PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW
ANALISA SAHAM MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FOURIER STOKASTIK Kharisma Yusea Kristaksa 1) Hanna Arini Parhusip 2), dan Bambang Susanto 3) 1) Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3)Dosen Program Studi Matematika email:1)
[email protected] 2)
[email protected] 3)
[email protected] Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 Abstrak Analisa fluktuasi saham untuk menentukan risiko pada salah satu perusahan dengan menggunakan deret Fourier telah dibahas. Hasil yang diperoleh mempunyai frekuensi 0.4092 dengan resiko yang terbesar yaitu return data pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Semakin besar risiko maka semakin besar pula nilai harapan return yang diperoleh. Oleh karena frekuensi yang dihasilkan dari deret Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang terbesar. Dalam makalah ini, data volume saham dianalisa dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa data volume mempunyai frekuensi 0.4054 dengan resiko terbesar yaitu data volume pada periode (25/4/2012 – 8/5/2012). Jadi dari kedua analisa, frekuensi yang diperoleh terdapat pada periode yang sama. Kata-kata kunci: Deret Fourier , Distribusi Normal , Return Saham, Risiko Saham, Stokastik Fourier
perusahaan sama yaitu Asuransi Bina Dana Arta Tbk. yang di www.yahoo.finance.com
PENDAHULUAN Analisa return saham Asuransi Bina Dana Arta Tbk pada periode 1/02/2012 – 31/01/2013telah dilakukan [1] dengan menggunakan deret Fourier untuk mendapatkan frekuensi terbesar. Dari frekuensi terbesar yang diperoleh dapat didefinisikan resiko yang terbesar dan dapat ditentukan periodenya. Berdasarkan penelitian tersebut frekuensi yang dihasilkan dari Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang besar. Dari data diperoleh bahwa pada posisi ke 61-70 (25/04/2012 – 08/05/2012) memberikan ekspektasi return terbesar bagi perusahaan. Untuk selanjutnya, tujuan dari makalah ini adalah menganalisa data volume saham dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Data volume yang digunakan doperoleh dari data indeks saham
DASAR TEORI Distribusi Normal. Distribusi probabilitas yang paling terkenal dan paling banyak digunakan adalah distribusi Gaussian atau normal. Distribusi normal memiliki fungsi kepadatan probabilitas yang diberikan oleh[3] ⁄
∞ (1)
dimana dan adalah parameter distribusi, yaitu berturut - turutanan mean dan deviasi standar dari X. Distribusi normal sering diidentifikasi sebagai N ( , ) Distribusi Normal Standar. Sebuah distribusi normal dengan parameter =0 = 1, disebut distribusi normal dan standar, dilambangkan sebagai N (0, 1). Dengan demikian fungsi kepadatan dari variabel standar normal (Z) diberikan oleh ⁄ √
Perhatikan terdistribusi 420
, ∞
√
, ∞
∞
bahwa setiap normal (X)
(2)
variabel dapat
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW ditransformasi sebagai variabel normal ratanya tanpa terganggu dengan apa yang standar dengan menggunakan transformasi terjadi dengan nilai rata-rata V. Secara sama (3) jika k1 = k2 =1, hal ini menjelaskan bahwa kita memandang bahwa rata-rata dan dengan probabilitas ⁄ standard deviasi sama pentingnya. Pada / (4) √ pembahasan maka nilai k1 dan k2 dari Persamaan (4) dan = , akan divariasi sebagai bahan kajian. Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai / Untuk menyusun frekuensi maka (5) / √ digunakan formula (Kristaksa,dkk,2013) Integral ini merupakan luas di bawah kurva 0 2 ⁄ (9b) normal standar kepadatan antara / dimana 2 menyatakan banyaknya data dan / dan karena yang memenuhi syarat untuk menyusun (6) Fourier. Sedangkan T menyatakan subinterval waktu yang digunakan. Jadi Untuk mendapatkan nilai frekuensi Penyusunan Fourier stokastik (f),dapat dituliskan Ma’ruf,(2010) menjelaskan proses stokastik dan dimana bentuk Bayesian juga dan maka . (10) dibahas. Analisa Fourier juga untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan