Teorema Jaringan 9.1 PENDAHULUAN 9.2 TEOREMA SUPERPOSISI

--------------

9 Teorema Jaringan

9.1

PENDAHULUAN Bab ini memperkenalkan teorema dasar analisis jaringan yang. penting. Yang meliputi teorema super-posisi, Thevenin, Norton, pemindahait daya maksimum, penggantian, Milmann, dan timbal-balik. Kita akan memperhatikan sejumlah bidang pemakaian untuk masing-masing teorema. Pemahaman yang menyeluruh mengenai masing-masing teorema merupakan hal yang penting karena banyak yang akan diterapkan berulang-ulang dalam bahan berikutnya.

9.2 TEOREMA SUPERPOSISI Teorema superposisi, seperti metode pada bab sebelumnya, dapat digunakan untuk memperoleh penyelesaian jaringan yang memiliki dua buah sumber atau lebih. Keuntungan yang jelas dari teorema ini adalah bahwa ia tidak memerlukan teknik matematika seperti determinan untuk memperoleh tegangan atau arus yang diperlukan. Sebagai gantinya, masing-masing sumber diperlakukan sendirisendiri, danjumlah aljabarnya diperoleh untuk menentukan besaran tertentu pada jaringan yang tidak diketahui. Teorema superposisi menyatakan sebagai berikut: Arus ya~g melalu;, atau tegangan yang melintas, sebuah elemen dalam sebuah jaringan linear dua arah sama dengan jumlah aljaiJararus atau tegangan yang dihasUkan secara terpisah oleh masing-masing sumber. 412

--

--- -----._-

-

-------------

Teorema Jaringan

413

Pada saat rnenggunakan teorerna tersebut rnaka rnernungkinkan untuk rnernperhatikan pengarnh dua surnber pada saat yang sarna dan rnengurangi jurnlah jaringan yang harns dianalisis, akan tetapi secara urnurn, Jurnlahjaringan-jaringan

yang harns dianalisa

_ Jumlah -

surnber-surnber yang

(9.1)

tidak saling tergantung

Untuk rnernperhatikan pengarnh dari rnasing-rnasing surnber secara terpisah yang tidak tergantung satu sarna lain rnaka perlu diarnbil dan diternpatkan kernbali tanpa rnernpengarnhihasil akhir. Untuk rnengarnbil sebuah sumber tegangan bila rnenggunakanteorerna ini, perbedaan potensial antara terminal surnbertegangan harns ditetapkan berharga nol (dihubung-singkat); pengarnbilan sebuah surnber arus rnernerlukan bahwa terminalnya terbuka (untai terbuka). Sernbarang harnbatan dalarn atau hantaran yang berhubungan dengan sumber yang dicabut tidak dihilangkan tetapi rnasih harns diperhatikan. Garnbar 9.1 rnengulas bermacarn-rnacarn penggantian yang diperlukan bila rnengarnbil sebuah surnber ideal, dan Garnbar 9.2 rnengulas penggantian dengan surnber praktis yang rnerniliki harnbatan dalarn.

I

0 f. -=-

I

,..

0

'"

>

0

GAMBAR 9.1

c

ICD

f

=>

0

I

Pengaruh pengambilan sumber ideal.

Arus total yang rnelalui sernbarang bagian jaringan sarna dengan jurnlah aljabar arns yang dihasilkan secara terpisah yang tidak saling tergantung oleh rnasing-rnasing surnber. Jadi untuk sebuah jaringan yang rnerniliki dua buah surnber, jika arns yang dihasilkan oleh salah satu surnber rnerniliki arah tertentu, sedangkan yang dihasilkan oleh surnber yang lain berlawanan arah yang rnelalui tahanan yang sarna, rnaka arns yang dihasilkan adalah perbedaan arns di antara keduanya dan rnernilikiarab rnengikuti yang lebih besar. Jika rnasing-rnasing arns rnerniliki arah yang sarna, rnaka arns yang dihasilkan adalah jurnlah keduanya dengan arah salah satunya. Aturan ini benar untuk tegangan yang rnelintas bagian

414

Teknik Rangkaian Listrik

I!

:--<; i H_,

=>

H.,

f.

I

=>

,cb 1.

