BAB I DERET DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

BAB I

DERET

BAB II

BILANGAN KOMPLEK

BAB III

ANALISIS VEKTOR

BAB IV

ANALISIS KOMPLEK

BAB V

TRANSFORMASI LAPLACE

BAB VI

PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB VII

DERET FOURIER

BAB VIII

FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELLIPTIK

BAB IX

TRANSFORMASI KOORDINAT

BAB X

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE

DAN LAGUERE.

BAB I DERET Uji banding (comparison test) 1. Jika suku demi suku dari deret u n  a n , dimana a n adalah deret konvergen maka deret u n juga konvergen.

a n = deret geometri 2. Jika suku demi suku deret vn  bn , dimana bn membentuk deret divergen, maka deret v n juga divergen.

bn =deret harmonic

Uji Integral ~

Diandaikan deret positif

a n 1

n

yang suku-sukunya memenuhi sifat

an1  an . Jika dapat ditentukan fungsi positif f (n) yang turun untuk n  1 dan ~

f (n)  an maka deret yang diberikan akan konvergen jika integral I   f (n).dn 1 ~

berhingga(finite). Sebaliknya integral I   f (n).dn tak hingga (infinite) maka deret 1

divergen.

Uji Rasio Rasio suku ke- n

n 

a n 1 an

Informasi konvergensi



lim n ~

n

Jika a.   1 , maka deret itu konvergen b.   1 , maka deret itu divergen c.   1 , boleh jadi konvergen/divergen(harus di uji dengan metode lain)

Uji Pembanding Khusus ~

Deret yang di uji S   a n n 1

Deret pembanding ~

a. Konvergen B   bn n 1

~

b. Divergen D   d n n 1

Aturan ~

1. Jika

b n 1

n

adalah deret positif dan konvergen a n  0 . Jika

an  bernilai bn

~

berhingga maka S   a n adalah deret konvergen. n 1

~

d

2. Jika

n 1

n

adalah deret positif divergen a n  0 , jika 0 

an ~ , maka dn

~

S   a n adalah deret divergen. n 1

Uji Konvergensi Deret Bolak-balik 1. Jika semua suku dianggap positif tetapi S konvergen maka disebut deret konvergen mutlak (konvergen absolut) 2. Semua suku diambil absolutnya sehingga S adalah deret divergen maka S boleh jadi divergen atau konvergen, perlu diuji lagi dengan metode lain Teorema untuk menguji konvergensi deret bolak-balik Teorema “ Sebuah deret bolak-balik disebut konvergen bila nilai mutlak deret itu berkurang secara tunak menuju nol, dan bila an1  an serta

lim n ~

an  0

Aturan yang berkaitan dengan konvergensi sebuah deret 1. Konvergensi/divergensi sebuah deret tidak berubah oleh pengalian dengan tetapan, namun dapat berubah oleh penjumlahan 2. Jika

~

~

n 1

n 1

 an dan  bn

keduanya

diketahui

konvergen

maka

operasi

penjumlahan dan pengurangan dari kedua deret itu menghasilkan deret baru yang konvergen juga.

3. Deret konvergen mutlak, bila suku-sukunya disusun kembali maka tidak akan mengubah konvergensi deret tersebut.

a

konvergensi mutlak deret mutlaknya

a

n

n

dikatakan konvergen mutlak jika deret nilai

konvergen.

Uji Akar Cauchy ~

a n 1

n

c

lim

n

n ~

an

c  1  konvergen

c  1  konvergen c  1  uji akar Cauchy tidak memberikan kesimpulan

Deret Taylor

~

f x    f

n

n  x  a a 

n!

n 0

f ( x)  f ( a )  f ' ( a ) ( x  a ) 

f ' '( a ) 2!

( x  a)  2

f ' ' '( a ) 3!

( x  a)  .... 

Deret Maclaurin Merupakan deret Taylor dengan a  0

~

f x    n 0

xn f 0 n! n

f ( x)  f ( 0 )  f ' ( 0 ) x 

f ' ' ( 0)

x2 

f ' ' '(0)

x 3  ...... 

2! 3! Deret Maclaurin dari berbagai fungsi Fungsi

f

n

( 0)

n!

Deret Maclaurin

sin x

cos x ex ex

ln 1  x 

x

x3 x5 x7    ... 3! 5! 7!

1

x2 x4 x6    ... 2! 4! 6!