diperekanlakan untuk fungsi “Step contoh penggunaan model tersebut pada Function” dan estimasi spectral juga sebagian data. dilakukan untuk sinyal sinus Untuk mendekati data volume sebagai Menentukan dan yang optimal gelombang maka kita perlu memilih tipe Parameter k dan k pada persamaan gelombang yang diasumsikan dapat (9a)dapat divariasi dengan menetapkan mempresentasikan data yang ada. Pada dahulu, dan dapat pula ditentukan dengan makalah ini akan dicari bentuk gelombang cara optimasi dengan metode kuadrat yang dianggap sesuai. terkcil. Dari persamaan (3) data volume saham Unutk mendapatkan parameter k dan dinyatakan sebagai k yang optimal akan digunakan metode / , t = 1,2, . . .,T (7) kuadrat terkecil [2] yaitu: Setelah data ditransformasi menurut ∑ min , , persamaan (7) maka data akan dinyatakan ∑ (11) dalam bentuk Fourier. , Pada makalah [1[ deret Fourier untuk Syarat kritis o dimana tiap data return berbentuk komponennya adalah sin – sin 3 sin 5 (8) o. (12) Pada penelitian ini digunakan cara yang dalam notasi vektor persamaan (11) sama untuk data volume saham. Dengan ditulis dalam bentuk · · mengikuti pemodelan program linear dengan komponen pertama dari persamaan stokastik [3], maka Volume Fourier (11) adalah persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai: 2 · dimana (9a) dimana : := rata-rata volume dan … (13) :=deviasi volume. Parameter k1 dan k2 bilangan tak negatif yang menjelaskan adalah . Tiap komponen hubungan relatif pentingnya V dan standard Jadi diperoleh deviasi V untuk optimasi. Jadi untuk k 2 = 0 menandakan bahwa nilai harapan V … 2 · diminimalkan tanpa memperhatikan standard deviasi V. Sebaliknya jika k1 = 0 , 2 , menandakan bahwa kita tertarik dengan 2 peminimalan variabilitas V disekitar rata, 421
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW 2
Contoh 1. Data volume saham Dengan menggunakan 10 data volume saham, persamaan (8) digunakan untuk menyatakan data volume secara Fourier. Hasil ditunjukkan pada Gambar 1, dimana A dan pada persamaan (8) berturut-turut adalah : A = 0.5096 dan = 2.3268 Hasil pendekatan ini diilustrasikan pada Gambar 1 dimana data dinyatakan dengan interpolasi. Intropalasi dilakukan karena data harus dalambentuk 2 agar dapat menggunakan Fourier.
,
dapat disusun secara sama
dan untuk
yaitu
seperti
2 · 0 atau
Jadi dengan menyelesaikan diperoleh
. Untuk
meminimumkan R menguji maka perlu ditunjukkan yaitu Hessian R positive definite yang artinya, nilai eigen matriks Hessian R pada semua positif [2]. Bentuk Hessian R adalah
0.8 0.6 0.4
.
0.2 0
Untuk mendapatkan
-0.2
sebagai berikut :
-0.4
·
Karena
·
dan
-0.6 -0.8
2 ·
2
maka
·
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Gambar 1 Hasi deret Fourier untuk 10 data dari data ke 51-60 dibandingkan dengan data yang diinterpolasi
1
·∆ 1 dimana ∆ 1 adalah vektor dengan komponen sebagai berikut : Diketahui
0
vektor
0.4 0.35
…
0.3
maka
0.25 0.2
…
∆
.
0.15 0.1
Komponen baris ke-1 kolom ke-2 dari Hessian R adalah :
0.05 0
2 · 2
·
sehingga …
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
Sebagaimana pada penelitian awal (Kristaksa,dkk,2013), amplitudo gelombang tidak diperlukan. Informasi yang digunakan adalah frekuensi dari deret Fourier menurut persamaan (9)-(10). Deret sudah menjelaskan frekuensi data yang diperlukan diperoleh T = 2.7121 dan frekuensi f = 0.3687yang ditunjukkan pada Gambar 2.
.
Komponen pertama dapat diperoleh dengan sehingga
0 maka 0
0
dan secara sama dapat disusun
untuk METODO PENELITIAN Tahap 1. Menyusun data volume saham sebagai deret Fourier sesuai dengan persamaan (8) Tahap 2. Menyusun hasil deret Fourier Volume menggunakan stokastik Fourier menurut persamaan (9a), dengan rata-rata dan untuk setiap 10 data berturutan
komponen-komponen yang lain dari matriks Hessian R. Selanjutnya nilai disubstitusikan pada Hessian R dan dicari nilai eigennya. Jika semua positif maka jelas bahwa meminimumkan R.