<)

I

--

GAMBAR 9.2

i

I

r: i(

<;'

I

<)

'--

0

I

I

:)

:)

pengaruh pengambilan sumber praktis.

jaringan sebagaimana ditentukan oleh polaritas, dan ia dapat diperluas menjadi jaringan yang memiliki sembarangjumlah sumber. Prinsip superposisi tidak dapat digunakan untuk perhitungan daya karena daya yang hilang dalam sebuah tahanan berubah-ubah sebanding dengan kuadrat arus atau tegangan (tidak linear). Karena alasan inilah maka daya pada sebuah elemen tidak dapat dihitung sehingga arus total yang melalui (atau tegangan lintas total pada) suatu elemen telah ditentukan dengan superposisi. Hal ini akan ditunjukkan pada Contoh 9.3. CONTOH 9.1. Tentukan lJ untukjaringan pada Gambar 9.3. ! I

. E

-=-

30 \'

.'A

R,5"n

IiI I

GAMBAR9.3

Penyelesaian: Dengan menetapkan E = 0 V untukjaringan pada Gambar 9.3 akan menghasilkan jaringan pada Gambar 9.4(a), di mana sebuah hubungan singkat yang setara menggantikan sumber tegangan 30- V. Seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.4(a), sumber arus akan memilih lintasan hubung singkat, dan lJ' = 0 A. Jika kita gunakan aturan pembagi arus,

. 11=

R..l 10nil = =OA R.. ---R. O!l + {, !l

Teorema Jaringan

415

+ 3A

R, :> 6 !1

E~

30 V

(b)

(a)

GAMBAR 9.4

Dengan menetapkan I sebesar nol arnper akan menghasilkan jaringan pada Garnbar 9.4(b) dengan sumber arus diganti dengan untai terbuka. Pemakaian hukum Ohm, /"1 = .!i. _ 30 V

RI - 6D

=5A

Karena f 1 dan f'l memiliki arah yang sarna dengan yang telah ditentukan pada Garnbar 9.4(a) dan (b), maka arus It sarna denganjumlah keduanya, dan II

= I', + /") = 0 A + 5 A = 5 A

Catatlah bahwa dalarn kasus ini tidak punya pengaruh pada arus yang melalui tahanan 6-0 karena tegangan yang melintas tahanan tersebut harus tetap sebesar 30 V karena mereka merupakan elemen sejajar.

CONTOH 9.2. Dengan menggunakan superposisi, tentukan arus yang melalui tahanan 4-0 pada Gambar 9.5. Catat bahwa ini adalah sebuah jaringan yang memiliki du~ sumber tegangan yang merupakan jenis yang dipertimbangkan dalarn Bab 8. 24 !1

+ 48 V

54 V

4!1

GAMBAR 9.5

416


Penyelesaian:

24fi

Perhatikan pengaruh sumber tegangan 54-V (Gambar 9.6):

------------. 12fi

54V

"

. . . I I I

replaced

'/

by short

circuit _EI

l1':,

24fi

48- V battery

II

+

-54V RT

12fi

.

31 J

~

" 3fi GAMBAR 9.6

RT = RI + R211RJ = 24

n + 12n 114n = 24n + 3 n = 27n

EI 54 V 1=-=-=2A RT 27 n Dengan aturan pembagi arus

( 12n)(2 A) 12

n+ 4 n

2~ n =-=1.5:\ 16

Perhatikan pengaruh sumber tegangan 48-V (Gambar 9.7):

,-;;-, 31

24fi

1 1 1

12fi

E2t

R3

+

+ 48V-

1

'\

I

~I

24 fi

12 fi

1 1 1

1

R3

" 8fi

4fi 54-V battery replaced by short circuit

GAMBAR 9.7

4fi

RT 1 E2t 1 1 1 I 1

+ 48V

Teorema Jaringan

II Rz = 4 £2 48 V 1"3=-=-=4A RT 12 n

RT

= R3 + Rl

417

n + 24 n 1112 n = 4 n + 8 n = 12n

-1")

1') = I.S A

4.N, 4fi

=4 A

GAMBAR 9.8

Arus total yang melalui tahanan 4-0 (Gambar 9.8) sebesar /3

= 1"3-/'3 = 4 A - 1.5 A = 2.5 A

CONTOH 9.3. Dengan menggunakan superposisi, tentukan afuSyang melalui tahanan 6-0 padajaringan Gambar 9.9. CUITent source replaced

r-- 12{l-+ E

+ 36 V

£

R2~6 fi I

+'I

I, R, bYO~'6':~";'~ 136V R. , -

_,I

II

I

'

1'2---)

GAMBAR9.10

GAMBAR 9.9

Penyelesaian:

Perhatikan pengaruh sumber tegangan 36- V (Gambar 9.10): E

/'2 = -

RT

=

E Rl + R2

=

36 V

12

n + 6 n = 2A

Perhatikan pengaruh sumber arus 9-A (Gambar 9.11): Dengan menggunakan atuTan pembagi arus,

