4
Metode Birge-Vieta Metode Birge-Vieta menggunakan kombinasi dari metode pembagian sintetik dan metode Newton-Raphson untuk memperoleh akar-akar polinomial Pollaczek. Prosedur pembagian sintetik dari metode ini pada persamaan polinom diberikan sebagai berikut (30) dengan merupakan aproksimasi akar pertama, menyatakan polinom menyatakan polinom pangkat n, pangkat n-1, dan menyatakan sisa dengan . Jelas pembagian . bahwa sisa pembagian sama dengan Langkah selanjutnya dilakukan dengan cara yang sama pada persamaan (30), yang dituliskan sebagai berikut
dengan menyatakan pangkat n-2. Karena
koefisien an dan bn pada persamaan (36) dan (37), yaitu (38) METODE PENELITIAN Diagonalisasi persamaan Hamiltonian (1) dengan menggunakan basis L2 akan menghasilkan persamaan polinomial Pollaczek (15). Dengan membatasi jumlah basis L2 yang digunakan, akan dihasilkan akar-akar dari polinomial Pollaczek yang berkaitan dengan nilai eigen energi dari Hamiltoniannya. Perhitungan akar-akar polinom Pollaczek dilakukan dengan mempergunakan metode Birge-Vieta. Akar-akar tersebut akan berkaitan dengan sebuah harga nilai eigen energi seperti terlihat pada persamaan (27).
(31) polinom
(32) maka diperoleh (33) sehingga dapat dinyatakan bahwa
(34) Untuk memperoleh aproksimasi akar selanjutnya digunakan metode NewtonRaphson sebagai berikut Diagram alir penelitian (35) Secara umum, persamaan dinyatakan sebagai berikut
polinom
(36)
(37) Meninjau dari persamaan (30), diperoleh sisa terakhir bentuk perumusan dari
HASIL DAN PEMBAHASAN Pembatasan jumlah basis yang tak berhingga menjadi berhingga memungkinkan dilakukannya perhitungan secara numerik, dimana akan dihasilkan akar-akar yang berhubungan dengan sebuah harga nilai eigen energi. Harga energi eigen yang diperoleh dapat divarisikan berdasarkan jumlah basis dan parameter λ yang dipilih. Sebagai validasi terhadap algoritma yang telah dibuat untuk menghitung akar-akar polinomial Pollaczek, dilakukan perhitungan
5
numerik untuk kasus Z = 0, karena seperti yang telah disebutkan pada tinjauan pustaka, pada kasus Z = 0, polinomial Pollaczek akan menjadi polinomial Ultraspherical, dengan akar yang diberikan pada persamaan (29). Berikut ini akan diberikan hasil perhitungan numerik akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 ) yang akan ( dibandingkan dengan hasil perhitungan eksak akar-akar polinomial Ultraspherical ( ), untuk jumlah fungsi basis (N) sebesar 5, 10, dan 20. i (x) xi dari (x,0) xi dari 1 0,8660254038 0,8660254038 2 0,5000000000 0,5000000000 3 0,0000000000 0,0000000000 4 -0,5000000000 -0,5000000000 5 -0,8660254038 -0,8660254038 Tabel 1. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 dibandingkan dengan polinomial Ultraspherical pada N = 5. i (x) xi dari (x,0) xi dari 1 0,9594929736 0,9594929736 2 0,8412535328 0,8412535328 3 0,6548607339 0,6548607340 4 0,4154150130 0,4154150129 5 0,1423148383 0,1423148383 6 -0,1423148383 -0,1423148384 7 -0,4154150130 -0,4154150129 8 -0,6548607339 -0,6548607340 9 -0,8412535328 -0,8412535328 10 -0,9594929736 -0,9594929736 Tabel 2. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 dibandingkan dengan polinomial Ultraspherical pada N = 10. i (x) xi dari (x,0) xi dari 1 0,9888308262 0,9888308262 2 0,9555728058 0,9555728058 3 0,9009688679 0,9009688679 4 0,8262387743 0,8262387743 5 0,7330518718 0,7330518714 6 0,6234898019 0,6234898039 7 0,5000000000 0,4999999931 8 0,3653410244 0,3653410420 9 0,2225209340 0,2225208965 10 0,0747300936 0,0747301620 11 -0,0747300936 -0,0747302036 12 -0,2225209340 -0,2225207762 13 -0,3653410244 -0,3653412277 14 -0,5000000000 -0,4999997641 15 -0,6234898019 -0,6234900477 16 -0,7330518718 -0,7330516441 17 -0,8262387743 -0,8262389589 18 -0,9009688679 -0,9009687423
