Ruang Vektor Tujuan: 1. Mengingat kembali persamaan garis dan bidang di ruang. 2. Memahami aksioma ruang vektor, kombinasi linier dan ruang bagian. 3. Mengingat kembali pengertian bebas dan bergantung linier, basis dan dimensi. Arti geometris dari determinan Jika A matriks 2x2, |det(A)| = area dari jajaran genjang dibentuk oleh 2 vektor. Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedum dibentuk oleh 3 vektor. Persamaan garis dan bidang di ruang Garis di ruang dimensi 2: persamaannya adalah y –a = m (x – b) (jadi diperlukan kemiringan m dan titik yang dilalui (a,b)) Bidang di ruang dimensi 3: Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui. Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegak lurus terhadap bidang.
n
Misal suatu bidang melalui titik P0 ( x0 , y0 , z0 ) dan mempunyai vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada pada bidang. 1. Persamaan bidangnya adalah
n P0 P 0 2. atau bentuk normal persamaan bidang:
a( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0 3. atau bentuk vektor persamaan bidang:
n (r r0 ) 0 di mana r0 OP0 , r OP 4. atau bentuk parameter persamaan garis di bidang:
x x0 ta, y y0 tb, z z0 tc di mana titik P0 ( x0 , y0 , z0 ) dilalui bidang dan vektor v (a, b, c) paralel dengan
bidang. Contoh: Cari persamaan bidang yang melalui titik (3,-2,1) dan tegak lurus terhadap vector Cartesius.
n =(1 2 2). Gambar pada koordinat
Bila diketahui SPL berikut:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
Apa arti geometrisnya? Pengertian geometris:
a11 x1 a12 x2 b1
a21 x1 a22 x2 b2
Pengertian geometris:
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
Yang tidak memiliki solusi: (a), (b), (c) Yang memiliki banyak solusi: (d), (e) Yang memiliki solusi tunggal: (f)
Ruang Vektor Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong di mana 2 operasi berlaku: penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Setiap dua vektor a dan b dan kombinasi liniernya a b , α dan β bilangan real, merupakan anggota dari V, dan memenuhi sifat berikut: untuk operasi penjumlahan:
1.a b b a 2.(a b ) c a (b c ) 3.a 0 a 4.a (a ) 0
untuk perkalian dengan skalar:
1.c(a b ) ca cb 2.(c k )a ca ka 3.c(ka ) (ck )a 4.1a a
n Contoh ruang vektor: R , ruang vektor (matriks) M 2 x 2 , ruang
vektor M mxn . Ruang bagian : Diketahui W himpunan bagian tak kosong dari V. W disebut ruang bagian jika W adalah ruang vektor dengan operasi yang sama digunakan di V.
Contoh: Himpunan garis yang melewati titik origin adalah 3
ruang bagian dari R .
Kombinasi Linier Suatu vektor
w disebut kombinasi linier dari vektor-vektor
a1 , a2 ,..., am jika dapat dituliskan w c1a1 c2 a2 cm am dimana c1 , c2 ,, cm adalah skalar.
u = (1,2,-1) dan v =(6,4,2) di R 3 . Apakah vektor berikut kombinasi linier dari u dan v ? Contoh: Diketahui vektor
(a)
w =(9,2,7),
(b)
y =(4,-1,8).
Span (membangun) ruang vektor
Himpunan vektor S={ a1 , a2 ,..., am } di sebut membangun V v anggota dari V dapat dinyatakan dalam a , a ,..., a kombinasi linier dari 1 2 m , yaitu v c1a1 c2 a2 cm am jika setiap
a Contoh: Apakah himpunan vektor T={ 1 , a2 , a3 } membangun
3 ?
1 2 1 a1 1, a2 1 , a3 0 2 3 2 Bebas linier
a , a ,..., a Diketahui S={ 1 2 m }, persamaan vektor c1a1 c2 a2 cm am 0 paling sedikit punya satu solusi yaitu c1 0, c2 0,..., cm 0 . Jika c1 0, c2 0,..., cm 0 adalah satu-satunya solusi maka S disebut bebas linier.
Arti geometris dari bebas linier: 2
3
Di R dan R , misal 2 vektor digambar pada ruang koordinat dengan titik asal berada di titik origin. Himpunan 2 vektor itu bebas linier jika dan hanya jika kedua vektor tidak berada dalam satu garis.
