x) := ϕ(x) − α (x ∈ Rn ) f¨ uggvényt és az al´ abbi L ⊂ L1 (nyilván) alteret:

L :=

1

f ∈L :

lim

kxk→+∞

f ∗ ψ(x) = 0 .

Gondoljuk meg, hogy L zárt is L1 -ben. Ha ui. fk ∈ L f¨ uggvénnyel kfk − f k1 → 0 (k → ∞), akkor

(k ∈ N) és valamilyen f ∈ L1

kf ∗ ψ − fk ∗ ψk∞ ≤ kf − fk k1 · kψk∞ → 0

(k → ∞)

miatt fk ∗ ψ(x) → f ∗ ψ(x) (k → ∞), mégpedig Rn ∋ x-ben egyenletesen. Ezért limkxk→+∞ f ∗ ψ(x) = 0, azaz f ∈ L. Azt sem nehéz bel´ atni, hogy L eltol´ as-invariáns: (Ty f ) ∗ ψ(x) = Ty (f ∗ ψ)(x) = f ∗ ψ(x + y)

(x, y ∈ Rn ).

Mivel kx + yk ≥ kxk − kyk → +∞, ha kxk → +∞ (y ∈ Rn ), ezért minden Rn ∋ y-ra lim

kxk→+∞

(Ty f ) ∗ ψ(x) =

lim

kxk→+∞

f ∗ ψ(x + y) = 0.

5.4. Wiener-tétel

101

Így Ty f ∈ L. Az is igaz, hogy K ∈ L, ui. b K ∗ ψ(x) = K ∗ ϕ(x) − K ∗ α(x) = K ∗ ϕ(x) − αK(0) →0

(kxk → +∞).

Tehát alkalmazható az 5.3.1. vi) megjegyzés: L = L1 , amib˝ ol az ´ all´ıt´ asunk már nyilván következik.

5.4.1. Megjegyzések. i) Nevezz¨ uk a ϕ ∈ L∞ f¨ uggvényt lassan oszcill´ al´ onak, ha b´ armely ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 és 0 < A < +∞, hogy

|ϕ(x) − ϕ(y)| < ε

(x, y ∈ Rn , kx − yk < δ, kxk > A, kyk > A).

(Ha n = 1, akkor az kxk > A, ky]k > A feltétel kicserélhet˝ o az x > A, y > A (vagy x < −A, y < −A) kik¨ otésre is, ekkor a +∞-ben (−∞-ben) lassan oszcilláló f¨ uggvényr˝ol beszél¨ unk.) Vil´ agos, hogy minden egyenletesen folytonos és korlátos f¨ uggvény lassan oszcilláló, de mindez ford´ıtva nem igaz. ii) Mutassuk meg, hogy ha a Wiener-tételben tett feltételek mellett a ϕ f¨ uggvény még lassan oszcilláló is, akkor (Pitt) limkxk→+∞ ϕ(x) = α. Ti. legyen ekkor 0 ≤ f ∈ L1 olyan, hogy fˆ(0) = 1 és f (x) = 0 (x ∈ Rn , kxk ≥ δ) (ilyen f nyilván van, pl. ha n = 1, akkor f := χ[0,δ] ). Ugyanakkor x ∈ Rn , kxk > A + δ esetén Z |ϕ(x) − f ∗ ϕ(x)| = (ϕ(x) − ϕ(x − t)) f (t) dt ≤ {y∈Rn :kyk<δ} Z

{y∈Rn :kyk<δ}

|ϕ(x) − ϕ(x − t)|f (t) dt ≤ ε

Z

f (t) dt = εfˆ(0),

azaz limkxk→+∞ (ϕ(x) − f ∗ ϕ(x)) = 0. Innen a limkxk→+∞ ϕ(x) = α egyenl˝oség már nyilván következik.

102

5.4. Ingham-tétel 2o Ingham-t´ etel. Legyen g : (0, +∞) → R olyan monoton n¨ oveked˝ o f¨ uggvény, amelyre g(x) = 0 (0 < x < 1). A

G(x) :=

∞ X

g(x/m)

(0 < x < +∞)

m=1

f¨ uggvényr˝ ol tegy¨ uk fel, hogy alkalmas a, b ∈ R konstansokkal G(x) = ax ln x + bx + xε(x)

(0 < x < +∞),

ahol az ε : (0, +∞) → R f¨ uggvényre limx→+∞ ε(x) = 0. Ekkor g(x) = a. x→+∞ x lim

A bizony´ıtáshoz el˝oször is mutassuk meg, hogy supx>0 g(x)/x < +∞. Vegy¨ uk észre ehhez, hogy alkalmas x0 > 2 mellett ε(x) < 1 (x > x0 ). Tov´ abb´ a G(x) − a ln x − b ≤ 2G(x0 ) + a| ln x0 | + |b| |ε(x)| = x

(1/2 ≤ x ≤ x0 ).

A g feltételezett növekedése alapján

g(x) − g(x/2) ≤

∞ X

(−1)m+1 g(x/m) = G(x) − 2G(x/2) =

m=1

x(a ln 2 + ε(x) − ε(x/2)) < Ax

(x ≥ 1),

ahol A egy alkalmas konstans. Mivel a G(x)-et el˝ o´ all´ıt´ o végtelen sorban minden x > 0 esetén g(x/m) = 0 (N ∋ m > x), ezért g(x) =

∞ X

(g(x/2m ) − g(x/2m+1 )).

m=0

Az el˝oz˝o becslés miatt (figyelembe véve még azt is, hogy g(t) − g(t/2) = 0 (0 < t < 1)) g(x/2m ) − g(x/2m+1 ) < Ax/2m (m ∈ N), azaz

5.4. Ingham-tétel

103 ∞ X x g(x) < A = 2Ax 2m m=0

(x > 0).

Vezess¨ uk be az alábbi f¨ uggvényeket:

x

x

h(x) := g(e ) , H(x) := G(e ) =

∞ X

m=1

h(x − ln m)

(x ∈ R).

Ekkor h(x) = 0 (x < 0) és a G-re tett feltétel miatt H(x) = ex (ax + b + ε1 (x))

(x ∈ R),

obb kapott becslés alapján a ahol limx→+∞ ε1 (x) := limx→+∞ ε(ex ) = 0. A g-re az el˝ ϕ(x) := e−x h(x)

(x ∈ R)

f¨ uggvény korlátos. Belátjuk, hogy limx→+∞ ϕ(x) = a (ami nyilv´ an ekvivalens a bizony´ıtandó limx→+∞ g(x)/x = a áll´ıt´ assal). alis, ill. Legyen ehhez k(x) := [ex ] e−x (x ∈ R), λ > 0 pedig irracion´ K(x) := 2k(x) − k(x − 1) − k(x − λ)

(x ∈ R).

Világos, hogy K ∈ L1 (s˝ot, supx∈R ex |K(x)| < e + eλ ). Ha s = σ + ıt t ∈ R), akkor (∗)

Z

−xs

k(x)e

dx =

Z

+∞ x

−x(s+1)

[e ] e

dx =

0

Z

+∞

[y]y −s−1 dy =

1

ζ(1 + s) 1+s

(ahol z ∈ C, Re z > 1 esetén ζ(z) :=

∞ X 1 . z m m=1

Egyszer˝ u számolással kapjuk, hogy

z

Z

1

N+1

[x]x

−1−z

dx = z

N X

m=1

m

Z

m+1 m

(σ > 0,

x−1−z dx =

104

5.4. Ingham-tétel

N X

m=1

m−z − N (N + 1)−z

(0 < N ∈ N).

Ha itt Re z > 1, akkor N (N + 1)−z → 0 (N → ∞), ´ıgy ζ(z) = z b(x) := [x] − x (x ≥ 1) helyettes´ıtéssel innen az k¨ ovetkezik, hogy z ζ(z) = +z z−1

(∗∗)

Z

+∞

R +∞ 1

[x]x−1−z dx. A

b(x)x−1−z dx.

1

A b f¨ uggvény nyilván korlátos, ezért a

z 7→ Φ(z) := z

Z

+∞

b(x)x−1−z dx

1

leképezés egy holomorf f¨ uggvényt hat´ aroz meg a {z ∈ C : Re z > 0} halmazon. Mindez azt jelenti, hogy (∗∗) tekinthet˝o az eredetileg a {z ∈ C : Re z > 1} féls´ıkon definiált ζ f¨ uggvény analitikus folytatásának a {z ∈ C : Re z > 0} \ {1} kilyukasztott” féls´ıkra. ” Az ´ıgy kiterjesztett (Riemann-féle) ζ-f¨ uggvény analitikus, a z = 1 pontban els˝orend˝ u aga tov´ abb´ a ζ-nak, hogy ζ(z) 6= 0 (1 6= z ∈ C, pólusa van és res1 ζ = 1. Ismert tulajdons´ Re z = 1).) Visszatérve az Ingham-tétel bizony´ıt´ as´ ahoz (∗)-ban k(x) helyett k(x − 1)-et, ill. k(x − λ)-t ´ırva és figyelembe véve a K f¨ uggvény értelmezését a Re z → 0 határátmenet után

b K(−t) =

Z

K(x)e−ıtx dx = 2 − e−ıt − e−ıλt

ζ(1 + ıt) 1 + ıt

(t ∈ R)

b adódik. A λ irracionalitása, ill. ζ(1 + ıt) = 6 0 miatt ezért azt kapjuk, hogy K(t) 6= 0 (0 6= t ∈ R). Viszont (Φ(1 + ıt) → Φ(1) = 0 (t → 0) miatt) 2 − e−ıt − e−ıλt

ζ(1 + ıt) →1+λ 1 + ıt

b b következésképpen K(0) = limt→0 K(−t) = 1 + λ 6= 0 is teljes¨ ul.