1 x 

x2 x3   ... 2! 3!

1 x 

x 2 x3   ... 2! 3!

x2 x3 x4 x    ... 2 3 4

Deret Binomial Newton

1  x  p

 1  px 

xn

p p  1 2 p p  1 p  2 3 x  x  ... 2! 3!

f (na ) n!

( x  a) n

BAB II BILANGAN KOMPLEK z  x  iy dan z*  z  x  iy

Modulus z  r  zz Sifat-sifat modulus

z1 z 2  z1 z 2 dan z1 z1  z2 z2  Jika r  z  x  iy  dz  dz  dz v       dt  dt  dt a

d 2z dt 2

Impedansi

1   Z  R  i L   C  

1   Z  R   L   C  

2

2

Deret Geometri

Sn 

a1  r n  1 r

z  rei z n  r n e in

e   cos   i sin   i 2

n

 

1 n

z  re

i

1 n

 cos n  i sin n

    r e  n r  cos  i sin  n n  1 n

i n

BAB III ANALISIS VEKTOR

     A     A        A     A     B    A   A    B     B  A  B   A   A  B  A   B         B  A  A  B  B    A  A    B 

   A    A     A B     A B    A B

      2      0 (CURL GRAD  )     A  0 ( DIV CURL A)        A     A  2 A

 

  



Integral garis :

    A  d r  A    dr   Ax dx  Ay dy  Az dz

p2

C

C

p1

Integral permukaan     dxdy ˆ A  d a  A  n da  A S S   nˆ nˆ  k

Catatan khusus untuk integrasi permukaan 1. Parameter dalam koordinat kartesius

dxdy nˆ  k

da 

2. Parameter dalam koordinat silinder

nˆdA  axi  yj ddz dengan a = jari-jari 3. Parameter dalam koordinat bola

nˆdA  xi  yj  zk a sin dd Teorema Divergensi Gauss      AdV   A  nˆdS V

S

Teorema Stokes    A  d r    A  nˆdS  



C



C



S

 N M  dxdy Mdx  Ndy     x y  R 

BAB IV ANALISIS KOMPLEK Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat orthogonal/kartesius

u v  x y

dan

v u  x y

Persamaan Cauchy Rieman dalam koordinat polar u 1 v  r r 

dan

v 1 u  r r 

Persamaan Laplace  2u  2u  0 x 2 y 2

 2v  2v  0 x 2 y 2

dan

Suatu fungsi disebut analitik jika memenuhi persamaan Cauchy Rieman atau persamaan Laplace Integral lintasan

 f z dz   u  iv dx  idy   f z dz   udx  vdy  i  vdx  udy C

C

C

C

Rumus Integral Cauchy

C

f

n

a  

n! f z  dz  2i C z  a z 1

Residu a 1 





1 d m1 z  z 0 m f z  z  z 0 m  1! dz m1 lim

Integrasi Residu0

 f z dz  2i. jmlh residu f z  di dlm C C

Deret Taylor

~

f z    f

n

n 0

z 0 

z  z 0 n n!

Deret Maclaurin

~

f z    n 0

zn f 0 n! n

Integrasi Trigonometri 2



Integral bentuk

 f cos  , sin  d 0

z  z 1 z  z 1 dz Lakukan subtitusi cos   , sin   , dan d  2i 2 iz



Integral bentuk

 f x dx ~

~

Penyelesaiannya adalah

 f x dx  2i residu f diatas sumbu x ~

~

 f x dx  2i residu f dibawah sumbu x ~

~

BAB V

TRANSFORMASI LAPLACE L f t    e  st f t dt ~

t 0

f t 

L f t 

1

1 s

t

1 s2

tn

n! s n 1

e  at

1 s  a 

sin at

a s  a2



2



cos at

sinh at

cosh at

e iat

s2 s2  a2



a s  a2



s s  a2





 

2

2

1 s  ia 

Rumus-rumus





dn f s  , f t  di laplace_kan dulu ds n



L t n f t    1



 f s  L1     f t dt   f u du  s  t 0 u 0



 f t  L    f s ds  t  ss



1 f t    L1  f ' s  t



 d n F s  n n L1     1 t f t  n  ds 

n

t

t

~

Penyelesaian persamaan differensial dengan transformasi Laplace 1. Persamaan differensial → y t  atau y x  2. Kenai transformasi Laplace pada kedua ruas kanan dan kiri sehingga menjadi y s  3. Kenai syarat batas/syarat awal, misalnya y 0  0 4. Bentuklah fungsi y  f s  5. Kenai invers transformasi Laplace L1  y  f (s)  L1 f (s)  f t 

