Jelek spektruma, Fouriertranszformáció Horváth Árpád
2014. október 7.
Tartalomjegyzék 1. Harmónikus jel és a szögfüggvények 1.1.
1
Alapismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Fourier-sor
2
7
2.1.
Trigonometrikus alakban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.
Exponenciális alakban
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Fouriertranszformáció
8 12
16
3.1.
Az AM modulált jel spektruma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2.
Diszkrét Fouriertranszformáció (DFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
4. A jelek csoportosítása
24
Fellegi József anyagának felhasználásával. Spektrum vagy színkép, a frekvenciatartománybeli alak: milyen szinuszos jelekb®l tudom összerakni. Ennek tanulmányozására ajánlott a
http://www.falstad.com/fourier
oldal.
Pár feladat, amit megoldhatunk vele: 1. Hogyan lehet egy jel összetev®it meghatározni? 2. Hogyan torzul a négyszögjel, ha egy vezetéken (=alulátereszt® sz¶r®n) küldöm át? 3. Milyen kapcsolat van a jel spektruma és a modulált jel spektruma között? 4. Hangok és képek igen jelent®s (veszteséges) tömörítése.
1. Harmónikus jel és a szögfüggvények Tanulmányozzuk el®ször a harmónikus jeleket.
1
Harmónikus jel fogalma De nició
Harmónikus jelnek
nevezzük azokat a jeleket, amelyek felírhatóak
f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ) alakban. Tulajdonképpen ezek a szinuszfüggvény középiskolában tanult transzformáltjai (eltoltjai, nyújtottjai az egyes tengelyek mentén).
Tétel Minden harmónikus jel felírható
f (t) = a cos ωt + b sin ωt alakban is megfelel®
a, b
valós számokkal.
Keressük meg a kapcsolatot a
(A, ϕ0 )
és a
(a, b)
valós számpárok között! El®ször ismételjük át,
amit a szögfüggvényekr®l tudni kell!
1.1. Szükséges alapismeretek ismétlése A radián értelmezése, átváltása r 1 rad
r α = 2 rad
α = 2π rad
i = 2r i = kerület = 2rπ αrad =
αf ok αrad = π 180◦
i r
A szögfüggvények változójaként a radiánban mért szöget szoktuk használni. A radián értéke kellemetlen olyan szempontból, hogy a nevezetes szögeket irracionális számként (π többszöröseként) adhatjuk meg. A fokra való átváltás viszont nem jelent gondot, ha megjegyezzük azt hogy a tel-
◦
jes szög, a 180 ,
π
radiánnal egyenl®.
Ilyenkor aránypár felírásával bármelyik irányban könnyen
átszámolhatunk.
Példák az átváltásra 1. példa Váltsuk át az alábbi radián-értékeket fokba!
π rad, 3
π rad, 4
3π rad, 4
3π rad, 2 2
1 rad,
3,141 rad,
2,5 rad
2. példa Váltsuk át az alábbi fok-értékeket radiánba!
90◦ ,
3. példa Egy r = 20
300◦ ,
15◦ ,
−20◦ ,
114,6◦
cm sugarú körben mekkora a 3 radiános központi szöghöz tartozó ívhossz?
Megoldások: 1. példa
60◦ ,
2. példa
3. példa
45◦ ,
π rad, 2
135◦ ,
270◦ ,
10π rad, 6
57,30◦
π rad, 12
180◦ ,
−
π rad, 9
143,2◦ ,
2 rad
60 cm.
Szögfüggvények, szinusz függvény A sin és cos szögfüggvényeket adott irányszög¶ egységvektor koordinátáiként de niáljuk.
y
y = sin α
1
1
1 2
1 2
1
sin α
α −1
cos α
− 12
1
− 12
x − π6
π 6
π 2
α
π
− 12
A fázisszög az id® során változik, a változási gyorsaságát jellemezhetjük a villanytanból már
ω körfrekvenciával. ω = 100πrad/s ≈ 314 rad s esetén a fázisszög minden másodpercben −1 körhöz tartozó bels® szög, a teljes szög, 2π radián, mivel a 100π−1 radiánnal növekszik. A teljes ismert
kör kerülete
2π -szerese
a sugárnak. Tehát az
ω = 100πrad/s
esetén másodpercenként 50 teljes kört
teszek meg a forgóvektorral, azaz másodpercenként 50 teljes periódust ír le a függ®leges vetületeként kapott szinuszfüggvény. A teljes körök másodpercenkénti számát jellemzi a frekvencia, amely eszerint a radiánok számának
2π -ed
része. A periódusid® az az id®, ahonnan a jel ismétl®dik. Nyilván ez a forgóvektor teljes
körének megtétele után történik meg. Ha frekvencia
50 1/s,
azaz másodpercenként 50 teljes kört ír
le a forgóábra, akkor a periódusid® a másodperc 50-ed része:
ω = 100π
rad ⇒ s
f=
ω 1 = 50 = 50 2π s 3
0.02 s = 20 ms.
Hz
⇒
Jelen esetben tehát:
T = 20 ms.
Ez egyébként épp az európai elektromos hálózatban használt körfrekvencia, frekvencia és periódusid®. A híradástechnikában ennél jóval nagyobb körfrekvencia-értékekkel találkozunk általában.
A forgóvektor y
y = A sin(ωt + ϕ0 )
A
A ω
A 2
A 2
A A sin ϕ ϕ(t)
−A
x
t
− A2
T 4
− A2
T 2
− A2
A harmónikus jeleket egy-egy forgó vektor vetületeként kaphatjuk meg. (Mi a függ®leges összetev®t fogjuk vizsgálni, de más irodalomban −A −A el®fordul a vízszintes összetev® is.)
