MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON 2D. La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad R 1

La Ode Muhammd Umar Reky Rahmad R//Paradigma, Vol. 15 No .2, Oktober 2011, hlm. 133-147

133

MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON 2D La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad R1 1)

Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Haluoleo Kendari 93231 Email: [email protected]

ABSTRAK Termotivasi dari sulitnya menyelesaikan masalah syarat batas persamaan Poisson secara numerik, maka pada tulisan ini diberikan beberapa skema untuk menyelesaiakan persamaan differensial Poisson dua dimensi dengan syarat batas Neumann, Robin dan Dirichlet pada grid kartesius dengan domain berbentuk segiempat. Skema-skema tersebut dibangun ke dalam skema persamaan Poisson berdasarkan metode beda hingga dan metode Successive Over Relaxation (SOR). Cara ini ternyata berhasil diterapkan pada sebuah contoh, selnjutnya dikomentari pula masalah kekonvergenan dan akurasi hasil numerik tersebut. Kata-kata Kunci : Syarat Batas, Persamaan Differensial Poisson, Metode Beda Hingga, Metode Sucessive Over Relaxatin (SOR)

ABSTRACT Motivated by the difficulty in solving numerically the boundary condition problems of Poisson differential equation, we present some schemes for solving a two dimensional Poisson differential equation with Neumann, Robin and Dirichlet boundary conditions on a Cartesian grid with rectagular domain boundaries. These schemes were developed in the poisson equation schemes based on the finite difference method and Succesive Over Relaxation (SOR) method. The proposed method was successfully implemented on an example, for which we present and discuss the convergence and accuracy of the numerical result. Keywords: Boundary Condition , Poisson differential equation, Finite Difference Method, Succesive Over Relaxation (SOR)

Diterima: 5 Juni 2011 Disetujui untuk dipublikasikan: 10 Agustus 2011

Menyelesaikan Masalah Syarat Batas Persamaan Differensial Poisson 2D

134

1. PENDAHULUAN Persamaan differensial Poisson mempunyai aplikasi yang luas pada bidang rekayasa. Persamaan differensial ini dapat dijumpai pada masalah elektrostatik, dinamika fluida,pegas, konduksi panas, masalah air tanah dan lain-lain [1]. Pendekatan persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D menggunakan metode beda hingga menghasilkan sistem persamaan linier yang berukuran besar tetapi mempunyai struktur teratur dan elemennya kebanyakan nol, sehingga penyelesaian sistim persamaan linier tersebut sering dipilih metode iterasi [1]. Metode iterasi mempunyai kekurangan yaitu proses iterasi dapat tidak konvergen, metode iterasi menghasilkan proses iterasi yang konvergen jika dan hanya jika nilai eigen yang mempunyai nilai mutlak terbesar (spectral radius) dari matriks itersinya bernilai kurang dari 1 [2]. Menyelesaiakan persamaan differensial menggunakan metode Metode Beda Hingga (Finite Difference Methods) umumnya menemui kesulitan pada cara memperoleh skema numerik pada batas-batas domain sesuai syarat batas yang diberikan. Oleh karena itu penting untuk mengkaji bagaimana menyelesaikan masalah syarat batas persamaan differensial Poisson 2D dengan berbagai tipe syarat batasnya.

2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON DAN TIPE SYARAT BATAS Bentuk persamaan differensial (PD) Poisson 2D adalah

∂ 2u( x, y) ∂ 2 u ( x, y ) + = f(x,y). ∂x 2 ∂y 2 Bentuk umum syarat batas (tipe Robin) adalah Pu+Q

∂u =G ∂n

dengan n adalah vektor normal satuan (vektor tegak lurus pada kurva batas), P dan Q adalah bilangan konstan yang tidak bernilai nol secara serentak. Syarat batas Dirichlet diperoleh jika Q=0, sedangkan jika P=0 diperoleh syarat batas bertipe Neumann. [3]


135

3. SKEMA BEDA HINGGA PADA TITIK DALAM DOMAIN (TITIK INTERIOR) Diberikan persamaan differensial Poisson 2D

∂ 2 u ( x, y ) ∂ 2 u ( x, y ) + = f ( x, y ) ∂x 2 ∂y 2

(1)

dengan domain Ω = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ p , 0 ≤ y ≤ q }. Batas-batas domain dapat bertipe Dirichlet, Neumann, atau Robin. Penyelesaian persamaan (1) dengan metode beda hingga, dimulai dengan mempartisi domain seperti pada Gambar 1. [4]

Gambar 1. Domain dan partisinya Persamaan (1) selanjutnya ditulis menjadi

(

∂ 2u ∂ 2u ) + ( ) i, j = f i, j . i, j ∂x 2 ∂y 2

Jika digunakan rumus pendekatan

ui−1, j − 2ui, j + ui+1, j ∂ 2u ( 2 ) i, j ≈ ∂x h2

(2)

136


dan

(

u i , j −1 − 2u i , j + u i , j +1 ∂ 2u ) ≈ 2 i, j ∂y k2

maka persamaan (2) dapat didekati dengan skema

ui −1, j − 2ui, j + ui+1, j h

2

+

ui, j −1 − 2ui, j + ui, j +1 k2

= fi, j

atau

u i −1, j + u i +1, j ui, j =

h

2

+

u i. j −1 + u i , j +1

k2 1   1 2 2 + 2  k  h

i=2,3,...,I-1;

− f i, j (3)

j=2,3,...,J-1.