Rumus transformasi Laplace dalam persamaan differensial L y   y

L y '  sy  y 0 L y ' '  s 2 y  sy0  y 0' L y ' ' '  s 3 y  s 2 y 0  sy0'  y 0''

 

L y n  s n y  s n 1 y 0  ......  y 0n 1

Integral Bromwich

f t  

c i ~

1 f t e zt dz 2i c i ~

Konvolusi t

L1  f ( s) * g ( s) 

 f t g t du

u 0

BAB VI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bentuk Umum Persamaan Diferensial a0 y  a1 y'a2 y' '...  b

d2y y' '  2 dx

y' 

dy dx

y merupakan peubah gayut (diatas)

x merupakan peubah bebas (dibawah) PD Linier dan Non-Linier 

PD Linier bila a0 , a1 ,.... dan b adalah tetapan



PD Non-Linier bila a0 , a1 ,...... dan b  f (peubah gayut)

PADA Homogen dan Non-Homogen 

PD Homogen bila b  0



PD Non-Homogen bila b  0

Persamaan

dy x  3 y adalah salah satu contoh PADA homogen, sifat ini  dx 2x

ditentukan oleh kenyataan bahwa pangkat x dan y yang terlibat dalam masingmasing suku sama derajatnya (dalam hal ini berpangkat 1) kunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan subtitusi y  vx .

PERSAMAN DIFERENSIAL ORDE PERTAMA 1. Orde suatu persamaan diferensial ditunjukkan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan ini. 2. Sebuah persamaan diferensial berorde n diperoleh dari suatu fungsi yang memiliki n buah konstanta sembarang 3. Pemecahan persaman diferensial orde pertama a) Dengan Integrasi langsung dy  f x  memberikan y   f x dx dx

b) Dengan pemisahan variable F ( y ).

dy dy  f ( x) memberikan F ( y ).   f ( x)dx dx dx

c) Persamaan homogen : Subtitusikan y  vx memberikan v  x

dy  F (v) dx

d) Persamaan Linier dy  Py  Q dx

Factor integrasi FI  e 

Pdx

Dan ingat bahwa e ln A  A Memberikan y.FI   Q.FIdx e) Persamaan Bernoulli dy  Py  Qy n dx

Bagilah dengan y n kemudian misalkan z  y 1n Dengan begini kembali menjadi jenis (d) di atas. PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE KEDUA 1. Pemecahan persamaan yang berbentuk

a

d2y dy  b  cy  f ( x) 2 dx dx

2. Persamaan karakteristiknya ialah am 2  bm  c  0

3. Macam-macam kemungkinan jawab : a. Kedua akarnya riil dan berbeda m  m1 dan m  m2

Jawab umumnya ialah y  Ae m1x  Be m2 x b. Kedua akarnya riil dan sama m  m1 (dua kali) Jawab umumnya ialah y  e m1x  A  Bx  c. Kedua akarnya kompleks m    j Jawab umumnya ialah y  ex  A cos x  B sin x  4. Persamaan yang berbentuk

d2y  n2 y  0 2 dx

Jawab umum y  A cos nx  B sin nx 5. Persamaan yang berbentuk

d2y  n2 y  0 2 dx

Jawab umum y  A cosh nx  B sinh nx 6. persamaan yang berbentuk a

d2y dy  b  cy  f ( x) 2 dx dx

jawab umumnya y  fungsi komplementer (FK)+integral khusus (IK)

7. Untuk

a

memperoleh

fungsi

komplementer

(FK)

pecahlah

d2y dy  b  cy  0 2 dx dx

untuk memperoleh IK, gunakan pemisalan bentuk umum ruas kanan. Perhatikan : jika bentuk umum ruas kanan sudah tercakup dalam FK, kalikanlah dengan x dan kemudian lanjutkanlah seperti biasa. Tentukanlah dahulu jawab umum selengkapnya sebelum melakukan subtitusi untuk mencari konstanta sembarang A dan B Cara Menyelesaikan PD Non-Linier Bentuk Umum PD Non-Linier

D  aD  by  e cx Pn x c  konstanta Pn x   Polinomial berderajat n Penyelesaiannya ialah y  YC  YP

Ada tiga kemungkinan untuk YP 1. YP  e cx Qn x  c  a atau b 2. YP  xe cx Qn x  untuk c  a atau b tetapi a  b 3. YP  x 2 e cx Qn x  untuk c  a  b

BAB VII

DERET FOURIER Koefisien Deret Fourier 1  nx  a n   f x  cos dx L L  L  L

1  nx  bn   f x sin dx L L  L  L

Deret Fourier f x  

~ a0  nx  ~  nx    a n cos    bn sin  2 n1  L  n1  L 

Deret Fourier dalam bentuk komplek.

