MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Dr. Julan HERNADI
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Unmuh Ponorogo PENDAHULUAN MODEL KABEL MENGGANTUNG
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
DEFINISI MSB Persamaan diferensial (PD) dikatakan berdimensi 1 jika domainnya berupa himpunan bagian pada R1 . Domain adalah himpunan di mana PD terde nisi. Biasanya domain berupa himpunan (interval) terbuka (a, b), a dan b disebut titik batas. Masalah syarat batas (MSB) dimensi 1 adalah sebuah persamaan diferensial dengan tambahan syarat penyelesaian di kedua ujung interval/domainnya. Contoh:
du d 2u + k (t ) + p (t )u = f (t ), t ∈ (a, b ) dt 2 dt u (a) = α, u (b) = β. Persamaan dasar (underlying): PD linear takhomogen orde 2. Domain: (a, b) Unsur yang diberikan: fungsi k (t ), p (t ) dan f (t ), konstanta α dan β . Syarat batas: u (a) = α, u (b) = β Penyelesaian adalah fungsi u = u (x ) yang memenuhi (1) dan (2). Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
(1) (2)
JENIS-JENIS MSB Berdasarkan jenis persamaan yang mendasari PD biasa dan PD Parsial domain dimensi 2 dan dimensi lebih tinggi Berdasarkan order derivatif tingkat dua dan tingkat tinggi Khusus tingkat satu ( rst order) hanya muncul masalah nilai awal (MNA) Jenis syarat batas syarat batas Dirichlet: spesi kasi nilai penyelesaian pada batas domain, e.g. u (a) = α, u (b) = β . syarat batas Neumann: spesi kasi nilai derivatif pada batas domain, e.g. u 0 (a) = α, u 0 (b) = β . syarat batas Robin (campuran): spesi kasi nilai penyelesaian dan derivatifnya pada batas domain, e.g. u (a) = α, u 0 (b) = β . Bila domain pada ruang berdimensi 2, misal Ω ⊂ R2 maka persamaannya berupa PD parsial dan batasnya berupa kurva lengkung Γ := ∂Ω. Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Contoh Domain MSB dimensi 2
: batas domain
X2
X2
1 2
0
: domain
0
3
X1
X1
Contoh MSB yang bersuaian: Persamaan konduksi panas keadaan steady ∂2u ∂2u + 2 ∂x ∂y 2 u |Γ
=
f (x , y ), (x , y ) ∈ Ω
=
0
Notasi u |Γ := u (x , y ) = 0 pada (x , y ) ∈ Γ.
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Masalah Nilai Awal Syarat batas (MNASB) Bila state u tidak hanya bergantung pada variabel lokasi (spasial), tetapi juga waktu (time) yaitu u = u (x , t ), x ∈ Ω dan t ∈ [0, T ] maka diperoleh masalah nilai awal dan syarat batas. Contoh: Persamaan gelombang dimensi dua ∂2u ∂2u + 2 ∂x ∂y 2 u (x , y , t )
1 ∂2u
, (x , y ) ∈ Ω, t > 0 c 2 ∂t2 = 0, (x , y ) ∈ ∂Ω, t > 0 u (x , y , 0) = f (x , y ), (x , y ) ∈ Ω
∂ u (x , y , 0) ∂t
=
=
g (x , y ), (x , y ) ∈ Ω
(3) (4) (5)
Relasi (3) disebut syarat batas krn ia mensyaratkan nilai solusi pada batas domain. Relasi (4) dan (5) adalah syarat awal, yaitu kondisi solusi ketika t = 0 di mana f dan g diberikan dimuka. MNASB dimensi dua atau lebih sangat sulit ditangani. Kita hanya membatasi MSB dimensi 1 khususnya pada aspek pemodelannya.
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Pemodelan Menggantung Kabel Permasalahan: menentukan bentuk (shape) kabel yang diikat di kedua tiang pada ketinggian tertentu (umumnya berbeda) dan membawa beban yang terdistribusi sepanjang kabel. Contoh: Kabel listrik tegangan tinggi, jembatan gantung. tiang 2
Y tiang 1
kabel h1
y = u(x) ketinggian 1
h0
x
0 Figure:
x+∆x
a
ketinggian 2
X
Model Real Kabel Digantung
Asumsi: Gaya yang bekerja pada kabel berupa tegangan dan arahnya pada setiap titik adalah mengikuti arah garis singgung di titik tsb.
