JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
1
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG BERNORMA CONE BERNILAIHajar Grestika Murti, Erna Apriliani, Sunarsini Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail:
[email protected] Abstrak–Suatu norma cone pada ruang vektor merupakan suatu fungsi dari ke suatu ruang Banach . Dalam hal ini, disebut ruang bernorma cone atas . Lebih lanjut, ruang bernorma cone yang lengkap disebut dengan ruang Banach cone. Teorema titik tetap Banach merupakan pemetaan ruang metrik lengkap atas dirinya sendiri. Pada tahun 2007, Guang dan Xian telah membuktikan teorema-teorema yang dapat digunakan untuk mendapatkan titik tetap pada ruang metrik cone. Dalam Tugas Akhir ini dikaji suatu norma cone tertentu ruang bernorma cone bernilaidan didapatkan titik tetap pemetaan kontraktif dalam ruang bernorma cone tersebut. Kata Kunci—Ruang metrik cone, ruang bernorma cone, ruang Banach cone, pemetaan kontraktif, titik tetap. D
1. PENDAHULUAN
ALAM matematika, teorema titik tetap atau yang juga dikenal sebagai teorema pemetaan kontraktif merupakan hal yang penting dalam konsep ruang metrik. Teorema ini menunjukkan bahwa titik tetap dari pemetaan pada ruang metrik itu ada dan tunggal, serta memberikan metode konstruktif untuk menemukan titik-titik tetap. Teorema ini pertama kali dibuktikan oleh Stefan Banach pada tahun 1920 [4]. Pada tahun 2007 Guang dan Xian memperkenalkan konsep ruang metrik cone yang merupakan perluasan dari ruang metrik, dengan meneliti toerema titik tetap pada pemetaan kontraktif [1]. Guang dan Xian memanfaatkan kelengkapan ruang metrik cone untuk menemukan berbagai teorema titik tetap baru [1]. Selanjutnya Gordji, Ramezani, Khodaei, dan Baghani memperkenalkan ruang bernorma cone [3]. Perbedaan antara ruang bernorma dengan ruang bernorma cone terletak pada nilai dari fungsi norma atau norma cone. Jika norma pada merupakan fungsi dari ruang vektor ke himpunan bilangan real , maka norma cone pada merupakan fungsi dari ruang ruang vektor ke dengan adalah suatu ruang Banach sebarang. Dengan kata lain, ruang bernorma cone merupakan ruang bernorma dengan mengambil adalah himpunan bilangan real . Dalam jurnal tersebut juga diperkenalkan ruang Banach cone, yaitu ruang bernorma cone yang lengkap [3]. Penelitian untuk mendapatkan ruang bernorma cone tertentu ataupun mendapatkan titik tetap dari ruang metrik cone sudah banyak dilakukan, antara lain Darmawan, R. Dalam Tugas Akhirnya, Darmawan, R telah mendapatkan
- pada ruang suatu norma cone bernilai- , [2]. Namun penelitian untuk mendapatkan titik tetap dari suatu ruang bernorma cone belum banyak dilakukan. Oleh sebab itu, muncul gagasan untuk mendapatkan titik tetap dari ruang bernorma cone, yang dalam Tugas Akhir ini akan dianalisa titik tetap dari ruang bernorma cone bernilai . 2. RUANG BERNORNA CONE Norma cone merupakan suatu fungsi dari suatu ruang vektor ke suatu ruang Banach . Oleh karena itu dapat dikatakan ruang bernorma cone merupakan ruang bernorma dengan mengambil . 2.1 Himpunan dengan Sifat Cone Urutan parsial memegang peranan penting dalam mendapatkan sifat-sifat pada setiap ruang. Dalam ruang bernorma cone, pendefinisian urutan parsial berasal dari himpunan yang bersifat cone dalam ruang Banach. Definisi 2.1. [5] Misalkan ruang Banach, dan . Himpunan dikatakan cone jika dan hanya jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: * +, dan (C1) tertutup, . (C2) dan . (C3) dan . Contoh 2.2. [5] Diberikan himpunan dengan *( + ) | yaitu himpunan semua pasangan terurut bilangan real tak negatif. Himpunan adalah cone di dalam ruang Banach .
