BAB 1 DERET TAKHINGGA

Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I

BAB 1 DERET TAKHINGGA Barisan Takhingga Barisan adalah susunan bilangan-bilangan riil secara berurutan. Perhatikan contoh berikut. (a) 2, 4, 8, 16, … (b)

1 2

, 14 , 18 , 161 ,...

(c) 1, 4, 7, 10, 13, … Secara umum, barisan dapat ditulis

{an }n 1

a1 , a2 , a3 ,...

dengan an memenuhi persamaan tertentu. Pada contoh di atas, masing-masing dapat ditulis dalam rumus sebagai berikut. (a) an

2n

{an }n 1

2,4,8,16,...

(b) an

( 12 ) n

{an }n 1

1 2

(c) an

3n 2

{an }n 1 1,4,7,10,13

, 14 , 18 , 161 ,...

Konvergensi Barisan Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L (bilangan berhingga) jika memenuhi

lim{an } L n

Jika syarat di atas tidak dipenuhi, barisan dikatakan divergen.

Sifat-sifat Limit Barisan Misalnya {an} dan {bn} adalah barisan konvergen dan k adalah konstanta. (1) lim k n

k

(2) lim kan n

(3) lim(an n

k lim an n

bn ) lim an lim bn n

(4) lim(an bn ) n

(5) lim n

an bn

Aip Saripudin

n

lim an lim bn n

n

lim an n

lim bn n

Bab 1 Deret Takhingga - 1


Cari lim

CONTOH 1

n

n2 . 4n 2 5

Penyelesaian Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat terbesar dari n (dalam hal ini, n2) maka diperoleh

lim n

CONTOH 2

n2 4n 2 5

lim n

1 4 5 / n2

1

1 . 4

4 0

Diketahui sebuah barisan sebagai berikut. 1 2

, 23 , 34 , 54 ,...

(a) Nyatakan barisan tersebut dalam rumus eksplisit. (b) Apakah barisan di atas konvergen? Penyelesaian (a) Pada barisan di atas, penyebut selalu lebih besar 1 daripada pembilang. Jika pembilang diberi simbol n, penyebut menjadi n + 1. Dengan demikian, rumus eksplisit barisan di atas adalah

n

an

n 1

.

(b) Uji konvergensi

lim an n

Karena lim an

n

n n 1

lim n

1 1 1/ n

1 1 0

1

1 (bilangan berhingga), maka {an} konvergen menuju 1.

n

CONTOH 3

lim

Apakah {a n } dengan an

e 2n konvergen? n 2 3n 1

Penyelesaian Untuk menguji konvergensi barisan di atas, cari limit an untuk n . Jika kita masukkan n = pada soal ini, akan diperoleh bentuk taktentu / . Kita gunakan dalil L’Hopital:

lim an n

Karena lim an

lim n

e 2n 2e 2 n lim n 2 3n 1 n 2n 3

lim n

4e 2 n 2

(takhingga), maka {an} divergen menuju .

n

LATIHAN 1.1 Untuk Soal 1 – 5, tuliskan lima suku pertama barisan berikut. Tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau divergen. 1.

an

Aip Saripudin

n 1 3n 2

2.

an

3n 2 2 2n 1

3.

an

( 1) n

n n 2



4. 5.

ln n

an

6.

1 2 3 4 , , , ,... 2 2 23 2 4 25

7.

1,

8.

1 4

n e n sin n

an

Untuk Soal 6 – 10, cari rumus eksplisit an untuk setiap barisan berikut. Tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau divergen.

1 1

1 2

,

1 2 3

1

,

1 1

3 4

,...

1 , 161 , 811 , 256 ,...

1, 12 , 16 , 121 ,...

9. 10.

1 3

, 94 ,

9 16 27 81

, ,...

Deret Takhingga: Deret Khusus dan Konvergensinya Secara umum, deret takhingga ditulis sebagai berikut.

an

a1

a2

a3 ...

n 1

Konvergensi Deret a n dikatakan konvergen dan memiliki jumlah S jika barisan jumlah parsial ke-

Deret takhingga n 1

n {Sn} konvergen menuju S. Jika {Sn} divergen, deret tersebut divergen. Deret divergen tidak memiliki jumlah.

