Jelek ´es rendszerek - 7.el˝oad´as A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
M´ern¨ok informatika BSc P´ecsi Tudom´ anyegyetem, Pollack Mih´ aly M˝ uszaki Kar M˝ uszaki Informatika ´es Villamos Int´ezet M˝ uszaki Informatika Tansz´ek
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
1 / 45
V´ azlat
I.r´ esz: Ism´ etl´ es
Ism´etl´es
1
Ism´etl´es Fourier-transzform´aci´o ´es t´etelei A spektrum
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
2 / 45
V´ azlat
II.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa
2
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
3 / 45
V´ azlat
II.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa
2
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
3 / 45
V´ azlat
II.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa
2
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
3 / 45
V´ azlat
II.r´ esz: A Laplace-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa
A Laplace-transzform´aci´o ´es alkalmaz´asa
2
A Laplace-transzform´aci´o Defin´ıci´o A Laplace-transzform´aci´o t´etelei FI jelek Laplace-transzform´altja ´ Atviteli f¨uggv´eny
3
A Laplace-transzform´aci´o alkalmaz´asa A v´alaszjel Laplace-transzfom´altja
4
Az inverz Laplace-transzform´aci´o P´ olus-z´erus elrendez´es
5
Rendszeregyenlet oper´atoros megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
3 / 45
V´ azlat
¨ III.r´ esz: Osszefoglal´ as
¨ Osszefoglal´ as
6
¨ Osszefoglal´ as
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
4 / 45
Ism´ etl´ es
A Fourier-transzform´aci´o
Fourier-transzform´aci´o n´eh´any tulajdons´aga Az al´abbi ¨osszef¨ugg´essel defini´alt Fourier-transzform´aci´o Z∞ S(jω) = F {s(t)} = s(t)e−jωt dt, −∞
a k¨ovetkez˝ o fontos tulajdons´agokkal rendelkezik s(t) val´os val´os ´es p´aros val´os ´es p´aratlan
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
S(jω) komplex val´os ´es p´aros k´epzetes ´es p´aratlan
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
5 / 45
Ism´ etl´ es
A Fourier-transzform´aci´o (folyt.) Az energiaspektrum ´es a Parseval-t´etel Ha az s(t) jel n´egyzetesen integr´alhat´o, akkor a jel energi´aja az al´abbi m´odon sz´am´ıthat´o Z∞ |s(t)|2 dt.
Es =
−∞
A jel energi´aja a spektrum ismeret´eben is meghat´arozhat´o Es =
Z∞
1
Z∞
jωt
1 dt = 2π
Z∞
s(t) S(jω)e dω S(jω) 2π − ∞ −∞ Z∞ Z∞ 1 1 = S(jω)S∗ (jω) dω = |S(jω)|2 dω. 2π − ∞ 2π − ∞ −∞
Z ∞
jωt
s(t)e
dt
dω
−∞
T´etel (Parseval) Z∞
1 Es = |s(t)| dt = 2π −∞ M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
2
Z∞
|S(jω)|2 dω.
−∞
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
6 / 45
Ism´ etl´ es
Fourier-transzform´ aci´ o´ es t´ etelei
A Fourier-transzform´aci´o t´etelei T´etel (Linearit´as) Tetsz˝oleges C1 , C2 konstansok eset´en F {C1 s1 (t) + C2 s2 (t)} = C1 F {s1 (t)} + C2 F {s2 (t)} ,
F −1 {C1 S1 (jω) + C2 S2 (jω)} = C1 F −1 {S1 (jω)} + C2 F −1 {S2 (jω)} . vagy ´altal´anosabban tetsz˝oleges Ci konstansokra, n-tag´u o¨sszegre n n X X F Ci si (t) = Ci F {si (t)}, F −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
i=1
n X i=1
Ci Si (jω)
i=1
=
n X i=1
Ci F −1 {Si (jω)}.
