TKS 4007 Matematika III
Deret Fourier (Pertemuan XI)
Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Perhitungan koefisien-koefisien Fourier sering kali dipermudah, jika fungsi f(x) yang diuraikan memiliki sifat istimewa tertentu, yakni genap atau ganjil terhadap sumbu x = 0 (sumbu f(x)). Keduanya didefinisikan sebagai berikut : • Sebuah fungsi f(x) adalah : a. genap, jika berlaku f(-x) = f(x) b. ganjil, jika berlaku f(-x) = -f(x) • untuk semua x dalam daerah definisi f(x).
1
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil (lanjutan)
Contoh : Fungsi x2 dan cos x adalah fungsi genap, karena (-x)2 = x2 dan cos (-x) = cos x. Sedangkan fungsi x dan sin x adalah fungsi ganjil, karena (-x) = -(x) dan sin (-x) = -sin (x). Pada umumnya fungsi pangkat genap dari x seperti (x2, x4, x6, …) merupakan fungsi genap, sedangkan fungsi pangkat ganjil dari x seperti (x, x3, x5, …) merupakan fungsi ganjil. Dengan definisi tesebut dapat dicari contoh-contoh lain dari kedua fungsi tersebut.
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil (lanjutan)
Untuk menentukan koefisien-koefisien Fourier a0, an, dan bn dari 1 1 fungsi periodik genap dan ganjil dengan 𝐿 = 2 𝑇 = 2 periode dipergunakan perumusan sebagai berikut : 2 𝑎0 = 𝐿 Jika 𝒇 𝒙 genap 𝑎𝑛 =
2 𝐿
𝐿
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0
𝐿
𝑓 𝑥 cos 0
𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝐿
𝑏𝑛 = 0
Untuk kasus ini, dikatakan f(x) fungsi genap dan teruraikan dalam deret cosinus (bn = 0).
2
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil (lanjutan)
𝑎0 = 0 𝑎𝑛 = 0 Jika 𝒇 𝒙 ganjil
2 𝑏𝑛 = 𝐿
𝐿
𝑓 𝑥 sin 0
𝑛𝜋𝑥 𝑑𝑥 𝐿
Untuk kasus ini, dikatakan f(x) fungsi ganjil dan teruraikan dalam deret sinus (an = 0).
Fungsi Jangkauan Setengah Misalkan suatu fungsi f(x) didenisikan pada interval (0;L). Fungsi ini dapat diekspansikan kedalam deret Fourier dengan cara mengembangkan fungsi f pada interval (-L;L). Jadi diperlukan pendenisian fungsi pada interval (-L;0). Ada dua cara yang dapat dilakukan, yaitu : 1. fungsi f dikembangkan menjadi fungsi ganjil 2. atau menjadi fungsi genap. Untuk lebih jelasnya kedua cara ini dapat dilihat pada dua gambar berikut yang menunjukkan deret Fourier Jangkauan Setengah.
3
Fungsi Setengah Jangkauan (lanjutan)
Untuk pengembangan menjadi fungsi ganjil, maka akan didapat deret : ∞ 𝒏𝝅𝒙 𝒃𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝑳 𝒏=𝟏
dengan 𝟐 𝒃𝒏 = 𝑳
𝑳
𝒇(𝒙) 𝐬𝐢𝐧 𝟎
𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝑳
Fungsi Setengah Jangkauan (lanjutan)
Sedangkan untuk pengembangan menjadi fungsi genap, maka akan didapat deret : ∞ 𝒂𝟎 𝒏𝝅𝒙 + 𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝑳 𝒏=𝟏
dengan 𝟐 𝒂𝒏 = 𝑳
𝑳
𝒇(𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝟎
𝒏𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝑳
4
Contoh Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada setengah daerah seperti gambar berikut : Kembangkan fungsi tersebut dalam : a. Deret Fourier fungsi cosinus (fungsi genap). b. Deret Fourier fungsi sinus (fungsi ganjil). c. Deret Fourier fungsi cosinus-sinus (fungsi setengah jangkauan).
Contoh (lanjutan) Penyelesaian Dari gambar tersebut, fungsi yang dimaksud adalah : 𝒙, 𝟎<𝒙<𝟏 𝒇 𝒙 = 𝟏, 𝟏<𝒙<𝟐 a. Untuk pengembangan fungsi dalam deret Fourier cosinus (fungsi genap), maka selang dasar (0 < x < 2) diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = f(x)} dengan periode T = 2L = 4 (karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut :
5
Contoh (lanjutan)
Untuk fungsi genap bn = 0, sedangkan a0 dan an ditentukan sebagai berikut :
Contoh (lanjutan)
6
Contoh (lanjutan) Selanjutnya akan diperoleh pernyataan deret Forier cosinus untuk f(x) sebagai berikut :
Contoh (lanjutan) b. Untuk pengembangan fungsi dalam deret Fourier sinus (fungsi ganjil), maka selang dasar (0 < x < 2) diperluas ke selang negatif menjadi (-2 < x < 2), dan fungsi f(x) diperluas menjadi fungsi periodik genap {f(-x) = -f(x)} dengan periode T = 2L = 4 (karena L = 2) seperti ditunjukkan pada gambar berikut :
7
Contoh (lanjutan) Untuk fungsi ganjil a0 = 0, bn = 0, dan bn ditentukan sebagai berikut :
Contoh (lanjutan) Selanjutnya akan diperoleh pernyataan deret Forier sinus untuk f(x) sebagai berikut :
8
Contoh anjutan) c. Untuk pengembangan fungsi dalam deret Fourier cosinussinus (fungsi setengah jangkauan), maka tinggal memperluas f(x) ke kiri dan ke kanan sumbu x dengan periode T = 2L = 2 (karena L = 1) seperti ditunjukkan pada gambar berikut :
Untuk fungsi setengah jangkauan a0, b0, dan bn ditentukan sebagai berikut :
Contoh (lanjutan)
9
Contoh (lanjutan)
Contoh (lanjutan) Selanjutnya akan diperoleh pernyataan deret Forier cosinus-sinus (fungsi setengah jangkauan) untuk f(x) sebagai berikut :
10
Latihan Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi seperti berikut : 𝒙, jika 𝟎 < 𝒙 < 𝟒 𝒇 𝒙 = 𝟖 − 𝒙, jika 𝟒 < 𝒙 < 𝟖 Kembangkan fungsi tersebut (jika ada) ke dalam : a. Deret Fourier fungsi genap. b. Deret Fourier fungsi ganjil. c. Deret Fourier fungsi setengah jangkauan. dan gambarkan fungsi tersebut dan pengembangannya!
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
11