CONTOH 1

Tentukan konvergensi jumlah deret berikut. 4 3

4 9

4 27

4 81

...

Penyelesaian Jumlah parsial ke-n deret tersebut adalah

S1

4 3

S2

4 3

4 9

16 9

S3

4 3

4 9

4 27

52 27

4 3

4 9

4 27

...

 Sn

4 3n

2

2 3n

Maka

lim S n n

Dengan demikian, jumlah deret

Aip Saripudin

4 3

4 9

4 27

lim 2 n

4 81

2 3n

2

... konvergen menuju 2.



Deret Geometri Deret geometri memiliki bentuk

ar n 1

a ar ar 2

ar 3 ...

n 1

an 1 . an

0, r

dengan a

Deret geometri konvergen untuk -1 < r < 1 dan divergen untuk r < –1 atau r > 1. Untuk deret geometri konvergen, jumlahnya memenuhi

S

a

lim S n

1 r

n

n

ar k

dengan S n

1

a ar ar 2

ar 3 ... ar n 1

k 1

CONTOH 2

Tentukan jumlah deret berikut. 1 2

1 4

1 8

1 16

...

Penyelesaian 1 4

Rasio deret r

1 2

1 2

1 2

dan a

maka jumlahnya adalah

S

1 2

a 1 r

1

1 2

1

Deret Harmonik Deret harmonik memiliki bentuk sebagai berikut.

n 1

1 1 1 n 2

1 3

1 ... 4

Deret harmonik merupakan deret divergen. Buktinya sebagai berikut.

Sn

1

1 2

1 3

1

1 2

1

1 2

2 4

4 8 1 ... 8 16 n

1

1 2

1 2

1 2

1 3

1 4 1 4

Jelas bahwa lim S n

1 1 ... 5 n 1 5

1 6

1 7

1 8

1 1 ... 9 16

...

1 n

1 1 ... 2 n sehingga deret harmonik divergen menuju takhingga.

n

Aip Saripudin



Deret Kolaps (Collapsing Series) Deret kolaps memiki bentuk umum sebagai berikut.

(an

an 1 ) (a1 a2 ) (a2

a3 ) ( a3

a4 ) ... a1 an 1

n 1

CONTOH 3

1 konvergen. Tentukan jumlahnya. k ( k 1)

Tunjukkan bahwa k 1

Penyelesaian Dengan dekomposisi parsial diperoleh

1 k (k 1)

1 k

1 k 1

maka n

Sn k 1

1 k

1 k 1

1

1 2

1 2

1 3

1 n

...

1 n 1

1

1 n 1

Selanjutnya,

lim S n n

lim 1 n

1 n 1

1 0 1

Dengan demikian, deret tersebut konvergen dan jumlahnya 1.

Deret-p Deret-p memiliki bentuk sebagai berikut.

n 1

1 np

1

1 2p

1 3p

1 4p

...

dengan p konstanta. Deret-p konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1 {Bukti konvergensi ini ditunda dulu hingga Anda selesai mempelajari beberapa metode uji konvergensi).

Uji Suku ke-n untuk Konvergensi: Uji Pendahuluan Jika lim an n

0 atau tidak ada, deret tersebut divergen. Jika lim an n

a n perlu diuji

0 , deret n 1

lagi dengan metode lain apakah ia konvergen atau divergen.

CONTOH 4

Tunjukkan bahwa n 1

Aip Saripudin

n2 divergen. 2n 2 n



Penyelesaian

lim an n

lim n

n2 2n 2 n

1

lim n

2

1 1 n

1 . 2

2 0

Dengan demikian, sesuai dengan uji suku ke-n, deret tersebut divergen.

LATIHAN 1.2 Untuk Soal 1 – 6, tentukan apakah deret berikut konvergen atau divergen. Jika konvergen, cari jumlahnya. Petunjuk: untuk memudahkan, tulis beberapa suku awal deret tersebut. 1 n 5

1.

deret tersebut divergen atau perlu uji lanjutan. Ingat, uji pendahuluan tidak dapat digunakan untuk menyimpulkan bahwa deret konvergen. 7.

