Jelek spektruma, Fourier–transzformáció Horváth Árpád
2011. szeptember 23.
Tartalomjegyzék 1. Harmónikus jel és a szögfüggvények 1.1. Alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 2
2. Fourier-sor 2.1. Trigonometrikus alakban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Exponenciális alakban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 8 12
3. Fourier–transzformáció 15 3.1. Az AM modulált jel spektruma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2. Diszkrét Fourier–transzformáció (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. A jelek csoportosítása Fellegi József anyagának felhasználásával.
22
Spektrum vagy színkép, a frekvenciatartománybeli alak: milyen „szinuszos” jelekből tudom összerakni. Ennek tanulmányozására ajánlott a http://www.falstad.com/fourier oldal. Pár feladat, amit megoldhatunk vele: 1. Hogyan lehet egy jel összetevőit meghatározni? 2. Hogyan torzul a négyszögjel, ha egy vezetéken (=aluláteresztő szűrőn) küldöm át? 3. Milyen kapcsolat van a jel spektruma és a modulált jel spektruma között? 4. Hangok és képek igen jelentős (veszteséges) tömörítése.
1.
Harmónikus jel és a szögfüggvények
Tanulmányozzuk először a harmónikus jeleket.
1
Harmónikus jel fogalma . Definició Harmónikus jelnek nevezzük azokat a jeleket, amelyek felírhatóak f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ) alakban. Tulajdonképpen ezek a szinuszfüggvény középiskolában tanult transzformáltjai (eltoltjai, nyújtottjai az egyes tengelyek mentén). Tétel Minden harmónikus jel felírható f (t) = a cos ωt + b sin ωt alakban is megfelelő a, b valós számokkal. Keressük meg a kapcsolatot a (A, ϕ0 ) és a (a, b) valós számpárok között! Először ismételjük át, amit a szögfüggvényekről tudni kell!
1.1.
Szükséges alapismeretek ismétlése
A radián értelmezése, átváltása . r 1 rad r α = 2 rad
α = 2π rad
i = 2r i = kerület = 2rπ αrad =
αf ok αrad = π 180◦
i r
A szögfüggvények változójaként a radiánban mért szöget szoktuk használni. A radián értéke kellemetlen olyan szempontból, hogy a nevezetes szögeket irracionális számként (π többszöröseként) adhatjuk meg. A fokra való átváltás viszont nem jelent gondot, ha megjegyezzük azt hogy a teljes szög, a 180◦ , π radiánnal egyenlő. Ilyenkor aránypár felírásával bármelyik irányban könnyen átszámolhatunk. Példák az átváltásra . 1. példa Váltsuk át az alábbi radián-értékeket fokba! π rad, 3
π rad, 4
3π rad, 4
3π rad, 2 2
1 rad,
3,141 rad,
2,5 rad
2. példa Váltsuk át az alábbi fok-értékeket radiánba! 90◦ ,
300◦ ,
15◦ ,
−20◦ ,
114,6◦
3. példa Egy r = 20 cm sugarú körben mekkora a 3 radiános központi szöghöz tartozó ívhossz? Megoldások: 1. példa. 60◦ ,
45◦ ,
135◦ ,
270◦ ,
57,30◦
180◦ ,
143,2◦ ,
2. példa. π rad, 2
10π rad, 6
π rad, 12
−
π rad, 9
2 rad
3. példa. 60 cm. Szögfüggvények, szinusz függvény . A sin és cos szögfüggvényeket adott irányszögű egységvektor koordinátáiként definiáljuk. y y = sin α 1
1
1 2
1 2
1
sin α
α −1
cos α
− 12
1
− 12
x − π6
π 6
π 2
π
α
− 12
A fázisszög az idő során változik, a változási gyorsaságát jellemezhetjük a villanytanból már ismert ω körfrekvenciával. ω = 100πrad/s ≈ 314 rad s esetén a fázisszög minden másodpercben −1 körhöz tartozó belső szög, a teljes szög, 2π radián, mivel a 100π−1 radiánnal növekszik. A teljes kör kerülete 2π-szerese a sugárnak. Tehát az ω = 100πrad/s esetén másodpercenként 50 teljes kört teszek meg a forgóvektorral, azaz másodpercenként 50 teljes periódust ír le a függőleges vetületeként kapott szinuszfüggvény. A teljes körök másodpercenkénti számát jellemzi a frekvencia, amely eszerint a radiánok számának 2π-ed része. A periódusidő az az idő, ahonnan a jel ismétlődik. Nyilván ez a forgóvektor teljes körének megtétele után történik meg. Ha frekvencia 50 1/s, azaz másodpercenként 50 teljes kört ír le a forgóábra, akkor a periódusidő a másodperc 50-ed része: 0.02 s = 20 ms. Jelen esetben tehát: ω = 100π
rad ⇒ s
f=
ω 1 = 50 = 50 Hz ⇒ 2π s 3
T = 20 ms.