L

 1   Cn  f x e 2 L L

inx L

dx

Deret Fourier

f x  

~

C e

n~

n

inx

 C0  C1e ix  C 1e ix  C 2 e 2ix  C 2 e 2ix

Jika f x  mempunyai periode 2 L , maka koefisien deret Fouriernya ialah

1 an  L 1 bn  L

C 2 L

 nx   f x cos L dx

C

C 2 L

 nx   f x sin L dx

C

cosh z 

e z  ez 2

e z  ez sinh z  2

Fungsi genap dan fungsi gasal

f x  adalah fungsi genap, jika f  x   f x  f x  adalah fungsi ganjil, jika f  x    f x   Perkalian antara dua fungsi memenuhi aturan berikut : 1. Fungsi genap dikalikan fungsi genap atau fungsi gasal dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi genap. 2. Fungsi genap dikalikan fungsi gasal akan menghasilkan fungsi gasal.

jika f x  fungsi gasal

0 L

 f x dx 

L

L

2 f x dx 0

Jika f x  fungsi gasal

an  0 2  nx  f x sin dx  L0  L  L

bn 

Jika f x  fungsi genap

jika f x  fungsi genap

2  nx  f x  cos dx  L0  L  L

an 

bn  0

NOTE : jika a n  0 maka a 0 belum tentu nol TEOREMA PARSEVAL

 f x 2 

 f x 

2

L

1  f x 2 dx  2L L

a02 1 ~ 2 1 ~ 2    a n   bn 4 2 n1 2 n 1

Deret Pangkat dalam dua variable n

1    f x, y     h  k  f a, b  y  n 0 n!  x ~

Deret Maclaurin diatas ialah x  y  0 dan h  x , k  y Differensial total  f   f   f  df   dx   dy   dz  ...  x   z   y 

Aturan Cramer Dua buah persamaan linier : ax  by  c px  qy  r

Maka nilai x dan y ialah c b r q a b

x

a dan y 

p q

c

p r a b p q

GARIS DAN BIDANG 

Persamaan bidang melalui titik A, B, C ialah

 N  AB  AC  N  ai  bj  ck

Persamaan bidang ax  x0   b y  y0   cz  z 0   0

x0 , y0 , z 0 merupakan titik A, B, C . 

Jarak terdekat titik P ke bidang A ialah P

 N  A

 N A

Q

R

PR  PQ  nˆ

 N nˆ   N Perpotongan garis dengan bidang Bidang 1

ax  by  cz  d

Bidang 2

px  qy  rz  s

 N1 : aiˆ  bˆj  ckˆ  N 2 : piˆ  qˆj  rkˆ   Persamaan garis ialah : N1  N 2 , ini juga menunjukkan arah perpotongan kedua

bidang  Sudut antara 2 bidang     N1 .N 2  N1 .N 2 cos 

  N 1 .N 2 cos     N1 N 2 

Persamaan bidang melalui titik P yang tegak lurus terhadap bidang lain. Persamaan bidangnya ialah :  r  r0   N 2  Dengan N 2 ialah :   N 2  PQ  N1

BAB VIII FUNGSI GAMMA, BETA, DAN INTEGRAL ELIPTIK  Fungsi Gamma Definisi fungsi gamma ~

n    x n 1e  x dx

n 1

0

 12    n n  1 

 sin n

Rumus rekursi fungsi gamma

n   n  1n  1 n  

1 n  1 n

untuk n  1

untuk n  1

 Fungsi Beta Definisi Fungsi Beta 1

B p, q    x p 1 1  x 

q 1

p  0, q  0

dx

0

Hubungan fungsi beta dengan fungsi gamma

B  p, q  

 p q   p  q 

Fungsi Beta dalam bentuk trigonometri  /2

B  p, q   2

 sin   cos   2 p 1

2 q 1

d

0

Bentuk fungsi beta yang lain y p 1

~

B  p, q   

dy

pq 0 1  y 

 Integral Eliptik Bentuk Legendre Jenis I

Tak Lengkap 

d

F k ,    

F k  

1  k sin  2

0

II

Lengkap

2

E k ,     1  k sin  d

E k  

2

0

III



0

d

1  n sin   1  k 2

2

sin 2 

Bentuk Jakobi Dengan subtitusi   arcsin k maka diperoleh x

dx'

