Jelek és rendszerek - 12.előadás

Jelek és rendszerek - 12.el˝oadás A Z-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa Mérnök informatika BSc Pécsi Tudom´ anyegyetem, Pollack Mih´ aly M˝ uszaki Kar M˝ uszaki Informatika és Villamos Intézet M˝ uszaki Informatika Tanszék

M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)

Jelek ´ es rendszerek - 12.el˝ oad´ as

1 / 47

V´ azlat

I.r´ esz: Ism´ etl´ es

Ismétlés

1

Ismétlés A diszkrét idej˝u Fourier-transzformáció (DIFT) Az átviteli karakterisztika



2 / 47

V´ azlat

II.r´ esz: A Z-transzform´ aci´ o´ es alkalmaz´ asa

A Z-transzformáció és alkalmazása

2

A Z-transzformáció Defin´ıció A Z-transzformáció tételei Az átviteli függvény A Z-transzformáció tételei (folyt.) DI jelek Z-transzformáltja

3

A Z-transzformáció alkalmazása A válaszjel Z-transzformáltja

4

Az inverz Z-transzformáció A kifejtési tétel és a válasz szám´ıtása P´ olus-zérus elrendezés és a rendszer stabilitása



3 / 47

V´ azlat



2


3


4




3 / 47

V´ azlat



2


3


4




3 / 47

V´ azlat

¨ III.r´ esz: Osszefoglal´ as

¨ Osszefoglal´ as

5

¨ Osszefoglal´ as



4 / 47

Ism´ etl´ es

1

Ismétlés A diszkrét idej˝u Fourier-transzformáció (DIFT) Az átviteli karakterisztika



5 / 47

Ism´ etl´ es

A diszkr´ et idej˝ u Fourier-transzform´ aci´ o (DIFT)

FI → DI Fourier-transzformáció Fourier-transzformáció FI → DI S(jω) =

Z∞

s(t)e

−jωt

dt,

−∞

⇓

S(jω) ≈

1 s(t) = 2π

Z∞

( az integrált közel´ıtve, és t ← lTs )

∞ X

ϑ:=ωT

l=−∞

S(jω)ejωt dω

−∞

s s(lTs )e−jωlTs Ts =−−−−−→= Ts

⇓ ( dω = dϑ/Ts ) ! Z ∞ X 1 π dϑ −jϑl s(kTs ) = Ts s[l]e ejϑk 2π −π Ts

∞ X

s[l]e−jϑl

l=−∞

l=−∞

⇓

1 s[k] = 2π

Zπ

−π


∞ X

l=−∞

s[l]e−jϑl

!

ejϑk dϑ


6 / 47

Ism´ etl´ es


DI Fourier-transzformáció DI Fourier-transzformáció és inverze

S(ejϑ ) = F {s[k]} =

∞ X

s[k]e−jϑk

k=−∞

1 s[k] = F −1 S(ejϑ ) = 2π

Zπ

S(ejϑ )ejϑk dϑ

−π

Fourier-transzformálhatóság Egy DI s[k] jel akkor Fourier-transzformálható, ha abszolút összegezhet˝o, azaz ∞ X

k=−∞


|s[k]| < ∞.


7 / 47

Ism´ etl´ es


DI Fourier-transzformáció valós alakja Valós alak

s[k] =

1 2π

1 = 2π

Zπ

S(ejϑ )ejϑk dϑ

−π

Z0

−π

jϑ

S(e )e

jϑk

1 dϑ + 2π

Zπ

S(ejϑ )ejϑk dϑ

0

ϑ ← −ϑ Z Z 1 π 1 π −jϑ −jϑk = S(e )e dϑ + S(ejϑ )ejϑk dϑ 2π 0 2π 0 ∗ ⇓ S(e−jϑ ) = S(ejϑ ) Z Z ∗ 1 π 1 π = S(ejϑ ) e−jϑk dϑ + S(ejϑ )ejϑk dϑ 2π 0 2π 0 ⇓



