DAFTAR ISI
BAB I
DERET
BAB II
BILANGAN KOMPLEK
BAB III
ANALISIS VEKTOR
BAB IV
ANALISIS KOMPLEK
BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE
BAB VI
PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB VII
DERET FOURIER
BAB VIII
FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELLIPTIK
BAB IX
TRANSFORMASI KOORDINAT
BAB X
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE
DAN LAGUERE.
BAB I DERET Uji banding (comparison test) 1. Jika suku demi suku dari deret u n a n , dimana a n adalah deret konvergen maka deret u n juga konvergen.
a n = deret geometri 2. Jika suku demi suku deret vn bn , dimana bn membentuk deret divergen, maka deret v n juga divergen.
bn =deret harmonic
Uji Integral ~
Diandaikan deret positif
a n 1
n
yang suku-sukunya memenuhi sifat
an1 an . Jika dapat ditentukan fungsi positif f (n) yang turun untuk n 1 dan ~
f (n) an maka deret yang diberikan akan konvergen jika integral I f (n).dn 1 ~
berhingga(finite). Sebaliknya integral I f (n).dn tak hingga (infinite) maka deret 1
divergen.
Uji Rasio Rasio suku ke- n
n
a n 1 an
Informasi konvergensi
lim n ~
n
Jika a. 1 , maka deret itu konvergen b. 1 , maka deret itu divergen c. 1 , boleh jadi konvergen/divergen(harus di uji dengan metode lain)
Uji Pembanding Khusus ~
Deret yang di uji S a n n 1
Deret pembanding ~
a. Konvergen B bn n 1
~
b. Divergen D d n n 1
Aturan ~
1. Jika
b n 1
n
adalah deret positif dan konvergen a n 0 . Jika
an bernilai bn
~
berhingga maka S a n adalah deret konvergen. n 1
~
d
2. Jika
n 1
n
adalah deret positif divergen a n 0 , jika 0
an ~ , maka dn
~
S a n adalah deret divergen. n 1
Uji Konvergensi Deret Bolak-balik 1. Jika semua suku dianggap positif tetapi S konvergen maka disebut deret konvergen mutlak (konvergen absolut) 2. Semua suku diambil absolutnya sehingga S adalah deret divergen maka S boleh jadi divergen atau konvergen, perlu diuji lagi dengan metode lain Teorema untuk menguji konvergensi deret bolak-balik Teorema “ Sebuah deret bolak-balik disebut konvergen bila nilai mutlak deret itu berkurang secara tunak menuju nol, dan bila an1 an serta
lim n ~
an 0
Aturan yang berkaitan dengan konvergensi sebuah deret 1. Konvergensi/divergensi sebuah deret tidak berubah oleh pengalian dengan tetapan, namun dapat berubah oleh penjumlahan 2. Jika
~
~
n 1
n 1
an dan bn
keduanya
diketahui
konvergen
maka
operasi
penjumlahan dan pengurangan dari kedua deret itu menghasilkan deret baru yang konvergen juga.
3. Deret konvergen mutlak, bila suku-sukunya disusun kembali maka tidak akan mengubah konvergensi deret tersebut.
a
konvergensi mutlak deret mutlaknya
a
n
n
dikatakan konvergen mutlak jika deret nilai
konvergen.
Uji Akar Cauchy ~
a n 1
n
c
lim
n
n ~
an
c 1 konvergen
c 1 konvergen c 1 uji akar Cauchy tidak memberikan kesimpulan
Deret Taylor
~
f x f
n
n x a a
n!
n 0
f ( x) f ( a ) f ' ( a ) ( x a )
f ' '( a ) 2!
( x a) 2
f ' ' '( a ) 3!
( x a) ....
Deret Maclaurin Merupakan deret Taylor dengan a 0
~
f x n 0
xn f 0 n! n
f ( x) f ( 0 ) f ' ( 0 ) x
f ' ' ( 0)
x2
f ' ' '(0)
x 3 ......
2! 3! Deret Maclaurin dari berbagai fungsi Fungsi
f
n
( 0)
n!