(t → 0),

A Wiener-tétel alkalmazhatóság´ ahoz be kell még l´ atnunk, hogy b lim K ∗ ϕ(x) = aK(0).

z→+∞

5.4. Ingham-tétel

105

Ennek érdekében tekints¨ uk az u(x) := [ex ] (x ∈ R), v := χ[0,+∞) f¨ uggvényeket és az X := {ln m : m = 1, 2, 3, ...} halmazt, ill. legyen µ : P(X) → [0, +∞] az a mérték, amelyre µ({x}) := 1 (x ∈ X). Ekkor H = h ∗ µ és u = v ∗ µ. Ezért h ∗ u(x) = h ∗ v ∗ µ(x) = H ∗ v(x) =

Z

x

H(y) dy

0

(x ∈ R).

Ugyanakkor

ϕ ∗ k(x) =

Z

ey−x h(x − y) [ey ] e−y dy = e−x · h ∗ u(x)

(x ∈ R),

amib˝ol a H-ra vonatkozó korábbi el˝ o´ all´ıt´ ast is figyelembe véve azt kapjuk, hogy −x

ϕ ∗ k(x) = e

Z

0

x

H(y) dy = ax + b − a + ε2 (x)

(x ∈ R),

ahol limx→+∞ ε2 (x) = 0. Innen oda jutunk, hogy lim K ∗ ϕ(x) = lim (2ϕ ∗ k(x) − ϕ ∗ k(x − 1) − ϕ ∗ k(x − λ)) =

x→+∞

x→+∞

lim (2ax + 2ε2 (x) − a(x − 1) − ε2 (x − 1) − a(x − λ) − ε2 (x − λ)) =

x→+∞

(1 + λ)a = a A Wiener-tétel szerint tehát

Z

b K(y) dy = aK(0).

lim f ∗ ϕ(x) = (1 + λ)a = afˆ(0)

x→+∞

(f ∈ L1 ).

Tekints¨ uk vég¨ ul adott ε > 0 mellett az f1 := ε−1 χ[0,ε] , f2 := ε−1 χ[−ε,0] ∈ L1 f¨ uggvényeket. Mivel a R ∋ t 7→ et ϕ(t) f¨ uggvény monoton n¨ oveked˝ o, ezért ey ϕ(y) ≤ ex ϕ(x) = eε ex−ε ϕ(x) ≤ eε ey ϕ(x)

(x − ε ≤ y ≤ x),

ill. eu ϕ(u) ≤ ev ϕ(v) = eε ev−ε ϕ(v) ≤ eε eu ϕ(v)

(u ≤ v ≤ u + ε),

106

5.4. Ingham-tétel

azaz

ϕ(y) ≤ eε ϕ(x) (x − ε ≤ y ≤ x) , ϕ(v) ≥ e−ε ϕ(u) (u ≤ v ≤ u + ε). Következésképpen

f1 ∗ ϕ(x) =

Z

f1 (x − y)ϕ(y) dy =

−1 ε

ε

e ϕ(x)

Z

Z

x x−ε

f1 (x − y)ϕ(y) dy ≤

x

dy = eε ϕ(x)

(x ∈ R),

x−ε

f2 ∗ ϕ(x) =

Z

f2 (x − y)ϕ(y) dy =

−1 ε

ε

e ϕ(x)

Z

x+ε

Z

x+ε

x

f2 (x − y)ϕ(y) dy ≥

dy = eε ϕ(x)

x

(x ∈ R),

más szóval e−ε · f1 ∗ ϕ(x) ≤ ϕ(x) ≤ eε · f2 ∗ ϕ(x)

(x ∈ R).

Innen limx→+∞ fj ∗ ϕ(x) = afˆj (0) = a (j = 1, 2) alapj´ an azt kapjuk, hogy ae−ε ≤ lim inf ϕ(x) ≤ lim sup ϕ(x) ≤ aeε x→+∞

x→+∞

Világos, hogy (az ε → 0 határátmenet ut´ an) lim inf ϕ(x) = lim sup ϕ(x) = a, x→+∞

x→+∞

azaz létezik a limx→+∞ ϕ(x) határérték és limx→+∞ ϕ(x) = a.

(x ∈ R).

5.4. Pr´ımsz´ amtétel

107

3o Pr´ımsz´ amt´ etel. Az Ingham-tétel alkalmazásával r¨ oviden v´ azoljuk a π(x) ln x =1 x→+∞ x lim

pr´ımsz´ amtétel (egy lehetséges) bizony´ıt´ as´ at. Teh´ at 0 < x ∈ R és π(x) jelentse a (0 < )p ≤ x feltételnek eleget tev˝o p pr´ımszámok sz´ am´ at. Legyen   ln p (m = pk (p pr´ım, k ∈ N))

Λ(m) :=



ill.

ψ(x) :=

0

(m ∈ N),

(k¨ ul¨ onben)

X

Λ(m) , F (x) :=

∞ X

ψ(x/j)

(x > 0).

j=1

N∋m≤x

Megmutatjuk, hogy a)

ψ(x) ln x ψ(x) π(x) ln x < 1 + x ≤ x ln x x ln(x/ ln2 x)

b) F (x) = x ln x − x + c(x) ln x

(x > e);

(x > 1),

ahol alkalmas x0 > 0 mellett supx>x0 |c(x)| < +∞. Ha ui. x > 0, akkor a pk ≤ x (k ∈ N) feltételnek (valamilyen r¨ ogz´ıtett p anyok sz´ ama nyilv´ an [ln x/ ln p]. Ezért (p-vel továbbra pr´ımszám esetén) eleget tev˝o pk hatv´ is pr´ımszámot jelölve) ψ(x) =

X ln x

p≤x

ln p

ln p ≤

X

ln x = π(x) ln x

(x > 0),

p≤x

ami az a)-beli els˝o egyenl˝otlenség. Tov´ abb´ a 1 < y < x esetén π(x) − π(y) = azaz

X

y
1≤

X ln p ψ(x) ≤ , ln y ln y

y
108


π(x) ≤ π(y) +

ψ(x) ψ(x)
Ha itt y := x/ ln2 x (x > e), akkor az 1o -beli m´ asodik egyenl˝ otlenség is nyilv´ an következik. A b) igazolásához vegy¨ uk figyelembe, hogy ∞ X

F (m) − F (m − 1) =

(ψ(m/j) − ψ((m − 1)/j))

j=1

(1 < m ∈ N).

Világos, hogy

ψ(m/j) − ψ((m − 1)/j) = ezért

F (m) − F (m − 1) =

X

 0 

Λ(m/j) (m/j ∈ N)

Λ(m/j) =

j,m/j∈N

(m/j ∈ / N)

X

(1 ≤ j ∈ N),

Λ(k) = ln m

k,m/k∈N

(1 < m ∈ N)

(ahol az utolsó egyenl˝oséget illet˝oen gondoljunk az m sz´ am pr´ımhatv´ anyok szorzataként való egyértelm˝ u el˝oáll´ıtására). Mivel F (1) = 1, ´ıgy

F (m) =

m X

k=1

ln k = ln(m!)

(1 ≤ m ∈ N).

Legyen J(x) :=

Z

x 1

ln t dt = x ln x − x + 1

(x ≥ 1).

Ha itt m ≤ x ≤ m+1 (1 ≤ m ∈ N), akkor (az integr´ alok és a k¨ ozel´ıt˝ o¨ osszegek szokásos” ” egybevetéséb˝ol) J(m) < F (m) ≤ F (x) ≤ F (m + 1) < J(m + 2) miatt


109

|F (x) − J(x)| < |J(m + 2) − J(m)| = (m + 2) ln(m + 2) − 2 − m ln m = ln

(m + 2)m+2 mm

−2 =

ln (1 + 2/m)m (m + 2)2 − 2 < ln e2 (m + 2)2 − 2 = 2 ln(m + 2) < 2 ln(x + 2). Tehát F (x) = J(x) + F (x) − J(x) = x ln x − x + 1 + F (x) − J(x) = x ln x − x + c(x) ln x

(x > 1),

ahol

|c(x)| :=

1 + 2 ln(x + 2) |1 + F (x) − J(x)| ≤ →2 ln x ln x

(x → +∞).

Ezzel b)-t is beláttuk. Nyilvánvaló, hogy a) szerint a pr´ımsz´ amtétel igazol´ as´ ahoz elegend˝ o azt megmutatni, hogy limx→+∞ ψ(x)/x = 1. Ez viszont k¨ ovetkezik az Ingham-tételb˝ ol, ha az ottani szerepl˝ok a következ˝ok: g := ψ , G := F , a := 1 , b := −1 és

ε(x) :=

c(x) ln x x

(x > 1)

(amikor is supx>x0 |c(x)| < +∞ miatt (ld. b)) limx→+∞ ε(x) = 0).

110

5.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ ok

5.5. Határozatlansági reláci´ ok. Legyen a továbbiakban n = 1 és valamely f : R → R f¨ uggvény esetén f∗ (x) := xf (x) (x ∈ R). Definiáljuk a D halmazt a k¨ ovetkez˝ oképpen: D := {f ∈ L2 ∩ D : f∗ , f ′ , (f ′ )∗ ∈ L2 }. Megjegyezz¨ uk, hogy ha f ∈ D, akkor lim|x|→+∞ f = 0. Ui. f, f ′ ∈ L2 miatt f f ′ ∈ L1 . R R Így limb→+∞ b f (x)f ′ (x) dx = +∞ f (x)f ′ (x) dx ∈ R. De f 2 abszol´ ut folytonos (hiszen 0 0 2 ′ ′ 1 (f ) = 2f f ∈ L ), tehát Z

b

f 2 (b) − f 2 (0) , 2

f (x)f ′ (x) dx =

0

azaz az el˝oz˝oek miatt létezik a limb→+∞ f 2 (b) hat´ arérték. Innen r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik, hogy R +∞ 2 2 létezik α := limb→+∞ |f (b)| is. Ugyanakkor f ∈ L miatt 0 |f (x)| dx < +∞, ´ıgy csak α = 0 lehetséges. Hasonlóan indokolhat´ o meg, hogy létezik és nulla a limb→−∞ |f (b)| határérték is. Világos, hogy S ⊂ D. Tekints¨ uk ezek ut´ an az Af := f∗ , Bf := ıf ′

(f ∈ D)

operátorokat. Ezek mindegyike nyilv´ an line´ aris, ill. k¨ onnyen igazolhat´ oan ¨ onadjungált: hAf, gi =

Z

+∞

xf (x)g(x) dx = −∞

Z

+∞

f (x)xg(x)dx = hf, Agi,

−∞

ill. parciális integrálással hBf, gi = Z

Z

+∞

−∞

′

ıf (x)g(x)dx = −

Z

+∞

−∞

ıf (x)g ′ (x)dx =

+∞ −∞

f (x)ıg ′ (x)dx = hf, Bgi

(f, g ∈ D).

