III. tehát feltéve, hogy P(B)>0 igazak a következők: (1) P( B)=0; (2) P(Ω B)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor

1. oldal (4-ből)

(matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ;

ELMÉLET:

Hasonlóan

arról

is

beszélhetünk,

P(esik HA lőnek)=1/7; 1.) Analógia halmazok elemszáma és események valószínűsége között P(A) ~

P(A  B) = P(A HA B) ~

az

eső

valószínűsége,

P(esik HA nem lőnek)=1/3;

ha

feltesszük,

P(nem esik

hogy

lőnek:

HA lőnek)=6/7;

P(nem esik HA nem lőnek)=2/3. A jelölés úgy lesz körülbelüliből szabályos, ha a HA szó helyére egy

az A krit é riumnak megfelel ő esetek sz á ma I az ö sszes eset sz á ma

P(A ∧ B) = P(A ÉS B) ~

mi

2005. október

függőleges

vonalat írunk:

P(esik

HA lőnek) = P(esik  lőnek).

Amint

láttuk,

P(esik  lőnek)=

P ( esik ∧ l ő nek ) IV P ( l ő nek )

az A és a B krit é riumnak egya rá nt megfelel ő esetek sz á ma II az ö sszes eset sz á ma

Általában : az A eseménynek a B eseményre mint feltételre vonatkozó feltételes valószínűségét, P(A B)-t így definiáljuk: P ( A Ι B ) :=

az A é s a B krit é riumnak egyar á nt megfelel ő esetek sz á ma III a B krit é riumnak megfelel ő esetek sz á ma

P( A ∧ B ) V (olvasd: “pé á föltéve bé”). P( B )

Feltételes valószínűséget tehát (mi) csak olyankor definiálunk, amikor a feltétel pozitív valószínűségű esemény. Ilyenkor ─ tehát feltéve, hogy P(B)>0 ─ igazak a következők: (1) P(∅B)=0; (2) P(ΩB)=1; (3) ha C és D egymást kizáró események, akkor P(C∨DB)=P(CB)+P(DB); és (4) ha A1, A2, A3,..., An,... megszámlálhatóan végtelen sok, egymást páronként kizáró esemény

Mindez kétféleképpen értelmezhető;

Ai∧Aj=∅,

(tehát

(

( A1 ∨ A2 ∨ A3 ∨ ... ∨ An ∨ ... ) HA B

ha

i≠j),

akkor

) = P ( A1 HA B ) + P ( A2 HA B ) + ... P ( An HA B ) + ... VI.

─ az egyik értelmezésben az analógia precíz (de ez az értelmezés csak ritkán használható):

P

"esetek" = valamely populáció összes esetei (bizonyos szempontok szerint kategorizálva ─ innen

(Ezek szerint tehát a P( . B) függvény, mely valamely A eseményhez a P(AB) feltételes valószínűséget rendeli, maga is

adódnak az "események"), a kísérlet pedig egyetlen elem kisorsolása /véletlenszerű kiválasztása/ ebből a

valószínűség az esemény-algebrán; csak éppen egy másik valószínűség: a B-re mint feltételre vonatkozó feltételes valószínűség.)

populációból; esemény=valamilyen fajta elemek kisorsolása; ennek a valószínűsége megfelel annak,

A definíció 2 következménye:

hogy milyen részarányt képviselnek az ilyenfajta elemek az összes között (feltéve, hogy mindegyik ─ a másik fajta analógia nem precíz, de segíthet a gondolkodásban: elképzelünk egy olyan populációt,

P ( A ∧ B ) = P ( A ) * P ( B HA A ) VII /amikor P(A)>0/ : a szorzási szabály ; és P ( A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ ... ∧ An ) = = P ( A1 )* P ( A2 HA A1 ) * P ( A3 HA ( A1 ∧ A2 ) ) * ... P ( An HA ( A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ ... ∧ An-1) )

melynek minden elemével elvégeztük az éppen szóban forgó kísérletet; olyannak képzeljük ezt

VIII /feltéve, hogy mindegyik feltétel pozitív valószínűségű/ ─ Bizonyításuk adódik a definícióból.

