Jelek ´es rendszerek - 1.el˝oad´as Bevezet´ es, alapfogalmak
M´ern¨ok informatika BSc P´ecsi Tudom´ anyegyetem, Pollack Mih´ aly M˝ uszaki Kar M˝ uszaki Informatika ´es Villamos Int´ezet M˝ uszaki Informatika Tansz´ek
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
1 / 58
V´ azlat
I.r´ esz: Bevezet´ es
Bevezet´es
1
Bevezet´es
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
2 / 58
V´ azlat
II.r´ esz: Jelek, rendszerek, h´ al´ ozatok alapfogalmai
Alapfogalmak
2
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
3
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
4
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
3 / 58
V´ azlat
II.r´ esz: Jelek, rendszerek, h´ al´ ozatok alapfogalmai
Alapfogalmak
2
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
3
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
4
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
3 / 58
V´ azlat
II.r´ esz: Jelek, rendszerek, h´ al´ ozatok alapfogalmai
Alapfogalmak
2
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
3
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
4
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
3 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
2
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
3
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
4
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
4 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek ´es fizikai mennyis´egek Valamely val´ os´agos folyamat m´erhet˝o mennyis´egeir˝ol m´er˝oeszk¨oz¨ok seg´ıts´eg´evel szerezhet¨ unk inform´aci´ot. Defin´ıci´ o (Fizikai mennyis´eg) K¨ul¨onb¨ oz˝ o folyamatok m´erhet˝o mennyis´egeir˝ol valamilyen m´er˝oeszk¨oz seg´ıts´eg´ev´el m´ert mennyis´eget fizikai mennyis´egnek nevezz¨uk. P´elda h˝om´ers´eklet a t´er egy adott pontj´an, egy testre hat´o er˝o, fesz¨ults´eg egy er˝os´ıt˝o kimenet´en, folyad´ekszint egy tart´alyban, stb. A fizikai mennyis´egek matematikai le´ır´as´at v´altoz´ok bevezet´es´evel v´egezz¨uk, melyek ´ert´eke valamely m´ert´ekegys´egben (pl. SI) megadott sz´am´ert´ek. P´elda T = 26.2 ◦ C, F = 90 N, u = 0.8 V, l = 1.43 m.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
5 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
A jel fogalma ´es matematikai le´ır´asa
Defin´ıci´ o (Jel) A jel valamely fizikai mennyis´eg olyan ´ert´eke vagy ´ert´ekv´altoz´asa, amely egy egy´ertelm˝uen hozz´arendelt inform´aci´ot hordoz. Jelek matematikai le´ır´as´ara f¨uggv´enyeket haszn´alunk. A f¨uggv´enyek egy f¨uggetlen v´altoz´o ´es egy f¨ugg˝o v´altoz´o k¨ oz¨ott defini´alnak kapcsolatot. (Egy v´altoz´os skal´ar f¨uggv´enyek) f : R → R,
y = x → f(x),
y = f(x)
A f¨uggetlen v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekeinek halmaza alkotja a f¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at (Df ), a f¨ugg˝o v´altoz´o ´ert´ekeinek halmaza pedig a f¨uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´et (Rf ).
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
6 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
A jelek alapt´ıpusai, az ´ert´ekk´eszlet ´es az ´ertelmez´esi tartom´any szerkezete alapj´an. 1
2
3
4
Ha a jel az id˝o argumentum minden val´os ´ert´ek´ere ´ertelmezett, akkor folytonos idej˝u jelr˝ol besz´el¨unk. Ezen csoportban legismertebb az anal´og jel (folytonos ´ert´ek˝u jel),amelyn´el a jel ´ert´eke is folytonos, Ha egy anal´og jelb˝ol adott (´altal´aban egyenletes oszt´as´u) id˝opillanatokban mint´akat vesz¨unk, akkor az id˝oben diszkr´et, ´ert´ekk´eszlet´eben pedig folytonos jelet kapunk, ami voltak´eppen egy sz´amsorozat. Ezt diszkr´et idej˝u jelnek nevezz¨uk, Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos ´ert´ekeket vehetnek fel egy megsz´aml´alhat´o sz´amhalmaz elemeib˝ol (l´epcs˝os, m´asn´even kvant´alt jelalak, vagy diszkr´et ´ert´ek˝u jel). Az ilyen jel az id˝oben folytonos, de ´ert´ekk´eszlet´eben diszkr´et, V´eg¨ ul a sz´am´ıt´astechnika szinte minden m˝uszaki ter¨ uleten jelen l´ev˝o alkalmaz´asa miatt nagy jelent˝os´ege van a mind id˝oben, mind ´ert´ekk´eszlet´eben diszkr´et jelnek, amelyet digit´alis jelnek nevez¨unk.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
7 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
1
1
0.5
0.5
x2[k]
x1(t)
A k¨ul¨onb¨oz˝o jelt´ıpusok
0
−0.5
−1 −1
−0.5
0
1
2 t
3
4
−1 0
5
1
1
0.5
0.5
20
30
40
50
30
40
50
x4[k]
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2 −1
10
k
0 x3(t)
0
−2 0
1
2 t
3
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
4
5
0
10
20 k
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
8 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Folytonos jelek ´es megad´asuk Egy x jel akkor folytonos idej˝u, ha a jel az id˝o minden val´os ´ert´ek´ere ´ertelmezett x = x(t),
t ∈ R,
ahol t az id˝ ov´altoz´o jele.