Legyen [A, B] := AB − BA (az A, B oper´ atorok kommut´ atora), ekkor b´ armely f ∈ D esetén [A, B]f (x) = ABf (x) − BAf (x) = xBf (x) − ı(f∗ )′ (x) =


111

ıxf ′ (x) − ıf (x) − ıxf ′ (x) = −ıf (x)

(x ∈ R),

azaz kf k22 = |h[A, B]f, f i|. Továbbá h[A, B]f, f i = hABf, f i − hBAf, f i = hBf, Af i − hAf, Bf i = 2ı· Im hBf, Af i. Innen a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenl˝ otlenség szerint kf k22 = |h[A, B]f, f i| = 2|Im hBf, Af i| ≤ 2|hBf, Af i| ≤ 2kAf k2 kBf k2 következik. Mikor van a most kapott |h[A, B]f, f i| ≤ 2kAf k2 kBf k2 egyenl˝ otlenségben egyenl˝oség? Ehhez nyilván sz¨ ukséges és elégséges, hogy egyrészt |hBf, Af i| = |Im hBf, Af i|, azaz Re hBf, Af i = 0, ill. |hBf, Af i| = kAf k2 kBf k2 , azaz valamilyen λ ∈ C számmal Bf = λAf legyen. Következésképpen λ tiszta imagin´ arius” sz´ am, teh´ at λ = ıc, ahol ” c ∈ R. Mindez tehát a következ˝ot jelenti: f ′ (x) = cxf (x)

(x ∈ R).

A most kapott differenciálegyenlet megold´ asai: 2

f (x) = αecx

/2

(x, α ∈ R).

Mivel f ∈ L2 , ezért c < 0. Szám´ıtsuk ki az kAf k2 , kBf k2 norm´ akat: kAf k2 =

sZ

+∞

−∞

x2 |f (x)|2 dx.

A Plancherel-tétel, ill. az fb′ (x) = −ıxfˆ(x) (x ∈ R) azonoss´ ag szerint 1 1 kBf k2 = kf k2 = √ kfb′ k2 = √ 2π 2π ′

sZ

+∞

−∞

x2 |fˆ(x)|2 dx.

A fentieket összefoglalva kapjuk az al´ abbi hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o néven ismert egyenl˝otlenséget (vagy más néven a Heisenberg-Pauli-Weyl-egyenl˝ otlenséget):

112

5.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ ok r

π 2

Z

+∞

|f (x)|2 dx ≤

−∞

sZ

+∞

x2 |f (x)|2 dx·

−∞

sZ

+∞

x2 |fˆ(x)|2 dx,

−∞

ahol az egyenl˝oség akkor és csak akkor teljes¨ ul, ha α ∈ R és 0 > c ∈ R paraméterekkel cx2 /2 f (x) = αe (x ∈ R).

5.5.1. Megjegyzések. i) A HPW-egyenl˝otlenségb˝ol az elemi 2ab ≤ a2 + b2 (a, b ∈ R) ¨ osszef¨ uggés alapján az a := kAf k2 , b := kBf k2 v´ alaszt´ assal azt kapjuk, hogy Z

+∞ 2

−∞

2

x |f (x)| dx +

Z

+∞ −∞

′

2

|f (x)| dx ≥

Z

+∞

−∞

|f (x)|2 dx.

Itt egyenl˝oség pontosan akkor van, ha a = b és a HPW-ben is egyenl˝ oség van: Bf = ıcAf (c ∈ R) =⇒ kBf k2 = |c|kAf k2 = kAf k2 , 2

azaz |c| = 1. Ezért Bf = ±ıAf, amib˝ ol f (x) = αe−x

/2

(x, α ∈ R) k¨ ovetkezik.

ii) Az el˝obb mondottak értelemszer˝ u m´ odos´ıt´ as´ aval kapjuk a hat´ arozatlansági reláció alábbi kiterjesztését: tetsz˝ oleges a, b ∈ R esetén r

π 2

Z

+∞

−∞

|f (x)|2 dx ≤

sZ

+∞

−∞

(x − a)2 |f (x)|2 dx·

sZ

+∞

−∞

(x − b)2 |fˆ(x)|2 dx.

Legyen itt f olyan, hogy kf k2 = 1 és hg, hi∗ :=

Z

+∞

g(x)h(x)|f (x)|2 dx

−∞

(g, h ∈ D),

ill.

kgk∗ :=

p

hg, gi∗ =

sZ

+∞

−∞

|g(x)|2|f (x)|2 dx.

Ekkor bármely a ∈ R esetén az fa (x) := a (x ∈ R) f¨ uggvényre kfa k∗ = |a|· kf k2 = |a|, ill. f ∈ D miatt kϕk∗ < +∞, ahol ϕ(x) := x (x ∈ R). Mivel az {fa : a ∈ R} altér nyilván véges dimenzi´ os, ezért van olyan c ∈ R, amellyel


113

kϕ − fc k∗ = min{kϕ − fa k∗ : a ∈ R} =: ∆f . Továbbá bármely a ∈ R esetén 0 = hϕ − fc , fa i∗ =

Z

+∞ 2

−∞

(x − c)a|f (x)| dx = a

Z

+∞

x|f (x)|2 dx − ac,

−∞

azaz c=

Z

+∞

x|f (x)|2 dx.

−∞

Ugyan´ıgy kapjuk (a Plancherel-tételt is figyelembe véve), hogy a c˜ := (2π)

−1

Z

+∞

x|fˆ(x)|2 dx

−∞

konstanssal

δf := min

(sZ

+∞

−∞

(x − b)2 |fˆ(x)|2 dx : b ∈ R

)

=

sZ

+∞

−∞

(x − c˜)2 |fˆ(x)|2 dx.

Következésképpen a határozatlans´ agi rel´ aci´ o fent megfogalmazott ´ altalános´ıtását figyelembe véve azt mondhatjuk, hogy ∆f δf ≥

r

π . 2

iii) Legyen 0 ≤ ε ≤ 1, T ⊂ Rn (Lebesgue-)mérhet˝ o és nevezz¨ uk az f ∈ L2 f¨ uggvényt a T halmazon ε-koncentr´ altnak, ha sZ

Rn \T

|f (x)|2 dx ≤ εkf k2 .

Világos, hogy ε = 0 esetén f (x) = 0 (m.m. x ∈ Rn \ T ). A most bevezetett fogalommal igaz az alábbi, hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o-szer˝ u ´ all´ıt´ as: tegy¨ uk fel, hogy n 2 T, S ⊂ R mérhet˝ok, 0 ≤ ε, δ ≤ 1 és 0 6= f ∈ L olyan, a T halmazon ε-koncentrált f¨ uggvény, amelyre fˆ az S halmazon δ-koncentr´ alt. Ekkor

114

5.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ ok p

|T |· |S| ≥ 1 − ε − δ

(ahol |T | := µ(T ), |S| := µ(S) a sz´ oban forg´ o halmazok (Lebesgue-)mértékét jelöli). Nyilván feltehet˝o ui., hogy |T |, |S| < +∞. Jel¨ olj¨ uk ekkor P -vel, ill. Pˆ -vel az alábbi operátorokat: P h := χT h , Pˆ h(x) :=

1 dˆ χS h(−x) (2π)n

(h ∈ L2 , x ∈ Rn ).

ˆ ∈ L2 Fourier-transzform´ (Emlékeztet¨ unk arra, hogy a L2 ∋ h 7→ h aci´ o inverze a 2 −n 2 n ˆ L ∋ h 7→ (2π) H ∈ L leképezés, ahol H(x) := h(−x) (x ∈ R ).) Ha LT := {h ∈ L2 : supp h ⊂ T }, akkor P : L2 → LT nyilván line´ aris, P 2 = P és hh−P h, gi = 0 (h ∈ L2 , g ∈ LT ), azaz P ortogonális projekci´ o LT -re. Hasonl´ oan, ha ˆ ⊂ S}, ˆ S := {h ∈ L2 : supp h L ˆ S ortogon´ ˆ S -re. Ezekkel a akkor (ld. Plancherel-tétel) Pˆ : L2 → L alis projekci´ oL jelölésekkel az f -re tett feltételek (részben a Plancherel-tételt is figyelembe véve) nyilván ´ıgy fogalmazhatók: kf − P f k2 ≤ εkf k2 , c kfˆ − Pˆ f k2 kfˆ − χS fˆk2 δkfˆk2 ˆ = ≤ = δkf k2 . kf − P f k2 = (2π)n (2π)n (2π)n Mivel a Pˆ projekció (operátor-)norm´ aja legfeljebb egy: kPˆ k ≤ 1, ezért kf − Pˆ P f k2 = kf − Pˆ f + Pˆ f − Pˆ P f k2 = kf − Pˆ f k2 + kPˆ (f − P f )k2 ≤ kf − Pˆ f k2 + kf − P f k2 ≤ (ε + δ)kf k2 . Innen egyszer˝ uen következik, hogy kPˆ P f k2 ≥ kf k2 − kf − Pˆ P f k2 ≥ (1 − ε − δ)kf k2 .


