Diskusi 1 MA6019 Eksplorasi Dalam Pemecahan Masalah “The only certainty is uncertainty” Tanggal 29 Januari 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. • Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total;
1. Buktikan bahwa: P (Ac B c ) = 1 − P (A) − P (B) + P (AB) Solusi: P (Ac B c ) = P [(A ∪ B)c ] = 1 − P (A ∪ B) = 1 − P (A) − P (B) + P (AB) 2. Diketahui P (A ∪ B) = P (A ∪ B c ) = 0.7. Hitung P(A). Apakah diperlukan asumsi kebebasan untuk kejadian A dan B? Jelaskan! Solusi: P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0.7; P (A ∪ B c ) = P (A) + P (B c ) − P (AB c ) = 0.7. Jika kedua persamaan diatas dijumlahkan diperoleh, 2P (A) + P (B) + P (B c ) − [P (AB) + P (AB c )] = 1.4. Jadi, P (A) = 0.4, karena P (B) + P (B c ) = 1 dan P (AB) + P (AB c ) = P (A) (untuk A dan B saling bebas ataupun tidak) 3. Misalkan Avi, Evi, dan Ivi bermain dengan cara melantunkan koin. Jika keluaran koin dari salah satu dari mereka tidak berbeda maka permainan berakhir. Jika tidak, maka lantunan koin diulang. Hitung peluang bahwa permainan berakhir pada lantunan koin yang kedua. Solusi: Ruang sampel S = {M M M, M M B, M BM, M BB, BBB, BBM, BM B, BM M }. Peluang permainan berakhir pada lantunan koin yang pertama adalah P ({M M M }) + P ({BBB}) = 1/8 + 1/8 = 1/4. Sedangkan peluang permainan berlanjut setelah lantunan pertama adalah 1 − P (permainan berakhir pada lantunan pertama) = 3/4. Jadi, permainan berakhir pada lantunan kedua dengan peluang (3/4)(1/4) = 3/16.
1
4. Zeita melantunkan sebuah dadu merah dan sebuah dadu hijau. Misalkan A = “dadu merah menunjukkan titik 2 atau 4”, B = “jumlah titik dadu untuk kedua dadu paling banyak 7”. Apakah kejadian A dan B saling bebas? Solusi: P (A) = P (2) + P (4) − P (24) = 1/3 P (B) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/36 = 21/36 = 7/12 Jadi, P (A)P (B) = 7/36 Sementara itu, P (AB) = P ({(2, 1), . . . , (2, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}) = 8/36
2
Diskusi 2 MA6019 Eksplorasi Dalam Pemecahan Masalah “The only certainty is uncertainty” Tanggal 5 Februari 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. • Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total;
1. Kuis “Selamat Datang” 2. Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memiliki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran? Solusi: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi, P (LK ∩ U ) P (U ) P ({{LL} ∩ {LL, LLc , Lc L}}) = P ({LL, LLc , Lc L}) P ({LL}) = P ({LL, LLc , Lc L}) = (1/4)/(3/4) = 1/3
P (LK|U ) =
3. Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan pi adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Solusi: Misalkan Ki , i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 ) = (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3
3
Diskusi 3 MA6019 Eksplorasi Dalam Pemecahan Masalah “The only certainty is uncertainty” Tanggal 12 Februari 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. • Peluang suatu kejadian; sifat-sifat peluang (termasuk kejadian-kejadian saling asing dan saling bebas); peluang bersyarat; peluang total;
1. Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan pi adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, i = 1, 2, 3. Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Solusi: P (T |K1 )P (K1 ) P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 ) (1 − p1 )(1/3) = (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3
P (K1 |T ) =
2. Iva memegang sebuah koin yang memiliki sisi MUKA dan BELAKANG dan sebuah koin lain yang ternyata memiliki dua sisi MUKA. Iva kemudian memilih sebuah koin secara acak dan melantunkannya. Ternyata muncul MUKA. Misalkan Iva memilih sebuah koin lagi secara acak dan melantunkan untuk keduakalinya dan muncul MUKA. Kemudian Iva melakukan hal yang sama untuk ketigakalinya dan muncul MUKA. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan adalah koin bersisi MUKA dan BELAKANG? Solusi: Misalkan M kejadian muncul MUKA; K1 kejadian memiliki koin dengan sisi MUKA dan BELAKANG; K2 kejadian memiliki koin dengan dua sisi MUKA. P (M |K1 )P (K1 ) P (M ) P (M |K1 )P (K1 ) = P (M |K1 )P (K1 ) + P (M |K2 )P (K2 ) (1/2)(1/2) = (1/2)(1/2) + (1)(1/2)
P (K1 |M ) =
4
Diskusi 4 MA6019 Eksplorasi Dalam Pemecahan Masalah “The only certainty is uncertainty” Tanggal 26 Februari 2014, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. • Peluang pada nilai peubah acak; fungsi peluang; fungsi distribusi; ekspektasi; variansi; distribusi diskrit; distribusi kontinu; ekspektasi bersyarat
1. Enam laki-laki dan 5 perempuan melamar suatu pekerjaan di PT KhrshFin. Empat dari mereka terpilih secara acak untuk diwawancarai. Misalkan X menyatakan banyak perempuan yang terpilih. Tentukan fungsi peluang f (x). Tentukan peluang bahwa satu atau dua perempuan terpilih. Berapa banyak perempuan yang diharapkan terpilih? 2. Suatu peubah acak X memiliki distribusi peluang p, 0.1, 0.3, P (X = x) = p, 4p, 0,
x = −1.9 x = −0.1 x = 20p x=3 x=4 x yang lain
Tentukan fungsi distribusi F (x). 3. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < −3.1 3/5, −3.1 ≤ x < 0 F (x) = 7/10, 0 ≤ x < 1 1, 1≤x 4. Lihat soal No 1, berapa banyak perempuan yang diharapkan terpilih?
5
