Jelek ´es rendszerek - 1-2.el˝oad´as Bevezet´ es, rendszeranal´ızis az id˝ otartom´ anyban
M´ern¨ok informatika BSc (lev.) P´ecsi Tudom´ anyegyetem, Pollack Mih´ aly M˝ uszaki Kar M˝ uszaki Informatika ´es Villamos Int´ezet M˝ uszaki Informatika Tansz´ek
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
1 / 141
V´ azlat
I.r´ esz: Bevezet´ es, alapfogalmak
Bevezet´es,alapfogalmak
1
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
2
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
3
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
2 / 141
V´ azlat
I.r´ esz: Bevezet´ es, alapfogalmak
Bevezet´es,alapfogalmak
1
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
2
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
3
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
2 / 141
V´ azlat
I.r´ esz: Bevezet´ es, alapfogalmak
Bevezet´es,alapfogalmak
1
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
2
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
3
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
2 / 141
V´ azlat
II.r´ esz: Ugr´ asv´ alasz, impulzusv´ alasz, rendszeregyenlet
Ugr´asv´alasz, impulzusv´alasz, rendszeregyenlet 4
Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok Tetsz˝ oleges v´alasz sz´am´ıt´asa
5
Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok A v´alasz sz´am´ıt´asa A konvol´uci´o Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
6
A rendszeregyenlet Defin´ıci´o A rendszeregyenlet megold´asa Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
3 / 141
V´ azlat
II.r´ esz: Ugr´ asv´ alasz, impulzusv´ alasz, rendszeregyenlet
Ugr´asv´alasz, impulzusv´alasz, rendszeregyenlet 4
Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok Tetsz˝ oleges v´alasz sz´am´ıt´asa
5
Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok A v´alasz sz´am´ıt´asa A konvol´uci´o Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
6
A rendszeregyenlet Defin´ıci´o A rendszeregyenlet megold´asa Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
3 / 141
V´ azlat
II.r´ esz: Ugr´ asv´ alasz, impulzusv´ alasz, rendszeregyenlet
Ugr´asv´alasz, impulzusv´alasz, rendszeregyenlet 4
Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok Tetsz˝ oleges v´alasz sz´am´ıt´asa
5
Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok A v´alasz sz´am´ıt´asa A konvol´uci´o Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
6
A rendszeregyenlet Defin´ıci´o A rendszeregyenlet megold´asa Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
3 / 141
V´ azlat
III.r´ esz: Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
´ Allapotv´ altoz´os rendszerle´ır´as
7
Fizikai objektumok ´es le´ır´asuk (pl.)
8
Az ´allapotv´altoz´os rendszerle´ır´as Defin´ıci´o Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as el˝o´all´ıt´asa h´al´ozat alapj´an Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa SISO rendszer megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
4 / 141
V´ azlat
III.r´ esz: Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
´ Allapotv´ altoz´os rendszerle´ır´as
7
Fizikai objektumok ´es le´ır´asuk (pl.)
8
Az ´allapotv´altoz´os rendszerle´ır´as Defin´ıci´o Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as el˝o´all´ıt´asa h´al´ozat alapj´an Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa SISO rendszer megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
4 / 141
V´ azlat
¨ IV.r´ esz: Osszefoglal´ as
¨ Osszefoglal´ as
9
¨ Osszefoglal´ as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
5 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
1
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
2
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
3
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
6 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek ´es fizikai mennyis´egek Valamely val´ os´agos folyamat m´erhet˝o mennyis´egeir˝ol m´er˝oeszk¨oz¨ok seg´ıts´eg´evel szerezhet¨ unk inform´aci´ot. Defin´ıci´ o (Fizikai mennyis´eg) K¨ul¨onb¨ oz˝ o folyamatok m´erhet˝o mennyis´egeir˝ol valamilyen m´er˝oeszk¨oz seg´ıts´eg´ev´el m´ert mennyis´eget fizikai mennyis´egnek nevezz¨uk. P´elda h˝om´ers´eklet a t´er egy adott pontj´an, egy testre hat´o er˝o, fesz¨ults´eg egy er˝os´ıt˝o kimenet´en, folyad´ekszint egy tart´alyban, stb. A fizikai mennyis´egek matematikai le´ır´as´at v´altoz´ok bevezet´es´evel v´egezz¨uk, melyek ´ert´eke valamely m´ert´ekegys´egben (pl. SI) megadott sz´am´ert´ek. P´elda T = 26.2 ◦ C, F = 90 N, u = 0.8 V, l = 1.43 m.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
7 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
A jel fogalma ´es matematikai le´ır´asa
Defin´ıci´ o (Jel) A jel valamely fizikai mennyis´eg olyan ´ert´eke vagy ´ert´ekv´altoz´asa, amely egy egy´ertelm˝uen hozz´arendelt inform´aci´ot hordoz. Jelek matematikai le´ır´as´ara f¨uggv´enyeket haszn´alunk. A f¨uggv´enyek egy f¨uggetlen v´altoz´o ´es egy f¨ugg˝o v´altoz´o k¨ oz¨ott defini´alnak kapcsolatot. (Egy v´altoz´os skal´ar f¨uggv´enyek) f : R → R,
y = x → f(x),
y = f(x)
A f¨uggetlen v´altoz´o lehets´eges ´ert´ekeinek halmaza alkotja a f¨uggv´eny ´ertelmez´esi tartom´any´at (Df ), a f¨ugg˝o v´altoz´o ´ert´ekeinek halmaza pedig a f¨uggv´eny ´ert´ekk´eszlet´et (Rf ).
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
8 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
A jelek alapt´ıpusai, az ´ert´ekk´eszlet ´es az ´ertelmez´esi tartom´any szerkezete alapj´an. 1
2
3
4
Ha a jel az id˝o argumentum minden val´os ´ert´ek´ere ´ertelmezett, akkor folytonos idej˝u jelr˝ol besz´el¨unk. Ezen csoportban legismertebb az anal´og jel (folytonos ´ert´ek˝u jel),amelyn´el a jel ´ert´eke is folytonos, Ha egy anal´og jelb˝ol adott (´altal´aban egyenletes oszt´as´u) id˝opillanatokban mint´akat vesz¨unk, akkor az id˝oben diszkr´et, ´ert´ekk´eszlet´eben pedig folytonos jelet kapunk, ami voltak´eppen egy sz´amsorozat. Ezt diszkr´et idej˝u jelnek nevezz¨uk, Vannak olyan jelek, amelyek csak bizonyos ´ert´ekeket vehetnek fel egy megsz´aml´alhat´o sz´amhalmaz elemeib˝ol (l´epcs˝os, m´asn´even kvant´alt jelalak, vagy diszkr´et ´ert´ek˝u jel). Az ilyen jel az id˝oben folytonos, de ´ert´ekk´eszlet´eben diszkr´et, V´eg¨ ul a sz´am´ıt´astechnika szinte minden m˝uszaki ter¨ uleten jelen l´ev˝o alkalmaz´asa miatt nagy jelent˝os´ege van a mind id˝oben, mind ´ert´ekk´eszlet´eben diszkr´et jelnek, amelyet digit´alis jelnek nevez¨unk.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
9 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
1
1
0.5
0.5
x2[k]
x1(t)
A k¨ul¨onb¨oz˝o jelt´ıpusok
0
−0.5
−1 −1
−0.5
0
1
2 t
3
4
−1 0
5
1
1
0.5
0.5
20
30
40
50
30
40
50
x4[k]
0
−0.5
−0.5
−1
−1
−1.5
−1.5
−2 −1
10
k
0 x3(t)
0
−2 0
1
2 t
3
4
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
5
0
10
20 k
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
10 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Folytonos jelek ´es megad´asuk Egy x jel akkor folytonos idej˝u, ha a jel az id˝o minden val´os ´ert´ek´ere ´ertelmezett x = x(t),
t ∈ R,
ahol t az id˝ ov´altoz´o jele.
−∞ < t < ∞,
Megad´ asuk:
K´eplettel (matematikai formul´aval) (pl. x(t) = 3 cos(t − π/2)) Grafikusan (´abr´azol´assal) Differenci´al-egyenlettel ´ ekek felsorol´as´aval (´ert´ekt´abl´azattal) Ert´ Figyelem!
A grafikus ´es ´ert´ekt´abl´azatos megad´assal csak v´eges hossz´ u jel adhat´o meg korl´atozott pontoss´aggal. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
11 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as k´eplettel(formul´aval) ´es grafikusan 2 1.5 1
x1(t)
0.5 0 −0.5 −1
0 2 cos(3t) sin(5t)
x2 (t) =
ha t < 0 ha t ≥ 0
−1.5 −2 −1
0
1
2 t
3
4
5
0
1
2 t
3
4
5
25
−t t2
ha t < 2 ha t ≥ 2
20 15 x2(t)
x1 (t) =
10 5 0 −5 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
12 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as k´eplettel ´es grafikusan 2 1 0
x3(t)
−1 −2 −3 −4 −5
x3 (t) = 2 cos(3t − π/2) − t
−6 −1
0
1
2 t
3
4
5
0
1
2 t
3
4
5
1.4
x4 (t) = 1 − 0.3e−0.5t sin(3t)
1.3
x4(t)
1.2 1.1 1 0.9 0.8 0.7 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
13 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as differenci´alegyenlettel
Egy folytonos idej˝u jel megadhat´o egy n-ed rend˝u differenci´alegyenlettel, de ebben az esetben egy adott t id˝opontban (c´elszer˝uen a t = 0-ban) meg kell adnunk n sz´am´u kezdeti ´ert´eket is.
A megadott jel ekkor a differenci´alegyenlet megold´asak´ent kapott f¨uggv´eny. Pl. dy = f(y, t), dt
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
y(0) = y0
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
→ y(t)
14 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as differenci´alegyenlettel A megadott egyenlet dy = −2y, dt
(1)
dy = −2ydt −−→
y(0) = 5
dy (2) = −2dt −−→ y (4)
Z
Z 1 (3) dy = −2 1dt −−→ y (5)
1
ln y + C1 = −2(t + C2 ) −−→ y = e−2t−C = e−2t e−C −−→ y(t) = Me−2t
2
form´ alisan integr´ aljuk az egyenlet mindk´et oldal´ at.
3
felhaszn´ aljuk az 1/y ´es az 1 integranduszok primit´ıv f¨ uggv´eny´et, az ln y + C1 ´es a t + C2 f¨ uggv´enyeket, ´es
4
rendezz¨ uk az egyenletet y-ra u ´gy, hogy a C1 ´es C2 konstanokat ¨ osszevonjuk egyetlen C konstanss´ a (C = C1 + 2C2 ).
5
helyettes´ıts¨ uk az e−C konstanst M-el.
vigy¨ uk ´ at az y v´ altoz´ ot a bal, a t v´ altoz´ ot pedig a jobb oldalra (v´ altoz´ ok szepar´ al´ asa)
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
15 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as differenci´alegyenlettel (folyt.)
25
−2t
Ez´altal az y = Me ´altal´anos megold´ast kapjuk, ahol az M konstans ´ert´ek´et a t = 0 id˝opillanatban adott ´ert´ek seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg: y(0) = Me0 = 5 ⇒ M = 5.
20
15 y(t)
10
´Igy a differenci´alegyenletet ´es a kezdeti felt´etelt is kil´eg´ıt˝o id˝of¨ uggv´eny a k¨ovetkez˝o (k´ek g¨orbe): y(t) = 5e−2t
5
–0.5
0
0.5
1
1.5
t –5
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
16 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Diszkr´et jelek ´es megad´asuk Egy f[k] jel akkor diszkr´et idej˝u, ha f¨uggetlen v´altoz´oja k csak eg´esz ´ert´ekeket vehet fel y = f[k],
k ∈ Z,
k ∈ [−∞, . . . , −1, 0, 1, 2, . . . , ∞],
ahol k a diszkr´et id˝o, azaz a kTs mintav´eteli id˝opillanat indexe. Megad´asuk: K´eplettel (matematikai formul´aval) (pl. y[k] = 3 cos(k − π/2)) Rekurz´ıv formul´aval (pl. y[k] = 0.8y[k − 1] + 0.2y[k − 2]) Grafikusan (´abr´azol´assal) ´ ekek felsorol´as´aval (´ert´ekt´abl´azattal) Ert´ M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
17 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek oszt´ alyoz´ asa
Megad´as rekurz´ıv formul´aval A jel k-adik ¨utembeli ´ert´eke sok esetben rekurz´ıv ´uton sz´amolhat´o az azt megel˝ oz˝ o ´ert´ekek seg´ıts´eg´evel, pl.: y[k] = 0.5y[k − 1] + 0.1y[k − 2],
y[−1] = 2, y[−2] = 0.