115

Ugyanakkor nem nehéz ellen˝ orizni, hogy a Pˆ P -t gener´ al´ o K : R n × Rn → C magf¨ uggvényre Z

|K(x, t)|2 dx dt = |T |· |S|,

p uttal a Pˆ P oper´ ator kPˆ P khs u ń. ami a feltételek miatt véges. Ezért |T |· |S| egy´ 2 Hilbert-Schmidt-norm´ aja is. Teh´ at b´ armely L -beli ortonorm´ alt (ek , k ∈ Z) bázis esetén

kPˆ P khs =

X

k∈Z

kPˆ P ek k22

!1/2

=

p |T |· |S|.

Könnyen belátható, hogy kPˆ P k ≤ kPˆ P khs : ui. b´ armely g = esetén

kPˆ P gk2 ≤

X

k∈Z

|αk |kPˆ P ek k2 ≤

X

k∈Z

|αk |2

!1/2

X

k∈Z

P

k∈Z

kPˆ P ek k22

αk ek ∈ L2

!1/2

=

kPˆ P khs kgk2 . Következésképpen (1 − ε − δ)kf k2 ≤ kPˆ P f k2 ≤ kPˆ P kkf k2 ≤ kPˆ P khs kf k2 =

p

|T |· |S|kf k2 .

iv) Tegy¨ uk fel, hogy valamely f ∈ L2 f¨ uggvény esetén a T, S ⊂ Rn halmazok a következ˝ok: T := {f 6= 0} := {x ∈ Rn : f (x) 6= 0} , S := {fˆ 6= 0} := {x ∈ Rn : fˆ(x) 6= 0}. Ekkor vagy f = 0 vagy pedig |T |· |S| ≥ 1. Ui. f a T halmazon, fˆ pedig az S halmazon 0-koncentrált, azaz f 6= 0 mellett alkalmazhat´ o a iii)-beli hat´ arozatlansági reláció az ε := δ := 0 választ´ assal. Ha teh´ at |T |· |S| < 1, akkor f = 0. v) A fentiek mintegy ellenpontjaként mutassuk meg, hogy ha a iv)-beli f f¨ uggvényr˝ol azt tessz¨ uk fel, hogy f ∈ L1 , akkor |T |· |S| < +∞ esetén f = 0 (Benedicks (1985)). Ti. esetleg f -et alkalmas a > 0 mellett az f˜(x) := f (ax) (x ∈ Rn ) f¨ uggvényre cserélve supp f˜ ⊂ a−1 supp f miatt feltehet˝ o, hogy |T | < (2π)n . Ekkor

116

5.5. Hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ ok Z

[0,2π]n

X

χT (x + 2kπ) dx =

k∈Zn

Z

X

χS (y + k) dy =

[0,1]n k∈Zn

Z

Z

χT dµ = |T | < (2π)n ,

χS dµ = |S| < +∞.

P P Ezért k∈Zn χT (x + 2kπ) < +∞ (m.m. x ∈ [0, 2π]n), k∈Zn χS (y + k) < +∞ n n (m.m. y ∈ [0, 1] ). Következésképpen m.m. y ∈ [0, 1] esetén y +k ∈ S, azaz, hogy fˆ(y + k) 6= 0 legfeljebb véges sok Zn ∋ k-ra lehet igaz. Tov´ abb´ a, ha valamilyen n mérhet˝o A ⊂ [0, 2π]P halmazra minden x ∈ A esetén legal´ abb egy Zn ∋ j-re x + 2jπ ∈ T, akkor k∈Zn χT (x + 2kπ) ≥ 1. Ezért |A| ≤

Z

[0,2π]n

X

k∈Zn

χT (x + 2kπ) dx = |T | < (2π)n .

Világos, hogy ez nem teljes¨ ulhet akkor, ha |A| > |T |. Van teh´ at olyan A ⊂ [0, 2π]n, |A| > 0 halmaz, hogy x + 2kπ ∈ / T, azaz f (x + 2kπ) = 0 (x ∈ A, k ∈ Zn ). A Poisson-formulával (ld. 5.1.1. vii) megjegyzés) kapcsolatban mondottakkal analóg módon kapjuk, hogy m.m. y ∈ [0, 1]n vektorra ϕy (t) :=

X

f (t + 2πj)eıhy,t+2πji =

j∈Zn

X 1 fˆ(j + y)e−ıhj,ti n (2π) n j∈Z

(t ∈ [0, 2π]n).

u ¨ osszeg, ezért Mivel itt a jobb oldal m.m. y ∈ [0, 1]n esetén egy véges sok tag´ minden ilyen y-ra ϕy egy trigonometrikus polinom, amelyre ϕy (x) = 0 (x ∈ A). Ez |A| > 0 miatt csak u ´gy lehetséges, hogy ϕy ≡ 0. Innen fˆ(j + y) = 0 (m.m. y ∈ [0, 1]n , j ∈ Zn ). Ezért fˆ = 0, azaz f = 0. vi) Az v) megjegyzés alapján a iv)-beli utols´ o konkl´ uzi´ ot az al´ abbiak szerint er˝os´ıthetj¨ uk”: ha 1 ≤ p ≤ 2, f ∈ Lp és |T |· |S| < +∞, akkor f = 0. Ti. |T | = 0 ” esetén mindez triviális, ha viszont 0 < |T | < +∞, akkor (az 1/p + 1/q = 1 egyenl˝oségnek megfelel˝o 2 ≤ q < +∞ kitev˝ ovel”) a H¨ older-egyenl˝otlenség ” alapján Z

|f (x)| dx =

Z

|f (x)|χT (x) dx ≤ kf kp · |T |1/q < +∞.

Ezért f ∈ L1 (és fˆ ugyanazt jelenti Lp -értelemben, mint L1 -értelemben).


117

vii) Az el˝obbi megjegyzésben szerepl˝ o eredménynek egy kor´ abbi, a funkcionálanal´ızis eszköztárával való kezelése a k¨ ovetkez˝ o (Amrein-Berthier (1977)). Legyen a ton vábbiakban A, B ⊂ R egy-egy (Lebesgue-)mérhet˝ o halmaz és tekints¨ uk az alábbi PA , PB : L2 → L2 leképezéseket: ˆ PA f := f χA , Pd B f := f χB

(f ∈ L2 ).

Megjegyezz¨ uk, hogy f ∈ L2 esetén nyilv´ an fˆχB ∈ L2 , azaz m´ as sz´ oval PB f = 2 2 ˆ F (fχB ), ahol F az L → L Fourier-transzform´ aci´ o inverze: ˆ F h(x) := (2π)−n h(−x)

(x ∈ Rn ).

Könny˝ u meggondolni, hogy PA és PB képtere (XA , ill. XB ) z´ art altér, ill. 2 2 alis projekci´ ok. Jel¨ olj¨ uk PA ∩ PB -vel PA : L → XA , PB : L → XB ortogon´ a PA ∩ PB : L 2 → X A ∩ X B ortogonális projekciót. Ekkor igaz a k¨ ovetkez˝ o (nem trivi´ alis) egyenl˝oség: |A| < +∞, |B| < +∞ esetén PA ∩ PB = 0. Ha m´ ar most 1 ≤ p ≤ 2 és az f ∈ Lp f¨ uggvényre a vi)-beli feltételek teljes¨ ulnek (feltehet˝ o, hogy 0 < |T |, |S| < +∞), 1 ˆ akkor már láttuk, hogy egy´ uttal f ∈ L , amib˝ ol f ∈ L∞ ad´ odik. Ezért bármely 1 ≤ r < +∞ mellett Z

|fˆ(x)|r dx =

Z

ˆ r < +∞, |fˆ(x)|r χS (x) dx ≤ |S|· kfk ∞

´ıgy fˆ ∈ Lr is teljes¨ ul. Speci´ alisan fˆ ∈ L2 . K¨ ovetkezésképpen f = F fˆ, azaz 2 ˆ ˆ f ∈ L . Tehát f ∈ XT , ill. f = f χS miatt f = F fˆ = F (fˆχS ) = PS f, emiatt pedig f ∈ XS . Mindez azt jelenti, hogy f ∈ XT ∩ XS , ezért PT ∩ PS = 0 alapján f = (PT ∩ PS )f = 0. viii) A most tárgyalt Amrein-Berthier-féle megk¨ ozel´ıtés m´ ar kor´ abban ismert volt (Matolcsi-Sz˝ ucs (1973)) azzal a kiegész´ıt˝ o feltétellel, hogy a sz´ oban forgó n ˆ T = {f 6= 0}, S = {f 6= 0} halmazokra |S|· |T | < (2π) . Ebben az esetben a PT ∩ PS = 0 következtetés lényegesen egyszer˝ ubb. Ui. |T | > 0, |S| > 0 feltehet˝o, ill. bármely g ∈ L2 f¨ uggvényre |T | < +∞ miatt

118


kPT gk1 =

Z

T

|g(z)| dz ≤

sZ

|g(z)|2 dz·

p |T | < +∞,

azaz PT g ∈ L1 . Ezt felhaszn´ alva azt mondhatjuk, hogy kPS PT gk∞

d = kF PT gχS k∞ ≤

1 kPd T gχS k1 ≤ (2π)n

1 1 kPd kPd T gk∞ · kχS k1 = T gk∞ · |S|, n (2π) (2π)n

ahol kPd ovetkezésképpen T gk∞ ≤ kPT gk1 . K¨ kPS PT gk∞

|S| |S| ≤ kPT gk1 = n (2π) (2π)n

Z

T

|g(t)| dt.

