BAB II
DERET UKUR Husnayetti
1
1. PENGERTIAN DU Deret ukur adalah suatu deret yang perbandingan suku-suku yang berurutannya merupakan bilangan tetap
2
2. BENTUK UMUM Deret Ukur a = suku awal p = pengganda Sn = suku ke n
3
3. MENENTUKAN SUKU KE n ( Sn) Rumus untuk menentukan suku ke n untuk DU adalah : Misalkan kita punya DU adalah : 2,4,8,16,32… Contoh deret ini mempunyai p = 2 yaitu dengan cara membandingkan suku-suku yang berurutannya mis : 4/2 = 2 Suku Pertama = 2 = a Suku ke dua =4=2x2=a.p 4
Suku Pertama 2 = a Suku ke 2 4=2x2=a.p Suku ke 3 8 = 2x2x2 = a.p.p = ap 2 Suku ke 4 16 = 2x2x2x2 = a.p.p.p=ap3 Dengan formula diatas maka kita dapat menentukan rumus untuk suku ke n =
Sn = a.p (n-1) 5
Contoh : Diketahui Deret Ukur beranggotakan 3,9,27….. .Tentukanlah suku ke enam dari deret tersebut S6 = ap 5 S6 = 3.3 5 =3 6 = 729
6
Contoh : Sebuah DU mempunyai suku pertama 20 dan ratio antar suku yang berurutannya adalah 2.Hitunglah suku ke 10 ? Diket : a=20 dan p=2 Ditanya S10 S10 = a.p 9 = 20 . 2 9 S10 = 10.240 7
Contoh : Deret ukur X mempunyai nilai suku pertama 1.600 dan rationya 0,125.Sedangkan deret ukur Y mempunyai nilai suku pertama 50 dan rationya 4. Pada suku keberapa kedua deret ini mempunyai nilai yang sama ? Diket : Deret X, a=1.600 dan p=0,125 Deret Y, a=50 dan p=4 8
Snx =1.600 . 0,125
(n-1)
Sny =50 . 4 (n-1) 1.600 . 0,125 (n-1) = 50 . 4 (n-1) 1.600/50 = 4 (n-1)/0,125 (n-1) 32 = 32 (n-1) 1 = (n-1) 1+1 = n = 2
9
4. MENENTUKAN JUMLAH S/D SUKU KE n ( Dn) Menentukan jumlah sampai dengan suku ke n (Dn) itu adalah dengan menjumlahkan suku pertama sampai dengan suku ke n. Rumus yang digunakan adalah : Dn = a+ap+ap2+ap3+……. apn-1 ……… 1 p.Dn = ap+ap2+ap3+ap4+….apn-1+ apn.... 2 10
• Kemudian persamaan persamaan (2) Dn – pDn = a – ap n Dn (1-p) = a (1-pn)
(1)
dikurang
Dn = a (1-pn) untuk p < 1 1-p Dn = a (pn-1) untuk p > 1 p-1 11
Contoh : Sebuah deret ukur mempunyai suku pertama 15 .Ratio antar suku-suku yang berurutannya 10.hitunglah berapa jumlah sampai dengan suku ke 5 Diket : a=15 dan p=10 Ditanya : D5 D5 = 15 ( 10 5 – 1 ) = 166.665 10-1 12
Contoh : Apabila suku ke-3 dan suku ke-7 dari sebuah deret ukur masing-masing adalah 800 dan 204.800. Hitunglah : a. Suku awal dan pengganda b. Suku ke lima c. Jumlah sampai dengan suku ke lima
13
S3= ap2 = 800 S7 = ap6 = 204.800 = ap2. p4= 800 . p4 204.800 = 800 . p4 , p4 =256 dan p=4 800= a . 42 = a . 16, maka a = 800/16=50
14
S5 = a p 4 = 50 . 4 4 = 50 . 256 = 12.800
D5 = 50 ( 4 5 –1) =17.050 3
15
1. Tentukanlah suku awal dan ratio darisebuah deret ukur jika diketahui suku ke 5 = 80 dan suku ke 9 = 640 2. Tentukanlah nilai n dari suatu deret ukur yang suku pertamanya adalah 3, dan rationya 2, serta suku ke n (Sn) adalah 384
16
Tabungan Rp. 1.000.000, bunga 10% 1.000.000 + 10% x 1.000.000 = 1.100.000 1.100.000 + 10% x 1.100.000 = 1.210.000
17
5. APLIKASI DU 1. BUNGA MAJEMUK Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam simpan pinjam Bunga majemuk / Bunga berbunga adalah suatu metode dimana jumlah bunga yang diperoleh ditambahkan kedalam uang pokok untuk menghitung bunga periode berikutnya
18
Bunga mejemuk digunakan untuk menghitung nilai yang akan datang dari suatu pinjaman ( nilai sekarang ) Notasi yang digunakan : P = uang pokok F = Nilai akumulasi / nilai yang akan datang i = suku bunga n = jangka waktu / jumlah 19
Rumus untuk menghitung bunga majemuk Jumlah akumulasi / nilai yang akan datang dari suatu tabungan atau uang pokok adalah : Setelah tahun pertama (F1) = P + i P=P(1+i) Setelah tahun kedua (F2) = P(1 + i) + i(P(1+i)=P(1+i)2 Setelah tahun ke tiga (F3) = P(1+i)3 Setelah tahun ke-n
Fn = P ( 1+i) n 20
Contoh : Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10.000.000,- dalam jangka waktu 5 tahun.Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% pertahun.bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun ke-lima ? 21
Jika perhitungan bunga nya lebih dari sekali setahun maka rumusnya akan menjadi : Fn = P ( 1+ i ) mn m
m = frekuensi perhitungan bunga dalam setahun
22
Contoh : Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 15.000.000,- dalam jangka waktu 6 tahun.Pembungaan depositonya tiap 4 bulan sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 12% pertahun.bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun ke-enam ? 23
Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 15.000.000,- dalam jangka waktu 7 tahun.Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 12% pertahun.bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun ke-tujuh ?