Deret Maclaurin
sin x
cos x ex ex
ln 1 x
x
x3 x5 x7 ... 3! 5! 7!
1
x2 x4 x6 ... 2! 4! 6!
1 x
x2 x3 ... 2! 3!
1 x
x 2 x3 ... 2! 3!
x2 x3 x4 x ... 2 3 4
Deret Binomial Newton
1 x p
1 px
xn
p p 1 2 p p 1 p 2 3 x x ... 2! 3!
f (na ) n!
( x a) n
BAB II BILANGAN KOMPLEK z x iy dan z* z x iy
Modulus z r zz Sifat-sifat modulus
z1 z 2 z1 z 2 dan z1 z1 z2 z2 Jika r z x iy dz dz dz v dt dt dt a
d 2z dt 2
Impedansi
1 Z R i L C
1 Z R L C
2
2
Deret Geometri
Sn
a1 r n 1 r
z rei z n r n e in
e cos i sin i 2
n
1 n
z re
i
1 n
cos n i sin n
r e n r cos i sin n n 1 n
i n
BAB III ANALISIS VEKTOR
A A A A B A A B B A B A A B A B B A A B B A A B
A A A B A B A B
2 0 (CURL GRAD ) A 0 ( DIV CURL A) A A 2 A
Integral garis :
A d r A dr Ax dx Ay dy Az dz
p2
C
C
p1
Integral permukaan dxdy ˆ A d a A n da A S S nˆ nˆ k
Catatan khusus untuk integrasi permukaan 1. Parameter dalam koordinat kartesius
dxdy nˆ k
da
2. Parameter dalam koordinat silinder
nˆdA axi yj ddz dengan a = jari-jari 3. Parameter dalam koordinat bola
nˆdA xi yj zk a sin dd Teorema Divergensi Gauss AdV A nˆdS V
S
Teorema Stokes A d r A nˆdS
C
C
S
N M dxdy Mdx Ndy x y R
BAB IV ANALISIS KOMPLEK Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat orthogonal/kartesius
u v x y
dan
v u x y
Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat polar u 1 v r r
dan
v 1 u r r
Persamaan Laplace 2u 2u 0 x 2 y 2
2v 2v 0 x 2 y 2
dan
Suatu fungsi disebut analitik jika memenuhi persamaan Cauchy Rieman atau persamaan Laplace Integral lintasan
f z dz u iv dx idy f z dz udx vdy i vdx udy C
C
C
C
Rumus Integral Cauchy
C
f
n
a
n! f z dz 2i C z a z 1
Residu a 1
1 d m1 z z 0 m f z z z 0 m 1! dz m1 lim
Integrasi Residu0
f z dz 2i. jmlh residu f z di dlm C C
Deret Taylor
~
f z f
n
n 0
z 0
z z 0 n n!
Deret Maclaurin
~
f z n 0
zn f 0 n! n
Integrasi Trigonometri 2
Integral bentuk
f cos , sin d 0
z z 1 z z 1 dz Lakukan subtitusi cos , sin , dan d 2i 2 iz
Integral bentuk
f x dx ~
~
Penyelesaiannya adalah
f x dx 2i residu f diatas sumbu x ~
~
f x dx 2i residu f dibawah sumbu x ~
~
BAB V
TRANSFORMASI LAPLACE L f t e st f t dt ~
t 0
f t
L f t
1
1 s
t
1 s2
tn
n! s n 1
e at
1 s a
sin at
a s a2
2
cos at
sinh at
cosh at
e iat
s2 s2 a2
a s a2
s s a2
2
2
1 s ia
Rumus-rumus
dn f s , f t di laplace_kan dulu ds n
L t n f t 1
f s L1 f t dt f u du s t 0 u 0
f t L f s ds t ss
1 f t L1 f ' s t
d n F s n n L1 1 t f t n ds
n
t
t
~
Penyelesaian persamaan differensial dengan transformasi Laplace 1. Persamaan differensial → y t atau y x 2. Kenai transformasi Laplace pada kedua ruas kanan dan kiri sehingga menjadi y s 3. Kenai syarat batas/syarat awal, misalnya y 0 0 4. Bentuklah fungsi y f s 5. Kenai invers transformasi Laplace L1 y f (s) L1 f (s) f t
Rumus transformasi Laplace dalam persamaan differensial L y y
L y ' sy y 0 L y ' ' s 2 y sy0 y 0' L y ' ' ' s 3 y s 2 y 0 sy0' y 0''
L y n s n y s n 1 y 0 ...... y 0n 1
Integral Bromwich
f t
c i ~
1 f t e zt dz 2i c i ~
Konvolusi t
L1 f ( s) * g ( s)
f t g t du
u 0
BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Bentuk Umum Persamaan Diferensial a0 y a1 y'a2 y' '... b
d2y y' ' 2 dx
y'
dy dx
y merupakan peubah gayut (diatas)
x merupakan peubah bebas (dibawah) PD Linier dan Non-Linier
PD Linier bila a0 , a1 ,.... dan b adalah tetapan
PD Non-Linier bila a0 , a1 ,...... dan b f (peubah gayut)
PADA Homogen dan Non-Homogen
PD Homogen bila b 0
PD Non-Homogen bila b 0
Persamaan
dy x 3 y adalah salah satu contoh PADA homogen, sifat ini dx 2x
ditentukan oleh kenyataan bahwa pangkat x dan y yang terlibat dalam masingmasing suku sama derajatnya (dalam hal ini berpangkat 1) kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan subtitusi y vx .
PERSAMAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA 1. Orde suatu persamaan diferensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan ini. 2. Sebuah persamaan diferensial berorde n diperoleh dari suatu fungsi yang memiliki n buah konstanta sembarang 3. Pemecahan persaman diferensial orde pertama a) Dengan Integrasi langsung dy f x memberikan y f x dx dx
b) Dengan pemisahan variable F ( y ).
dy dy f ( x) memberikan F ( y ). f ( x)dx dx dx
c) Persamaan homogen : Subtitusikan y vx memberikan v x
dy F (v) dx
d) Persamaan Linier dy Py Q dx
Factor integrasi FI e
Pdx
Dan ingat bahwa e ln A A Memberikan y.FI Q.FIdx e) Persamaan Bernoulli dy Py Qy n dx
Bagilah dengan y n kemudian misalkan z y 1n Dengan begini kembali menjadi jenis (d) di atas. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA 1. Pemecahan persamaan yang berbentuk
a
d2y dy b cy f ( x) 2 dx dx
2. Persamaan karakteristiknya ialah am 2 bm c 0
3. Macam-macam kemungkinan jawab : a. Kedua akarnya riil dan berbeda m m1 dan m m2
Jawab umumnya ialah y Ae m1x Be m2 x b. Kedua akarnya riil dan sama m m1 (dua kali) Jawab umumnya ialah y e m1x A Bx c. Kedua akarnya kompleks m j Jawab umumnya ialah y ex A cos x B sin x 4. Persamaan yang berbentuk
d2y n2 y 0 2 dx
Jawab umum y A cos nx B sin nx 5. Persamaan yang berbentuk
d2y n2 y 0 2 dx
Jawab umum y A cosh nx B sinh nx 6. persamaan yang berbentuk a
d2y dy b cy f ( x) 2 dx dx
jawab umumnya y fungsi komplementer (FK)+integral khusus (IK)
7. Untuk
a
memperoleh
fungsi
komplementer
(FK)
pecahlah
d2y dy b cy 0 2 dx dx
untuk memperoleh IK, gunakan pemisalan bentuk umum ruas kanan. Perhatikan : jika bentuk umum ruas kanan sudah tercakup dalam FK, kalikanlah dengan x dan kemudian lanjutkanlah seperti biasa. Tentukanlah dahulu jawab umum selengkapnya sebelum melakukan subtitusi untuk mencari konstanta sembarang A dan B Cara Menyelesaikan PD Non-Linier Bentuk Umum PD Non-Linier
D aD by e cx Pn x c konstanta Pn x Polinomial berderajat n Penyelesaiannya ialah y YC YP
Ada tiga kemungkinan untuk YP 1. YP e cx Qn x c a atau b 2. YP xe cx Qn x untuk c a atau b tetapi a b 3. YP x 2 e cx Qn x untuk c a b
BAB VII
DERET FOURIER Koefisien Deret Fourier 1 nx a n f x cos dx L L L L
1 nx bn f x sin dx L L L L
Deret Fourier f x
~ a0 nx ~ nx a n cos bn sin 2 n1 L n1 L
Deret Fourier dalam bentuk komplek.