Ez egyébként épp az európai elektromos hálózatban használt körfrekvencia, frekvencia és periódusidő. A híradástechnikában ennél jóval nagyobb körfrekvencia-értékekkel találkozunk általában. A forgóvektor . y
y = A sin(ωt + ϕ0 )
A
A ω
A 2
A 2
A A sin ϕ ϕ(t)
−A
x
t
− A2
T 4
− A2
T 2
− A2
A harmónikus jeleket egy-egy forgó vektor vetületeként kaphatjuk meg. (Mi a függőleges összetevőt fogjuk vizsgálni, de más irodalomban −A −A előfordul a vízszintes összetevő is.) Nulla kezdőfázis esetén a jel nulla értékről indul pozitív irányba. Amennyiben nem ez a helyzet, az összetevőt valamilyen ϕ0 kezdőfázissal jellemezhetjük. A későbbiek során a vektor irányát jellemző ϕ irányszög az idővel arányosan változik: ϕ(t) = ωt + ϕ0 (A ϕ utáni zárójelben levő t azt jelzi, hogy a fázisszög értéke az időben változik, matematikus szóhasználattal az idő függvénye. A képlet jobb oldalán tehát csak a t a változó, a másik kettő érték, a harmónikus jelre jellemző állandó, más néven paraméter.) A fenti ábrán a kezdőfázis π/6, azaz 30◦ . Mint látható, az A érték lesz a kitérés amplitúdója. A csúcstól csúcsig érték pedig 2A. A korábbi tétel igazolásához bontsuk a t = 0 pillanatban a vektort két részre, a két tengely menti összetevőjére. A két összetevő nagyságát jelölje a és b az ábrán látható módon. (Figyelem, az a és b helye itt fordított, mint a komplex számok a + bj algebrai alakjában.) cos és sin összetevők (t = 0) .
4
y A ω A 2
A
a
ϕ0 x b
− A2
Vizsgáljuk meg a vektor és az összetevői helyzetét, amikor kissé arrébb fordultak. −A cos és 2 sin összetevők (t 6= 0) . y A −A ω A 2
A
f (t) =?
ωt + ϕ0 x − A2 Az f (t) értékét könnyen kiszámíthatjuk egy szögfüggvény alkalmazásával, mivel a szöggel szemközti oldal a kérdéses, és az átfogó ismert: ezek a szinuszban szerepelnek. − A2 f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ) (Ha összeg van a szinusz után, azt mindig zárójelbe tesszük.) Most vizsgáljuk meg, hová kerültek az a és b szakaszok, és mekkora a vetületük! −A cos és sin összetevők (t 6= 0) .
5
A
y A ω
A 2
ωt
a A
f (t) = A sin(ωt + ϕ0 )
a0 =? f (t)
b
b0 =?
ωt
f (t) = a0 + b0 x f (t) = a cos ωt + b sin ωt
− A2 A fenti ábrából megállapítható, hogy a vetületük a0 = a cos ωt, illetve b0 = b sin ωt. Ezek összege éppen a keresett f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ). − A2 Ezt mondta ki a korábbi tétel. A kétféle írásmód közül néha az egyik, néha a másik kellemesebb illetve hasznosabb. Példa −A tudunk áttérni az egyik féle írásmódból a másikba? Másképpen milyen kapcsolat van a Hogyan (a, b) és a (A, ϕ) valós számpárok között? Összefüggés (a, b) és (A, ϕ) között . y
√ A = a2 + b2 tg ϕ0 = a/b
A
a = A sin ϕ0 b = A cos ϕ0
ω A 2
A
− A2
A kapott eredmények fontosak, de inkább az ábráról való ϕ0 leolvasásukat érdemes x megjegyezni, mint a b végeredményeket. Különösen a szög kiszámításánál hasznos a síknegyed-helyes ábra, ugyanis a tangens nem tesz különbséget a 180-fokkal eltérő szögek között, azaz az I. és III. valamint II. és IV. síknegyed között. − A2 Ilyenkor az arkusztangenssel kapott szöghöz a III. és IV. (alsó) síknegyedekben 180◦ hozzáadandó. A később említendő matematikai programokban a szögek számításához érdemes az atan2 (octave, MATLAB) illetve arctan2 (pylab) függvényeket használni. a
−A 6
Példák az átváltásra . 1. példa Határozzuk meg az a és b értéket 4 értékes jegy pontossággal, A = 6 V,
ϕ0 = π/3
2. példa f (t) = 4 V · sin ωt + 3 V cos ωt = A sin(ωt + ϕ0 ) esetén határozzuk meg A és ϕ0 értékét négy értékes jegyre. 3. példa f (t) = −4 V · sin ωt + 3 V cos ωt esetén ugyanez. Megoldások: 1. példa. csupán 2. és 3. képletet kell alkalmazni. √ a = 3 3 V ≈ 5,196 V, b = 3 V A négy értékes jegy azt jelenti, hogy az első nem nulla számjegytől négy jegyet hagyunk meg. A második esetben írhattunk volna 3,000 értéket, amit a mérnöki gyakorlatban alkalmaznak is, ha az adat pontosságát szeretnék hangsúlyozni. Mérnöki gyakorlatban ugyanis nincsenek abszolút pontos mérhető mennyiségek, minden mérés csak valamilyen mérési pontossággal értendő. 2. példa. csupán 1. és 2. képletet kell alkalmazni. A = 5 V, ϕ0 = arctg 3/4 = 0,6435 rad = 36,87◦ 3. példa. A feladatmegoldás menete hasonló. Az arctg-re negatív értéket kapunk. Az ábrát felrajzolva kitűnik, hogy a III. (jobb alsó) síknegyedben van az A vektorunk (t = 0-ban), tehát a arctg(−3/4) = −0, 6435 rad = −36,87◦ értékhez 180 fokot hozzá kell adnunk: ϕ0 = π + arctg(−3/4) = π − 0, 6435 rad = 2,498 rad = 180◦ − 36,87◦ = 143,13◦
2.