−∞ < t < ∞,
Megad´ asuk:
K´eplettel (matematikai formul´aval) (pl. x(t) = 3 cos(t − π/2)) Grafikusan (´abr´azol´assal) Differenci´al-egyenlettel ´ ekek felsorol´as´aval (´ert´ekt´abl´azattal) Ert´ Figyelem!
A grafikus ´es ´ert´ekt´abl´azatos megad´assal csak v´eges hossz´ u jel adhat´o meg korl´atozott pontoss´aggal. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
9 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as k´eplettel(formul´aval) ´es grafikusan 2 1.5 1
x1(t)
0.5 0 −0.5
x1 (t) =
−1
0 2 cos(3t) sin(5t)
−1.5 −2 −1
0
1
2 t
3
4
5
0
1
2 t
3
4
5
25
−t t2
ha t < 2 ha t ≥ 2
20 15 x2(t)
x2 (t) =
ha t < 0 ha t ≥ 0
10 5 0 −5 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
10 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as k´eplettel ´es grafikusan 2 1 0
x3(t)
−1 −2 −3 −4 −5
x3 (t) = 2 cos(3t − π/2) − t
−6 −1
0
1
2 t
3
4
5
0
1
2 t
3
4
5
1.4
x4 (t) = 1 − 0.3e−0.5t sin(3t)
1.3
x4(t)
1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
11 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as differenci´alegyenlettel
Egy folytonos idej˝u jel megadhat´o egy n-ed rend˝u differenci´alegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t id˝opontban (c´elszer˝uen a t = 0-ban) meg kell adnunk n sz´am´u kezdeti ´ert´eket is.
A megadott jel ekkor a differenci´alegyenlet megold´asak´ent kapott f¨uggv´eny. Pl. dy = f(y, t), dt
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
y(0) = y0
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
→ y(t)
12 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as differenci´alegyenlettel A megadott egyenlet dy = −2y, dt
(1)
dy = −2y dt −−→
y(0) = 5
dy (2) = −2 dt −−→ y
(4)
Z
Z 1 (3) dy = −2 1 dt −−→ y (5)
1
ln y + C1 = −2(t + C2 ) −−→ y = e−2t−C = e−2t e−C −−→ y(t) = Me−2t
2
form´ alisan integr´ aljuk az egyenlet mindk´et oldal´ at.
3
felhaszn´ aljuk az 1/y ´es az 1 integranduszok primit´ıv f¨ uggv´eny´et, az ln y + C1 ´es a t + C2 f¨ uggv´enyeket, ´es
4
rendezz¨ uk az egyenletet y-ra u ´gy, hogy a C1 ´es C2 konstanokat ¨ osszevonjuk egyetlen C konstanss´ a (C = C1 + 2C2 ).
5
helyettes´ıts¨ uk az e−C konstanst M-el.
vigy¨ uk ´ at az y v´ altoz´ ot a bal, a t v´ altoz´ ot pedig a jobb oldalra (v´ altoz´ ok szepar´ al´ asa)
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
13 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as differenci´alegyenlettel (folyt.)
25
−2t
Ez´altal az y = Me ´altal´anos megold´ast kapjuk, ahol az M konstans ´ert´ek´et a t = 0 id˝opillanatban adott ´ert´ek seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg: y(0) = Me0 = 5 ⇒ M = 5.
20
15 y(t)
10
´Igy a differenci´alegyenletet ´es a kezdeti felt´etelt is kil´eg´ıt˝o id˝of¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o (k´ek g¨orbe): y(t) = 5e−2t
5
–0.5
0
0.5
1
1.5
t –5
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
14 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Diszkr´et jelek ´es megad´asuk Egy f[k] jel akkor diszkr´et idej˝u, ha f¨uggetlen v´altoz´oja k csak eg´esz ´ert´ekeket vehet fel y = f[k],
k ∈ Z,
k ∈ [−∞, . . . , −1, 0, 1, 2, . . . , ∞],
ahol k a diszkr´et id˝o, azaz a kTs mintav´eteli id˝opillanat indexe. Megad´asuk: K´eplettel (matematikai formul´aval) (pl. y[k] = 3 cos(k − π/2)) Rekurz´ıv formul´aval (pl. y[k] = 0.8y[k − 1] + 0.2y[k − 2]) Grafikusan (´abr´azol´assal) ´ ekek felsorol´as´aval (´ert´ekt´abl´azattal) Ert´ M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
15 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as rekurz´ıv formul´aval A jel k-adik ¨utembeli ´ert´eke sok esetben rekurz´ıv ´uton sz´amolhat´o az azt megel˝ oz˝ o ´ert´ekek seg´ıts´eg´evel, pl.: y[k] = 0.5y[k − 1] + 0.1y[k − 2],
y[−1] = 2, y[−2] = 0.