4. SKEMA BEDA HINGGA PADA BATAS DOMAIN Persamaan (3) merupakan skema untuk mencari u pada titik-titik grid yang terletak pada bagian dalam domain, jadi berindeks i=2,3,...,I-1 j=2,3,...,J-1. Adapun untuk titiktitik grid yang terletak pada batas domain dalam hal ini

u i , j dengan salah satu atau kedua

indeksnya adalah i=1, i=I, j=1, j=1, j=J, dibutuhkan modifikasi persamaan (3) sesuai syarat batas yang diberikan (Robin atau Neumann). Pada batas bertipe Dirichlet, nilai u

telah

diketahui, sehingga tidak dibutuhkan skema numerik untuk mencari nilai u pada batas tersebut. [5] Pada sudut batas yang dibentuk oleh dua batas bertipe Dirichlet, nilai u diasumsikan sama dengan nilai u rata-ratanya. Jika sudut batas dibentuk oleh batas bertipe Dirichlet dan batas lainnya bertipe Robin atau Neumann maka nilai u pada sudut batas tersebut diasumsikan mengikuti nilai u dari batas Dirichlet. Nilai-nilai u pada batas bertipe Robin atau Neumann belum diketahui, oleh karena itu dibutuhkan skema numerik untuk mencari nilai u pada batas-batas tersebut.

137


Diketahui bentuk umum syarat batas merupakan tipe Robin, yaitu P u(x,y) + Q

∂u ( x , y ) = G ∂n

dengan n adalah vektor arah normal satuan (vektor satuan yang tegak lurus pada kurva batas).

n

Y

n

∂u ∂u = ∂n ∂y

Domain

n ∂u ∂u = ∂n ∂x

∂u ∂u =− ∂n ∂x

n

∂u ∂u =− ∂n ∂y

X

Gambar 2 Vektor normal satuan Jika suatu batas tidak bertipe Dirichlet ( Q ≠ 0) maka bentuk umum syarat batas (Tipe Robin) tersebut dapat dinyatakan sebagai ∂u ( x , y ) = α u ( x, y ) + β ∂n

(4)

dengan α = − P / Q , β = G / Q . Jika α = 0 , maka persamaan (4) menjadi syarat batas bertipe Neumann. Skema numerik untuk mencari nilai u pada suatu batas bertipe Robin atau Neumann pada prinsipnya adalah modifikasi persamaan (3) sesuai syarat batasnya

138


sehingga skema tersebut tidak menggunakan titik-titik diluar domain. Hal ini akan dicontohkan pada bagian berikut. Misalkan domain pada Gambar 3 dengan batas batas kiri domain bertipe Robin, ∂u ( x , y ) = α 3 u ( x , y ) + β 3 , x=0, 0≤y≤ q ∂x

(5)

dengan α3, β3 bilangan konstan.

∂u = α 2u + β 2 ∂y

Y q

∂u = α 3u + β 3 ∂x

∂u = α 4u + β 4 ∂x

X

∂u = α 1u + β 1 ∂y

0

P

Gambar 3. Domain dengan syarat batas Robin atau Neumann

Persamaan (5) dapat ditulis menjadi (

∂u ) i, j = α 3u i, j + β 3 , ∂x


(

ui+1, j − ui −1, j ∂u ) i, j ≈ ∂x 2h

maka persamaan (6) dapat didekati dengan skema

i = 1,

j = 1,2 ,..., J .

(6)


ui +1, j − ui −1, j 2h

= α 3ui, j + β 3 ; i=1; j=1,2,...,J.

139

(7)

Jika i=1 digunakan pada skema PD Poisson (3) dan persamaan (7) maka akan dijumpai

u0, j dengan j=1,2,...,J. Sedangkan diketahui bahwa indeks terkecil untuk i adalah 1, ini berarti

u0, j adalah titik-titik fiktif . Oleh karena itu u0,j tidak dapat digunakan secara

langsung. Persamaan (3) untuk i=1, diperoleh

u 0, j + u 2, j h2

u1, j =

+

u1. j −1 + u1, j +1

k2 1   1 2 2 + 2  k  h

− f 1, j (8)

Persamaan (7) untuk i=1, diperoleh

u 2, j − u 0, j 2h

= α 3u1, j + β3

atau

u0, j = u2, j − 2hβ3 − 2hα3u1, j .