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
7 / 45
Ism´ etl´ es
Fourier-transzform´ aci´ o´ es t´ etelei
A Fourier-transzform´aci´o t´etelei T´etel (Eltol´asi t´etel) Ha az s(t) jel spektruma S(jω), akkor az s(t − τ) eltolt jelre F {s(t − τ)} = e−jωτ S(jω), azaz az id˝obeli eltol´as τ-val, e−jωτ -val val´o szorz´ast, azaz ωτ ´ert´ek˝u f´azisforgat´ast jelent a spektrumban. T´etel (Konvol´uci´o spektruma) Az id˝otartom´anyban v´egzett konvol´uci´o y(t) = w(t) ∗ s(t) =
Z∞
s(t)w(t − τ) dτ,
−∞
a frekvenciatartom´anyban szorz´ass´a egyszer˝us¨odik Y(jω) = W(jω)S(jω). M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
8 / 45
Ism´ etl´ es
Fourier-transzform´ aci´ o´ es t´ etelei
A Fourier-transzform´aci´o t´etelei T´etel (Deriv´alt jel spektruma) Ha az s(t) jel spektruma S(jω), akkor az s ′ (t) deriv´alt jelre F {s ′ (t)} = jωS(jω), teh´at az id˝ otartom´anybeli deriv´al´as jω-val val´o szorz´ast, azaz az eredeti amplit´ud´ ospektrum ω-val szorz´as´at ´es a f´azisspektrum π/2-vel val´o forgat´as´at jelenti.
A fenti t´etel ´altal´anos´ıthat´o magasabb rend˝u deriv´altakra is
F s(n) (t) = (jω)n S(jω).
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
9 / 45
Ism´ etl´ es
Fourier-transzform´ aci´ o´ es t´ etelei
A Fourier-transzform´aci´o t´etelei T´etel (Modul´aci´os t´etel (eltol´as a frekvenciatartom´anyban)) F s(t)ejω0 t = S(j(ω − ω0 )),
szinuszos jellel val´o szorz´as eset´en F {s(t) cos ω0 t} =
1 [S(j(ω − ω0 )) + S(j(ω + ω0 ))] , 2
azaz az eredeti S(jω) spektrum az ω0 ´es a −ω0 k¨orfrekvenci´akon jelenik meg az eredeti amplit´ud´o fel´evel. ! Nagyon fontos gyakorlati alkalmaz´asok. (pl. t´avk¨ozl´esben)
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
10 / 45
Ism´ etl´ es
Fourier-transzform´ aci´ o´ es t´ etelei
A Fourier-transzform´aci´o (folyt.) Az ´atviteli karakterisztika meghat´aroz´asa A deriv´alt jel spektrum´ara vonatkoz´o F s(n) (t) = (jω)n S(jω) ¨osszef¨ugg´est alkalmazva az ´allapotv´altoz´os le´ır´asra vagy a rendszeregyenletre, W(jω) =
5 K
F {y(t)} Y(jω) = F {s(t)} S(jω)
K
; K
Az ´atviteli karakterisztika teh´at tetsz˝oleges gerjeszt´es, ´es a r´a adott v´alasz spektrum´ab´ ol meghat´arozhat´o. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
11 / 45
Ism´ etl´ es
A spektrum
Fontosabb FI jelek spektruma Szimmetrikus n´egysz¨ogjel spektruma F {hT (t) = ε(t + T ) − ε(t + T )} = 2T
sin ωT ωT
Dirac-impulzus(δ(t)) spektruma F {δ(t)} = 1 Egys´egugr´as(ε(t)) spektruma F {ε(t)} = πδ(ω) +
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
1 jω
12 / 45
Ism´ etl´ es
A spektrum
Alakh˝u jel´atvitel Pl.1 Legyen egy rendszer ´atviteli karakterisztik´aja ´es gerjeszt´ese az al´abbi 1 , s(t) = ε(t + T ) − ε(t − T ), 1 + 0.1jω √ valamint legyen ǫ = 0.1, η = 1/ 2. Hat´arozzuk meg milyen sz´eles impulzusok mellett alakh˝u az ´atvitel (T = ?)! W(jω) =
A jel spektruma
2
|S(ω)|, bS(ω)
1.5
S(jω) = 2T 1
⇓
0.5
0 −20
sin ωT ωT
−10
0 ω
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
10
20
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
sin ωT , |S(jω)| = 2T ωT
13 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
Defin´ıci´ o
A Laplace transzform´aci´o A Laplace transzform´aci´o sor´an olyan esetekkel foglalkozunk, ahol a FI rendszer bemenet´ere t = 0 id˝opontban egy olyan s(t) gerjeszt´est kapcsolunk, amely ´ert´eke nulla t < 0 id˝opontokban. A gerjeszt´es teh´at bel´ep˝o, ´ıgy a kauzalit´as miatt a v´alaszjel is bel´ep˝o lesz. Ezen v´alaszjel sz´am´ıt´as´ara FI rendszerek eset´en alkalmas a Laplace transzform´aci´o.