elemnek egyforma az esélye, hogy kisorsolják). a

populációt, mintha bármely esemény éppen olyan százalékban következett volna be, "ahogy illett volna",

(E két szabálynak főként olyankor venni hasznát, amikor A és B, illetve A 1, ... An éppen ebben a

azaz ahogy az (adottnak feltételezett) valószínűségek diktálnák. (Ilyen populációk a valóságban igen

sorrendben következnek be; ilyenkor gyakori, hogy ezeket a feltételes valószínűségeket mind ismerjük,

ritkák.) Ennek a populációnak az elemeit tekintjük eseteknek.

az együttes bekövetkezés valószínűségét nem.)

(Esemény=valamely, a kísérlet kimenetelét illető megállapítás; a neki megfeleltetett halmaz: azon esetek halmaza, melyekkel /akikkel/ a kísérlet ennek a kijelentésnek megfelelő módon ment végbe.)

Függetlenség: azt mondjuk, hogy az A esemény független a B eseménytől, ha B ismerete nem segít A valószínűségének a megállapításában, azaz, ha A ugyanolyan gyakori B esetén, mint egyébkor. Ebből

* * * * * * * * * *

adódik események függetlenségének az alábbi definíciója: A független B-től, ha P(AB)=P(A). (Látható, hogy ez a definíció csak pozitív valószínűségű B-re értelmes.) Ha ez a feltétel teljesül, akkor ─ a feltételes

2.) FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG; ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE :

valószínűség helyére beírva az ő definícióját, s beszorozva az egyenletet P(B)-vel ─ azt kapjuk, hogy P(A ∧B)=P(A)*P(B).

Ha tehát A független B-től, akkor A és B együttes bekövetkezésének a

Feltételes valószínűség: tegyük fel, hogy Bergengócia fővárosában 100 nap közül általában 20-on esik,

valószínűsége egyenlő a két esemény valószínűségének a szorzatával. Ez azonban szimmetrikus

80-on nem; 70 nap lőnek, 30 nap nem. Részletesebben: a 20 esős nap közül 10-en lőnek, 10-en nem, a

feltétel; ezért inkább azt mondjuk, hogy A és B függetlenek egymástól, független események.

80 esőtlenből 60-on lőnek, 20-on nem. Eszerint P(Esik)=0,2 P(Lőnek)=0,7; beszélhetünk arról, hogy az

Általában az A és a B események függetlenségét a

olyan napoknak, amikor esik, a felében lőnek; másként: az olyan napokon, amikor esik, 50%

definiálni; ekkor tehát nem követeljük meg, hogy bármelyik esemény is pozitív valószínűségű legyen; és

valószínűséggel lőnek; ugyanígy mondhatjuk, hogy az esőtlen napokon pedig 6/8=0,75 annak a

adódik (hogyan?), hogy a 0-valószínűségű események minden eseménytől függetlenek.

valószínűsége, hogy lőnek. Jelekkel, körülbelül: P(lőnek HA esik)=0,5; P(lőnek HA nem esik)=0,75;

P(A∧B)=P(A)*P(B)

egyenlőséggel szokás

2. oldal (4-ből)

(matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ;

2005. október

b.) mi annak a valószínűsége, hogy másodikra kéket húzunk, ha az elsőre húzott golyó piros?

PÉLDÁK, FELADATOK:

c.) mi annak a valószínűsége, hogy az elsőre húzott golyó piros volt (nem figyeltünk), ha másodikra kéket húztunk (ezt már néztük)

(A. /kiegészítés, ismétlésnek/: százalékokkal kapcsolatos kérdések és feladatok: A/1.) Van 10 liter sóoldatunk, melynek 98%-a víz; mennyi vizet kell hozzáöntenünk, hogy az oldatnak

B/2.) Szabályos kockával kettőt dobunk; állapítsa meg ezt a feltételes valószínűséget:

99%-a legyen víz?

