Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universitas Brawijaya
Luas Penampang a. Bidang berbentuk tak beraturan Luas penampang didefinisikan sebagai integral dari luas elemen diferensial dA
dengan A : Luas penampang secara keseluruhan (mm2) dA : Luas elemen diferensial = dx . Dy dx : Lebar elemen dy : Tinggi elemen
Example: 1. Tentukan luas daerah B dibawah kurva : y = x4 – 2x3 + 2 diantara x = -1 dan x = 2
Answer : 2
x 4 - 2 x 2 dx
Luas AB -1
5
x 5
2
2 4 x 4
32 16 5 2 51 5,1 10
2x -1
4
1 1 - - -2 5 2
3. Tentukan luas bidang yang berbentuk semisegmen parabola yang x2 mempunyai persamaan y f x h 1 - 2 dan dibatasi oleh b sumbu x yang mempunyai nilai antara
A dA
dA dx . y
h 1
b
A
b
h dx 0
0 3
hx hb
b 0
x2 dx 2 b
x2 h dx 2 b
x h 3b 2 b3h 3b 2
b
0
3hb 3
2 bh 3
b. Penampang bidang mempunyai tepi tak beraturan dan tidak
terdefinisi secara sistematis sederhana Luas penampang dapat ditentukan dengan membagi bidang menjadi elemen-elemen terhingga yang kecil-kecil, kemudian menjumlahkannya.
n
A
Ai i 1
Dengan : n = Jumlah elemen yang terbentuk “A i = Luas elemen ke –i (in 2 atau mm 2)
c. Penampang Bidang Secara Umum
Momen Statis Momen statis dari suatu luasan terhadap sumbu x dan y didefinisikan sebagai integral dari hasil kali luas setiap elemendiferensial dA dengan jarak titik berat luasan elemen tersebut terhadap suatu sumbu yang ditinjau
Terhadap sumbu x :
M sx
y.dA (in3 atau mm3 )
Terhadap sumbu y :
M sy
x.dA (in3 atau mm3 )
Titik Pusat Berat Benda Titik pusat berat suatu penampang dapat dinyatakan sebagai titik tangkap resultante gaya dalam arah horizontal dan vertikal atau suatu titik dimana semua berat terpusat pada titik tersebut. Koordinat x dan y dari pusat berat sama dengan momen statis dibagi dengan luas penampang Dimana: m1, m2, m3 = massa pias x1, x2, x3 = jarak massa terhadap titik pusat O pada sumbu x y1, y2, y3 = jarak massa terhadap titik pusat O pada sumbu y x dan y = jarak titik berat benda terhadap sumbu x dan y M = Σm
M3 M 1 M2
Prinsip Besaran Momen
mx mx x
m1 x1 m2 x2
m3 x3 ...
mx mx M
Dengan cara yang sama:
y
my M
Titik Berat Bidang / Penampang
x
a.x A
y
Dimana: a1, a2, a3 = luas penampang pias x1, x2, x3 = Jarak penampang terhadap sumbu y y1, y2, y3 = Jarak penampang terhadap sumbu x A = Σa = a1 + a2 + a3 + …
a. y A
Contoh: Tentukan titik berat penampang berikut:
Y
y2
y1
X Penampang ABCH: a1 = 10 x 3 = 30 cm2 x1 = 5 cm y1 = 15 – 3/2 = 13,5 cm
x
a.x A
30x5 36x5 5 30 36
Penampang DEFG: a2 = (15 – 3) x 3 x2 = 5 cm y2 = ½ (15 – 3)
y
a. y A
= 36 cm2
= 6 cm
30x13,5 36x6 30 36
9,41
3. Tampang L
yo xo
Bagian
Luas
I
Momen Statis terhadap x
y
(15x20)=300
300x10=300
300x7,5=2250
II
-(10x15)=-150
-150x12,5=-1875
-150x10=-1500
Jumlah
150
1125
750
M sx A M sy A
a. y 1125 7,5 A 150 a.x 750 5 A 150
Soal: Tentukan titik berat penampang berikut:
MOMEN INERSIA BIDANG (I) a2
a3
I
a1
a1.r12 a2 .r22 a3 .r32
Jika luas bidang yang diarsir: a1 = dA1 a2 = dA2 a3 = dA3 Jarak terhadap sumbu y: r1 = x 1 r2 = x 2 r3 = x 3
r1 r2
r3
Maka momen inersia terhadap sumbu y:
Maka momen inersia terhadap sumbu x:
I xx
a.r 2
I
dA y
2
I yy
dA x
2
Example :
Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat
Ix dA Ix
y2
y 2 dA
y1
b.dy 1 2t 1 2
2 by dy t 1 t 2 1 t 2