"
Selanjutnya, diberikan defnisi dari notasi " "; " ", dan " yang merupakan notasi urutan pada .
Definisi 2.3. [5] Misalkan ruang Banach, , dan cone. Untuk setiap didefnisikan " ", " ", dan " " sebagai berikut: (a) . (b) . ( ). (c) Jelas bahwa notasi " " dan " ", pasti dapat didefniskan pada sebarang himpunan cone, sebab dari , akan tetapi notasi " " tidak selalu terdefnisi pada sebarang
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 cone, hal ini dikarenakan ada sebagian himpunan ( ) dengan .
cone
Contoh 2.4. Himpunan semua titik interior dari adalah himpunan dengan *( + ) | Dengan kata lain adalah himpunan semua pasangan terurut bilangan real positif. Berikutnya, di bawah ini diberikan definisi dan contoh dari himpunan cone normal dengan konstanta normal . Definisi 2.5. [5] Misalkan ruang Banach, , dan cone. Himpunan dikatakan normal jika dan hanya jika terdapat sedemikian hingga dengan ‖ ‖. Konstanta berakibat ‖ ‖ terkecil yang memenuhi ketaksamaan tersebut disebut konstanta normal dari . Contoh 2.6. Himpunan bersifat cone dalam ruang Banach adalah normal dengan konstanta normal 1. 2.2 Ruang Bernorma Cone Ruang metrik cone merupakan konsep dasar dari ruang bernorma cone. Definisi 2.7. [5] Misalkan ruang Banach, , cone, dan . Suatu fungsi adalah metrik cone di jika dan hanya jika untuk setiap berlaku : (MC1) ( ) (MC2) ( ) ( ) (MC3) ( ) ( ) ( ) (MC4) ( ) Pasangan ( ) disebut ruang metrik cone. Contoh 2.8. Diberikan ruang vektor dengan himpunan cone ruang vektor ke ruang Banach berikut dengan
(
)
(|
|
|
, dan ruang Banach . Metrik cone dari didefinisikan sebagai
|) dimana
Definisi 2.9. [5] Suatu barisan ( ) dalam ruang metrik cone ( ) dikatakan konvergen ke jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat sedemikian ) hingga berakibat ( . Jika barisan ( ) konvergen ke , maka dinotasikan dengan atau untuk . Definisi 2.10. [5] Suatu barisan ( ) dalam ruang metrik cone ( ) disebut barisan Cauchy jika dan hanya jika untuk setiap , terdapat sedemikian ) hingga berakibat ( .
2 Definisi 2.11. [5] Ruang metrik cone ( ) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di konvergen di dalam . Defnisi 2.12. [3] Misalkan ruang vektor atas , ruang Banach real, , dan cone. Suatu fungsi ⫼ ⫼ adalah norma cone di jika dan hanya jika untuk setiap dan berlaku : (NC1) ⫼ ⫼ (NC2) ⫼ ⫼ (NC3) ⫼ ⫼ | | ⫼ ⫼ (NC4) ⫼ ⫼ ⫼ ⫼ ⫼ ⫼ Pasangan ( ⫼ ⫼ ) disebut ruang bernorma cone. Selanjutnya diberikan suatu metrik cone diperoleh dari norma cone ⫼ ⫼.