1 2

8.

n 1

k 1

9.

k 1

2 k (k 2)

10.

k 1

k 5 k 2

2.

3.

5.

6. k 1

1 4

16 17

25 26

36 37

...

n 3 n 10n 2

n 1

2 k

9 10

4 5

n! n 1 ( n 1)! ( 1) n n 2 ( n 1) 2

Catatan:

k 2

n! n(n 1)(n 2)3 2 1 0! = 1! = 1

Untuk Soal 7 – 10, gunakan uji pendahuluan (uji suku ke-n) untuk menyatakan bahwa

Tanda seru “!” dibaca faktorial.

Uji Konvergensi Deret Positif Uji Perbandingan Misalnya 0

an

bn untuk n N.

(1)

bn konvergen

(2)

a n divergen

a n konvergen. bn divergen.

Untuk uji perbandingan, kita dapat melakukan perbandingan suatu deret dengan deret yang konvergensi atau divergensinya sudah kita ketahui. Dalam hal ini, telah diketahui konvergensi atau divergensi beberapa deret sebagai berikut.

Aip Saripudin



(1) Deret Geometri

ar n konvergen jika –1 < r < 1 dan divergen jika r < –1 atau r > 1. n 1

(2) Deret-p

n 1

1 konvergen jika p > 1 dan divergen jika p 1. np

(3) Deret Harmonik

1 divergen. n 1 n

CONTOH 1

n

Apakah n 1

3n

2

1

konvergen atau divergen?

Penyelesaian

1 . Sementara itu, 3n

Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai

n 3n

2

1

n 3n 2

1 1 3 n

1 divergen (sepertiga kali deret harmonik). Dengan demikian, sesuai uji n 1 3n n perbandingan, divergen. 2 1 n 1 3n Kita tahu bahwa

CONTOH 2

Tentukan konvergensi

3n 1 . 3 2 n 1 3n

Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret di atas menyerupai

1 . Deret n2

1

1 adalah deret-p dengan p = 2 n2

> 1. Kita tahu bahwa deret-p konvergen untuk p > 1. Selanjutnya diketahui

3n 1 3n 3 2 Dengan demikian, sesuai dengan uji perbandingan,

1 n2 3n 1 konvergen. 3 2 n 1 3n

Uji Limit Perbandingan Misalnya an

Aip Saripudin

0 , bn

0 , dan lim n

an bn

L.



a n dan

(1) 0 < L <

bn divergen

(2) L = 0 dan

CONTOH 3

bn sama-sama konvergen atau sama-sama divergen.

Tentukan apakah

a n konvergen.

n konvergen atau divergen. 2n 3

n2

1

Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut menyerupai 1/n. Oleh karena itu, pilih

bn

1 maka n lim n

bn

Karena 1

1

CONTOH 4

an bn

lim

n2

n

n 2n 3

1 n

lim n

1 divergen (deret harmonik), maka n

1

n2

n

2

n2 1 2n 3

n divergen. 2n 3

2n 1 konvergen atau divergen. n 2n 2 5

Tentukan apakah

3

1

Penyelesaian Untuk n besar, suku ke-n deret tersebut mirip 1/n2. Oleh karena itu, pilih bn

lim n

bn

Karena 1

CONTOH 5

1

an bn

lim n

2n 1 3 n 2n 2 5

1 n2

lim n

2n 3 n 2 1 n 3 2n 2 5

1 konvergen (deret-p dengan p = 2 > 1), maka n2

Tentukan konvergensi

1 maka n2

2n 1 konvergen. n 2n 2 5 3

1

ln n . n 1 n

Penyelesaian Mirip bentuk rumus eksplisit suku ke-n seperti apakah membandingkannya dengan

1 . Karena itu, pilih bn n lim n

Aip Saripudin

an bn

lim n

ln n n

1 n

ln n ? Kita coba dengan n 1 maka n lim ln n n



Ternyata uji di atas gagal karena tidak sesuai dengan syarat uji perbandingan limit. Kita coba lagi