19 -0,9555728058 -0,9555728706 20 -0,9888308262 -0,9888308083 Tabel 3. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 0 dibandingkan dengan polinomial Ultraspherical pada N = 20. Akurasi perhitungan yang diperoleh pada perhitungan akar Pollaczek adalah sebagai berikut, untuk jumlah basis sebesar 5, diperoleh akurasi sebesar 10-10, untuk jumlah basis sebesar 10 diperoleh akurasi sebesar 10-8, sedangkan untuk jumlah basis sebesar 20 diperoleh akurasi sebesar 10-6. Dari hasil yang diperoleh pada tabel 1, 2, dan 3 terbukti bahwa untuk kasus Z = 0, polinomial Pollaczek akan (x). menjadi polinomial Ultraspherical Selanjutnya pada tabel berikutnya akan diberikan hasil-hasil yang diperoleh untuk kasus Z = 1, yaitu untuk potensial Coulomb tolak-menolak. Pada nilai Z = 1, selain ada perubahan parameter basis, akan dilakukan perubahan juga terhadap nilai λ. Hal ini dilakukan karena energy diskret eigen pada persamaan (27) tidak hanya bergantung pada parameter jumlah basis, tetapi memiliki keterkaitan pula dengan parameter λ sebagai parameter interaksi. Variasi parameterparameter ini akan memberikan suatu kecenderungan terhadap spektrum energi, khususnya untuk nilai-nilai energi tertentu. Berikut ini akan diberikan hasil perhitungan numerik akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dengan parameter λ sebesar 1,0 untuk jumlah fungsi basis (N) sebesar 5, 10, dan 20 beserta energi yang berkaitan dengan dengan akar tersebut, sedangkan hasil-hasil perhitungan numerik dengan beberapa nilai λ yang lain terdapat pada lampiran 2. Energi (eV) i xi dari (x,1) 1 0,9267223302 89,397710717167 2 0,7483015949 23,616460424770 3 0,4911289459 9,962913739441 4 0,1807313723 4,900085917974 5 -0,1611699577 2,456162532494 Tabel 4. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dan λ = 1,0 beserta energi yang berkaitan pada N = 5. Energi (eV) i xi dari (x,1) 1 0,9721289170 240,580472149771 2 0,8990421602 63,954848421017 3 0,7874046796 28,585652298943 4 0,6431409713 15,655143497779 5 0,4730302045 9,503965385912 6 0,2846471912 6,105798979704 7 0,0858873235 4,038907888320 8 -0,1157565528 2,694519438754
6
9 -0,3143497585 1,773660934716 10 -0,5087537796 1,107030962825 Tabel 5. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dan λ = 1,0 beserta energi yang berkaitan pada N = 10. Energi (eV) i xi dari (x,1) 1 0,9909626905 749,036331799908 2 0,9658806140 195,900186546342 3 0,9260309567 88,530349404877 4 0,8723921042 49,888238620608 5 0,8059957835 31,650784576668 6 0,7280003838 21,600035276917 7 0,6397094690 15,473657272765 8 0,5425656429 11,465520910595 9 0,4381310493 8,702466227587 10 0,3280570953 6,719907438552 11 0,2140527317 5,251979940816 12 0,0978405968 4,137470624225 13 -0,0188771547 3,274013612654 14 -0,1344737395 2,593968624471 15 -0,2474369219 2,051177434813 16 -0,3564376950 1,613131104298 17 -0,4604023797 1,256250971916 18 -0,5586566813 0,962731114208 19 -0,6512658592 0,718052802986 20 -0,7404421865 0,507053076886 Tabel 6. Akar-akar polinomial Pollaczek untuk kasus Z = 1 dan λ = 1,0 beserta energi yang berkaitan pada N = 20.