A Laplace transzform´aci´ot a Fourier transzform´aci´o fel˝ol k¨ ozel´ıtj¨uk meg, mely sor´an a transzform´aland´o f¨uggv´enyr˝ol felt´etelezt¨uk az abszol´ut integr´alhat´os´agot, azaz eleget tesz a k¨ovetkez˝o felt´etelnek: Z +∞ |s(t)|dt < K, K ∈ R, −∞
, teh´at integr´alja korl´atos. ´Igy nem Fourier transzform´alhat´o teh´at az ε(t) egys´egugr´as gerjeszt´es, mivel az abszol´ut integr´alja nem korl´atos. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
14 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
Defin´ıci´ o
A Laplace transzform´aci´o
Az abszol´ut integr´alhat´os´ag er˝osen lesz˝uk´ıti az alkalmaz´asi lehet˝os´egeket. Laplace (francia matematikus, 1749-1827) javaslata alapj´an a f¨uggv´enyek konvergenci´ara k´enyszer´ıthet˝ok, ha azokat t → 0 eset´en er˝osen null´ahoz tart´o e−σt f¨uggv´ennyel szorozzuk, ´ıgy: Z +∞
−∞
|s(t)e−σt |dt < K, K ∈ R,
teljes¨ul. Ha a jel bel´ep˝o, akkor tetsz˝oleges pozit´ıv ´ert´ek˝u σ v´alaszthat´o az abszol´ut integr´alhat´os´ag biztos´ıt´as´asra. Az ε(t) egys´egugr´as eset´en tetsz˝oleges σ > 0, exponenci´alisan n¨ovekv˝o ε(t)eαt , α > 0 jel eset´en σ > α ´ert´ek v´alaszthat´o. Abban az esetben, ha nem tal´alunk alkalmas σ ´ert´eket az abszol´ut integr´alhat´os´ag biztos´ıt´as´ara a Laplace transzform´aci´o nem alkalmazhat´o, azonban ilyen jelekkel 2 nem foglalkozunk (pl. ε(t)e(αt) ).
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
15 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
Defin´ıci´ o
A Laplace transzform´aci´o
Az el˝oz˝ o ε(t)e−σt , α > 0 bel´ep˝o szorzatf¨uggv´eny egyoldalas Fourier transzform´altj´at k´epezve: Z∞ −σt F ε(t)s(t)e = s(t)e−σt e−jωt dt. −0
Defin´ıci´ o (Laplace transzform´aci´o) bevezetve az s = σ + jω jel¨ol´est, egy s(t) jel Laplace transzform´altja alatt a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ugg´est ´ertj¨uk: Z∞ L {s(t)} = S(s) = s(t)e−st dt −0
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
16 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
Defin´ıci´ o
A Laplace transzform´aci´o
A Laplace transzform´aci´o sor´an: s az un. komplex frekvencia, az integr´al´as als´o hat´ara −0, vagyis a kezdeti ´ert´ekek (s(−0), s ′ (−0)), illetve a δ(t) impulzusf¨uggv´eny is figyelembe vehet˝o. A transzform´aci´o sor´an az un. komplex frekvenciatartom´anyba t´er¨unk ´at, A L {.} a Laplace, az L−1 {.} az inverz Laplace transzform´aci´o jel¨ol´ese.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
17 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Linearit´as t´etele Mivel a Laplace transzform´aci´o egy line´aris oper´ator, ez´ert b´armely C1 ,C2 konstans eset´en: L {C1 f(t) + C2 g(t)} = C1 L {f(t)} + C2 L {g(t)} = C1 F(s) + C2 G(s)
L−1 {C1 F(s) + C2 G(s)} = C1 L−1 {F(s)} + C2 L−1 {G(s)}
Valamint: L {as(t)} = aL {s(t)} , n n X X L Ci si (t) = Ci L {si (t)} ,
L−1 M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
i=1
n X i=1
Ci Si (s)
i=1
=
n X i=1
Ci L−1 {Si (s)} .