P(összeg≤7  az első dobás ≥4)

A/2.) A fekete-kór okozója minden éjfélkor osztódással szaporodik. Ha egy elefántba bekerül 1 ilyen kórokozó, 40 nap után lesz belőle annyi, hogy az elefánt megbetegedjen. Mikor ─ a fertőzés után hány

B/2'.) Szabályos kockával kettőt dobunk; állapítsa meg ezt a valószínűséget:

nappal ─ vannak a kórokozók negyedennyien?

P(összeg≤7 és az első dobás ≥4)

A/3.) Az X cég részvényének árfolyama tegnapelőtt 50%-kal emelkedett; tegnap 50%-kal esett. Hogyan változott a két nap alatt összesen az árfolyam (hány százalékkal emelkedett / hány százalékkal csökkent

B/3.) Két-gyermekes családok; jelölje fl az olyan családokat, ahol az első gyermek fiú, a második lány;

/ nem változott)? Miért?

tegyük fel, hogy a 4 lehetséges eset (ll, lf, fl, ff) mind egyformán valószínű. Ezek alapján mi egy

A/4.) Fehér és fekete nyulak; a fehérek a telep populációjának 90%-a, a feketék 10%. A feketék száma

kétgyermekes családban annak a valószínűsége, hogy ha az egyik gyerek fiú, akkor a másik is fiú?

duplájára nő, a fehéreké nem változik. Milyen most a százalékos megoszlás? A/5.) Mi a jobb: ha félévenként 10%, vagy ha évenként 20% kamatot fizeta bank a betétünkre?

B/3') És annak mi a valószínűsége, hogy ha az első gyerek fiú, akkor a másik is fiú?

A/6.) A ... cég alkalmazottainak a bérét jan.1-én 10%-kal csökkentették, majd okt.1-én 12,5%-kal emelték.

[Feltéve, hogy nincs infláció, továbbá hogy minden hónap egyformán 30 napos,]

volt-e

vesztesége az alkalmazottaknak [ebben az évben; ahhoz képest, ha nem változott volna a bérük]?

B/4.)* Alaposan megkevert 52-lapos römi- (bridzs-) kártyapaklit 4-felé osztunk. A játékosok egyike Péter.

A/7.) Autóbusz, melynek 10 óra hosszat 50 km/óra sebességgel kellene mennie, az első 5 órában

Mi az alábbi események valószínűsége:

40 km/órával ment;

A = (Péter legfelső lapja a kőr ász)

a.) a második 5 órában 60 km/ó megy; mikorra ér így célba? Mekkora lesz az átlagsebessége (az egész

B = (Péter legfelső lapja ász)

útra)?

C = (Péternél van a kőr ász)

b.) mekkora sebességgel kellene mennie a második 5 órában ahhoz, hogy éppen időben érjen célba?

D = (van Péternél ász)

Mekkora lenne ekkor az átlagsebessége (az egész útra számítva)?

E = (mindenkinél 1-1 ász van)

A/7'.) Autóbusz, melynek 10 óra hosszat 50 km/óra sebességgel kellene mennie, az út fele hosszát 40

F = (pontosan két ász van Péternél)

km/órás sebességgel teszi meg; a.) az út második felét 60 km/ó teszi meg; mikorra ér így célba? Mekkora lesz az átlagsebessége?

Határozza meg az alábbi feltételes valószínűségeket: P(CA)

b.) mekkora sebességgel kellene megtennie az út második felét ahhoz, hogy éppen időben érjen célba?

P(AC)

P(FA)

P(FD)

P(BD) P(FC)

P(AD)

P(CE)

P(FD)

Mekkora lenne ekkor az átlagsebessége? ) A/8.) Egy mázsa krumplinak 99%-a víz; egy darabig áll, ezalatt valamennyire szárad ─ már csak 98% a

B/5/a) Valamely kísérlettel kapcsolatosan P(AB)=0,3; P(A nem B)=0,5; P(B)=0,4;

víz benne. Mennyivel lett kevesebb a mázsa (a zsák krumpli összsúlya?)

; mekkora lehet ezek szerint P(A) = ? B/5/b) Fejezze ki P(A)-t

P( nem B)=0,6

P(AB), P(Anem B), P(B) és P(nem B) segítségével.

