6. A l´ ancszab´ aly, a teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele ´ es Bayes-t´ etel Egy (Ω, A, P ) valószín¶ségi mez®n értelmezett A1 , . . . , An ∈ A események metszetének valószín¶sége felírható feltételes valószín¶ségek segítségével a l´ ancszab´ aly szerint:
P (A1 ∩ · · · ∩ An ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 ∩ A2 ) · · · P (An |A1 ∩ · · · ∩ An−1 ) . Eseményeknek egy B1 , B2 , . . . ∈ A véges vagy megszámlálhatóan végtelen gy¶jteményét teljes esem´ enyrendszernek nevezzük, ha az események páronként kizáróak, uniójuk az Ω alaphalmaz és a Bi események valószín¶sége pozitív. A B1 , B2 , . . . felbontás az Ω eseménytér partíciója pozitív mérték¶ halmazokra. Legyen A ∈ A tetsz®leges esemény. Ekkor érvényesek az alábbi összefüggések:
Teljes val´ osz´ın˝ us´ eg t´ etele: P (A) =
X
P (A|Bi )P (Bi )
i
Bayes-formula: P (Bk |A) = Bayes-t´ etel:
P (A|Bk )P (Bk ) P (A)
P (A|Bk )P (Bk ) P (Bk |A) = P i P (A|Bi )P (Bi )
Feladatok 1. A tapasztalatok szerint a légi szúnyogpermetezések után az életbenmaradott vérszívok ellenállása n® a vegyszerrel szemben. Ez azt jelenti, hogy míg az els® permetezés során a szúnyogok 80 százaléka elpusztul, addig a második és a harmadik permetezés már csak 60 illetve 40 százalékukat öli meg. Mekkora valószín¶séggel éli túl egy szúnyog mindhárom permetezést? Mekkora valószín¶séggel éli túl egy szúnyog a második és a harmadik permetezést, ha az els®t átvészelte? 2. Valamely alkatrész gyártásával egy üzemben négy gép foglalkozik. Az els® gép naponta 200 alkatrészt gyárt, a második 320 -at, a harmadik 270 -et, a negyedik 210 -et. Az egyes gépeknél a selejtgyártás valószín¶sége rendre 2% , 5% , 3% és 1% . A kész alkatrészeket egy helyen gy¶jtik. A gépek napi termeléséb®l kiveszünk egy alkatrészt és megvizsgáljuk. a. Mekkora valószín¶séggel selejtes az alkatrész? Mekkora valószín¶séggel nem selejtes? b. A vizsgálat során kiderül, hogy az alkatrész selejtes. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy a negyedik gép gyártotta? c. Milyen választ adhatunk a b. pont kérdésére, ha az alkatrész nem selejtes? d. Mekkora valószín¶séggel származik az alkatrész a harmadik vagy a negyedik gépr®l, ha selejtes? 1
3. Egy bizonyos fajta búzavet®mag összetételének vizsgálatakor megállapították, hogy négyféle magot tartalmaz, mégpedig 50% -a az I-es fajtából, 30% -a a II-esb®l, 15% -a a III-asból és 5% -a a IV-esb®l tev®dik össze. Annak valószín¶sége, hogy egy I-es típusú magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász fejl®dik 0.2 . Ugyanez a valószín¶ség a többi fajtánál rendre 0.5 , 0.4 és 0.05 . a. Mekkora valószín¶séggel fejl®dik egy véletlenszer¶en kiválasztott magból legalább 50 szemet tartalmazó kalász? b. Feltéve, hogy a magot elvetve a kalász 50 szemnél kevesebbet tartalmazott, milyen valószín¶séggel tartozik az egyes típusokba? 4. Egy üzemben kétféle technológiával gyártanak egy termékfajtát. Egyrészt hagyományos módon, az így készült termékek 60% -a I. osztályú, 40% -a II. osztályú. Másrészt automata gépsoron, így 90% I. osztályú, 10% II. osztályú. A termékek fele készül az egyes technológiákkal. a. Mennyi a valószín¶sége, hogy egy találomra kiválasztott termék az automata gépsoron készült, ha II. osztályú min®sítést kapott? b. Mekkora valószín¶séggel választunk I. osztályú terméket? 