TKS 4007 Matematika III
Deret Fourier (Pertemuan XVI)
Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection) My x
x Mx
y
z Persamaan umum pelat klasik :
w w w q 4 2 2 2 4 x y x y D 4
4
4
PDP Tk. 4, linier, non homogen
y
Mx My z
Variabel terikat Variabel bebas Beban luar Kekakuan lentur
: w (lendutan) : x dan y (jarak) : q (data) : D (data) 2h 3 E D 3 1 2
1
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) Persamaan umum pelat klasik :
4w 4w 4w q 2 4 4 2 2 x y x .y D Dalam bentuk operator laplace 2D :
D 2 2 w q Penyelesaian : w( x , y ) wh ( x , y ) w p ( x , y ) dengan : wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0) wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok EulerBernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888 dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti berikut : • Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah deformasi. • Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada pertengahan permukaan setelah deformasi. • Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.
2
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Contoh : Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal. a x b
b
R
R
y a Persamaan beban :
q q0 sin
x a
R
R
sin
y b
dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Persamaan umum pelat menjadi :
4w 4w 4 w q0 x y 2 sin sin 4 2 2 4 x x y y D a b Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a : Lendutan,w = 0 Momen ujung, Mx = 0 Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b : Lendutan,w = 0 Momen ujung, My = 0
3
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :
w c sin
x a
sin
y b
Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas, sehingga didapatkan :
q0 1 2 4 D 1 1 2 b2 a
c
Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :
w
q0 1 x y sin sin 2 4 D 1 a b 1 2 2 b a
Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus) Penyelesaian dengan deret Fourier : Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier. beban merata q0 beban sinusoidal
beban terpusat
beban segitiga
4
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) Penyelesaian dengan deret fourier ganda dikembangkan oleh Navier (Prancis) pada tahun 1820. Persamaan beban : q z f x , y Persamaan beban dalam bentuk deret fourier ganda (sinus) :
f x , y Amn sin m 1 n 1
m x ny sin a b
dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan bentuk bebannya.
4 m x nx f ( x , y ) sin sin dxdy ab 0 0 a b a b
Amn
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :
w x, y
Amn 1 m x n y sin sin 4 D m 1 n 1 1 1 2 a b 2 2 b a
Untuk beban merata f(x,y) = P0 : z q0 beban merata
x/y
4 m x nx q0 sin sin dxdy ab 0 0 a b a b
Amn
4q 0 ab
a b
sin 0 0
m x nx sin dxdy a b
16q0 2 mn
5
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan berupa sendi menjadi :
w x, y
16q0 6 D m 1 n 1
Amn 1 1 mn 2 2 a b
2
sin
m x ny . sin a b
Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :
wmax
16q 6 0 D m 1 n 1
1
mn 1 2
1 1 mn 2 2 b a
2
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) Penyelesaian dengan deret fourier tunggal dikembangkan oleh Levy (Prancis) pada tahun 1899. Bentuk persamaan lendutan : w ( x , y )
Y
m 1
y
m
sin
m x a
dengan Ym = f(x,y) x
sendi
sendi a
b
Asumsi tumpuan pada x = 0 dan x = a adalah sendi yang sejajar sumbu, sehingga diperlukan adanya penyesuaian sistim koordinat.
6
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Persamaan umum lendutan :
4w 4w 4w q 2 2 2 2 2 x x y y D
w( x, y ) w H w P w H ( x, y) w P ( x ) Catatan : wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan sisi y = b/2 di x, sehingga : 4 w q P
x 2
D
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :
3wP q x c1 x 3 D 2 wP q 2 x c1 x c2 2 x 2D w P q 3 c1 2 x x c2 x c3 x 6D 2 q c c wP x 4 1 x 3 2 x 2 c 3 x c4 24 D 6 2
7
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :
q ( x 4 2ax 3 a 3 x ) 24 D
wP ( x)
Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :
w P ( x ) Am sin m 1
m x a
2 m x w P ( x ) sin dx a0 a
4qa 4 5m 5 D
a
sehingga : Am
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Maka penyelesaian wP(x) :
wP ( x)
4qa 4 5D
1
m
m 1
5
sin
m x a
Penyelesaian wH(x,y) :
4wH 4wH 4wH 2 0 x 4 x 2 y 2 y 4 m x w H ( x , y ) Ym sin a m 1 2 2 2 4 ym m ym m 4 4 ym
4 m 1 y
2
a2
y 2
a4
m x sin 0 a
8
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d 4 ym m 2 2 2 ym m 4 4 ym 2 0 y 4 a 2 y 2 a4 Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde 4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :
ym ( y )
qa 4 m y m y m y Bm sinh Am cosh D a a a m y m y m y C m sinh Dm cosh a a a
dengan : cosh y
1 y e e y 2
dan sinh y
1 y y e e 2
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d z
Penyederhanaan persamaan tersebut atas dasar garis simetris sumbu z :
y w
w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan
b z
Untuk fungsi genap : z y
y ½b sendi
½b *
w(x,y) = w(x,-y) mungkin
w(x,y) y sendi
Untuk fungsi ganjil : z y w(x,y)
w(x,y) = -w(x,-y) tidak mungkin
x * simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).
9
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Solusi persamaan homogen : qa 4 m y m y ym ( y )
m y m y m y m y Bm sinh C m sinh Dm cosh Am cosh D a a a a a a
genap y
Evaluasi:
genap
ganjil
ganjil
y
x y = cos x genap
x y = sin x ganjil y
y x y = x ganjil
x y=
x2
ganjil
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka persamaannya menjadi :
ym ( y )
qa 4 m y m y m y Bm sinh Am cosh D a a a
Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2, tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :
w( x , y )
qa 4 D
m
m y m y m y m x 4 Bm sinh 5 5 Am cosh sinh a a a a m
dengan m = 1,3,5
10
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :
w0
2w 0 y 2
dan
Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi batas dan ambil permisalan :
4 m b m 5 5 Am cosh m m Bm sinh m 0 m 2a ( Am 2 Bm ) cosh m m Bm sinh m 0 sehingga :
Am
2 m tanh m 2 dan 5 m 5 cosh m
Bm
2 m cosh m 5
5
Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :
w x, y
4qa 4 5D
2 y 1 m tanh m 2 1 cosh m 5 2 cosh m b m 1, 3 , 5 m
2 y 2y m x sinh m sin 2 cosh m b b a
m
Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :
wmax
4qa 4 5 D
m 1
( 1) 2 m5 m 1, 3 , 5
m tanh m 2 1 2 cosh m
Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke 5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan pengaruhnya/nilainya kecil
11
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
12
