BAB IV FUNGSI KUADRAT
HUSNAYETTI Ketua STIE Ahmad Dahlan Jakarta
DEFENISI FUNGSI KUADRAT Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang variabel bebasnya maksimal berpangkat dua Bentuk umum fungsi kuadrat Y = ax2 + bx + c Y= fungsi kuadrat a,b,c = konstanta dan a # 0
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN Pencarian akar-akar persamaan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus abc D = b2- 4ac X12 = - b ±√ b2- 4ac 2a X12 = - b ± √ D 2a
Contoh : Tentukanlah nilai X12 dari persamaan Y = - x2 + 2x +3 X12 = - b ±√ b2- 4ac 2a X12 = - 2 ±√ 22- 4-13 2.-1 X12 = - 2 ±√ 22- 4.-1.3 2.-1 X12 = -2 ± 4 -2
D = b2- 4ac
X1 = 2/-2 = - 1 X2 = -6/-2 = 3
CARA MENGGAMBARKAN GRAFIK Ada 2 cara menggambarkan grafik yaitu : 1. Menentukan titik potong dg sumbu X dan Y 2. Dengan menggunakan tabel XY
Dengan menentukan titik potong 1. Tentukan titik potong dengan sumbu X, dimana Y=0 2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, dimana X = 0 3. Dengan menentukan titik puncak dimana x=-b/2a dan y= -D/4a Contoh : Gambarkanlah grafik dari fungsi kuadrat Y=X2 – 5X+6
1.Titik potong dengan sumbu Y, dimana x=0 Y=X2 – 5X+6, Y= 0-0+6 = 6 Jadi koordinatnya adalah ( 0,6) 2. Titik potong dengan sembu x, dimana y=0 Y=X2 – 5X+6 0=X2 – 5X+6, untuk menghitung x12 adalah dengan menggunkan rumus abc :
X12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac 2a
D = b2- 4ac = (-5)2 – 4.1.6 = 25-24 = 1
X12 = - b ±√ b2- 4ac = -(-5) ± √ 1 = 5 ±1 2a 2.1 2 X1 = (5+1)/2=3, koordinatnya adalah ( 3,0) X2 = ( 5-1)/2 = 2, koordinatnya adalah ( 2,0) 3. Titik Puncak/ balik X = -b/2a = 5/2 = 2,5 Y= -D/4a = -1/4 = -0,25 Koordinatnya adalah ( 2,5 . –0,25 )
Gambarkanlah grafik dari fungsi kuadrat berikut ini : Y = 3+2X-X2
HUBUNGAN NILAI a DAN D DENGAN BENTUK GRAFIK Ada 2 kemungkinan nilai a a > 0, bentuk grafiknya terbuka keatas a < 0, bentuk grafiknya terbuka kebawah Nilai D D>0 = ada 2 nilai x ( x1 dan x2 ) D = 0 , hanya ada satu nilai x D<0 = nilai x merupakan bilangan imajiner
1. 2. 3. 4. 5.
PENERAPAN FUNGSI KUADRAT DALAM EKONOMI Fungsi permintaan,penawaran dan keseimbangan pasar Pengaruh pajak dan Subsidi terhadap keseimbangan pasar Fungsi biaya, penerimaan ( untung, rugi dan BEP) Fungsi Produksi Fungsi Utility
Fungsi permintaan,penawaran dan keseimbangan pasar Contoh :
Diketahui fungsi penawaran P=20Q2 +4Q dan fungsi permintaannya P=-2Q2+300. Tentukan keseimbangan pasarnya ! Jawab : 20Q2 +4Q=-2Q2+300 20Q2 +4Q+ 2Q2-300=0 22Q2+4 Q –300 =0 Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac =16-4.22.-300 2a D = 16+26400 = 26.416
Q12 = - b ±√ b2- 4ac D = b2- 4ac =16-4.18.-300 2a D = 16+26.400 = 26.416 Q12 = - 4 ±√ 26.416 Q12= -4 ±162,529 2.22 44 Q1 = 158,529/44 = 3,603 Q2 = - 166,529/44= - 3,785 P=20Q2 +4Q P = 20 ( 3,603)2 + 4 ( 3,603 ) P = 259,632 + 14,412 P = 274,044 : keseimbangan pasar terjadi saat P=274,044 dan Q = 3,603
Diketahui fungsi penawaran P=20Q2 + 4Q+12 dan fungsi permintaan P = - 12Q2 + 300. Tentukanlah keseimbangan pasarnya ?
