TKS 4007 Matematika III
Integral Vektor (Pertemuan VII)
Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Teorema Gauss Definisi : Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka : π
π. πππ =
π
π. π§ππ =
π
π. ππ
(7.1)
Dari Pers. (7.1), integral permukaan dari sebuah vektor A yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi A dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss.
1
Teorema Gauss (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Gauss, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal : Hitunglah π π. π§. ππ dengan π = 2π₯ β π§ π’ + π₯ 2 π¦π£ β π₯π§ 2 π€ dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1. Penyelesaian :
Teorema Gauss (lanjutan) Menurut teorema divergensi Gauss : π. π§ππ = π Maka, 1 1 1 π. πππ = 0 0 0 π = = = =
π
π. πππ
π π π π’ + π£ + π€ . 2π₯ β π§ π’ + π₯ 2 π¦π£ β π₯π§ 2 π€ ππ₯ ππ¦ ππ§ 1 1 1 2 + π₯ 2 β 2π₯π§ ππ₯ππ¦ππ§ 0 0 0 1 1 1 1 7 π₯3 2π₯ + β π₯ 2 π§ 10 ππ¦ππ§ = 0 0 β π§ ππ¦ππ§ 0 0 3 3 1 7 1 7 1 π¦ β π§π¦ 0 ππ§ = 0 β π§ ππ§ 0 3 3 7 1 2 1 ππ π§β π§ 0= 3 2 π
ππ₯ππ¦ππ§
Jadi, π
π. π§ππ =
π
π. πππ =
ππ π
satuan
2
Teorema Stokes Definisi : Jika S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batasbatasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan F(x,y,z) adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka : π
. ππ« = π π Γ π
. π§. ππ (7.2) Dari Pers. (7.2) dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sembarang permukaan S dengan C sebagai batasnya. π
Teorema Stokes (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Stokes, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal : Hitunglah π Γ π . ππ dengan π = 2π₯ β π¦ π’ + π¦π§ 2 π£ β π π¦ 2 π§π€ dimana S adalah separuh dari permukaan bola π₯ 2 + π¦ 2 + π§ 2 = 1 bagian atas dan C batasnya. Penyelesaian :
3
Teorema Stokes (lanjutan) Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan π₯ 2 + π¦ 2 = 1, π§ = 0 dan persamaan parameternya adalah π₯ = cos π‘ , π¦ = sin π‘ , π§ = 0, dimana 0 ο£ t ο£ 2ο°. Berdasarkan teorema Stokes π
π. ππ« = = = = = =
Jadi,
π
2π₯ β π¦ π’ β
π¦π§ 2 π£
π
β
π Γ π . π§. ππ =
π¦ 2 π§π€
π
π. ππ«.
. π π₯π’ + π¦π£ + π§π
C 2π 2π₯ β π¦ ππ₯ β π¦π§ 2 ππ¦ β π¦ 2 π§ππ§ 0 2π 2 cos π‘ β sin π‘ β sin π‘ ππ‘ 0 2π β2 sin π‘ cos π‘ + π ππ2 π‘ ππ‘ 0 2π 1 cos 2π‘ β sin 2π‘ + β ππ‘ 0 2 2 1 1 1 cos 2π‘ + π‘ + sin 2π‘ 2π =π 0 2 2 4
π Γ π . π§. ππ =
π
π. ππ« = π
satuan
Teorema Green Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya, sedangkan teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi ada satu cara lagi untuk mencari besar usaha dalam bidang, yaitu dengan menggunakan teorema Green.
4
Teorema Green (lanjutan) Definisi : Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C. M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka : π
πππ± + πππ² =
π
ππ ππ β ππ² ππ±
ππ±ππ²
(7.3)
Teorema Green (lanjutan) Jika A menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana A = Mi + Nj, maka π π. ππ« adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C β integral garis, yaitu : π
π. ππ« =
π
Mπ’ + Nπ£ . ππ₯π’ + ππ¦π£ + ππ§π€
= π Mππ₯ + Nππ¦ Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah : =
π
ππ ππ β ππ ππ
ππ₯ππ¦
5
Teorema Green (lanjutan) Agar lebih memahami teorema Green, lihat contoh soal berikut : Contoh Soal : Periksa teorema Green pada bidang untuk π 2π₯π¦ β π₯ 2 ππ₯ + π₯ + π¦ 2 ππ¦, dimana C adalah kurva tertutup yang dibatasi oleh π¦ = π₯ 2 dan π¦ 2 = π₯. Penyelesaian : Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1), arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar di samping.
Teorema Green (lanjutan) Sepanjang π¦ = π₯ 2 , integral garisnya adalah : 1 2π₯ π₯ 2 β π₯ 2 ππ₯ + π₯ + π₯ 2 2 π π₯ 2 π₯=0 1
7
= π₯=0 2π₯ 3 + π₯ 2 + 2π₯ 5 ππ₯ = 6 Sepanjang π¦ 2 = π₯, integral garisnya adalah : 0 2π¦ 2 π¦ β π¦ 2 2 π π¦ 2 + π¦ 2 + π¦ 2 πy π¦=1 =
0 π¦=1
17
4π¦ 4 β 2π¦ 5 + 2π¦ 2 ππ₯ = β 15
Maka integral garis yang diinginkan adalah : 7 17 π = 6 β 15 = ππ satuan
6
Teorema Green (lanjutan) Dengan teorema Green : π
ππ ππ
β
ππ ππ
ππ₯ππ¦ = = = =
=
π π+ππ π
ππ
β
π πππβππ ππ
ππ₯ππ¦
π β ππ ππ₯ππ¦
π 1 π₯ π β ππ ππ₯ππ¦ π₯=0 π¦=π₯ 2 1 π¦ β 2π₯π¦ π₯π₯2 ππ₯ π₯=0 1 3 1 2 β 2π₯ 2 β π₯ 2 + 2π₯ 3 π₯ π₯=0 π satuan ππ
ππ₯
= (Pemeriksaan selesai dan terbukti sama!)
Latihan 1. Teorema Gauss : Hitunglah π π. π§. ππ denganπ = 2π₯π¦ β π§ π’ + π¦ 2 π£ β π₯ + 3π¦ π€ pada daerah yang dibatasi oleh 2x + 2y + z = 6, x = 0, y = 0, z = 0. 2. Teorema Stokes : Hitunglah π π Γ π . π§. ππ dengan π = 3π¦π’ β π₯π§π£ + π¦π§ 2 π€, dimana S adalah permukaan paraboloida 2π§ = π₯ 2 + π¦ 2 yang dibatasi oleh z = 2 dan C sebagai batasnya. 3. Teorema Green : Hitunglah π π₯ 2 β π₯π¦ 3 ππ₯ + π¦ 3 β 2π₯π¦ ππ¦ dengan C adalah suatu bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (0,2), (2,2), (2,0).
7
Terima kasih dan
Semoga Lancar Studinya!
8