8 / 47

Ism´ etl´ es


DI Fourier-transzformáció valós alakja Valós alak (folyt.)

s[k] =

1 2π

Zπ

0 jϑ

∗ 1 S(ejϑ ) e−jϑk dϑ + 2π

Zπ

S(ejϑ )ejϑk dϑ

0 −jϑ

S(e ) = Sre (ϑ) + jSim (ϑ), S(e ) = Sre (ϑ) − jSim (ϑ) Z Z 1 π 1 π s[k] = (Sre (ϑ) − jSim (ϑ)) e−jϑk dϑ + (Sre (ϑ) + jSim (ϑ)) ejϑk dϑ 2π 0 2π 0 Z 1 π = (Sre (ϑ) − jSim (ϑ)) e−jϑk + (Sre (ϑ) + jSim (ϑ)) ejϑk dϑ 2π 0 ⇓ Z 1 π ejϑk + e−jϑk ejϑk + e−jϑk = 2Sre (ϑ) − 2Sim (ϑ) dϑ 2π 0 2 2j ⇓



9 / 47

Ism´ etl´ es


DI Fourier-transzformáció valós alakja

Valós alak (folyt.) Z ejϑk + e−jϑk ejϑk + e−jϑk 1 π 2Sre (ϑ) − 2Sim (ϑ) dϑ 2π 0 2 2j ⇓ (Euler-formulák) Z 1 π s[k] = 2Sre (ϑ) cos(ϑk) − 2Sim (ϑ) sin(ϑk) dϑ 2π 0 ⇓ (SA (ϑ) = 2R S(ejϑ ) , SB (ϑ) = −2I S(ejϑ ) ) Z 1 π A S (ϑ) cos(ϑk) + SB (ϑ) sin(ϑk) dϑ s[k] = 2π 0 s[k] =



10 / 47

Ism´ etl´ es


DI Fourier-transzformáció valós alakja Valós egy¨ utthatók szám´ıtása

S(ejϑ ) = =

∞ X

k=−∞ ∞ X

s[k]e−jϑk =

∞ X

(s[k] cos ϑk − js[k] sin ϑk)

k=−∞ ∞ X

s[k] cos ϑk − j

k=−∞ A

s[k] sin ϑk

k=−∞ jϑ B

S (ϑ) = 2R S(e ) , S (ϑ) = −2I S(ejϑ ) ∞ ∞ X X SA (ϑ) = 2 s[k] cos ϑk, SB (ϑ) = 2 s[k] sin ϑk ⇓

k=−∞

k=−∞

s[k] paritása s[k] páros ⇒ S(ejϑ ) valós (SB (ϑ) ≡ 0) s[k] páratlan ⇒ S(ejϑ ) képzetes (SA (ϑ) ≡ 0)



11 / 47

Ism´ etl´ es


A Fourier-transzformáció tételei Tétel (Linearitás)

F {C1 s1 [k] + C2 s2 [k]} = C1 F {s1 [k]} + C2 F {s2 [k]} n n X X F Ci si [k] = Ci F {si [k]} i=1

i=1

Tétel (Eltolás)

F {s[k − K]} = e−jϑK S(ejϑ ) ⇓ Biz. 1 s[k − K] = 2π

Zπ


−π

F {s[k−K]}

jϑ

S(e )e

jϑ(k−K)

1 dϑ = 2π


Zπ z }| { e−jϑK S(ejϑ ) ejϑk dϑ −π

12 / 47

Ism´ etl´ es


A Fourier-transzformáció tételei (folyt.)