20Q2 + 4Q+12
=
- 12Q2 + 300
20Q2 + 4Q+12
+
12Q2 - 300
2 32 Q
+ 4Q
Q12= -b ±√ D 2x a
Q12= -4 ± 192 64 Q1= 188 = 64 Q2= -196 = 64
-288
D = b2-4 a c D= 16 D= 16 + D= 36.880 √D= 192
2,94 -3,06
4 x 32 x -288 36.864
P= 20Q2 + 4Q+12 P= P=
20 (2,94)2 +4 (2,94)+12 196,632
Keseimbangan pasar terjadi pada tingkat harga 196,632 dan Kuantitasnya 2,94
Pengaruh pajak dan Subsidi terhadap keseimbangan pasar. Contoh : Diketahui fungsi permintaan P = -0,01Q2 + 1.600 dan fungsi penawarannya P=0,056Q2 Pajak perunit Rp. 126,-Tentukanlah : a. Market Equilibrium sebelum pajak b. Market equilibrium setelah pajak c. T,Tk dan Tp
P = -0,01Q2 + 1.600 P=0,056Q2 Pajak perunit Rp. 126,Keseimbangan pasar sebelum pajak 0,056Q2 -0,01Q2 + 1.600 = -0,01Q2 - 0,056Q2 = -1.600 2 Q -0,066 Q2
= = Q=
-1.600 24.242 156
P=0,056Q2 P= P=
0,056 x 24.242 1.358
Keseimbangan setelah pajak P'= 0,056Q2 +126 0,056Q2 +126
2 -0,01Q + 1.600 = 0,01Q2 = 1.600 -126
0,056Q2
+
2 Q 0,066 Q2
= =
1.474 22.333,333
Q'
=
149,443
2
P'= 0,056Q +126 P'= 0,056 (22.333,333) +126 P'= 1.376,667
T= t x Q' T= 18.829,870 Tk= (P'-P) x Q' Tk = 2.853,011
Tp= T-Tk Tp= 15.976,859
Fungsi penawaran suatu perusahaan dicerminkan oleh P=80Q + 20Q2 dan fungsi permintaan P=3.960 – 20Q2.Pajakperunit Rp. 100,- Tentukanlah : a. Keseimbangan pasar sebelum pajak b. Keseimbangan pasar setelah adanya pajak c. T,Tk dan Tp
P=80Q + 20Q2 P=3.960 – 20Q2. 1 Keseimbangan sebelum pajak 80Q + 20Q2 = 3.960 – 20Q2. 80Q + 20Q2
2 - 3.960 + 20Q .
80Q + 40Q2
-
Q12 = -b ± √ D 2.a
3.960 D=
b2 -4 a c
D= D= D= D=
802 - 4 x 40 x -3.960 6.400 +633.600 640.000 800
Q12 = -80 ± 800 2x 40 Q1 = Q2
9 -11
P=80Q + 20Q2 P= 80(9) + 20(81) P= 2.340
Keseimbangan setelah pajak P=80Q + 20Q2 P'=80Q + 20Q2 +100 80Q + 20Q2 +100
=
3.960 – 20Q2.
80Q + 20Q2 +100
-
3.960 + 20Q2.
80Q + 40Q2 -3.860 Q12 = -b ± √ D 2.a
Q12 = -b ± √ D 2.a Q12 = -80 ±790 2.40 Q1' = 8,88 Q2'= -10,9
D=
b2 -4 a c
802 - 4 x 40 x -3.860 D= D= 6.400 + 617.600 D= 624.000 √ D= 790 P'=80Q + 20Q2 +100 P'= 80 (8,88)+20(8,88)2+100 P'= 710,4 + 1577,088 + P'= 2.387,49
100
T = t x Q' T= 100 x 8,88 T= 888 Tp = T-Tk Tp= 466
Tk = (2.387,49-2.340) x 8,88 Tk = 421,6934
Pajak Prosentase Diketahui fungsi penawaran suatu perusahaan P=80Q+20Q2 dan fungsi permintaan P=3.960 –20Q2 Jika pajak yang dibebankan oleh pemerintah 10% Tentukanlah : a) Keseimbangan pasar sebelum pajak b) Keseimbangan pasar setelah pajak c) T,Tk dan TP