Világos, hogy 2

k(PS PT ) gk∞

|S| ≤ (2π)n

Z

T

|(PS PT g)(t)| dt ≤

|S| |S|2 |T |· kP P gk ≤ |T |· kPT gk1 . S T ∞ (2π)n (2π)2n Teljes indukcióval tehát egyszer˝ uen ad´ odnak az al´ abbiak: k(PS PT )N gk∞ ≤

|S|· |T | (2π)n

N

·

|S|N |T |N−1 kPT gk1 = (2π)Nn

kPT gk1 |T |

(1 ≤ N ∈ N).

Ha az el˝obbi becslésben g ∈ XT ∩XS , akkor PS PT g = PS g = g, ´ıgy (PS PT )N g = g (1 ≤ N ∈ N). Az |S|· |T | < (2π)n feltételt figyelembe véve N

kgk∞ = k(PS PT ) gk∞ ≤

|S|· |T | (2π)n

N

·

kPT gk1 →0 |T |

azaz kgk∞ = 0. Következésképpen g = 0, ezért PS ∩ PT = 0.

(N → ∞),

6.1. A G´ abor-transzform´ alt értelmezése

119

6. Gábor-transzformáci´ o 6.1. A Gábor-transzformált értelmezése. Legyen 0 6= g : Rn → C adott (ablak-)f¨ uggvény (amelyet a tov´ abbiakban rögz´ıt¨ unk) és legyen Dg := {f : Rn → C : f Tx g ∈ L1 (x ∈ Rn )}. A H¨ older-egyenl˝otlenség alapján nyilv´ anval´ o, hogy pl. g ∈ Lq esetén Lp ⊂ Dg , hacsak ul¨ on¨ osen fontos 1 ≤ p, q ≤ +∞, 1/p + 1/q = 1. Így pl. L2 ⊂ Dg minden L2 ∋ g-re. K¨ 1 ∞ a g ∈ L ∩ L eset, amikor könnyen l´ athat´ oan egy´ uttal minden 1 < p < ∞ kitev˝ore” ” g ∈ Lp is teljes¨ ul. Valóban, kgkpp Z

=

Z

χG1 (x)|g(x)| dx +

p

χG1 (x)|g(x)| dx +

kgkp−1 ∞

Z

Z

(1 − χG1 (x))|g(x)|p dx ≤

(1 − χG1 (x))|g(x)| dx ≤ (1 + kgkp−1 ∞ )kgk1 < +∞.

Ezért ekkor az el˝obb mondottak szerint tetsz˝ oleges 1 ≤ p ≤ +∞ v´ alaszt´ assal Lp ⊂ Dg . Ha tehát g ablakf¨ uggvény, f ∈ Dg és x, y ∈ Rn , akkor defini´ aljuk Vg f (x, y)-t a következ˝oképpen: Vg f (x, y) :=

Z

f (t)g(t + x)eıht,yi dt.

Világos, hogy ∧

Vg f (x, y) = hf, M−y Tx gi = (f · Tx g) (y). Mivel Z

ıht,yi

f (t)g(t + x)e

dt =

Z

ıhz−x,yi

f (z − x)g(z)e

−ıhx,yi

dz = e

ezért ∧

Vg f (x, y) = e−ıhx,yi (g· T−x f ) (y).

Z

f (z − x)g(z)eıhz,yi dz,

120


Nyilván Vg f (x, y) =

Z

−ıht,yi

f (t)g(x + t)e

dt =

Z

g(z)f (z − x)e−ıhz−x,yi dz,

azaz Vg f (x, y) = eıhx,yi Vf g(−x, −y)

(x, y ∈ Rn ).

Ha g ≡ 1, akkor Vg f (x, y) = fˆ(y) (x, y ∈ Rn ). A Vg f : R2n → C leképezést az f f¨ uggvény r¨ ovid idej˝ u (vagy ablakos) Fourier-transzform´ altj´ anak nevezz¨ uk (angolul STFT: short-time Fourier transform). G´ abor Dénes (1946) vizsg´ alatai nyom´ an haszn´ alatos még a G´ abor-transzform´ alt elnevezés is. Ha pl. n = 1, δ > 0 és supp g ⊂ [−δ, δ], akkor Vg f (x, y) =

Z

−x+δ

f (t)g(t + x)eıht,yi dt.

−x−δ

Speciálisan g := χ[−δ,δ] esetén Vg f (x, y) =

Z

−x+δ

f (t)eıht,yi dt,

−x−δ

´ıgy pl. ekkor Vg f (0, y) = fbδ (y) (ld. 4.1. ii) megjegyzés). Vil´ agos, hogy a Vg operátor 2 lineáris. Belátható, hogy f, g ∈ L esetén Vg f egyenletesen korl´ atos, ui. a CauchyBunyakovszkij-egyenl˝otlenség alapján |Vg f (x, y)| ≤ kf k2 kM−y Tx gk2 = kf k2 kgk2

(x, y ∈ Rn ),

ill. egyenletesen folytonos, ti. bármely x, y, u, v ∈ Rn mellett |Vg f (x, y) − Vg f (u, v)| ≤ Z Z

Z

|f (t)| g(t + x)eıht,yi − g(t + u)eıht,vi dt =

ıht,v−yi |f (t)| g(t + x)e − g(t + u) dt =

|f (t)| |g(t + x) − g(t + u)| dt +

Z

|f (t)| eıht,v−yi − 1 |g(t + u)| dt =:

A(x, u) + B(u, v, y).

A Cauchy-Bunyakovszkij-egyenl˝otlenség, ill. a transzl´ aci´ o folytonoss´ aga” szerint ”


121

A(x, y) ≤ kf k2 kTx g − Tu gk2 → 0

(x − u → 0).

Továbbá bármely r > 0 esetén B(u, v, y) ≤

2

Z

|f (t)|· |g(t + u)|· | sin(ht, v − yi/2)|· χGr (t) dt + 2 Z

|f (t)|· |g(t + u)|· |ht, v − yi|· χGr (t) dt + 2

Z

Z

|f (t)|· |g(t + u)|· (1 − χGr (t)) dt ≤

|f (t)|· |g(t + u)|· (1 − χGr (t)) dt ≤

rkv − yk2 kf k2 kgk2 + 2kgk2 kf (1 − χGr )k2 . Mivel kf (1 − χGr )k2 → 0 (r → +∞), ezért tetsz˝ oleges ε > 0 mellett van olyan r > 0, amellyel 2kgk2 kf (1 − χGr )k2 < ε. Ekkor alkalmas δ > 0 v´ alaszt´ assal rkv − ykkf k2 kgk2 < ε is igaz, hacsak kv − yk < δ. Az el˝ obbiek szerint az is feltehet˝ o, hogy kx − uk < δ esetén A(x, u) < ε is fennáll, azaz |Vg f (x, y) − Vg f (u, v)| < 3ε

(kx − uk, kv − yk < δ).

6.1.1. Megjegyzések. i) Mutassuk meg, hogy f, g ∈ L2 esetén Vg f (x, y) = (2π)−n e−ıhx,yi Vgˆ fˆ(−y, x)

(x, y ∈ Rn ),

azaz Z

ıht,yi

f (t)g(t + x)e

e−ıhx,yi dt = (2π)n

Z

fˆ(t)ˆ g(t − y)eıht,xi dt.

Valóban, a Plancherel-tételt felhaszn´ alva Vg f (x, y) =

1 1 ∧ hfˆ, (M−y Tx g) i = hfˆ, T−y M−x gî = n (2π) (2π)n

122

6.1. A G´ abor-transzform´ alt értelmezése 1 (2π)n

Z

fˆ(t)T−y M−x gˆ(t)dt =

e−ıhx,yi (2π)n

Z

1 (2π)n

Z

fˆ(t)ˆ g(t − y)e−ıhx,t−yi dt =

e−ıhx,yi ˆ fˆ(t)ˆ g(t − y)eıhx,ti dt = Vgˆ f (−y, x). (2π)n

ii) Jelölj¨ uk valamely 1 ≤ p ≤ +∞ mellett Lp -vel az R2n -en értelmezett (valós vagy komplex érték˝ u) f¨ uggvények alkotta szok´ asos” Lebesgue-tereket. Ekkor ” az el˝obbiekben értelmezett r¨ ovid idej˝ u Fourier-transzform´ aci´ or´ ol a következ˝ot ot, b´ armely fj , gj ∈ L2 (j = 1, 2) esetén mondhatjuk: Vg f ∈ L2 (f, g ∈ L2 ). S˝ fennáll a következ˝o u ń. ortogonalit´ asi rel´ aci´ o (vagy m´ as néven Moyal-formula): Z Z

Vg1 f1 (x, y)Vg2 f2 (x, y)dx dy = (2π)n hf1 , f2 ihg1 , g2 i.

Mivel L1 ∩ L∞ minden¨ utt s˝ ur˝ u L2 -ben, ezért a szok´ asos” funkcion´ alanal´ızisbeli ” s˝ ur˝ uségi technikák alapján elegend˝ o a most mondottakat abban az esetben meggondolni, amikor gj ∈ L1 ∩ L∞ (j = 1, 2). Így ekkor fj · Tx gj ∈ L2 (j = 1, 2), ezért a Plancherel-tétel miatt Z Z

Vg1 f1 (x, y)Vg2 f2 (x, y)dx dy =

(2π)

n

Z Z

Z Z

∧

∧

(f1 · Tx g 1 ) (y)(f2 · Tx g 2 ) (y)dy dx =

f1 (t)f2 (t)g1 (t + x)g2 (t + x) dt dx.

Mivel itt f1 f2 , g1 g2 ∈ L1 , ezért ismét a szukcessz´ıv integr´ al´ asr´ ol sz´ oló Fubinitételt (és a Lebesgue-integr´ al eltol´ as-invarianci´ aj´ at) alkalmazva azt mondhatjuk, hogy Z Z (2π)

n

Z

f1 (t)f2 (t)

Z

Vg1 f1 (x, y)Vg2 f2 (x, y)dx dy =

g1 (t + x)g2 (t + x) dx

dt = (2π)n hf1 , f2 ihg1 , g2 i.