Tétel (Konvolúció spektruma)

F {s[k] ∗ w[k]} = =

∞ X

k=−∞ ∞ X

(s[k] ∗ w[k])e

−jϑk

=

∞ X

k=−∞

s[i]

i=−∞

= W(ejϑ )

∞ X

w[k − i]ejϑk =

k=−∞ ∞ X

∞ X

s[i]w[k − i] e−jϑk

i=−∞

∞ X

!

s[i]e−jϑi W(ejϑ )

i=−∞

s[i]e−jϑi = W(ejϑ )S(ejϑ )

i=−∞



13 / 47

Ism´ etl´ es


A Fourier-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Moduláció) ∞ ∞ X X F s[k]ejϑ0 k = s[k]ejϑ0 k e−jϑk = s[k]e−j(ϑ−ϑ0 )k = S ej(ϑ−ϑ0 ) k=−∞

k=−∞

vagy valós szinuszos jelre F {s[k] cos(ϑ0 k)} = =

∞ X

s[k] cos(ϑ0 k)e−jϑk =

k=−∞ ∞ X

1 2

k=−∞

s[k]ejϑ0 k e−jϑk +

1 2

∞ X

k=−∞ ∞ X

s[k]

ejϑ0 k + e−jϑ0 k 2

e−jϑk

s[k]e−jϑ0 k e−jϑk

k=−∞

∞ ∞ 1 X 1 X = s[k]e−j(ϑ−ϑ0 )k + s[k]e−j(ϑ+ϑ0 )k 2 2 k=−∞ k=−∞ 1 j(ϑ−ϑ0 ) 1 j(ϑ+ϑ0 ) = S e + S e 2 2



14 / 47

Ism´ etl´ es

Az a ´tviteli karakterisztika

Az átviteli karakterisztika meghatározása Az átviteli karakterisztika W(ejϑ ) =

Y(ejϑ ) b0 + b1 e−jϑ + b2 e−2jϑ + · · · + bm e−mjϑ = jϑ S(e ) 1 + a1 e−jϑ + a2 e−2jϑ + · · · + an e−njϑ

A gerjesztés és a válasz spektrumának viszonya

M

M

M

A W(ejϑ ) átviteli karakterisztika tehát tetsz˝ oleges gerjesztés és a rá adott válasz spektrumának ismeretében meghatározható. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)


15 / 47

A Z-transzform´ aci´ o

2


3


4




16 / 47


Defin´ıci´ o

A Z-transzformáció A Z-transzformáció bevezetése 1

Intuit´ıv módon, a Fourier-transzformáció alapján

2

Formálisan

Alapelv Csak olyan DI jelek Foiurier-transzformálhatók, melyek abszolút összegezhet˝ok. ∞ X

k=−∞

s[k] helyett ⇒

s[k]e−σk

|s[k]| ≮ ∞ −−−−−−−−−−−−−−−−→

∞ X

k=−∞

|s[k]e−σk | < ∞

! Csak belép˝ o jelekre!



17 / 47


Defin´ıci´ o

A Z-transzformáció A Z-transzformáció bevezetése (folyt.) ∞ X F ε[k]s[k]e−σk = s[k]e−σk e−jϑk k=0

S(z) =

∞ X

⇓

sTs := σ + jϑ,

z := esTs

s[k]z−k = s[0] + s[1]z−1 + s[2]z−2 + s[3]z−3 + . . .

k=0

Megjegyzés (Ts mintavételi peri´ odusid˝ o)

L

=

ε(t)s(t)

∞ X

∞ X

δ(t − kTs )

k=0

s(kTs )e−skTs

k=0 M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)

Z∞ 0

=

Z∞ 0

s(t)

∞ X

δ(t − kTs )e−st dt

k=0 z:=esTs

δ(t − kTs ) dt −−−−−→


∞ X

s[k]z−k

k=0 18 / 47


Defin´ıci´ o

A Z-transzformáció

A Z-transzformáció bevezetése (folyt.)

S(z) =

∞ X

s[k]z−k ,

jelölése S(z) = Z {s[k]}

k=0

s[k] - id˝ ofüggvény, S(z) - képfüggvény, z - komplex frekvencia (DI) A Z-transzformáció az id˝otartományból az ún. komplex frekvenciatartományba, vagy Z-tartományba képez.