Fourier-sor
A Fourier-sorbafejtés – mint már említettük – a jelek felbontását jelenti harmónikus jelekre. A sorbafejtés során egy végtelen sor összegeként kapjuk meg a függvényt. A sorbafejtés csak periódikus függvények esetén lehetséges. nem periódikus jelek esetén, más módszerre lesz szükség. A Fourier-sort kétféle alakban szokás megadni. A két alak a komlex számok két alakjával – a trigonometrikus és az exponenciális alakkal – van kapcsolatban. Mindkét alaknak vannak előnyei, ezért mindkettőt és kapcsolatukat is tárgyaljuk. 7
2.1.
Trigonometrikus alakban
Fourier-sor . • Periodikus jelekre működik. • f (t + T ) = f (t) • Trigonometrikus alak: x(t) = a0 +a1 cos(ω0 t) + a2 cos(2ω0 t) + . . . +b1 sin(ω0 t) + b2 sin(2ω0 t) + . . . = ∞ X = a0 + (ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t)) k=1
• ω0 = 2πf0 =
2π T
(1)
Az együtthatók kiszámítása a Scharnitzky Viktor: Vektorgeometria és lineáris algebra című könyvben (Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Bp., 1999) részletesen benne van. 1. négyszögjel spektruma . f (t) 1 t −1 T ( x(t) =
1 −1
ha t ∈]0, T2 [ ha t ∈] −
T 2 , 0[
x(t + T ) = x(t)
Páratlan függvényekben csak szinuszos tagok vannak (ak = 0). Páros függvényekben csak koszinuszos tagok vannak (bk = 0). (k = 1...) 1. négyszögjel spektruma, trigonometrikus . Páratlan függvényekben csak . . . tagok, páros függvényekben csak . . . tagok vannak. 4 sin(3ω0 t) sin(5ω0 t) x(t) = sin(ω0 t) + + + ... π 3 5 x(t) =
4 π
∞ X k=1,3,5,...
8
sin(kω0 t) k
4 14 14 , b3 = , b5 = , b7 , b9 . . . π 3π 5π Az ak -k és a páros indexű bk -k nullák. Ezt a sorbafejtést jegyezzük meg, a többi (50%-os kitöltési tényezőjű) négyszögjel spektrumát ebből ki tudjuk következtetni. Ha az amplitudókat ábrázolom a frekvencia függvényében, akkor az alábbi ábrákat kapom: b1 =
1. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, bk . bk b1 = 4/π ≈ 1, 27 1
b3 = b1 /3 b5 = b1 /5 1ω0
3ω0
5ω0
ω
5ω0
ω
bk 6= 0 ⇔ k páratlan. 1. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, ak . ak
1
a0 = 0 nincs egyenszint
1ω0
3ω0
ak = 0 nincsenek koszinuszos tagok. 1. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó .
9
Ak =
q a2k + b2k A1 = 4/π ≈ 1, 27 1
A3 = A1 /3 A5 = A1 /5 A0 = 0 nincs egyenszint 1ω0 q q 2 2 2 Itt Ak = ak + bk = 02 + bk = |bk | = bk
3ω0
5ω0
ω
(k > 0).
2. négyszögjel (áttérés másik négyszögjelre) .
( x(t) =
4 ha t ∈]0, 21 s[ 0 ha t ∈] −
1 2
s, 0[
x(t + 1 s) = x(t)
Az előző kétszeresét vesszük, és hozzáadunk kettőt, és az ω0 értéket is meghatározzuk. ω0 = 2πf =
2π 2π rad = = 2π T 1s s
2. négyszögjel spektruma . 8 x(t) = 2 + π
sin(3ω0 t) sin(5ω0 t) sin(ω0 t) + + + ... 3 5
x(t) = 2 +
8 π
∞ X k=1,3,5,...
