73
Modul 9. (Pertemuan 19 s/d 26) INTEGRAL FOURIER 9.1 DEFINISI INTEGRAL FOURIER Mari kita mengasumsikan kondisi yang berikut pada f(x) : 1. f(x) dalam kondisi stabil Dirichlet tiap-tiap interval terbatas (-L,L). 2.
∫
∞
f ( x) dx konvergen, jika f(x) integrasi absolut dalam (-L,L).
−∞
Maka Teorema Integral Fourier : ∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα 0
di mana
⎧ A(α ) = 1 ∞ f ( x) cos αx dx π ∫− ∞ ⎪ ⎨ ∞ 1 = B ( α ) ⎪⎩ π ∫− ∞ f ( x ) sin αx dx
(1)
(2)
Dengan melihat hasil ( 1), jika x adalah suatu titik kesinambungan f(x). Jika x adalah suatu titik kesinambungan, kita harus menggantikan f(x) dengan
f ( x + 0) + f ( x − 0) seperti di kasus Deret Fourier. Jangan catat 2
bahwa itu di atas kondisi-kondisi adalah cukup tetapi perlu. Persamaan ( 1) dan ( 2) dengan bersesuaian hasil untuk Deret Fourier adalah nyata. Sisi tangan kanan ( 1) kadang-kadang disebut suatu Perluasan Integral Fourier f(x). Teorema (Integral Fourier) Jika f(x) fungsi kontinu sepotong demi sepotong pada setiap interval berhingga, memiliki derivatif kiri maupun derivatif kanan di sekitar titik, 0
b
dan integral lim ∫a f ( x ) dx + lim ∫0 f ( x ) dx ada , maka f(x) dapat a → −∞ b →∞ direpresentasikan oleh integral Fourier.
74 ∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα 0
⎧ A(α ) = 1 ∞ f ( x) cos αx dx π ∫− ∞ ⎪ ∞ di mana ⎨ ⎪⎩ B (α ) = π1 ∫−∞ f ( x) sin αx dx Di titik di mana f(x) tak kontinu, nilai interval sama dengan rata-rata dari limit kiri dan limit kanan f(x) di titik tersebut. Contoh : Cari representasi integral Fourier dari fungsi
⎧ 1 , jika x < 1 f (x) = ⎨ ⎩ 0 , jika x > 1 Penyelesaian : 1 ∞ −1 ∞ A(α) = π1 ∫ f (x) cosαx dx = π1 ⎡∫ (0) ⋅ cosαx dx + ∫ (1) ⋅ cosαx dx + ∫ (0) ⋅ cosαx dx⎤ ⎢⎣ −∞ ⎥⎦ 1 −∞ −1
[
]
= π1 ∫ (1) ⋅ cosαx dx = π1 ⋅ α1 ∫ ⋅ cosαx d(αx) = πα1 sinαx −1 = πα1 [sinα − sin(− α )]
A(α ) =
1
1
−1
−1
1
πα
1
[sin α + sin α ] = 2 sin α . πα
1 ∞ −1 ∞ B(α) = π1 ∫ f (x)sinαx dxπ1 ⎡∫ (0) ⋅ sinαxxdx+ ∫ (1) ⋅ sinαxxdx+ ∫ (0) ⋅ sinαxxdx⎤ ⎢⎣ −∞ ⎥⎦ 1 −∞ −1
[
]
= π1 ∫ (1) ⋅ sinαxxdx = π1 ⋅ α1 ∫ ⋅ sinαxxd(αx) = πα1 − cosαx −1 = − πα1 [cosα − cos(−α)] 1
1
−1
−1
B(α ) = − πα1 [cos α − cos α ] = 0 .
1
∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B(α ) sin αx}dα , 0
∞ ⎧⎛ 2 sin α ⎞ ⎫ 2 ∞ sin α ⋅ cos αx dα f ( x) = ∫ ⎨⎜ cos αx + 0 ⋅ sin αx ⎬dα = ∫ ⎟ 0 π 0 α ⎩⎝ πα ⎠ ⎭
.