1

dengan memilih b

lim n

maka

n an bn

ln n n

lim n

1

lim

ln n

n

n

lim n

n

1/ n

lim n

1/ 2 n

2 n

0

{Limit di atas diperoleh dengan dalil L’Hopital}

1

1 divergen (deret-p dengan p = ½ < 1) maka, sesuai syarat uji 1/ 2 n n1n n 1 ln n perbandingan limit, konvergen. n 1 n Karena

Uji Integral Misalnya f merupakan fungsi kontinu, positif, dan tidak naik pada interval [1, ) dan anggap an f (n) untuk semua bilangan positif n. Deret takhingga

f (n)dn konvergen.

a n konvergen jika dan hanya jika integral improper n 1

CONTOH 6

1

1

Gunakan uji integral untuk menentukan apakah n 1

n 1

konvergen atau divergen.

Penyelesaian t

lim t

1

n 1

1

Dengan demikian, n 1

CONTOH 7

1

dn

t

lim ln( n 1) 1 t

lim ln( t 1) ln 2 t

divergen.

n 1

Tunjukan bahwa deret-p (a) konvergen jika p > 1 dan (b) divergen jika p

1.

Penyelesaian Seperti telah dituliskan pada subbab 1.2, deret-p berbentuk

n 1

1 np

1

1 2p

dengan p konstanta. Untuk p > 0, fungsi f ( x) t

(a) Untuk p > 1, 1

Aip Saripudin

1 dn np

t p

n dn 1

1 3p

1 4p

...

1 kontinu, positif, dan tidak naik pada [1, ). xp n1 p 1 p

t

1

t1 p 1 1 p



Selanjutnya, lim t 1

p

t

0 . Dengan demikian n 1 t

(b) Untuk p = 1:

1

Selanjutnya, lim ln t

t

1 dn np

Untuk 0 < p < 1: 1

ln n 1

ln t

1

1 divergen. np

n 1

t

t

n 1 dn

maka

t

1 konvergen untuk p > 1. np

t

1 dn np

t

n1 p 1 p

p

n dn 1

t1 p 1 1 p

1

Karena 0 < p < 1 maka u = 1 – p > 0. Selanjutnya, lim t 1

p

lim t u

t

maka

t

n 1

1 np

divergen. p < 0 maka –p = u > 0 sehingga an

Untuk p < 0,:

pendahuluan (uji suku ke-n): lim nu

maka

n

n 1

1 np

n

p

n u . Dengan uji

1 divergen. np

Dari ketiga kondisi di atas diperoleh simpulan bahwa n 1

1 divergen untuk p 1. np

Uji Rasio a n merupakan deret suku-suku positif dan lim

Misalnya

n

(1) Jika

< 1, deret tersebut konvergen.

(2) Jika

> 1 atau

(3) Jika

= 1, gunakan uji konvergensi lain.

CONTOH 8

an 1 an

.

= , deret tersebut divergen.

Uji konvergensi deret berikut.

1 1 1 1 ... ... 2! 3! 4! n!

1 Penyelesaian Deret tersebut memiliki suku ke-n: an

lim n

Karena

an 1 an

lim n

1 dan suku ke-(n+1): an 1 n! 1

1 (n 1)! n!

lim n

1 (n 1)!

n! 1 lim n (n 1)! n 1

maka

0.

< 1 maka deret tersebut konvergen.

Catatan:

Aip Saripudin



n! (n 1)!

CONTOH 9

n(n 1)(n 2)3 2 1 (n 1)(n)(n 1)(n 2)3 2 1

1 . n 1

Uji konvergensi deret berikut.

n 1

2n . n2

Penyelesaian

2n 1 maka, dengan (n 1) 2

2n dan a n n2

Suku ke-n dan ke-(n+1) deret tersebut masing-masing a n uji rasio,

an 1 an

lim n

lim n

2n 1 (n 1) 2

2n n2

lim n

2n 2 (n 1) 2

lim

8.

n2e

n

2 (1

2 (1 0) 2

1 2 n

)

2.

= 2 > 1 maka deret tersebut divergen.

LATIHAN 1.3 Untuk Soal 1 – 4, gunakan uji perbandingan atau perbandingan limit untuk menentukan konvergensi deret.

n 1

2.

n n 1

n 1

n 1

n 1

en n2

10.