sin(kω0 t) k 10
ω0 = 2π
rad s
a0 = 2;
b1 =
8 , π
b3 =
1 8 · , 3 π
b5 =
1 8 · 5 π
2. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó . q Ak = a2k + b2k A1 = 8/π ≈ 2,55 A0 = 2 egyenszint
2
A3 = A1 /3 A5 = A1 /5 1ω0
3ω0
5ω0
ω
Itt Ak = bk , ha k ≥ 1, A0 = a0 . Fourier-részösszeg MATLAB-ban és Octave-ban . x = linspace(-pi, pi, 1024) y = zeros(1, 1024) for k=1:2:15 % 1, 3, ... 15 y += sin(k*x)/k end plot(x,4/pi*y) title("Négyszögjel Fourier-sora 15 tag") savefig("fourier15.png") A MATLAB nagytudású kereskedelmi szoftver, mely mártixműveletekben és több más műszaki és tudományos területen kíváló lehetőségekkel rendelkezik. Ingyenesen sajnos nem tölthető le. Az Octave a MATLAB szabad szoftver változata. A tudása kisebb mint a MATLAB-é, de a mátrixműveleteket és függvényábrázolást képes hasonlóan elvégezni. Fourier-részösszeg Pythonban . from pylab import * x = linspace(-pi, pi, 1024) y = zeros(1024) for k in range(1,16,2): # 1, 3, ... 15 y += sin(k*x)/k plot(x,4/pi*y) title(u"Négyszögjel Fourier-sora 15 tag") 11
savefig("fourier15.png") show() Mint látjuk csak a pylab modult kell plusszban behívni, és a ciklus átírni Pythonosra. A Python általános célú nyelv, nem a matematikára van kihegyezve, ezért a matematika terén néha bonyolultabban kezelhető, mint a MATLAB. Ezért viszont több dolog kárpótolhat: a rendkívül kézreálló szintaktikája, ingyenessége, az, hogy Linux disztribúciókban alapból települ. Szintén előnye a rengeteg szintén ingyenes modul. Többek közt a fent bemutatott pylab modul a matplotlib csomagból. Pylab telepítése: http://arek.uni-obuda.hu/cxnet/doc/install_hu.html Python oktató (tutorial): http://pythonlib.pergamen.hu/html/tut/ Aki még nagyobb tudású szabadon használható szoftvert szeretne, érdemes megismerkednie a SAGE-dszel, amely részeként szintén használható a pylab. Ezt akár telepítve is használhatjuk, de lehetőség van a honlapján regisztrálva a honlapon keresztül használni. Mindkét nyelvvel megismerkedünk felületesen a laborgyakorlatokon.
2.2.
Fourier-sor exponenciális alakban
Két fontos összefüggés . A cos és sin exponenciális alakja 1 1 cos ωt = e−jωt + ejωt 2 2 j −jωt j jωt sin ωt = e − e 2 2 j a képzetes egység (szokásos mérnöki jelölésmódja) j 2 = −1 Az ez jelölés helyett gyakran az exp(z) jelölés használatos: cos ωt =
1 1 exp(−jωt) + exp(jωt) 2 2
(A levezetést nem kell tudni, egyébként a következő összefüggésből kiindulva megkapható az exponenciális alak: ejωt = exp(jωt) = cos ωt + j sin ωt (2) Először a e−jωt értékét kell meghatározni. Ehhez tudni kell, hogy a cos páros függvény lévén elnyeli az előjeleket, a sin – mivel páratlan – nem. Ha e−jωt és ejωt összegét illetve különbségét vesszük, akkor csak a cos illetve sin marad meg, átrendezéssel a fenti képletek megkaphatóak.)
Exponenciális alakban a Fourier-sorban szinuszok és koszinuszok helyett exponenciális függvények szerepelnek. Mint láttuk a szinusz és koszinusz függvényt át lehet írni exponenciális függvények összegére. Mindegyikből két tag lesz, ami újdonság, hogy megjelennek a negatív (kör)frekvenciák (exp(−jω0 t)). Az együtthatók ilyenkor komplexek lesznek: a koszinuszból lesz a valós rész, a szinuszból a képzetes rész. Nehezen tudjuk a frekvencia függvényében ábrázolni mindkét összetevőt, ezért gyakran az abszolut értéket szoktuk. 12
A komplex számok bevezetésével a matematikai formulák egyszerűbbek lesznek, és ezen keresztül vezet az út az általánosításhoz. Az alábbi alakban az X0 együtthatójú rész exponenciális részének kitevője nulla lesz, az eggyel való szorzás elhagyható. Ez lesz az egyen-összetevő (X0 = a0 ). Az első sorban vannak a pozitív frekvenciás tagok, a harmadikban pedig a negatív frekvenciásak. Az előjelet az ω elől kivittük a j elé az egyszerűség kedvéért. Exponenciális alakban .
x(t) = X1 exp(jω0 t) + X2 exp(j2ω0 t) + X3 exp(j3ω0 t) + . . .