422
1.2
Gambar 2 Periode(Horizontal) dan Frekuensi (Vertikal) dari deret Fourier Gambar 1
·
dimana,
mengetahui
1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW Tahap 3. Menentukan probabilitas sekitar 0.3 sampai 0.49,selain itu ada 2 distribusi normalnya dari hasil stokastik frekuensi yang berbeda yaitu f = 0.9053 dan Fourier menggunkan persamaan (6) dengan f = 0.1670 pada T = 1.1046 dan T = 5.9888. Dengan menggunakan persamaan (9a), Parameter k1 dan k2 bilangan tak negatif rata-rata V(t) ditulis dan variansi V(t) Tahap 4. Dengan menggunakan cara yang untuk setiap 10 data berturutan ditulis sama seperti persamaan (6) menentukan yang ditunjukkan pada Tabel 1. probabilitas frekuensi return saham. Tahap 5. Didapatkan informasi probabilitas dari hasil stokastik Fourier Volume dan Frekuensi return saham. Tahap 6. Hasil probabilitas akan dibandingkan antara volume saham dan return saham terhadap risiko Tahap 7. Studi Frekuensi yang dihasilkan
Tabel 1. Nilai M 1 0.0004 2 0.0005 3 0.0027 4 -0.4744 5 0.0178 6 0.0738 7 -0.0016 8 0.0055 9 0.1619 10 0.0007 11 0.0000 12 -0.0027 13 0.0007
ANALISA DAN PEMBAHASAN
Dalam menganalisa berikut ini data yang digunakan adalah semua data volume dengan banyak data 260 data. Proses ini dilakukan secara sama untuk setiap 10 data dari seluruh data volume .
dan 0.0308 0.441 0.1048 0.2302 0.2944 0.5995 0.2514 0.2557 0.8877 0.0488 0.0623 0.0914 0.1089
M 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
0.0058 0.0021 -0.0002 0.0013 0.0005 0.0025 0.0056 0.0027 -0.0001 0.0001 0.0001 -0.0002 -0.0155
0.0609 0.0485 0.1817 0.0149 0.1413 0.0665 0.0629 0.3339 0.3165 0.1865 0.4205 0.0168 0.1584
5
Berdasarkan hasil Tabel 1, jelas sangat kecil karena berosilasi sekitar 0 sehingga k tentunya cukup kecil dan k cukup besar yang menunjukan stadar deviasi lebih peting dari rata-rata. Setelah mendapatkan nilai dan maka akan dicari stokastik dari frekuensi dimana 1 dan k 0. Maka diperoleh nilai k hasil pada Tabel 2 untuk setiap 10 data berturutan untuk seluruh data.
4
3
2
1
0
-1
-2 0
50
100
150
200
250
300
Gambar 3 Deret Fourier untuk 260 data volume
Untuk 260 data volume dengan cara yang sama seperti sebelumnya dapat dilihat pada gambar 3 dimana data dinyatakan dengan interpolasi.
Contoh 2. Menentukan volume menurut persamaan (9a) Kasus 1. Untuk k 1 dan k 0 pada data ke-1 Tabel 1 diperoleh dengan car sebagai berikut: 1 0.0004 0 0.0308 0.0004
1
0.9
0.8
0.7
Tabel 2. untuk k 1 dan k 0 M M 1 0.0004 14 0.0058 2 0.0005 15 0.0021 3 0.0027 16 ‐0.0002 4 ‐0.4744 17 0.0013 5 0.0178 18 0.0005 6 0.0738 19 0.0025 7 ‐0.0016 20 0.0056 8 0.0055 21 0.0027 9 0.1619 22 ‐0.0001 10 0.0007 23 0.0001
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
Gambar 4 Periode(Horizontal) dan Frekuensi (Vertikal) dari hasil deret Fourier untuk 10 data beruntun dari 260 data
Pada Gambar 4 menunjukan setiap 10 data yang mempunyai frekuensi berada pada 423
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW 0.00003 24 ‐0.0027 25 0.0007 26
11 12 13
0.7879
0.000002
0.5148
0.00003
4.3296
Hasil yang diperoleh menunjukan matrik Hessian untuk k dan k 0.5148 0 0 4.3296 Sehingga matrik Hessian definit positif, jadi diperoleh k dan k 0ptimal tetapi error yang dihasilkan 32%. Untuk hasil yang
0.0308
diperoleh
0.8205
0.0004
0.0019
1
0.613
0.0308
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0.5, k2=0.5 k1=0.5, k2=0.5
k1=0, k2=1
StokastikFourier
.6016
Contoh 3. Dengan cara yang sama pada Contoh 2 untuk return: Kasus 5. Untuk k 1 dan k 0 pada data ke-1 Tabel 1 diperoleh 1 0 0 0.0047 0 Kasus 6. Untuk nilai k 0.5 dan k 0.5 diperoleh 0.5 0 0.5 0.0047 0.0343 Kasus 7. Untuk nilai k 0 dan k 1 diperoleh 0 0 1 0.0047 0.0047. Kasus 8. Untuk nilai k 0.8205 dan 0.613 yang dihasilkan dari metode k kuadrat terkecil sama seperti Kasus 4
Untuk parameter k 2 2.1648
0.0004
0.0188 Hasil dari semua data volume stokasitik Fourier ditunjukkan pada Gambar 5. Dengan cara yang sama dilakukan untuk data return stokastik Fourier ditunjukan pada Gambar 6.