Nulla kezd®fázis
esetén a jel nulla értékr®l indul pozitív irányba. Amennyiben nem ez a helyzet, az összetev®t valamilyen
ϕ0
kezd®fázissal jellemezhetjük. A kés®bbiek során a vektor irányát jellemz®
ϕ
irányszög az
id®vel arányosan változik:
ϕ(t) = ωt + ϕ0 (A
ϕ
utáni zárójelben lev®
t
azt jelzi, hogy a fázisszög értéke az id®ben változik, matematikus
szóhasználattal az id® függvénye.
A képlet jobb oldalán tehát csak a
t
a változó, a másik kett®
érték, a harmónikus jelre jellemz® állandó, más néven paraméter.) A fenti ábrán a kezd®fázis Mint látható, az
A
π/6,
◦
azaz 30 .
érték lesz a kitérés amplitúdója. A csúcstól csúcsig érték pedig
A korábbi tétel igazolásához bontsuk a
t = 0
pillanatban a vektort két részre, a két tengely
a és b az ábrán látható módon. a + bj algebrai alakjában.)
menti összetev®jére. A két összetev® nagyságát jelölje az
a
és
b
helye itt fordított, mint a komplex számok
cos és sin összetev®k (t = 0)
4
2A. (Figyelem,
y A ω A 2
A
a
ϕ0 x b
− A2
Vizsgáljuk meg a vektor és az összetev®i helyzetét, amikor kissé arrébb fordultak.
−A cos és 2 sin összetev®k (t 6= 0) y A −A ω A 2
A
f (t) =?
ωt + ϕ0 x − A2 Az
f (t)
értékét könnyen kiszámíthatjuk egy szögfüggvény alkalmazásával, mivel a szöggel szem-
közti oldal a kérdéses, és az átfogó ismert: ezek a szinuszban szerepelnek.
− A2
f (t) = A sin(ωt + ϕ0 )
(Ha összeg van a szinusz után, azt mindig zárójelbe tesszük.) Most vizsgáljuk meg, hová kerültek az
a
és
b
szakaszok, és mekkora a vetületük!
−A
cos és sin összetev®k (t 6= 0)
5
A
y A ω
A 2
ωt
a A
f (t) = A sin(ωt + ϕ0 )
a0 =? f (t)
b
b0 =?
f (t) = a0 + b0
ωt
x f (t) = a cos ωt + b sin ωt
− A2 A fenti ábrából megállapítható, hogy a vetületük
a0 = a cos ωt, illetve b0 = b sin ωt.
Ezek összege
éppen a keresett
− A2
f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ).
Ezt mondta ki a korábbi tétel. A kétféle írásmód közül néha az egyik, néha a másik kellemesebb illetve hasznosabb.
Példa −A Hogyan (a, b) és
tudunk áttérni az egyik féle írásmódból a másikba? a
(A, ϕ)
Másképpen milyen kapcsolat van a
valós számpárok között?
Összefüggés (a, b) és (A, ϕ) között y
√ A = a2 + b2 tg ϕ0 = a/b
A
a = A sin ϕ0 b = A cos ϕ0
ω A 2
A
A kapott eredmények fontosak,
a
de inkább az ábráról való
ϕ0 x b
− A2
Vegyük észre! koszinusz,
− A2 számok
leolvasásukat érdemes megjegyezni, mint a végeredményeket.
Ahhoz, hogy a szakirodalomban megszokott jelöléseket használhassuk (a a
b a szinusz együtthatója),
az
a és b helyét fordítva kell megválasztanunk,
mint a komplex
algebrai alakjánál!
Különösen a szög kiszámításánál hasznos a síknegyed-helyes ábra, ugyanis a tangens nem tesz különbséget a 180-fokkal eltér® szögek között, azaz az I. és III. valamint II. és IV. síknegyed között. Ilyenkor az arkusztangenssel kapott szöghöz a III. és IV. (alsó) síknegyedekben
−A 6
180◦
hozzáadandó.
A kés®bb említend® matematikai programokban a szögek számításához érdemes az atan2 (octave, MATLAB) illetve arctan2 (pylab) függvényeket használni.
Példák az átváltásra 1. példa Határozzuk meg az
a
és
b
értéket 4 értékes jegy pontossággal,
A=6
V,
ϕ0 = π/3
2. példa f (t) = 4 esetén határozzuk meg
A
és
ϕ0
V
· sin ωt + 3
V cos ωt
= A sin(ωt + ϕ0 )
értékét négy értékes jegyre.
3. példa f (t) = −4
V
· sin ωt + 3
V cos ωt
esetén ugyanez.
Megoldások: 1. példa
csupán 2. és 3. képletet kell alkalmazni.
√ a=3 3
V
≈ 5,196
V, b
=3
V
A négy értékes jegy azt jelenti, hogy az els® nem nulla számjegyt®l négy jegyet hagyunk meg. A második esetben írhattunk volna 3,000 értéket, amit a mérnöki gyakorlatban alkalmaznak is, ha az adat pontosságát szeretnék hangsúlyozni. Mérnöki gyakorlatban ugyanis nincsenek abszolút pontos mérhet® mennyiségek, minden mérés csak valamilyen mérési pontossággal értend®.
2. példa
csupán 1. és 2. képletet kell alkalmazni.
A=5
3. példa
V, ϕ0
= arctg 3/4 = 0,6435 rad = 36,87◦
A feladatmegoldás menete hasonló.