A k = 0, 1, 2, . . . ¨utemekre az y[k] ´ert´eke l´ep´esenk´ent sz´amolhat´o, melyhez azonban ismerni kell a kezdeti felt´eteleket is (most y[−1] = 2 ´es y[−2] = 0). A rekurzi´o teh´at a k¨ovetkez˝o: y[0] = 0.5y[−1] + 0.1y[−2] = 0.5 · 2 + 0.1 · 0 = 1 y[1] = 0.5y[0] + 0.1y[−1] = 0.5 · 1 + 0.1 · 2 = 0.7 y[2] = 0.5y[1] + 0.1y[0] = 0.5 · 0.7 + 0.1 · 1 = 0.45 y[3] = · · · = 0.295 ´es ´ıgy tov´abb. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
16 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Bel´ep˝o ´es nem bel´ep˝o jelek Egy folytonos idej˝u y(t) jel bel´ep˝o, ha ´ert´eke t negat´ıv ´ert´ekeire azonosan nulla. y(t) ≡ 0,
ha t < 0
Egy diszkr´et idej˝u y[k] jel bel´ep˝o, ha ´ert´eke k negat´ıv ´ert´ekeire azonosan nulla. y[k] ≡ 0,
ha k < 0
´ anosabban egy folytonos (diszkr´et) idej˝u jel bel´ep˝o a t0 (k0 ) id˝opillanatban, Altal´ ha t < t0 (k < k0 ) eset´en azonosan nulla. y(t) ≡ 0, M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
ha t < t0 ,
y[k] ≡ 0,
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
ha k < k0 17 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
P´aros ´es p´aratlan jelek Egy x(t) ill. x[k] jel p´aros, ha igaz a jelre hogy x(−t) = x(t),
x[−k] = x[k],
azaz a jel szimmetrikus az ordin´at´ara (f¨ugg˝oleges tengely). Pl. y(t) = cos(t),
y(t) = 1,
y(t) = |t|
Egy x(t) ill. x[k] jel p´aratlan, ha x(−t) = −x(t),
x[−k] = −x[k].
azaz a jel szimmetrikus az orig´ora. Pl. y(t) = sin(t),
y(t) = sgn(t),
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
y(t) = t Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
18 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Korl´atos jelek
Egy y(t) (y[k]) jel korl´atos, ha l´etezik olyan v´eges K ´ert´ek amelyre igaz, hogy |y(t)| < K,
|y[k]| < K.
Pl. pl. az y(t) = A sin(ωt) korl´atos mert az ´ert´eke abszol´ut ´ert´ekben legfeljebb A. Az y(t) = t vagy az y[k] = e3k nem korl´atos, mert nem l´etezik olyan v´eges K amelyre igaz a fenti felt´etel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
19 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Periodikus ´es aperiodikus jelek
Az y(t) folytonos idej˝u jel T peri´odusid˝ovel periodikus, ha y(t + T ) = y(t) igaz t minden ´ert´ek´ere.
Hasonl´ oan az y[k] diszkr´et idej˝u jel K peri´odusid˝ovel periodikus, ha y[k + K] = y[k] igaz k minden ´ert´ek´ere. Pl. Periodikus jelek pl. a harmonikus f¨uggv´enyek (sin, cos), aperiodikus pl. az y(t) = et vagy az y[k] = k−2 jel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
20 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Determinisztikus ´es sztochasztikus jelek
Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha ´ert´ek´et minden t id˝opillanatra el˝ore ismerj¨ uk. Pl. Determinisztikus pl. y(t) = t vagy y[k] = sin[k].
Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha id˝of¨ugg´es´et nem ismerj¨uk el˝ ore, de meg tudjuk hat´arozni bizonyos statisztikai jellemz˝oit. A sztochasztikus jelek v´eletlen folyamatok eredm´enyei. Pl. Tipikus sztochasztikus jelek a k¨ul¨onb¨oz˝o zajok. Melyek id˝of¨uggv´eny form´aj´aban nem adhat´ok meg, de statisztikai tulajdons´agaik ismertek. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
21 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Jelek ´atlaga ´es sz´or´asa
Egy y(t) (y[k]) jel ´atlag´ert´eke a [0, T ] ([0, K]) intervallumon 1 µ= T
ZT 0
y(t)dt,
µ=
K 1 X y[k]. K+1 k=0
Egy y(t) (y[k]) jel sz´or´asa a [0, T ] ([0, K]) intervallumon v s u Z K u1 X 1 T 2 σ= (y(t) − µ) dt, σ=t (y[k] − µ)2 . T 0 K k=0
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
22 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Jelek ´atlaga ´es sz´or´asa
K´et k¨ul¨onb¨ oz˝o sztochasztikus jel ´atlaga ´es sz´or´asa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
23 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Jelek ´atlaga ´es sz´or´asa K¨ul¨onb¨ oz˝ o jelek ´atlaga ´es sz´or´asa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
24 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Tov´abbi gyakori jelt´ıpusok Korl´ atos tart´ oj´ u jelek: A jel egy korl´atos intervallumon k´ıv¨ul azonosan 0. Abszol´ ut integr´ alhat´ o jelek: Z∞ |x(t)| dt < ∞ −∞
Abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o jelek:
∞ X
k=−∞
N´ egyzetesen integr´ alhat´ o jelek Z∞ −∞
|x[k]| < ∞
|x(t)|2 dt < ∞
N´ egyzetesen ¨ osszegezhet˝ o jelek ∞ X
k=−∞ M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
|x[k]|2 < ∞
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
25 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
N´eh´any fontosabb FI ´es DI jel
FI egys´egugr´as, FI egys´egimpulzus, DI egys´egugr´as, DI egys´egimpulzus,
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
26 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A FI egys´egugr´asjel ε(t) (Heaviside fv., 1(t) ) A vizsg´alt folyamatokat le´ır´o jelek egy adott id˝opillanatban kezd˝odnek, ami c´elszer˝ uen v´alaszthat´o null´anak. Az egys´egugr´asjel hasznos lesz ilyen jelek le´ır´as´ara 1.2 1
Defin´ıci´ o (Egys´egugr´as)
ε(t) =
0.6 ε(t)
0.8
0, 1,
ha t < 0, ha t > 0.