1  x' 1  k 2

0

x

E k , x    0

2

x' 2



1 k 2 x2 dx 1 x2 x

k , n, x    0

1  k 2 sin 2 

 /2



1  k 2 sin 2  d

0

k , n,    

F k , x   

d

 0



2

 /2

dx

1  nx  1  x 1  k x  2

2

2

2

Periodisitas Integral Eliptik

F k , n     2nk  F k ,   E(k , n   )  2nk  Ek ,   Sifat F k ,    F k ,  

BAB IX

k , n  

 /2

d

 1  n sin   0

2

1  k 2 sin 2 

TRANSFORMASI KOORDINAT Perkalian dua buah matrik C  AB atau Cik   Aij B jk j

Transpose perkalian suatu matrik

 AB T

 B T AT

Invers perkalian suatu matrik

 AB 1  B 1 A1 Matrik Simetri dan antisimetri Suatu matrik dikatakan simetri jika AT  A Sedang dikatakan antisimetri jika AT   A Matrik Ortogonal

M T  M 1 Rotasi Sistem Koordinat y x'

y'

O

x

x 2  y 2  x' 2  y ' 2

Jumlah kuadrat variable yang baru sama dengan jumlah kuadrat variable yang lama. ORTHOGONAL dan ORTHONORMAL Dua buah fungsi Ax  dan Bx  disebut “orthogonal” dalam interval a, b  jika b

 A  B dx  0 x

x

a

Fungsi A x  disebut normal atau ternormalisasi dalam interval a, b  jika

 A   dx  1 b

2

x

a

Dua buah fungsi disebut “ortonormal” dalam selang a, b  jika b

  x  x dx  0 m

n

a

Sebuah fungsi disebut ortonormal dalam selang a, b  jika b

  x  dx  1 2

m

a

BAB X

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE, BESSEL, HERMITE, DAN LAGUERE A. Persamaan Diferensial Legendre. Deret pangkat ~

y   an x n n 0

~

y '   na n x n 1 n 1 ~

y"   nn  1a n x n2 n2

Persamaan

diferensial

legendre

muncul

pada

penyelesaian

persamaan

diferensial parsial dalam sistem koordinat bola, mekanika kuantum, teori medan, dan distribusi suhu dengan simetri bola. Bentuk persamaan diferensial legendre ialah

1  x y"2xy'l l  1y  0 2

Penyelesaian umum persamaan diferensial ini ialah

l  1l  2 x 3  l  1l  2l  3l  4  ...  l l  1 2 l l  1l  2l  3 4   y  a0 1  x  x  ...  a1  x   2! 4! 3! 5!     Rumus Rodrigues Merupakan metode untuk memperoleh polinomial legendre

Pl x  

1 dl 2 x  1l l l 2 l! dx

Polinomial legendre yang di peroleh dari rumus rodrigues ialah P0  x   1

P1  x   x 1  3x 2  1 2 1 P3  x   5 x 3  3x  2 P2  x  

Fungsi pembangkit polinomial legendre

 x, h  1  2 xh  h 2 

 12

, h 1

Atau dapat ditulis sebagaiberikut

 x, h  P0 x   hP1 x   h 2 P2 x   ... ~

 x, h    h l Pl x  l 0

Fungsi pembangkit berguna untuk merumuskan hubungan rekursi/rekurensi. Hubungan rekursi ini berguna untuk menyerderhanakan persoalan dan membantu dalam pembuktian suatu persamaan. Hubungan Rekursi

1. lPl x   2l  1xPl 1 x   l  1Pl 2 x  2. xPl x   Pl  x x   lPl x  3. Pl x   xPl 1 x   lPl 1 x  4. 1  x 2 Pl x   lPl 1 x   lxPl x  5. 2l  1Pl x   Pl 1 x   Pl 1 x  ORTHOGONALITAS DAN NORMALISASI POLINOMIAL LEGENDRE dPl x  d  1 x2  l l  1Pl x   dx  dx 