B.: FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG: B/6.)* Tegyük fel, hogy 0≤P(A)≤1, és 0≤P(B)≤1, továbbá, hogy P(AB)>P(A); igazolja, hogy ekkor B/1.) Urnában 3 piros, 2 kék, 4 zöld golyó; visszatevés nélkül kihúzunk ─ egyenként ─ hármat; a.) ha a harmadik zöld, akkor mi annak a valószínűsége, hogy az első piros volt?

(matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ; a .) P ( A HA B ) < P ( A )

3. oldal (4-ből)

2005. október

b .) P ( A HA B ) < P( A )

C/8.) Egy három-válaszlehetőséges tesztfeladatnál Aladár p=0,2 valószínűséggel tudja a választ; ha nem c) P ( B HA A ) < P ( B ) d ) P ( A HA B ) > P ( A )

C.: TELJES VALÓSZÍNŰSÉG TÉTELE, BAYES-TÉTEL: C/1.) Az (A) zsákban 3 piros, 7 másszínű zseton van; a (B) zsákban 6 piros és 4 más színű; a (C)-ben 9 piros és 1 más színű. Azt, hogy melyikből húzunk majd egyetlen zsetont, kockadobással sorsoljuk ki; ha 1-es, akkor az (A) zsákból; ha 2-es vagy 3-as, akkor a (B)-ből; ha 4, 5 vagy 6 jön ki, akkor a (C) zsákból húzunk. (Szabályos a kocka) Mi annak a (feltételes) valószínűsége, hogy 1 volt a kockán, ha pirosat húztunk? C/2.) Ugyanez, azzal a módosítással, hogy most nem kockadobással, hanem találomra választunk a három zsák közül, 1/3─1/3 valószínűséggel. C/3.) Egy zsákban 5 piros, 3 kék és 2 sárga golyó; visszatevés nélkül kihúzunk egyet majd még egyet. Mi annak a valószínűsége, hogy először pirosat húztunk, ha két egyforma golyót húztunk? C/4.) Amazónia lakosságának 70%-a nő, 30%-a férfi; Bergengócia lakosságának 20%-a nő, 80%-a férfi. A két állam egyesül; a lakosság 40%-a való Amazóniából, 60%-a Bergengóciából. ─ az új állam lakosságának hány százaléka nő? ─ a nők hány százaléka amazoniai származású? C/5.) Egy egyébként szabályos dobókocka két oldalára az 1-es, két oldalára a 2-es és két oldalára a 3as szám van festve. Egyszer dobunk vele; majd egy szabályos érmével egymás után annyiszor dobunk, amennyi a kockán kijött. ─ mi annak a valószínűsége, hogy nem dobunk fejet? ─ mi annak a valószínűsége, hogy a kockával 3-ast dobtunk, ha nem dobtunk fejet? C/6.) Három kétfiókos szekrényke közül az egyikben 2 aranygyűrű van; a másikban 1 arany- és 1 ezüstgyűrű; a harmadikban 2 ezüst gyűrű (minden fiókocskában 1 gyűrű). Találomra választunk egyet a szekrénykék közül, és találomra kihúzzuk az egyik fiókját; ebben aranygyűrű van. Mi a valószínűsége, hogy ez éppen az első szekrényke? (Bertrand-probléma) C/7.) A Bergengóciába beutazó szeszcsempészek 60%-a dadog, a nem-szeszcsempész beutazóknak 10%-a. A beutazóknak 10%-a szeszcsempész. (a) A dadogóknak hány százaléka szeszcsempész? (b) A beutazók hány százaléka dadog?