,,_ RII _- (12 0)(9 A) ---6A _ 108A _ 1.,- RI + R2 12n + 6 n 18

418


12n

I I I

R2~6 n I I

1';+

GAMBAR 9.11

Arus total yang melalui tahanan 6-0 (Gambar 9.12) sebesar

'

y--J

Same direction

GAMBAR 9.12 12 = 1'2 Daya pada tahanan

+ 1"2 =

2 A

+6A= 8A

6-0 sebesar

Daya yang dihitung pada tahanan 6-0 berdasarkan masing-masing sumber, karena kesalahan penggunaan prinsip superposisi adalah PI

= (/'2)2R= (2 A)2(6m = 24 W

P2 = (1"2)2R= (6 A)2(6 0) = 216 W PI + P2 = 240 W oF384 W HasH iJ;1ikarena 2 + 6

= 8, tetapi

Sebagaimana telah dinyatakan sebelumnya bahwa prinsip superposisi tidak dapat digunakan untuk daya, karena daya sebanding dengan kuadrat arus atau tegangan (pR atau V2/R).

----

Teorema Jaringan

419

Gambar 9.13 adalah grafik hubungan antara daya yang diberikan pada tahanan 6-Q dengan arus yang mengalir.

I

400

P(W)

300

100

Y

rf r' xl 0

1

2

3

4

5

6

7

8

/611(A)

GAMBAR 9.13

Jelas bahwa x + y:#; z, atau 24 W + 216 W tidak sarna dengan 384 W, maka superposisi tidak dapat digunakan. Akan tetapi untuk hubungan linear, seperti grafik hubungan antara tegangan dan arus pada tahanan tetap 6-Q tersebut, maka superposisi dapat digunakan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 9.14 di mana a + b = c, atau2 A + 6 A = 8 A.

10 9 8

/ (A)

----------------------------------------

7 6 5 4

.b

c

3

a{;

12

24

36

GAMBAR 9.14

48

V60(V)

420


CONTOH 9.4. Dengan menggunakan prinsip superposisi, tentukan arus h yang melalui tahanan 12-kQ pada Gambar 9.15.

" I, ,,12kn

f

)6mA

GAMBAR 9.15

Penyelesaian: Perhatikan pengaruh sumber arus 6-mA (Gambar 9.16): Aturan pembagi arus: , R.I (6 kO)(6 mA) I = = =2mA 2 R. +R2 6kO + 12kO =j) 6mA

I

=j)ti mA

=j)l'z

I

~1'2

12kn

35 kn

GAMBAR9.16 Perhatikan pengaruh sumber tegangan 9-V (Gambar 9.17): +. 9V

Inn

35 kn

Teorema Jaringan

I" = 2

E

=

RI + R2

9V 6 kn + 12 kn

421

= 0.5 mA

Karena f2 dan r'2 memiliki arah yang sarna melalui R2, maka arus yang diingini adalah jumlah dari keduanya: 12=/'2+1"2 = 2 mA + 0.5 mA

= 2.5 mA

CONTOH 9.5. Tentukan arus yang melalui tahanan 2-Q dalarn jaringan pada Garnbar 9.18. Adanya tiga buah sumber akan menghasilkan tiga buah jaringan berbeda yang akan dianalisis.

GAMBAR 9.18 Penyelesaian:

Perhatikan

I,

EI

= 1

RI

+ R2

pengaruh

=

sumber

tegangan

12- V (Gambar

12 V

12 V =-=2A 2 n+4n 6n

/" I

4fi 2fi

2fi

/" I

GAMBAR 9.19

GAMBARt 9.20

Perhatikan pengaruh sumber tegangan 6-V (Gombar 9.20) r. _ E2 _ 6V _ 6V _ 1 - R. + R2 - 2 n + 4 n - 6 {} - 1 A

9.19):

422


Perhatikan pengaruh sumber arus 3-A (Gambar 9.21)

4!1

2!1

GAMBAR9.21 Dengan menggunakan aturan pembagi arus, /

", = 1

R2/ RI

+ R2

12 A = (40)(3 A) =-=2A 20 + 4 0

6

Arus total yang melalui tahanan 2-Q tampak pada Gambar 9.22, dan

RI ~

2 !1

I 1', = 2 A.

r; = I A

I I';' =

2A

_ R, ~

2!1 II, = I A

GAMBAR 9.22 Same direction as ~' in Fig. 9:18

/.

