Contoh:
Aturan Penjumlahan
y Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb?
y Mutually Exclusive:
Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B) y Not Mutually Exclusive:
Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B)‐P(A dan B)
y Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?
Lokasi produksi mobil
Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian
Jumlah
Independen
Ya
Tidak
US
7
293
300
Non US
13
187
200
20
480
500
a. Pembelian 1 bh mobilÆ Probabilitas mobil perlu perbaikan ? b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US? c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan diproduksi di US? e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan ?
y Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali pelemparan dadu?
P(A dan B) = P(A) x P(B)
Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi Probabilitas Terdapat 2 kelompok: Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu
9/16/2008
25
Dwina Roosmini
Expected Value µx=E(x)=∑ Xi P(Xi)
Varians = σx2=∑(Xi‐µx)2 P(Xi) Standard Deviasi = σx
9/16/2008
y Binomial
y Normal
y Hypergeometrik
y Binomial
y Poisson
y Uniform
y Geometrik
y Log Normal
y Multinomial
y Gamma
9/16/2008
26
Dwina Roosmini
Contoh: Data kecelakaan lalu lintas
X= Variabel acak distkrit Xi= Hasil X pada perlakuan I P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X i = 1,2,3,….,n
27
Distribusi Probabilitas Kontinu
Dwina Roosmini
X
Frek. P(X) Relatif
Nilai rata-rata/Expected value?
0 1 2 3 4 5
6 12 27 9 3 3
Varians dan standard deviasi?
9/16/2008
0,10 0,20 0,45 0,15 0,05 0,05 Dwina Roosmini
28
Expected value=µx= Ex= ∑ Xi P(Xi)=
Distribusi Binomial
(0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,05)+(5) *(0,05)= 2 Varians= (0‐2)2*(0,10)+(1‐2)2*(0,2)+(2‐2)2*(0,45)+ (3‐2)2*(0,15)+ (4‐2)2*(0,05)+(5‐2)2*(0,05)= 1,4
Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi: 1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak 2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya 3. Hanya ada dua kemungkinan hasil
Standard Deviasi= √1,4=1,18
4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya 9/16/2008
29
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial
9/16/2008
30
Dwina Roosmini
Distribusi Binomial ⎛ n⎞ n! p x b( x; n, p) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1− p)n−x = (1− p)n−x x!(n − x)! ⎝ x⎠
Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b
Dimana x= 0,1,2,3,…n n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…….. 0!=1
Rerata= µ=n*p Simpangan baku= σ = np(1 − p )
9/16/2008
Dwina Roosmini
31
9/16/2008
Dwina Roosmini
32
Distribusi Binomial
Tabel Distribusi Binomial
Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3.
n
9/16/2008
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometris
16
1
0,8108
2
0,9571
3
0,9930
0,5
9/16/2008
Dwina Roosmini
a h ( x;n ,a , N ) = P ( x ) = x ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
a/(N‐1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan (a‐1)/(N‐1) jika sampel 1 terambil yang rusak
Rata
N − a n − x ⎛ ⎞ ⎜ N ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
− rata
= µ = n (a / N )
σ 2 = n . a ( N − a )( N − n ) N 2 ( N − 1)
y Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h Dwina Roosmini
⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎠⎝
dimana : x ≤ a dan ( n − x ) ≤ ( N − a ) x = 0 ,1 , 2 ,... n
y Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak:
9/16/2008
……
34
y Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/N
35
0
b( x; n, p ) = B ( x; n, p ) − B ( x − 1; n, p)
y Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak
2.
0,1
Distribusi hipergeometrik
y Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali
1.
p 0,05
⎛ 4⎞ b(2;4,0,3) = ⎜⎜ ⎟⎟0,32 (1 − 0,3) 4− 2 = 0,2646 ⎝ 2⎠
33
x
36
9/16/2008
Dwina Roosmini
Distribusi Hipergeometrik
Distribusi Poisson
Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat
y y
Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< Æ n.p ≤10 Batasan: 1.
µ konstant untuk setiap unit waktu dan ruang
2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu
titik waktu atau ruang adalah 0 3. peristiwa satu dengan lainnya independen
9/16/2008
37
Dwina Roosmini
−µ e µx x!
Dwina Roosmini
Distribusi Geometris
Distribusi Poisson P(x; µ) =
9/16/2008
38
y Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai setelah x percobaan, gagal= x‐1. y Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x‐1) pada percobaan (x‐1) adalah g
untuk x = 0,1,2,3,...
µ = rata- rata peristiwa Probabilitas seseorang mendapat reaksi buruk setelah disuntik adalah 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan probabilitas yang mendapat reaksi buruk:
g ( x; p) = P( x) = p(1 − p) x −1
a. Tidak ada
dengan
b. 2 orang
µ = 1− p
c. Lebih dari 2 orang 39
9/16/2008
Dwina Roosmini
40
9/16/2008
Dwina Roosmini
Distribusi Multinomial y Sampel n bersifat bebas y Semua hasil merupakan mutually exclusive y Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilai A, B, C, D
m( x1, x2, x3,..., xk ) =
41
n! = p1x1 p2 x2... pk xk x1!x2!x3!...xk! 9/16/2008
Dwina Roosmini