75
Latihan Soal : Carilah representasi integral Fourier fungsi
⎧ 0 jika x < 0 ⎪ f ( x) = ⎨ π2 jika x = 0 ⎪πe - x jika x > 0 ⎩ Kunci Jawabanya :
f ( x) = ∫
∞
0
cos αx + αsinαx dα 1+ α 2
INTEGRAL COSINUS DAN INTEGRAL SINUS FOURIER Jika f(x) fungsi genap, maka integrand f ( x) cos αx merupakan fungsi genap dalam x, dan f ( x) sin αx fungsi ganjil dalam x. Dengan demikian :
B(α ) = A(α ) =
1
π
∫
1
π
∞
−∞
∫
∞
−∞
f ( x) sin αx dx = 0 , ∞
f ( x) cos αx dx = π2 ∫ f ( x) cos αx dx , 0
∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B (α ) sin αx}dα 0
∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + 0 x}dα 0
∞
f ( x ) = ∫ A(α ) cos α x dα 0
yang
merupakan
Integral
Cosinus
Fourier. Jika f(x) fungsi ganjil, maka integrand f ( x) cos αx merupakan fungsi ganjil dalam x, dan Dengan demikian :
f ( x ) sin αx
fungsi genap dalam x.
76
A(α ) =
∫
1
π
B (α ) =
∞
f ( x) cos αx dx =0 ,
−∞
∫
1
π
∞
f ( x ) sin αx dx =
−∞
2
π
∫
∞
0
f ( x) sin αx dx ,
∞
f ( x) = ∫ {A(α ) cos αx + B(α ) sin αx}dα 0 ∞
f ( x) = ∫ {0 x + B (α ) sin αx}dα 0 ∞
f ( x ) = ∫ B (α ) sin αx dα 0
yang merupakan Integral Sinus Fourier.
Contoh : Cari Integral Cosinus dan Integral Sinus Fourier dari
f ( x) = e − kx
,
(x > 0,
k > 0)
Penyelesaian :
A(α ) =
∫
1
π
∞
∞
f ( x) cos αx dx = π2 ∫ f ( x) cos αx dx =
−∞
0
2
π
∫
∞
0
e − kx cos αx dx
,
A(α ) = π2 ⋅ lim ∫
p
p →∞ 0
p − kx ⎤ ⎡ e ⎥ { ( ) } e − kx cos αx dx = ⋅ lim ⎢ k cos α x α sin α x − + π p→∞ ⎢ (− k )2 + α 2 ⎥ 0 ⎦ ⎣
2
,
⎤ ⎫ 2 ⎡ ⎧ e − kp e0 ( ) ( ) − + − − + A(α ) = ⋅ ⎢ lim ⎨ 2 k cos α p α sin α p k cos 0 α sin 0 ⎬ ⎥ 2 2 π ⎣ p →∞ ⎩ k + α 2 ⎭ k +α ⎦ ,
A(α ) =
2 ⎡ 1 ⎤ 2k ⎡ 1 ⎤ ( ) ⋅ ⎢0 − 2 − + ⋅ 0 k α ⎥ = π ⋅ ⎢k 2 + α 2 ⎥ . π ⎣ k +α 2 ⎦ ⎣ ⎦
B(α ) =
1
π
∫
∞
−∞
f ( x) sin αx dx =
2
π
∫
∞
0
f ( x) sin αx dx =
2
π
∫
∞
0
e − kx sin αx dx
, p
B (α ) = π2 ⋅ lim ∫ e p →∞ 0
− kx
p ⎤ ⎡ e − kx ⎥, { ( ) } sin αx dx = ⋅ lim ⎢ k sin α x α cos α x − − π p→∞ ⎢ (− k )2 + α 2 ⎥ 0 ⎦ ⎣
2
77
B (α ) =
⎤ ⎫ 2 ⎡ ⎧ e − kp e0 ( ) ( − − k sin 0 − α cos 0 )⎥ , k sin α p α cos α p ⋅ ⎢ lim ⎨ 2 − − ⎬ 2 2 2 π ⎣ p →∞ ⎩ k + α ⎭ k +α ⎦
B(α ) =
2 ⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ α ⎤ ( ) 0 1 k α ⋅ ⎢0 − 2 − ⋅ − ⋅ ⋅ ⎥⎦ = π ⋅ ⎢⎣ k 2 + α 2 ⎥⎦ . π ⎣ k +α 2
Maka Integral Cosinus Fourier : ∞
f ( x) = ∫ A(α ) cos αx dα , 0
f ( x) = ∫
2k ⎡ 1 ⎤ 2k d cos α α = ⋅⎢ 2 π ⎣ k + α 2 ⎥⎦ π
∞
0
∫
∞
0
⎡ cos αx ⎤ ⎢⎣ k 2 + α 2 ⎥⎦dα .