0.4 0.2 0 −0.2 −1
0
1
2 t
3
4
5
A szakaszonk´ent folytonos egys´egugr´asjelnek a t = 0 id˝opillanatban szakad´asa van. Itt bal oldali hat´ar´ert´eke (a t = −0 id˝opillanatban) 0, jobb oldali hat´ar´ert´eke (a t = +0 id˝ opillanatban) pedig 1. lim ε(t) = 0,
t→ −0
lim ε(t) = 1.
t→ +0
Az ε(t) a t = 0 id˝opillanatban nem defini´alt. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
27 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Eltolt egys´egugr´as Sz¨uks´eg¨ unk lehet egy tetsz˝oleges τ id˝ovel eltolt egys´egugr´asjelre, amely a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg 1.2 1
Defin´ıci´ o (Eltolt egys´egugr´as)
ε(t − τ) =
0, ha t < τ, 1, ha t > τ.
ε(t−τ)
0.8 0.6 0.4 0.2
τ
0 −0.2 −1
0
1
2 t
3
4
5
Az egys´egugr´asjelet ´es eltolj´at korl´atos tart´oj´u jelek matematikai formul´aval t¨ort´en˝ o megad´as´ara alkalmazzuk 1
Defin´ıci´ o (N´egysz¨og-ablak)
ε(t)
ε(t)−ε(t−τ)
0.5
wR(τ1 ,τ2 ) (t) = ε(t − τ1 ) − ε(t − τ2 )
τ 0
−0.5 −ε(t−τ) −1 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
0
1
2 t
3
4
5
28 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Ablakol´as az egys´egugr´asjel seg´ıts´eg´evel Egy x(t) jel adott intervallum´at szeretn´enk kiv´alasztani Az egys´egugr´asjel seg´ıts´eg´evel, a vizsg´alt jel egy adott r´esz´et kitakarjuk egy n´egysz¨ogletes ablakkal, amit k´et eltolt egys´egugr´asjel k¨ul¨onbs´egek´ent ´all´ıthatunk el˝o Az eredeti jel 0.8 0.7
cos(2t)
0.6 y(t)
x(t) = 0.5 + 0.3e
−0.2t
Az ablakolt jel
0.5 0.4 0.3
y(t) = [ε(t − τ1 ) − ε(t − τ2 )]x(t),
0.2 0.1
ahol τ1 = −0.5 ´es τ2 = 2.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
0 −1
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
0
1
2 t
3
4
5
29 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A FI Dirac-impulzus δ(t) (egys´egimpulzus) Szeml´eletesen δ(t, τ) → δ(t)
Defin´ıci´ o (Egys´egnyi intenzit´as´u impulzus) δ(t, τ) =
ε(t) − ε(t − τ) τ
δ(t) = lim
τ→ 0
ε(t) − ε(t − τ) . τ
2.5
Z∞
2
δ(t,τ) → δ(t)
Ennek sz´eless´ege teh´at τ , magass´aga pedig 1/τ, ´ıgy intenzit´asa (ter¨ulete) egys´egnyi
1.5 1 0.5
δ(t, τ) dt = 1.
τ
0
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
1/τ
−1
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
0
1
2 t
3
4
5
30 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A Dirac-δ fontosabb tulajdons´agai jel¨ ol´ese egy f¨ugg˝oleges ny´ıl, a Dirac-δ p´aros f¨uggv´eny. A Dirac-δ teh´at olyan jel, melynek ´ert´eke minden t helyen 0, kiv´eve a t = 0 helyet, ahol v´egtelen nagy, ´es intenzit´asa (ter¨ulete) egys´egnyi. Z∞
δ(t) dt =
−∞
Z +0
δ(t) dt = 1.
−0
A fenti egyenl˝os´eg igaz az eltolt Dirac-impulzusra is Z∞
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
δ(t − τ) dt =
Z τ+0
δ(t − τ) dt = 1.
