1
Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga 1.1 Deret Tidak Terhingga. Pembicaraan kita sekarang deret pada umumnya. Deret yang banyaknya suku ∞
tak terbatas disebut deret tak hingga, notasi : ∑
Un
1
Masalah pokok pada deret tak hingga adalah konvergensi/divergensinya deret tersebut. definisi: Barisan (Un) dikatakan konvergen jika lim it Un ada dan terbatas. n →∞
definisi: Jumlah n suku yang pertama barisan tak hingga (Un) disebut jumlah bagian, sehingga: Sn =
∑ U , sedangkan jumlah suku-suku sisanya diberi i
i =1
∞
notasi Rn, yaitu: Rn = un+1+un+1+……. atau Rn = ∑
Ui
i = n +1
berarti: u1+u2+……….+un+un-1+un-2+………= Sn + Rn definisi: Barisan deret: S1, S2, S3,……….., Sn, Sn-1,……. Dikatakan konvergen jika lim it Sn = S ada terbatas. n →∞
Karena ada pengertian jumlah bagian, dan kita selalu memperhatikan pengertian tersebut, maka deret tak hingga kita sebut saja “deret”, karena itu sejak sekarang kalau kita sebut “deret” maksudnya adalah deret tak hingga, yaitu:
∞
∑U
n
1
Definisi : Jika deret konvergen maka lim it R n n →∞
Contoh: 1. deret aritmatika Sn = 1 n (a + U n ) = 1 n [2a + (n − 1)b ] 2
2
Jika a ≠ 0 → lim it S n = ± ∞ b ≠ 0
n→∞
∴ deret tidak konvergen (divergen)
=0
2
2. deret geometri n
S n = a . 1 − r , r ≠ 0 dan a ≠ 0 1− r
untuk
r 〈 1, lim it S n = m→∞
a → deret konvergen . 1− r
r 〉 1, lim it S n = ± ∞ → deret konvergen. n →∞
r = 1, lim it S n = tak tentu → deretdivergen n →∞
1.2 Sifat-sifat deret tak hingga. 1). Jika deret Sn =
∞
∑U
n
konvergen maka lim it U n = 0 n←∞
1
(awas: sebaliknya tidak berlaku). 2). Jika deret Sn =
∞
∑
U n , lim it U n ≠ 0
1
3). Jika deret Sn =
maka deret divergen (akibat logis dari (1))
n→ ∞
∞
∑U
n ,Un
≥ 0 dan mempunyai batas atas maka deretnya konvergen .
1
Untuk menyelidiki kekonvergensian suatu deret dapat digunakan “uji banding”, yaitu menbandingkan deret tersebut yang telah diketahui kekonvergensiannya. Ada tiga macam deret pembanding. ∞
∑ ar
1). Deret geometri :
n −1
→ r 〈 1, konvergen
1
r ≥ 1, divergen
2). Deret hiperharmonis:
∞
∑ n1 1
k
→ k 〉 1, konvergen
k ≤ 1, divergen
dibuktikan dengan kondensasi : 2n.U(2n) ∞
3). Deret bertrand: ∑ 2
1 , k 〉 1 → konvergen k n (ln n )
k ≤ 1 → divergen
3
1.3 Prinsip/cara penggunaan deret banding. 1). Vn = deret pembanding, Un = deret yang diselidiki a). jika Vn konvergen sedangkan 0 〈 U n 〈 Vn , maka U n konvergen. b). jika Vn divergen sedangkan 0 〈 Vn 〈 U n , maka U n divergen 2). Jika dipenuhi: (i). Un 〉 0 dan Vn 〉 0 (ii). lim it n →∞
Un =L≠0 Vn
maka Un dan Vn kedua-duanya konvergen atau kedua-duanya divergen. Contoh. 1. Selidiki konvergensi deret:
∞
∑n 1
2
1 , suku umum U n = 2 1 −n+2 n −n+2
Jawab: digunakan deret pembanding deret hiperharmonis dengan suku umum Vn = 12 yang konvergen (k 〉 1) n
lim it n→∞
2 Un = lim it 2 n =1≠ 0 n→∞ n − n + 2 Vn
jadi: (Un) konvergen. 2. Selidiki konvergensi deret dengan suku umum Un = Jawab: deret pembanding suku umum Vn =
1 n
divergen Untuk n ≥ 3 dipenuhi
ln n 0〈 1 〈 n n
Berarti 0 〈 Vn 〈 U n Karena (Vm) divergen maka (Un) divergen ∞
3. Selidiki konvergensi deret: ∑ 1
1 → U n2
n
ln n n
→ deret harmonis yang
4 ∞
Jawab: dengan membanding deret geometri ∑ 1n −1 → V n , r = 1 yang konvergen 1
Un
Vn
↓
↓
n =1→1
=
n = 2→ 1 〈 4 n =3→ 1 〈 9 ↓ dst .