Maka Integral Sinus Fourier : ∞
f ( x) = ∫ B(α ) sin α x dα , 0
f ( x) = ∫
∞
0
2 ⎡ α ⎤ 2 ∞ ⎡ α sin αx ⎤ sin α dα = ∫ ⎢ 2 dα ⋅ π ⎢⎣ k 2 + α 2 ⎥⎦ π 0 ⎣ k + α 2 ⎥⎦ .
Soal Latihan : 1. Carilah representasi Integral Cosinus Fourier fungsi
⎧1 , jika 0 < x < 1 f (x) = ⎨ ⎩ 0 , jika x > 1 Kunci Jawaban :
f ( x) =
2
π
∫
∞
0
⎡ sin α ⋅ cos αx ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦dα α
2. Carilah representasi Integral Sinus Fourier fungsi
⎧e x , jika 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩ 0 , jika x > 1
78
Kunci Jawaban : f ( x ) =
2
π
∫
∞
0
⎡ α − e(α cos α − sin α ) ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ sin αxdα 1+α 2
FORMAT PADANAN DARI TOREMA INTEGRAL FOURIER Teorema Integral Fourier dapat juga ditulis dalam bentuk :
f ( x) =
f ( x) =
1
∞
∫ ∫
∞
π α = 0 u = −∞ ∞
∫ π ∫ ∫
1 2π
= 21
f (u ) cos α ( x − u ) du dα ∞
e −iαx dα ∫ f (u )e iαu du
−∞
∞
(3)
−∞
∞
−∞ −∞
(4)
f (u )e iα (u − x ) du dα
di mana jika f(x) tidak kontinu di sebelah kiri x harus diganti dengan
f ( x + 0) + f ( x − 0) . 2
These results can be simplified somewhat if f(x) is either an odd or an even function, and we have : ∞
∞
0
0
f ( x) = π2 ∫ cosαx dα ∫ f (u) cosαu du f ( x) =
2
π
∫
∞
0
∞
sin αx dα ∫ f (u ) sin αu du , 0
,
if f(x) is even
if f(x) is odd
(5) (6)
79
9.2
DEFINISI TRANSFORMASI FOURIER
Definisi Fungsi
F (α )
disebut transformasi Fourier dari fungsi
f (x)
ditulis
F (α ) = F{ f ( x)}, bila dari (4), akan diperoleh berikut ini :
F (α ) =
Sedangkan fungsi
f (x)
∞
1 2π
∫ f (u)e
iαu
du .
(7)
−∞
disebut transformasi Fourier inverse dari fungsi
F (α ) dan ditulis
f ( x) = F −1{F (α )}, bila
f ( x) =
1 2π
∞
∫ F (α )e
− iα x
dα .
(8)
−∞
Contoh : Carilah transformasi Fourier dari fungsi
⎧⎪1 , bila f ( x) = ⎨ ⎪⎩0 , bila
x
di mana a konstanta positif. Gambarlah grafik dari
F (α ) = F{ f ( x)}
tersebut.
x >a
f (x)
dan
80 F(x) F (α )
1 α -a
a
Solusi
F (α ) = = = = F (0) =
1 2π
∞
∫ f (u ) e
iα u
du =
2π
−∞
1 ⎡ 1 iau a ⎤ ⎢ e ⎥= − a⎦ 2π ⎣ iα ⎡ e iaα − e −iaα ⎢ 2i α 2π ⎣ 2
a
1
∫1 ⋅ e
iα u
du
−a
1 ⎡ 1 iaα − iaα ⎤ ( )⎥ e e − 2π ⎢⎣ iα ⎦
⎤ ⎥= ⎦
4 sin( aα ) 2π
α
4 sin( aα ) 2 sin( aα ) = 2π α π α 1 2π
a
∫ 1 dx =
−a
2a 2π
=
4 2π
a=
2
π
Jadi,
⎧ ⎪ ⎪ F (α ) = ⎨ ⎪ ⎪⎩
2 sin( aα )
π 2
π
α a
, bila α ≠ 0 , bila α = 0.