3
Di R , misal 3 vektor digambar pada ruang koordinat dengan titik asal berada di titik origin. Himpunan 3 vektor itu bebas linier jika dan hanya jika ketiga vektor tidak berada dalam satu bidang.
n Misal S={ a1 , a2 ,..., am } himpunan vektor di R , jika m > n maka S bergantung linier.
a Contoh: Apakah himpunan vektor T={ 1 , a2 , a3 } bebas linier
3 ? 1 2 1 a1 1, a2 1 , a3 0 2 3 2
di
Basis Basis dari V adalah minimum himpunan vektor bebas linier yang membangun V.
Jika V adalah ruang vektor dan S={ a1 , a2 ,..., am } adalah himpunan vektor di V. S adalah basis dari V jika 1. S bebas linier 2. S membangun V. Ruang vektor dapat mempunyai lebih dari satu basis. Contoh: Standard basis 3 Di R : iˆ =(1,0,0), ˆj =(0,1,0), kˆ (0,0,1).
n Di R : e1 =(1,0,0,…,0), e 2 =(0,1,0,…,0) , … , e n =(0,0,…,0,1)
1 0 0 1 0 0 0 0 , , , M 2 x 2 : Di ruang matriks 0 0 0 0 1 0 0 1 Contoh:
1. Karena T={ a1 , a2 , a3 } bebas linier dan membangun di
3 maka T merupakan basis di 3 .
2. Tunjukkan bahwa setiap vektor di dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari basis baku dan basis T. 3
Contoh: carilah sebuah subhimpunan dari vektor-vektor
r1 (1,2,0,3), r 2 (2,5,3,6), r 3 (0,1,3,0), r 4 (2,1,4,7), r 5 yang membentuk sebuah basis untuk ruang yang dibangun oleh vektor-vektor di atas.
Dimensi Himpunan vektor V disebut berdimensi hingga jika memuat
a , a ,..., a himpunan vektor berhingga 1 2 n yang merupakan basis dari V. Dimensi dari V adalah n. Ruang baris dan ruang kolom sebuah matriks; Rank Definisi: Misal diberikan matriks mxn
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
vektor-vektor
r1 (a11, a12 ,, a1n ), r 2 (a21, a22 ,, a2 n ), r m (am1 , am 2 ,, amn )
yang dibentuk dari baris-baris dari A dinamakan vektor-vektor baris dari A, sedangkan vektor-vektor
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n c1 , c2 , , c m a a a m1 m2 mn yang dibentuk dari kolom-kolom dari A dinamakan vektorvektor kolom dari A. Subruang di yang dibangun oleh vektor-vektor baris disebut ruang baris (row space). n
Subruang di yang dibangun oleh vektor-vektor kolom disebut ruang kolom (column space). Teorema: Operasi Baris Elementer (OBE) tidak mengubah ruang baris suatu matriks. m
Vektor-vektor baris yang tak nol di dalam bentuk eselon baris dari matriks A membentuk suatu basis dari ruang baris A. Sedangkan vektor-vektor kolom yang tak nol di dalam bentuk eselon baris dari matriks kolom A.
At membentuk suatu basis dari ruang
Contoh: cari basis dari masing-masing ruang baris dan ruang kolom dari A
1 0 1 1 A 3 2 5 1 0 4 4 4 .
Jika A adalah sembarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama. Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari sebuah matriks A dinamakan rank dari A. Latihan: 1. Tunjukan vektor-vektor berikut bebas linier: (-1 4 0), (8 4 -3),(0 6 -9) Pilih sembarang vektor (u v w), apakah keempat vektor bebas linier? 2
2. Tunjukan mana himpunan yang merupakan basis di R .
a. u1 (2,1), u2 (0,3),
b. w1 (3,9), w2 (4,12) . 2 p 1 x x , p2 x 1 3. Tunjukan himpunan vektor 1 bukan merupakan basis di ruang vektor P2 .
4. Tentukan basis dan dimensi untuk ruang solusi dari SPL homogen berikut:
x1 x2 x3 0,
2 x1 x2 2 x3 0, x1 x3 0.