Opposite direction /10

II in Fig. 9.18

= 1"1+ /"'. 1/'1

=IA+2A-2A=lA

9.3 TEOREMA THEVENIN Teorema Tlievenin menya~an sebagai berikut: Sembarang jaringan de dua-arah linear yang memiliki dua terminal dapat diganti dengan sebuah rangkaian setara yang berisi sebuah sumber tegangan dan sebuah tahanan seri, seperti diperlihatkan pada Gambar 9.23.

Teorema Jaringan

423

a

b

GAMBAR 9.23

Rangkaian setara Thevenin.

Sebagai contoh,jaringan yang berada dalarn kotak pada Garnbar 9.24(a) hanya memiliki dua terminal yang tersedia menuju dunia luar, yang diberi label a dan b. Hal ini memungkinkan penggunaan teorema Thevenin untuk menggantikan segala sesuatu yang berada di dalarn kotak dengan sebuah sumber dan sebuah tahanan, seperti diperlihatkan pada Garnbar 9.24(b), yang masih mempertahankan karakteristik terminal yang sarna pada terminal a dan b. Jadi, sembarang beban yang dihubungkan menuju terminal a dan terminal b tidak akan tahu apakah ia dihubungkan menuju jaringan pada Gambar 9.24(a) atau Garnbar 9.24(b). Beban akan menerima arus, tegangan, dan daya yang sarna dari salah satu susunan pada Garnbar 9.24. Akan tetapi, melalui pembahasan berikut selalu ingatlah bahwa rangkaian setara Thevenin hanya memberikan kesetaraan pada terminalnya saja susunan yang berada di da/am dan karakteristik jaringan yang asli dan kesetaraan Thevenin biasanya begitu berbeda.

-

a

b

GAMBAR 9.24

b

_

424

u__

____


Untuk jaringan pada Garnbar 9.24(a), rangkaian setara Thevenin dapat diperoleh seeara langsung hanya dengan penggabungan baterei seri dan tahanan seri. Catat kemiripan yang pasti pada jaringan Garnbar 9.24(b) dengan susunan Thevenin pada Garnbar 9.23. Metode yang diuraikan di bawah ini akan memungkinkan kita untuk mengembangkan prosedur yang diterapkan pada susunan yang lebih rumit yang berakhir dengan jaringan yang relatif sederhana seperti pada Garnbar 9.23. Dalarn kebanyakan kasus, akan ada elemen lain yang dihubungkan di sebelah kanan terminal a dan b pada Gambar 9.24. Akan tetapi untuk dapat menggunakan teorema tersebut, jaringan yang harus disederhanakan agar menjadi bentuk setara Thevenin yang terisolasi seperti yang diperlihatkan pada Garnbar 9.24 dan dua terminal pemegang teridentifikasi. Begitu rangkaian setara Thevenin yang benar telah ditentukan, maka pembaeaan tegangan, arus, atau tahanan antara dua terminal pemegang akan sama-apakah rangkaian yang asH atau rangkaian setara Thevenin yang dihubungkan di sebelah kiri terminal a dan b pada Garnbar 9.24. Sembarang beban yang dihubungkan di sebelah kanan t~rminal a dan b pada Gambar 9.24 akan menerima tegangan atau arus dengan salah satu jaringan. Teorema ini meneapai dua sasaran yang penting. Pertama, sebagaimana yang dianggap benar untuk semua metode yang telah diuraikan sebelumnya, ia memungkinkan kita untuk memperoleh sembarang tegangan atau arus tertentu dalam sebuah jaringan dengan satu, dua, atau sembarang jumlah sumber lain. Kedua, kita dapat memusatkan perhatian pada bagian khusus pada sebuah jaringan dengan mengganti jaringan lain dengan sebuah rangkaian setara. Sebagai eontoh, pada Garnbar 9.25, dengan memperoleh' rangkaian setara Thevenin untuk jaringan pada daerah yang diarsir, maka kita dapat menghitung dengan eepat perubahan arus yang melalui atau tegangan pada tahanan beban RL yang dapat diubah untuk bermaeam-maearn harga. Hal ini akan ditunjukkan dalarn Contoh 9.6. Sebelum kita menguji langkah-langkah yang terlibat dalarn pemakaian teorema ini, penting diketahui bahwa sebuah kata tambahan dieantumkan di sini untuk menjamin agar pengertian mengenai rangkaian setara Thevenin menjadi jelas. Pada Garnbar 9.25, seluruh jaringan keeuali RL diganti dengan sebuah tahanan tunggal seri dan baterei seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.23. Harga dua elemen pada rangkaian setara Thevenin ini harus dipilih untuk menjarnin agar tahanan RL akan bertindak seperti jaringan pada Gambar 9.25(a) dengan eara yang sarna seperti pada jaringan Garnbar 9.25(b). Dengan kata lain, arus yang melalui atau tegangan yang melintas pada RL harus sarna untuk salah satu jaringan untuk sembarang harga RL. Urutan langkah yang berurutan berikut ini akan mengantarkan kepada harga RTh dan ETh yang benar.