τ−0
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
31 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A Dirac-δ defin´ıci´oja Defin´ıci´ o (Dirac-δ) Ha f(t) folytonos a τ helyen, akkor Z∞ f(t)δ(t − τ) dt = f(τ), −∞
mert, ha az f(t) id˝of¨uggv´enyt beszorozzuk a δ(t − τ) Dirac-impulzussal, akkor egy olyan f¨ uggv´enyt kapunk, amelynek ´ert´eke minden¨utt nulla, kiv´eve a t = τ helyet, ahol viszont ´ert´eke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagys´aga ar´anyos a konstans f(τ) ´ert´ekkel, azaz Z∞
f(t)δ(t − τ) dt = f(τ)
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Z τ+0
δ(t − τ) dt = f(τ).
τ−0
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
32 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt Ha az x = x(t) jel differenci´alhat´o, akkor x′ (t) ≡
dx x(t + ∆t) − x(t) = lim dt ∆t→ 0 ∆t
az x(t) jel deriv´alt jele, ha l´etezik a fenti hat´ar´ert´ek. El˝ofordul, hogy egy folytonos idej˝u jel szakaszonk´ent differenci´alhat´o, viszont az egyes szakaszok k¨oz¨otti ´atmenetn´el a jelnek v´eges szakad´asa (ugr´asa) van. Ennek kezel´es´ere vezetj¨uk be az ´altal´anos´ıtott deriv´alt fogalm´at ´ anos´ıtott deriv´alt) Defin´ıci´ o (Altal´ egy x(t) jel ´altal´anos´ıtott deriv´altja az az x′ (t) jel, melynek seg´ıts´eg´evel az x(t) jel az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o Zt x′ (τ) dτ + x(t0 ). x(t) = t0
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
33 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az egys´egugr´as ´es a Dirac-δ kapcsolata
′
Innen az x (t) deriv´alt jel egy olyan n´egysz¨ ogimpulzus, amelynek ´ert´eke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ, azaz
1.2 1 0.8 0.6 x(t)
Pl.1 K¨ozel´ıts¨uk az ε(t) f¨uggv´enyt az al´abbi f¨uggv´ennyel ha t < 0 0 x(t) = t/τ ha 0 < t < τ 1 ha t > τ
0.4 0.2 0 −0.2 −1
0
1 t
2
3
x′ (t) = δ(t, τ). Ha τ → 0, akkor x(t) → ε(t) ´es x′ (t) → δ(t). M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
34 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az egys´egugr´as ´es a Dirac-δ kapcsolata (folyt.) Pl.1 (folyt) A defin´ıci´ os ¨ osszef¨ugg´es szerint teh´at (figyelembe v´eve, hogy ε(−∞) = 0) Zt ε(t) = δ(τ) dτ −∞
hiszen Zt
−∞
δ(τ) dτ =
0 1
ha t < 0 ≡ ε(t), ha t > 0
teh´at ε(t)′ = δ(t),
Azaz a Dirac-δ az ε(t) egys´egugr´asjel ´altal´anos´ıtott deriv´altja. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
35 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 Adott egy x(t) jel, amelyet szakaszonk´ent az x1 (t) illetve az x2 (t) folytonos jel ´ır le, melyek tal´alkoz´as´an´al (a t1 helyen) x(t)-nek K ´ert´ek˝u v´eges szakad´asa van x1 (t) ha t < t1 x1 (t) = 3e−2t ha t < 2 = x(t) = −2(t−2) x2 (t) ha t ≥ t1 x2 (t) = 5e ha t ≥ 2 A jel ´altal´anos´ıtott deriv´altja ′ ′ −2t ha t < t1 x1 (t) x1 (t) = −6e ′ x (t) = Kδ(t − t1 ) ha t = t1 = 4.95δ(t − 2) ′ ′ x2 (t) ha t > t1 x2 (t) = −10e−2(t−2)
ha t < 2 ha t = 2 ha t > 2
mivel K = x2 (t1 ) − x1 (t1 ) = 5 − 3e−4 = 4.95.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
36 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 (folyt) 5 5 4 x′(t)
0
x(t)
3
−5
2 1 0 0
x(t) =
−10 0 0.5
1
1.5 t
2
−2t
x1 (t) = 3e x2 (t) = 5e−2(t−2)
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
2.5
0.5
3
ha t < 2 ha t ≥ 2
1
1.5 t
2
2.5
′ −2t x1 (t) = −6e ′ x (t) = 4.95δ(t − 2) ′ x2 (t) = −10e−2(t−2)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
3
ha t < 2 ha t = 2 ha t > 2
37 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 alternat´ıv megold´asi m´odszer ´Irjuk fel az x(t) f¨uggv´enyt ablakozott jelek seg´ıts´eg´evel z´art alakban x(t) = xa (t) + xb (t) = [1 − ε(t − t1 )]x1 (t) + ε(t − t1 )x2 (t), majd v´egezz¨ uk el a deriv´al´ast (szorzatf¨uggv´enyek ¨osszeg´enek deriv´altja) x′a (t) = [1 − ε(t − t1 )]′ x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) = −δ(t − t1 )x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t),
x′b (t) = ε′ (t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t) = δ(t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t),
x′ (t) = x′a (t) + x′b (t) = −δ(t − t1 )x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) + δ(t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t), M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
38 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 alternat´ıv megold´asi m´odszer (folyt.) A deriv´alt jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekr˝ol azonban tudjuk, hogy csak a t = t1 id˝opillanatban vesznek fel ´ert´eket, minden m´as id˝opillanatban az ´ert´ek¨uk nulla, (tov´abb´a δ(t − t1 )x1 (t) = δ(t − t1 )x1 (t1 )) x′ (t) = −δ(t − t1 )x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) + δ(t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t) = [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) + δ(t − t1 )(x2 (t1 ) − x1 (t1 )) + ε(t − t1 )x′2 (t) ahonnan a sz´am´ert´ekek behelyettes´ıt´es´evel
x′ (t) = −6[1 − ε(t − 2)]e−2t + 4.95δ(t − 2) − 10ε(t − 2)e−2(t−2) , ami azonos az el˝oz˝oekben kapott eredm´ennyel. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
39 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A DI egys´egugr´as ε[k] ´es egys´egimpulzus δ[k] Defin´ıci´o (Egys´egugr´as)
ε[k] =
0 1
Eltolt egys´egugr´as
ha k < 0, ha k ≥ 0,
ε[k − i] =
azaz az egys´egugr´ as ´ert´eke a k < 0 u ¨temekre 0, nemnegat´ıv eg´eszekre pedig 1.