Pengaruh variasi jumlah basis dan λ (parameter interaksi) terhadap energi maksimum Hasil-hasil yang diperoleh dari perhitungan numerik menunjukkan beberapa kecenderungan terhadap spektrum energi maksimum setelah dilakukan perubahan terhadap jumlah basis dalam rentang 5 – 20 dan parameter λ dalam rentang 0,4 – 6. Pada tabel 7 diberikan energi-energi maksimum yang diperoleh untuk beberapa jumlah basis dan nilai parameter λ pada rentang tersebut. λ
Energi Maksimum (eV) N=5 N = 10 N = 20 0,4 24,7244 57,4082 155,329 0,6 42,5565 105,395 304,878 0,8 64,1062 166,438 502,765 1 89,3977 240,58 749,036 1,2 118,446 327,846 1043,71 1,4 151,259 428,246 1386,81 1,6 187,844 541,788 1778,32 2 272,344 808,313 2706,63 3 549,774 1704,79 5874,93 4 921,835 2930,15 10254 5 1388,57 4484,43 15843,9 6 1950,0 6367,64 22644,7 Tabel 7. Energi maksimum pada jumlah basis tertentu dengan beberapa nilai parameter λ.
Gambar 1. Kecenderungan yang terjadi pada energi maksimum akibat variasi jumlah basis dan λ.
Pada pertambahan nilai λ untuk jumlah basis yang sama, nilai energi maksimum membesar. Selain itu, pertambahan jumlah basis untuk nilai parameter λ yang sama juga memperbesar nilai energi maksimum. Hal ini ditunjukkan juga pada gambar 1, dimana dapat dilihat bahwa semakin besar jumlah basis dan nilai parameter λ, nilai energi maksimum akan semakin besar. Sehingga untuk mendapatkan energi maksimum yang bernilai maksimum, diperlukan pemilihan jumlah basis dan nilai parameter λ yang maksimum pula.
Pengaruh variasi jumlah basis dan λ (parameter interaksi) terhadap energi minimum Selain mempengaruhi energi maksimum, perubahan yang dilakukan pada jumlah basis dan parameter λ akan mempengaruhi nilai energi minimum yang dimiliki. Pada tabel 8 diberikan energi-energi minimum yang diperoleh untuk jumlah basis dalam rentang 5 – 20 dan parameter λ dalam rentang 0,4 – 6.
λ
Energi Minimum (eV) N=5 N = 10 N = 20 0,4 0,86584 0,39377 0,18302 0,6 1,36189 0,61803 0,28586 0,8 1,89299 0,85629 0,3941 1 2,45616 1,10703 0,50705 1,2 3,0493 1,36917 0,62424 1,4 3,67081 1,64193 0,74533 1,6 4,31944 1,92471 0,87005 2 5,69427 2,51844 1,12962 3 9,55382 4,15237 1,83129 4 13,9775 5,97965 2,59956 5 18,9369 7,98457 3,42749 6 24,4165 10,1574 4,3106 Tabel 8. Energi minimum pada jumlah basis tertentu dengan beberapa nilai parameter λ. Perubahan energi minimum yang disebabkan oleh perubahan jumlah basis dan nilai parameter λ tidak saling terkait seperti halnya pada energi maksimum. Pada energi minimum, peningkatan nilai parameter λ untuk jumlah basis yang sama akan meningkatkan nilai energi minimum, sedangkan penambahan jumlah basis akan menurunkan nilai energi minimum untuk nilai parameter yang sama.
Gambar 2. Kecenderungan yang terjadi pada energi minimum akibat variasi jumlah basis dan λ.