A k = 0, 1, 2, . . . ¨utemekre az y[k] ´ert´eke l´ep´esenk´ent sz´amolhat´o, melyhez azonban ismerni kell a kezdeti felt´eteleket is (most y[−1] = 2 ´es y[−2] = 0). A rekurzi´o teh´at a k¨ovetkez˝o: y[0] = 0.5y[−1] + 0, 1y[−2] = 0.5 · 2 + 0.1 · 0 = 1 y[1] = 0.5y[0] + 0, 1y[−1] = 0.5 · 1 + 0.1 · 2 = 0.7
y[2] = 0.5y[1] + 0, 1y[0] = 0.5 · 0, 7 + 0.1 · 1 = 0.45 y[3] = · · · = 0.295 ´es ´ıgy tov´abb. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
18 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Bel´ep˝o ´es nem bel´ep˝o jelek Egy folytonos idej˝u y(t) jel bel´ep˝o, ha ´ert´eke t negat´ıv ´ert´ekeire azonosan nulla. y(t) ≡ 0,
ha t < 0
Egy diszkr´et idej˝u y[k] jel bel´ep˝o, ha ´ert´eke k negat´ıv ´ert´ekeire azonosan nulla. y[k] ≡ 0,
ha k < 0
´ anosabban egy folytonos (diszkr´et) idej˝u jel bel´ep˝o a t0 (k0 ) id˝opillanatban, Altal´ ha t < t0 (k < k0 ) eset´en azonosan nulla. y(t) ≡ 0, M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
ha t < t0 ,
y[k] ≡ 0,
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
ha k < k0 19 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
P´aros ´es p´aratlan jelek Egy x(t) ill. x[k] jel p´aros, ha igaz a jelre hogy x(−t) = x(t),
x[−k] = x[k],
azaz a jel szimmetrikus az ordin´at´ara (f¨ugg˝oleges tengely). Pl. y(t) = cos(t),
y(t) = 1,
y(t) = |t|
Egy x(t) ill. x[k] jel p´aratlan, ha x(−t) = −x(t),
x[−k] = −x[k].
azaz a jel szimmetrikus az orig´ora. Pl. y(t) = sin(t),
y(t) = sgn(t),
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
y(t) = t Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
20 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Korl´atos jelek
Egy y(t) (y[k]) jel korl´atos, ha l´etezik olyan v´eges K ´ert´ek amelyre igaz, hogy |y(t)| < K,
|y[k]| < K.
Pl. pl. az y(t) = A sin(ωt) korl´atos mert az ´ert´eke abszol´ut ´ert´ekben legfeljebb A. Az y(t) = t vagy az y[k] = e3k nem korl´atos, mert nem l´etezik olyan v´eges K amelyre igaz a fenti felt´etel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
21 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Periodikus ´es aperiodikus jelek
Az y(t) folytonos idej˝u jel T peri´odusid˝ovel periodikus, ha y(t + T ) = y(t) igaz t minden ´ert´ek´ere.
Hasonl´ oan az y[k] diszkr´et idej˝u jel K peri´odusid˝ovel periodikus, ha y[k + K] = y[k] igaz k minden ´ert´ek´ere. Pl. Periodikus jelek pl. a harmonikus f¨uggv´enyek (sin, cos), aperiodikus pl. az y(t) = et vagy az y[k] = k−2 jel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
22 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Determinisztikus ´es sztochasztikus jelek
Az y(t) (y[k]) jel determinisztikus, ha ´ert´ek´et minden t id˝opillanatra el˝ore ismerj¨ uk. Pl. Determinisztikus pl. y(t) = t vagy y[k] = sin[k].
Az y(t) (y[k]) jel sztochasztikus, ha id˝of¨ugg´es´et nem ismerj¨uk el˝ ore, de meg tudjuk hat´arozni bizonyos statisztikai jellemz˝oit. A sztochasztikus jelek v´eletlen folyamatok eredm´enyei. Pl. Tipikus sztochasztikus jelek a k¨ul¨onb¨oz˝o zajok. Melyek id˝of¨uggv´eny form´aj´aban nem adhat´ok meg, de statisztikai tulajdons´agaik ismertek. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
23 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Jelek ´atlaga ´es sz´or´asa
Egy y(t) (y[k]) jel ´atlag´ert´eke a [0, T ] ([0, K]) intervallumon 1 µ= T
ZT 0
y(t)dt,
µ=
K 1 X y[k]. K+1 k=0
Egy y(t) (y[k]) jel sz´or´asa a [0, T ] ([0, K]) intervallumon v s u Z K u1 X 1 T 2 σ= (y(t) − µ) dt, σ=t (y[k] − µ)2 . T 0 K k=0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
24 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Jelek ´atlaga ´es sz´or´asa
K´et k¨ul¨onb¨ oz˝o sztochasztikus jel ´atlaga ´es sz´or´asa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
25 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Jelek ´atlaga ´es sz´or´asa K¨ul¨onb¨ oz˝ o jelek ´atlaga ´es sz´or´asa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
26 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Jelek tov´ abbi csoportos´ıt´ asa
Tov´abbi gyakori jelt´ıpusok Korl´ atos tart´ oj´ u jelek: A jel egy korl´atos intervallumon k´ıv¨ul azonosan 0. Abszol´ ut integr´ alhat´ o jelek: Z∞ |x(t)|dt < ∞ −∞
Abszol´ ut o ¨sszegezhet˝ o jelek:
∞ X
k=−∞
N´ egyzetesen integr´ alhat´ o jelek Z∞ −∞
|x[k]| < ∞
|x(t)|2 dt < ∞
N´ egyzetesen ¨ osszegezhet˝ o jelek ∞ X
k=−∞ M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
|x[k]|2 < ∞
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
27 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A FI egys´egugr´asjel ε(t) (Heaviside fv., 1(t) ) A vizsg´alt folyamatokat le´ır´o jelek egy adott id˝opillanatban kezd˝odnek, ami c´elszer˝ uen v´alaszthat´o null´anak. Az egys´egugr´asjel hasznos lesz ilyen jelek le´ır´as´ara 1.2 1
Defin´ıci´ o (Egys´egugr´as)
ε(t) =
0.6 ε(t)
0.8
0, 1,
ha t < 0, ha t > 0.
0.4 0.2 0 −0.2 −1
0
1
2 t
3
4
5
A szakaszonk´ent folytonos egys´egugr´asjelnek a t = 0 id˝opillanatban szakad´asa van. Itt bal oldali hat´ar´ert´eke (a t = −0 id˝opillanatban) 0, jobb oldali hat´ar´ert´eke (a t = +0 id˝ opillanatban) pedig 1. lim ε(t) = 0,
t→ −0
lim ε(t) = 1.
t→ +0
Az ε(t) a t = 0 id˝opillanatban nem defini´alt. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
28 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Eltolt egys´egugr´as Sz¨uks´eg¨ unk lehet egy tetsz˝oleges τ id˝ovel eltolt egys´egugr´asjelre, amely a k¨ovetkez˝ok´epp adhat´o meg 1.2 1
Defin´ıci´ o (Eltolt egys´egugr´as)
ε(t − τ) =
0, ha t < τ, 1, ha t > τ.
ε(t−τ)
0.8 0.6 0.4 0.2
τ
0 −0.2 −1
0
1
2 t
3
4
5
Az egys´egugr´asjelet ´es eltolj´at korl´atos tart´oj´u jelek matematikai formul´aval t¨ort´en˝ o megad´as´ara alkalmazzuk 1
Defin´ıci´ o (N´egysz¨og-ablak)
ε(t)
ε(t)−ε(t−τ)
0.5
wR(τ1 ,τ2 ) (t) = ε(t − τ1 ) − ε(t − τ2 )
τ 0
−0.5 −ε(t−τ) −1 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
0
1
2 t
3
4
5
29 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Ablakol´as az egys´egugr´asjel seg´ıts´eg´evel Egy x(t) jel adott intervallum´at szeretn´enk kiv´alasztani Az egys´egugr´asjel seg´ıts´eg´evel, a vizsg´alt jel egy adott r´esz´et kitakarjuk egy n´egysz¨ogletes ablakkal, amit k´et eltolt egys´egugr´asjel k¨ul¨onbs´egek´ent ´all´ıthatunk el˝o Az eredeti jel 0.8 0.7
cos(2t)
0.6 y(t)
x(t) = 0.5 + 0.3e
−0.2t
Az ablakolt jel
0.5 0.4 0.3
y(t) = [ε(t − τ1 ) − ε(t − τ2 )]x(t),
0.2 0.1
ahol τ1 = −0.5 ´es τ2 = 2.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
0 −1
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
0
1
2 t
3
4
5
30 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A FI Dirac-impulzus δ(t) (egys´egimpulzus) Szeml´eletesen δ(t, τ) → δ(t)
Defin´ıci´ o (Egys´egnyi intenzit´as´u impulzus) δ(t, τ) =
ε(t) − ε(t − τ) τ
δ(t) = lim
τ→ 0
ε(t) − ε(t − τ) . τ
2.5
Z∞
2
δ(t,τ) → δ(t)
Ennek sz´eless´ege teh´at τ , magass´aga pedig 1/τ, ´ıgy intenzit´asa (ter¨ulete) egys´egnyi
1.5 1 0.5
δ(t, τ)dt = 1.
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
1/τ τ
0 −1
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
0
1
2 t
3
4
5
31 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A Dirac-δ fontosabb tulajdons´agai jel¨ ol´ese egy f¨ugg˝oleges ny´ıl, a Dirac-δ p´aros f¨uggv´eny. A Dirac-δ teh´at olyan jel, melynek ´ert´eke minden t helyen 0, kiv´eve a t = 0 helyet, ahol v´egtelen nagy, ´es intenzit´asa (ter¨ulete) egys´egnyi. Z∞
δ(t)dt =
−∞
Z +0
δ(t)dt = 1.
−0
A fenti egyenl˝os´eg igaz az eltolt Dirac-impulzusra is Z∞
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
δ(t − τ)dt =
Z τ+0
δ(t − τ)dt = 1.
τ−0
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
32 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A Dirac-δ defin´ıci´oja Defin´ıci´ o (Dirac-δ) Ha f(t) folytonos a τ helyen, akkor Z∞ f(t)δ(t − τ)dt = f(τ), −∞
mert, ha az f(t) id˝of¨uggv´enyt beszorozzuk a δ(t − τ) Dirac-impulzussal, akkor egy olyan f¨ uggv´enyt kapunk, amelynek ´ert´eke minden¨utt nulla, kiv´eve a t = τ helyet, ahol viszont ´ert´eke egy olyan Dirac-impulzus, melynek nagys´aga ar´anyos a konstans f(τ) ´ert´ekkel, azaz Z∞
f(t)δ(t − τ)dt = f(τ)
−∞
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Z τ+0
δ(t − τ)dt = f(τ).
τ−0
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
33 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt Ha az x = x(t) jel differenci´alhat´o, akkor x′ (t) ≡
dx x(t + ∆t) − x(t) = lim dt ∆t→ 0 ∆t
az x(t) jel deriv´alt jele, ha l´etezik a fenti hat´ar´ert´ek. El˝ofordul, hogy egy folytonos idej˝u jel szakaszonk´ent differenci´alhat´o, viszont az egyes szakaszok k¨oz¨otti ´atmenetn´el a jelnek v´eges szakad´asa (ugr´asa) van. Ennek kezel´es´ere vezetj¨uk be az ´altal´anos´ıtott deriv´alt fogalm´at ´ anos´ıtott deriv´alt) Defin´ıci´ o (Altal´ egy x(t) jel ´altal´anos´ıtott deriv´altja az az x′ (t) jel, melynek seg´ıts´eg´evel az x(t) jel az al´abbi m´odon ´all´ıthat´o el˝o Zt x′ (τ)dτ + x(t0 ). x(t) = t0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
34 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az egys´egugr´as ´es a Dirac-δ kapcsolata
′
Innen az x (t) deriv´alt jel egy olyan n´egysz¨ ogimpulzus, amelynek ´ert´eke a 0 < t < τ intervallumban 1/τ, azaz
1.2 1 0.8 0.6 x(t)
Pl.1 K¨ozel´ıts¨uk az ε(t) f¨uggv´enyt az al´abbi f¨uggv´ennyel ha t < 0 0 x(t) = t/τ ha 0 < t < τ 1 ha t > τ
0.4 0.2 0 −0.2 −1
0
1 t
2
3
x′ (t) = δ(t, τ). Ha τ → 0, akkor x(t) → ε(t) ´es x′ (t) → δ(t). M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
35 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az egys´egugr´as ´es a Dirac-δ kapcsolata (folyt.) Pl.1 (folyt) A defin´ıci´ os ¨ osszef¨ugg´es szerint teh´at (figyelembe v´eve, hogy x(−∞) = 0) Zt ε(t) = δ(τ)dτ −∞
hiszen 0 δ(τ)dτ = 1 −∞
Zt
ha t < 0 ≡ ε(t), ha t > 0
teh´at ε(t)′ = δ(t),
Azaz a Dirac-δ az ε(t) egys´egugr´asjel ´altal´anos´ıtott deriv´altja. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
36 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 Adott egy x(t) jel, amelyet szakaszonk´ent az x1 (t) illetve az x2 (t) folytonos jel ´ır le, melyek tal´alkoz´as´an´al (a t1 helyen) x(t)-nek K ´ert´ek˝u v´eges szakad´asa van x1 (t) ha t < t1 x1 (t) = 3e−2t ha t < 2 = x(t) = −2(t−2) x2 (t) ha t ≥ t1 x2 (t) = 5e ha t ≥ 2 A jel ´altal´anos´ıtott deriv´altja ′ −2t ha t < t1 x1 (t) x1 (t) = −6e ′ x (t) = Kδ(t − t1 ) ha t = t1 = 4.95δ(t − 2) ′ x2 (t) ha t > t1 x2 (t) = −10e−2(t−2)
ha t < 2 ha t = 2 ha t > 2
mivel K = x2 (t1 ) − x1 (t1 ) = 5 − 3e−4 = 4.95.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
37 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 (folyt) 5 5 4 x′(t)
0
x(t)
3
−5
2 1 0 0
x(t) =
−10 0 0.5
1
1.5 t
2
−2t
x1 (t) = 3e x2 (t) = 5e−2(t−2)
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
2.5
0.5
3
ha t < 2 ha t ≥ 2
1
1.5 t
2
2.5
−2t x1 (t) = −6e ′ x (t) = 4.95δ(t − 2) x2 (t) = −10e−2(t−2)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
3
ha t < 2 ha t = 2 ha t > 2
38 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 alternat´ıv megold´asi m´odszer ´Irjuk fel az x(t) f¨uggv´enyt ablakozott jelek seg´ıts´eg´evel z´art alakban x(t) = xa (t) + xb (t) = [1 − ε(t − t1 )]x1 (t) + ε(t − t1 )x2 (t), majd v´egezz¨ uk el a deriv´al´ast (szorzatf¨uggv´enyek ¨osszeg´enek deriv´altja) x′a (t) = [1 − ε(t − t1 )]′ x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) = −δ(t − t1 )x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t),
x′b (t) = ε′ (t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t) = δ(t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t),
x′ (t) = x′a (t) + x′b (t) = −δ(t − t1 )x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) + δ(t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t), M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
39 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az ´altal´anos´ıtott deriv´alt (folyt.) Pl.2 alternat´ıv megold´asi m´odszer (folyt.) A deriv´alt jel tartalmaz eltolt Dirac-impulzusokat, melyekr˝ol azonban tudjuk, hogy csak a t = t1 id˝opillanatban vesznek fel ´ert´eket, minden m´as id˝opillanatban az ´ert´ek¨uk nulla, (tov´abb´a δ(t − t1 )x1 (t) = δ(t − t1 )x1 (t1 )) x′ (t) = −δ(t − t1 )x1 (t) + [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) + δ(t − t1 )x2 (t) + ε(t − t1 )x′2 (t) = [1 − ε(t − t1 )]x′1 (t) + δ(t − t1 )(x2 (t1 ) − x1 (t1 )) + ε(t − t1 )x′2 (t) ahonnan a sz´am´ert´ekek behelyettes´ıt´es´evel
x′ (t) = −6[1 − ε(t − 2)]e−2t + 4.95δ(t − 2) − 10ε(t − 2)e−2(t−2) , ami azonos az el˝oz˝oekben kapott eredm´ennyel. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
40 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
A DI egys´egugr´as ε[k] ´es egys´egimpulzus δ[k] Defin´ıci´o (Egys´egugr´as)
ε[k] =
0 1
Eltolt egys´egugr´as
ha k < 0, ha k ≥ 0,
azaz az egys´egugr´ as ´ert´eke a k < 0 u ¨temekre 0, nemnegat´ıv eg´eszekre pedig 1.