(9)

Persamaan (9) disubstitusi pada persamaan (8), diperoleh

2u 2 , j − 2 h β 3 u1, j =

+

u1. j −1 + u1, j +1

k2 1  1  1 2 2 + 2  + 2 2 h α 3 k  h h

h

2

− f 1, j .

(10)


Persamaan (10) merupakan skema untuk mencari untuk mencari

140

u1, j , j=2,3,..., J-1. Sedangkan skema

u1,1 dan u1, J belum dapat ditentukan, karena melibatkan syarat batas lain

yang membentuk sudut-sudut tersebut. Misalkan domain pada Gambar 3, batas bagian atas domain juga

bertipe

Robin,yaitu

∂u( x, y) = α 2u( x, y) + β 2 , 0 ≤ x ≤ p , y = q ∂y

(11)

dengan α 2 , β 2 bilangan konstan. Persamaan (11) dapat ditulis menjadi

(

∂u ) i, j = α 2ui, j + β 2 , i=1,2,...,I, j=J. ∂y

(12)


(

ui , j +1 − ui , j −1 ∂u ) i, j ≈ ∂y 2k

maka persamaan (12) dapat didekati dengan

ui, j +1 − ui, j−1 2k

= α2ui, j + β2 ; i=1,2,...,I; j=J

atau

ui,J+1 = ui,J−1 + 2kβ2 + α2 , i=1,2,...,I .

(13)

Skema PD Poisson (3) untuk j = J adalah

u i −1,J + u i +1,J u i ,J =

h2

+

u i.J −1 + u i , J +1

k2 1   1 2 2 + 2  k  h

− f i ,J (14)

141


Diketahui indeks terbesar untuk j adalah J. Ha ini berarti

ui,J+1, i=1,2,3,...,I adalah titik-

titik yang berada diluar domain (titik fiktif). Untuk menghindari penggunaan titik-titikfiktif tersebut maka persamaan (13) disubstitusi ke persamaan (14) diperoleh u i −1 , J − u i + 1 , J

2 u i . J −1 + 2 k β 2 − f i ,J h k2 1  1  1 2 2 + 2  − 2 2 k α 2 h k k   2

u i ,J =

+

(15)

i=2,3,...,I-1.

Skema untuk

u1, J dan u I, J ( u pada titik sudut domain) masih memerlukan

informasi tambahan dari syarat batas sisi yang lain yang membentuk sudut-sudut tersebut. Diketahui domain pada Gambar 3 bahwa batas kiri dan batas kanan domain bertipe Robin, maka skema u pada sudut kiri atas ( u1, J ) diperoleh dengan mensubstitusi persamaan (9) dan (13) ke persamaan (3), diperoleh

2u 2 , J − 2 h β 3

2u i .J −1 + 2 kβ 2 − f 1, J 2 h k . = 1  1 1  1 2 2 + 2  + 2 2 h α 3 − 2 2 k α 2 k  h k h 2

u1, J

+

(16)

Khusus untuk sudut batas yang dibentuk oleh batas-batas Dirichlet, nilai u pada sudut diasumsikan sama dengan nilai u rata-ratanya. Jika sudut batas dibentuk oleh batas bertipe Dirichlet dan batas yang lainnya bertipe Robin atau Neumann maka nilai u pada sudut tersebut diasumsikan mengikuti nilai u dari batas bertipe Dirichlet. [4]. Setelah semua skema beda hingga untuk u tersedia, maka untuk u yang belum diketahui nilainya diberikan sebarang nilai awal misalkan u ( 0 ) , selanjutnya dilakukan iterasi menggunakan skema SOR, yaitu

) (ui, j ) v = ω.ui, j + (1 − ω).(ui, j )v−1

(17)


dengan v nomor iterasi (v = 1,2,3,...),

142

) u i , j adalah ui,j dari skema titik grid pada bagian

dalam domain (persamaan (3)) dan skema batas Robin atau Neumann. Parameter SOR yaitu ω dipilih 0 < ω < 2 .[5]

5. SIMULASI KOMPUTER Diberikan persamaan differensial

∂ 2 u ( x, y ) ∂ 2 u ( x , y ) + =0 ∂x 2 ∂y 2 dengan domain Ω = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} dan syarat batas u(x,0)= 1,

 ∂u    = 2,  ∂y  x ,1

 ∂u    = 3 u + 1,  ∂x  0, y  ∂u    = −4 u + 1.  ∂x 1, y

Gambar 4. Nilai-nilai u pada domain


143

Solusi numerik berikut ini diperoleh dengan melakukan iterasi menggunakan skema beda hingga untuk titik interior (persamaan (3)) dan skema beda hingga untuk batas domain menggunakan metode iterasi SOR (Succesive Over Relaxation). Domain dipartisi sebanyak 32 pilahan searah sumbu X (I=33) dan 32 pilahan searah sumbu Y (J=33). Nilainilai u yang akan dicari sesuai letaknya pada domaindapat dilihat pada Gambar 4.

