Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

TKS 4007 Matematika III

Diferensial Vektor (Pertemuan III)

Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan oleh A.B (baca : A titik B). Secara geometri : A.B didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut  antara keduanya. Secara analitik : misal 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 dan 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 adalah dua vektor pada bidang sistem koordinat x dan y, maka A.B didefinisikan :

1

Perkalian Titik (lanjutan) Sedangkan vektor pada bidang sistem koordinat x, y, dan z, dimana 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 dan 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤, maka A.B didefinisikan :

Ingat : hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar!

Perkalian Titik (lanjutan) Lihat gambar berikut :

Gambar tersebut menunjukkan sebuah obyek yang diberi gaya. Obyek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B.

2

Perkalian Titik (lanjutan) Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai :

Dengan menggunakan diperoleh :

definsi

perkalian

titik,

maka

Jadi, usaha W merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya F dengan perpindahan r.

Perkalian Titik (lanjutan) Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi perkalian titik, didapatkan :

3

Perkalian Titik (lanjutan) Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :

Perkalian Titik (lanjutan) Sifat-sifat perkalian titik : Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan real, maka berlaku :

4

Perkalian Titik (lanjutan) Bukti : (i) 𝐀. 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 . A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh : 𝐀. 𝐀 = A1 2 + A2 2 2

= 𝐀. 𝐀 = 𝐀

2

A1 + A2 2

2

(Terbukti!)

Perkalian Titik (lanjutan) (ii) 𝐀. 𝐁 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 . B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤 Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh : 𝐀. 𝐁 = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 Karena A1, A2, A3, B1, B2, dan B3 adalah bilangan real, maka : A1 B1 = B1 A1 , A2 B2 = B2 A2 , dan A3 B3 = B3 A3 sehingga : 𝐀. 𝐁 = B1 A1 + B2 A2 + B3 A3 𝐀. 𝐁 = 𝐁. 𝐀 (Terbukti!) Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan (vii) dijadikan untuk latihan!

5

Perkalian Titik (lanjutan) Contoh : Jika A = i + 2j dan B = 2i – 3j, tentukan A . B dan sudut  yang dibentu oleh A dan B. Penyelesaian 𝐀. 𝐁 = 𝐢 + 2𝐣 . 𝟐𝐢 − 3𝐣 = 1 2 + 2 −3 = 2 − 6 = 4 𝐀.𝐁 −4 cos 𝜃 = 𝐀 𝐁 = 2 2 2 2 =

−4 5 13

=

1 +2 2 +(−3) −4 = −0,47 65

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos(−0,47) = 119,74o

Perkalian Silang Perkalian silang dari dua buah vektor A dan B dinyatakan dengan 𝐀 × 𝐁 (baca : A silang B). Perhatikan gambar berikut : Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu t adalah s dengan sudut yang dibentuk adalah  (dalam radian). Hubungan s dan  diberikan oleh s = r.

6

Perkalian Silang (lanjutan) Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh :

𝑑𝜃

Besaran 𝜔 = 𝑑𝑡 , disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh :

Perkalian Silang (lanjutan) Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran. Berikut ini definisi perkalian silang : Secara geometri Perkalian silang dari dua vektor A dan B adalah sebuah vektor 𝐂 = 𝐀 × 𝐁 (baca A silang B), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut  antara keduanya. dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari 𝐀 × 𝐁.

7

Perkalian Silang (lanjutan) Secara analisis Misal 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 dan 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤 , maka perkalian silang dari dua vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut :

Perkalian Silang (lanjutan) Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi perkalian silang, didapatkan :

8

Perkalian Silang (lanjutan) Hasil perkalian silang dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :

Perkalian Silang (lanjutan) Sifat-sifat perkalian silang : Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan real, maka berlaku :

9

Perkalian Silang (lanjutan) Bukti : Misal 𝐀 = A1 𝐢 + A2 𝐣 + A3 𝐤 , 𝐁 = B1 𝐢 + B2 𝐣 + B3 𝐤 dan 𝐂 = C1 𝐢 + C2 𝐣 + C3 𝐤, maka : (ii)

Perkalian Silang (lanjutan) (iv)

Pembuktian sifat (i), (iii), (v), dan (vi) dijadikan untuk latihan!

10

Perkalian Silang (lanjutan) Contoh : Jika A = 2i - 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan A G B dan sudut  yang dibentu oleh A dan B. Penyelesaian

Perkalian Silang (lanjutan)

Jadi sudut antara A dan B adalah 57,69o.

11

Latihan 1.

2.

3. 4.

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!

12