5. Egy gyárban a termékek 90% -a felel meg a súlyszabványnak. A súlyszabványnak megfelel® gyártmányok 80% -a megy át az alakpróbán, a súlyszabványnak nem megfelel® termékek 75% -a bukik meg az alakpróbán. a. A termékek mekkora hányada felel meg mindkét szabványnak? Mekkora hányad megy át az alakpróbán és bukik meg a súlypróbán? b. Véletlenszer¶en kiválasztva egy gyártmányt mekkora valószín¶séggel bukik meg az alakpróbán? c. Ha a kiválasztott termék átmegy az alakpróbán, akkor mekkora valószín¶séggel felel meg a súlyszabványnak? ¯ = 0.3 és P (B|A) = 0.6 . 6. Ismertek a következ® valószín¶ségek: P (A|B) = 0.7 , P (A|B) Mivel egyenl® P (A) ? 7. Két játékos, Péter és Pál, a következ® játékot játsza. Péter feldob egy kockát, aztán annyi érmét, amennyi a kockával dobott érték. Ha a kapott fejek száma legalább 2 , akkor Péter nyer, egyébként Pál. Kinek kedvez ez a játék? 8. Adott egy kocka 4 piros és 2 zöld lappal, valamint egy tetraéder 3 zöld és 1 piros lappal. Feldobunk egy szabályos érmét. Ha az eredmény fej, akkor a kockát, egyébként a tetraédert dobjuk fel háromszor. a. Mekkora valószín¶séggel kapunk a harmadik dobásra piros színt? b. Feltéve, hogy az els® két dobás eredménye piros, mekkora valószín¶séggel kapjuk harmadik dobásra is a piros színt? c. Mennyi annak a valószín¶sége, hogy mindhárom dobás piros? d. Milyen érmét dobjunk fel, ha azt szeretnénk, hogy a három piros dobás valószín¶sége egyenl® legyen a három zöld dobás valószín¶ségével? 2
9. Két urnában piros és zöld golyók vannak. Az els®ben 5 piros és 4 zöld, a másikban 7 piros és 3 zöld. a. Találomra kiválasztunk egy-egy golyót a két urnából, és kicseréljük ®ket. Ezután kiveszünk egy újabb golyót az els® urnából. Mekkora valószín¶séggel lesz ez piros? b. Találomra kiválasztunk egy golyót az els® urnából, és áttesszük a másodikba. Ezután kihúzunk egy golyót a másodikból, és belerakjuk az els®be. Végül kiveszünk egy golyót az els® urnából? Mekkora valószín¶séggel lesz ez piros? 10. Feldobok 6 szabályos pénzérmét. Ezután feldobok annyi pénzérmét, ahány fejet kaptam az els® dobás során. Végül feldobok annyi pénzérmét, ahány fejet kaptam a második dobás során. Mekkora valószín¶séggel kapok a harmadik dobás során pontosan k fejet? 11.a. A 32 lapos magyar kártyából visszatevéssel kihúzunk három lapot. Mekkora valószín¶séggel lesz mindhárom lap piros? Mekkora valószín¶séggel lesz a harmadik lap piros, ha az els® két lap piros volt? Mekkora valószín¶séggel lesz a harmadik lap piros? b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezésre. 12. Adott egy dobókocka és egy dobótetraéder, melyek lapjai 1 -t®l 6 -ig illetve 1 -t®l 4 -ig vannak számozva. Azt játszom, hogy valamelyik testet feldobva ha a kapott érték osztható 3 -mal, akkor a következ® dobást is ezzel a testtel végzem el, egyébként a másikkal folytatom a játékot. Legel®ször a kockát dobom fel. Mekkora valószín¶séggel végzem a második és a harmadik dobást a tetraéderrel, majd a negyediket a kockával? Mekkora valószín¶séggel végzem a negyedik dobást a kockával, ha a második és a harmadik dobásról nincs információm? 13.* Adott egy végtelen térfogatú üres urna és megszámlálhatóan végtelen sok golyó az 1, 2, . . . értékekkel megszámozva. Éjfél el®tt egy perccel fogjuk az 1, 2, . . . , 10 számú golyókat, behelyezzük ®ket az urnába, majd véletlenszer¶en kihúzunk egyet. Éjfél el®tt fél perccel fogjuk a 11, 12, . . . , 20 számú golyókat, behelyezzük ®ket az urnába, majd véletlenszer¶en kihúzunk egyet. Minden egyes pozitív egész n -re éjfél el®tt 2−n perccel fogjuk a 10n + 1, 10n + 2, . . . , 10n + 10 számú golyókat, behelyezzük ®ket, majd kihúzunk egyet. Ezt így folytatjuk éjfélig. Mutassuk meg, hogy éjfélkor az urna egy valószín¶séggel üres. 14.