ha k < 0, ha k = 0, ha k > 0,
azaz az egys´egimpulzus ´ert´eke a k = 0 helyen 1, b´ armely m´ as helyen ´ert´eke nulla. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
0 ha k < i, 1 ha k ≥ i,
Eltolt egys´egimpulzus
Defin´ıci´o (Egys´egimpulzus) 0 δ[k] = 1 0
ε[k − i] =
0 ha k < i, δ[k − i] = 1 ha k = i, 0 ha k > i,
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
41 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
DI jelek megad´asa eltolt egys´egimpulzusokkal Pl. x[k] =
0 4 · 0.5k
ha k < 0, = 4δ[k] + 2δ[k − 1] + δ[k − 2] + . . . ha k ≥ 0,
Tetsz˝oleges x[k] jel megad´asa x[k] =
∞ X
x[i]δ[k − i],
i=−∞
teh´at az x[k] jelet eltolt egys´egimpulzusok s´ulyozott ¨osszegek´ent, m´as n´even szuperpoz´ıci´ ojak´ent ´ırhatjuk fel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
42 / 141
Jel fogalma ´ es le´ır´ asa
Fontosabb FI ´ es DI jelek
Az egys´egugr´as ´es az egys´egimpulzus kapcsolata Az egys´egugr´asjel kifejezhet˝ o egys´egimpulzusokkal ε[k] =
∞ X
δ[k − i] = δ[k] + δ[k − 1] + δ[k − 2] + . . . ,
i=0
Az egys´egimpulzus pedig megadhat´o az egys´egugr´assal δ[k] = ε[k] − ε[k − 1], melynek ´altal´anos´ıt´as´aval juthatunk el a folytonos idej˝u ablakhoz hasonl´o diszkr´et idej˝u ablakhoz.
0 x[k] = 1.1k 0
ha k < 0, ha 0 ≤ k < 4 ha k ≥ 4,
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
→
x[k] = {ε[k] − ε[k − 4]}1.1k
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
43 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
1
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
2
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
3
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
44 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
A rendszer fogalma Defin´ıci´ o (Rendszer) A rendszer egy fizikai objektum valamilyen modellje, melynek seg´ıts´eg´evel modellezhetj¨ uk, matematikailag le´ırhatjuk annak m˝uk¨ od´es´et.
Rendszer lehet pl. egy szab´alyozand´o berendez´es, egy bonyolult ipari robot, de rendszer lehet egy rug´ora akasztott test ´es a rug´o egy¨uttesen. A rendszer l´enyege, hogy matematikai form´aba ¨onts¨uk azt a bonyolult folyamatot, amelynek szimul´aci´oj´at el szeretn´enk v´egezni annak ´erdek´eben, hogy megbizonyosodjunk az objektum tulajdons´agair´ol, megtudjuk, hogy az hogyan fog viselkedni, ha valamilyen hat´as ´eri. Ezek a k¨uls˝o hat´asok a rendszer bemenetei, m´asn´even gerjeszt´esek, s a rendszer ezen gerjeszt´esekre v´alaszokkal reag´al, melyek a rendszer kimenetei. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
45 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
SISO, MIMO rendszerek
SISO ´es MIMO rendszerek A rendszer a bemeneteket kimenetekk´e transzform´alja, azaz adott gerjeszt´esekhez adott v´alaszokat rendel. A rendszereket bemeneteik ´es kimeneteik sz´ama alapj´an k´et f˝o csoportba sorolhatjuk
1
SISO-rendszerek (Single Input Single Output), melyek egy gerjeszt´eshez egy v´alaszt rendelnek y(t) = W{s(t)},
2
vagy
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
vagy
9
y[k] = W{s[k]},
MIMO-rendszerek (Multiple Input Multiple Output), melyek t¨obb gerjeszt´eshez t¨obb v´alaszt rendelnek y(t) = W{s(t)},
y[k] = W{s[k]},
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
O 9 I
46 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
SISO, MIMO rendszerek
Tov´abbi oszt´alyoz´asi lehet˝os´egek
Att´ol f¨ ugg˝ oen, hogy a gerjeszt´es ´es a v´alasz folytonos idej˝u vagy diszkr´et idej˝u, egy rendszer lehet 1
Folytonos idej˝u gerjeszt´es˝u ´es folytonos idej˝u v´alasz´u, (FI rendszerek)
2 3
diszkr´et idej˝u gerjeszt´es˝u ´es diszkr´et idej˝u v´alasz´u, (DI rendszerek) diszkr´et idej˝u gerjeszt´es˝u ´es folytonos idej˝u v´alasz´u, (D/A ´atalak´ıt´ok)
4
folytonos idej˝u gerjeszt´es˝u ´es diszkr´et idej˝u v´alasz´u, (A/D ´atalak´ıt´ok)
F˝ ok´ent az 1 − 2 csoportba tartoz´o rendszerekkel foglalkozunk.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
47 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Line´aris rendszerek Egy rendszer line´aris, ha a G-V kapcsolatot jellemz˝o W oper´ator line´aris ,azaz homog´en ´es addit´ıv (´erv´enyes a szuperpoz´ıci´o elve). A y = W{s} jel¨ol´essel W{C1 s1 + C2 s2 } = C1 W{s1 } + C2 W{s2 } = C1 y1 + C2 y2 . Pl. Lin´aris elemek pl. ellen´all´as, kondenz´ator, tekercs, nemline´aris elemek pl. di´oda, tranzisztor.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
48 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Invari´ans rendszerek Egy rendszer akkor invari´ans, ha a gerjeszt´es id˝obeli eltol´asa azt eredm´enyezi, hogy a v´alaszban csak egy ugyanekkora id˝obeli eltol´od´as k¨ ovetkezik be. Ellenkez˝o esetben a rendszer vari´ans. Pl. Vari´ans rendszer pl. egy egyszer˝u ellen´all´as is, ha figyelembe vessz¨uk, hogy a rajta ´atfoly´ o ´aram ´altal l´etrehozott teljes´ıtm´eny meleg´ıti az ellen´all´ashuzalt, amelynek ennek hat´as´ara megn˝o az ellen´all´asa.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
49 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Kauz´alis rendszerek Egy rendszer akkor kauz´alis, ha v´alasz´anak adott id˝opontbeli ´ert´eke nem f¨ugg a gerjeszt´es j¨ ov˝obeli ´ert´ek´et˝ol, azaz egy FI (DI) rendszer akkor kauz´alis, ha az y(t) (y[k]) v´alasz b´armely t1 (k1 ) id˝opontban az s(t) (s[k]) gerjeszt´es csak olyan ´ert´ekeit˝ol f¨ugg, melyekre t < t1 (k ≤ k1 ). Egy´ebk´ent a rendszer akauz´alis. Pl. Minden fizikai rendszer kauz´alis, hiszen a tapasztalat szerint nincs olyan rendszer, amelynek jelen id˝opillanatbeli ´allapota f¨uggene a j¨ov˝ot˝ol.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
50 / 141
Rendszerek ´ es oszt´ alyoz´ asuk
Line´ aris, invari´ ans, kauz´ alis, stabil rendszerek
FI ´es DI rendszerek tov´abbi csoportos´ıt´asa
Stabil rendszerek Egy rendszer akkor gerjeszt´es-v´alasz stabilis, ha b´armely korl´atos gerjeszt´esre korl´atos v´alasszal reag´al. Ezt a stabilit´ast BIBO-stabilit´asnak is szok´as nevezni a ,,bounded input implies bounded output” angol elnevez´es r¨ ovid´ıt´es´eb˝ol. Fontos! Elk´epzelhet˝o, hogy a rendszer t¨obb korl´atos gerjeszt´esre korl´atos v´alaszt ad, de ha l´etezik ak´ar egyetlen olyan korl´atos gerjeszt´es, amelyre a rendszer nem korl´atos v´alasszal reag´al, akkor a rendszer nem gerjeszt´es-v´alasz stabilis, m´as sz´oval a rendszer labilis.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
51 / 141
H´ al´ ozatok
1
Jel fogalma ´es le´ır´asa Jelek oszt´alyoz´asa Jelek tov´abbi csoportos´ıt´asa Fontosabb FI ´es DI jelek
2
Rendszerek ´es oszt´alyoz´asuk SISO, MIMO rendszerek Line´aris, invari´ans, kauz´alis, stabil rendszerek
3
H´al´ozatok Jelfolyam-h´al´ozatok ´es elemeik
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
52 / 141
H´ al´ ozatok
A h´al´ozat fogalma A h´al´ ozat komponensek ¨osszekapcsol´as´ab´ol ´all. Minden komponensnek (h´al´ozati elemnek) egy vagy t¨obb bemenete ´es egy vagy t¨obb kimenete lehet (p´olusok). A bemenet(ek) ´es a kimenet(ek) k¨ozti kapcsolatot a komponens karakterisztik´aja adja meg, ami egy f¨uggv´enykapcsolat a komponens bemeneti v´altoz´oja (v´altoz´oi) ´es kimeneti v´altoz´oja (v´altoz´oi) k¨oz¨ott, pl. megadja a kimeneti v´altoz´ot a bemeneti v´altoz´o f¨uggv´eny´eben. A h´al´ ozat be- ´es kimenete A h´al´ ozat bemenet´ere a gerjeszt´est kapcsoljuk, kimenet´en pedig a v´alaszt v´arjuk. A h´al´ozat is rendelkezhet egy, vagy t¨obb bemenettel ´es egy, vagy t¨obb kimenettel, gerjeszt´ese ´es v´alasza lehet folytonos idej˝u vagy diszkr´et idej˝u. H´al´ozatok ´es rendszerek kapcsolata A h´al´ ozat akkor reprezent´al, m´assz´oval realiz´al egy rendszert, ha gerjeszt´es-v´alasz kapcsolataik megegyeznek. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
53 / 141
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei Az ´ altalunk vizsg´ alt h´ al´ ozatok un. jelfolyamh´ al´ ozatok, melyekben a k¨ ovetkez˝ o jellegzetes (elemi) komponensek fordulhatnak el˝ o: 1
Forr´ as, a h´ al´ ozat bemenet´et, gerjeszt´es´et reprezent´ alja
2
Nyel˝ o, a h´ al´ ozat kimenet´et, v´ alasz´ at reprezent´ alja ¨ Osszegz˝ ocsom´ opont, kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝ o jelek ¨ osszege jelenik meg
3 4
El´ agaz´ ocsom´ opont, A bemenet´ere ´erkez˝ o jel minden kimenet´en v´ altozatlanul halad tov´ abb
5
Er˝ os´ıt˝ o, olyan line´ aris komponens, amelynek karakterisztik´ aja y = Ks, ahol K egy id˝ ot˝ ol f¨ uggetlen konstans
6
K´esleltet˝ o, a bemenet´ere ´erkez˝ o diszkr´et idej˝ u jelet egy u ¨temmel k´eslelteti
7
Integr´ ator, kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝ o folytonos idej˝ u jel integr´ alja jelenik meg
8
Nemline´ aris er˝ os´ıt˝ o,karakterisztik´ aja nemline´ aris, bemenet ´es kimenete k¨ oz¨ ott az η = Φ(ξ) kapcsolat ´ all fenn
9
Szorz´ ocsom´ opont, kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝ o jelek szorzata jelenik meg
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
54 / 141
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei
Forr´as A forr´as a h´al´ozat bemenet´et, gerjeszt´es´et reprezent´alja, egyetlen kimeneti v´altoz´oja az s = s(t) folytonos idej˝u jel, vagy az s = s[k] diszkr´et idej˝u jel, bemenete nincs
I
Nyel˝o A nyel˝o a h´al´ozat kimenet´et, v´alasz´at reprezent´alja, bemeneti v´altoz´oja a keresett y = y(t) folytonos idej˝u jel, illetve y = y[k] diszkr´et idej˝u jel, kimenete nincs
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
O
55 / 141
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei ¨ Osszegz˝ ocsom´opont Az ¨osszegz˝ocsom´opont kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o jelek ¨osszege jelenik meg, azaz X X y(t) = si (t), vagy y[k] = si [k] i
5E
i
5
O
Tetsz˝oleges sz´am´u bemenete lehet ´es egyetlen kimenete van El´agaz´ocsom´ opont Egyetlen bemeneti p´olusa ´es tetsz˝oleges sz´am´u kimeneti p´ olusa van. A bemenet´ere ´erkez˝o s = s(t), vagy s = s[k] jel minden kimenet´en v´altozatlanul halad tov´abb
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
I
OE
56 / 141
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei
Er˝os´ıt˝o Az er˝ os´ıt˝ o olyan line´aris komponens, amelynek karakterisztik´aja y(t) = Ks(t), vagy y[k] = Ks[k], ahol K egy id˝ot˝ol f¨uggetlen konstans (er˝os´ıt´es), teh´at az er˝os´ıt˝o invari´ans elem K´esleltet˝ o A k´esleltet˝ o olyan diszkr´et idej˝u h´al´ozati elem, amely a bemenet´ere ´erkez˝o diszkr´et idej˝u jelet egy ¨ utemmel k´eslelteti, de a kimeneti jel ´es a bemeneti jel ´ert´eke megegyezik. Ez mem´ori´aval b´ır´o, un. dinamikus elem
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
,
57 / 141
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei Integr´ator Az integr´ator olyan folytonos idej˝u h´al´ozati elem, amelynek kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o folytonos idej˝u jel integr´alja jelenik meg. A k´es˝obbiekben azonban azt a jel¨ol´est fogjuk haszn´alni, hogy az integr´ator bemeneti jele az x′ (t) deriv´alt jel, kimenete pedig az x(t) jel Nemline´aris er˝os´ıt˝o A nemline´aris er˝os´ıt˝o olyan komponens, melynek karakterisztik´aja nemline´aris, bemenete ´es kimenete k¨oz¨ott az η = Φ(ξ) kapcsolat ´all fenn, ahol ξ a nemline´aris er˝os´ıt˝o bemeneti jele, η a kimeneti jele, Φ(.) pedig egy nemline´aris f¨uggv´enykapcsolat
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
N J
N
-
.