Gambar 5. Solusi numerik.

Gambar 6. Realitas solusi numerik sesuai letaknya pada domain.


144

Realitas solusi numerik tersebut dapat dilihat pada Gambar 6 digunakan untuk memperlihatkan bahwa solusi numerik yang diperoleh ternyata sesuai dengan skema numerik yang digunakan . Solusi numerik pada Gambar 5 dan Gambar 6 diperoleh dengan mempartisi domain sebanyak 32 pilahan searah sumbu X (jadi I=33, lebar grid h=lebar domain/(I-1) = 1/32) dan 32 pilahan searah sumbu Y (jadi J=33, tinggi grid k=tinggi domain/(I-1) = 1/32). Pada kasus ini fungsi f=0, ukuran grid h=k, sehingga skema titik interior pada persamaan (3) menjadi

u i, j =

u i , j −1 + u i −1, j + u i +1, j + u i , j +1

(17)

4

i=2,3,...I-1; j=2,3,...,J-1.

Terlihat pada Gambar 6 bahwa nilai-nilai u pada bagian dalam domain (titik interior) mengikuti skema

persamaan (17), sedangkan nilai-nilai u pada masing-masing batas

mengikuti syarat batas yang diberikan. Seberapa besar akurasi dari hasil numerik tersebut dapat dilihat melalui grafik tentang error pada gambar berikut.

X

Y Gambar 7. Grafik error numerik.

145


Besarnya error terlihat mendekati nol, nilai absolut error relatif terbesarnya adalah 9.2821 x 10-4 terjadi pada koordinat x=0.000, y=0.71875. Apabila nilai absolut error relatif terbesar dari tiap-tiap iterasi diplot sesuai nomor iterasinya maka diperoleh grafik yang memperlihatkan bahwa error fenomena bahwa error yang semakin kecil seiring dengan meningkatnya jumlah iterasi.

Terlihat pada

Gambar 8 bahwa nilai absolut error relatif terbesar dari tiap-tiap iterasi setelah sekitar 10 iterasi, mulai mendekati nol. Error semakin kecil jika jumlah iterasi diperbanyak, hal ini mengindikasikan bahwa proses iterasi berhasil konvergen.

Gambar 8. Error makin kecil seiring meningkatnya jumlah iterasi

6. KESIMPULAN Kesimpulan dari cara menyelesaikan masalah syarat batas persamaan differensial Poisson 2D pada tulisan adalah sebagai berikut


•

146

Jika batas domain bertipe Dirichlet, maka tidak diperlukan skema beda hingga pada batas tersebut karena nilainya telah diketahui.

•

Pada batas domain bertipe Neumann atau Robin diperlukan skema beda hingga yang merupakan modifikasi skema beda hingga titik interior (titik bagian dalam domain) sesuai letak batas tersebut sedemikian sehingga skema beda hingga untuk batas tersebut tidak melibatkan titik-titik diluar domain.

•

Pada titik batas domain yang dibentuk oleh sisi bertipe Dirichlet dan sisi lainnya bukan bertipe Dirichlet maka nilai pada titik tersebut mengikuti titik Dirichlet.

•

Pada titik batas domain yang dibentuk oleh sisi bertipe Dirichlet dan sisi lainnya juga bertipe Dirichlet maka nilai pada titik tersebut mengikuti rata-ratanya.

•

Pada titik batas domain yang dibentuk oleh sisi bertipe selain Neumann atau Robin dan sisi lainnya juga bertipe Neumann atau Robin maka nilai pada titik tersebut mengikuti skema numerik yang merupakan perpaduan dari kedua skema numerik syarat batas tersebut.

DAFTAR PUSTAKA [1]

O’brien,J,J.,1986 Advanced Physical Oceanographic Numerical Modelling, Reidel publishing company, Florida.

[2]

Nakamura,S,1991, Applied Numerical Methods with Software, PrenticeHall-inc, New York.

[3]

Bassaruddin, T., 1994, Metode Beda Hingga untuk Persamaan Differensial, Elex Media Komputindo, Jakarta.


[4]

Bailey,W., 2003, The SOR algorithm & its Application to Numerical Solution of Eliptic Partial Differential Equation, Dublin Institute of Technology, Ireland.

[5]

Constantinides,A, 1987,Applied Numerical Methods with Personal Computer, Graw-Hill,Mc-Inc, New York.

147

MENYELESAIKAN MASALAH SYARAT BATAS PERSAMAAN DIFFERENSIAL POISSON 2D. La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad R 1

Recommend Documents