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
18 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Eltol´asi t´etel
Ha a ε(t)s(t) bel´ep˝o jelet τ > 0 id˝ovel eltoltjuk, a ε(t − τ)s(t − τ) jelet kapjuk, melynek Laplace transzform´altja a k¨ovetkez˝ok´eppen ad´odik: Z∞ Z∞ L {ε(t − τ)s(t − τ)} = s(t − τ)e−st dt = s(t − τ)e−s(t−τ) e−sτ dt τ−0
τ−0
Bevezetve p = t − τ v´altoz´ot, (dp = dt (τ konstans!)) ad´ odik: Z∞ s(p)e−sp dp = e−sτ S(s). L {ε(t − τ)s(t − τ)} = e−sτ −0
Vagyis az id˝ obeli τ > 0 eltol´as komplex frekvenciatartom´anyban e−sτ exponenci´alis f¨uggv´ennyel val´o szorz´asnak felel meg.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
19 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Deriv´al´as Els˝orend˝u deriv´alt Laplace transzform´altja Ha s(t) jel szakaszonk´ent folytonos ´es differenci´alhat´o, ´es l´etezik S(s) Laplace transzform´altja, akkor s ′ (t) Laplace transzform´altja: L {s ′ (t)} = sS(s) − s(−0), mivel:
L {s ′ (t)} =
Z∞
Z∞ ∞ s ′ (t)e−st dt = s(t)e−st −0 − s(t)(−s)e−st dt −0 −0 Z∞ −st = (0 − s(−0)) + s s(t)e dt = sS(s) − s(−0). −0
A levezet´eRsre felhaszn´altuk a parci´alis integr´al´as szab´aly´at, miszerint R fenti u ′ v = [uv] − uv ′ . Helyesen v´alasztva u ′ = s ′ (t) → u = s(t) ´es v = e−sT → v ′ = −se−st .
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
20 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Deriv´al´as (folyt.)
M´asodrend˝ u deriv´alt Laplace transzform´altja L {s"(t)} = s [S(s) − s(−0)] − s ′ (−0) = s2 S(s) − ss(−0) − s ′ (−0). ´ anos´ıtva Altal´ L {sn (t)} = sn S(s) −
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
n−1 X
si s(n−1−i) (−0).
i=0
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
21 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Integr´al´as t´etele Ha l´etezik ε(t)s(t) jel S(s) Laplace transzform´altja, akkor a jel integr´alj´anak Laplace transzform´altja: Z t
1 L s(τ)dτ = S(s). s −0 mivel (parci´alis integr´al´ast felhaszn´alva): Z t
Z ∞ Z t
∞ Z e−st t s(τ)dτ L s(τ)dτ = s(τ)dτ e dt = − s −0 −0 −0 −0 −0 Z∞ −∞ Z ∞ −0 Z −0 1 e e 1 1 + s(t)e−st dt = − s(τ)dτ + s(τ)dτ + S(s) = S(s). s −0 s −0 s −0 s s M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
−st
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
22 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
K¨ovetkeztet´es
Fontos! Mivel a differenci´al´asnak illetve integr´al´asnak s-el val´o szorz´as illetve oszt´as felel meg, a differenci´al egyenletek hely´ebe a transzform´alt tartom´anyban algebrai egyenletek l´epnek. ´Igy a feladatok megold´asa l´enyegesen egyszer˝us¨odik.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
23 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Csillap´ıt´asi t´etel
Egy bel´ep˝ o ´es Laplace transzform´alhat´o s(t) jel ´es egy exponenci´alisan cs¨okken˝o e−αt , α > 0 jel szorzat´anak Laplace transzform´altja: L s(t)e−αt dt = S(s + α). Mivel: Z∞
s(t)e−αt e−st dt =
−0
Z∞
s(t)e−(α+s)t dt = S(s + α).
−0
Megjegyz´es: A csillap´ıt´asi t´etel a Fourier transzform´aci´on´al t´argyalt modul´aci´os t´etellel anal´og.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
24 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Kezdeti ´es v´eg´ert´ek t´etel
Ezeket az un. v´eg´ert´ek t´eteleket akkor ´erdemes alkalmazni, ha ismert a Laplace transzform´alt, ´es az id˝of¨uggv´eny hat´ar´ert´eke a k´erd´es, vagyis s(t) jel kezdeti ´ert´eke t = +0-ban (s(+0)) ´es v´eg´ert´eke t → ∞-ben: s(+0) = lim sS(s), s(t → ∞) = lim sS(s). s→ ∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
s→ 0
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
25 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
A Laplace-transzform´ aci´ o t´ etelei
Fourier ´es a Laplace transzform´aci´o kapcsolata
Ha s(t) bel´ep˝o ´es abszol´ut integr´alhat´o, akkor a jel S(jω) spektruma meghat´arozhat´o: S(jω) = S(s)|s=jω Ha a jel korl´atos ´es v´eges tart´oj´u, vagy ha a jel bel´ep˝o, korl´atos, t → ∞ eset´en exponenci´alisan 0-hoz tart.