Az arctg-re negatív értéket kapunk.
felrajzolva kit¶nik, hogy a III. (jobb alsó) síknegyedben van az
A
vektorunk (t
= 0-ban),
Az ábrát tehát a
arctg(−3/4) = −0, 6435 rad = −36,87◦ értékhez 180 fokot hozzá kell adnunk:
ϕ0 = π + arctg(−3/4) = π − 0, 6435 rad = 2,498 rad = 180◦ − 36,87◦ = 143,13◦
2. Fourier-sor A Fourier-sorbafejtés mint már említettük a jelek felbontását jelenti harmónikus jelekre.
A
sorbafejtés során egy végtelen sor összegeként kapjuk meg a függvényt. A sorbafejtés csak periódikus függvények esetén lehetséges. nem periódikus jelek esetén, más módszerre lesz szükség. A Fourier-sort kétféle alakban szokás megadni. A két alak a komlex számok két alakjával a trigonometrikus és az exponenciális alakkal van kapcsolatban. Mindkét alaknak vannak el®nyei, ezért mindkett®t és kapcsolatukat is tárgyaljuk.
7
2.1. Trigonometrikus alakban Fourier-sor • Periodikus jelekre
m¶ködik.
• f (t + T ) = f (t) •
Trigonometrikus alak:
x(t) = a0 +a1 cos(ω0 t) + a2 cos(2ω0 t) + . . . +b1 sin(ω0 t) + b2 sin(2ω0 t) + . . . = ∞ X = a0 + (ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t)) k=1
• ω0 = 2πf0 = Az együtthatók kiszámítása a Scharnitzky Viktor:
2π T
(1)
Vektorgeometria és lineáris algebra cím¶
könyvben (Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Bp., 1999) részletesen benne van.
1. négyszögjel spektruma f (t) 1
t −1 T ( x(t) =
1
ha
t ∈]0, T2 [
−1
ha
t ∈] −
T 2 , 0[
x(t + T ) = x(t)
Páratlan függvényekben csak szinuszos tagok vannak (ak koszinuszos tagok vannak (bk
= 0).
Páros függvényekben csak
= 0). (k = 1...)
1. négyszögjel spektruma, trigonometrikus Páratlan függvényekben csak . . . tagok, páros függvényekben csak . . . tagok vannak.
4 x(t) = π
sin(3ω0 t) sin(5ω0 t) sin(ω0 t) + + + ... 3 5 x(t) =
4 π
∞ X k=1,3,5,...
8
sin(kω0 t) k
4 , π
b1 = Az
ak -k
és a páros index¶
bk -k
b3 =
14 , 3π
b5 =
14 , 5π
b7 , b9 . . .
nullák.
Ezt a sorbafejtést jegyezzük meg, a többi (50%-os kitöltési tényez®j¶) négyszögjel spektrumát ebb®l ki tudjuk következtetni. Ha az amplitudókat ábrázolom a frekvencia függvényében, akkor az alábbi ábrákat kapom:
1. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, bk bk b1 = 4/π ≈ 1, 27 1
b3 = b1 /3 b5 = b1 /5 1ω0 bk 6= 0 ⇔ k
3ω0
5ω0
ω
5ω0
ω
páratlan.
1. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, ak ak
1
a0 = 0 ak = 0
nincs egyenszint
1ω0
3ω0
nincsenek koszinuszos tagok.
1. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó
9
Ak =
q a2k + b2k A1 = 4/π ≈ 1, 27 1
A3 = A1 /3 A5 = A1 /5
Itt
A0 = 0 nincs egyenszint 1ω0 q q 2 2 2 Ak = ak + bk = 02 + bk = |bk | = bk
3ω0
5ω0
ω
(k > 0).
2. négyszögjel (áttérés másik négyszögjelre)
( x(t) =
4V
ha
t ∈]0, 21 s[
0V
ha
t ∈] −
1 2
s, 0[
x(t + 1 s) = x(t)
Az el®z® kétszeresét vesszük, és hozzáadunk kett®t, és az
ω0 = 2πf =
ω0
értéket is meghatározzuk.
2π 2π rad = = 2π T 1s s
2. négyszögjel spektruma 8 sin(3ω0 t) sin(5ω0 t) x(t) = 2 V + V sin(ω0 t) + + + ... π 3 5 x(t) = 2 V +
8 V π
∞ X k=1,3,5,...
sin(kω0 t) k
10
ω0 = 2π
rad s
a0 = 2 V;
b1 =
8 V, π
b3 =
1 8 · V, 3 π
b5 =
1 8 · V 5 π
2. négyszögjel spektruma: trigonometrikus, amplitudó Ak =
q a2k + b2k A1 = 8/π ≈ 2,55
A0 = 2
egyenszint
2
A3 = A1 /3 A5 = A1 /5 1ω0 Itt
Ak = bk ,
ha
3ω0
5ω0
ω
k ≥ 1, A0 = a0 .
Fourier-részösszeg MATLAB-ban és Octave-ban x = linspace(-pi, pi, 1024) y = zeros(1, 1024) for k=1:2:15 % 1, 3, ... 15 y += sin(k*x)/k end plot(x, 4/pi*y) title('Négyszögjel Fourier-sora 15 tag') savefig('fourier15.png') A MATLAB nagytudású kereskedelmi szoftver, mely mártixm¶veletekben és több más m¶szaki és tudományos területen kíváló lehet®ségekkel rendelkezik. Ingyenesen sajnos nem tölthet® le. Az Octave a MATLAB szabad szoftver változata.
A tudása kisebb mint a MATLAB-é, de a
mátrixm¶veleteket és függvényábrázolást képes hasonlóan elvégezni.