19 / 47


A Z-transzform´ aci´ o t´ etelei

A Z-transzformáció tételei Tétel (Linearitás) Z {C1 s1 [k] + C1 s1 [k]} = C1 S1 (z) + C2 S2 (z) n n X X Z Ci si [k] = Ci Si (z) i=1

i=1

Tétel (Eltolás)

Z {ε[k − K]s[k − K]} =

∞ X

s[k − K]z−k =

k=K

= z−K

∞ X

k=K ∞ X

M:=k−K

s[k − K]z−(k−K) z−K −−−−−−→

s[M]z−M = z−K S(z)

M=0



20 / 47


Az a ´tviteli f¨ uggv´ eny

Az átviteli függvény ´ Rendszeregyenlet ⇒ Atviteli függvény y[k] +

n X

ai y[k − i] =

i=1

Y(z) +

n X

bj s[k − i]

i=0

⇓

ai z−i Y(z) =

i=1

Y(z) 1 +

m X m X

bi z−i S(z)

i=0

n X i=1

⇓ !

ai z−i

= S(z)

m X

bi z−i

i=0

⇓ Pm −i Y(z) b0 + b1 z−1 + b2 z−2 + · · · + bm z−m i=0 bi z P W(z) = = = n S(z) 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · · + an z−n 1 + i=1 ai z−i



21 / 47



Az átviteli függvény Az átviteli függvény (folyt.) Pm −i b0 + b1 z−1 + b2 z−2 + · · · + bm z−m Y(z) i=0 bi z P = W(z) = = n S(z) 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · · + an z−n 1 + i=1 ai z−i A gerjesztés és a válasz Z-transzformáltjának viszonya

A W(z) átviteli függvény tehát tetsz˝ oleges gerjesztés és a rá adott válasz Z-transzformáltjának ismeretében meghatározható. M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)


22 / 47



Siettetett DI jel Z-transzformáltja

Siettetett DI jel Z-transzformáltja

Z {s[k + 1]} =

∞ X

s[k + 1]z−k = z

k=0

=z

∞ X

∞ X

k=0

−M

s[M]z

M=1



M=k+1

s[k + 1]z−(k+1) −−−−−→ 

 ∞  X  −M  s[M]z = z −s[0]  M=0  | {z } S(z)

= zS(z) − zs[0]



23 / 47



´ Atviteli függvény meghatározása az állapotváltozós le´ırásból ´ ´ Allapotv´ altozós le´ırás ⇒ Atviteli függvény x[k + 1] = Ax[k] + bs[k],

y[k] = cT x[k] + Ds[k] ⇓

zX(z) = AX(z) + bS(z)

Z {x[k + 1]} = zX(z) − zx[0] x[0] = 0

zX(z) = AX(z) + bS(z), T

Y(z) = c X(z) + DS(z)

⇒

⇓ X(z) (zE − A) = bS(z)

!

⇓

⇓

−1

Y(z) = cT (zE − A) W(z) = M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)

−1

X(z) = (zE − A)

bS(z)

bS(z) + DS(z)

Y(z) = cT (zE − A)−1 b + D S(z) Jelek ´ es rendszerek - 12.el˝ oad´ as

24 / 47


A Z-transzform´ aci´ o t´ etelei (folyt.)

A Z-transzformáció tételei (folyt.) Tétel (Konvolúció Z-transzformáltja)

Z {s[k] ∗ w[k]} = =

∞ X

k=0 ∞ X i=0

k X

!

−k

s[i]w[k − i] z

i=0 ∞ X

s[i]

=

∞ X

k=0

{z

z−i W(z)

}

!

s[i]ε[k − i]w[k − i] z−k

i=0

k=0

ε[k − i]w[k − i]z−k =

|

∞ X

∞ X i=0

|

s[i]z−i W(z) = S(z)W(z) {z

S(z)

}

Megjegyzés (kauzális rendszer válasza az s[k] = zk jelre (zk = eσk ejϑk ) )

y[k] =

∞ X

w[i]s[k − i] =

i=0


∞ X

w[i]zk−i = zk

i=0


∞ X

w[i]z−i = zk W(z)

i=0

25 / 47



A Z-transzformáció tételei (folyt.)