N J
D
58 / 141
H´ al´ ozatok
Jelfolyam-h´ al´ ozatok ´ es elemeik
Jelfolyam h´al´ozatok elemei Szorz´ ocsom´ opont A szorz´ocsom´opont (nemline´aris komponens) kimenet´en a bemenet´ere ´erkez˝o jelek szorzata jelenik meg, azaz Y Y y(t) = si (t), vagy y[k] = si [k] i
5E
2
O
i
Megjegyz´es: Nem csak jelfolyam h´al´ozatok l´eteznek. (pl. Neur´alis h´al´ozatok, Kirchoff-t´ıpus´u h´al´ozatok stb.) H´al´ozatanal´ızis A h´al´ ozatanal´ızis feladata az ismert h´al´ozati topol´ ogi´aval, ´es ismert karakterisztik´aj´u komponensekkel megadott h´al´ozat ´altal reprezent´alt rendszer valamely gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat´anak meghat´aroz´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
59 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
4
Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok Tetsz˝ oleges v´alasz sz´am´ıt´asa
5
Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok A v´alasz sz´am´ıt´asa A konvol´uci´o Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
6
A rendszeregyenlet Defin´ıci´o A rendszeregyenlet megold´asa Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
60 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Vizsg´al´ojelek
Ha ismerj¨ uk egy line´aris rendszer adott gerjeszt´eshez (az un. vizsg´al´ojelhez) tartoz´ o v´alasz´at, akkor ezen gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat ismeret´eben meg tudjuk hat´arozni a rendszer tetsz˝oleges gerjeszt´eshez tartoz´o v´alasz´at is. Ilyen vizsg´al´ ojel az egys´egugr´asjel (ε(t)) ´es a Dirac-impulzus (δ(t)).
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
61 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Defin´ıci´ o
Az ugr´asv´alasz Defin´ıci´ o (Az ugr´asv´alasz) Ha egy y = W{s} rendszer bemenet´ere az egys´egugr´as jelet adjuk, akkor a rendszer v´alasza az un. ugr´asv´alasz, (´atmeneti f¨uggv´eny) lesz, melynek szok´asos jel¨ol´ese v(t). s(t) = ε(t)
⇒
y(t) = v(t), azaz
v(t) = W{ε(t)}.
Ha a rendszer kauz´alis, akkor az ugr´asv´alasz bel´ep˝ojel (v(t) = 0, ∀t ∈ R− ),
ha a rendszer invari´ans, akkor az eltolt ε(t − τ) gerjeszt´esre a rendszer v(t − τ) v´alasszal felel.
Az ugr´asv´alasz megadja, hogy mik´ent viselkedik a rendszer, ha gerjeszt´ese egy bizonyos id˝o ut´an ´alland´o marad.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
62 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Alap tulajdons´ agok
Az ugr´asv´alasz (folyt.) Pl.1
Legyen egy line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer ugr´asv´alasza, az al´abbi jel
1 0.8 ε(t),v(t)
v(t) = ε(t)e−2t Ha ugyanezen rendszer bemenet´ere a
0.6 0.4 0.2 0
s(t) = ε(t − 2)
−1
gerjeszt´est adjuk, akkor az invariancia miatt a rendszer v´alasza
0
1
2 t
3
4
5
0
1
2 t
3
4
5
1
y(t) = v(t − 2) = ε(t − 2)e
−2(t−2)
.
ε(t−2),v(t−2)
0.8 0.6 0.4 0.2
(Minden t helyett t − 2 ker¨ ult a v(t)-be.)
0 −1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
63 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Alap tulajdons´ agok
Az ugr´asv´alasz (folyt.) Pl.2
Legyen egy line´aris, invari´ans ´es kauz´alis rendszer ugr´asv´alasza, az al´abbi jel
3 2.5 2 ε(t),v(t)
v(t) = ε(t)e−2t Ha ugyanezen rendszer bemenet´ere a
1.5 1 0.5
s(t) = 3ε(t)
0 −1
gerjeszt´est adjuk, akkor a linearit´as miatt a rendszer v´alasza
0
1
2 t
3
4
5
0
1
2 t
3
4
5
3 2.5
(Line´ aris y = W{s} rendszer eset´en Ks(t) → Ky(t).) M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
3ε(t),3v(t)
2
y(t) = 3v(t) = 3ε(t)e−2t .
1.5 1 0.5 0 −1
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
64 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Alap tulajdons´ agok
Az ugr´asv´alasz (folyt.) Pl.3
Hat´arozzuk meg egy LI rendszer v´alasz´at az
2
s(t) = 2[ε(t) − ε(t − 4)]
ε(t),v(t)
1.5
gerjeszt´esre, ha tudjuk, hogy ugr´asv´alasza
1
0.5
0 −1
0
1
2
3
4
5
6
3
4
5
6
t
v(t) = ε(t)e−3t .
2 1.5
A rendszer line´aris ´es invari´ans tulajdons´aga miatt a v´alasz
1 s(t),y(t)
0.5 0 −0.5
y(t) = 2[ε(t)e−3t − ε(t − 4)e−3(t−4) ].
−1 −1.5 −2 −1
0
1
2 t
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
65 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Tetsz˝ oleges v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa Altal´ Tegy¨uk fel, hogy ismert egy rendszer v(t) ugr´asv´alasza, ´es szeretn´enk meghat´arozni a rendszer egy tetsz˝oleges s(t) gerjeszt´esre adott y(t) v´alasz´at. ´ Ertelmezz¨ uk az s(t) jelet eltolt ugr´ asok ¨ osszegek´ent
A t id˝otengely ment´en a [0, t] intervallumban vegy¨unk fel τi = i∆τ id˝opontokat. (i = 0 . . . N, ∆τ = t/N)
s(t) si ∆si
(1) s(0)ε(t), (2) (1) +∆s1 ε(t − τ1 ), (3) (2) +∆s2 ε(t − τ2 ), .. .
∆τ ∆s ∆s1 s0
τ
1
2
τ2
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
τi
t
(i+1) (i) +∆si ε(t − τi ), .. .
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
66 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Tetsz˝ oleges v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa (folyt.) Altal´ A fenti ´ertelmez´essel
s(t) ≈
N X
∆s(τi )ε(t − τi ) = ∆s0 ε(t) + ∆s1 ε(t − τ1 ) + ∆s2 ε(t − τ2 ) + . . .
i=0
Ennek alapj´an a v´alasz ε(t) → v(t) ismeret´eben a k¨ovetkez˝o: y(t) ≈
N X
∆s(τi )v(t − τi ) = ∆s0 v(t) + ∆s1 v(t − τ1 ) + ∆s2 v(t − τ2 ) + . . .
i=0
vagy m´ask´eppen: y(t) ≈ s(0)v(t) + M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
N X
∆s(τi )v(t − τi )
i=1
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
67 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Tetsz˝ oleges v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa (folyt.) Altal´ Felhaszn´alva, hogy ∆s(τi ) ≈ y(t) ≈ s(0)v(t) +
N X i=1
ds(τ) dτ
τi−1
· ∆τ
∆s(τi )v(t − τi ) ≈ s(0)v(t) +
Egyre s˝ur˝ubb feloszt´as mellett (∆τ → 0, N → ∞)
N X ds(τ) y(t) = s(0)v(t) + lim ∆τ→ 0 dτ i=1
N X ds(τ) dτ i=1
τi−1
· ∆τ v(t − τi )
v(t − τi )∆τ
τi−1
az ¨osszeg az al´abbi integr´alhoz konverg´al Zt ds(τ) y(t) = s(0)v(t) + v(t − τ)dτ, 0 dτ melyb˝ ol a v´alasz m´ar sz´am´ıthat´o. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
68 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Tetsz˝ oleges v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa (folyt.) Altal´ A
Rb a
u ′ v = [uv]b a−
Rb
uv ′ szab´aly szerint alak´ıtva, ´ırhat´o Zt dv(t − τ) y(t) = s(0)v(t) + [s(τ)v(t − τ)]t0 − s(τ) dτ, dτ 0 a
ahonnan d(t−τ) = 1 ⇒ d(t − τ) = dt figyelembev´etel´evel, dt d(t−τ) valamint a dv(t−τ) = dv(t−τ) = − dv(t−τ) l´ancszab´aly alkalmaz´as´aval, dτ d(t−τ) dτ dt Zt dv(t − τ) y(t) = s(0)v(t) + s(t)v(0) − s(0)v(t) + s(τ) dτ. dt 0 T´etel (Duhamel) A v(t) ugr´asv´alasz ismeret´eben a LI rendszer v´alasza tetsz˝ oleges s(t) gerjeszt´esre az al´abbi ¨ osszef¨ugg´essel sz´am´ıthat´o Zt dv(t − τ) y(t) = s(t)v(0) + s(τ) dτ. dt 0 M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
69 / 141
Az ugr´ asv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Tetsz˝ oleges v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
A Duhamel-t´etel Az ilyen m´ odon megfogalmazott Duhamel-t´etel Zt dv(t − τ) y(t) = s(t)v(0) + s(τ) dτ, dt 0
levezet´es´en´el felt´etelezt¨uk, hogy a rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o. ´ anos esetben (nem bel´ep˝o gerjeszt´es ´es ugr´asv´alasz) a Duhamel-t´etel a Altal´ k¨ovetkez˝o alakban adhat´o meg Z∞ dv(t − τ) y(t) = s(τ) dτ, dt −∞ v(−∞) = 0 felt´etelez´es mellett.
A Duhamel-t´etel seg´ıts´eg´evel teh´at, az ugr´asv´alasz ismeret´eben a rendszer tetsz˝oleges gerjeszt´esre adott v´alasza sz´am´ıthat´o. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
70 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
4
Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok Tetsz˝ oleges v´alasz sz´am´ıt´asa
5
Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok A v´alasz sz´am´ıt´asa A konvol´uci´o Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
6
A rendszeregyenlet Defin´ıci´o A rendszeregyenlet megold´asa Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
71 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Defin´ıci´ o
Az impulzusv´alasz Defin´ıci´ o (Impulzusv´alasz) Egy y = W{s} rendszer δ(t) Dirac-impulzusra adott v´alasza az un. impulzusv´alasz (vagy s´ ulyf¨uggv´eny), melynek szok´asos jel¨ol´ese w(t). s(t) = δ(t)
→
y(t) = w(t), azaz
w(t) = W{δ(t)}.