8
Pada gambar 2 dapat dilihat bahwa energi minimum terbesar didapatkan pada nilai parameter λ yang paling besar dengan jumlah basis yang paling kecil, sedangkan energi minimum yang paling kecil diperoleh pada nilai parameter λ yang paling kecil dengan jumlah basis yang paling besar. Distribusi energi disekitar 0 eV Selain mempengaruhi nilai energi maksimum dan minimum, perubahan jumlah basis dan nilai parameter λ juga mempengaruhi besarnya distribusi spektrum energi, khususnya di sekitar 0 eV. Distribusi ini akan menunjukkan kuat tidaknya interaksi yang terjadi antara inti atom target hidrogen dan positron. Pada tabel 9 diberikan distribusi energi disekitar 0 eV untuk jumlah basis dalam rentang 5 – 20 dan parameter λ dalam rentang 0,4 – 6. λ
Distribusi energi disekitar 0 eV N=5 N = 10 N = 20 0,4 0,86584 0,83016 0,856433363 0,4 0,58109 0,697762233 0,4 0,39377 0,569647516 0,4 0,464693804 0,4 0,377495593 0,4 0,303911855 0,4 0,240435421 0,4 0,183022289 0,6 0,94142 0,987507808 0,6 0,61803 0,79372423 0,6 0,633951123 0,6 0,50045899 0,6 0,386806777 0,6 0,285862509 0,8 0,85629 0,927727499 0,8 0,720727217 0,8 0,546467925 0,8 0,394104949 1 0,962731114 1 0,718052803 1 0,507053077 1,2 0,900642049 1,2 0,624239897 1,4 0,745325809 1,6 0,870050339 Tabel 9. Distribusi energi disekitar 0 eV untuk beberapa parameter λ, dalam jumlah basis tertentu. Pada tabel diatas dapat dilihat bahwa untuk jumlah basis 5 dengan nilai parameter λ 0,4, terdapat satu buah energi di sekitar 0 eV. Untuk basis yang diperbesar, yakni 10, jumlah energi
disekitar 0 eV dengan nilai parameter λ yang masih sama meningkat menjadi tiga. Demikian pula untuk jumlah basis sebesar 20, distribusi energi disekitar 0 eV meningkat menjadi delapan. Namun untuk nilai parameter λ yang semakin besar, distribusi energi disekitar 0 eV semakin menurun. Pada λ = 0,4 dengan jumlah basis 20 distribusi energi yang mendekati nilai 0 eV dimulai dari 0,183022289 eV dan berakhir pada 0,856433363 eV, untuk jumlah basis 10 dimulai dari 0,39377 eV dan berakhir pada 0,83016 eV, sedangkan untuk jumlah basis sebesar 5 langsung kepada 0,86584 eV. Hal yang sama terjadi pula pada nilai parameter λ yang semakin besar. Dalam rentang nilai parameter λ pada 0,4 – 6, distribusi energi disekitar 0 eV paling minimum diperoleh pada λ = 1,6 dengan jumlah basis 20. Untuk basis sebesar 10, distribusi energi paling minimum terdapat pada λ = 0,8, dan untuk basis sebesar 5 distribusi energi paling minimum terdapat pada λ = 0,4. Dengan memperhatikan distribusi energi di sekitar 0 eV, dapat ditentukan besar tidaknya interaksi tolak-menolak yang dialami oleh inti atom target hidrogen dan positron. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa distribusi di sekitar 0 eV yang terbesar terjadi pada basis 20 dengan parameter λ = 0,4, yang berarti bahwa pada λ = 0,4 interaksi yang terjadi cukup besar bila dibandingkan dengan nilai-nilai parameter λ lainnya yang yang lebih besar. Dari kecenderungan terhadap kuat lemahnya interaksi yang diperoleh berdasarkan distribusi di sekitar 0 eV, dapat dilihat bahwa apabila positron memiliki spektrum energi yang besar, maka interaksi yang terjadi masih cukup lemah, yang menunjukkan bahwa positron masih cukup jauh dari inti target atom hidrogen. Sebaliknya ketika positron berada pada spektrum energi yang kecil (sekitar 0 eV), maka interaksi yang terjadi akan semakin kuat dibandingkan dengan saat positron memiliki spektrum energi yang cukup besar, yang juga berarti bahwa positron semakin dekat dengan inti target atom hidrogen. KESIMPULAN Penggunaan fungsi basis square integrable tipe Laguerre untuk mendiagonalisasi Hamiltonian Coulomb tolak-menolak akan memberikan suatu keterkaitan antara fungsi basis dengan spektrum energi eigen. Keterkaitan energi eigen ini selain pada jumlah fungsi basis yang dimiliki, terkait pula dengan parameter λ yang merupakan parameter