a
, α ≠ 0,
81
Soal - soal 1. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
⎧1 ⎪ , bila x < a, f ( x ) = ⎨ 2a ⎪0 , bila x > a, ⎩ di mana a konstanta positif. 2. Carilah transformasi Fourier dari fungsi
⎧⎪1 − x 2 , bila x < 1 f ( x) = ⎨ , bila x > 1. ⎪⎩0
TRANSFORMASI COSINUS FOURIER Bila f(x) fungsi genap, buktikan bahwa :
Fc (α ) = F{ f ( x)} =
2
π
∞
∫ f (u ) cos(αu ) du, 0
dan
f ( x) = F {Fc (α )} = −1
2
π
∞
∫ F (α ) cos(α x) dα . c
0
82 Solusi (a)
Fc (α ) = = =
∞
1
∫ f (u ) e
2π
iα u
∞
du =
−∞
∫ f (u)[cos(αu) + i sin(αu)] du
−∞
∞ ∞ ⎤ 1 ⎡ f u u du i f u u du ( ) cos( ) ( ) sin( ) α α + ⎥ ⎢∫ ∫ 2π ⎣−∞ −∞ ⎦ ∞ ∞ ⎤ 1 ⎡ 4 f (u ) cos(αu ) du ⎢2 ∫ f (u ) cos(αu ) du ⎥ = ∫ 2π ⎣ 0 2 π 0 ⎦
2
Fc (α ) =
∞
∫ f (u ) cos(αu ) du
π
0
mengingat bahwa f ( x ) cos(α x ) adalah fungsi genap dan adalah fungsi ganjil (keduanya terhadap variable x).
f ( x ) sin(αx )
(b)
f ( x) = = = f ( x) =
mengingat
∞
1 2π 2π
dα =
2π
∫ Fc (α ) cos(αx) dα −
−∞ ∞
2 2π
π
c
−∞
1
∞
1
2
∫ F (α )e
− iαx
∫ F (α ) cos(αx) dα = c
0
∞
∫ F (α )[cos(αx) − i sin(αx)] dα c
−∞
∞
i 2π 4 2π
∫ F (α ) sin(αx) dα c
−∞ ∞
∫ F (α ) cos(αx) dα c
0
∞
∫ F (α ) cos(αx) dα c
0
Fc (α ) adalah fungsi genap yaitu Fc (−α ) = Fc (α ) untuk tiap
α , di mana f(x) adalah Transformasi cosinus Fourier ( Fourier Cosine
Transform )
83
TRANSFORMASI SINUS FOURIER Definisi Fungsi Fs (α ) disebut transformasi sinus Fourier dari fungsi f (x) dan ditulis
Fs (α ) = Fs { f ( x)}, bila
Fs (α ) = Sedangkan fungsi fungsi
Fs (α )
f (x )
2
π
∞
∫ f (u ) sin(αu ) du . 0
disebut transformasi sinus Fourier inverse dari
dan ditulis
f ( x) = Fs−1 {Fs (α )}, bila
f ( x) =
2
π
∞
∫ F (α ) sin(αx) dα s
0
mengingat Fs (α ) adalah fungsi ganjil yaitu Fs ( −α ) = − Fs (α ) untuk tiap α , di mana f(x) adalah Transformasi Sinus Fourier ( Fourier Sine Transform )
84 Contoh-contoh 1. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi
⎧1, bila 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0, bila x > 1. Solusi 1 ∞ ⎤ 2⎡ = ⋅ + ⋅ α α α FS (α ) = f u u du uu du uu du ( ) sin( ) 1 sin( ) 0 sin( ) ⎢ ⎥ ∫1 π ∫0 π ⎣ ∫0 ⎦ 1⎤ 2⎡ 1 2 ⎡ 1 ⎤ = − α − (cos α − cos 0)⎥, u cos( ) ⎢ ⎥= ⎢ 0⎦ π ⎣ α π⎣ α ⎦
2
∞
2⎡ 1 ⎤ 1 − cos α α − (cos − 1 ) ⎥⎦ = π ⎢⎣ α α
FS (α ) =
2
π
,
2. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi
α ≠0
f ( x ) = e − x , x ≥ 0.