yang
Teorema 2.13. [3] Setiap norma cone ⫼ ⫼ pada ruang vektor mendefnisikan suatu metrik cone pada dengan ( ) ⫼ ⫼ . Oleh karena itu sifat barisan konvergen dan barisan Cauchy sama dengan sifat pada ruang metrik cone. Teorema 2.14. [3, 5] Misalkan ( ⫼ ⫼ ) ruang bernorma cone, dan cone normal dengan konstanta normal . Diberikan ( ) barisan di . Barisan ( ) konvergen ke suatu ⫼ jika dan hanya jika ⫼ . Teorema 2.15. [1] Misalkan ( ⫼ ⫼ ) ruang bernorma cone, dan cone normal dengan konstanta normal . Suatu barisan ( ) di adalah barisan Cauchy jika dan hanya jika ⫼ ⫼ . Selanjutnya di bawah ini diperkenalkan definisi ruang Banach cone. Definisi 2.16. [3] Ruang bernorma cone ( ⫼ ⫼ ) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di konvergen dalam . Jika ( ⫼ ⫼ ) ruang bernorma cone lengkap, maka ( ⫼ ⫼ ) disebut ruang Banach cone. ) 2.3 Ruang Bernorma Cone Bernilai- ( ‖| |‖ Pada bagian ini akan dikaji suatu fungsi norma cone tertentu dari ruang vektor real ke ruang Banach dengan himpunan cone normal yang ( ) memiliki konstanta normal dan . Norma cone dari ruang vektor ke ruang Banach didefinisikan sebagai ⫼⫼ dengan ⫼ ⫼ (| | | |) dimana Akan dibuktikan bahwa norma di atas adalah norma cone. Ambil sebarang , maka | | (NC1) Ambil | | , maka , sehingga didapatkan | | dan | | . Ini berarti
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 (
| | ) | |
. /
3 berakibat | didapatkan
sehingga
| | ( ) . / atau (| | | |) | | memenuhi ⫼ ⫼ . (NC2) ( ) ⫼ ⫼ , berarti (| | | |) sehingga didapatkan | | dan | | . Sedemikian hingga dan , maka didapatkan . ( ) Misalkan maka ⫼ ⫼ (| | | |) didapatkan (| | | |) (| | | |) sehingga didapatkan ⫼ ⫼ . (NC3) Ambil , maka | | ⫼ ⫼ | |(| | | |) sehingga didapatkan (| || | | || |) (| | | |) ⫼ ⫼. (NC4) ⫼ ⫼ ⫼ ⫼ (| | | |) (| | | |) | | | | | | sehingga didapatkan dan | | | | | |. Ini berarti ,| | | |- | | | || | dan , | | sehingga | | | | | | [( ) ( )] ( ) | | | | | | maka diperoleh | | | | | | ( ) ( ) ( ) | | | | | | sehigga ⫼ ⫼ ⫼ ⫼ ⫼ ⫼. ⫼ Jadi ⫼ (| | | |) dengan adalah ruang bernorma cone dari ruang vektor ke ruang Banach dengan ruang bernorma cone dinotasikan dengan ( ⫼⫼ ). Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ruang bernorma cone bernilai- merupakan ruang Banach cone. Jika diberikan ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone serta norma cone yang didefinisikan sebagai ⫼⫼ dengan ⫼ ⫼ (| | | |) dimana ) merupakan ruang bernorma cone. Ruang maka ( ⫼ ⫼ ) merupakan ruang Banach. bernorma cone ( ⫼ ⫼ ) Akan dibuktikan bahwa ruang bernorma cone ( ⫼ ⫼ merupakan ruang Banach. Diambil barisan ( ) dengan adalah barisan Cauchy di ruang bernorma cone ̅ ( ⫼⫼ ). Ini berarti . / sedemikian hingga berakibat (| | | |) ( ) | | maka berlaku | dan | . Ini berarti barisan ( ) dengan adalah barisan Cauchy di ). Sedangkan ruang ruang bernorma cone ( ⫼ ⫼ ) adalah lengkap, maka terdapat bernorma cone ( ⫼ ⫼ sedemikian hingga untuk , yaitu ( ) Karena barisan ( ) konvergen ke , maka untuk sebarang sedemikian hingga
| (
Karena
|
dan )
(
| |
| |
. Oleh karena itu . /
) |
̅ adalah sebarang, maka
. /
untuk
, sedangkan barisan ( ) dengan adalah barisan ). Akibatnya Cauchy di ruang bernorma cone ( ⫼ ⫼ ( ⫼⫼ ) merupakan ruang bernorma cone lengkap. Contoh 2.17. Diberikan ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone serta norma cone yang didefinisikan sebagai ⫼⫼ dengan ⫼ ⫼ (| | | |) dimana ) merupakan ruang bernorma cone. sehingga ( ⫼ ⫼ ) Barisan ( ) dalam ruang bernorma cone ( ⫼ ⫼ dengan , . /. Barisan ( ) konvergen ke . Pembahasan. Barisan ( ) . / . Jelas ( ) adalah barisan dalam . Akan dibuktikan barisan ( ) ̅ maka konvergen ke . Ambil sebarang . / dengan
adalah sebarang. Selanjutnya ambil suatu dan maka berakibat
dan
, sehingga |
|
|
|
|
|
|
|
dan dengan kata lain |. Hal ini berakibat
/
|
|.