(3)
+ X0 + X−1 exp(−jω0 t) + X−2 exp(−j2ω0 t) + X−3 exp(−j3ω0 t) + . . . e−jωt = exp(−jωt) = cos ωt − j sin ωt
(4)
A rövid alakja: x(t) =
+∞ X
Xk exp(jkω0 t)
(5)
k=−∞
STOP
Vizsgáljuk meg az alábbi szinuszos jel Fourier-sorát. Határozzuk meg mindkét alakban az együtthatók értékét (ak , bk , Xk ). x(t) = A sin(ω0 t)
(7)
A és ω0 valós szám értékű fizikai mennyiségek. jA jA exp(jω0 t) + exp(−jω0 t) x(t) = A sin(ω0 t) = − 2 2 Trigonometrikus alakban b1 = A. Exponenciális alakban X1 = − jA 2 , X−1 = (+K alakot, négyszögjelet is. ../beadando.tex)
(8) jA 2
Áttérés a trigonometrikus és exponenciális alak között a jb a jb −jωt a cos(ωt) + b sin(ωt) = + ·e + − · ejωt 2 2 2 2 1. feladat Igazoljuk a fenti összefüggést! 2. feladat Hogyan számolhatjuk az X1 és X−1 együtthatókat és a1 és b1 együtthatókat egymásból? 3. feladat Milyen kapcsolat lesz A1 és |X1 | között?
13
Megoldások: 2. feladat X−1 =
a1 jb1 + , 2 2
X1 =
a1 jb1 − , 2 2
a1 = 2 · Re(X1 ),
b1 = −2 · Im(X1 )
Re és Im a komplex szám valós és képzetes része. 3. feladat s 2 a jb a 2 A b 1p 2 a + b2 = |X1 | = − = + = 2 2 2 2 2 2 A fenti eredmények alapján elég könnyen át tudjuk alakítani egymásba a kétfajta Fourier-sort. Az egyenszinttel semmi gondunk sincs: a0 = X0 = A0 valós szám lesz. Az ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t) alakú többi összetevőt pedig a fenti képlettel át tudjuk alakítani exponenciális alakba, meg tudjuk határozni az X−k és Xk együtthatókat. Másik irányba pedig az Xk értékéből meg tudjuk határozni mind az ak és bk együtthatókat. 4. feladat Mi lesz X5 ha X−5 = 4 − 3j? 5. feladat Mekkora |X5 |, a5 , b5 és A5 , ha X5 = 4 − 3j? 6. feladat Milyen függvények esetén lesznek Xk értékek valósak? 7. feladat Mit lehet mondani az Xk , ak és bk értékekről, ha a függvény páratlan? Megoldások: 4. feladat: 4 + 3j, mivel a korábbi képletből látható, hogy az ellentett indexű tagok egymás konjugáltjai (képzetes √ részük ellentettje egymásnak). 5. feladat: |X5 | = 42 + 32 = 5, A5 ennek kétszerese, 10. q a5 = 2 · ReX5 = 2 · 4 = 8, a5 = −2 · ImX5 = −2 · −3 = 6, A5 = a25 + b25 = 10 Az utolsó számítással immár kétféleképp is kiszámoltuk A5 -öt. 6. feladat: Nyilván, ha csak ak együtthatók vannak, azaz csak koszinuszos tagok és egyenszint. Ez pedig akkor van így, ha a függvény páros. 7. feladat: A páratlan függvényeknél csak szinuszos tagok vannak, nincs koszinuszos és egyenszint, emiatt ak = 0 minden lehetséges k-ra, bk értékeiről semmit nem tudunk, azok tetszőleges értékek lehetnek. Az Xk -ra ez annyit jelent, hogy csak képzetes része lesz az együtthatóknak. Ez a helyzet az első négyszögjelünkkel is.
14
1. négyszögjel spektruma, exponenciális . Ezt már megállapítottuk korábban 14 4 , b1 = , b3 = π 3π Az ak -k és a páros indexű bk -k nullák.
b5 =
14 , 5π
b7 , b9 . . .
Mivel nincs egyenszint X0 = 0 A páros indexű Xk -k nullák lesznek. a1 b1 2 +j =j , 2 2 π b1 2 a1 − j = −j , X1 = 2 2 π
12 , 3π 12 X3 = −j , 3π
X−1 =
X−3 = j
12 ,... 5π 12 X5 = −j ,... 5π
X−5 = j
1. négyszögjel spektruma: exponenciális, |Xk | . |X0 | = A0 |X−k | = |Xk | =
Ak , 2
k>0
|Xk | 1
−5ω1
−3ω1
|X1 | =
A 2
X3 =
|X1 | 3
−1ω1 1ω1 X0 = 0 nincs egyenszint
=
2 π
≈ 0,63
|X5 | =
3ω1
|X1 | 5
5ω1
ω
Az ábra feletti összefüggések minden esetben érvényesek. Ha ismerem a trigonometrikus alak Ak amplitúdóit, akkor minden esetben meghatározhatóak ilymódon az exponenciális alak komplex együtthatóinak abszolút értéke.
3.