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Pemodelan (lanjutan) Misalkan u (x ) posisi garis tengah kabel terhadap sumbu X, diukur ke atas, yaitu tinggi kabel terhadap standar permukaan. Perhatikan segmen [x , x + ∆x ]. Hukum Newton kedua, jumlah (total) gaya pada komponen horizontal pada segmen tersebut adalah 0, begitu juga komponen vertikalnya.
Fy
F β
Gx
Fx
α
G
f(x)∆x x
x+∆x
Figure: Modeling
Horizontal di titik x + 4x adalah Fx := F cos β , di titik x adalah Gx = −G cos α di mana F tegangan arah garis singgung. Tanda negatif karena α berada pada kuadran III. Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Misalkan α := φ(x ) sudut yang dibentuk oleh tensi thd sb horizontal di titik x dan β := φ(x + ∆x ) utk hal yang sama tetapi di titik x + ∆x maka pada komponen horizontal berlaku
T (x + ∆x ) cos (φ(x + ∆x )) − T (x ) cos (φ(x )) = 0
(6)
di mana T (x + ∆x ) := F dan T (x ) := G . Di sini f (x ) itensitas beban terdistribusi shg f (x )∆x beban yang diberikan oleh kabel pada segmen kecil [x , ∆x ]. Karena itu kuantitas ini terakumulasi pada komponen gaya arah vertikal. Dengan argumen yang sama, yaitu menggunakan aturan perbandingan trigonometri diperoleh gaya arah vertikal sbb:
T (x + ∆x ) sin (φ(x + ∆x )) − T (x ) sin (φ(x )) − f (x )∆x = 0
(7)
Dari (6), diperoleh komponen horizontal di kedua titik ujung sama, yaitu Fx = Gx := T maka diperoleh
T (x + ∆ x ) =
T
cos(φ(x + ∆x ))
, T (x ) =
T
cos(φ(x ))
.
Substitusi hasil ini ke (7) diperoleh Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
T
cos(φ(x + ∆x )) yaitu
sin (φ(x + ∆x )) −
T
cos(φ(x ))
sin (φ(x )) − f (x )4x = 0
T (tan(φ(x + ∆x ) − tan(φ(x ))) − f (x )∆x = 0. Karena tan (φ(x )) :=
du dx (x )
maka diperoleh
T u 0 (x + ∆x ) − u 0 (x = f (x )∆x .
Kedua ruas dibagi dengan ∆x kemudian diambil limit untuk ∆x → 0 maka diperoleh
d 2u = f (x ), 0 < x < a. dx 2
(8)
u (0) = h0 , dan h(a) = h1 .
(9)
T Syarat batas
Persamaan (8) dengan syarat (9) berupa MSB untuk model gantungan kabel.
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Kasus berdasarkan bentuk fungsi beban
f
(x )
f (x )∆x := w ∆∆xs ∆x , yakni kabel menggantung berdasarkan berat w per satuan panjang s di mana s panjang busur (lengkungan) kabel sehingga ∆s lim = ∆ x →0 ∆ x
s
du 1+ dx
2 .
Dengan asumsi ini persamaan diferensial (8) menjadi
d 2u w = dx 2 T
s
1+
du dx
2
, 0 < x < a,
(10)
u (0) = h0 , dan h(a) = h1 .
(11) f (x )∆x = w ∆x , yakni kabel menopang beban yang terdistribusi secara seragam. Keadaan ini cocok pada kabel unruk suspensi sebuah jembatan. Jadi MSB yang bersesuaian adalah
d 2u w = , 0 < x < a. dx 2 T
(12)
u (0) = h0 , dan h(a) = h1 .
(13)
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
Bentuk Umum Penyelesaian Persamaan diferensial (12) dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan karakteristiknya dan prinsip superposisi. Penyelesaian umumnya adalah
u (x ) = w x 2 + c1 x + c2 , 2T
c1 dan c2 konstanta sebarang. Substitusi syarat batas (13) maka c1 dan c2 dapat ditemukan sehingga diperoleh penyelesaian di mana khusus
u (x ) = w (x 2 − ax ) + h1 − h0 x + h0 . 2T a
Coba simulasikan penyelesaian ini dengan menetapkan konstanta
(14)
w = 3 satuan berat per sat panjang, T = 5 satuan a, h0 dan h1 . Bagaimana pola
gaya. Mainkan parameter
lengkungan kabel yang digantung tersebut.
Dr. Julan HERNADI
MASALAH SYARAT BATAS (MSB)