Ha a rendszer kauz´alis, akkor az impulzusv´alasz bel´ep˝ojel (w(t) = 0, ∀t ∈ R− ),
ha a rendszer invari´ans, akkor az eltolt δ(t − τ) gerjeszt´esre a rendszer w(t − τ) v´alasszal felel. Az impulzus arr´ol ad felvil´agos´ıt´ast, hogy mik´ent viselkedik a rendszer, a gerjeszt´es megsz˝ un´ese ut´an.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
72 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Alap tulajdons´ agok
Az impulzusv´alasz (folyt.) Pl.1
Legyen egy y = W{s} line´aris, invari´ans, kauz´alis rendszer impulzusv´alasza w(t) = δ(t) − 2ε(t)e−3t . Ha ezen rendszer bemenet´ere az s(t) = δ(t − 2) jelet kapcsoljuk, akkor az y(t) v´alasz az invariancia miatt y(t) = δ(t − 2) − 2ε(t − 2)e−3(t−2) . Ha a rendszer bemenet´ere az s(t) = 3δ(t) jelet kapcsoljuk, akkor az y(t) v´alasz a linearit´as miatt y(t) = 3δ(t) − 6ε(t)e−3t .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
73 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Alap tulajdons´ agok
Az impulzusv´alasz (folyt.) Pl.2
Legyen egy y = W{s} line´aris, invari´ans, kauz´alis rendszer impulzusv´alasza w(t) = 2δ(t) − 3ε(t)e−2t . Legyen a rendszer gerjeszt´ese s(t) = 2δ(t) − δ(t − 1) + 3δ(t − 3). A rendszer v´alasza y(t) = 2w(t) − w(t − 1) + 3w(t − 3) = 4δ(t) − 6ε(t)e−2t − 2δ(t − 1) + 3ε(t − 1)e−2(t−1) + 6δ(t − 3) − 9ε(t − 3)e−2(t−3) .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
74 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa Altal´ Tegy¨uk fel, hogy ismert egy rendszer w(t) impulzusv´alasza, ´es szeretn´enk meghat´arozni a rendszer egy tetsz˝oleges s(t) gerjeszt´esre adott y(t) v´alasz´at. ´ Ertelmezz¨ uk az s(t) jelet eltolt impulzusok ¨ osszegek´ent s(t)
A t id˝otengely ment´en a [0, t] intervallumban vegy¨unk fel τi = i∆τ id˝opontokat. (i = 0 . . . N, ∆τ = t/N)
si
∆τ
Minden intervallumon k¨ozel´ıts¨uk az s(t) f¨uggv´enyt az si = s(τi ) ´ert´ekkel.
s2 s
1
s τ
0
0
τ1
τ
2
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
τi
t
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
75 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa (folyt.) Altal´ Ilym´odon az s(t) gerjeszt´es fel´ırhat´o az eltolt impulzusok ¨osszegek´ent az al´abbi alakban s(t) ≈
N X
s(τi )[ε(t − τi ) − ε(t − (τi + ∆τ))],
i=0
alak´ıtsuk ezt a k¨ovetkez˝ok´eppen s(t) ≈ Vegy¨uk ´eszre,
N X
s(τi )
i=0
ε(t − τi ) − ε(t − (τi + ∆τ)) ∆τ. ∆τ
i +∆τ)) hogy ε(t−τi )−ε(t−(τ ∆τ
s(t) ≈ M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
N X
= δ(t − τi , ∆τ), teh´at
s(τi )δ(t − τi , ∆τ)∆τ.
i=0
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
76 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A v´ alasz sz´ am´ıt´ asa
´ anos v´alasz sz´am´ıt´asa (folyt.) Altal´
Ha minden hat´aron t´ul s˝ur´ıtj¨uk a feloszt´ast (∆τ → 0, N → ∞), akkor az s(t) ≈
N X
s(τi )δ(t − τi , ∆τ)∆τ.
i=0
¨osszeg a δ(t − τi , ∆τ) → δ(t − τ) hat´ar´atmenettel az al´abbi integr´alba megy ´at Z∞ s(t) = s(τ)δ(t − τ)dτ, −∞
ennek alapj´an pedig a linearit´as ´es az invariancia k¨ovetkezt´eben az y(t) v´alasz Z∞ y(t) = s(τ)w(t − τ)dτ, −∞
hiszen Kδ(t − τ) → Kw(t − τ).
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
77 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
A konvol´uci´o-t´etel T´etel (Konvol´uci´o) Egy y = W{s} LI rendszer w(t) impulzusv´alasz´anak ismeret´eben, a rendszer tetsz˝oleges s(t) gerjeszt´esre adott v´alasza sz´am´ıthat´o az Z∞ y(t) = s(τ)w(t − τ)dτ, −∞
integr´al ki´ert´ekel´es´evel. Az ´ıgy defini´alt m˝uveletet konvol´uci´onak nevezz¨uk. Szok´asos jel¨ol´ese a ∗ Az y(t) jel teh´at az s(t) ´es a w(t) jelek konvol´uci´oja y(t) = s(t) ∗ w(t).
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
78 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
A konvol´uci´o tulajdons´agai Ha a rendszer kauz´alis, akkor a w(t) impulzusv´alasz bel´ep˝ o jel. Ilyenkor a v´alasz a Zt y(t) = s(τ)w(t − τ)dτ, −∞
o¨sszef¨ ugg´essel sz´am´ıthat´o, hiszen a w(t − τ) jel τ > t argumentum eset´en azonosan 0 (w(t − τ) = 0, ∀τ > t). Ha ezenfel¨ ul m´eg az s(t) gerjeszt´es is bel´ep˝o jel, akkor a konvol´uci´os integr´al tov´abb egyszer˝us¨odik Zt y(t) = s(τ)w(t − τ)dτ, −0
mert s(τ) = 0, ∀τ < 0 (s(t) bel´ep˝o jel). Ha a gerjeszt´es tartalmaz δ(t) ¨osszetev˝ot, akkor azt a fenti integr´al´asn´al figyelembe kell venni (als´o hat´ark´ent megadott −0). M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
79 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
A konvol´uci´o tulajdons´agai (folyt.)
A konvol´uci´ o akkor ´ertelmezhet˝o, ha s(t) ´es w(t) legal´abb egyike korl´atos, m´asika pedig abszol´ ut integr´alhat´o. A konvol´ uci´ o az al´ abbi tulajdons´ agokkal b´ır:
kommutativit´as, azaz f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t),
asszociativit´as, azaz f(t) ∗ (g(t) ∗ h(t)) = (f(t) ∗ g(t)) ∗ h(t), disztributivit´as, azaz f(t) ∗ (g(t) + h(t)) = f(t) ∗ g(t) + f(t) ∗ h(t).
Ha az integr´al´asi hat´arok 0 ´es t, akkor egyoldali konvol´uci´or´ol, ha −∞ ´es ∞, akkor k´etoldali konvol´uci´or´ol besz´el¨unk. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
80 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
A kommutat´ıv tulajdons´ag A konvol´uci´ o kommutativit´asa k¨onnyen bel´athat´o egy ξ = t − τ seg´edv´altoz´o bevezet´es´evel, tekintve, hogy dτ = −dξ Z −∞ Rb R f=− a f s(τ)w(t − τ)dτ = − s(t − ξ)w(ξ)dξ =−−a−−−−−b−→ −∞ ∞ Z∞ Z∞ = s(t − ξ)w(ξ)dξ = w(ξ)s(t − ξ)dξ.
y(t) =
Z∞
−∞
−∞
Kauz´alis rendszer eset´en (w(t) bel´ep˝o) Zt Z∞ y(t) = s(τ)w(t − τ)dτ ≡ w(τ)s(t − τ)dτ, −∞
0
tov´abb´a, ha az s(t) gerjeszt´es is bel´ep˝o Zt Zt y(t) = s(τ)w(t − τ)dτ ≡ w(τ)s(t − τ)dτ. 0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
0
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
81 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
Az ugr´asv´alasz ´es az impulzusv´alasz kapcsolata
A konvol´uci´ o defini´al´o ¨osszef¨ugg´es´eben s(t) = ε(t) helyettes´ıt´essel az ugr´asv´alasz meghat´arozhat´o Z∞ Zt Zt v(t) = ε(τ)w(t − τ)dτ ≡ w(τ)ε(t − τ)dτ ≡ w(τ)dτ, 0
−∞
−∞
amib˝ol k¨ovetkezik, hogy w(t) = v ′ (t), azaz a w(t) impulzusv´alasz a v(t) ugr´asv´alasz ´altal´anos´ıtott deriv´altja.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
82 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
V´alasz sz´am´ıt´asa konvol´uci´oval Pl.1 Legyen egy LI rendszer impulzusv´alasza az al´abbi w(t) = ε(t)8e−2t . Hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at az s(t) = ε(t) gerjeszt´esre!
y(t) =
Zt
8e
−2(t−τ)
0
= 8e−2t
Zt 0
= 4 − 4e
dτ = 8
Zt 0
R
f(y)g(x)dx=f(y)
R
g(x)dx
e−2t e2τ dτ =−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
t e2τ dτ = 4e−2t e2τ 0 = 4e−2t e2t − e0
−2t
y(t)=0,∀t<0
=−−−−−−−−→= 4ε(t)(1 − e−2t ).
ε ′ (t)=δ(t)
Ell.: w(t) = v ′ (t) = 4ε ′ (t)(1 − e−2t ) + 4ε(t)(2e−2t ) =−−−−−−−→= 8ε(t)e−2t .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
83 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
V´alasz sz´am´ıt´asa konvol´uci´oval Pl.2 Legyen egy LI rendszer impulzusv´alasza az al´abbi w(t) = ε(t)8e−2t . Hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at az s(t) = ε(t)e−3t gerjeszt´esre!
y(t) =
Zt
e
−3τ
0
= 8e
−2t
8e
Zt
−2(t−τ)
dτ = 8
Zt
e
−3τ −2(t−τ)
0
−3τ 2τ
−2t
−t
−3t
e
e dτ = 8e
0
= −8e
−2t
(e
e
Zt 0
0
− e ) = −8e
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
R
f(y)g(x)dx=f(y)
R
g(x)dx
dτ =−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
t e−τ dτ = −8e−2t e−τ 0 y(t)=0,∀t<0
+ 8e−2t =−−−−−−−−→= 8ε(t)(e−2t − e−3t ).
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
84 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
A konvol´ uci´ o
V´alasz sz´am´ıt´asa konvol´uci´oval Pl.3 Legyen egy LI rendszer impulzusv´alasza az al´abbi w(t) = ε(t)8e−2t . Hat´arozzuk meg a rendszer v´alasz´at az s(t) = 2δ(t) + ε(t)e−2t gerjeszt´esre!
y(t) =
Zt
−0
=
Zt
R
R R (f+g)= f+ g
[2δ(τ) + e−2τ ]8e−2(t−τ) dτ =−−−−−−−−−−→ 16δ(τ)e
−0
= 16e−2t
Zt
−2(t−τ)
dτ +
Zt 0
δ(τ)e2τ dτ + 8e−2t
−0
R
f(y)g(x)dx=f(y)
R
g(x)dx
8e−2τ e−2(t−τ) dτ =−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Zt 0
y(t)=0,∀t<0
Rt
δ(τ)e2τ dτ=e0 =1
dτ =−−−−−−−−−−−−−−→ −0
= 16e−2t + 8e−2t t =−−−−−−−−→= 8ε(t)e−2t (2 + t). M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
85 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as
Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
Folytonos idej˝u LI rendszer akkor ´es csak akkor gerjeszt´es-v´alasz stabilis (G-V stabilis), ha impulzusv´alasza abszol´ut integr´alhat´o, azaz ha Z∞ |w(t)|dt < ∞, −∞
Ez k¨onnyen bel´athat´o, a konvol´uci´os integr´al seg´ıts´eg´evel, ugyanis tetsz˝oleges korl´atos (|s(t)| ≤ M) gerjeszt´es mellett Z∞ Z∞ |w(τ)|dτ, |w(τ)||s(t − τ)|dτ ≤ M |y(t)| ≤ −∞
−∞
ennek alapj´an pedig y(t) val´oban csak akkor korl´atos, ha a w(t) impulzusv´alasz abszol´ut integr´alhat´o.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
86 / 141
Az impulzusv´ alasz ´ es alkalmaz´ asa
Gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as
Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as (folyt.)
Kauz´alis rendszer eset´en a G-V stabilit´as felt´etele Z∞ |w(t)|dt < ∞, 0
mert kauz´alis esetben w(t) bel´ep˝o jel (w(t) azonosan 0, ha t kisebb mint 0). A fenti stabilit´asi felt´etel teljes¨ul´es´enek sz¨uks´eges felt´etele, hogy lim w(t) = 0
t→ ∞
⇐⇒
lim v(t) = K,
t→ ∞
azaz, hogy a rendszer impulzusv´alasza 0-hoz, ugr´asv´alasza egy v´eges K konstanshoz tart t → ∞ mellett. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
87 / 141
A rendszeregyenlet
4
Az ugr´asv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok Tetsz˝ oleges v´alasz sz´am´ıt´asa
5
Az impulzusv´alasz ´es alkalmaz´asa Defin´ıci´o Alap tulajdons´agok A v´alasz sz´am´ıt´asa A konvol´uci´o Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
6
A rendszeregyenlet Defin´ıci´o A rendszeregyenlet megold´asa Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
88 / 141
A rendszeregyenlet
Folytonos idej˝u LI rendszerek jellemz´ese
Az eddigiekben l´attuk teh´at, hogy egy folytonos idej˝u LI rendszer viselked´ese form´alisan a y = W{s} gerjeszt´es v´alasz kapcsolattal jellemezhet˝o. A rendszer t´enyleges viselked´es´er˝ol pedig az un. vizsg´al´ojelek seg´ıts´eg´evel szerezhet¨ unk inform´aci´ot. Ilyen vizsg´al´ojelek az ε(t) egys´egugr´as, ´es a δ(t) egys´egimpulzus (Dirac-δ). A y = W{s} LI rendszer jellemz´ese t¨ ort´enhet az al´ abbi W{.}
Ugr´asv´alasz: ε(t) −−−→ v(t), W{.}
Impulzusv´alasz: δ(t) −−−→ w(t),
un. rendszerjellemz˝o f¨uggv´enyekkel, vagy a rendszeregyenlettel.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
89 / 141
A rendszeregyenlet
Defin´ıci´ o
A rendszeregyenlet Defin´ıci´ o (Rendszeregyenlet) Egy folytonos idej˝u, line´aris, invari´ans SISO rendszer rendszeregyenlet´enek ´altal´anos alakja a k¨ovetkez˝o y(n) (t) + a1 y(n−1) (t) + a2 y(n−2) (t) + · · · + an−1 y(1) (t) + an y(t) =
b0 s(m) (t) + b1 s(m−1) (t) + b2 s(m−2) (t) + · · · + bm−1 s(1) (t) + bm s(t), n ≥ m felt´etel mellett ill. az y(n) (t) =
dn y(t) dtn
jel¨ol´es bevezet´es´evel.