Fourier-részösszeg Python3-ban from pylab import * x = linspace(-pi, pi, 1024) y = 0 for k in range(1,16,2): # 1, 3, ... 15 y += sin(k*x)/k plot(x, 4/pi*y) title('Négyszögjel Fourier-sora 15 tag') 11
savefig('fourier15.png') show() Mint látjuk csak a pylab modult kell plusszban behívni, és a ciklus átírni Pythonosra. A Python általános célú nyelv, nem a matematikára van kihegyezve, ezért a matematika terén néha bonyolultabban kezelhet®, mint a MATLAB. Ezért viszont több dolog kárpótolhat: a rendkívül kézreálló szintaktikája, ingyenessége, az, hogy Linux disztribúciókban alapból települ. Szintén el®nye a rengeteg szintén ingyenes modul. Többek közt a fent bemutatott pylab modul a matplotlib csomagból.
http://amk.uni-obuda.hu/cxnet/doc/install_hu.html Python oktató (tutohttp://pythonlib.pergamen.hu/html/tut/
Pylab telepítése: rial):
Aki még nagyobb tudású szabadon használható szoftvert szeretne, érdemes megismerkednie a SAGE-dszel, amely részeként szintén használható a pylab. Ezt akár telepítve is használhatjuk, de lehet®ség van a honlapján regisztrálva a honlapon keresztül használni.
2.2. Fourier-sor exponenciális alakban Két fontos összefüggés A cos és sin exponenciális alakja
j
1 1 cos ωt = e−jωt + ejωt 2 2 j j sin ωt = e−jωt − ejωt 2 2
a képzetes egység (szokásos mérnöki jelölésmódja)
j 2 = −1 Az
ez
jelölés helyett gyakran az
exp(z)
cos ωt =
jelölés használatos:
1 1 exp(−jωt) + exp(jωt) 2 2
(A levezetést nem kell tudni, egyébként a következ® összefüggésb®l kiindulva megkapható az exponenciális alak: ejωt = exp(jωt) = cos ωt + j sin ωt (2) El®ször a e−jωt értékét kell meghatározni. Ehhez tudni kell, hogy a cos páros függvény lévén elnyeli az el®jeleket, a sin mivel páratlan nem. Ha e−jωt és ejωt összegét illetve különbségét vesszük, akkor csak a cos illetve sin marad meg, átrendezéssel a fenti képletek megkaphatóak.) Exponenciális alakban a Fourier-sorban szinuszok és koszinuszok helyett exponenciális függvények szerepelnek. Mint láttuk a szinusz és koszinusz függvényt át lehet írni exponenciális függvények összegére. Mindegyikb®l két tag lesz, ami újdonság, hogy megjelennek a negatív (kör)frekvenciák (exp(−jω0 t)). Az együtthatók ilyenkor komplexek lesznek: a koszinuszból lesz a valós rész, a szinuszból a képzetes rész. Nehezen tudjuk a frekvencia függvényében ábrázolni mindkét összetev®t, ezért gyakran az abszolut értéket szoktuk.
12
A komplex számok bevezetésével a matematikai formulák egyszer¶bbek lesznek, és ezen keresztül vezet az út az általánosításhoz. Az alábbi alakban az
X0
együtthatójú rész exponenciális részének kitev®je nulla lesz, az eggyel
való szorzás elhagyható. Ez lesz az egyen-összetev® (X0
= a0 ).
Az els® sorban vannak a pozitív
frekvenciás tagok, a harmadikban pedig a negatív frekvenciásak. Az el®jelet az
ω
el®l kivittük a
j
elé az egyszer¶ség kedvéért.
Exponenciális alakban x(t) = X1 exp(jω0 t) + X2 exp(j2ω0 t) + X3 exp(j3ω0 t) + . . .
(3)
+ X0 + X−1 exp(−jω0 t) + X−2 exp(−j2ω0 t) + X−3 exp(−j3ω0 t) + . . . e−jωt = exp(−jωt) = cos ωt − j sin ωt
(4)
A rövid alakja:
+∞ X
x(t) =
Xk exp(jkω0 t)
(5)
k=−∞ Határozzuk meg trigonometrikus és exponenciális alakban az együtthatók érté-
STOP
két (ak , bk , Xk )!
x(t) = A sin(ω0 t) A
és
ω0
(7)
valós szám érték¶ zikai mennyiségek.
jA jA exp(jω0 t) + exp(−jω0 t) 2 2 jA jA Trigonometrikus alakban b1 = A. Exponenciális alakban X1 = − 2 , X−1 = 2 . k > 1 egészek esetén ak , bk , Xk és X−k mind nulla. x(t) = A sin(ω0 t) = −
STOP
Határozzuk meg mindkét alakban a Fourier-együtthatók értékét (ak , bk , Xk )! Határozzuk meg az alapfrekvencia, alap-körfrekvencia és periódusid® értékét!
rad x(t) = 240 V cos 777 · t + 77 V s A nullától különböz® Fourier-együtthatók:
a0 = X0 = 77 V,
a1 = 240 V,
X1 = X−1 =
a1 = 120 V 2
Az alap-körfrekvencia, alapfrekvencia és periódusid® értékei:
ω0 = 777
STOP
rad , s
f0 =
ω0 = 123, 7 Hz, 2π
T = 8, 086 ms.
Határozzuk meg mindkét alakban a Fourier-együtthatók értékét (ak , bk , Xk )! Határozzuk meg az alapfrekvencia, alap-körfrekvencia és periódusid® értékét!
rad rad x(t) = 80 V cos 314 · t + 12 V sin 628 · t + 32 V s s 13
(8)
Remélhet®leg ez már önállóan is menni fog. Csak két együtthatót példaképpen:
X2 = −6j V, (Ha az
x(t) jel valós érték¶, akkor minden k
X−2 = 6j V indexre
Xk
és
X−k
egymás konjugáltjai. Szinuszból
két képzetes érték, koszinuszból két valós érték lesz.)
Áttérés a trigonometrikus és exponenciális alak között a cos(ωt) + b sin(ωt) =
a jb + 2 2
· e−jωt +
a jb − 2 2
· ejωt
1. feladat Igazoljuk a fenti összefüggést!