Kasus 2. Menggunakan data dan cara yang sama dengan nilai k 0.5 dan k 0.5 diperoleh 0.5 0.0004 0.5 0.0308 0.0879 Kasus 3. Untuk nilai k 0 dan k 1 diperoleh 0 0.0004 1 0.0308 0.0308 . Kasus 4. Untuk menguji parameter k dan k yang diperoleh optimal maka akan diselidiki persamaan (11-13) untuk parameter Volume Stokastik Fourier, sehingga Untuk parameter k 2 0.2574
0.7879
optimal diperoleh parameter k dan k 0.6016, sehingga
0.0001 ‐0.0002 ‐0.0155
0.5
k1=0.5, k2=0.5
k1=0.78, k2=0.6 0
k1=1, k2=0
-0.5
0
5
10
15
20
25
30
Data ke-M
Gambar 5. Hasil Volume Stokastik Fourier dengan k 1, k 0dan k 1 dan k 0.7879, k 0.6016 k
0.5, k
0.5 dan k
0.2
k1=0.5, k2=0.5 0.1
k1=0, k2=1
StokastikFourier
0
k1=0.8, k2=0.6 -0.1
k1=1, k2=0 -0.2
-0.3
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0, k2=1 k1=0.8, k2=0.6
-0.4
-0.5
0
5
10
15
Data ke-M
424
20
25
30
0,
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW Gambar 6. Hasil Return Stokastik Fourier dengan k 1, k 1 dan k 0.6083, k k
Dengan cara yang sama untuk k 0.5 dan 0.5 didapat 0.1209 k 0.2010 sehingga 0.1130 0.2010 0.1209 0.2889 0.2010 0.1209 2.5971 0.7275 1 2.5971 1 0.7275 0.0054 0.2269 0.2323 23.23%.
0 dan k 1 didapat 0.4100 diperoleh 0.2345 0.4100 0.2045 0.5855 0.4100 0.2045 3.1519 0.8582 1 3.1519 1 0.8582
0.1980
0,
Menggunakan cara yang sama akan dicari probabilitas untuk data return stokastik Fourier yang ditunjukkan pada Gambar 6.
0.1987
100
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0, k2=1 k1=0.7, k2=0.6
90
80
k1=1, k2=0
70
Prosentase
0.5 dan k
Tabel 5. Prosentase distribusi normal (M := periode ke-M) 1 k 0.5 k 0 k 0.7 M k k 0 k 0.5 k 1 k 0.6 1 94.05% 23.23% 19.87% 4.06% 2 94.05% 58.28% 22.83% 77.15% 3 92.05% 11.45% 6.80% 17.95% 4 0.00% 48.14% 5.91% 0.17% 5 80.38% 15.66% 9.28% 54.86% 6 42.49% 44.07% 40.16% 48.87% 7 92.05% 12.62% 6.80% 39.73% 8 88.15% 12.18% 6.80% 43.25% 9 8.99% 10.60% 29.14% 3.64% 10 94.05% 17.86% 14.88% 12.62% 11 94.05% 15.95% 10.89% 13.17% 12 92.05% 12.62% 7.92% 15.77% 13 94.05% 11.45% 5.91% 18.74% 14 80.28% 15.95% 10.81% 13.17% 15 84.19% 17.86% 14.88% 12.62% 16 94.05% 10.11% 4.60% 28.77% 17 84.19% 29.36% 0.14% 8.97% 18 94.05% 10.11% 4.82% 22.10% 19 84.19% 15.95% 10.89% 13.17% 20 80.28% 15.95% 10.89% 13.17% 21 84.19% 17.86% 12.76% 57.28% 22 94.05% 18.08% 10.89% 54.86% 23 94.05% 10.11% 4.82% 28.77% 24 94.05% 26.22% 19.93% 73.82% 25 94.05% 29.44% 25.95% 8.97% 26 56.08% 10.11% 4.60% 22.10%
0.0085 0.0081 0.1011 0.0077 0.0081 0.1011 0.1637 0.0040 1 0.1637 1 0.0040 0.4405 0.5000 0.9405 94.05%.