Fourier–transzformáció (folytonos és diszkrét)
A Fourier–sor csak periódikus jelekre használható. Nem periódikus jeleknél a Fourier–transzformációt használjuk. A folytonos spektrum kialakítását az alábbi ábrán követjük nyomon. A négyszögjel spektrumát a már megvizsgáltuk. Nézzük meg mi történik, ha a négyszögjel szélességének változtatása nélkül növeljük a periódusidőt! Ha a periódusidőt a végtelenségig növeljük (T → ∞, akkor egyetlen impulzust kapunk, amely már nem periódikus. Mint az ábrán látható, ahogy a periódusidőt növeljük, a diszkrét jel spektrumának tüskéi egyre közelebb lesznek egymáshoz, határértékben folyamatos jelet kapunk.
15
Kitérő az alábbi ábra értelmezésére. Az alábbi ábra egyes soraiban egymás mellett láthatóak az összetartozó időtartománybeli és frekvenciatartománybeli ábrák. Hogyan értelmezzük, hogy negatív értékek is vannak a spektrumban? Egyelőre vizsgáljuk a legelső sorban szereplő esetet. Az ábrán olyan négyszögjel szerepel, mely páros függvény: a magas szintű plató közepénél van a 0 időpillanat. Nyilván akkor csak koszinuszos tagok lehetnek. Az ábrán tehát az előjeles ai együtthatók szerepelnek. Látszik, hogy a négyszögjelet vízszintesen eltolom, hogy páros legyen, az egyes összetevők amplitúdói nem változnak, a frekvenciaösszetevők nem függhetnek attól, mikor kezdem el mérni az időt, de bi együtthatók helyett ai együtthatók lesznek. Ráadásul ebben ez esetben felváltva lesznek pozitív és negatív koszinuszos tagok, pozitív és negatív ai együtthatók. Az alábbi első ábrán látható jel a következő harmónikus összetevőkből áll: 1 1 1 2 cos(ω0 t) − cos(3ω0 t) + cos(5ω0 t) − cos(7ω0 t) + . . . . x(t) = egyenszint + π 3 5 7 Ha a periódusidőt növeljük a magas szint szélességének növelése nélkül, akkor a burkológörbe alakja és annak zérushelyei változatlanok maradnak. A frekvenciaösszetevők viszont egyre közelebb kerülnek egymáshoz. A periódusidő duplázódásával (második sorban szereplő grafikonok) fele akkora távolságra. Ez nyilvánvaló, hiszen az alap-körfrekvencia a periódusidő reciprokával arányos. Ha a periódusidővel végtelenhez tartunk (a legalsó sorban szereplő ábrához), akkor egy nem periódikus esethez közelítünk, a frekvenciaösszetevők egyre közelebb kerülnek, míg végül kialakul a folytonos színkép. A folytonos színkép zérushelyei ugyanott maradnak, ahol az eredeti (első sorban szereplő) jelben az alapfrekvencia páros számú többszörösei.
16
Folytonos spektrum kialakulása .
Ezek után nézzük meg, hogyan alakulnak át a képletek, ha a Fourier-sorról a Fourier-transzformációra térünk át. Az összehasonlíthatóság kedvéért egymás mellett szerepeltetjük a képleteiket. A felső sorban szerepelnek azok a képletek, amellyel a frekvencia-tartományból (X-ből) időtartományba (x(t)-be) térhetünk át, az alsóban azok a képletek, amelyekkel az idő-tartományból térhetünk át frekvencia-tartományba. Az Xk sorozat helyett egy X(ω) folytonos függvény szerepel a Fourier-transzformációban. Az időtartománybeli jel most már nem fejezhető ki egy sorösszegként, hanem egy integrállal határozható meg. Fourier–transzformáció . Nem periodikus (aperiódikus) jelek esetén. (T → ∞) Fourier–sor Fourier–transzformáció R +∞ P+∞ x(t) = k=−∞ Xk exp(jkωt) x(t) = −∞ X(ω) exp(jωt) dω RT R +∞ Xk = T1 0 x(t) exp(−jkωt) dt X(ω) = −∞ x(t) exp(−jωt) dt
STOP
Milyen lesz a szinusz, illetve a csillapított szinusz színképe? Gondoljunk arra, hogy mitől függött, hogy a spektrum megállapításánál használhatjuk-e a Fourier-sort, vagy csak a Fourier-transzformációt? 17
u(t) [V]
Szinusz és csillapított szinusz színképe .
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Sinus and dumped sinus in time and frequency domain
200
400 600 t [x0.25 ms]
800
1000
100
200
400
500
absY(jω) [dB]
0 20 40 60 80 100
f [Hz]
300
Látható, hogy valóban igaz, hogy periódikus jel spektruma diszkrét „vonalakból” áll, a csillapított szinusz viszont már nem lesz periódikus, és a színképe tényleg folytonos. Megnézhetjük ugyanezt a négyszögjelre és a csillapított négyszögjelre is.