P=80Q + 20Q2 P=3.960 – 20Q2. 1 Keseimbangan sebelum pajak 2 80Q + 20Q2 = 3.960 – 20Q . 80Q + 20Q2
-
80Q + 40Q2
-
Q12 = -b ± √ D 2.a
3.960 + 20Q2. 3.960 D=
b2 -4 a c
802 - 4 x 40 x -3.960 D= D= 6.400 +633.600 D= 640.000 √ D= 800
Q12 = Q1 = Q2
-80 ± 800 2x 40 9 -11
P=80Q + 20Q2 P= 80(9) + 20(81) P=
2.340
2 pajak 10% 2 P' = ( 80Q + 20Q ) (1 +0,1) 2 P'= (80Q + 20Q ) (1,1) 2 P'= 88Q + 22 Q Penawaran setelah pajak P=3.960 – 20Q2. Permintaan 88Q + 22 Q2 88Q + 22 Q2
-
88Q + 42 Q2
-
Q12 = -b ± √ D 2.a Q12=
-88± 820 84
Q1' = 8,71 Q2= -10,80952
3.960 – 20Q2. = 3.960 + 20Q2. 3.960 D=
b2 -4 a c
2 D= 88 - 4 x 42 x -3.960 D= 7.744 + 665.280 D= 673.024 √ D= 820
P'= P'= P'=
88Q + 22 Q2 88 (8,71) + 22 (8,712) 2435
t=
t=
P'
(pajak) (100+Pajak) 2.435,49 (10/110) 221,4082
T= t Q' T= 221,4082 x T= 1.929,41
8,71
Tk= (P'-P) x Q' Tk = 832,1289 Tp= T-Tk Tp= 1.097,29
Soal Latihan : Diketahui fungsi penawaran P=20Q2+4Q+12 Dan fungsi permintaan P=-12Q2 + 300.Pajak 10%.Tentukanlah : a.Keseimbangan pasar sebelum pajak b. Keseimbangan pasar setelah pajak c. T,Tk dan Tp
Keseimbangan pasar sebelum pasar P=20Q2+4Q+12 P=-12Q2 + 300 2
2
20Q +4Q+12 = -12Q + 300 20Q2+4Q+12 + 12Q2 - 300 2 Q 32
Q12 = -b ±√D 2x a
+ 4Q
-288 2
D = b -4ac D = 16 - 4 x 32x -288 D= 16 + 36864 D= 36.880 √ D= 192
Q12 = -4 ± 192 2 x 32 Q1 = Q2=
188 = 2,94 64 -196 = -3,06 64
2
P=20Q +4Q+12 P= P=
2
20(2,94 )+4(2,94)+12 196,632
Keseimbangan pasar setelah pajak P=20Q2+4Q+12 P'=(20Q2+4Q+12 )(1+0,1) P'=(20Q2+4Q+12 )(1,1) P'=22Q2+4,4Q+13,2 22Q2+4,4Q+13,2
=
-12Q2 + 300
22Q2+4,4Q+13,2
+
12Q2 - 300
2
34 Q + 4,4Q -287 2 Q12 = -b ±√D D = b -4ac 2x a D= 19,36 D= 39.051 √D= 198
-39032
2
Q12= -4,4 ± 198 68 Q1' = 193,6 = 2,85 68 t= t=
P'=22Q +4,4Q+13,2 P'= 178,695 + 12,5 + 13,2 P'= 204,435
204,4 x (10/110) 18,59
T= t x Q' T= 52,91
Tk= Tp=
22,2 30,7
P=80Q+20Q2 P 1= (80Q+ 20Q2) ( 1 +0,10) P 1= (88Q+ 22Q2) Keseimbangan sebelum pajak 80Q+20Q2 = 3.960 –20Q2 20Q2 + 20Q2 + 80Q- 3.960 40Q2 +80Q-3.960=0 Q12 = - b ±√ b2- 4ac
2a
D = b2- 4ac = 802- 4.40.-3960
D= 6.400 +633.600 D= 640.000
Q12 = - b ±√ b2- 4ac
D = 640.000
2a Q12 = -80 ±800 = -80 ±800 2.40 80 Q1 = 720/80 = 9 Q2 = -880/80 = - 11 P=80Q+20Q2 P= 80 x 9 + 20 x 81 P= 720 + 1.620 = 2.340
P 1= (88Q+ 22Q2) dan P=3.960 –20Q2 88Q+ 22Q2=3.960 –20Q2 22Q2 +20Q2 + 88 Q - 3.960 = 0 42Q2 + 88 Q - 3.960 = 0 Q12 = - b ±√ b2- 4ac
D = b2- 4ac = 882- 4.42.-3.960