L
1 Cn f x e 2 L L
inx L
dx
Deret Fourier
f x
~
C e
n~
n
inx
C0 C1e ix C 1e ix C 2 e 2ix C 2 e 2ix
Jika f x mempunyai periode 2 L , maka koefisien deret Fouriernya ialah
1 an L 1 bn L
C 2 L
nx f x cos L dx
C
C 2 L
nx f x sin L dx
C
cosh z
e z ez 2
e z ez sinh z 2
Fungsi genap dan fungsi gasal
f x adalah fungsi genap, jika f x f x f x adalah fungsi ganjil, jika f x f x Perkalian antara dua fungsi memenuhi aturan berikut : 1. Fungsi genap dikalikan fungsi genap atau fungsi gasal dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi genap. 2. Fungsi genap dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi gasal.
jika f x fungsi gasal
0 L
f x dx
L
L
2 f x dx 0
Jika f x fungsi gasal
an 0 2 nx f x sin dx L0 L L
bn
Jika f x fungsi genap
jika f x fungsi genap
2 nx f x cos dx L0 L L
an
bn 0
NOTE : jika a n 0 maka a 0 belum tentu nol TEOREMA PARSEVAL
f x 2
f x
2
L
1 f x 2 dx 2L L
a02 1 ~ 2 1 ~ 2 a n bn 4 2 n1 2 n 1
Deret Pangkat dalam dua variable n
1 f x, y h k f a, b y n 0 n! x ~
Deret Maclaurin diatas ialah x y 0 dan h x , k y Differensial total f f f df dx dy dz ... x z y
Aturan Cramer Dua buah persamaan linier : ax by c px qy r
Maka nilai x dan y ialah c b r q a b
x
a dan y
p q
c
p r a b p q
GARIS DAN BIDANG
Persamaan bidang melalui titik A, B, C ialah
N AB AC N ai bj ck
Persamaan bidang ax x0 b y y0 cz z 0 0
x0 , y0 , z 0 merupakan titik A, B, C .
Jarak terdekat titik P ke bidang A ialah P
N A
N A
Q
R
PR PQ nˆ
N nˆ N Perpotongan garis dengan bidang Bidang 1
ax by cz d
Bidang 2
px qy rz s
N1 : aiˆ bˆj ckˆ N 2 : piˆ qˆj rkˆ Persamaan garis ialah : N1 N 2 , ini juga menunjukkan arah perpotongan kedua
bidang Sudut antara 2 bidang N1 .N 2 N1 .N 2 cos
N 1 .N 2 cos N1 N 2
Persamaan bidang melalui titik P yang tegak lurus terhadap bidang lain. Persamaan bidangnya ialah : r r0 N 2 Dengan N 2 ialah : N 2 PQ N1
BAB VIII FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELIPTIK Fungsi Gamma Definisi fungsi gamma ~
n x n 1e x dx
n 1
0
12 n n 1
sin n
Rumus rekursi fungsi gamma
n n 1n 1 n
1 n 1 n
untuk n 1
untuk n 1
Fungsi Beta Definisi Fungsi Beta 1
B p, q x p 1 1 x
q 1
p 0, q 0
dx
0
Hubungan fungsi beta dengan fungsi gamma
B p, q
p q p q
Fungsi Beta dalam bentuk trigonometri /2
B p, q 2
sin cos 2 p 1
2 q 1
d
0
Bentuk fungsi beta yang lain y p 1
~
B p, q
dy
pq 0 1 y
Integral Eliptik Bentuk Legendre Jenis I
Tak Lengkap
d
F k ,
F k
1 k sin 2
0
II
Lengkap
2
E k , 1 k sin d
E k
2
0
III
0
d
1 n sin 1 k 2
2
sin 2
Bentuk Jakobi Dengan subtitusi arcsin k maka diperoleh x
dx'
1 x' 1 k 2
0
x
E k , x 0
2
x' 2
1 k 2 x2 dx 1 x2 x
k , n, x 0
1 k 2 sin 2
/2
1 k 2 sin 2 d
0
k , n,
F k , x
d
0
2
/2
dx
1 nx 1 x 1 k x 2
2
2
2
Periodisitas Integral Eliptik