ha k < 0, ha k = 0, ha k > 0,
azaz az egys´egimpulzus ´ert´eke a k = 0 helyen 1, b´ armely m´ as helyen ´ert´eke nulla. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
0 ha k < i, 1 ha k ≥ i,
Eltolt egys´egimpulzus
Defin´ıci´o (Egys´egimpulzus) 0 δ[k] = 1 0
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
0 ha k < i, δ[k − i] = 1 ha k = i, 0 ha k > i,
40 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
DI jelek megad´asa eltolt egys´egimpulzusokkal Pl. x[k] =
0 4 · 0.5k
ha k < 0, = 4δ[k] + 2δ[k − 1] + δ[k − 2] + . . . ha k ≥ 0,
Tetsz˝oleges x[k] jel megad´asa x[k] =
∞ X
x[i]δ[k − i],
i=−∞
teh´at az x[k] jelet eltolt egys´egimpulzusok s´ulyozott ¨osszegek´ent, m´as n´even szuperpoz´ıci´ ojak´ent ´ırhatjuk fel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
41 / 58
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az egys´egugr´as ´es az egys´egimpulzus kapcsolata Az egys´egugr´asjel kifejezhet˝ o egys´egimpulzusokkal ε[k] =
∞ X
δ[k − i] = δ[k] + δ[k − 1] + δ[k − 2] + . . . ,
i=0
Az egys´egimpulzus pedig megadhat´o az egys´egugr´assal δ[k] = ε[k] − ε[k − 1], melynek ´altal´anos´ıt´as´aval juthatunk el a folytonos idej˝u ablakhoz hasonl´o diszkr´et idej˝u ablakhoz.
0 x[k] = 1.1k 0
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
ha k < 0, ha 0 ≤ k < 4 ha k ≥ 4,
→
x[k] = {ε[k] − ε[k − 4]}1.1k
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
42 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
2
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
3
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
4
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
43 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
A rendszer fogalma Defin´ıci´ o (Rendszer) A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek seg´ıts´eg´evel modellezhetj¨ uk, matematikailag le´ırhatjuk annak m˝uk¨ od´es´et.
Rendszer lehet pl. egy szab´alyozand´o berendez´es, egy bonyolult ipari robot, de rendszer lehet egy rug´ora akasztott test ´es a rug´o egy¨uttesen. A rendszer l´enyege, hogy matematikai form´aba ¨onts¨uk azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimul´aci´oj´at el szeretn´enk v´egezni annak ´erdek´eben, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdons´agair´ol, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hat´as ´eri. Ezek a k¨uls˝o hat´asok a rendszer bemenetei, m´asn´even gerjeszt´esek, s a rendszer ezen gerjeszt´esekre v´alaszokkal reag´al, melyek a rendszer kimenetei. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
44 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
SISO, MIMO rendszerek
SISO ´es MIMO rendszerek A rendszer a bemeneteket kimenetekk´e transzform´alja, azaz adott gerjeszt´esekhez adott v´alaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik ´es kimeneteik sz´ama alapj´an k´et f˝o csoportba sorolhatjuk
1
SISO-rendszerek (Single Input Single Output), melyek egy gerjeszt´eshez egy v´alaszt rendelnek y(t) = W{s(t)},
2
vagy
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
vagy
9
y[k] = W{s[k]},
MIMO-rendszerek (Multiple Input Multiple Output), melyek t¨obb gerjeszt´eshez t¨obb v´alaszt rendelnek y(t) = W{s(t)},
y[k] = W{s[k]},
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
O 9 I
45 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
SISO, MIMO rendszerek
Tov´abbi oszt´alyoz´asi lehet˝os´egek
Att´ol f¨ ugg˝ oen, hogy a gerjeszt´es ´es a v´alasz folytonos idej˝u vagy diszkr´et idej˝u, egy rendszer lehet 1
Folytonos idej˝u gerjeszt´es˝u ´es folytonos idej˝u v´alasz´u, (FI rendszerek)
2 3
diszkr´et idej˝u gerjeszt´es˝u ´es diszkr´et idej˝u v´alasz´u, (DI rendszerek) diszkr´et idej˝u gerjeszt´es˝u ´es folytonos idej˝u v´alasz´u, (D/A ´atalak´ıt´ok)
4
folytonos idej˝u gerjeszt´es˝u ´es diszkr´et idej˝u v´alasz´u, (A/D ´atalak´ıt´ok)
F˝ ok´ent az 1 − 2 csoportba tartoz´o rendszerekkel foglalkozunk.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