2a D= 673.024 Q = (- 88 ±√ 673.024) /84) = (- 88 ±820,38) /84) Q 11 = (-88 +820,38) / 84 = 8,71 Q21 = (-88 – 820,38) /84 = - 10,81 P1 = 2.435,49 12
Subsidi Diketahui fungsi penawaran P=20Q2+4Q+12 dan fungsi permintaannya P=-12Q2+300.Subsidi per unit Rp. 12,Tentukanlah : a) Keseimbangan pasar sebelum subsidi b) Keseimbangan pasar setelah subsidi c) S,Sk dan Sp
Keseimbangan pasar sebelum subsidi 2 20Q2+4Q+12 = -12Q +300 20Q2+4Q+12
2 + 12Q -300
32Q2+4Q-288 D= b2-4ac D= 16 - 4 x 32x -288 16 + 36.864 D= 36.880 √D= 192 Q12 = -b ±√D 2a Q12 = -4 ±192 2 x 32
= -4 ±192 64
Q1 =
188 64
=
2,94
Q2=
-196 64
=
-3,0625
P= 20Q2+4Q+12 P= 20(2,94 2) + 4 (2,94)+12 P= 173 + 11,8 + 12 P= 196,63
2 Keseimbangan pasar setelah subsidi Penawaran P=20Q2+4Q+12 Subsidi Rp. 12 Fungsi penawaran setelah subsidi 2 20Q +4Q+12 -12 P' = 2 20Q +4Q P' = 20Q2+4Q -12Q2+300 = 2
20Q +4Q 2
32Q +4Q
+
12Q2-300
-
300
2
D= b -4ac D=
16 16 + 38.416 196
D= √D =
Q12 = -b ±√D
±√196
= -4
2a
2 x 32
Q1'=
192 64
=
3
Q2' =
-200 64
=
-3,125
4 x 32x -300 38.400
P'= 20Q2+4Q P'= 20 (32)+4(3) P'= 180 + 12 P'= 192
S = s x Q' S= 12 x 3 S= 36
Sk= (P-P') x Q' Sk = (196,63-192) x 3 Sk= 13,89
Sp= S-Sk Sp= 22,11
• Diketahui fungsi penawaran P=10Q2 +2Q+6 dan fungsi permintaan P=-6Q2+150. Subsidi Rp. 6,- .Hitunglah : – Keseimbangan pasar sebelum subsidi – Keseimbangan pasar setelah subsidi – Total Subsidi (S), Subsidi yang dinikmati oleh Konsumen (Sk) dan Subsidi yang dinikmati oleh produsen (Sp)
Langkah-langkah penyelesaian soal Untuk pajak per unit 1. Fungsi permintaan = fungsi penawaran. Dari penyamaan fungsi permintaan dan penawaran ini diperoleh harga dan kuantitas (P dan Q) sebelum pajak 2. Merubah fungsi penawaran. Fungsi penawaran baru adalah fungsi penawaran awal ditambah sebesar pajak per unit. 3. Fungsi penawaran setelah pajak = fungsi permintaan. Dari penyamaan fungsi ini akan diperoleh harga dan kuantitas setelah pajak ( P1 dan Q1 ) 4. Tentukan T= t x Q1. Tk=(P1-P) x Q1dan Tp=T-Tk
Untuk pajak prosentase 1. Fungsi permintaan = fungsi penawaran. Dari penyamaan fungsi permintaan dan penawaran ini diperoleh harga dan kuantitas (P dan Q) sebelum pajak 2. Merubah fungsi penawaran. Fungsi penawaran baru adalah fungsi penawaran awal dikalikan dengan (1+% pjk).Misalnya :
P=20Q2+4Q+12 dan pajak 10%, maka fungsi penawaran setelah pajak adalah : P1 = (20Q2+4Q+12) (1+0,1) = (20Q2+4Q+12) (1,1), jadi P1 = 22Q2 +4,4Q+13,2 3.
4.
5.