megj: ε(t)-re nyilv´an nem alkalmazhat´o, mert F {ε(t)} =
1 jω
+ πδ(ω)
GV stabilis kauz´alis rendszer eset´en: W(jω) = W(s)|s=jω
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
26 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
ε(t) egys´egugr´as Laplace transzform´altja
L {ε(t)} =
Z∞
+0
e−st dt =
e−st −s
∞
+0
=
0−1 1 = s s
megjegyz´es: Mivel ε(t) bel´ep˝o jel, ε(−0) = 0, ´ıgy el´eg +0-t´ol integr´alni.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
27 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
ε(t)t sebess´egugr´as Laplace transzform´altja
L {ε(t)t} =
Z∞
−st
te
0
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
e−st dt = t −s
∞ 0
1 + s
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
Z∞ 0
e−st dt =
11 1 = 2 ss s
28 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
δ(t) impulzus Laplace transzform´altja Az integr´al´asi hat´arokat megfelel˝oen megv´alasztva: L {δ(t)} =
Z +0
δ(t)e−s0 dt =
−0
Z +0
δ(t)dt = 1
−0
M´ask´eppen, a ε(t) egys´egugr´asb´ol levezetve: L {δ(t)} = sL {ε ′ (t)} = s
1 s
Eltolt impulzus Laplace transzform´altja: L {δ(t − τ)} = e−st M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
29 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
Csillap´ıtott egys´egugr´as Laplace transzform´altja
Az e−αt (α > 0) szigor´uan monoton cs¨okken˝o f¨uggv´eny nem egyoldalas, ez´ert beszorozva az ε(t) egys´egugr´as f¨uggv´ennyel, mint ablakf¨ugv´ennyel az transzform´aci´o elv´egezhet˝o: L ε(t)e−αt =
Z∞
e−αt e−st dt =
−0
Z∞
e−(α+s)t dt =
−0
e−(α+s)t −(α + s)
∞ 0
=
1 s+α
Csillap´ıt´asi t´etelt felhaszn´alva: 1 1 L ε(t)e−αt = |s→ s+α = s s+α
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
30 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
ε(t)ejωt ,ε(t) cos(ωt) ´es ε(t) sin(ωt) Laplace transzform´altja A csillap´ıtott egys´egugr´as sz´am´ıt´asa alapj´an α = jω helyettes´ıt´essel: L ε(t)e−jωt =
1 s + jω
Az Euler rel´aci´ot felhaszn´alva:
ejωt + e−jωt 1 1 1 1 s L {ε(t) cos(ωt)} = L ε(t) = + = 2 2 2 s − jω 2 s + jω s + ω2
ejωt − e−jωt 1 1 1 1 ω L {ε(t) sin(ωt)} = L ε(t) = − = 2 2j 2j s − jω 2j s + jω s + ω2 M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
31 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
P´elda feladatok Laplace transzform´aci´ohoz 1. 1. P´elda, L {ε(t)te−αt }
M´ar sz´am´ıtottuk, hogy L {ε(t)t} = s12 , illetve a csillap´ıt´asi t´etelt felhaszn´alva, miszerint L {s(t)e−αt } dt = S(s + α) L ε(t)te−αt =
1 (s + α)2
2. P´elda, L {ε(t)e−αt cos(ωt)} Hasonl´ oan a csillap´ıt´asi t´etelt felhaszn´alva: L ε(t)te−αt cos(ωt) =
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
s+α (s + α)2 + ω2
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
32 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
FI jelek Laplace-transzform´ altja
P´elda feladatok Laplace transzform´aci´ohoz 2. 3. p´elda T sz´eless´eg˝u impulzus Laplace transzform´altja A T sz´eless´eg˝u impulzus fel´ırhat´o eltolt egys´egugr´asok ¨osszegek´ent: s(t) = ε(t) − ε(t − T ) Ebb˝ol: L {ε(t) − ε(t − T )} = L {ε(t)} − L {ε(t − T )} =
1 1 −sT − e s s
4. p´elda δ(t) integr´alj´anak Laplace transzform´altja
L
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Z
+0
δ(t)dt −0
=1