A rendszeregyenlet megad´as´an´al felt´etelezz¨uk, hogy a benne szerepl˝o deriv´altak l´eteznek (a gerjeszt´es ´es a v´alasz a sz¨uks´eges rendben deriv´alhat´o).
A fenti m´ odon differenci´al´o jelleg˝u (pl. y(t) = s ′ (t)) rendszerek nem ´ırhat´ok le. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
90 / 141
A rendszeregyenlet
Defin´ıci´ o
A rendszeregyenlet tulajdons´agai A rendszeregyenlet
y(n) (t) + a1 y(n−1) (t) + a2 y(n−2) (t) + · · · + an−1 y(1) (t) + an y(t) =
b0 s(m) (t) + b1 s(m−1) (t) + b2 s(m−2) (t) + · · · + bm−1 s(1) (t) + bm s(t),
egy n-ed rend˝u line´aris, ´alland´o egy¨utthat´os, inhomog´en differenci´alegyenlet, az ´altala defini´alt gerjeszt´es-v´alasz kapcsolat invari´ans (az ai ill. bi egy¨ utthat´ok nem id˝of¨uggv´enyek), tov´abb´a line´aris (a benne szerepl˝o f¨uggv´enyek line´aris kombin´aci´oj´at tartalmazza), seg´ıts´eg´evel csak kauz´alis rendszerek ´ırhat´ok le (az y(t) v´alasz csak a t id˝ opillanatot megel˝oz˝o gerjeszt˝o jelt˝ol ´es v´alaszjelt˝ol f¨ugg).
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
91 / 141
A rendszeregyenlet
Defin´ıci´ o
A rendszeregyenlet tulajdons´agai (folyt.) Kauzalit´ as A rendszeregyenletet integr´ alva, a k¨ ovetkez˝ o alakot kapjuk
y(n−1) + a1 y(n−2) + a2 y(n−3) + · · · + an−1 y + an
Zt
b0 s(m−1) + b1 s(m−2) + b2 s(m−3) + · · · + bm−1 s + bm
y dτ =
−∞ Zt
s dτ,
Zt
Zt
−∞
egy tov´ abbi integr´ al´ as ut´ an
y(n−2) + a1 y(n−3) + a2 y(n−4) + · · · + an−1 b0 s(m−2) + b1 s(m−3) + b2 s(m−4) + · · · + bm−1
Zt
−∞ Zt
−∞
y dτ + an s dτ + bm
−∞ Zt
−∞
−∞ Zt
y dτ dτ = s dτ dτ.
−∞
n db. integr´ al´ as ut´ an olyan alakot kapunk, melyben y(t) csak a (−∞, t) intervallumbeli, azaz a t id˝ opillanatot megel˝ oz˝ o s(t) ´es y(t) f¨ uggv´enye. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
92 / 141
A rendszeregyenlet
Defin´ıci´ o
A rendszeregyenlet tulajdons´agai (folyt.) A rendszer y(t) v´alaszjele teh´at egy t id˝opillanatban a gerjeszt´es ´es a v´alasz (−∞, t), vagy bel´ep˝o gerjeszt´es eset´en a (0, t) intervallumbeli ´ert´ekeit˝ol f¨ugg, azaz a rendszer kauz´alis.
A rendszeregyenletet szok´as az al´abbi t¨om¨or form´aban megadni y(n) (t) +
n X
ai y(n−i) (t) =
i=1
m X
bm s(m−i) (t).
i=0
A rendszeregyenlet megold´asa egy id˝of¨uggv´eny
y(t) = ytr (t) + yst (t), ytr (t) az un. tranziens ¨osszetev˝o (szabad v´alasz), yst (t) az un. stacioner o¨sszetev˝o (gerjesztett v´alasz) M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
93 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa A rendszeregyenlet y(t) = ytr (t) + yst (t) megold´as´anak els˝o tagj´at az al´abbi alakban keress¨uk ytr (t) = Meλt , melyet a homog´en (s(t) ≡ 0) y(t)
(n)
+
n X
ai y(t)
(n−i)
=0
i=1
rendszeregyenletbe helyettes´ıtve n
λ Me
λt
+
n X
ai λ
n−i
Me
λt
= Me
λt
n
λ +
i=1
n X
ai λ
i=1
λn +a1 λn−1 +a2 λn−2 +· · ·+an−2 λ2 +an−1 λ+an = 0 M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
n−i
!
ha M6=0
= 0 −−−−−→
(karakterisztikus egyenlet) 94 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Defin´ıci´ o (Karakterisztikus egyenlet) Az n-ed rend˝u rendszeregyenlethez tartoz´o λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an−2 λ2 + an−1 λ + an = 0 karakterisztikus egyenlet egy n-ed fok´u polinomegyenlet, melynek megold´asa az n-ed fok´u polinom n db. gy¨ok´et (λ1,2,...,n ), az un. saj´at´ert´ekeket szolg´altatja.
A rendszeregyenlet ytr (t) tranziens megold´as´anak szerkezete a saj´at´ert´ekek tulajdons´agait´ol f¨ugg. Az al´abbi fontos eseteket k¨ul¨onb¨oztetj¨uk meg egyszeres saj´at´ert´ekek, egy vagy t¨obb t¨obbsz¨or¨os saj´at´ert´ek, val´os ill. komplex saj´at´ert´ekek.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
95 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Egyszeres saj´ at´ert´ekek (λi 6= λj , ha i 6= j)
ytr (t) =
n X
Mi eλi t
i=1
1 db. q - szoros saj´ at´ert´ek (λ1 = λ2 = · · · = λq = λ, q ≤ n)
ytr (t) =
q X
Mi ti−1 eλt +
i=1
n X
Mi eλi t
i=q+1
P p db. q1,2,...,p - szeres saj´ at´ert´ek ( i qi ≤ n)
ytr (t) =
q1 X
Mi ti−1 eλ1 t +
i=1
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
q2 X i=1
Mi ti−1 eλ2 t + · · · +
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
n X
Mi eλi t
i=q1 +q2 +···+qp +1 96 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Komplex konjug´alt saj´at´ert´ekek Ha a rendszeregyenletben szerepl˝o ai egy¨utthat´ok val´osak (ai ∈ R, ∀i), akkor a karakterisztikus egyenlet komplex saj´at´ert´ekei konjug´alt p´arokban jelennek meg, melyeket c´elszer˝u egy¨utt kezelni.
Legyen adott λ1 = α + jω ∈ C komplex saj´at´ert´ek ´es λ2 = λ∗1 = α − jω konjug´altja. A hozz´ajuk tartoz´o eλ1 t ´es az eλ2 t megold´asok ¨osszege (α−jω)t eλ1 t + eλ2 t = e|(α+jω)t = eαt ejωt + e−jωt = 2eαt cos(ωt). {z } +e | {z } eαt ejωt
2 cos(ωt)
Euler-formul´ ak
e±jϕ ≡ cos(ϕ) ± j sin(ϕ) =⇒ sin(ϕ) = M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
ejϕ −e−jϕ , 2j
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
cos(ϕ) =
ejϕ +e−jϕ 2 97 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Az yst stacioner ¨osszetev˝o meghat´aroz´asa A stacioner o¨sszetev˝o (gerjesztett v´alasz) meghat´aroz´as´ara nincs ´altal´anosan alkalmazhat´o m´odszer. T´etel (Stacioner ¨osszetev˝o meghat´aroz´asa) Ha a rendszeregyenlet jobboldala (a gerjeszt´es) R(t)eαt alak´u f¨uggv´eny (un. kv´azipolinom), akkor l´etezik egy yst = Q(t)tr eαt alak´u stacioner megold´as, ahol deg Q(t) ≤ deg R(t) ´es r az α multiplicit´asa a karakterisztikus egyenletben. Pr´obaf¨uggv´eny m´odszer
Konstans α nem gy¨ok λ r-szeres gy¨ok
Az s(t) gerjeszt´es C Ceαt Ceλt
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Az yst (t) stacioner ¨osszetev˝o A Aeαt Atr eλt
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
98 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Az yst (t) stacioner ¨osszetev˝o megold´asa az inhomog´en rendszeregyenletnek, teh´at az yst (t)-ben szerepl˝o ismeretlen konstansok a rendszeregyenletbe val´o behelyetess´ıt´essel meghat´arozhat´ok (ld. p´eld´ak). P λi Az ytr = n tranziens ¨osszetev˝oben szerepl˝o Mi , i = 1, 2, . . . , n i=1 Mi e konstansok meghat´aroz´as´ahoz n db un. kezdeti felt´etelre van sz¨uks´eg, melyek c´elszer˝uen az y(t) v´alasznak ´es deriv´altjainak a t = 0 id˝opillanatbeli helyettes´ıt´esi ´ert´ekei, melyek ismeret´eben az Mi -k az al´abbi egyenletrendszerb˝ol sz´am´ıthat´ok = y0 ytr (t)|t=0 + yst (t)|t=0 ′ ′ y (t) + yst (t)|t=0 = y0′ tr |t=0 ′′ ′′ ytr (t)|t=0 + yst (t)|t=0 = y0′′ .. . (n) (n) y(n) (t) |t=0 + yst (t)|t=0 = y0 tr
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
99 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.1 Adott az al´abbi FI rendszeregyenlet, y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 3y(t) = s(t), az s(t) = 2ε(t) gerjeszt´essel ´es y(−0) = 0, y ′ (−0) = 0 kezdeti felt´etelekkel, hat´arozzuk meg az y(t) v´alaszf¨uggv´enyt. ´Irjuk fel a karakterisztikus egyenletet, λ2 + 4λ + 3 = 0, → λ1 = −1, λ2 = −3,
melyb˝ol az ytr (t) tranziens megold´asban szerepl˝o λ saj´at´ert´ekek sz´am´ıthat´ok. Mivel csak egyszeres saj´at´ert´ekek fordulnak el˝o (λ1 6= λ2 ), az y(t) megold´as y(t) = M1 e−t + M2 e−3t + yst (t), alakban ad´odik. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
100 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.1 (folyt.) Az yst (t) stacioner ¨osszetev˝o (gerjesztett v´alasz) meghat´aroz´as´ahoz a pr´obaf¨ uggv´eny m´odszert haszn´aljuk. Mivel a gerjeszt´es bel´ep˝o, ´es s(t) = 2ε(t) ≡ 2 konstans, ha t > 0, a gerjesztett v´alasz szint´en konstans yst (t) = A, melynek meghat´aroz´as´ahoz helyettes´ıts¨uk vissza ezt a megold´ast az inhomog´en egyenletbe (t > 0 felt´etelez´essel) A ′′ =A ′ =0
A ′′ + 4A ′ + 3A = 2, −−−−−−−→ A =
2 , 3
az y(t) megold´as most teh´at,
2 y(t) = M1 e−t + M2 e−3t + . 3 Az M1 ´es M2 konstansok meghat´aroz´as´ahoz sz¨uks´eg¨unk van az y(−0) = 0, y ′ (−0) = 0 kezdeti felt´etelekre. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
101 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) A kezdeti felt´etelek megad´asakor a t = −0 ´es t = +0 id˝opillanat megk¨ ul¨ onb¨oztet´ese a Dirac-δ impulzust tartalmaz´o gerjeszt´esek miatt sz¨uks´eges. Ha a gerjeszt´es nem tartalmaz Dirac-impulzust, akkor y(i) (+0) = y(i) (−0), i = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Pl.1 (folyt.)
Az ytr (t)-ben szerepl˝o M1 , ´es M2 konstansok az al´abbi
M1 e0 + M2 e0 + 23 −M1 e0 − 3M2 e0
= y(+0) e0 =1,y(+0)=y ′ (+0)=0 −−−−−−−−−−−−−−−→ = y ′ (+0)
M1 + M2 + 23 −M1 − 3M2
=0 =0
egyenletrendszer megold´asak´ent ad´odnak, M1 = −1 ´es M2 = 31 . A rendszeregyenlet megold´asa teh´at y(t) = M1 e−t + M2 e−3t + M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
2 M1 =−1,M2 = 13 1 2 =−−−−−−−−−−→= −e−t + e−3t + . 3 3 3
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
102 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.1 (folyt.)