Tétel (Csillap´ıtási tétel)

k

Z s[k]q

=

∞ X

k −k

s[k]q z

k=0

=

∞ X

k=0

−k z s[k] = S(z)|z= qz q

Tétel (Kezdeti- és végértéktétel) s[0] = lim S(z), z→ ∞


s[k → ∞] = lim [(z − 1)S(z)] z→ 1


26 / 47



Kapcsolat a Fourier-transzformálttal

S(z) → S(ejϑ )

Ha az s[k] jel belép˝o és abszolút összegezhet˝o, akkor S(ejϑ ) = S(z)|z=ejϑ

W(z) → W(ejϑ )

Ha az LI rendszer GV stabilis és kauzális, akkor W(ejϑ ) = W(z)|z=ejϑ



27 / 47


DI jelek Z-transzform´ altja

Egyszer˝u DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k] Z-transzformáltja

Z {ε[k]} =

∞ X

z−k =

k=0

1 z = −1 1−z z−1

Az ε[k]qk Z-transzformáltja ∞ ∞ k X X q 1 Z ε[k]qk = qk z−k = = z 1− k=0

k=0

q z

=

z z−q

vagy a csillap´ıtási tétel alkalmazásával: Z ε[k]qk = M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)

1 1 = −1 z 1 − z |z= q 1−


q z

=

z z−q

28 / 47



Egyszer˝u DI jelek Z-transzformáltja Az ε[k]qk Z-transzformáltja és deriváltjai (seg´ıtség az inverz transzformációhoz) Z ε[k]qk =

d dq Z ε[k]kqk−1 = ⇓

⇓

z z−q

z (z − q)2

d dq

Z ε[k]k(k − 1)qk−2 =

2z (z − q)3

.. .



29 / 47



Egyszer˝u DI jelek Z-transzformáltja

Az ε[k]ejϑk Z-transzformáltja ∞ z Z {ε[k]qk }= z−q , q=ejϑ X Z ε[k]ejϑk = ε[k]ejϑk z−k =−−−−−−−−−−−−−−−−→= k=0

z z − ejϑ

Az ε[k]e−jϑk Z-transzformáltja ∞ z X Z {ε[k]qk }= z−q , q=e−jϑ Z ε[k]e−jϑk = ε[k]e−jϑk z−k =− −−−−−−−−−−−−−−−− →= k=0



z z − e−jϑ

30 / 47




Az ε[k] cos(ϑk) Z-transzformáltja

1 ejϑk + e−jϑk 1 Z {ε[k] cos(ϑk)} = Z ε[k] = Z ε[k]ejϑk + Z ε[k]e−jϑk 2 2 2 1 z 1 z 1 z(z − e−jϑ ) + z(z − ejϑ ) + = jϑ −jϑ 2z−e 2z−e 2 (z − ejϑ )(z − e−jϑ ) 1 2z2 − z(ejϑ + e−jϑ ) z2 − z cos(ϑ) = = 2 2 jϑ −jϑ 2 z − z(e + e ) + 1 z − 2z cos(ϑ) + 1

=



31 / 47




Az ε[k] sin(ϑk) Z-transzformáltja

1 ejϑk − e−jϑk 1 Z {ε[k] sin(ϑk)} = Z ε[k] = Z ε[k]ejϑk − Z ε[k]e−jϑk 2j 2j 2j 1 z 1 z 1 z(z − e−jϑ ) − z(z − ejϑ ) − = jϑ −jϑ 2j z − e 2j z − e 2j (z − ejϑ )(z − e−jϑ ) 1 z(ejϑ − e−jϑ ) z sin(ϑ) = = 2 2 2j z − z(ejϑ + e−jϑ ) + 1 z − 2z cos(ϑ) + 1