/
|
(
Oleh karena itu ⫼
|.
/ ⫼
dan
|
)
|.
/
|
. /
. Jadi (
) konvergen ke .
Contoh 2.18. Diberikan ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone serta norma cone yang didefinisikan sebagai ⫼⫼ dengan ⫼ ⫼ (| | | |) dimana ) merupakan ruang bernorma cone. sehingga ( ⫼ ⫼ ) Barisan ( ) dalam ruang bernorma cone ( ⫼ ⫼ ( ) /. Barisan adalah barisan dengan , . Cauchy. Pembahasan. Barisan ( ) . / . Jelas ( ) adalah barisan dalam . Akan dibuktikan barisan ( ) adalah ̅ maka barisan Cauchy. Ambil sebarang . / adalah sebarang. Selanjutnya ambil suatu
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 dengan
dan
maka
dan
berakibat
serta
dan
,
sehingga |
|
|
|
|
|
|
|
dan dengan |.
kata
lain
|.
.
/|
. Hal ini berakibat
|.
/
/ (
|.
/
Oleh karena itu ⫼ Cauchy.
.
/ /|
.
/| ⫼
.
/|
dan
. /
)
. Jadi (
) adalah barisan
4
Artinya
kontraktif pada (
pada
didapatkan ) adalah ruang Definisi 3.1. (Kontraktif) [4] Diberikan ( ) jika metrik. Pemetaan disebut kontraktif pada ( terdapat bilangan real untuk setiap ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan Contoh 3.2. Diberikan dengan ( ). Metrik pada didefinisikan sebagai berikut ( ) √( ) ( ) , ) merupakan ruang Banach sehingga ( . Pemetaan ). dengan kontraktif pada ( Pembahasan. Ambil dan . Akan ). Sebelumnya, ditunjukkan bahwa kontraktif pada ( akan dibuktikan bahwa terdapat bilangan real untuk setiap ) ( ). sehingga memenuhi ( )
.
/
√. Karena ( ) √(
) (
) √( ( ), maka ) √(
/
.
/
( )
(
)
(
).
( ) dan Contoh 3.3. Diberikan dengan ( ). Metrik pada didefinisikan sebagai berikut ( ) √( ) ( ) ) merupakan ruang Banach sehingga ( . Pemetaan ). dengan tidak kontraktif pada ( Pembahasan. Ambil dan . Akan ). ditunjukkan bahwa tidak kontraktif pada ( Sebelumnya, akan dibuktikan bahwa terdapat bilangan real untuk setiap . ( ) . /
Karena ( ) √(
) (
Didapatkan berarti bahwa .
/
.
) √( ( ), maka ) √(
/
(
)
(
). Yang
tidak kontraktif pada (
) karena
(
)
) (
sehingga
)
Setelah mengetahui bentuk-bentuk kontraktif pada pemetaan , berikut ini teorema yang digunakan untuk mendapatkan titik tetap. Teorema 3.4. (Teorema Titik Tetap Banach) [4] Pandang ) dengan ( ) sebuah ruang metrik ( . Misalkan ( ) lengkap dan diberikan ), kontraktif pada ( maka mempunyai tepat satu titik tetap. ( ) dan Contoh 3.5. Diberikan dengan ( ). Metrik pada didefinisikan sebagai berikut ( ) √( ) ( ) ) merupakan ruang Banach sehingga ( . Pemetaan ) maka dengan kontraktif pada ( mempunyai titik tetap tunggal yaitu ̅ ( ). Pembahasan. Telah diketahui bahwa kontraktif pada ( ). Kemudian akan dibuktikan bahwa titik tetap dari pemetaan adalah ̅ ( ). Ambil sedemikian hingga dan
)
)
).
√.