1 1 = . s s
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
33 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
Konvol´uci´o komplex frekvenciatartom´anyban Id˝otartom´anyban a konvol´uci´oval sz´am´ıtott v´alasz y(t) = w(t) ∗ s(t). Komplex frekvenciatartom´anyban a konvol´uci´o egyszer˝u szorz´ass´a egyszer˝us¨odik: Y(s) = W(s)S(s), ahol S(s) a gerjeszt´es-, Y(s) a v´alasz Laplace transzform´altja, W(s) az un. ´atviteli f¨uggv´eny, amely a line´aris rendszer le´ır´as´ara szolg´al komplex frekvenciatartom´anyban, m´asr´eszt a w(t) impulzusv´alasz Laplace transzform´altja. Defin´ıci´ o Egy line´aris rendszer ´atviteli f¨uggv´enye a kimenet ´es bemenet Laplace transzform´altj´anak a h´anyadosa, azaz: W(s) =
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Y(s) . S(s)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
34 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
Impulzusv´alasz ´es az ´atviteli f¨uggv´eny kapcsolata 1. konvol´ uci´o s(t) = est nem bel´ep˝o gerjeszt´es eset´en y(t) =
Z∞
w(τ)s(t − τ)dτ =
0
Z∞
w(τ)es(t−τ) dτ = est
0
Z∞
w(τ)e−sτ dτ
0
A fenti ¨ osszef¨ugg´esben az integr´alt w(t) impulzusv´alasz Laplace transzform´altj´anak, vagy m´ask´eppen ´atviteli f¨uggv´eny´enek nevezz¨uk: Z∞ W(s) = w(t)e−st dt. −0
A rendszer v´alasza ´ıgy: y(t) = W(s)est .
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
35 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
Impulzusv´alasz ´es az ´atviteli f¨uggv´eny kapcsolata 2.
Dirac-impulzus gerjeszt´es eset´en L {δ(t)} = 1, ´ıgy az ´atviteli f¨uggv´eny: W(s) =
Y(s) = Y(s). 1
T´etel Az impulzusv´alasz Laplace transzform´altja az ´atviteli f¨uggv´eny, illetve az ´atviteli f¨uggv´eny inverz Laplace transzform´altja az impulzusv´alasz. W(s) = L {w(t)} , w(t) = L−1 {W(s)} .
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
36 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o
´ Atviteli f¨ uggv´ eny
A rendszeregyenlet ´es az ´atviteli fv. kapcsolata
A rendszeregyenlet: y(n) (t) +
n X
ai y(n−i) (t) =
i=1
n X
bi s(n−i) (t),
i=0
amely Laplace transzform´altja 0 kezdeti felt´etelek eset´en: ! n n X X n n−i Y(s) s + ai s = S(s) bi sn−i , i=1
amelyb˝ ol: W(s) =
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
i=0
Pn bi sn−i Y(s) Pn = n i=0 S(s) s + i=1 ai sn−i Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
37 / 45
A Laplace-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa
A v´ alaszjel Laplace-transzfom´ altja
A v´alaszjel Laplace-transzfom´altj´anak meghat´aroz´asa A gerjeszt´es Laplace transzform´altja ´altal´aban egy t¨ ort, mely sz´aml´al´oja konstans, nevez˝oje egy polinom s-ben, illetve id˝oben eltolt jelek eset´eben megjelenhet az e−sτ t´enyez˝o is, W(s) k´et polinom h´anyadosa, ´ıgy Y(s) a k´et t¨ort szoztata, k´et polinom h´anyadosa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
38 / 45
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
Az inverz Laplace transzform´aci´o
Az inverz Fourier transzform´aci´o oldal´ar´ol megk¨ozel´ıtve: Z 1 ∞ −σt ε(t)s(t)e = S(σ + jω)ejωt dω 2π −∞ Z 1 ∞ ε(t)s(t) = S(σ + jω)e(σ+jω)t dω 2π −∞ Mivel s = σ + jω → ds = j dω → dω = 1 ε(t)s(t) = 2πj
Z σ+j∞ σ−j∞
ds ıgy: j ,´
S(s)est ds = L−1 {S(s)} .