2. feladat Hogyan számolhatjuk az
X1
és
X−1
és
|X1 |
együtthatókat és
a1
és
b1
együtthatókat egymásból?
3. feladat Milyen kapcsolat lesz
A1
között?
Megoldások: 2. feladat
X−1 =
a1 jb1 + , 2 2
X1 =
a1 jb1 − , 2 2
a1 = 2 · Re(X1 ),
b1 = −2 · Im(X1 )
Re és Im a komplex szám valós és képzetes része. 3. feladat
s 2 a jb a 2 1p 2 A b |X1 | = − = = a + b2 = + 2 2 2 2 2 2
A fenti eredmények alapján elég könnyen át tudjuk alakítani egymásba a kétfajta Fourier-sort. Az egyenszinttel semmi gondunk sincs: Az
ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t)
a0 = X0 = A0
valós szám lesz.
alakú többi összetev®t pedig a fenti képlettel át tudjuk alakítani
X−k és Xk együtthatókat. ak és bk együtthatókat.
exponenciális alakba, meg tudjuk határozni az
Xk
értékéb®l meg tudjuk határozni mind az
4. feladat Mi lesz X5
ha
X−5 = 4 − 3j ?
5. feladat Mekkora |X5 |, a5 , b5
és
A5 ,
ha
X5 = 4 − 3j ?
6. feladat Milyen függvények esetén lesznek
Xk
értékek valósak?
7. feladat Mit lehet mondani az
Xk , ak
és
bk
értékekr®l, ha a függvény páratlan?
14
Másik irányba pedig az
Megoldások: 4.
4 + 3j ,
feladat:
mivel a korábbi képletb®l látható, hogy az ellentett index¶ tagok egymás
konjugáltjai (képzetes részük ellentettje egymásnak). 5. feladat:
|X5 | =
√
42 + 32 = 5, A5
a5 = 2 · ReX5 = 2 · 4 = 8,
ennek kétszerese, 10.
b5 = −2 · ImX5 = −2 · −3 = 6,
Az utolsó számítással immár kétféleképp is kiszámoltuk 6. feladat: Nyilván, ha csak
ak
A5 =
q a25 + b25 = 10
A5 -öt.
együtthatók vannak, azaz csak koszinuszos tagok és egyenszint.
Ez pedig akkor van így, ha a függvény páros. 7. feladat: A páratlan függvényeknél csak szinuszos tagok vannak, nincs koszinuszos és egyenszint, emiatt
ak = 0
értékek lehetnek. Az
minden lehetséges
Xk -ra
k -ra, bk
értékeir®l semmit nem tudunk, azok tetsz®leges
ez annyit jelent, hogy csak képzetes része lesz az együtthatóknak. Ez a
helyzet az els® négyszögjelünkkel is.
1. négyszögjel spektruma, exponenciális Ezt már megállapítottuk korábban 4 , π
b1 = Az
ak -k
és a páros index¶
Mivel nincs egyenszint A páros index¶
Xk -k
bk -k
b3 =
14 , 3π
b5 =
14 , 5π
b7 , b9 . . .
nullák.
X0 = 0
nullák lesznek.
a1 b1 2 +j =j , 2 2 π b1 2 a1 − j = −j , X1 = 2 2 π
12 , 3π 12 X3 = −j , 3π
X−1 =
X−3 = j
12 ,... 5π 12 X5 = −j ,... 5π
X−5 = j
1. négyszögjel spektruma: exponenciális, |Xk | |X0 | = A0 |X−k | = |Xk | =
Ak , 2
k>0
|Xk | 1
|X1 | = |X3 | = −5ω1
−3ω1
−1ω1 X0 = 0 nincs
1ω1
A 2
=
|X1 | 3
2 π
|X5 | =
3ω1
egyenszint
15
≈ 0,63
|X1 | 5
5ω1
ω
Az ábra feletti összefüggések minden esetben érvényesek. Ha ismerem a trigonometrikus alak
Ak
amplitúdóit, akkor minden esetben meghatározhatóak ilymódon az exponenciális alak komplex
együtthatóinak abszolút értéke.
3. Fouriertranszformáció (folytonos és diszkrét) A Fouriersor csak periódikus jelekre használható. Nem periódikus jeleknél a Fouriertranszformációt használjuk. A folytonos spektrum kialakítását az alábbi ábrán követjük nyomon. A négyszögjel spektrumát a már megvizsgáltuk. Nézzük meg mi történik, ha a négyszögjel szélességének változtatása nélkül növeljük a periódusid®t! Ha a periódusid®t a végtelenségig növeljük (T
→ ∞, akkor egyetlen impul-
zust kapunk, amely már nem periódikus. Mint az ábrán látható, ahogy a periódusid®t növeljük, a diszkrét jel spektrumának tüskéi egyre közelebb lesznek egymáshoz, határértékben folyamatos jelet kapunk.