18
u(t) [V]
Négyszögjel és csillapított négyszögjel színképe . 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Rectangular and dumped rect. in time and frequency domain
200
400 600 t [x0.25 ms]
800
1000
100
200
400
500
0
absY(jω) [dB]
20 40 60 80 100
3.1.
f [Hz]
300
Az AM modulált jel spektruma
Az rádióadások egy része amplitudómodulált (AM) jelként kerül kisugárzásra. Ennél a modulálandó a(t) hangjelet megszorozzák egy nagyobb frekvenciájú harmónikus jellel, az úgynevezett vivőjellel (sc ), és ezt sugározzák ki. A c index onnan származik, hogy a vivő angolul carrier. A vivő jele sc (t) = cos ωc t, ahol fc = ωc /2π a vivőfrekvencia. A modulálandó a(t) jel Fourier-transzformáltját jelölje A(ω). Ekkor az AM-modulált jel Fouriertranszformáltja a következőképp számolható. Z SAM (ω) =
+∞
a(t) · cos ωc t · e −∞ Z +∞
−jωt
Z
+∞
a(t) ·
dt =
1 1 a(t) · e−j(ω+ωc )t dt + 2 −∞ 2 = A(ω − ωc ) + A(ω + ωc )
−∞ Z +∞
=
1 −jωc t 1 +jωc t e + e 2 2
a(t) · e−j(ω−ωc )t dt
· e−jωt dt =
(9) (10)
−∞
(11) (12)
Az utolsó sorban az látszik, hogy a modulált jelben az eredeti spektrum két helyen található meg, eltolódva a plusz és minusz ωc -vel.
19
Alapsávi és modulált jel spektruma, harmónikus jel . Az alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát az alábbi képletű sm harmónikus moduláló jel és sc vivőjel esetén. sm (t) = Am cos(ωm t) + A0 ,
sc (t) = 1 cos(ωc t)
|Xk | A0 Am 2 Am 4
A0 2
ω −ωc − ωm −ωc + ωm
−ωm
ωm
ωc − ωm
ωc + ωm
ωc
−ωc
Periódikus jel esetén – amikor a spektrum vonalas – az alapsávi jelek Xk együtthatói már felei az eredeti jel amplitúdóinak, a moduláció esetén ismét feleződik az amplitudó, tehát az eredeti amplitudó negyede jelenik meg exponenciális alakot használva. Alapsávi és modulált jel spektruma . Az alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén. |X(ω)|
ω ωc
−ωc
Az utóbbi esetben egy olyan jel AM modulált változatát mutattunk be, amelyben a moduláló jel spektruma folytonos, és valamilyen frekvenciahatárok közé esik. Általában ilyennek vehetünk egy rádióadást, ahol a jel pl. 20 Hz és 20 kHz között folytonosnak tekinthető. Gyakran ilyenkor a spektrumot egy trapézzal (mint itt) vagy háromszöggel ábrázoljuk. Itt a két oldalsávos AM-moduláció (AM-DSB) spektrumát mutattuk be, a továbbiakban szereplnek majd az AM-moduláció további változata is.
3.2.
Diszkrét Fourier–transzformáció (DFT)
Diszkrét Fourier–transzformáció (DFT) . Mintavételezett jelek esetén a Fourier–transzformáció DFT-be megy át. Diszkrét Fourier–tr. PN −1 x(n) = √1N k=0 X(k)WNn,k PN −1 X(k) = √1N n=0 x(n)WN−n,k
Fourier–transzformáció R +∞ x(t) = −∞ X(ω) exp(jωt) dω R +∞ X(ω) = −∞ x(t) exp(−jωt) dt 20
Twiddle-faktor WNn,k = cos
2πkn N
f = kf0 ,
+ j sin
2πkn N
t = nT
A Twiddle-faktor pontos alakját nem fontos tudni, hanem azt, hogy egy rögzített mintaszám (N ) esetén két paramétertől függ, az n-től és a k-tól. N = 16 esetben k = 0, 1, 2, . . . , 15 és n = 0, 1, 2, . . . , 15 értékei lehetnek (mindkettő 0-tól 15-ig vesz fel egész értékeket). Ez összesen 16 · 16 = 256 értéket jelent, amelyet előre meghatározhatunk és eltárolhatunk. WN−n,k szerepel az időtartományból a spektrumba alakításnál. Ezeket az együtthatókat külön ki kell számolnunk, vagy valahogy meghatározható a WNn,k értékekből? A fenti képletből látható, hogy az n előjelének megváltoztatásával a két szögfüggvény argumentuma ellentettjére változik. A koszinusz az ellentettet elnyeli, mert páros függvény, a szinusz elé viszont kiemelhető a mínusz előjel. Tehát a valós rész marad, a képzetes rész ellentettjére változik, azaz mindegyik Twiddle-faktornak a konjugáltját kell venni az inverz műveletnél. 2πkn 2πkn −n,k WN = cos − j sin = WNn,k N N
STOP
A diszkrét Fourier–transzformációt mátrix alakban is felírhatjuk mindkét irányban. Ha az X(k) illetve x(n) értékeket egy oszlopvektorként írjuk fel, akkor az egyikből a másikat úgy kapjuk meg, hogy a Twiddle-faktorokból álló mátrix-szal szorozzuk. DFT: mátrix alak . N −1 1 X X(k) = √ x(n)WN−n,k N n=0
0,0 W16 0,1 W16 0,2 W16 .. .