=



32 / 47



Egyszer˝u DI jelek Z-transzformáltja Az δ[k] Z-transzformáltja Z {δ[k]} =

∞ X

δ[k]z−k = 1

k=0

Az δ[k − K] Z-transzformáltja Z {δ[k − K]} =

∞ X

δ[k − K]z−k = z−K

k=0

vagy az eltolási tétel alkalmazásával:

Z {δ[k − K]} = z−K Z {δ[k]} = z−K



33 / 47




Az impulzusválasz és az átviteli függvény viszonya ha s[k]=δ[k]⇒ S(z)=1

Y(z) = W(z)S(z) −−−−−−−−−−−−−−→ Y(z) = W(z) W(z) = Z {w[k]} ,


⇓

w[k] = Z −1 {W(z)}


34 / 47



Egyszer˝u DI jelek Z-transzformáltja Belép˝o periodikus jel Z-transzformáltja Egy f[k] függvény els˝o periódusa (K db. ütem): eltolva iK-hoz

sK [k] = {ε[k] − ε[k − K]}f[k] −−−−−−−−→ s[k] =

∞ X

sK [k − iK]

i=0

⇓ tagonként transzformálva

Z {s[k]} =

∞ X

Z {sK [k]} z−iK =

i=0

1 SK (z) 1 − z−K

Megjegyzés

C

Sp =

K−1 1 X sK [k]e−jpϑk , K k=0


SK (z) =

K−1 X

sK [k]z−k

k=0


⇒

C

Sp =

1 SK (z)|z=ejpϑ K 35 / 47



DI jelek Z-transzformáltja (Példák) Pl. 1 s[k] = ε[k] 0.5k z ⇓ Z ε[k]qk = z−q z S(z) = Z {s[k]} = z − 0.5 Pl. 2 s[k] = ε[k] 2 · 0.8k − 0.9k z ⇓ Z ε[k]qk = , linearitás z−q z z S(z) = Z {s[k]} = 2 − z − 0.8 z − 0.9 M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)


36 / 47



DI jelek Z-transzformáltja (Példák)

Pl. 3 s[k] = ε[k]0.7k cos(5k) ⇓ Z s[k]qk = S(z)|z= qz (csillap´ıtási tétel)

S(z) = Z {s[k]} = Z {ε[k]cos(5k)}|z= =

2

z 0.7 z 2 − 0.7

− 2


z 0.7 cos(5) z 0.7 cos(5) +

z 0.7

= 1

=

z2

z2

z2 − z cos(5) − 2z cos(5) + 1 |z=(

z 0.7

)

z2 − 0.19z − 0.39z + 0.49


37 / 47



DI jelek Z-transzformáltja (Példák)

Pl. 4 s[k] = ε[k]k0.6k z ⇓ Z ε[k]kqk−1 = , ε[k]k0.6k = ε[k]k0.6k−1 · 0.6 (z − q)2 z S(z) = Z {s[k]} = Z ε[k]k0.6k−1 · 0.6 = 0.6 (z − 0.6)2



38 / 47

A Z-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa

2


3


4




39 / 47

A Z-transzform´ aci´ o alkalmaz´ asa

A v´ alaszjel Z-transzform´ altja

Válasz Z-transzformáltja A válaszjel Z-transzformáltja s[k] → LI rendszer → y[k] S(z) → W(z) → Y(z)

Y(z) = W(z)S(z),

R.e. → W(z)

⇓

´ All.e. → W(z)

(y[k] = w[k] ∗ s[k])

Fontos! Csak olyan X(z) transzformáltakhoz tartozik id˝ofüggvény melyekre lim X(z) < ∞,

z→ ∞

azaz X(z) valódi törtfüggvény (a nevez˝o fokszáma magasabb).