Az y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 3y(t) = s(t) rendszeregyenlettel megadott rendszer az s(t) = 2ε(t) gerjeszt´esre y(−0) = 0, y ′ (−0) = 0 kezdeti felt´etelek mellett a
A gerjeszt´es, a megold´ as ´es komponensei 2 1.5
y (t) st
s(t)=2ε(t)
1 s(t),y(t)
Mivel a rendszeregyenlet ´altal le´ırt rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o jel, az y(t) v´alasz is bel´ep˝o jel lesz.
0.5 y(t)=ytr(t)+yst(t) 0 −0.5
y(t) = ε(t)
1 −3t 2 e − e−t + 3 3
,
−1
ytr(t) 0
1
2
3
4
5
6
t
v´alaszjelet adja. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
103 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.2 Adott az al´abbi FI rendszeregyenlet, y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 4y(t) = s(t), az s(t) = ε(t) gerjeszt´essel ´es y(−0) = 0, y ′ (−0) = 0 kezdeti felt´etelekkel, hat´arozzuk meg az y(t) v´alaszf¨uggv´enyt. ´Irjuk fel a karakterisztikus egyenletet, λ2 + 4λ + 4 = 0, → λ1 = −2, λ2 = −2,
melyb˝ol az ytr (t) tranziens megold´asban szerepl˝o λ saj´at´ert´ekek sz´am´ıthat´ok. A λ = λ1 = λ2 egy k´etszeres saj´at´ert´ek (a λ multiplicit´asa 2), az y(t) megold´as y(t) = M1 e−2t + M2 te−2t + yst (t),
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
alakban ad´odik.
104 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.2 (folyt.) Az yst (t) stacioner ¨osszetev˝o (gerjesztett v´alasz) meghat´aroz´as´ahoz a pr´obaf¨ uggv´eny m´odszert haszn´aljuk. Mivel a gerjeszt´es bel´ep˝o, ´es s(t) = ε(t) ≡ 1 konstans, ha t > 0, a gerjesztett v´alasz szint´en konstans yst (t) = A, melynek meghat´aroz´as´ahoz helyettes´ıts¨uk vissza ezt a megold´ast az inhomog´en egyenletbe (t > 0 felt´etelez´essel) A ′′ =A ′ =0
A ′′ + 4A ′ + 4A = 1, −−−−−−−→ A =
1 , 4
az y(t) megold´as most teh´at,
1 y(t) = M1 e−2t + M2 te−2t + . 4 Az M1 ´es M2 konstansok meghat´aroz´as´ahoz sz¨uks´eg¨unk van az y(−0) = 0, y ′ (−0) = 0 kezdeti felt´etelekre. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
105 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.)
Pl.2 (folyt.) Az ytr (t)-ben szerepl˝o M1 , ´es M2 konstansok az al´abbi M1 e0 + M2 0e0 + 14 = y(+0) M1 + 14 → −2M1 e0 + M2 e0 − 2M2 0e0 = y ′ (+0) −2M1 + M2
=0 =0
egyenletrendszer megold´asak´ent ad´odnak, M1 = − 14 ´es M2 = − 21 . A rendszeregyenlet megold´asa teh´at
y(t) = M1 e−2t + M2 te−2t +
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
1 M1 =− 14 ,M2 =− 12 1 1 1 =−−−−−−−−−−−−→= − e−2t − te−2t + . 4 4 2 4
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
106 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.2 (folyt.)
Az y ′′ (t) + 4y ′ (t) + 4y(t) = s(t) rendszeregyenlettel megadott rendszer az s(t) = ε(t) gerjeszt´esre y(−0) = 0, y ′ (−0) = 0 kezdeti felt´etelek mellett a
A gerjeszt´es, a megold´ as ´es komponensei 1 0.8 s(t)=ε(t)
y (t)
0.6 s(t),y(t)
Mivel a rendszeregyenlet ´altal le´ırt rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o jel, az y(t) v´alasz is bel´ep˝o jel lesz.
st
0.4 0.2 y(t)=ytr(t)+yst(t)
0 ytr(t)
−0.2
1 y(t) = − ε(t) e−2t + 2te−2t − 1 , 4
−1
0
1
2
3
4
5
6
t
v´alaszjelet adja.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
107 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.3 Adott az al´abbi FI rendszeregyenlet, y ′′ (t) + 2y ′ (t) + 4y(t) = s(t), az s(t) = ε(t)e−t gerjeszt´essel ´es y(−0) = 1, y ′ (−0) = −1 kezdeti felt´etelekkel, hat´arozzuk meg az y(t) v´alaszf¨uggv´enyt. ´Irjuk fel a karakterisztikus egyenletet, λ2 + 2λ + 4 = 0, → λ1 = −1 +
√ √ 3j, λ2 = −1 − 3j,
melyb˝ ol az ytr (t) tranziens megold´asban szerepl˝o λ saj´at´ert´ekek sz´am´ıthat´ok. Mivel csak egyszeres saj´at´ert´ekek fordulnak el˝o (λ1 6= λ2 ), az y(t) megold´as y(t) = M1 e(−1+
√ 3j)t
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
+ M2 e(−1−
√
3j)t
+ yst (t),
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
alakban ad´odik.
108 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.3 (folyt.) Az yst (t) stacioner ¨osszetev˝o (gerjesztett v´alasz) meghat´aroz´as´ahoz a pr´obaf¨ uggv´eny m´odszert haszn´aljuk. Mivel a gerjeszt´es bel´ep˝o, ´es s(t) = e−t (t > 0), tov´abb´a −1 nem gy¨oke a karakterisztikus egyenletnek, a gerjesztett v´alasz szint´en exponenci´alis fv. yst (t) = Ae−t , melynek meghat´aroz´as´ahoz helyettes´ıts¨uk vissza ezt a megold´ast az inhomog´en egyenletbe (t > 0 felt´etelez´essel) 1 e−t 6=0 Ae−t − 2Ae−t + 4Ae−t = e−t → e−t (A − 2A + 4A) = e−t , −−−−→ A = , | {z } 3 3A
az y(t) megold´as most teh´at,
√ 3j)t
√ 3j)t
1 + e−t . 3 (Az M1 ´es M2 konstansok a y(−0) = 1, y ′ (−0) = −1 kezdeti felt´etelekb˝ol) y(t) = M1 e(−1+
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
+ M2 e(−1−
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
109 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.3 (folyt.) Az ytr (t)-ben szerepl˝o M1 , ´es M2 konstansok az al´abbi M1 e0 + M2 e0 + 13 e0 = y(+0) √ √ 1 0 0 0 (−1 + 3j)M1 e + (−1 − 3j)M2 e − 3 e = y ′ (+0) M1 + M2 + 31 =1 2 √ √ → M1 = − M2 1 3 (−1 + 3j)M1 + (−1 − 3j)M2 − 3 = −1
az els˝ o egyenletb˝ol M1 = 23 − M2 ad´odik, ezt a m´asodik egyenletbe helyettes´ıtve √ √ 2 1 1 (−1 + 3j) − M2 + (−1 − 3j)M2 − = −1 → M2 = 3 3 3 egyenletrendszer megold´asak´ent ad´odik teh´at, M1 = M2 = 13 .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
110 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.3 (folyt.) A rendszeregyenlet y(t) megold´asa teh´at y(t) =
1 (−1+√3j)t 1 (−1−√3j)t 1 −t e + e + e , 3 3 3
ahonnan y(t) =
1 √ 1 −t √3jt e e + e− 3jt + e−t , 3 | {z } 3 √ 2 cos( 3t)
teh´at a megold´as v´egs˝o, val´ os alakja
y(t) =
√ √ 2 −t 1 1 y(t)≡0,t<0 e cos( 3t) + e−t =−−−−−−−−→= e−t ε(t) 2 cos( 3t) + 1 3 3 3
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
111 / 141
A rendszeregyenlet
A rendszeregyenlet megold´ asa
A rendszeregyenlet megold´asa (folyt.) Pl.3 (folyt.)
Az y ′′ (t) + 2y ′ (t) + 4y(t) = s(t) rendszeregyenlettel megadott rendszer az s(t) = ε(t)e−t gerjeszt´esre y(−0) = 1, y ′ (−0) = −1 kezdeti felt´etelek mellett a
A gerjeszt´es, a megold´ as ´es komponensei 1 s(t)=ε(t)e−t 0.8 0.6 s(t),y(t)
Mivel a rendszeregyenlet ´altal le´ırt rendszer kauz´alis ´es a gerjeszt´es bel´ep˝o jel, az y(t) v´alasz is bel´ep˝o jel lesz.
y(t)=ytr(t)+yst(t)
0.4 0.2 0
√ 1 y(t) = e−t ε(t) 2 cos( 3t) + 1 , 3
v´alaszjelet adja.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
−0.2 −1
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
ytr(t)
yst(t) 0
1
2
3
4
5
6
t
112 / 141
A rendszeregyenlet
Gerjeszt´ es-v´ alasz stabilit´ as
Gerjeszt´es-v´alasz stabilit´as Defin´ıci´ o (G-V stabilit´as) Egy rendszeregyenlet´evel adott rendszer akkor ´es csakis akkor gerjeszt´es-v´alasz stabilis, ha minden saj´at´ert´ek´enek val´os r´esze negat´ıv, ℜ{λi } < 0, ∀i = 1, 2, . . . , n, azaz minden saj´at´ert´eke a komplex s´ık baloldal´an helyezkedik el.
Ugyanis ebben az esetben a y(t) =
n X i=1
|
Mi eλi t +yst (t), {z
ytr (t)
}
megold´as ytr (t) tranziens ¨osszetev˝oje tart a 0-hoz, t → ∞ mellett.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
113 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
7
Fizikai objektumok ´es le´ır´asuk (pl.)
8
Az ´allapotv´altoz´os rendszerle´ır´as Defin´ıci´o Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as el˝o´all´ıt´asa h´al´ozat alapj´an Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa SISO rendszer megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
114 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
Villamos RC-tag
Jelfolyam h´ al´ ozat
Fizikai objektum
5
-
Rendszeregyenlet ′ ′ ube (t) = RCuki (t) + uki (t), → uki (t) = − M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
1 1 uki (t) + ube (t) RC RC 115 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
Villamos RC-tag (folyt.)
ube (t) = 2ε(t) →
t
→ uki (t) = 2ε(t)(1 − e− RC )
uki (t) (v´ alasz)
2
2
1.5
1.5
u (t)
1
ki
be
u (t)
ube (t) kapocsfesz¨ ults´eg (gerjeszt´es)
0.5
0.5
0 −0.2
1
0 0
0.2
0.4 t
0.6
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
0.8
1
−0.2
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
0
0.2
0.4 t
0.6
0.8
1
116 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
Rug´ora akasztott test (csillap´ıtatlan eset) Fizikai objektum
Jelfolyam h´ al´ ozat
5
-
-
Rendszeregyenlet
mx ′′ (t) + kx(t) = −mg, → x ′′ (t) +
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
k x(t) = −g, m 117 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
Rug´ora akasztott test (csillap´ıtatlan eset) (folyt.)
Az elmozdul´as id˝of¨uggv´enye m = 1kg
m = 5kg m = 1kg, ∆x
max
m = 5kg, ∆x
= 2.4525cm
max
0
= 12.2625cm
0 −0.02
−0.005
−0.04 x(t)
x(t)
−0.01 −0.015
−0.08
−0.02
−0.1 −0.12
−0.025 0
−0.06
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
t
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
118 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
Rug´ora akasztott test (csillap´ıtott eset) Jelfolyam h´ al´ ozat
Fizikai objektum
5
-
Rendszeregyenlet
mx ′′ (t) + dx ′ (t) + kx(t) = −mg, → x ′′ (t) +
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
d ′ k x (t) + x(t) = −g m m 119 / 141
Fizikai objektumok ´ es le´ır´ asuk (pl.)
Rug´ora akasztott test (csillap´ıtott eset) (folyt.) m = 1kg, ∆x
max
m = 5kg, ∆x
= 1.9237cm
max
0
= 10.9104cm
0 −0.02
−0.005
x(t)
x(t)
−0.04 −0.01
−0.06 −0.08
−0.015
−0.1 −0.02 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.12 0
1
2
3
t m = 15kg, ∆x
max
4
t = 34.3279cm
−4
0
0
x 10
m = 0.03kg, ∆x
max
= 0.036788cm
−0.05 −1
−0.1
x(t)
x(t)
−0.15 −0.2
−2
−0.25 −3 −0.3 −0.35 0
2
4
6
8
−4 0
0.01
t
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
0.02
0.03 t
0.04
0.05
0.06
120 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
7
Fizikai objektumok ´es le´ır´asuk (pl.)