tudja, találomra választ a három lehetőség közül. a.) mi a valószínűsége, hogy helyes választ ír be? b.) ha helyes választ írt be, mi a valószínűsége, hogy tudta is a választ? C/9.) Három, szemre teljesen egyforma zsák közül az elsőben 1 piros, 9 kék; a másodikban 5 piros, 6 kék; a harmadikban 9 piros, 1 kék zseton van. Találomra választunk egyet a zsákok közül és kiveszünk belőle egy zsetont. Ez piros. Még egyet kiveszünk. (Tudva az összes előzményeket), mi annak a valószínűsége, hogy ez is piros lesz? C/9'.) Három, szemre teljesen egyforma zsák közül az elsőben 1 piros, 9 kék; a másodikban 5 piros, 6 kék; a harmadikban 9 piros, 1 kék zseton van. Találomra választunk egyet a zsákok közül és kiveszünk belőle egy zsetont. Majd még egyet kiveszünk. a) milyen valószínűséggel lesz piros az első húzás? b) milyen valószínűséggel lesz piros a második húzás? c) milyen valószínűséggel lesz piros mindkét húzás? d) független-e az első és a második húzás? C/10.) Bergengóciában két nép lakik: a bergengócok (7 millió) és a burgundok (3 millió). Balkezes a bergengócoknak 20, a burgundoknak 40%-a. Királyt húztak, demokratikusan. (Mind a tízmilliónak egyforma esélye volt arra, hogy király legyen.) Tudjuk, hogy egy balkezes lett a király. Mi a valószínűsége annak, hogy nemcsak balog, hanem burgund is? Mi volt a választás előtt annak a valószínűsége, hogy balkezes lesz a királyuk ? C/11.) (A három fogoly) Egy börtönben három halálraítélt van; egyiküket holnap reggel kivégzik. Hogy melyiket, azt 1/3-1/3 valószínűséggel sorsolják. A foglár már tudja az eredményt, a rabok még nem. Azt, ami rájuk vonatkozik, nem is szabad megtudniuk. Azonban egyikük, X. úr, mindenképpen szeretne többet tudni; azt mondja a foglárnak, hogy mivel a másik kettő ─ Y. és Z. úr ─ közül biztosan lesz, aki életben marad, azzal, ha mond közülük, akit nem végeznek ki, még nem szegi meg a szabályt. A foglár beleegyezik; azt mondja, Y.-t nem végzik ki. X. úr elszomorodik: eddig 2/3 volt az esélye, hogy életben maradjon, most viszont ─ gondolja ─ már csak 1/2. Igaza van-e? C/12.) (A három fogoly/2.) Börtönben három rab; hogy másnap hajnalban melyiküknek kell szenet rakodni, azt mindig már az este ─ 1/3-1/3 valószínűséggel ─ kisorsolják. A foglár tudja az eredményt, a foglyok még nem. Azt, ami rájuk vonatkozik, nem is szabad megtudniuk (majd hajnalban, ébresztéskor). Egyikük, X. úr azonban mindenképpen szeretne többet tudni; azt mondja a foglárnak, hogy mivel a másik

4. oldal (4-ből)

(matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ;

2005. október

kettő ─ Y és Z ─ közül biztosan lesz, aki tovább alhat, azzal, ha mond közülük, akit nem keltenek 5-kor, még nem szegi meg a szabályt. A foglár beleegyezik; azt mondja, Y.nem rakodik holnap.

X. úr

elszomorodik: eddig 2/3 volt az esélye, hogy alhasson, most már csak 1/2. Igaza van-e?

D/5.) Géza és Henrik "kockáznak": ha ugyanannyit dobnak, akkor G. fizet H.-nak annyi forintot, amennyi a dobott pontszám négyzete

(ha mindketten 3-ast dobnak, akkor 9-et pl.); míg, ha a két pontszám

különbözik, akkor H. fizeti G.-nek a két pontszám különbségét (akár H. dob 1-et és G. 6-ot, akár fordítva, mindkét esetben H. fizet, éspedig 5 Ft-ot). Jelölje A azt az eseményt, hogy az adott fordulóban G. fizet; B

D.: ESEMÉNYEK FÜGGETLENSÉGE

azt az eseményt, hogy a két pontszám összege a 4, 7, 10 számok közül való; C pedig azt, hogy az összeg a 3, 7, 9 számok közül kerül ki. Független-e a.) A és B ?