24
2. PRESENT VALUE Present value berarti kita menghitung nilai sekarang dari nilai yang akan datang ( mengitung P dari nilai F) P=
F ( 1+i)n Rumus ini digunakan jika perhitungan bunganya setahun sekali 25
Kalau perhitungan bunga lebih dari sekali setahun maka digunakan rumus : P=
F ( 1+i)mn m
26
Contoh : Jika seorang nasabah menginginkan uang yang didepositokannya selama lima tahun menjadi berjumlah Rp. 20 Jt, dengan tingkat suku bunga konstan 11 % pertahun dan dibungakan setiap tahun, berapa uang yang harus didepositokannya sekarang ?
27
Diket : F5 = 20.000.000 i=11% dan n=5 P= ? Fn = P (1+i) n = P = Fn = (1 +i)n
20.000.000 ( 1,11 ) 5
P = 11,869,026.56
28
Jika hendak dibungakan tidak per-satu tahun, misalnya tiap 6 bulan, hitunglah berapa uang yang harus didepositokannya sekarang ? P = Fn = 20.000.000 = 20.000.000 (1 + i )mn (1 +0,055) 10 1,055 10 m
11,708,611.59
29
Latihan soal 1. Bapak Vecky seorang pengusaha, berharap lima tahun kemudian akan mendapatkan laba sebesar Rp. 25 jt.Jika tingkat bunga yang berlaku saat ini 12% per tahun dan dibayarkan secara kuartalan,berapa jumlah laba Vecky saat ini ? 2. Arfina ingin menabung uangnya Rp.1.500.000,-di bank dengan tingkat bunga 15% pertahun.Berapa nilai uangnya setelah 10 tahun kemudian, jika dimajemukkan sacara semesteran,bulanan dan kuartalan. 30
3. PERTUMBUHAN PENDUDUK Penerapan deret ukur yang paling konvensional dibidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk, sebagaimana yang dikemukakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur, secara matematik hal tersebut dapat dirumuskan : Pn = Po ( 1 +r ) n 31
Dimana : Pn = Jumlah penduduk tahun n Po = Jumlah penduduk tahun o ( tahun awal ) n = Jumlah tahun r = Tingkat pertumbuhan penduduk
32
Contoh : Penduduk kota A pada tahun 1990 berjumlah 1.000.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhannya 2% pertahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut tahun 1995 Diket : Po = 1.000.000 r = 2% dan n = 5 Pn = Po (1+r)n = 1.000.000 (1.02)5 = 1,104,081 33
Contoh : Penduduk sebuah kota Metropolitan tercatat 3,25 Jt jiwa pada tahun 1998, diperkirakan menjadi 4,5 jt jiwa tahun 2003. Jika tahun 1998 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhan penduduk pertahunnya. Dan berapa jumlah penduduk tahun 2005
34
Diket : Po=3,25 jt Pn=4,5 jt n=5 r=…. ? Pn = Po ( 1 +r ) n 4,5 jt = 3,25 jt ( 1+r) 5 4,5 jt/ 3,25jt = ( 1+r) 5 1,38 = ( 1+r) 5 , 1+r = 5√ 1,38 = 1,06654 r= 1,06654 – 1, r=0,06654, r=6,65% 35
1. Tn X meminjam sejumlah uang Rp. 1.000.000 pada bank Y dengan perjanjian bahwa 3 tahun kemudian X harus mengembalikan sejumlah Rp. 1.650.000.Hitunglah berapa persen tingkat bunga majemuk yang dibebankan pada Tn X 2. Dodi mendepositokan uangnya sejumlah Rp.625.000 pada sebuah Bank yang memberi bunga 7,5% tiap 6 bulan secara majemuk selama jangka waktu tertentu.Agar pada akhir jangka waktu tersebut Dodi akan menerima jumlah tabungan Rp. 1.000.000.Hitunglah selama berapa tahun Dodi harus mendepositokan uangnya ? 36
Pertumbuhan Penduduk • Penduduk suatu kota pada tahun 2000 benjumlah 1.000.000. Dengan tingkat perumbuhan penduduk yang konstan setiap tahun setelah 5 tahun kemudian jumlah penduduk kota tersebut menjadi 1.104.080 jiwa. Hitunglah berapa tingkat pertumbuhan penduduk kota tersebut per tahun ? 37