1 . y 3 .b 3 b
1 t 3 2
3
b . 1 t3 3 8 bt 3 bt 3 24 24
3 b 1 t 2 3 b 1 t3 3 8 2bt 3 1 b.t 3 24 12
Momen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat
Iy
dx
dA Iy y
x2 x1
x 2 dA
d.dx 1 2b
d .x 2 dx
1 2b
1 .x .d 3 3
dy
d d
1 b 3 2
1
2b 1
3
. 1 b3 3 8 db3 db3 24 24
2b 3 d 1 b 2 3 d 1 b3 3 8 2db3 1 d .b 3 24 12
Momen inersia pada penampang berlubang Momen inersia segiempat ABCD terhadap sumbu x: Ixx = 1/12 b d3 Momen inersia segiempat EFGH terhadap sumbu x : Ixx = 1/12 b1 d13 Momen inersia segiempat berlubang: Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH) Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13 Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang terhadap sumbu y : Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH) Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13
Momen Inersia Penampang Lingkaran
dA = 2π . r . dr 2π . r = keliling sebuah cincin r = jari-jari cincin dr = lebar cincin r2 = x2+y2
R
Ip
R
2
r dA
x
0
R
R
dA
R
2
r ) dr
Iy 1 4
0
r 3 dr
2 0
r 4
4
R
0
1 Ip 2 R4
1 2
R
r
1 1 . 2 2
4 0
R4
R
x dA
Iy
r (2 2
2
0
0
Ix
y
2
0
Ix Ip
2
1 2
R4
y 2 dA
Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi 2
Ix '
y' dA y 2 dA
Ix ' Iy '
Ix 2
x .dA
a & b = koordinat pusat berat O terhadap sumbu x’y’ sumbu x // sumbu x’ sumbu y // sumbu y’ Bila:
x’ = b + x y’ = a + y
Iy
y
2
b
a 2 .A x
2
2b x.dA
2bMs y
dA a 2 dA
2a y dA
2aMsx
x 2 .dA Iy '
a
dA b
2
b2 .A
koordinat X, Y bertitik tangkap pada titik berat penampang, maka Msx dan Msy = 0
Ix'
Ix a 2.A
Iy'
Iy b 2.A
dA
Momen inersia segitiga terhadap sumbu x
a' a
Ix
y 2 dA
t' t
t' a ' .a t
Luas dA a '.dy
a t '.dy t
a 2 Luas jarak t '.dy t t ' t t a 1 3 2 I x0 t '. t t ' dy .at t 12 0 2
I x ( thd titik berat) I x 0 1 3 .at 12
at 2
t 3
2
Luas jarak2 1 3 .at 36
I x 0 ( thd dasar penampang)
1 3 .at 12
Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan tegangan lentur dari penampang pada gambar di bawah.
Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakan dalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslah diperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang Menentukan titik berat penampang Keterangan
Luas (A) (mm2)
Jarak titik berat thd. alas (y (mm))
A x y (mm3)
Luas Total
40 x 60 = 2400
30
2400 x 30 = 72000
Luas Rongga dalam
-(20 x 30) = -600
35
-600 x 35 = -21000
∑A = 1800
∑A..y = 51000
A.y
y
51.000 1.800
A
28,3 mm dari dasar
Momen inersia terhadap sumbu x untuk luas penampang luar 3
A. y 2
40 . 60 1 .b.h 3 72 . 104 mm 4 2 12 2 2400 30 28,3 0,69 . 104 mm 4
Ix
I0
Io
A. y 2
4,50.104
72,69 . 104 mm 4
0,69 . 104 mm 4
untuk rongga dalam 3
A. y 2
20 . 30 1 .b.h 3 4,50 . 504 mm 4 2 12 2 600 35 28,3 2,69 . 104 mm 4
Ix
I0
Io
A. y 2
4,50.104
2,69 .104 mm 4
7,19 . 104 mm 4
I untuk penampang berlubang 72,69 . 104
7,19 . 104
65,50 . 104 mm 4
MOMEN INERSIA POLAR :
Dari gambar terlihat bahwa r2 = x2 + y 2
Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :
Ip
r 2 dA x 2 dA
x 2 y 2 dA y 2 dA
Ip = Ix + Iy
Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbu x dan y
Ix
Ixc A a 2
Iy
Iyc A b 2
Berhubung : Ip Ix Iy maka : Ip
Ixc Iyc A a 2
A b2
Ixc Iyc A a 2 b 2 Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yang ditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.
Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) Ixy Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yang ditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, atau bernilai 0 tergantung pada letak sumbu x’y’ terhadap penampang tersebut.
I xy
xy dA A
Sehingga, untuk koordinat translasi:
Ix' y' Ixy a.b.A Produk inersia bernilai o, apabila salah satu sumbunya merupakan sumbu simetris penampang
Jari-jari Inersia (Radius Girasi) Jari-jari inersia terhadap sumbu x :
rx
Ix (cm ) A
Jari-jari inersia terhadap sumbu y:
ry
Iy A
(cm )
Ix dan Iy berturut-turut sama dengan momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y, dan A sama dengan luas bidang.
Suatu penampang pada gambar. Tentukan : 1. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y dari penampang 2. Ixy (produk inersia)
Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama. Penampang dibagi atas 8 bagian.
Titik Berat Penampang Bagian
Luas A (cm2)
Jarak terhadap sumbu x
Momen statis: A.Y
I
150 x 150 = 2250
7,5
16875
II
150 x 30 = 4500
75+15 = 90
405000
III
15 x 25 = 375
165–12,5 = 152,5
57187,5
IV
375
152,5
57187,5
V
½ (15) (15) = 112,5
165-25-1/3.15=135
57187,5
VI
112,5
135
57187,5
VII
½ (20) (20) = 200
15+1/3(20)=21,67
4334
VIII
200
21,67
4334
Total
8125
Total
575293
Letak sumbu
y
Ay A 575293 8125
y
y
70,81
Ix 26.103.990,96 Iy 5.239.536,86 Ixy 0
sumbu x dan sumbu y membagi penampang sama besar, sehingga sumbu x dan sumbu y disebut sumbu simetri. Jika suatu penampang mempunyai sumbu simetri, maka sumbu tersebut dan sumbu lainnya yang tegak lurus sumbu tersebut disebut sumbu utama. Produk inersia suatu penampang sama dengan nol jika sedikitnya satu sumbu merupakan sumbu simetri. Sehingga dapat disimpulkan bahwa produk inersia sama dengan nol dan sumbu utama (Ix’y’=0)
Perhatikan gambar !!!
sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga Ixy ≠ 0. Untuk menentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesar ø sehingga menjadi sumbu X’ dan Y’ tidak semua sumbu utama menjadi sumbu simetri.
Menentukan momen inersia utama Ix’ dan Iy’ serta sudut putar ø
Ordinat titik berat elemen A terhadap sumbu X’ dan Y’ adalah (x’;y’)
AC
y ' ; AF
AC
AD CD
AD
AB sin ø
AC
y cos ø
x'
x sin ø y’ = y cos ø – x sin ø
AF
OC
OE
OB cos ø x cos ø
EC
BD
AF
OE
EC
AB sin ø
x cos ø
y sin ø
y sin ø
x’ = x cos ø – y sin ø
Syarat sumbu utama :
Ix ' y ' o o
Ixy cos2ø
tg 2ø
sin 2ø cos 2ø
1
2
Ix Iy sin 2ø
2 Ixy Iy Ix tg 2ø 1 tg 2 2ø 1 1 tg 2 2ø
Iy '
1
Ix '
1
2 2
Ix Ix
Iy
1
Iy
1
2 2
Iy Iy
Ix Ix
2
2
I 2 xy I 2 xy
Ix ' y' o Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu yang saling tegak lurus dimana momen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximum dan minimum.
I max
1 Ix Iy 2
1 Ix Iy 2
2
I min
1 Ix Iy 2
1 Ix Iy 2
2
I 2 xy I 2 xy
Suatu penampang seperti pada gambar Tentukan : 1. Letak titik berat penampang tersebut 2. Imax & Imin 3. Letak sumbu utama
Menentukan titik berat penampang
I max
Ix
Iy
Ix
2
Iy 2
486,933 187,73 2
2
Ixy
2
486,933 187,73 2
2
67,2
2
337,332 164 501,332cm 4 I min ø
337,332 164 173,332cm 4 1 2 Ixy arctg 2 Iy Ix
ø 12,10
1 2 67,2 arctg 2 187,73 486,933
ø 12,10