0.0008
0.5, k
19.87%. Selanjutnya, dengan cara yang sama pada data berikutnya diperoleh probabilitas untuk Volume stokastik Fourier pada Tabel 5.
Probabilitas distribusi untuk Volume stokastik Fourier yang diperoleh dicari dan dari Tabel 2. Untuk k =1 dan k = 0 didapat 0.1011 0.0081 dengan menggunakan persamaan (6) akan dicari probabilitas menurut persamaan (6) yaitu 0.0085 0.0077 Dalam bentuk variabel yang sudah distandarisasi maka penyataan tersebut menjadi
Untuk k 0.2045
0dan k 1.2146
60
50
k1=0.7, k2=0.6
40
k1=0.5, k2=0.5
30
20
10
0
k1=0, k2=1 0
5
10
15
Data ke-M
20
25
Gambar 7. Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier
425
30
PROSIDING SEMINAR NASIONAL SAINS DAN PENDIDIKAN SAINS VIII UKSW 100
k1=1, k2=0 k1=0.5, k2=0.5 k1=0, k2=1 k1=0.8, k2=0.6
90
80
Prosentase
70
k1=1, k2=0
60
50
40
k1=0.8, k2=0.6
30
20
k1=0, k2=1 10
0
k1=0.5, k2=0.5 0
5
10
15
Data ke-M
20
25
30
Gambar 8. Prosentasai distribusi normal untuk hasil Return stokastik Fourier
Berdasarkan Gambar 7 dan Gambar 8 ditunjukan Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier dengan 4 parameter yang berbeda. Pada parameter k 1 dan k 0 menunjukan beberapa prosentase yang terbesar karena pada k 1 dan k 0 hasil stokastik Fourier dari volume dan return berosilasi di sekitar nol dan pada saat itu nilai probabilitas mendekati satu. Jadi penulis memilih frekuensi yang dihasilkan dengan stokastik Fourier untuk k 1 dan k 0
DAFTAR PUSTAKA
[1] Kristaksa. K.Y, Perhusip. H.A dan Susanto, B. 2013.Analisa Fluktuasi Saham menggunakan Fast Fourier Transform. FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Yogyakarta. [2] Parhusip, H.A dan Martono, Y.2012, Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science, ISSN:2252-7761,Vol1, pp91-101, GMU. [3] Rao, S.S. 2009. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, BAB 11 [4] Salivahan, S.,Vallavaraj, A., Gnanapriya C., 2000. Digital Signal Processing. Singapore: McGrawHill Companies.Inc [5] Ma’ruf, A. 2010. Introduction to Stochastic Process Analysis: Spectral and Bayesian Techniques for Estimation and Prediction. American University Honors Capstone.
KESIMPULAN Pada makalah telah dibahas tetang data volume yang dinyatakan oleh bentuk stokastik Fourier sehinggadapat dihasilkan frekuensi. Hasil menunjukan interval frekuensi yang hampir sama yaitu diantara 0.3 sampai 0.49. Dari hasil makalah sebelumnya menggunakan data return saham didapat pada indeks ke 7 untuk frekuensi tertinggi yaitu f = 0.4092 dan T = 2.4437 sedangkan untuk makalah ini menggunakan data volume saham pada indeks ke 7 diperoleh f = 0.4054 dan T = 2.4669. Dilihat dari kedua hasil yang diperoleh tidak menunjukan perbedaan yang signifikan. Jadi pada interval yang sama frekuensi yang dihasilkan bisa dibilang sama. Berdasarkan analisa data dan hasil pembahasan untuk volume dan return stokastik Fourier diperoleh frekuensi yang terbesar pada data ke-7 dengan menggunakan parameter k 0 dan k 1 diperoleh probabilitas untuk volume 0.9205 dengan prosentase 92.05% sedangkan probabilitas untuk return 0.8419 dengan prosentase 84.19%. Kedua hasil ini tidak menunjukan perebedaan yang signifikan. Jadi risiko tertinggi terdapat pada data ke-7 untuk periode (25/4/2012 – 8/5/2012) 426