8
Az ´allapotv´altoz´os rendszerle´ır´as Defin´ıci´o Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as el˝o´all´ıt´asa h´al´ozat alapj´an Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa SISO rendszer megold´asa
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
121 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Defin´ıci´ o
Az ´allapotv´altoz´ok ´ Defin´ıci´ o (Allapotv´ altoz´ok) Egy folytonos idej˝u rendszer xi (t), (i = 1, . . . , N) ´allapotv´altoz´oi olyan v´altoz´ok, amelyek az al´abbi k´et tulajdons´aggal b´ırnak A rendszert le´ır´o ´allapotv´altoz´os le´ır´as ismeret´eben az ´allapotv´altoz´ok ´es a gerjeszt´es(ek) t1 id˝opontbeli ´ert´ek´eb˝ol meghat´arozhat´ o az ´allapotv´altoz´ok ´ert´eke tetsz˝oleges t2 > t1 id˝opontokban, ugyanezen adatokb´ol meghat´arozhat´o a rendszer v´alasz´anak (v´alaszainak) ´ert´eke a t1 id˝opontban. Rendsz´am N az ´allapotv´altoz´ok sz´ama, ´es egyben az ´allapotv´altoz´os le´ır´as rendsz´ama, mely rendszerint megegyezik a rendszer rendszeregyenlet´enek rendsz´am´aval. El˝ony¨os, ha min´el kisebb.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
122 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Defin´ıci´ o
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja
xi′ (t)
=
N X
Aij xj (t) +
j=1
yk (t) =
N X
Ns X
Bij sj (t),
(i = 1, 2, . . . , N)
j=1
Ckj xj (t) +
j=1
Ns X
Dkj sj (t),
(k = 1, 2, . . . , Ny )
j=1
ahol xi (t) - az i-edik ´allapotv´altoz´o, (id˝of¨uggv´eny) Aij , Bij , Ckj , Dkj - konstans egy¨utthat´ok, N - az ´allapotv´altoz´ok sz´ama, Ns , Ny - a gerjeszt´esek ´es a v´alaszok sz´ama.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
123 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Defin´ıci´ o
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja (folyt.) Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as egyenletei
xi′ (t) =
N X
Aij xj (t) +
j=1
yk (t) =
N X
Ns X
Bij sj (t),
(i = 1, 2, . . . , N)
j=1
Ckj xj (t) +
j=1
Ns X
Dkj sj (t),
(k = 1, 2, . . . , Ny )
j=1
az al´abbi kompaktabb alakban is ´ırhat´ok x ′ (t) = Ax(t) + Bs(t) y(t) = Cx(t) + Ds(t).
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
124 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Defin´ıci´ o
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja (folyt.) Az ´allapotv´altoz´os le´ır´asban x ′ (t) = Ax(t) + Bs(t) y(t) = Cx(t) + Ds(t), x(t) - az ´allapotvektor, A ∈ RN×N - az un. ´allapotm´atrix,
B ∈ RN×Ns , C ∈ RNy ×N , D ∈ RNy ×Ns - egy¨utthat´ om´atrixok
SISO rendszer eset´en az al´abbi egyszer˝ubb alak ad´odik x ′ (t) = Ax(t) + bs(t) y(t) = cT x(t) + Ds(t), ahol, A ∈ RN×N , b ∈ RN×1 , cT ∈ R1×N , D ∈ R. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
125 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Defin´ıci´ o
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja (folyt.) SISO rendszer ´allapotegyenletei x ′ (t) = Ax(t) + bs(t) y(t) = cT x(t) + Ds(t),
SISO rendszer hat´asv´azlata ,
I
>
5
N
-
N
?
6
5
O
)
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
126 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Defin´ıci´ o
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as norm´alalakja (folyt.) A SISO rendszer ´allapotegyenletei r´eszletesen x ′ (t) = Ax(t) + bs(t) y(t) = cT x(t) + Ds(t),
′
x1 A11 x ′ A21 2 .. = .. . . ′ xN
AN1
y = c1 M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
c2
⇓
A12 A22 .. .
... ... .. .
AN2
...
...
b1 A1N x1 x 2 b2 A2N .. .. + .. s . . .
ANN xN x1 x2 cN . + Ds ..
bN
xN
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
127 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as el˝ oa ´ll´ıt´ asa h´ al´ ozat alapj´ an
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as el˝o´all´ıt´asa H´al´ozati reprezent´aci´o alapj´an Adott az al´ abbi h´ al´ ozat
5
-
-
5
x1′ = x2 , x2′ = −3x1 − 4x2 + s, y = x1 + 5x2 . M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Az ´allapotv´altoz´okat (x1 , x2 ) c´elszer˝u a dinamikus elemekhez (integr´ator) kapcsolni. Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
128 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as el˝ oa ´ll´ıt´ asa h´ al´ ozat alapj´ an
H´al´ozat ´es ´allaptv´altoz´os le´ır´as kapcsolata
Abban az esetben, ha az ´allapotv´altoz´os le´ır´as nem fejezhet˝o ki a k´ıv´ant alakban, akkor a h´al´ozat nem regul´aris (nem reprezent´al val´os fizikai objektumot), strukt´ ur´alisan nem regul´aris → fel´ep´ıt´es´eb˝ol ad´od´oan nem regul´aris,
parametrikusan nem regul´aris → csak a param´eterek bizonyos ´ert´ekei mellett nem regul´aris, ha t¨obb h´al´ozat is ugyanarra az ´allapotv´altoz´os le´ır´asra vezet, ezek a h´al´ ozatok ekvivalensek
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
129 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa M´ atrixpolinom (kvadratikus m´ atrix polinomja)
Az al´abbi p(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + · · · + cN xN ,
skal´ar polinomba az x ← A ∈ RN×N , kvadratikus m´atrixot helyettes´ıtve, a p(A) = c0 E + c1 A + c2 A2 + c3 A3 + · · · + cN AN ,
m´atrixpolinomot ´ertelmezhetj¨uk, ahol A0 = E, az N-ed rend˝u kvadratikus egys´egm´atrix. mo.
M´ atrix exponenci´ alis f¨ uggv´enye (x ′ (t) = λx(t), − −−→ x(t) = Meλt ,
eλt = 1 +
eAt = 1 +
λ ← A)
t t2 t3 tN N λ + λ2 + λ3 + · · · + λ + ... 1! 2! 3! N!
t t2 t3 tN N A + A2 + A3 + · · · + A + ... 1! 2! 3! N!
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
130 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) Bevezet˝o p´elda Adott az al´abbi egyenlet: x ′ (t) = −2x(t) + s(t),
s(t) = 4, ha t ≥ 0,
x(−0) = 5.
A megold´ast el˝osz¨or a m´ar ismert m´odon v´egezz¨uk el x(t)-t az al´abbi alakban keress¨ uk xtr (t)=Meλt
x(t) = xtr (t) + xst (t), −−−−−−−−−→ x(t) = Me−2t + xst (t),
az M konstanst csak a megold´as v´eg´en hat´arozzuk meg, az xst (t) stacioner ¨osszetev˝o a pr´obaf¨uggv´eny m´odszer alapj´an sz´am´ıthat´o xst (t)megold´ as
xst (t) = A, −−−−−−−−−→ A ′ = −2A + 4 ⇒ A = 2,
ahonnan a v´alasz
x(t) = Me−2t + 2. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
131 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) Bevezet˝o p´elda (folyt.) Az M konstans a kezdeti felt´etelb˝ol hat´arozhat´o meg: 5 = M + 2 ⇒ M = 3.
A megold´as x(t) id˝of¨uggv´enye teh´at
x(t) = 3e−2t + 2, ha t ≥ 0. Oldjuk meg most egy m´asik m´odszerrel az egyenletet! A megold´ast most is hasonl´ o alakban keress¨uk xtr (t)=Meλt
x(t) = xtr (t) + xst (t), −−−−−−−−−→ x(t) = Me−2t + xst (t),
azonban az xtr (t) = Me−2t ¨osszetev˝oben most ´erv´enyes´ıtj¨ uk a kezdeti felt´etelt 5 = Me0 ⇒ M = 5, teh´at xtr (t) = 5e−2t , ha t ≥ 0.
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
132 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) Bevezet˝o p´elda (folyt.) Keress¨ unk most egy homog´en megold´ashoz tartoz´o, homog´en kezdeti felt´etelt kiel´eg´ıt˝ o partikul´aris megold´ast! Ehhez hat´arozzuk meg a wx (t) impulzusv´alaszt az al´abbi egyenletb˝ol wx′ (t) = −2wx (t) + δ(t),
(w = W{δ})
mivel a δ(t) gerjeszt´es a t = 0-ban nem korl´atos, c´elszer˝u integr´alni az egyenletet vx′ (t) = −2vx (t) + ε(t),
(ε ′ (t) = δ(t), v ′ (t) = w(t)).
Ez k¨onnyen megoldhat´o vx (t) = vx,tr (t) + vx,st (t) ¨osszetev˝okre bont´assal, ahol vx,tr (t) = Ne−2t .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
133 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) Bevezet˝o p´elda (folyt.) A vx,st (t) stacioner ¨osszetev˝o pedig a pr´obaf¨uggv´eny m´odszer alapj´an sz´am´ıthat´o vx,st (t)megold´ as
vx,st (t) = A, −−−−−−−−−−→ A ′ = −2A + 1 ⇒ A =
ahonnan a vx (−0) = vx (+0) = 0 kezdeti felt´etelb˝ol 0 = Ne0 +
1 2
teh´at az ugr´asv´alasz
1 , 2 ⇒ N = − 21 ,
1 ε(t)(1 − e−2t ), 2 melynek ´altal´anos´ıtott deriv´altja a wx (t) impulzusv´alasz vx (t) = vx,tr (t) + vx,st (t) =
wx (t) = ε(t)e−2t .
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
134 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
Az a ´llapotv´ altoz´ os le´ır´ as megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) Bevezet˝o p´elda (folyt.) A wx (t) impulzusv´alasz ismeret´eben az xst (t) konvol´uci´oval sz´am´ıthat´o Zt Zt xst (t) = wx (t − τ)s(τ)dτ = e2(t−τ) 4dτ = 2 − 2e−2t , 0
0
Az x(t) = xtr (t) + xst (t) jel pedig ennek alapj´an x(t) = xtr (t) + xst (t) = 5e−2t + 2 − 2e−2t = 3e−2t + 2, ami megegyezik az el˝oz˝o m´odszer alapj´an sz´amolt x(t)-vel. ? Mi´ert jobb ez a m´odszer ? (sokkal bonyolultabb) Nem kell a pr´obaf¨uggv´ennyel t¨or˝odni ⇒ ´altal´anosabb megold´asi m´odszer, neh´ezs´eg n´elk¨ul implement´alhat´o numerikus algoritmus form´aj´aban. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
135 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
SISO rendszer megold´ asa
Az ´allapotv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) SISO rendszer megold´asa A megoldand´o egyenletrendszer az al´abbi x ′ (t) = Ax(t) + bs(t), A megold´ast x(t) = xtr (t) + xst (t) alakban keress¨uk. Az xtr (t) tranziens o¨sszetev˝ o a kezdeti felt´etelek ´erv´enyes´ıt´es´evel xtr (t) = eAt x(−0). Hat´arozzuk meg az x(t) ´allapotvektor wx impulzusv´alasz´at wx′ (t) = Awx (t) + bδ(t), ahonnan vx′ (t) = Avx (t) + bε(t), k¨onnyen megoldhat´o vx (t)-re. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
136 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
SISO rendszer megold´ asa
SISO rendszer megold´asa (folyt.) ′ ′ A vx (t) = vx,tr (t) + vx,st (t) megold´asb´ol vx,tr (t) = eAt n, vx,st (t) pedig k megold´ as
′ vx,st (t) = k −−−−−−→ 0 = Ak + b, ⇒ k = −A−1 b,
ahonnan teh´at
vx (t) = vx,tr (t) + vx,st (t) = eAt n − A−1 b. Az n konstansvektor meghat´arozhat´o a vx (+0) = 0 kezdeti felt´etelb˝ol,
innen az ugr´asv´alasz
0 = n − A−1 b, ⇒ n = A−1 b, vx (t) = ε(t) eAt A−1 b − A−1 b ,
melyb˝ol vx′ (t) = wx (t) megadhat´o. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
137 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
SISO rendszer megold´ asa
SISO rendszer megold´asa (folyt.) A vx′ (t) = ε(t) eAt A−1 b − A−1 b ugr´asv´alasz ´altal´anos´ıtott deriv´altja AeAt =eAt A wx (t) = ε(t) AeAt A−1 b =−−−−−−−−→= ε(t) eAt AA−1 b = ε(t)eAt b.
Most megadhat´o xst (t) konvol´uci´oval Zt Zt xst (t) = wx (t − τ)s(τ)dτ = eA(t−τ) bs(τ)dτ, −0
−0
ahonnan az x(t) ´allapotvektor x(t) = xtr (t) + xst (t) = eAt x(−0) +
Zt
eA(t−τ) bs(τ)dτ.
−0
Ennek alapj´an az y(t) = cT x(t) + Ds(t) v´alaszjel sz´am´ıthat´o. M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
138 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
SISO rendszer megold´ asa
SISO rendszer megold´asa (folyt.)
Az y(t) v´alaszjel teh´at
y(t) = cT x(t) + Ds(t) = cT (xtr (t) + xst (t)) + Ds(t) Zt T At T = c e x(−0) + c eA(t−τ) bs(τ)dτ + Ds(t). −0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
139 / 141
Az a ´llapotv´ altoz´ os rendszerle´ır´ as
SISO rendszer megold´ asa
Az ´allaptv´altoz´os le´ır´as megold´asa (folyt.) ¨ Osszefoglalva a megold´as formul´aja SISO esetben: x(t) = e
At
x(−0) +
Zt
eA(t−τ) bs(τ)dτ
−0
y(t) = cT eAt x(−0) + cT
Zt
eA(t−τ) bs(τ)dτ + Ds(t).
−0
MIMO esetben: x(t) = eAt x(−0) +
Zt
−0
y(t) = CeAt x(−0) + C
eA(t−τ) Bs(τ)dτ Zt
eA(t−τ) Bs(τ)dτ + Ds(t).
−0
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
140 / 141
¨ Osszefoglal´ as
9
¨ Osszefoglal´ as
M´ ern¨ ok informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT)
Jelek ´ es rendszerek - 1-2.el˝ oad´ as
141 / 141