megj: A fenti ¨osszef¨ugg´es az un. inverz Laplace transzform´aci´o.Integr´al´asi hat´arokat szint´en s szerint kell ´ertelmezn¨unk.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
39 / 45
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
Az inverz Laplace transzform´aci´o gyakorlatban Gyakorlatban az integr´al ki´ert´ekel´es´ere nincs sz¨uks´eg¨unk, helyette az un. kifejt´esi t´etelt alkalmazzuk, mellyel a k´et polinom h´anyados´ab´ol ´all´ o Laplace transzform´altat t¨ortf¨uggv´enyekre bontjuk. T¨ortf¨uggv´enyek lehetnek: Val´odi t¨ ortf¨uggv´enyek ,ha deg(Pnom ) < deg(Pden ). Ezek lehetnek: 1 2 3
egyszeres p´ olus´ uak, t¨ obbsz¨ or¨ os p´ olus´ uak, szerepel benne exponenci´ alis szorz´ ot´enyez˝ o.
Nem val´odi t¨ortf¨uggv´enyek, ha deg(Pnom ) ≥ deg(Pden ) → az un. polinomoszt´assal visszavezethet˝o az el˝oz˝ore. Ha deg(Pnom ) < deg(Pden ) akkor:
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
lim X(s) < ∞.
s→ ∞
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
40 / 45
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
Mint l´attuk W(s) k´et polinom h´anyadosa, amely gy¨okt´enyz˝os alakban: W(s) =
b0 sn + b1 sn−1 + · · · + bn (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zn ) =K . n n−1 s + a1 s + · · · + an (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )
A sz´aml´al´ o gy¨okei az un. z´erushelyek, a nevez˝o gy¨okeit p´olusoknak nevezz¨uk (W(s) itt 0 illetve ∞ ´ert´eket vesz fel). Az id˝otartom´any beli saj´at´ert´ekek megegyeznek W(s) p´olusaival, ´ıgy a stabilit´as felt´etele: R{pi } < 0, i = 1 . . . n.
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
41 / 45
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
W(S) =
1 , p1 = −0.5 s + 0.5
Impulzusválasz transmission zeros and poles
1.0 0.9
1.5
0.8
w(t)
0.7 1.0
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.5 imag. axis
0.1 0.0
0
1
2
3
4
0.0
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
t Ugrásválasz 2.0 1.8
−0.5
1.6 1.4 v(t)
1.2 −1.0
1.0 0.8 0.6
−1.5 −1.5
0.4 ×
−1.0 Poles
−0.5
0.0
0.5
real axis
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
1.0
0.2
1.5
→ −
0.0
0
1
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
2
3
4
5 t
42 / 45
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
s + 0.5 , z1 = −0.5 p1 = −0.3 p2 = −0.2 (s + 0.3)(s + 0.2)
W(S) =
Impulzusválasz transmission zeros and poles
1.0 0.9
1.5
0.8
w(t)
0.7 1.0
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.5 imag. axis
0.1 0.0
0
1
2
3
4
0.0
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
t Ugrásválasz 7 6
−0.5
v(t)
5 −1.0
4 3 2
−1.5 −1.5
Ο ×
−1.0 Zeros Poles
−0.5
0.0
0.5
real axis
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
1.0
1
1.5
→ −
0
0
1
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
2
3
4
5 t
43 / 45
Az inverz Laplace-transzform´ aci´ o
P´ olus-z´ erus elrendez´ es
P´olus-z´erus elrendez´es
W(S) =
s + 0.5 , z1 = −0.5 p1 = −1 + j p2 = −1 − j (s − (−1 + j))(s − (−1 − j))
Impulzusválasz transmission zeros and poles
1.0
1.5
0.8
w(t)
0.6 1.0
0.4 0.2
imag. axis
0.5
0.0 −0.2
0
1
2
3
4
0.0
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
t Ugrásválasz 0.45 0.40
−0.5
0.35
v(t)
0.30 −1.0
0.25 0.20 0.15
−1.5 −1.5
0.10 −1.0 Ο × Zeros Poles
−0.5
0.0
0.5
real axis
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
1.0
0.05
1.5
→ −
0.00
0
1
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
2
3
4
5 t
44 / 45
¨ Osszefoglal´ as
M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 7.el˝ oad´ as
45 / 45