2
2
maka 0 〈 12 〈 1n −1 n 2
1 1 2 1 4
0〈 U n 〈 Vn karena (V n ) konvergen maka (U n ) konvergen
Kriteria Konvergensi Untuk
menyelidiki
konvergensi
suatu
deret
kecuali
dengan
membandingkan dengan deret deret lain yang sudah jelas konvergensinya,, dapat juga dilakukan dengan pengujian (test) terhadap dirinya sendiri yang disebut “kriteria konvergensi” atau “test konvergensi”. Ada banyak test konvergensi, diantaranya : tes de Alembert, tes Cauchy, test Catalan, tes Schlömilch, tes Raoble, tes gauss, tes Integral. Di sini dibicarakan beberapa saja.
1.4 Tes Rasio (uji banding dari de Alembert) Tes Rasio ini berlaku untuk deret dengan suku-suku positif., yaitu membandingkan suku ke (n+1) dengan suku ke-n, Teorema : Jika
Deret (Un), dengan suku & tidak negatif
∑
n→∞
U n +1 Un
=L
, maka :
a. L < 1 → deret konvergen b. L > 1 → deret divergen c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen didekati dari bawah → tak ada keputusan Contoh :
5
1. Selidiki konvergensi deret :
∞ 5n
∑ 1
lim it
n→∞
lim it
n→∞
lim it
n→∞
U n +1 Un U n +1 Un U n +1 Un
Jawab :
= lim it
5 n +1
n→∞
5n
n5 ( n + 1) 5
n = lim it 5 × n→∞ n +1
5
=5
= 5 > 1 → jadi deret divergen U n +1
lim it
Un
n→∞
5 n +1 5n = lim it : n → ∞ ( n + 1) 5 n 5
2. Selidiki konvergensi deret : Jawab :
×
n5
lim it
n→∞
U n +1 Un
∞
n2
1
3n
∑
( n + 1) 2 3n = lim it × n → ∞ 3 n +1 n2
2
1 n +1 1 = 3 n→∞ Un n→∞ 3 n U n +1 2 = < 1 → jadi deret konvergen lim it 3 n→∞ Un lim it
U n +1
= lim it
3. Selidiki konvergensi deret :
∞
∑ 1
Jawab :
lim it n→∞
lim it n →∞
n
2
1 + 2n + 3
U n +1 n 2 + 2n + 3 2n + 5 = lim it 2 = lim it 1 − 2 =1 n→ ∞ n + 2n + 8 n→∞ Un n + 2 n + 8
U n +1 = 1 didekati dari bawah, jadi tak ada keputusan ! Un
Selanjutnya diselidiki dengan membandingkan dengan deret
(V n ) → lim it n→∞
Vn =
1 n2
( konvergen , k = 2 > 1)
Un n2 = lim it 2 =1 ≠ 0 n→∞ n Vn + 2n + 3
Jadi karena (Vn) konvergen maka (Un) juga konvergen Catatan : dengan sendirinya dapat juga dengan cara lain.
1.5 Tes Akar (oleh Cauchy)
6
Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif Jika lim it n U n = L , maka : n→∞
a. L < 1 → deret konvergen b. L > 1 → deret divergen c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen didekati dari bawah → tak ada keputusan Contoh : ∞
1. Selidiki konvergensi deret :
∑ (2 + cos n π )
n
1
Jawab : lim it n ( 2 + cos n π ) n = lim it ( 2 + cos n π ) = ∠ n→∞
n→∞
Hasil limitnya berubah-ubah antara 1 dan 3, tidak mungkin ∠ < 1 , berarti deret divergen.