F k , n 2nk F k , E(k , n ) 2nk Ek , Sifat F k , F k ,
BAB IX
k , n
/2
d
1 n sin 0
2
1 k 2 sin 2
TRANSFORMASI KOORDINAT Perkalian dua buah matrik C AB atau Cik Aij B jk j
Transpose perkalian suatu matrik
AB T
B T AT
Invers perkalian suatu matrik
AB 1 B 1 A1 Matrik Simetri dan antisimetri Suatu matrik dikatakan simetri jika AT A Sedang dikatakan antisimetri jika AT A Matrik Ortogonal
M T M 1 Rotasi Sistem Koordinat y x'
y'
O
x
x 2 y 2 x' 2 y ' 2
Jumlah kuadrat variable yang baru sama dengan jumlah kuadrat variable yang lama. ORTHOGONAL dan ORTHONORMAL Dua buah fungsi Ax dan Bx disebut “orthogonal” dalam interval a, b jika b
A B dx 0 x
x
a
Fungsi A x disebut normal atau ternormalisasi dalam interval a, b jika
A dx 1 b
2
x
a
Dua buah fungsi disebut “ortonormal” dalam selang a, b jika b
x x dx 0 m
n
a
Sebuah fungsi disebut ortonormal dalam selang a, b jika b
x dx 1 2
m
a
BAB X
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE, DAN LAGUERE A. Persamaan Diferensial Legendre. Deret pangkat ~
y an x n n 0
~
y ' na n x n 1 n 1 ~
y" nn 1a n x n2 n2
Persamaan
diferensial
legendre
muncul
pada
penyelesaian
persamaan
diferensial parsial dalam sistem koordinat bola, mekanika kuantum, teori medan, dan distribusi suhu dengan simetri bola. Bentuk persamaan diferensial legendre ialah
1 x y"2xy'l l 1y 0 2
Penyelesaian umum persamaan diferensial ini ialah
l 1l 2 x 3 l 1l 2l 3l 4 ... l l 1 2 l l 1l 2l 3 4 y a0 1 x x ... a1 x 2! 4! 3! 5! Rumus Rodrigues Merupakan metode untuk memperoleh polinomial legendre
Pl x
1 dl 2 x 1l l l 2 l! dx
Polinomial legendre yang di peroleh dari rumus rodrigues ialah P0 x 1
P1 x x 1 3x 2 1 2 1 P3 x 5 x 3 3x 2 P2 x
Fungsi pembangkit polinomial legendre
x, h 1 2 xh h 2
12
, h 1
Atau dapat ditulis sebagaiberikut
x, h P0 x hP1 x h 2 P2 x ... ~
x, h h l Pl x l 0
Fungsi pembangkit berguna untuk merumuskan hubungan rekursi/rekurensi. Hubungan rekursi ini berguna untuk menyerderhanakan persoalan dan membantu dalam pembuktian suatu persamaan. Hubungan Rekursi
1. lPl x 2l 1xPl 1 x l 1Pl 2 x 2. xPl x Pl x x lPl x 3. Pl x xPl 1 x lPl 1 x 4. 1 x 2 Pl x lPl 1 x lxPl x 5. 2l 1Pl x Pl 1 x Pl 1 x ORTHOGONALITAS DAN NORMALISASI POLINOMIAL LEGENDRE dPl x d 1 x2 l l 1Pl x dx dx
Polinomial Legendre Pl x sebenarnya merupakan pemecahan persoalan nilai eigen Sturm-Liouville. Polinomial Legendre membentuk himpunan fungsi orthogonal dalam selang
1,1 yang memenuhi hubungan 1
P x P x dx N l
m
l
lm
1
0
jika l m
1
jika l m
lm 0
N
2 2l 1
Normalisasi Polinomial Legendre b
b
a
a
* 2 A x A x dx A x dx N 2
Deret Legendre Dalam basis polinomial Legendre Pl x berbentuk ~
f x Cl Pl x l 0
Sehingga f x C0 P0 x C1 P1 x C2 P2 x C3 P3 x ...