3.1 Teorema Titik Tetap Banach Teorema titik tetap Banach merupakan pemetaan ruang metrik lengkap atas dirinya sendiri. Sedangkan titik tetap pada pemetaan dari himpunan atas dirinya sendiri adalah yang dipetakan atas dirinya sendiri, didefinisikan dengan
(
) sehingga (
,
3. TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF
Berdasarkan definisinya, ditentukan sebarang suatu barisan dan dari bentuk
(
Didapatkan
dengan . Didapatkan
,
(
), maka
adalah titik
tetap dari . Akan ditunjukkan bahwa titik tetap dari tunggal. Dari dan ̃ ̃ didapatkan ( ̃) ( ( ̃) ̃) Yang berarti bahwa ( ̃) ̅ karena ̃ dan titik tetap dari adalah tunggal.
adalah
sehingga
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
3.2 Teorema Titik Tetap Pada Ruang Bernorma Cone BernilaiHuang Long-Guang dan Zhang Xian pada [1] telah mendapatkan beberapa teorema titik tetap. Pada bagian ini akan dikaji mengenai teorema-teorema tersebut.
5 Teorema 3.8. [5] Diberikan ( ) sebuah ruang metrik cone lengkap, P sebuah cone normal dengan konstanta normal K. Misalkan pemetaan memenuhi kondisi kontraktif ( ) ) ( )/ . ( 0
dengan Teorema 3.6. [5] Diberikan ( ) sebuah ruang metrik cone lengkap, P sebuah cone normal dengan konstanta normal K. Misalkan pemetaan memenuhi kondisi kontraktif ( ) ( ) , ) adalah konstanta. Dapat dikatakan T dengan memiliki titik tetap tunggal pada ( ) dan untuk setiap ) konvergen ke titik tetap. , barisan iterasi ( Contoh 3.7. Diberikan ruang metrik cone lengkap ( ) dengan metrik cone ( ) (| | | |) serta adalah cone normal dengan konstanta normal . Akan ditunjukkan dengan kontraktif pada ( di ( ) yaitu ̅
) dan mempunyai titik tetap tunggal ( ).
Pembahasan. Akan ditunjukkan bahwa pada (
)
|
.| )
( (
)
|
| |
|/
|
Didapatkan ( pada (
)
|
|
|
|
dengan 0 /,
(| | | ), maka ( ) (|
|)
, (
|
). Artinya bahwa
|
|
|
|) )
| | |( (| (|
|)
| ,
Oleh karena itu
|/
jadi |
Pembahasan. Akan ditunjukkan bahwa 0 / kontraktif pada ( ). Karena maka didapatkan | | dan sehingga
/
. .|
(|
Contoh 3.9. Diberikan ruang metrik cone lengkap ( ) dengan metrik cone ( ) (| | | |) serta adalah cone normal dengan konstanta normal . Akan ditunjukkan dengan , di mana 0 / kontraktif pada ( ) dan mempunyai ̅ ( ). titik tetap tunggal di ( ) yaitu
maka
(
(
memiliki titik tetap tunggal pada ( ) dan untuk setiap + konvergen ke titik tetap. , barisan iterasi *
kontraktif
).
Karena
/ adalah konstanta. Dapat dikatakan T
sehingga kontraktif
). Akan dibuktikan bahwa titik tetap dari pemetaan adalah ̅ . Ambil sedemikian hingga
, ), maka dengan dan dipenuhi jika , sehingga adalah titik tetap dari Sekarang akan ditunjukkan bahwa titik tetap dari tunggal. Jika adalah titik tetap yang lain dari dan , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ̅ dan Oleh karena itu sehingga titik tetap dari tunggal.
Jadi didapatkan | | maka | | sehingga | | ( ) | | memenuhi ( )
(|
||
| ( |
) | | |
)| |)
|
|
|) |)
( |
|
|
|)
( ( |
) |)
( ( |
)
(
)/
(
.
(
)
|)
)
Artinya bahwa kontraktif pada ( ). Akan dibuktikan bahwa titik tetap dari pemetaan adalah ̅ . Ambil sedemikian hingga dengan
0
/, maka
dan
dengan
0 / dipenuhi jika , sehingga adalah titik tetap dari . Sekarang akan ditunjukkan bahwa titik tetap dari tunggal. Jika adalah titik tetap yang lain dari dan , maka ( ) ( ) .