∞
2. Selidiki konvergensi deret :
∑ 1
n Jawab : lim it n 9 = lim it 2 n→∞
n
9
n→∞
n
n
9 n2
3. Selidiki konvergensi deret :
=
∑
9n n2
9 = 9 > 1 → jadi divergen 1
n −1 n2 ⋅ 3n − 2
2
Jawab:
: n
n −1 1 1 n −1 n 2 lim it n . = 1. = < 1 → jadi konververgen = lim it n . n →∞ n →∞ 3n + 2 3 3 3n + 2 n
2
1. Tes Catalan. Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif Jika
1 Un =L ln n
ln lim it n→∞
, maka :
a. L > 1 → deret konvergen
7
b. L < 1 → deret divergen c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen didekati dari bawah → tak ada keputusan Contoh : 1. Selidiki lonvergensi daerah :
∑
( n + 1) n n n+2
2 n n 1 ln n . ln n +1 Un = limit ln⋅ limit n→∞ lnn n→∞ lnn n 1 1 ln 2 ln1− Un n +1 lnn = limit + limit n→∞ lnn n→∞ lnn lnn
Jawab :
1 Un 1 = lim it ln ⋅ lim it n→∞ n→∞ ln n ln n ln
1 1 ln Un n + 1 = 2 + lim it lim it n→∞ n→∞ ln n ln
n
ln
1 1 ln lim it 1 − → ∞ n Un n + 1 =2+ lim it n→∞ ln n ln lim it n
n
ln
=2+
n→∞
ln e ∞ =2 ∞
1 ln Un jadi lim it = 2 > 1 → deret konvergen n→∞ ln n
2. Selidiki konvergensi deret :
Jawab :
n→∞
2
3n − 1 ⋅ 3n + 2
n
n 3n + 2 1 ln n − 2 . 3 n − 1 Un = lim it n→∞ ln n ln n
ln lim it
∑n
8 1 3 − 2 . ln n + ln 1 + Un 3n − 1 = lim it n→∞ ln n ln n
n
ln lim it n→∞
1 3 ln 1 + Un 3n − 1 = − 2 + lim it n→ ∞ ln n ln n
n
ln lim it n→∞
1 3 ln lim it 1 + n→ ∞ Un 3n + 1 = −2 + = −2 ln n lim it ln n
ln lim it n→∞
n→∞
1 ln Un jadi lim it = −2 < 1 n→∞ ln n
→
deret divergen .
1.6 Tes Schlömilch Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif Jika
Un =L U n +1
lim it n→∞
, maka :
a. L > 1 → deret konvergen b. L < 1 → deret divergen Catatan : Tes Schlömilch ini digunakan hanya jika tes de Alembert gagal, yaitu bila
lim it n→∞
Un =1 U n +1
dan pendekatan dari bawah.
Contoh : 1. Selidiki konvergensi deret :
∑
n
2
1 − 2n + 3
Jawab : dengan de Alembert gagal, karena
lim it n→∞
Un = 1 didekati U n +1
bawah dengan Schlömilch : lim it n . ln n→∞
Un n2 + 2 = lim it n . ln 2 n→∞ U n +1 n − 2n + 3
Un n2 + 2 lim it n . ln = lim it ln 2 n→∞ n→∞ U n +1 n − 2n + 3 lim it n . ln n→∞
Un = ln lim it n→∞ U n +1
jadi lim it n . ln n→∞
n
2n − 1 1 + 2 n − 2n + 3
Un =2 > 1 U n +1
→
n
=2
deret konvergen
dari
9
2. Selidiki Un =
konvergensi
deret
dengan
suku
umum
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ..... ⋅ ( 2 n − 2 ) 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ..... ⋅ ( 2 n − 1)
Jawab :
Un =
2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ..... ⋅ ( 2 n ) 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ ..... ⋅ ( 2 n − 1)
Dengan de Alembert :
lim it n→∞
U n +1 2n = lim it =1 n→∞ 2n + 1 Un
Didekati dari bawah → gagal. dengan Schlömilch : lim
it n . ln
n→∞
Un U n +1
= lim it n . ln n→∞
2n + 1 2n
1 = lim it . ln 1 + 2 n n→∞
n
1 = ln lim it . ln 1 + 2n n→∞ 1
= ln e 2 =
jadi
lim it n . ln n→∞
1 2
→
Un 1 = < 1 U n +1 2
n
deret divergen.