D/1.) Két szabályos kockával dobunk. a.) A={az első kockával 1-et dobtunk};

B={a két pontszám összege=10};

b.) A és C ?

c.) Mekkora az esélye annak, hogy éppen Géza nyer, ha tudjuk, hogy a két pontszám összege=4 ?

független események-e A és B? b.) A={elsővel 1};

B={összeg≥7};

független-e A és B?

c.) A={elsővel≤3};

B={összeg≥9};

független-e A és B?

D/6.) Egy érmével egymás után 3-szor dobunk. Jelölje A azt az eseményt, hogy volt a dobások között fej

d.) A={elsővel≤3};

B={összeg≥8};

független-e A és B?

is, írás is; B azt, hogy 1-nél több fejet dobtunk. Független-e A és B ?

e.) A={elsővel 5};

B={összeg=7};

független-e A és B?

f.) A={összeg=7};

B={dobtunk 5-öst};

független-e A és B?

D/7.) Két - egy kék, egy zöld - kockával dobunk; jelölje A azt az eseményt, hogy a két pontszám összege

g.) A={elsővel 3};

B={összeg≤6};

független-e A és B?

páros; B azt, hogy a kékkel 2-est dobtunk; C azt, hogy dobtunk 2-est. Független-e

h.) A={elsővel 5};

B={5≤összeg≤9};

független-e A és B?

a.)

i.) A={elsővel 4};

B={5≤összeg≤9};

független-e A és B?

A és B ?

b.)

A és C ?

D/8.) 25 vizsgatétel közül 22 a "jó", 3 a "rossz". Két diák - X és Y - egyszerre jön be, majd egymás után D/2.) Urnában 1-től 10-ig számozott kártyák; visszatevés nélkül egymás után kihúzzuk őket. Jelölje A azt

kihúznak (és kidolgozásra az asztalukhoz visznek) egyet-egyet. (Hogy melyikük húz előbb, azt mondjuk

az eseményt, hogy hetedikre éppen a 7-est húzzuk; B azt, hogy ötödikre éppen az 5-öst.

pénzfeldobással döntik el.) Jelölje

Független-e A és B?

A azt az eseményt, hogy X húz elsőként; B azt, hogy X jót húz;

D/3.) Két kockával dobunk; jel. A azt az eseményt, hogy az első pontszám páros; B azt, hogy a második

C azt, hogy Y jót húz.

kockával dobott pontszám páros; C pedig azt, hogy az összeg páratlan. Igaz-e, hogy:

a.) független-e A és B ?

(a) P(AB)=P(A)P(B);

c.) hogyan változik az a.) kérdésre adandó válasz, ha másként sorsolják ki az elsőséget (mondjuk olyan

(c) P(BC)=P(B)P(C);

(b) P(BC)=P(B)P(C); (d) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) ?

b.) független-e B és C ?

módon, mely p (0≤p≤1) valószínűséggel X-et hozza ki első-húzóként, 1-p valószínűséggel Y-t)?

és: (f) fennáll-e e három esemény között az általánosított függetlenségtípusok (teljes, többszörös, feltételes)

E.: TOVÁBBI FELADATOK

valamelyike? Ha igen ─ melyik és miért? (Ezekről az őszi szünet után lesz szó. ) E/1.) Egy zacskóból, amelyben 3 piros, 2 fehér golyó van, Aladár kivesz hármat; majd, ha több piros van D/4.) Két szabályos kockával dobunk; jelölje A(i) azt az eseményt, hogy az első kockával dobott

a kezében, akkor egy pirosat, ha fehér van több nála, egy fehéret visszatesz. Ezután Béla húz egyet a

pontszám osztható i-vel, B(i) pedig azt, hogy a két pontszám összege osztható vele. ( Pl. A(3)={az első

most bent lévő három közül, s ennek a színéből próbálja kitalálni, hány fehéret húzott Aladár.

kockával 3-at vagy 6-ot dobtunk}, B(2)= {a dobott pontszámok összege 2, 4, vagy 6})

I.) Mi annak a - feltételes - valószínűsége, hogy Béla fehéret húz, ha Aladár

a.) független események-e A(2) és B(2) ? b.) független események-e A(4) és B(4) ?

a.) 0 fehéret

b.) 1 fehéret

c.) 2 fehéret

II.) Mit érdemes tippelnie Bélának, ha fehéret húz?

húzott?