Kitér® az alábbi ábra értelmezésére
Az alábbi ábra egyes soraiban egymás mellett láthatóak az összetartozó id®tartománybeli és frekvenciatartománybeli ábrák. Hogyan értelmezzük, hogy negatív értékek is vannak a spektrumban? Egyel®re vizsgáljuk a legels® sorban szerepl® esetet. Az ábrán olyan négyszögjel szerepel, mely páros függvény: a magas szint¶ plató közepénél van a 0 id®pillanat. Nyilván akkor csak koszinuszos tagok lehetnek. Az ábrán tehát az el®jeles ai együtthatók szerepelnek. Látszik, hogy a négyszögjelet vízszintesen eltolom, hogy páros legyen, az egyes összetev®k amplitúdói nem változnak, a frekvenciaösszetev®k nem függhetnek attól, mikor kezdem el mérni az id®t, de bi együtthatók helyett ai együtthatók lesznek. Ráadásul ebben ez esetben felváltva lesznek pozitív és negatív koszinuszos tagok, pozitív és negatív ai együtthatók. Az alábbi els® ábrán látható jel a következ® harmónikus összetev®kb®l áll: 2 1 1 1 x(t) = egyenszint + cos(ω0 t) − cos(3ω0 t) + cos(5ω0 t) − cos(7ω0 t) + . . . . π 3 5 7 Ha a periódusid®t növeljük a magas szint szélességének növelése nélkül, akkor a burkológörbe alakja és annak zérushelyei változatlanok maradnak. A frekvenciaösszetev®k viszont egyre közelebb kerülnek egymáshoz. A periódusid® duplázódásával (második sorban szerepl® gra konok) fele akkora távolságra. Ez nyilvánvaló, hiszen az alap-körfrekvencia a periódusid® reciprokával arányos. Ha a periódusid®vel végtelenhez tartunk (a legalsó sorban szerepl® ábrához), akkor egy nem periódikus esethez közelítünk, a frekvenciaösszetev®k egyre közelebb kerülnek, míg végül kialakul a folytonos színkép. A folytonos színkép zérushelyei ugyanott maradnak, ahol az eredeti (els® sorban szerepl®) jelben az alapfrekvencia páros számú többszörösei.
16
Folytonos spektrum kialakulása
Ezek után nézzük meg, hogyan alakulnak át a képletek, ha a Fourier-sorról a Fourier-transzformációra térünk át. Az összehasonlíthatóság kedvéért egymás mellett szerepeltetjük a képleteiket. A fels® sorban szerepelnek azok a képletek, amellyel a frekvencia-tartományból (X -b®l) id®tartományba (x(t)-be) térhetünk át, az alsóban azok a képletek, amelyekkel az id®-tartományból térhetünk át frekvencia-tartományba. Az
Xk
sorozat helyett egy
X(ω)
folytonos függvény szerepel a Fourier-transzformációban. Az
id®tartománybeli jel most már nem fejezhet® ki egy sorösszegként, hanem egy integrállal határozható meg.
Fouriertranszformáció Nem periodikus (aperiódikus) jelek esetén. (T Fouriersor
x(t) = Xk =
STOP
Fouriertranszformáció
P+∞
1 T
k=−∞ Xk
RT 0
→ ∞)
exp(jkωt)
x(t) =
R +∞
x(t) exp(−jkωt) dt X(ω) =
−∞
X(ω) exp(jωt) dω
R +∞ −∞
x(t) exp(−jωt) dt
Milyen lesz a szinusz, illetve a csillapított szinusz színképe?
Gondoljunk arra, hogy mit®l függött, hogy a spektrum megállapításánál használhatjuk-e a Fourier-sort, vagy csak a Fourier-transzformációt?
17
u(t) [V]
Szinusz és csillapított szinusz színképe
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Sinus and dumped sinus in time and frequency domain
200
400 600 t [x0.25 ms]
800
1000
100
200
400
500
absY(jω) [dB]
0 20 40 60 80 100
f [Hz]
300
Látható, hogy valóban igaz, hogy periódikus jel spektruma diszkrét vonalakból áll, a csillapított szinusz viszont már nem lesz periódikus, és a színképe tényleg folytonos. Megnézhetjük ugyanezt a négyszögjelre és a csillapított négyszögjelre is.
18
u(t) [V]
Négyszögjel és csillapított négyszögjel színképe 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Rectangular and dumped rect. in time and frequency domain
200
400 600 t [x0.25 ms]
800
1000
100
200
400
500
0
absY(jω) [dB]
20 40 60 80 100
f [Hz]
300
3.1. Az AM modulált jel spektruma Az rádióadások egy része amplitudómodulált (AM) jelként kerül kisugárzásra. Ennél a modulálandó
a(t) hangjelet megszorozzák egy nagyobb frekvenciájú harmónikus jellel, az úgynevezett viv®jellel (sc ), és ezt sugározzák ki. A c index onnan származik, hogy a viv® angolul carrier. A viv® jele sc (t) = cos ωc t, ahol fc = ωc /2π a viv®frekvencia. A modulálandó a(t) jel Fourier-transzformáltját jelölje A(ω). Ekkor az AM-modulált jel Fouriertranszformáltja a következ®képp számolható.
Z SAM (ω) =
+∞
a(t) · cos ωc t · e −∞ Z +∞
−jωt
Z
+∞
a(t) ·
dt =
1 1 a(t) · e−j(ω+ωc )t dt + 2 −∞ 2 = A(ω − ωc ) + A(ω + ωc )
−∞ Z +∞
=
1 −jωc t 1 +jωc t e + e 2 2
a(t) · e−j(ω−ωc )t dt
· e−jωt dt =
(9)
(10)
−∞ (11) (12)
Az utolsó sorban az látszik, hogy a modulált jelben az eredeti spektrum két helyen található meg, eltolódva a plusz és minusz
ωc -vel.
19
Változtat-e a dolgon, hogyha a moduláló jel koszinusz függvény helyett szinusz? Nem, mivel az az exponenciális alak
X(ω)
értékkészlete lesz-e.
Az ábrán pedig az abszolútérték, azaz
függvényében csak annyit változtat, hogy azoknak valós, vagy képzetes
|X(ω)|,
szerepel, ami ugyanaz a két
esetben.
Alapsávi és modulált jel spektruma, harmónikus jel Az alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát az alábbi képlet¶ moduláló jel és
sc
sm
harmónikus
viv®jel esetén.
sm (t) = Am cos(ωm t) + A0 ,
sc (t) = 1 cos(ωc t)
|Xk | A0 Am 2 Am 4
A0 2
ω −ωc − ωm −ωc + ωm
−ωm
ωm
ωc − ωm
ωc + ωm
ωc
−ωc
Periódikus jel esetén amikor a spektrum vonalas az alapsávi jelek
Xk
együtthatói már felei
az eredeti jel amplitúdóinak, a moduláció esetén ismét felez®dik az amplitudó, tehát az eredeti amplitudó negyede jelenik meg exponenciális alakot használva.