1 2n 2

4.

n 1

4n n!

9.

ln n 2 n 1 n

3.

n 1

Gunakan uji rasio untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 8 – 12 berikut.

1

1.

n3

2n 1 n3

11. n

32 n 3n 0 2

12. n 1

en n!

Gunakan uji integral untuk menentukan konvergensi deret pada Soal 5 – 8 berikut. 5. n 1

Tentukan konvergensi deret pada Soal 13 – 20 berikut. Tuliskan uji yang digunakan.

1 n ln n

13.

n

6. n 1

2

n3 1

n

7. n 1

(n

2

Aip Saripudin

1)

2

1 22

2 32

3 42

14. 1

1 2 2

15.

n 1 n2 1

n 1

1 3 3

4 52 1 4 4

... ...



16.

nn n 1 ( 2n)!

ln n

17. n 1

18. n

n 1

n2 1 3n

n 1

3n 1 n3 4

19.

20.

n

n n 1 3

Deret Berganti Tanda; Konvergensi Mutlak dan Konvergensi Bersyarat Deret berganti tanda memiliki bentuk umum sebagai berikut.

( 1) n 1 an

a1 a2

a3

a4 ...

n 1

dengan an

an 1

0.

Jika lim an

0 , deret tersebut konvergen.

CONTOH 1

Tunjukkan bahwa

n

( 1) n n 1

1

1 konvergen. n

Penyelesaian

lim n

1 n

0

Jelas bahwa deret tersebut konvergen.

Konvergensi Mutlak Jika

| an | konvergen,

a n konvergen. Uji konvergensi mutlak (uji rasio mutlak) sebagai

berikut. Misalnya

lim n

| an 1 | | an |

(1) Jika

< 1, deret tersebut konvergen mutlak.

(2) Jika

> 1 atau

(3) Jika

= 1, gunakan uji konvergensi lain.

CONTOH 2

= , deret tersebut divergen.

( 1) n

Tentukan konvergensi n 1

Aip Saripudin

1

2n . n2



Penyelesaian

lim n

an 1 an

lim n

2n 1 (n 1) 2

2n n2

lim n

2n 2 (n 1) 2

lim n

2

2 (1 0) 2

1 2 n

(1

)

2

> 1 maka, sesuai uji konvergensi mutlak, deret tersebut divergen.

Konvergensi Bersyarat a n disebut konvergen bersyarat jika

Deret

CONTOH 3

( 1) n

Tunjukkan bahwa

1

n 1

a n konvergen tetapi

| an | divergen.

1 konvergen bersyarat. n

Penyelesaian Pada CONTOH 1 telah dibuktikan bahwa deret tersebut konvergen. Akan tetapi,

n 1

1 divergen (deret harmonik). Jadi, jelas bahwa n

( 1) n n 1

1

1 konvergen bersyarat n

LATIHAN 1.4 Tunjukkan bahwa deret pada Soal 1 – 4 berikut konvergen mutlak.

( 1) n

6.

1

n 1

( 1)

1.

1

n

n 1

n n 1

( 1) n 1

7. n 1

3 n 4

2.

( 1) n

8.

n 1

1 3n n 5n 1 1

1

n2 1

n 1 n

( 1) n

3. n 1

1

2 n!

( 1) n

9. n 1

4. n

n2 ( 1) n 1 n e 1

Tentukan apakah deret pada Soal 6 – 10 berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

Aip Saripudin

( 1) n

10. n 1

sin n n n 1

n4 2n



Deret Pangkat; Himpunan Konvergensi Deret pangkat memiliki bentuk sebagai berikut.

an x n

a1 x a2 x 2

a0

a3 x 3 ...

n 0

Konvergensi deret pangkat bergantung pada nilai x yang dipilih. Uji konvergensi yang digunakan adalah uji rasio mutlak. Himpunan konvergensi deret pangkat selalu berada dalam interval dari salah satu kemungkinan berikut. (1) Titik tunggal x = 0. (2) Interval (-R, R), ditambah salah satu atau kedua titik ujung. (3) Semua bilangan riil. Ketiga kemungkinan interval di atas disebut radius konvergensi. CONTOH 1

Tentukan x sehingga n 0

xn konvergen. n!