(
)
(
)/
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 ( Oleh karena itu titik tetap dari tunggal.
)
̅ dan
sehingga
Teorema 3.10. [5] Diberikan ( ) sebuah ruang metrik cone lengkap, P sebuah cone normal dengan konstanta normal K. Misalkan pemetaan memenuhi kondisi kontraktif ( ) ) ( )/ . ( dengan
0
6 ( Oleh karena itu titik tetap dari tunggal.
4. KESIMPULAN
⫼⫼
/ adalah konstanta. Dapat dikatakan T
dengan
⫼ ⫼ (| | | |) dimana merupakan norma cone bernilai dan ruang bernorma cone bernilai dinotasikan dengan ( ⫼ ⫼ ). Lebih lanjut, ruang bernorma cone bernilai merupakan ruang Banach cone terhadap norma cone ⫼ ⫼ (| | | |) dengan . Norma cone bernilai mendefinisikan metrik cone dari ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone sebagai berikut
Contoh (
3.11. Diberikan ruang metrik cone lengkap ) dengan metrik cone ( ) (| | | |) serta adalah cone normal dengan konstanta normal . Akan ditunjukkan dengan , di mana / kontraktif pada (
tetap tunggal di (
) dan mempunyai titik
) yaitu ̅
(
).
⫼
Pembahasan. Akan ditunjukkan bahwa dengan 0 / kontraktif pada ( ). Karena 0 /, maka | | Oleh karena itu | | | | | || | | ( )| (| | | |) (| | | |) Jadi didapatkan | | (| | | |) maka | | ( | | | |) sehingga | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( | |) ( | |) memenuhi ( ) ) ( )/ . ( kontraktif pada (
Artinya bahwa 0
0
/, maka
dan
dengan 3.
.
(
)
(
)/
0
|
|)
(
)
4.
/.
Dari Teorema 4.3.3 didapatkan titik tetap tunggal dari ruang metrik cone dari ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone yaitu ̅ ( ) dengan mengambil pemetaan kontraktif 0
, dengan
/.
Dari Teorema 4.3.5 didapatkan titik tetap tunggal dari ruang metrik cone dari ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone yaitu ̅ ( ) dengan mengambil pemetaan kontraktif , dengan
0
/.
DAFTAR PUSTAKA [1] Abdeljawad, T., Karapnar, E., Tass, K., "Common Fixed
dengan
0 / dipenuhi jika , sehingga adalah titik tetap dari . Sekarang akan ditunjukkan bahwa titik tetap dari tunggal. Jika adalah titik tetap yang lain dari dan , maka ( ) ( )
|
ruang metrik cone dari ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone yaitu ̅ ( ) dengan mengambil pemetaan kontraktif
[2]
dengan
(|
⫼
2. Dari Teorema 4.3.1 didapatkan titik tetap tunggal dari
) dengan
/. Akan dibuktikan bahwa titik tetap dari pemetaan adalah ̅ . Ambil sedemikian hingga
sehingga
Berdasarkan hasil penelitian, kesimpulan dari Tugas Akhir ini antara lain: 1. Jika ruang vektor dan ruang Banach dengan himpunan cone maka fungsi
memiliki titik tetap tunggal pada ( ) dan untuk setiap + konvergen ke titik tetap. , barisan iterasi *
0
̅ dan
)
[3]
[4]
[5]
Point Theorems in Cone Banach Spaces," Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, vol. 40, pp. 211217, 2011. Darmawan, R. “Kontruksi Norma Cone Bernilai-C, pada Ruang ”. ITS Surabaya: Tugas Akhir. 2013. Gordji, M. E., Ramezani, M., Khoadei, H., Baghani, H., "Cone normed space," Caspian Journal of Mathematical Sciences(CJMS), vol. 1, pp. 7-12, 2012. Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley and Sons, Inc., 1978. Long-Guang, H. and Xian, Z., "Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings," J. Math. Anal. Appl., vol.332, pp. 1468-1476, 2007.