1 √ N 0,k W16 .. . 0,15 W16
... ... ... .. .
−n,0 W16 −n,1 W16 −n,2 W16 .. .
... ... ... .. .
−15,0 W16 −15,1 W16 −15,2 W16 .. .
... .. .
−n,k W16 .. .
... .. .
−15,k W16 .. .
...
−n,15 W16
...
−15,15 W16
x(0) x(1) x(2) .. . x(n) .. . x(15)
=
X(0) X(1) X(2) .. . X(k) .. . X(15)
A másik irányba nyilván a konjugáltakból álló mátrix-szal kell számolni. DFT: műveletszám . A műveletek különféle átrendezésével kisebb műveletigénnyel is megvalósítható, és ezáltal gyorsabbá tehető a transzformáció. Ezeket a gyorsabb változatokat nevezzük gyors Fourier–transzformációnak (FFT, Fast F. T.). MAC-műveletszám (komplex szorzás+összegzés) 21
DFT FFT N (N − 1)2 N/2 · log2 N hányados 16 225 32 7 128 16129 448 36 256 65025 1024 64 1024 1046529 5120 204 Míg a DFT akárhány minta esetén működik, az FFT egyik változata csak kettőhatvány (2n ) minta esetén működik igazán hatékonyan, akkor viszont jelentősen rövidebb idő alatt kiszámítható. A diszkrét koszinusz–transzformáció, DCT a diszkrét Fourier–transzformáció olyan változata, ahol a mintavett jelet csupa koszinuszokból rakjuk össze. Mint láttuk a koszinusz exponenciális alakjában csupa valós együttható (1/2) szerepel. A DCT együtthatói tehát csupán valós szám, cserében viszont kétszer annyi lesz belőle. A DCT fontos szerepet játszik a JPEG és MPEG formátumok tömörítési eljárásában. Az FFT története. A gyors Fourier–transzformációt többször elfeledték, és többször felfedezték. Fontosságra igazán a gyors számítógépek megjelenésével tett szert. 1805 körül Gauss már felfedezte, később a fehérvári születésű Lánczos Kornél fedezte fel 1940-ben egy munkatársával. Végül James Cooley és John Tukey fedezte fel 1965-ben az IBM munkatársaiként. Korábban mindketten Neumann munkatársai voltak a IAS számítógép megépítésében. Tukey-től származik a bit kifejezés.
4.
A jelek csoportosítása
Analóg/digitális jel. Digitális jel, amelynek az értékkészlete és az értelmezési tartománya is diszkrét értékekből áll. Általában az értékkészlete véges számú értéket vesz fel. Gyakorlatban az értelmezési tartományra kirótt feltétel azt jelenti, hogy adott időpillanatokban érdekel minket, hogy a diszkrét értékek közül melyik értéket veszi fel, a többi időpontban érdektelen az értéke. Analóg jel, amelynek mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete folytonos. Tehát minden időpillanatban fontos a jel értéke, és az érték a szélsőértékek között minden értéket felvesz. Találkozunk olyan jellel is, amely csak időben diszkrét, ez szigorúan véve egyik csoportba sem sorolható be. Ilyen lesz a jelek mintavételezésekor kapott impulzusamplitudó moduláció (PAM). A másik köztes állapottal – amikor az értékkészlet diszkrét, és a jel időben folytonos – mi nem fogunk találkozni az órán. Periodicitás. Periodikus jel: amelynél van olyan T periódusidő, melyre f (t + T ) = f (t) Csak a periódikus jelek írhatóak fel Fourier–sor összegeként. Az alábbi alakban felírható jeleket hívják harmónikus jeleknek : f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ) Itt ω a körfrekvencia, ϕ0 a kezdő fázisszög (kezdőfázis), A a jel amplitudója. A képletben a koszinusz helyett szinuszt is írhattunk volna, akkor csupán a kezdőfázis értékét kell máshogy megválasztani. Nyilván a harmónikus jelek periódikus jelek, periódusidejük 2π/ω. 22
Kváziperiodikus jel: Ezek a Fourier–sorhoz hasonló összegként írhatóak fel, de az összetevők körfrekvenciák aránya √ nem minden esetben racionális szám. Pl sin(5t) + sin( 2t). Ebben az esetben nincs olyan alap(kör)frekvencia, amelynek mindegyiké egész számú többszöröse lenne. Racionális arányok esetén mindig van ilyen alapfrekvencia. Egyéb tulajdonságok. Sávhatárolt jel: amelyhez tartozik egy fmax frekvenciahatár, amelynél nagyobb frekvenciát nem tartalmaz. Véges idejű jel: amelynél van olyan t1 és t2 időpont, melyeken kívül a jel értéke nincs értelmezve vagy nulla. Nyilván periódikus jel nem lehet véges idejű, csak akkor, ha állandóan nulla. A véges idejű jeleknek – ezt kivéve – nincs Fourier–sora. Tehát gyakorlatban nem is tudunk olyan jelet létrehozni, amely tökéletesen periódikus lenne.
23