Penyelesaian Uji rasio mutlak,

lim

n

Karena

an 1 an

lim

n

xn 1 xn (n 1)! n!

lim

| x| 0. n 1

lim

x 2

n

= 0 < 1, deret tersebut konvergen untuk semua x.

CONTOH 2

Tentukan himpunan konvergensi n

( x) n . 2n 0

Penyelesaian Uji rasio mutlak,

lim n

an 1 an

Deret tersebut konvergen untuk

lim n

( x) n 2n 1

< 1, yakni,

1

( x) n 2n

n

| x| . 2

| x| 1 atau | x | 2 dan, sebaliknya, divergen pada 2

| x | 2 . Selanjutnya, cek titik-titik ujung, yakni x = –2 dan x = 2. Pada x = –2

an

(2) n 2n

1 dan lim an n

1

1 divergen.

sehingga sesuai dengan uji pendahuluan (uji suku ke-n), n 0

Pada x = 2

an

Aip Saripudin

( 2) n 2n

( 1) n dan lim an tidak ada n



( 1) n divergen.

sehingga sesuai dengan teorema uji deret berganti tanda, n 0

Dengan demikian, deret di atas konvergen pada interval: –2 < x < 2.

LATIHAN 1.5 Tentukan himpunan konvergensi pangkat pada Soal 1 – 5 berikut. 1.

x 1 2

2.

1 2x

x2 2 3

x3 3 4

22 x 2 2!

deret

x4 ... 4 5

23 x 3 3!

24 x 4 4!

...

x2 2

x3 3

3.

1 x

4.

xn n 1 ln( n 1)

5.

n2 xn n 2 1) n 1 5 (n

x4 4

x5 5

...

Turunan dan Integral Deret Pangkat Misalnya S(x) adalah jumlah deret pangkat pada interval I,

an x n .

S ( x) n 0

Jika x di dalam interval I, (1) S ' ( x)

d dx

x

an x n n 0

x

0

0

CONTOH 1

na n x n 1 n 1

x

an t n dt

S (t )dt

(2)

n 0

d an x n dx

n 0

an t n dt n 0

n

0

an x n 1 0 n 1

Pada deret geometri, untuk –1 < x < 1,

S ( x)

1 1 x

1 x x2

x3

x 4 ...

Tentukan dua fungsi baru melalui pendiferensialan dan pengintegralan. Penyelesaian (1)

d 1 dx 1 x

1 (1 x) 2

Aip Saripudin

d 1 x x2 dx

1 2 x 3x 2

x3

x 4 ...

4 x 3 ... ,

–1 < x < 1



x

(2)

1

1 t 0

x

1 t t2

dt

t3

t 4 ... dt

0

ln(1 x)

x3 3

x 2

x

x4 4

x5 5

...

Ganti x oleh –x dan kalikan kedua ruas dengan –1 maka diperoleh

ln(1 x)

CONTOH 2

x

x 2

x3 3

x4 4

... ,

ex

1 x

–1 < x < 1

Tunjukkan bahwa

x2 2!

x3 3!

x4 ... 4!

Penyelesaian Misalnya

S ( x) 1 x

x2 2!

x3 3!

x4 ... 4!

S ' ( x) 1 x

x2 2!

x3 ... 3!

maka

Dari kedua fungsi deret di atas, diperoleh S ( x) S ' ( x) , yang tidak lain adalah persamaan diferensial. Solusi umum persamaan diferensial ini adaah S(x) = Aex, dengan A konstanta. Karena S(0) = 1 maka A = 1 sehingga solusi khususnya adalah S(x) = ex. Jadi, jelas bahwa

ex

1 x

x2 2!

x3 3!

...

LATIHAN 1.6 Tentukan ungkapan deret pangkat dari f(x) dan radius konvergensinya. f(x) berkaitan dengan dere geometri. 1.

f ( x)

2.

f ( x)

x2 1 x4

3.

f ( x)

1

4.

f ( x) ln[(1 x) /(1 x)]

1 x

5.