Speciálisan

kVg f kL2 =

sZ

|Vg f (x, y)|2dx dy = (2π)n/2 kf k2 kgk2 .


123

Ha itt kgk2 = (2π)−n/2 , akkor kVg f kL2 = kf k2 , azaz a r¨ ovid idej˝ u Fourier-transz2 2 formáció Vg : L → L normatart´ o leképezés.

iii) Az el˝oz˝o megjegyzésben kapott L2 -korl´ atoss´ ag” kiterjeszthet˝ o az al´ abbiak sze” rint: legyen 2 ≤ p < +∞. Ekkor megadhat´ o olyan Cp > 0 konstans, hogy 2 tetsz˝oleges f, g ∈ L f¨ uggvényekre kVg f kLp ≤ Cp kf k2 kgk2 . Legyen ui. 1 < q ≤ 2 a p-hez konjug´ alt kitev˝ o”, azaz 1/p + 1/q = 1. A Cauchy” Bunyakovszkij-egyenl˝otlenség miatt b´ armely Rn ∋ x mellett f · Tx g ∈ L1 . Tudjuk (ld. ii)), hogy Vg f ∈ L2 , ezért Vg f (x, y) = (f · Tx g)∧ (y) (x, y ∈ Rn ) és a szukcessz´ıv integrálásra vonatkoz´ o Fubini-tétel szerint (f · Tx g)∧ ∈ L2 teljes¨ ul n 1 2 m.m. R ∋ x-re. Ez azt jelenti egy´ uttal, hogy f · Tx g ∈ L ∩ L is igaz m.m. n q R ∋ x-re, azaz f · Tx g ∈ L (m.m. x ∈ Rn ). A Hausdorff-Young-egyenl˝otlenség (ld. 4.1. iii) megjegyzés) alapj´ an (esetleg sorr´ ol-sorra v´ altoz´ o, csak p-t˝ol és n-t˝ol f¨ ugg˝o Cp > 0 konstanssal) Z

Cp

Z

p

|Vg f (x, y)| dy =

q

|f · Txg(y)| dy

p/q

Z

= Cp

|(f · Tx g)∧ (y)|p dy ≤ Z

q

q

|f (y)| |g(x + y)| dy

Cp (|f |q ∗ |g∗ |q (−x))

p/q

p/q

=

,

ahol g∗ (t) := g(−t) (t ∈ Rn ). Mindezek alapj´ an kVg f kLp =

≤ Cp

Z

q

Z Z q

p

|Vg f (x, y)| dy p/q

(|f | ∗ |g∗ | (x))

dx

1/p

dx

1/p

≤ 1/q

= Cp k|f |q ∗ |g∗ |q kp/q .

Világos, hogy itt |f |q , |g∗ |q ∈ L2/q . Ezért alkalmazhat´ o a konvol´ uci´ oval kapcsolatos Young-egyenl˝otlenség (ld. 1.) (az ott szerepl˝ o (p, q, r) h´ armas helyébe a (2/q, 2/q, p/q)-t ´ırva): k|f |q ∗ kg∗ |q kp/q ≤ Cp k|f |q k2/q k|g∗ |q k2/q .

124

6.2. G´ abor-inverzi´ o Mivel k|f |q k2/q = kf kq2 , k|g∗ |q k2/q = kgkq2 , ezért 1/q

kVg f kLp ≤ Cp (kf kq2 kgkq2 )

= Cp kf k2 kgk2 .

(Ha figyelembe vessz¨ uk a fent idézett Hausdorff-Young-egyenl˝ otlenséggel, ill. a Young-egyenl˝otlenséggel kapcsolatos (ottani) Babenko-Beckner-konstans jelentését, akkor belátható, hogy az el˝ obbi Cp helyébe (4π/p)n/p ´ırhat´ o.) iv) Az is megmutatható, hogy 1 ≤ p ≤ 2, f, g ∈ L2 esetén kVg kLp ≥

4π p

n/p

kf k2 kgk2 .

v) Adott g ∈ L2 mellett a Vg : L2 → L2 oper´ ator injektivit´ asa (a linearitása miatt) 2 azzal ekvivalens, hogy a (L ∋) Vg f = 0 egyenl˝ oség pontosan az (L2 ∋) f = 0 esetben áll fenn. Tehát akkor, ha igaz az al´ abbi k¨ ovetkeztetés: hf, My Tx gi = 0 (m.m. x, y ∈ Rn ) =⇒ f (t) = 0 (m.m. t ∈ Rn ). Ez más szóval azt jelenti, hogy az L ({My Tx g : x, y ∈ Rn }) altér minden¨ utt s˝ ur˝ u L2 -ben. Mivel f · Tx g ∈ L1 , ezért a Fourier-transzformáció ∧ injektivitása alapján a Vg f (x, y) = (f · Tx g) (y) = 0 (m.m. x, y ∈ Rn ) feltételb˝ol (f · Tx g) (t) = f (t)g(x + t) = 0

(m.m. x, t ∈ Rn )

következik. Ha tehát (L2 ∋ )g 6= 0, akkor innen f (t) = 0 (m.m. t ∈ Rn ) már adódik. Ha még RVg = L2 is igaz, akkor mondhatjuk, hogy tetsz˝oleges kgk2 = (2π)−n/2 esetén Vg : L2 → L2 izometria. Mindez benne van” a következ˝o ” inverzi´ os formul´ aban.

6.2. Gábor-inverzi´ o. Legyen F ∈ L2 , h ∈ L2 . Ekkor minden x, y ∈ Rn esetén F (x, y)M−y Tx h ∈ L2 , azaz van értelme az hF (x, y)M−y Tx h, γi = F (x, y)Vh γ(x, y) skal´ aris szorzatnak b´ armely γ ∈ L2 2 1 mellett. Mivel Vh γ ∈ L , ´ıgy F · Vh γ ∈ L , ezért valamennyi most mondott γ-ra létezik az

6.2. G´ abor-inverzi´ o Z Z

125

hF (x, y)M−y Tx h, γi dx dy =

Z Z

F (x, y)Vh γ(x, y) dx dy

kett˝os integrál. Világos, hogy ekkor a 2

L ∋ γ 7→ l(γ) :=

Z Z

hF (x, y)M−y Tx h, γi dx dy

leképezés (konjugált) lineáris. Korlátos is, ui. (ld. ii)) Z Z hF (x, y)M−y Tx h, γi dx dy ≤ kF kL2 kVh γkL2 = (2π)n/2 kF kL2 khk2 kγk2 .

∗ aci´ os tétel szerint egyértelm˝ uen van olyan Tehát l ∈ L2 , ezért a Riesz-féle reprezent´ f ∈ L2 f¨ uggvény, amellyel l(γ) = hf, γi (γ ∈ L2 ). Jelentse az Z Z

F (x, y)M−y Tx h dx dy := f

integrál” ezt az f ∈ L2 f¨ uggvényt. K¨ ovkezéséppen ” Z Z hf, γi = F (x, y)hM−y Tx h, γi dx dy

(γ ∈ L2 ).

Megjegyezz¨ uk, hogy a most mondottak m¨ og¨ ott az al´ abbi ´ altal´ anosabb érvény˝ u meggondolás h´ uz´ odik meg. Tegy¨ er és a G : Rn → X R uk fel, hogy adott az (X, k.k) Banach-t´ ∗ leképezés. Ekkor az G(x) dx integr´ al jelentse azt a Φ : X → C (nyilv´ an lineáris) funkcionált, amellyel Φ(f ) =

Z

f (G(x)) dx

(f ∈ X ∗ )

teljes¨ ul (feltételezve az itt szerepl˝o ut´ obbi integr´ al(ok) létezését). Ha Φ korl´ atos is, azaz valamilyen 0 ≤ C-vel |Φ(f )| ≤ Ckf kXR∗ (f ∈ X ∗ ), akkor Φ ∈ X ∗∗ . Ha még r´ aadásul az ∗∗ X tér reflex´ıv: X ≡ X, akkor a Φ = G(x) dx integr´ al tekinthet˝ o X-beli elemnek. Ez a helyzet pl. akkor, ha (X, k.k) = (L2 , k.k2 ). Minden készen áll ahhoz, hogy megfogalmazzunk egy, a r¨ ovid idej˝ u Fourier-transzfor2 mációra vonatkozó inverziós formulát. Legyen ehhez g, h ∈ L , hg, hi = 6 0. Ekkor tetsz˝oleges f ∈ L2 f¨ uggvényre (mint (L2 )∗ -beli funkcion´ alra)

126

6.2. G´ abor-inverzi´ o 1 f= n (2π) hh, gi

Z Z

Vg f (x, y)M−y Tx h dx dy.

Mivel a 6.6.1. ii) megjegyzés szerint Vg f ∈ L2 , ezért (ld. 6.2.) létezik az 1 F := n (2π) hh, gi

Z

Vg f (x, y)M−y Tx h dx dy

integrál. Azt kell tehát belátnunk, hogy F (γ) = f (γ) = hf, γi (γ ∈ L2 ). A 6.1.1. ii) megjegyzésbeli ortogonalitási reláci´ o alapj´ an viszont 1 F (γ) = (2π)n hh, gi 1 n (2π) hh, gi

Z Z

Z Z

Vg f (x, y)hM−y Tx h, γi dx dy =

Vg f (x, y)Vhγ(x, y) dx dy = hf, γi.