Fungsi penawaran setelah pajak = fungsi permintaan. Dari penyamaan fungsi ini akan diperoleh harga dan kuantitas setelah pajak ( P1 dan Q1 ) Merubah pajak prosentase ke dalam pjk perunit dengan menggunkan rumus : t = P1 ( pajak ) 100+pajak Tentukan T= t x Q1. Tk=(P1-P) x Q1dan Tp=T-Tk
Penyelesaian untuk subsidi • Fungsi permintaan = fungsi penawaran. Dari penyamaan fungsi permintaan dan penawaran ini diperoleh harga dan kuantitas (P dan Q) sebelum pajak • Merubah fungsi penawaran. Fungsi penawaran baru adalah fungsi penawaran awal dikurangi sebesar subsidi.Misalnya fungsi penawaran P= 20Q2+4Q+12
dan subsidi 12, maka P1 = 20Q2+4Q+12 –12, maka fungsi P1 = 20Q2+4Q •
•
Fungsi penawaran setelah subsidi = fungsi permintaan. Dari penyamaan fungsi ini akan diperoleh harga dan kuantitas setelah subsidi ( P1 dan Q1 ) Tentukan S= s x Q1. Sk=(P- P1) x Q1dan Sp=S-Sk
20Q2 +4Q+12=-12Q2+300 20Q2 +4Q+12+12Q2-300 = 0
Fungsi Biaya, Penerimaan dan BEP TC= aQ2 + bQ + c c= FC VC=aQ2 +bQ, karena VC dipengaruhi oleh produksi TR = P . Q TC= FC + VC
Contoh : Diketahui fungsi permintaan yang dihadapi oleh seorang produsen ditunjukkan oleh persamaan P=30-1,5Q. Tentukan persamaan TR nya ? TR= (30-1,5Q ) Q TR = 30Q – 1,5Q2
Contoh : Data yang berhasil dikumpulkan untuk memperkirakan keuntungan maximum dari suatu perusahaan adalah : Fungsi permintaan P=16.000-Q, biaya produksi biaya tetap Rp. 40.000.000 dan biaya variabel Rp. 100,-/ unit. Ditanya : a. Berapa keuntungan maximum dan terjadi pada tingkat berapa unit ? b. Apakah penerimaan maximum sama dengan keuntungan maximum ?
TR= P Q TR=( 16.000 – Q) x Q TR = 16.000 Q – Q2 TR max = -16.000/ 2(-1) = 8.000 TC = FC +VC TC = 40.000.000 + 100Q ∏ = TR-TC ∏ = (16.000Q-Q2) – (40.000.000+100Q) ∏ = 15.900Q-Q2-40.000.000 Q max = -b / 2a Q= 7.950
Harga suatu produk ditunjukkan oleh fungsi permintaan P=2.000-0,5Q.Biaya produksi dipisah menjadi FC sebesar Rp. 1.000.000 dan biaya variabel per-unit VC=2+0,04Q. Ditanya : a.Berapa keuntungan maximum dan terjadi pada tingkat produksi berapa ? a.Apakah penerimaan pada unit keuntungan maximum sama dengan penerimaan pada unit penjualan maximum ? a. Berapa BEP nya ?
Berdasarkan hasil survey dari suatu perusahaan diperoleh data sbb : Fungsi penerimaan (TR) = 520Q-2Q2 Fungsi biaya (TC) = 0,5Q2+20Q+3.500. Tentukanlah : a. Keuntungan maksimum pada saat Q= ? b. Penerimaan maksimum pada saat Q ? c. BEP pada saat Q ?
Fungsi Produksi Fungsi produksi adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara input dan output TP = f (Input) atau TP= f (X) dimana X= input TP= Total Produk
Avarage Product Produksi rata-rata (AP) adalah jumlah produksi rata-rata yang dihasilkan oelh satu unit input. Misalnya input yang kita gunakan Tenaga Kerja (L), maka yang dimaksud dengan AP adalah jumlah produksi yang dihasilkan oleh setiap tenaga kerja (L)
Marginal Product (MC) MC adalah tambahan produksi sebagai akibat bertambahnya penggunaan satu unit input
Contoh : Diketahui fungsi produksi TP= 12L2-L3 , Jika input yang digunakan 10 hitunglah TP dan AP TP = 12 (102) –(103) TP = 12x 100 – 1.000 TP = 1.200 -1.000 = 200
AP
=
TP L
AP
=
12L2 -L3 L
AP AP AP AP
= = = =
12L-L 12 (10) - 102 120-100 20
2
Utility (Utilitas) Utiliti adalah Kenikmatan yang diperoleh sesorang dari mengkonsumsi berbagai barang Total Utility (TU) Total kepuasan yang dietriam dari mengkonsumsi beberapa macam barang.
Marginal Utility (MU) Pertambahan (pengurangan) kepuasan sebagai akibat dari pertambahan (pengurangan) penggunaan satu unit barang tertentu
Nilaiguna Total (TU) dan MU (Marginal Utiliti) (Dalam angka) Jumlah Mangga Nilai Guna Total 0 0 1 30 2 50 3 65 4 75 5 83 6 87 7 89 8 90 9 89 10 85 11 78
Nilaiguna Marginal 30 20 15 10 8 4 2 1 -1 -4 -7
Contoh :