Solusi ∞ ⎤ 2 ⎡ −u ( ) cos( ) cos( ) = α α Fc (α ) = f u u du u du ⎢ ⎥ π ∫0 π ⎣∫0 e ⎦
2
∞
p −u ⎡ ⎧ ⎫⎤ p ⎤ 2⎡ 2⎢ −u ⎪ e ⎪⎥ ( ( ) ) ( 1 ) cos( ) sin α α α u u = − + ⎢lim∫ e cos(αu)du⎥ = ⎨ ⎬⎥ lim 2 π ⎢⎣ p→∞ 0 π ⎢ p→∞ ⎪(− 1) + α 2 ⎥⎦ 0⎪ ⎢⎣ ⎩ ⎭⎥⎦ 0 ⎤ ⎫⎪ ⎧⎪ − p 2⎡ e e ⎢lim⎨ ⎥ ( ) ( ) cos( ) sin( ) cos 0 sin 0 α α α α p p − − + = − + ⎬ 2 π ⎢ p→∞ ⎪⎩1 + α 2 1 α + ⎥⎦ ⎪ ⎭ ⎣
=
2⎡ 1 (−1 + 0)⎤⎥ = 2 ⎡⎢ 1 2 ⎤⎥ 0− 2 ⎢ π ⎣ 1+ α π ⎣1 + α ⎦ ⎦
85 Jadi,
Fc (α ) =
2⎡ 1 ⎤ π ⎢⎣1 + α 2 ⎥⎦
Soal - soal 2 1. Carilah transformasi cosinus Fourier dari fungsi
⎧1, bila 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0, bila x > 1. 2. Carilah transformasi sinus Fourier dari fungsi-fungsi : (a)
f(x)=e-x , x ≥ 0
(b)
f(x)=e-2x , x ≥ 0.
9. 3 SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI FOURIER Dalam hal ini digunakan notasi
f ( x ) ↔ F (α ) untuk menunjukkan pasangan transformasi
F (α ) = F{ f ( x)} =
1 2π
∞
∫ f ( x) e
−∞
iα x
dx
86
f ( x) = F
−1
{F (α )} =
1 2π
∞
∫ F (α ) e
− iα x
dα
−∞
Sifat-sifat Elementer 1. Linieritas
Bila
f1 ( x) ↔ F1 (α )
dan
f 2 ( x) ↔ F2 (α ), maka
a1 f1 ( x) + a2 f 2 ( x) ↔ a1F1 (α ) + a2 F2 (α ), a1 , a2
2. Time-shifting
Bila
f ( x) ↔ F (α ),
maka
f ( x − x 0 ) ↔ F (α ) e iαx0 .
3. Frequency-shifting
Bila
f ( x) ↔ F (α ),
maka
f ( x) e−iα 0 x ↔ F (α − α 0 ) .
konstanta.
87
4. Scaling Bila f ( x ) ↔ F (α ), maka untuk konstanta a yang bernilai nyata (real) dan tidak sama dengan nol berlaku
f (ax) ↔
α 1 F( ). a a
5. Time-reversal
Bila
f ( x) ↔ F (α ),
maka
f (− x) ↔ − F (−α ) .
6. Simetri
Bila
f ( x) ↔ F (α ),
maka
F ( x ) ↔ f ( −α ).
88 Contoh-contoh 1. Buktikan sifat linieritas di atas. Solusi ∞
F [a1 f1 (x) + a2 f 2 (x)] = ∫[a1 f1 (x) + a2 f 2 (x)]e
−iαx
−∞
∞
dx = a1
∫ f (x) e
−iαx
1
−∞
∞
dx + a2
∫ f (x) e 2
−∞
= a1F [ f1 (x)]+ a2F [ f 2 (x)], di mana
a1 , a 2
kostanta.
2. Buktikan sifat frequency-shifting di atas. Solusi ∞
F[ f (x)e ] = ∫[ f (x)e ]e iα0x
−∞
iα0x
−iαx
∞
dx= ∫ f (x)e−i(α−α0)xdx= F(α −α0 ). −∞
Soal 3 1. Buktikan sifat-sifat time-shifting, scaling, time-reversal, dan simetri di atas.
−iαx
dx