Dengan 2l 1 Cl Pl x f x dx 2 1 1
Fungsi Legendre Asosiasi
1 x y"2 xy ' l l 1 2
Atau
m2 y 0 1 x2
d m2 2 dy 1 x l l 1 y 0 dx dx 1 x2
Dengan penyelesaiannya yaitu
Pl m x 1 x 2
m/2
dm Pl x dx m
m0
Atau dengan memasukkan rumus rodrigues diperoleh
Pl m x
l m 1 2 m/2 d x 2 1l 1 x l l m 2 l! dx
Untuk m
Pl m x 1
m
l m! P m x l m! l
m0
Fungsi Legendre Asosiasi juga membentuk himpunan fungsi orthogonal, yaitu 2 l m! P x P x dx 2l 1 l m! 1
m
m n
l
nl
1
Persamaan Diferensial Legendre Asosiasi lebih sering di kenal dalam variable bebas sudut , yaitu dengan subtitusi x cos
1 d dy m2 sin l l 1 y 0 sin d d sin 2
B. Persamaan Diferensial Bessel PD Besel ialah
x 2 y" xy ' x 2 p 2 y 0
Atau
xxy '' x 2 p 2 y 0
Penyelesaiannya berupa fungsi Bessel yaitu 2n p 1n x n 0 n 1n p 1 2 ~
J p x
Penyelesaian kedua Bessel 2n p n 1 x J p x n 0 n 1n p 1 2 ~
Penyelesaian Umum PD Bessel ialah yx AJ p x BJ p x
Untuk
kasus
p bilangan
bulat,
sebagai pengganti
penyelesaian
persamaan diferensial Bessel J p x diperkenalkan fungsi Neumann
N p x Y p x
cos p J p x J p x sin p
Dengan demikian penyelesaian umum PD Bessel ialah
kedua
yx AJ p x BN p x
Fungsi Bessel dan Aplikasinya P.D Bessel
x 2 y" xy ' x 2 n 2 y 0
n0
Solusi/penyelesaian umum P.D Bessel ini ialah y C1 J n x C2Yn x
Bentuk P.D Bessel yang lain
x 2 y" xy ' 2 x 2 n 2 y 0
Dengan penyelesaian umum y C1 J n x C2Yn x
Persamaan diferensial Bessel biasanya kita temui dari persamaa laplace 2 u 0 yang diungkapkan dalam koordinat silinder , , z Fungsi Bessel bentuk yang pertama
J n x
xn x2 x4 1 ... n 2 n 1 22n 2 2.42n 22n 4
C. Persamaan Diferensial Hermite Persamaan Diferensial Hermite diberikan oleh y"2 xy '2ny 0
Polinomial Hermit diberikan oleh rumus Rodrigues
H n x 1 e n
x2
d n x2 e dx n
Fungsi pembangkit untuk polinomial Hermite H n x n t n! n 0 ~
e 2tx t 2
ex 1 x
x2 x3 ... 2! 3!
Rumus Rekursi untuk Polinomial Hermite H n1 x 2 xH n x 2nH n1 x H ' n x 2nH n1 x
Ortogonalitas polinomial Hermite ~
e
x2
H m x H n x dx 0
mn
~
Untuk m n ~
e
x2
H n2 x dx 2 n n!
~
Deret polinomial hermite f x A0 H 0 x A1 H1 x A2 H 2 x ...
Dengan An ialah An
1 2 n n!
~
e
~
x2
f x H n x dx