1 (1 x) 2

Aip Saripudin

Gunakan hasil pada Contoh 2 untuk mendapatkan fungsi berikut.

f ( x)

ex

e

x



Deret Taylor dan Maclaurin Tinjau fungsi deret berikut.

f ( x)

ko

k1 ( x a) k 2 ( x a) 2

k 3 ( x a) 3

k 4 ( x a) 4 ...

pada interval sekitar a. Turunan ke-n fungsi tersebut adalah

2k 2 ( x a) 3k3 ( x a) 2

f ' ( x)

k1

f ' ' ( x)

2!k 2

4k 4 ( x a) 3 ...

3!k 2 ( x a) 4 3k3 ( x a) 2 ...

f ' ' ' ( x) 3!k3

4!k 4 ( x a) ...

 Masukkan x = a maka akan diperoleh

k0

f (a)

k1

f ' (a)

k2

f ' ' (a) 2!

k3

f ' ' ' ( x) 3!

atau secara umum

kn

f ( n ) ( a) n!

Jika konstanta kn dimasukkan ke fungsi deret, diperoleh

f ( x)

f ( a)

f ' (a)( x a)

f ' ' ( a) ( x a) 2 2!

f ' ' ' (a) ( x a) 3 3!

f ( 4) ( x a) 4 ... 4!

Deret ini dikenal sebagai deret Taylor. Untuk a = 0, deret di atas disebut deret Maclaurin, yakni

f ( x)

f (0)

f ' (0) x

Ekspansikan f ( x)

CONTOH 1

f ' ' (0) 2 x 2!

f ' ' ' (0) 3 x 3!

f ( 4) 4 x ... 4!

sin x ke dalam deret Maclaurin.

Penyelesaian

f ( x) sin x

f (0) 0

f ' ( x) cos x

f ' (0) 1

f ' ' ( x)

sin x

f ' ' (0) 0

f ' ' ' ( x)

cos x

f ' ' ' (0)

1

 Sesuai dengan rumus deret Maclaurin diperoleh

Aip Saripudin



sin x

x

x3 3!

x5 5!

x7 ... 7! e x ke dalam deret Maclaurin.

Ekspansikan f ( x)

CONTOH 2 Penyelesaian

ex

f (0) 1

f ' ( x) e x

f ' (0) 1

f ' ' ( x) e x

f ' ' (0) 1

f ( x)

 Sesuai dengan rumus deret Maclaurin diperoleh

ex

1 x

x2 2!

x3 3!

x4 ... 4!

{Hasil ini sama dengan CONTOH 2 Subbab 1.6)

Nyatakan e

CONTOH 3

x2

sebagai fungsi deret pangkat.

Penyelesaian Pada Contoh 2 telah diperoleh

ex

1 x

x2 2!

x3 3!

x4 ... 4!

Ganti x oleh –x2 maka diperoleh

e

x2

1 x2

x4 2!

x6 3!

x8 ... 4!

Beberapa deret Maclaurin penting dan interval konvergensinya. 1.

1 1 x

1 x x2

x 3 ... ,

x2 2

x3 3

x4 4

ln(1 x)

3.

ex

4.

sin x

x

x3 3!

x5 5!

x7 ... , 7!

semua x

5.

cos x 1

x2 2!

x4 4!

x6 ..., 6!

semua x

Aip Saripudin

x2 2!

x3 3!

... ,

–1 < x

2.

1 x

x

–1 < x < 1

x4 ... , 4!

1

semua x



6.

(1 x) p

1 px

p( p 1) 2 x 2!

p( p 1)( p 2) 3 x ... , 3!

–1 < x < 1

(Deret binomial, p bilangan riil).

LATIHAN 1.7 Nyatakan fungsi berikut ke dalam bentuk deret Maclaurin. 1.

f ( x) cos x

Gunakan substitusi pada deret yang sudah ada untuk mendapatkan representasi deret dari fungsi berikut. 3. f ( x)

ln x ,

0<x

1

x

2.

tan 1 x

Aip Saripudin

1 du 1 u2 0

2

ex .

4.

f ( x)

5.

f ( x) (1 x) 4 ,

–1 < x < 1.


BAB 1 DERET TAKHINGGA

Recommend Documents