46 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Line´aris rendszerek Egy rendszer line´aris, ha a G-V kapcsolatot jellemz˝o W oper´ator line´aris ,azaz homog´en ´es addit´ıv (´erv´enyes a szuperpoz´ıci´o elve). A y = W{s} jel¨ol´essel W{C1 s1 + C2 s2 } = C1 W{s1 } + C2 W{s2 } = C1 y1 + C2 y2 . Pl. Lin´aris elemek pl. ellen´all´as, kondenz´ator, tekercs, nemline´aris elemek pl. di´oda, tranzisztor.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
47 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Invari´ans rendszerek Egy rendszer akkor invari´ans, ha a gerjeszt´es id˝obeli eltol´asa azt eredm´enyezi, hogy a v´alaszban csak egy ugyanekkora id˝obeli eltol´od´as k¨ ovetkezik be. Ellenkez˝o esetben a rendszer vari´ans. Pl. Vari´ans rendszer pl. egy egyszer˝u ellen´all´as is, ha figyelembe vessz¨uk, hogy a rajta ´atfoly´ o ´aram ´altal l´etrehozott teljes´ıtm´eny meleg´ıti az ellen´all´ashuzalt, amelynek ennek hat´as´ara megn˝o az ellen´all´asa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
48 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Kauz´alis rendszerek Egy rendszer akkor kauz´alis, ha v´alasz´anak adott id˝opontbeli ´ert´eke nem f¨ugg a gerjeszt´es j¨ ov˝obeli ´ert´ek´et˝ol, azaz egy FI (DI) rendszer akkor kauz´alis, ha az y(t) (y[k]) v´alasz b´armely t1 (k1 ) id˝opontban az s(t) (s[k]) gerjeszt´es csak olyan ´ert´ekeit˝ol f¨ugg, melyekre t < t1 (k ≤ k1 ). Egy´ebk´ent a rendszer akauz´alis. Pl. Minden fizikai rendszer kauz´alis, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen id˝opillanatbeli ´allapota f¨uggene a j¨ov˝ot˝ol.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
49 / 58
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Stabil rendszerek Egy rendszer akkor gerjeszt´es-v´alasz stabilis, ha b´armely korl´atos gerjeszt´esre korl´atos v´alasszal reag´al. Ezt a stabilit´ast BIBO-stabilit´asnak is szok´as nevezni a ,,bounded input implies bounded output” angol elnevez´es r¨ ovid´ıt´es´eb˝ol. Fontos! Elk´epzelhet˝o, hogy a rendszer t¨obb korl´atos gerjeszt´esre korl´atos v´alaszt ad, de ha l´etezik ak´ar egyetlen olyan korl´atos gerjeszt´es, amelyre a rendszer nem korl´atos v´alasszal reag´al, akkor a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis, m´as sz´oval a rendszer labilis.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
50 / 58
H´ al´ ozatok
2
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
3
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
4
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
51 / 58
H´ al´ ozatok
A h´al´ozat fogalma A h´al´ ozat komponensek ¨osszekapcsol´as´ab´ol ´all. Minden komponensnek (h´al´ozati elemnek) egy vagy t¨obb bemenete ´es egy vagy t¨obb kimenete lehet (p´olusok). A bemenet(ek) ´es a kimenet(ek) k¨ozti kapcsolatot a komponens karakterisztik´aja adja meg, ami egy f¨uggv´enykapcsolat a komponens bemeneti v´altoz´oja (v´altoz´oi) ´es kimeneti v´altoz´oja (v´altoz´oi) k¨oz¨ott, pl. megadja a kimeneti v´altoz´ot a bemeneti v´altoz´o f¨uggv´eny´eben. A h´al´ ozat be- ´es kimenete A h´al´ ozat bemenet´ere a gerjeszt´est kapcsoljuk, kimenet´en pedig a v´alaszt v´arjuk. A h´al´ozat is rendelkezhet egy, vagy t¨obb bemenettel ´es egy, vagy t¨obb kimenettel, gerjeszt´ese ´es v´alasza lehet folytonos idej˝u vagy diszkr´et idej˝u. H´al´ozatok ´es rendszerek kapcsolata A h´al´ ozat akkor reprezent´al, m´assz´oval realiz´al egy rendszert, ha gerjeszt´es-v´alasz kapcsolataik megegyeznek. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
52 / 58
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei Az ´ altalunk vizsg´ alt h´ al´ ozatok un. jelfolyamh´ al´ ozatok, melyekben a k¨ ovetkez˝ o jellegzetes (elemi) komponensek fordulhatnak el˝ o: 1
Forr´ as, a h´ al´ ozat bemenet´et, gerjeszt´es´et reprezent´ alja
2
Nyel˝ o, a h´ al´ ozat kimenet´et, v´ alasz´ at reprezent´ alja ¨ Osszegz˝ ocsom´ opont, kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝ o jelek ¨ osszege jelenik meg