(matematika I. év, napp.szoc.) VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS: feltételes valószínűség, Bayes-tétel, események függetlensége ;

5. oldal (4-ből)

2005. október

És ─ a fentiek pontosítása: ─

d) Annak, hogy A és B közül legalább az egyik bekövetkezik, 1/2 + 1/3 = 5/6 a valószínűsége.

mi annak a ─ feltételes ─ valószínűsége, hogy Aladár

e) Ha A és B függetlenek, akkor annak, hogy legalább az egyikük bekövetkezik, 1/2 + 1/3 = 5/6 a

a.) 0

b.) 1

c.) 2 fehéret húzott,

valószínűsége.

ha Béla fehéret húz?

f) Ha A és B egymást kizárják, akkor annak, hogy legalább az egyikük bekövetkezik, 1/2 + 1/3 = 5/6 a valószínűsége.

E/2.) Egy szóbeli vizsga huszonöt vizsgatétele közül három a "jó". Cecil és Demeter egymás után érkeznek, egy-egy tételt húznak; a kérdést távozásig természetesen maguknál tartják. Mi a

E/8.) Az A eseménynek 1/3 a valószínűsége; a B eseménynek 1/10. Mind a két alábbi állításról döntse el,

valószínűsége, hogy

igaz vagy hamis-e; indokoljon.

a.) Cecilnek

b.) Demeternek jó tétel jut?

c.) És hogy mindkettőjüknek?

a.) ha A és B független, akkor kölcsönösen kizárják egymást. b.) ha A és B kölcsönösen kizárják egymást, nem lehetnek függetlenek.

E/3.) Egy urnából, melyben a játék kezdetekor M piros és N-M fehér golyó volt, Elemér és Ferenc felváltva húznak, visszatevés nélkül, egyet-egyet. Az nyer, aki előbb húz fehéret. Mekkora esélye van a nyerésre a kezdő játékosnak, ha a.) N=3 , M=1 ;

b.) N=4 , M=1 ;

c.) N=4 , M=3 ?

E/4.) Szabályos pénzérmét dobjunk fel ezerszer egymás után. a.) mi annak a valószínűsége, hogy mind az ezerszer fej jön ki? b.) mi az FIFI... sorozat esélye (tehát hogy elsőre fejet dobunk, s utána felváltva írást és fejet) ? c.) mi az esélye annak, hogy minden a "lehető legszabályosabban" történik, mármint abban az értelemben, hogy az ezer dobás során soha nem lesz 1-nél nagyobb különbség az addig dobott fejek és írások száma között? (azaz minden páros sorszámú dobás éppen "kiegyenlíti" az őt megelőző páratlan sorszámút). d.) ha az első 999 dobás fej volt, akkor mi annak a valószínűsége, hogy az 1000-edik írás lesz? E/5.) Szabályos kockával háromszor dobunk. Mi a valószínűsége, hogy dobunk hatost? a)

ugyanez, 6 dobásra

b) ugyanez, 12 dobásra.

E/6.) Igaz / hamis? ─ indokoljon: a) ha (szabályos) kockával háromszor dobunk, 1/6+1/6+1/6=1/2 az esélye, hogy lesz közte egyes; b) ha (szabályos) érmével kétszer dobunk, 100% az esélye, hogy lesz a dobások között fej. E/7.) Az A esemény valószínűsége 1/2. A B esemény valószínűsége 1/3. Melyik igaz, melyik hamis a következő állítások közül: a) Annak, hogy mind A, mind B bekövetkezzék, 1/2 × 1/3=1/6 a valószínűsége. b) Ha A és B függetlenek, akkor annak, hogy mindkettő bekövetkezzék, 1/2 × 1/3 az esélye. c) Ha A és B egymást kizárják, akkor annak, hogy mindkettő bekövetkezzék, 1/2 × 1/3 az esélye.