Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Belépő jelek
Jelek deriváltja
MEMO_03
1
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
8.ábra.
MEMO_03
2
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
9.ábra.
MEMO_03
3
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Ha a jelet méréssel kapjuk, akkor a jel következő értéke még ismeretlen számunkra, így annak deriváltja csak a jel előző pillanatban vett értékéből számítható.
Szigorúan nézve a diszkrét jelek esetében nem beszélhetünk deriváltról, hiszen a differencálhatóság feltétele(folytonosság) nincs kielégítve. Ha figyelembe vesszük az első derivált jelentését, miszerint az a függvény meredekségét takarja, akkor könnyen belátható, hogy diszkrét esetben a meredekség közelíthető az első rendű különbségekkel. Visszatekintő differenciál
Előretekintő differenciál
MEMO_03
4
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Előretekintő első rendű különbség: ∆x f = x[n + 1] − x[n] Visszatekintő első rendű különbség: A gyakorlatban a visszatekintő különbséget használjuk. Jelek integrálja
Általános definíció folytonosidejű jelek esetén: Amennyiben
ideig elmondható, hogy
akkor
Fizikai rendszerekből nyert jelek esetén mindig található egy időpont mielőtt a jel értéke nullának vehető. Diszkrét jelet leíró függvény alatti területről nem beszélhetünk. Mégis létezik az integrálnak megfelelő operátor a diszkrét jelek esetében is. Az integrál ugyanis a differenciál inverzeként tekinthető diszkrét esetben is. Így:
Amennyiben feltételezzük, hogy mintáig a jel értéke nulla, akkor az előretekintő és visszatekintő deriváltnak megfelelő integrálok a következők:
Tehát diszkrét esetben az integrál megfelelője a gyűjtő összeg. Véges tulajdonságú jelek:
MEMO_03
5
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Teljesítmény 1 ellenálláson: A teljes disszipált energia egy időintervallumon:
Az egy időintervallum alatt átlagosan disszipált energia:
Az ellenálláson tapasztalhatók analógiájára felírhatjuk a fenti összefüggéseket egy adott jelre is. Tegyük fel, hogy a jel 1 ohm ellenálláson keresztül folyó áram vagy a rajta ható feszültség, akkor: A teljes disszipált energia egy időintervallumon: Az egy időintervallum alatt átlagosan disszipált energia: átlagteljesítmény. Az aperiodikus FI jel esetében fontos jellemző annak teljes energiája:
, vagyis az
Az aperiodikus FI jel fontos jellemzője a teljes átlagteljesítmény: Diszkrét esetben egy intervallum feletti teljes energia és az átlagteljesítmény a következőképp alakul:
MEMO_03
6
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
ahol
egy intervallumon
található pontok száma. Amennyiben
, akkor
és
. Periodikus jel esetén legtöbbször csak az átlagteljesítményt vizsgáljuk:
Azon jeleket, melyeknek véges az energiája véges energiájú jeleknek nevezzük. A folytonos és a diszkrét jelekre is érvényes, hogy az véges energiájú, amennyiben
Azon jeleket, melyeknek véges a teljesítménye véges teljesítményű jeleknek nevezzük. Fontos megjegyezni, hogy a valós jelek sohasem tartanak végtelen ideig, ezért azoknak sose nincs végtelen energiája. Más szóval minden valós jel valamikor, nem végtelen távol keletkezik és véges idő múlva megszűnik. A vizsgáló jelek (pl. sin) némelyike csak a matematikai közelítésnek köszönhetik végtelen energiájukat, amit a fizikai megvalósítás oldaláról is tárgyalni kell. A jelek elemzése céljából alkalmazzuk a matematikai modelleket, módszereket, melyek gyakran ideális jeleket használnak fel. A véges idejű jelek nulla értékűek egy intervallumon kívül. Ablakozott jelek
MEMO_03
7
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
A konvolúció A konvolúció két jel felett értelmezett művelet, melynek eredménye egy harmadik jel. A konvolúció a jelfeldolgozás és a rendszertechnika területének nagyon fontos művelete. Folytonosidejű esetben:
A konvolúció négy lépésre bontható: - reflexió, -
függvény képzése, eltolása a t-vel,
- az eltolt függvény szorzata -val, - a szorzatfüggvény alatt levő terület a konvolúciófüggvény értéke t- időben. A konvolúció kommutatív. Egyszerű helyettesítéssel :
példa:
MEMO_03
8
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Grafikus megoldás:
A konvolúció grafikus ábrázolása Analitikus megoldás:
MEMO_03
9
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Diszkrétidejű jelek esetén:
Amit konvolúciós összegnek is nevezünk. Itt is érvényes a kommutativitás:
Polinomszorzás:
MEMO_03
10
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
Tehát amennyiben a polinomok egyes helyértékeken található együtthatóit egy diszkrét jel értékeinek tekintjük, akkor a polinomok szorzása valójában azok konvolúciója. A konvolúció tulajdonságai
• Periodikusság Periodikus jel konvolúciója is periodikus ugyanazzal a periódusidővel. Bizonyítás:
• Reflexió Bizonyítás:
MEMO_03
11
Jelek és rendszerek MEMO_03
Pletl
• Időbeni eltolás Bizonyítás:
• Konvolúció Dirac-impulzussal
Vagyis
• Kommutativitás, asszociativitás és disztributivitás
MEMO_03
12