3 4
El´ agaz´ ocsom´ opont, A bemenet´ere ´erkez˝ o jel minden kimenet´en v´ altozatlanul halad tov´ abb
5
Er˝ os´ıt˝ o, olyan line´ aris komponens, amelynek karakterisztik´ aja y = Ks, ahol K egy id˝ ot˝ ol f¨ uggetlen konstans
6
K´esleltet˝ o, a bemenet´ere ´erkez˝ o diszkr´et idej˝ u jelet egy u ¨temmel k´eslelteti
7
Integr´ ator, kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝ o folytonos idej˝ u jel integr´ alja jelenik meg
8
Nemline´ aris er˝ os´ıt˝ o,karakterisztik´ aja nemline´ aris, bemenet ´es kimenete k¨ oz¨ ott az η = Φ(ξ) kapcsolat ´ all fenn
9
Szorz´ ocsom´ opont, kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝ o jelek szorzata jelenik meg
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
53 / 58
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei
Forr´as A forr´as a h´al´ozat bemenet´et, gerjeszt´es´et reprezent´alja, egyetlen kimeneti v´altoz´oja az s = s(t) folytonos idej˝u jel, vagy az s = s[k] diszkr´et idej˝u jel, bemenete nincs
I
Nyel˝o A nyel˝o a h´al´ozat kimenet´et, v´alasz´at reprezent´alja, bemeneti v´altoz´oja a keresett y = y(t) folytonos idej˝u jel, illetve y = y[k] diszkr´et idej˝u jel, kimenete nincs
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
O
54 / 58
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei ¨ Osszegz˝ ocsom´opont Az ¨osszegz˝ocsom´opont kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o jelek ¨osszege jelenik meg, azaz X X y(t) = si (t), vagy y[k] = si [k] i
5E
i
5
O
Tetsz˝oleges sz´am´u bemenete lehet ´es egyetlen kimenete van El´agaz´ocsom´ opont Egyetlen bemeneti p´olusa ´es tetsz˝oleges sz´am´u kimeneti p´ olusa van. A bemenet´ere ´erkez˝o s = s(t), vagy s = s[k] jel minden kimenet´en v´altozatlanul halad tov´abb
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
I
OE
55 / 58
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei
Er˝os´ıt˝o Az er˝ os´ıt˝ o olyan line´aris komponens, amelynek karakterisztik´aja y(t) = Ks(t), vagy y[k] = Ks[k], ahol K egy id˝ot˝ol f¨uggetlen konstans (er˝os´ıt´es), teh´at az er˝os´ıt˝o invari´ans elem K´esleltet˝ o A k´esleltet˝ o olyan diszkr´et idej˝u h´al´ozati elem, amely a bemenet´ere ´erkez˝o diszkr´et idej˝u jelet egy ¨ utemmel k´eslelteti, de a kimeneti jel ´es a bemeneti jel ´ert´eke megegyezik. Ez mem´ori´aval b´ır´o, un. dinamikus elem
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
,
56 / 58
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei Integr´ator Az integr´ator olyan folytonos idej˝u h´al´ozati elem, amelynek kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o folytonos idej˝u jel integr´alja jelenik meg. A k´es˝obbiekben azonban azt a jel¨ol´est fogjuk haszn´alni, hogy az integr´ator bemeneti jele az x′ (t) deriv´alt jel, kimenete pedig az x(t) jel Nemline´aris er˝os´ıt˝o A nemline´aris er˝os´ıt˝o olyan komponens, melynek karakterisztik´aja nemline´aris, bemenete ´es kimenete k¨oz¨ott az η = Φ(ξ) kapcsolat ´all fenn, ahol ξ a nemline´aris er˝os´ıt˝o bemeneti jele, η a kimeneti jele, Φ(.) pedig egy nemline´aris f¨uggv´enykapcsolat
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
N J
N
-
.
N J
D
57 / 58
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei Szorz´ ocsom´ opont A szorz´ocsom´opont (nemline´aris komponens) kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o jelek szorzata jelenik meg, azaz Y Y y(t) = si (t), vagy y[k] = si [k] i
5E
2
O
i
Megjegyz´es: Nem csak jelfolyam h´al´ozatok l´eteznek. (pl. Neur´alis h´al´ozatok, Kirchoff-t´ıpus´u h´al´ozatok stb.) H´al´ozatanal´ızis A h´al´ ozatanal´ızis feladata az ismert h´al´ozati topol´ ogi´aval, ´es ismert karakterisztik´aj´u komponensekkel megadott h´al´ozat ´altal reprezent´alt rendszer valamely gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat´anak meghat´aroz´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1.el˝ oad´ as
58 / 58