* Egy vadász 30 méter távolságban felfedez egy rókát, és rál®. Ha a róka életben marad, akkor elkezd 10 m/s sebességgel menekülni az ellenkez® irányba. A vadász 3 másodperc alatt tölti meg a fegyverét, és ezután újra l®, egészen addig, míg meg nem öli a rókát, vagy az el nem t¶nik a látóhatáron. Annak valószín¶sége, hogy eltalálja az x ≥ 30 méter távolságra lév® rókát 675x−2 . Ha találat éri is a rókát, az nem biztos, hogy végzetes: a róka egymástól függetlenül 1/4 valószín¶séggel túléli a találatokat. Mekkora valószín¶séggel ússza meg a róka a kalandot? ´ Utmutat´ asok 2. A kísérlet során kiválasztunk egy alkatrész, és megvizsgáljuk. A kísérlet kimenetelei az adott napon gyártott alkatrészek, és feltehet®, hogy mindegyik alkatrészt ugyanakkora 3
valószín¶séggel választjuk ki. A kiválasztott alkatrész lehet selejtes vagy nem selejtes, és mindezt természetesen befolyásolja, hogy melyik gépen készült. Tehát érdemes bevezetni az alábbi eseményeket: A = {a kiválasztott alkatrész selejtes} , Bi = {a kiválasztott alkatrész az i. gépen készült} , i = 1, 2, 3, 4 . Ezek valóban események, hiszen klasszikus valószín¶ségi mez® esetén az eseménytér minden részhalmaza esemény. Ekkor A¯ az az esemény, hogy a kiválasztott alkatrész nem selejtes. Minden alkatrész a négy gép valamelyikér®l származik, ezért ∪Bi = Ω . Természetesen nincs olyan alkatrész, mely több gépr®l is származna, így a Bi események kizáróak. A feladat adatai szerint a gyárban naponta átlagosan 200 + 320 + 270 + 210 = 1000 alkatrészt gyártanak, amib®l P (B1 ) = 0.2 , P (B2 ) = 0.32 , P (B3 ) = 0.27 , P (B4 ) = 0.21 . Tehát a B1 , B2 , B3 , B4 események teljes eseményrendszert alkotnak. Emellett P (A|B1 ) = 0.02 , P (A|B2 ) = 0.05 , P (A|B3 ) = 0.03 , P (A|B4 ) = 0.01 , vagyis ¯ 1 ) = 0.98 , P (A|B ¯ 2 ) = 0.095 , P (A|B ¯ 3 ) = 0.97 , P (A|B ¯ 4 ) = 0.99 . P (A|B a. A teljes valószín¶ség tétele szerint
P (A) =
X
P (A|Bi )P (Bi ) = 0.02 · 0.2 + 0.05 · 0.32 + 0.03 · 0.27 + 0.01 · 0.21 = 0.0302 ,
i
¯ = 1 − P (A) = 0.9698 . amib®l P (A) b. Eredetileg összes alkatrész 21% -a készül a negyedik gépen. De most nekünk van egy olyan háttérinformációnk, mely szerint a vizsgált alkatrész selejtes. Tehát a feladat a P (B4 |A) feltételes valószín¶ségre kíváncsi. A Bayes-formula alkalmazásával P (B4 |A) =
P (A|B4 )P (B4 ) 0.01 · 0.21 = = 0.0695 . P (A) 0.0302
Tehát egy selejtes alkatrész meglep®en kis valószín¶séggel származik a negyedik gépr®l. Ennek az az oka, hogy a negyedik gép kis selejtaránnyal dolgozik, a hibás alkatrészeket jellemz®en a másik három termeli. ¯ valószín¶séget kell meghatároznunk. Vonzó gondolat c. Természetesen most a P (B4 |A) ¯ = 1 − P (B4 |A) , de ez így nem helyes, ilyen összefüggés nem azt mondani, hogy P (B4 |A) létezik. Helyette ismét be kell vetni a Bayes-formulát:
¯ ¯ = P (A|B4 )P (B4 ) = 0.99 · 0.21 = 0.2144 . P (B4 |A) ¯ 0.9698 P (A) d. Mivel B3 és B4 kizáró, ezért a feltételes valószín¶ség additivitása miatt P (B3 ∪B4 |A) = P (B3 |A) + P (B4 |A) . Ezek már a b. pont szerint számolhatóak. 13. Jelölje Ai azt az eseményt, hogy valaha kihúzzuk az i -dik golyót, és legyen Ai (k) az az eseményt, hogy a golyót kiválasztjuk az els® k körben. A láncszabály segítségével határozzuk meg Ai (k) valószín¶ségét, és mutassuk meg, hogy 1/P (Ai (k)) → ∞ , ha k tart 4
a végtelenbe. Ebb®l Ai = ∩k Ai (k) valószín¶sége már számolható, és az ∪i Ai esemény valószín¶sége is könnyen megkapható.
14. Legyen Ak az az esemény, hogy a róka túléli az els® k lövést. Ennek valószín¶sége a láncszabály szerint felírható, és a Stirling-formula használatával jól közelíthet®. Ezek után azon esemény valószín¶sége, hogy a róka az összes lövést túléli már könnyen jön.
5