40 / 47

Az inverz Z-transzform´ aci´ o

2


3


4




41 / 47


Az inverz Z-transzformáció inverz Fourier-transzformáció → inverz Z-transzformáció s[k] =

1 2π

Zπ

S(ejϑ )ejϑk dϑ

−π

belép˝o és csillap´ıtott s[k] Z 1 π ε[k]s[k]e−σk = S(eσ+jϑ )ejϑk dϑ 2π −π Z 1 π ε[k]s[k] = S(eσ+jϑ )e(σ+jϑ)k dϑ 2π −π ⇓

⇓

dz z = eσ+jϑ = eσ ejϑ ⇒ = eσ jejϑ = jz ⇒ dz = zj dϑ dϑ I 1 ε[k]s[k] = S(z)zk−1 dz (r ∈ Γk ) 2πj |z|=r



42 / 47


Az inverz Z-transzformáció (folyt.) Megjegyzés Az alábbi inverziós integrál kiértékelésére a gyakorlatban nincs szükség. I 1 ε[k]s[k] = Z −1 {S(z)} = S(z)zk−1 dz (r ∈ Γk ) 2πj |z|=r A Γk konvergenciatartomány Γk =

z:

∞ X

−k

|s[k]z

k=−∞

|<∞

pl.: s[k] = ε[k]0.5k ⇒ |0.5z−1 | < 1 ⇒ |z| > 0.5

A Γk sohasem tartalmaz pólusokat! M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)


43 / 47


A kifejt´ esi t´ etel ´ es a v´ alasz sz´ am´ıt´ asa

Válasz szám´ıtása Pl.5 W(z) =

W(z) =

z , s[k] = 2ε[k]0.3k , z2 + 0.4z − 0.05 ⇓

z , (z − 0.1)(z + 0.5) 2

y[k] = ?

S(z) = Z {s[k]} =

⇓

2z Y(z) = W(z)S(z) = =z (z − 0.1)(z + 0.5)(z − 0.3)

2z z − 0.3

2z (z − 0.1)(z + 0.5)(z − 0.3)

⇓ a zárójeles kifejezés részlettörtekre bontása A B C A=, B= C= Y(z) = z + + −−−−−−−−→ z − 0.1 z + 0.5 z − 0.3 M´ ern¨ ok informatika BSc (PTE PMMK MIT)


44 / 47


A kifejt´ esi t´ etel ´ es a v´ alasz sz´ am´ıt´ asa

Válasz szám´ıtása

Pl.5 (folyt.)

Y(z) = z

−1.67 −2.08 3.75 + + z − 0.1 z + 0.5 z − 0.3

⇓ Z ε[k]qk =

=

−1.67z −2.08z 3.75z + + z − 0.1 z + 0.5 z − 0.3

z z−q

y[k] = ε[k] −1.67 · 0.1k − 2.08 · (−0.5)k + 3.75 · 0.3k



45 / 47


P´ olus-z´ erus elrendez´ es ´ es a rendszer stabilit´ asa

Pólus-zérus elrendezés, stabilitás Pólus-zérus elrendezés, stabilitás W(z) =

Y(z) b0 + b1 z−1 + b2 z−2 + · · · + bm z−m = S(z) 1 + a1 z−1 + a2 z−2 + · · · + an z−n ⇓ gyöktényez˝os alakban

W(z) = K

(z − z1 )(z − z1 ) . . . (z − zm ) (z − p1 )(z − p1 ) . . . (z − pn )

⇓ A nevez˝o polinom a |zE − A| determináns ⇒ s.é. = pólusok

GV Stabilitás A DI rendszer akkor és csak akkor GV stabilis, ha W(z) átviteli függvényének minden pólusa az egységkörön belül helyezkedik el. (|pi | < 1, i = 1, 2, . . . , n)



46 / 47

¨ Osszefoglal´ as

5

¨ Osszefoglal´ as



47 / 47

Jelek és rendszerek - 12.előadás

Recommend Documents