6.2.1. Megjegyzések. v˝o (azaz i) Legyen KN ⊂ R2n (N ∈ N) kompakt halmazoknak olyan monoton n¨ So∞ 2n 2n KN ⊂ KN+1 (N ∈ N)) sorozata, amely kit¨ olti” R -et: R = N=0 KN . ” Ekkor a 6.2. pontbeli szerepl˝ okkel defini´ alt fN

1 = n (2π) hh, gi

Z Z

χKN (x, y)Vg f (x, y)M−y Tx h dx dy

(N ∈ N)

sorozatra teljes¨ ul, hogy kfN −f k2 → 0 (N → ∞). Ui. b´ armely γ ∈ L2 f¨ uggvényre Z Z 1 |fN (γ)| = |hfN , γi| = χKN (x, y)Vg f (x, y)Vhγ(x, y) dx dy ≤ n (2π) |hh, gi| 1 kgk2 kf k2 khk2 kγk2 2 kVh γkL2 = kV f k g L (2π)n |hh, gi| |hh, gi|

Ezért minden N ∋ N -re fN ∈ L2 és |hfN , γi| ≤

kgk2 kf k2 khk2 kγk2 . |hh, gi|

Hasonlóan kapjuk, hogy f − fN ∈ L2 és

(N ∈ N).

6.2. G´ abor-inverzi´ o

127

Z Z 1 ≤ |hf − fN , γi| = (x, y))V f (x, y)V γ(x, y) dx dy (1 − χ K g h N (2π)n |hg, hi| kγk2 khk2 (2π)n/2 |hg, hi|

Z Z

2

(1 − χKN (x, y))|Vg f (x, y)| dx dy

1/2

.

Innen kf − fN k2 = sup |hf − fN , γi| ≤ kγk2 ≤1

khk2 (2π)n/2 |hg, hi|

Z Z

2

(1 − χKN (x, y))|Vg f (x, y)| dx dy

1/2

.

o feltétel miatt Mivel Vg f ∈ L2 , ezért a (KN ) sorozatra vonatkoz´ Z Z

(1 − χKN (x, y))|Vg f (x, y)|2 dx dy → 0

(N → ∞).

1 c1 c1 := {fˆ : f ∈ L1 } és tegy¨ uk fel, hogy (N ∈ N) ii) Legyen L R uN ∈ L ∩ L egységapproximáció. TehátR supN kuN k1 < +∞, uN (x, y) dx dy = 1 (N ∈ N) és bármely δ > 0 esetén (1 − χGδ (t))uN (t) dt → 0 (N → ∞). Tekints¨ uk 1 ∞ p valamely g, h ∈ L ∩ L , 1 ≤ p < +∞ és F ∈ L esetén az al´ abbi sorozatot:

FN

1 = n (2π) hh, gi

Z Z

Vg F (x, y)M−y Tx hˆ uN (y) dy dx

(N ∈ N).

Ekkor belátható, hogy kFN − F kp → 0 (N → ∞). iii) A fentiekben azt vizsgáltuk, hogy hogyan lehet a G´ abor-transzformáltból el˝oáll´ıtani a kiindulási f¨ uggvényt. A tov´ abbiakban is hasonl´ o jelleg˝ u inverziós formulával foglalkozunk. Tegy¨ uk fel ehhez, hogy a 6.2. pontban bel´ atott inverziós 1 formulában Vg f ∈ L is igaz. Ekkor (∗)

1 f (t) = n (2π) hh, gi

Z Z

Vg f (x, y)e−ıhy,tih(t + x) dx dy

(m.m. t ∈ Rn ).

Valóban, legyen γ ∈ L2 és F (x, y, t) := Vg f (x, y)e−ıhy,tih(t+x)γ(t) (x, y, t ∈ Rn ). Világos (ld. Tonelli-tétel), hogy

128

6.2. G´ abor-inverzi´ o Z Z Z

|F (x, y, t)| dx dy dt = Z Z

Z Z

|Vg f (x, y)|

Z Z Z

Z

|Vg f (x, y)|· |h(t + x)γ(t)| dx dy dt =

|h(t + x)|· |γ(t)| dt

dx dy ≤

|Vg f (x, y)|· kTxhk2 kγk2 dx dy = khk2 kγk2 kVg f k1 < +∞,

azaz F ∈ L1 (Rn × Rn × Rn ). Így a Fubini-tétel miatt Z

1 f (t)γ(t) dt = n (2π) hh, gi 1 n (2π) hh, gi

Z Z

Z Z Z

Vg f (x, y)

Z

−ıhy,ti

Vg f (x, y)e

−ıhy,ti

e

h(t + x)γ(t) dt

dx dy =

h(t + x) dx dy γ(t) dt,

amib˝ol (∗) már nyilván következik. iv) Az el˝obb belátott iii)-beli (∗) formula ´ıgy is ´ırhat´ o (csak a h = g esetre fogalmazva meg):

(∗∗)

1 f (t) = n (2π) kgk22

Z

∧

(Vg f (x, · )) (−t)g(t + x) dx

(m.m. t ∈ Rn ).

Mutassuk meg ugyanezt a Vg f ∈ L1 feltétel nélk¨ ul a 0 6= g ∈ L∞ ∩ L2 , f ∈ L2 ∧ esetben is. Ha ui. Fx (t) := Vg f (x, t) (t ∈ Rn ), akkor Fx (t) = (f · Tx g) (t) (t ∈ Rn ) és f · Tx g ∈ L2 miatt (ld. Plancherel-tétel) Fx ∈ L2 . Ezért a Fouriertranszformáció L2 -beli inverzi´ os formul´ aja alapj´ an (f · Tx g)(t) = f (t)g(x + t) = Más szóval 1 f (t) = kgk22 1 n (2π) kgk22

Z

Z

1 c Fx (−t) (2π)n

(m.m. t ∈ Rn ).

f (t)g(x + t)g(x + t) dx =

cx (−t)g(x + t) dx F

(m.m. t ∈ Rn ).


129

Figyelembe véve Fx jelentését azt mondhatjuk teh´ at, hogy 1 f (t) = n (2π) kgk22

Z

∧

(Vg f (x, · )) (−t)g(x + t) dx

(m.m. t ∈ Rn ).

v) Lássuk be, hogy az el˝oz˝o megjegyzésbeli (∗∗) inverzi´ os képlet akkor is érvényben ∧ ∞ 1 1 ˆ marad, ha 0 6= g ∈ L ∩ L és f, f , gˆ ∈ L . Ekkor (Tx g, (Tx g) ∈ L1 (x ∈ Rn )-et is figyelembe véve) az L1 -Fourier-transzform´ aci´ o inverzi´ os formul´ aja szerint f=

1 1 F fˆ , Tx g = F Td x g. n (2π) (2π)n

A konvol´ ució és a Fourier-transzform´ aci´ o kapcsolat´ ara vonatkoz´ o szorzási szabályt is felhasználva azt ´ırhatjuk teh´ at, hogy 1 1 ˆ ˆ d d f · Tx g = F f · F Tx g = F f ∗ Tx g , (2π)2n (2π)2n

1 1 1 ˆ d ıgy ismét az el˝obb ahol fˆ, Td x g ∈ L miatt f ∗ Tx g ∈ L . Ugyanakkor f · Tx g ∈ L , ´ eml´ıtett inverziós el˝oáll´ıtást (most fˆ ∗ Td g-ra) alkalmazva az utols´ o egyenl˝oségb˝ol x azt kapjuk, hogy

fˆ ∗ Td xg =

∧ 1 ˆ d F f ∗ Tx g = (2π)2n F (f · Txg). n (2π) ∧

Következésképpen F (f · Txg) ∈ L1 , azaz (f · Tx g) ∈ L1 . A m´ ar t¨ obbsz¨ or alkalmazott inverziós formula szerint ´ıgy f Tx g =

1 ∧ F (f · Tx g) , n (2π)

azaz m.m. t ∈ Rn esetén (ld. iv)) 1 f (t)g(x + t) = (2π)n

Z

∧

(f · Tx g) (z)e−ıhz,ti dz =

1 c Fx (−t). (2π)n

Ez utóbbi egyenl˝oségb˝ol kaptuk a iv)-beli inverzi´ os képletet.

vi) Könnyen kaphatunk egyfajta hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ ot a r¨ ovid idej˝ u Fourier2 transzformáltra is. Tegy¨ uk fel ehhez, hogy f, g ∈ L , Cf,g := (kf k2 kgk2 )2 > 0 és 2n az U ⊂ R halmazra valamely 0 ≤ ε ≤ 1 mellett

130

6.2. G´ abor-inverzi´ o Z Z

U

|Vg f (x, y)|2dx dy ≥ (2π)n Cf,g ε.

(Emlékeztet¨ unk arra (ld. 6.1.1. ii) megjegyzés), hogy Z Z

U

|Vg f (x, y)|2dx dy ≤ kVg f k2L2 = (2π)n (kf k2 kgk2 )2 = (2π)n Cf,g .)

Ekkor |U | ≥ (2π)n ε (ahol most |U | az U halmaz R2n -beli Lebesgue-mértékét jelenti). Valóban, a fentebb m´ ar eml´ıtett |Vg f (x, y)| ≤ kf k2 kgk2 (x, y ∈ Rn ) becslés miatt n

(2π) Cf,g ε ≤

Z Z

U

|Vg f (x, y)|2dx dy ≤ kVg f k2∞ |U | ≤ Cf,g |U |.

vii) Az el˝obbiekben megfogalmazott hat´ arozatlans´ agi rel´ aci´ o jelent˝ osen kiterjeszthet˝o: a vi)-beli szerepl˝okkel (és az ottani feltételek mellett) ui. minden p > 2 esetén igaz, hogy |U | ≥ (2π)nεp/(p−2)

p 2n/(p−2) 2

.

Speciálisan (p := 4) azt kapjuk, hogy |U | ≥ (2π)n sup εp/(p−2) p>2

p 2n/(p−2) 2

≥ (4π)nε2 .