1.7 Tes Raobe Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif Jika
U n +1 lim it n . 1 − =L n→∞ Un
, maka :
a. L > 1 → deret konvergen b. L < 1 → deret divergen c. L = 0 →
didekati dari bawah → deret divergen
Contoh : 1. Selidiki konvergensi deret : ∑ Jawab :
U n +1 =
n
2
1 − 3n
1 1 = ( n + 1) 2 − 3 ( n + 1 ) n 2 − n − 2
:
10 U n +1 n 2 − 3n = 2 Un n − n − 2 U n +1 n 2 − 3n lim it n 1 − = lim it n 1 − 2 n→ ∞ n→ ∞ Un n − n − 2 n 2 − n − 2 − n 2 + 3n U n +1 = lim it n lim it n 1 − n→ ∞ n→ ∞ Un n2 − n − 2 U n +1 2n 2 − 2 lim it n 1 − it = 2 = lim n→ ∞ n→ ∞ n 2 − n − 2 Un jadi
U n +1 lim it n 1 − = 2 > 1 → n→ ∞ Un
2. Selidiki konvergensi deret : ∑ Jawab:
U n +1 =
deret konvergen
2n 2n + 1
2 n + 2 U n +1 2 n + 2 2 n + 1 2 n 2 + 3 n + 1 , = ⋅ = 2n + 3 Un 2n + 3 2n 2 n 2 + 3n
2n 2 + 3n + 1 U lim it n.1 − n +1 = lim it n.1 − n →∞ Un n →∞ 2n 2 + 3n −1 U lim it n.1 − n +1 = lim it n. 2 n →∞ Un n →∞ 2n + 3n lim it n 1 − n→∞ lim it n 1 − n→∞
U n +1 1 = lim it − =0 n→∞ 2n + 3 Un U n +1 = 0 → didekati dari bawah , deret divergen Un
1.8 Tes Integral Pengertian singkat. Prinsip teori, membandingkan deret varian dengan deret fungsi. Integral tertentu merupakan limit dari penderetan fungsi. xP = xi x < x < x i +1 x Q = x i +1 i
f(x)
Luas 1 pias : LPQMN < LPQMT < LPQRT T N
R
f(xi).∆x < f( x ).∆x < f(xiH). ∆x
M
luas a semua PpiasQ(a<x
µI < f( x ).∆x < vI µi <
n
∑ 1
f ( x ). ∆ x <
n
∑ 1
vi
11 b ∞ ∞ n→∞ µ i < f ( x ) dx < lim it vi : lim it ∆x → 0 n → ∞ n→∞ 1 1
∑
∞
∑
∑
∫
a b
∫
µ n < f ( x ) dx <
1
∞
∑ vn 1
a
dari kutub terakhir di atas, terdapat ∞
Teorema : jika deret ∑
U n , U n ≥ 0 dan U n < f ( x ) untuk x > N ,
f(x) kontinu
1
monoton turun, maka deret
∞
∑
Un
konvergen apabila
1
∞
∫ f ( x ) dx konvergen.
N
∞
Teorema : jika deret
∑
vn
, vn ≥ 0 dan vn > f(x) untuk x > N, f(x)
1
kontinu monoton turun , maka deret
∞
∑
vn
divergen apabila
1
∞
∫ f ( x ) dx divergen.
N
Contoh : ∞
1. Selidiki konvergensi deret : Jawab : diambil ∞
∫x
1
Un = ∞
1 x
∞
berarti
∫
dx =
∫x
1 n⋅
1
−
2 ∞ = 2
dx konvergen
x
jadi deret
1
1
1
1
n
, untuk x >1 dan Un ≥ 0
x . ln x
x − 3 dx = − 2 x
1
1
∑
∞
1
∑
1 n⋅
→ konvergen. n ∞
2. Selidiki konvergensi deret :
∑ 5
Jawab : diambil fungsi
1 x . ln x
1 n . ln n
, sehingga Un =
1 x . ln x
Un ≥ 0 ∞
∞
1
1
∫ x . ln x dx = ∫ ln x d (ln 5
berarti
∞
5
1
∫ x . ln x dx
5
x ) = ln . ln x
→ divergen .
∞ = ∞ → divergen 5
untuk x > 5 dan
12