Alapsávi és modulált jel spektruma, AM-DSB Az alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén.
|X(ω)|
ω ωc
−ωc
Az utóbbi esetben egy olyan jel AM modulált változatát mutattunk be, amelyben a moduláló jel spektruma folytonos, és valamilyen frekvenciahatárok közé esik.
Általában ilyennek vehetünk
egy rádióadást, ahol a jel pl. 20 Hz és 20 kHz között folytonosnak tekinthet®. Gyakran ilyenkor a spektrumot egy trapézzal (mint itt) vagy háromszöggel ábrázoljuk. Itt a két oldalsávos AM-moduláció (AM-DSB) spektrumát mutattuk be. Két oldalsávos angolul: rövidítéseket.
Double Side Band.
(Az angol megfelel®ket nem kell tudni, csak a
A rövidítetlen alakot csak azért írom ki, mert az angolul tudók így könnyebben
megjegyzik a rövidítést, és esetleg könnyebben keresnek a témához szakirodalmat.)
20
Alapsávi és modulált jel spektruma, elnyomott viv®s, AM-DSB/SC Az alábbi ábra mutatja az alapsávi és modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén.
|X(ω)|
ω ωc
−ωc
Ha egyszer¶en nem adunk egyenszintet a modulálandó jelhez, akkor a kisugárzott jelben hiányozni fog a viv®jel. Ez el®ny vagy hátrány? Mindkett®. A viv®jel hiánya, mint látni fogjuk, nehezebbé teszi a demodulálást, azaz a moduláló jel visszaállítását. Emiatt az AM modulációval m¶köd® rádióadók nem elnyomott viv®vel m¶ködnek. Az elnyomott viv®s moduláció el®nye viszont, hogy kisebb teljesítményt kell kisugározni. Nem kell kisugározni az
±ωc
frekvenciájú tüskéket, mégsem lesz a
vett jelb®l visszaállított (demodulált) jel gyengébb min®ség¶, mintha a viv®jelet is kisugároztam volna. Elnyomott viv® angolul: Suppressed Carrier.
Modulált jel spektruma, egy oldalsávos, AM-SSB Az alábbi ábra mutatja a modulált jel spektrumát folytonos spektrumú moduláló jel esetén.
|X(ω)|
ω −ωc
ωc
Az AM modulációnak van még egy harmadik változata, amellyel sávszélességet takaríthatunk meg. Egyszer¶en csak az egyik oldalsávot továbbítjuk. Lényegtelen, hogy a fels®t, vagy az alsót. Az ábrán az alsó oldalsáv (lower band) maradt meg, azaz a viv®frekvenciánál kisebb frekvenciák, de használhattuk volna a fels® oldalsávot (upper band) is. Ez a modulációtípus az analóg telefonos hangátvitel alapja. Nagyjából kétszer annyi beszédet továbbíthatunk így, mintha mindkét oldalsávot továbbítanánk. Ez a modulációtípus nem jelent energiatakarékosságot, mivel a fél oldalsáv levágása gyengébb min®séget jelent, ha nem kompenzáljuk azzal, hogy nagyobb teljesítménnyel továbbítjuk a jelet. Manapság jelent®sen el®rehaladt a digitalizálás a telefonvonalok esetében, úgyhogy a telefonvonalakon egyre kevesebb helyen megy analóg jel, azaz AM-SSB jel. Egy oldalsávos angolul: Single Side Band.
21
3.2. Diszkrét Fouriertranszformáció (DFT) Diszkrét Fouriertranszformáció (DFT) Mintavételezett jelek esetén a Fouriertranszformáció DFT-be megy át. Diszkrét Fouriertr.
x(n) = X(k) =
Fouriertranszformáció
PN −1
n,k k=0 X(k)WN
√1 N √1 N
PN −1 n=0
Twiddle-faktor
WNn,k
x(t) =
x(n)WN−n,k
R +∞
X(ω) exp(jωt) dω R +∞ X(ω) = −∞ x(t) exp(−jωt) dt −∞
2πkn 2πkn + j sin = cos N N f = kf0 , t = nT
A Twiddle-faktor pontos alakját nem fontos tudni, hanem azt, hogy egy rögzített mintaszám (N ) esetén két paramétert®l függ, az
n-t®l
és a
k -tól. N = 16
esetben
k = 0, 1, 2, . . . , 15
n = 0, 1, 2, . . . , 15 értékei lehetnek (mindkett® 0-tól 15-ig vesz fel egész értékeket). 16 · 16 = 256 értéket jelent, amelyet el®re meghatározhatunk és eltárolhatunk.
STOP
WN−n,k
és
Ez összesen
szerepel az id®tartományból a spektrumba alakításnál. Ezeket az együtt-
hatókat külön ki kell számolnunk, vagy valahogy meghatározható a
WNn,k
érté-
kekb®l? A fenti képletb®l látható, hogy az tuma ellentettjére változik.
n
el®jelének megváltoztatásával a két szögfüggvény argumen-
A koszinusz az ellentettet elnyeli, mert páros függvény, a szinusz elé
viszont kiemelhet® a mínusz el®jel. Tehát a valós rész marad, a képzetes rész ellentettjére változik, azaz mindegyik Twiddle-faktornak a konjugáltját kell venni az inverz m¶veletnél.