Polinomial Legendre Pl x  sebenarnya merupakan pemecahan persoalan nilai eigen Sturm-Liouville. Polinomial Legendre membentuk himpunan fungsi orthogonal dalam selang

 1,1 yang memenuhi hubungan 1

 P x P x dx  N  l

m

l

lm

1

0

jika l  m

1

jika l  m

 lm  0

N

2 2l  1

Normalisasi Polinomial Legendre b

b

a

a

* 2  A x  A x dx   A x  dx  N 2

Deret Legendre Dalam basis polinomial Legendre Pl x  berbentuk ~

f x    Cl Pl x  l 0

Sehingga f x   C0 P0 x   C1 P1 x   C2 P2 x   C3 P3 x   ...

Dengan 2l  1 Cl  Pl x  f x dx 2 1 1

Fungsi Legendre Asosiasi

1  x y"2 xy ' l l  1  2



Atau

m2  y  0 1 x2 

 d  m2  2 dy    1  x  l l  1   y  0 dx  dx   1 x2 





Dengan penyelesaiannya yaitu

Pl m x   1  x 2 

m/2

dm Pl x  dx m

m0

Atau dengan memasukkan rumus rodrigues diperoleh

Pl m x  

l m 1 2 m/2 d   x 2  1l 1  x l l m 2 l! dx

Untuk  m

Pl m x    1

m

l  m! P m x  l  m! l

m0

Fungsi Legendre Asosiasi juga membentuk himpunan fungsi orthogonal, yaitu 2 l  m!  P x P x dx  2l  1 l  m!  1

m

m n

l

nl

1

Persamaan Diferensial Legendre Asosiasi lebih sering di kenal dalam variable bebas sudut  , yaitu dengan subtitusi x  cos 

1 d  dy   m2   sin    l l  1  y  0 sin  d  d   sin 2  

B. Persamaan Diferensial Bessel PD Besel ialah





x 2 y" xy ' x 2  p 2 y  0

Atau





xxy '' x 2  p 2 y  0

Penyelesaiannya berupa fungsi Bessel yaitu 2n p  1n  x   n 0 n  1n  p  1  2  ~

J p x   

Penyelesaian kedua Bessel 2n p n   1  x J  p x      n 0 n  1n  p  1  2  ~

Penyelesaian Umum PD Bessel ialah yx   AJ p x   BJ  p x 

Untuk

kasus

p bilangan

bulat,

sebagai pengganti

penyelesaian

persamaan diferensial Bessel J  p x  diperkenalkan fungsi Neumann

N p x   Y p x  

cos p J p x   J  p x  sin  p 

Dengan demikian penyelesaian umum PD Bessel ialah

kedua

yx   AJ p x   BN p x 

Fungsi Bessel dan Aplikasinya P.D Bessel





x 2 y" xy ' x 2  n 2 y  0

n0

Solusi/penyelesaian umum P.D Bessel ini ialah y  C1 J n x   C2Yn x 

Bentuk P.D Bessel yang lain





x 2 y" xy ' 2 x 2  n 2 y  0

Dengan penyelesaian umum y  C1 J n x   C2Yn x 

Persamaan diferensial Bessel biasanya kita temui dari persamaa laplace  2 u  0 yang diungkapkan dalam koordinat silinder  ,  , z  Fungsi Bessel bentuk yang pertama

J n x  

  xn x2 x4 1    ...  n 2 n  1  22n  2 2.42n  22n  4 

C. Persamaan Diferensial Hermite Persamaan Diferensial Hermite diberikan oleh y"2 xy '2ny  0

Polinomial Hermit diberikan oleh rumus Rodrigues

H n x    1 e n

x2

 

d n  x2 e dx n

Fungsi pembangkit untuk polinomial Hermite H n x  n t n! n 0 ~

e 2tx t   2

ex  1 x 

x2 x3   ... 2! 3!

Rumus Rekursi untuk Polinomial Hermite H n1 x   2 xH n x   2nH n1 x  H ' n x   2nH n1 x 

Ortogonalitas polinomial Hermite ~

e

 x2

H m x H n x dx  0

mn

~

Untuk m  n ~

e

 x2

H n2 x dx  2 n n! 

~

Deret polinomial hermite f x   A0 H 0 x   A1 H1 x   A2 H 2 x   ...

Dengan An ialah An 

1 2 n n! 

~

e

~

 x2

f x H n x dx