Ui. a H¨ older-egyenl˝otlenséget a q := p/2 kitev˝ ovel alkalmazva (amikor a konjugált kitev˝o p/(p − 2)) azt ´ırhatjuk (ld. 6.1.1. iii) megjegyzés és vi)), hogy n

(2π) Cf,g ε ≤ Z Z

4π p

Z Z

U

|Vg f (x, y)|2dx dy ≤

2/p Z Z (p−2)/p p/(p−2) |Vg f (x, y)| dx dy · χU (x, y) dx dy ≤ p

2n/p

2

· (kf k2 kgk2 ) |U |

(p−2)/p

=

4π p

2n/p

· Cf,g |U |(p−2)/p .

Innen bármely p > 2 mellett az ´ all´ıt´ asunk m´ ar nyilv´ an k¨ ovetkezik.


131

viii) Ha vii)-ben (ill. vi)-ban) U := {Vg f 6= 0} := {(x, y) ∈ R2n : Vg f (x, y) 6= 0}, akkor Z Z

U

|Vg f (x, y)|2dx dy = kVg f k2L2 = (2π)n Cf,g ,

azaz teljes¨ ul a vi)-beli feltétel ε := 1-re. K¨ ovetkezésképpen vii) szerint bármely p > 2 mellett |U | ≥ (2π)n ·

p 2n/(p−2) 2

→ (2πe)n

(p → 2).

Tehát |{Vg f 6= 0}| ≥ (2πe)n .

ix) Legyen f ∈ L2 , u, v ∈ Rn és fu,v := Mv Tu f, azaz fu,v (t) := eıht,vi f (t + u) (t ∈ Rn ). Ekkor tetsz˝oleges L2 ∋ g-re Vfu,v gu,v (x, y) =

−ıhx,vi

e

Z

Z

eıht,vi g(t + u)e−ıhx+t,vi f (t + x + u)eıht,yi dt =

ıht,yi

g(t + u)f (t + x + u)e

−ıhx,vi

dt = e

Z

g(z)f (z + x)eıhz−u,yi dz =

e−ı(hx,vi+hy,ui) Vf g(x, y) = e−ı(hx,vi+hy,ui) eıhx,yi Vg f (−x, −y)

(x, y ∈ Rn ).

Következésképpen Vfu,v gu,v (x, y) = eı(hx,vi+hy,ui) e−ıhx,yi Vg f (−x, −y)

(x, y ∈ Rn ).

Ha itt g helyett ga,−b -t ´ırunk valamilyen a, b ∈ Rn esetén, akkor Vga,−b f (−x, −y) = Z

Z

f (t)ga,−b (t − x)e−ıht,yi dt =

f (t)eıht−x,bi g(t − x + a)e−ıht,yi dt = e−ıhx,bi Vg f (a − x, b − y)

132

6.2. G´ abor-inverzi´ o miatt Vfu,v (ga,−b )u,v (x, y) = eı(hx,vi+hy,ui) e−ıhx,y+bi Vg f (a − x, b − y)

(x, y ∈ Rn ).

A Moyal-formula (ld. 6.1.1. ii) megjegyzés) szerint ´ıgy Z Z Z Z

e−ıhx,y+bi Vg f (x, y)Vg f (a − x, b − y)eı(hx,vi+hy,ui) dx dy =

Vg f (x, y)Vfu,v (ga,−b )u,v (x, y) dx dy = (2π)n hf, (ga,−b )u,v ihfu,v , gi.

Kiszám´ıtva a jobb oldalt azt kapjuk, hogy hf, gu,v i =

Z

f (t)e−ıht,vi g(t + u) dt = Vg f (u, −v),

azaz hf, (ga,−b )u,v i = Vga,−b f (u, −v) = Z

Z

f (t)ga,−b (t + u)e−ıht,vi dt =

f (t)eıht+u,bi g(t + u + a)e−ıht,vi dt = eıhu,bi Vg f (u + a, b − v),

ill. hfu,v , gi = Z

Z

f (t + u)eıht,vi g(t) dt =

f (z)eıhz−u,vi g(z − u) dt = e−ıhu,vi Vg f (−u, v).

A fentieket összefoglalva oda jutunk, hogy Z Z

e−ıhx,y+bi Vg f (x, y)Vg f (a − x, b − y)eı(hx,vi+hy,ui) dx dy = (2π)neıhu,b−vi Vg f (u + a, b − v)Vg f (−u, v).


133

Itt a bal oldalon az F (x, y) := e−ıhx,y+bi Vg f (x, y)Vg f (a − x, b − y) (x, y ∈ Rn ) defin´ıcióval értelmezett F : Rn ×Rn → C f¨ uggvény kétv´ altoz´ os” Fb(v, u) Fourier” transzformáltja szerepel, ezért Fb(v, u) = (2π)n eıhu,b−vi Vg f (u + a, b − v)Vg f (−u, v)

(u, v ∈ Rn ).

all, ill. a fenti Világos, hogy ha |{Vg f 6= 0}| < +∞, akkor |{F 6= 0}| < +∞ is fenn´ b utolsó egyenl˝oség szerint |{F 6= 0}| < +∞ is igaz. A Benedicks-féle eredmény (ld. 5.5.1. v) megjegyzés) miatt ezért F (x, y) = 0 (m.m. (x, y) ∈ Rn × Rn ), azaz Vg f (x, y)Vg f (a − x, b − y) = 0

(m.m. (x, y) ∈ Rn × Rn ).

Mivel ez az egyenl˝oség tetsz˝ oleges a, b ∈ Rn mellett igaz, ezért innen Vg f (x, y) = (f · Tx g)∧ (y) = 0

(m.m. (x, y) ∈ Rn × Rn )

következik. Így m.m. x ∈ Rn esetén (f · Tx g)∧ (y) = 0 (m.m. y ∈ Rn ), azaz minden ilyen x-re f (y)g(x + y) = 0 (m.m. y ∈ Rn ). Ha itt f 6= 0 (∈ L2 ), akkor valamilyen y0 ∈ Rn vektorra f (y0 ) 6= 0 és m.m. x ∈ Rn esetén g(x + y0 ) = 0. Világos, hogy ez csak akkor lehetséges, ha g = 0 (∈ L2 ). u, x) Beláttuk tehát a következ˝ o´ all´ıt´ ast: ha f, g ∈ L2 és {Vg f 6= 0} véges mérték˝ akkor vagy f = 0 vagy pedig g = 0 (Janssen (1998)).


134

7. Irodalomjegyzék. [1] N. I. Ahijezer, El˝oadások az approxim´ aci´ o elméletér˝ ol, Akadémiai Kiad´ o, Budapest, 1951. [2] W. O. Amrein - A. M. Berthier, On Support Properties of Lp -Functions and Their Fourier Transforms, J. Functional Analysis 24 (1977), 258-267. [3] M. Benedicks, On Fourier Transforms of Functions Supported on Sets of Finite Lebesgue Measure, J. Math. Anal. Appl. 106 (1985), 180-183. [4] S. V. Boˇckariev, Divergent Fourier series on a set of a positive measure for any bounded orthonormal systems, Mat. Sb. 98(140) (1975), 435-449. [5] S. V. Boˇckariev, Logarithmic growth of (C,1)-means of Lebesgue functions of bounded orthonormal systems, DAN SSSR, 223(1) (1975), 16-19. [6] J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, AMS, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 29, 2000. [7] C. L. Fefferman - E. M. Stein, Some maximal inequalities, Amer. J. Math. 93 (1971), 107-115. [8] H. G. Feichtinger - F. Weisz, The Segal algebra S0 (Rd ) and norm summability of Fourier series and Fourier transforms, Monatsh. Math. 148 (2006), no. 4, 333349. [9] L. Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, New Jersey 07458, 2004. [10] K. Gr¨ ochenig, Foundations of Time-Frequency Analisys, Birkh¨ auser, Boston-BaselBerlin, 2001. [11] B. S. Kasin - A. A. Saakian, Orthogonal series, Nauka, Moscow, 1984. [12] T. Matolcsi - J. Sz˝ ucs, Intersection des measures spectrales conjugèes, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 227 (1973), 841-843. [13] A. M. Olevskii, Fourier series with respect to general orthogonal systems, Springer - Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1975. [14] J. A. de Reyna, Pointwise Convergence of Fourier Series, Springer-Verlag Berlin Heidelberg - New York, Lecture Notes 1785, 2002. [15] W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, New York, ..., 1973. [16 F. Schipp - W. R. Wade, Transforms on normed fields, Leaflets in Math. J. Pannonius University Pécs, 1995. [17] F. Schipp - W. R. Wade - P. Simon - J. P´ al, Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis, Akadémiai Kiad´ o - Adam Hilger, Budapest, Bristol and New York, 1990.


135

[18] P. Simon, On a theorem of Zhuk-Natanson, megj. alatt. [19] E. M. Stein - G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, New Jersey, 1971. [20] B. Sz˝ okefalvi- Nagy, Sur une classe générale de procédés de sommation pour les séries de Fourier, Hungarica Acta Math. 1 (1948), no. 3, 14-52. [21] A. A. Teljakovskii, Norms of trigonometrical polynomials and approximation of differentiable functions by averages of their Fourier series I, Trudy Mat. Inst. Steklov. 62 (1961), 61-97. [22] R. M. Trigub, A connection between summability and absolute convergence of Fourier series and transforms, Dokl. Akad. Nauk SSSR 217 (1974), 34-37. [23] R. M. Trigub, Integrability of the Fourier transform of a function with compact support, Teor. Funkcii Funkcional. Anal. i Priloen. Vyp. 23 (1975), 124131. [24] N. Wiener, The Fourier integral and certain of its applications, Cambridge Univ. Press, New York, 1933., reprint: Dover Publications, Inc., New York, 1959. [25] A. Zygmund, Trigonometric Series, Cambridge, Univ. Press, 1959. [26 V. V. Zsuk - G. I. Natanszon, Trigonometric Fourier Series and Elements of the Theory of Approximation, University Press, Leningrad, 1983.

Fourier-transzformáció

Recommend Documents