WN−n,k
= cos
2πkn N
− j sin
2πkn N
= WNn,k
A diszkrét Fouriertranszformációt mátrix alakban is felírhatjuk mindkét irányban. Ha az illetve
x(n)
X(k)
értékeket egy oszlopvektorként írjuk fel, akkor az egyikb®l a másikat úgy kapjuk meg,
hogy a Twiddle-faktorokból álló mátrix-szal szorozzuk.
DFT: mátrix alak (N=16) N −1 1 X X(k) = √ x(n)WN−n,k N n=0
0,0 W16 0,1 W16 0,2 W16 .. .
1 √ N 0,k W16 .. . 0,15 W16
... ... ... .. . ... .. . ...
−n,0 W16 −n,1 W16 −n,2 W16 .. .
−n,k W16 .. .
−n,15 W16
... ... ... .. . ... .. . ...
−15,0 W16 −15,1 W16 −15,2 W16 .. .
−15,k W16 .. .
−15,15 W16
22
x(0) x(1) x(2) .. . x(n) .. . x(15)
=
X(0) X(1) X(2) .. . X(k) .. . X(15)
DFT: szemléletesen (N=8)
folytonos valós rész, szaggatott képzetes
A másik irányba nyilván a konjugáltakból álló mátrix-szal kell számolni.
DFT: m¶veletszám A m¶veletek különféle átrendezésével kisebb m¶veletigénnyel is megvalósítható, és ezáltal gyorsabbá tehet® a transzformáció. Ezeket a gyorsabb változatokat nevezzük
gyors Fouriertranszformációnak
(FFT, Fast F. T.). MAC-m¶veletszám (komplex szorzás+összegzés) DFT
FFT
1)2
N/2 · log2 N
hányados
16
225
32
7
128
16129
448
36
256
65025
1024
64
1024
1046529
5120
204
N
(N −
n
Míg a DFT akárhány minta esetén m¶ködik, az FFT egyik változata csak kett®hatvány (2 ) minta esetén m¶ködik igazán hatékonyan, akkor viszont jelent®sen rövidebb id® alatt kiszámítható. A diszkrét koszinusztranszformáció, DCT a diszkrét Fouriertranszformáció olyan változata, ahol a mintavett jelet csupa koszinuszokból rakjuk össze. alakjában csupa valós együttható (1/2) szerepel.
Mint láttuk a koszinusz exponenciális
A DCT együtthatói tehát csupán valós szám,
cserében viszont kétszer annyi lesz bel®le. A DCT fontos szerepet játszik a JPEG és MPEG formátumok tömörítési eljárásában.
Az FFT története
A gyors Fouriertranszformációt többször elfeledték, és többször felfedezték.
Fontosságra igazán a gyors számítógépek megjelenésével tett szert.
23
1805 körül Gauss már felfe-
dezte, kés®bb a fehérvári születés¶ Lánczos Kornél fedezte fel 1940-ben egy munkatársával. Végül James Cooley és John Tukey fedezte fel 1965-ben az IBM munkatársaiként. Korábban mindketten Neumann munkatársai voltak a IAS számítógép megépítésében. Tukey-t®l származik a bit kifejezés.
4. A jelek csoportosítása Analóg/digitális jel
Digitális jel, amelynek az értékkészlete és az értelmezési tartománya is
diszkrét értékekb®l áll. Általában az értékkészlete véges számú értéket vesz fel. Gyakorlatban az értelmezési tartományra kirótt feltétel azt jelenti, hogy adott id®pillanatokban érdekel minket, hogy a diszkrét értékek közül melyik értéket veszi fel, a többi id®pontban érdektelen az értéke. Analóg jel, amelynek mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete folytonos. Tehát minden id®pillanatban fontos a jel értéke, és az érték a széls®értékek között minden értéket felvesz. Találkozunk olyan jellel is, amely csak id®ben diszkrét, ez szigorúan véve egyik csoportba sem sorolható be. Ilyen lesz a jelek mintavételezésekor kapott impulzusamplitudó moduláció (PAM). A másik köztes állapottal amikor az értékkészlet diszkrét, és a jel id®ben folytonos mi nem fogunk találkozni az órán.
Periodicitás
Periodikus jel: amelynél van olyan
T
periódusid®, melyre
f (t + T ) = f (t) Csak a periódikus jelek írhatóak fel Fouriersor összegeként. Az alábbi alakban felírható jeleket hívják
harmónikus jeleknek :
f (t) = A sin(ωt + ϕ0 ) Itt
ω
a körfrekvencia,
ϕ0
a kezd® fázisszög (kezd®fázis),
A
a jel amplitudója.
A képletben a szinusz helyett koszinuszt is írhattunk volna, akkor csupán a kezd®fázis értékét kell máshogy megválasztani. Nyilván a harmónikus jelek periódikus jelek, periódusidejük
2π/ω .
Kváziperiodikus jel: Ezek a Fouriersorhoz hasonló összegként írhatóak fel, de az összetev®k körfrekvenciák aránya nem minden esetben racionális szám. Pl
√ sin(5t) + sin( 2t).
Ebben az esetben nincs olyan alap(kör)frekvencia, amelynek mindegyiké
egész számú többszöröse lenne. Racionális arányok esetén mindig van ilyen alapfrekvencia.
Egyéb tulajdonságok
Sávhatárolt jel: amelyhez tartozik egy
fmax
frekvenciahatár, amelynél
nagyobb frekvenciát nem tartalmaz. Véges idej¶ jel: amelynél van olyan t1 és t2 id®pont, melyeken kívül a jel értéke nincs értelmezve vagy nulla. Nyilván periódikus jel nem lehet véges idej¶, csak akkor, ha állandóan nulla.
A véges idej¶
jeleknek ezt kivéve nincs Fouriersora. Tehát gyakorlatban nem is tudunk olyan jelet létrehozni, amely tökéletesen periódikus lenne.
24