Teorema Jaringan

- 7J-

- --- --. I + ......... :e* "

.

a

g,

!h

'"

- -- - - --- -

R3

-

Ia .

11>

;

.....

I

I

-

I

!IL

RL

fRL- IT.,. b

425

I

*b

(b)

(a)

GAMBAR 9.25

Persiapan: Ambillah bagian dari jaringan yang mana tegangan rangkaian setara Thevenin akan ditentukan. Pada Gambar 9.25(a), perlu untuk mengambil tahanan beban RL sementara waktu dari jaringan tersebut. 2. Tandailah terminal yang tersisa darijaringan dua terminal tersebut. (Pentingnya langkah ini akan menjadi jelas begitu kita berlanjut pada jaringan yang rumit). 1.

RTh 3. Hitunglah RThdengan pertama-kali menetapkan semua sumber berharga nol (sumber tegangan diganti dengan hubung-singkat dan sumber arus diganti dengan untai terbuka), kemudian tentukan hambatan antara dua terminal yang ditandai. (Jika hambatan dalam sumber tegangan dan/atau sumber arus tercantum dalam jaringan yang asli, maka ia masih harus tetap ada bila sumber tersebut dibuat berharga nol.) 4.

5.

ETh Hitunglah EThdengan pertama-tama mengembalikan semua sumber menuju posisi awalnya dan tentukan tegangan unta; terbuka antara terminal yang ditandai. (Langkah ini tanpa kecuali merupakan salah satu yang akan mengantarkan kepada kebingungan dan kesalahan. Dalam semua kasus, ingat bahwa ini merupakan potensial unta; terbuka antara dua terminal yang ditandai pada langkah 2 di atas.) Kesimpulan: Gambarlah rangkaian setara Thevenin dengan bagian rangkaian yang dilepas sebelumnya dikembalikan lagi antara terminal rangkaian setara. Langkah ini

426


ditunjukkan oleh penempatan tahanan RL antara terminal rangkaian setara Thevenin seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.25(b).

CONTOH 9.6. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan pada daerah terarsir pada Gambar 9.26. Kemudian tentukan arus yang melalui RL untuk harga 2 Q, 10 Q, dan 100 Q. R,

a

--,

a 3!l

E,9V

+ R2

6 !l

JR'

eb

b

GAMBAR9.26

GAMBAR 9.27

Penyelesaian: Langkah 1 dan 2 menghasilkanjaringan pada Gambar 9.27. Catat bahwa tahanan beban RL telah diambil dan dua terminal pemegang telah ditentukan sebagai titik a dan b. Langkah 3: Gantilah sumber tegangan EI dengan kesetaraan yang berupa hubungsingkat yang akan menghasilkanjaringan pada Gambar 9.28(a), di mana RTh

R. 3!l

= R.

II

Rz = (30)(611) 30+60 R.

. a

I R2 36!l

=20

- RTI. I

a

>

R2

I b

b

(a)

(b) GAMBAR 9.28

- - --- --------._-

Teorema Jaringan

427

P~ntingnya dua tenninal yang bertanda kini mulai tampak. Mereka adalah dua tenninal yang melintas hambatan Thevenin yang diukur. Ini bukan lagi merupakan hambatan total yang dilihat dari sumber sebagaimana yang ditentukan dalam kebanyakan persoalan pada Bab 7. Jika beberapa kesulitan muneul pada saat penentuan RThyang berkenaan dengan apakah elemen penghambat dalam susunan seri atau sejajar, perhatikan dengan mengingat kembali bahwa ohmmeter mengirimkan arus yang keeil menuju gabungan hambatan dan mengindera harga tegangan yang dihasilkan untuk menetapkan besar hambatan yang diukur. Pada Gambar 9.28(b), arus yang keeil pada ohmmeter mendekati jaringan melalui tenninal a, dan bila ia meneapai sambungan Rl dan R2, maka ia akan terpisah seperti yang diperlihatkan. Kenyataannya adalah bahwa arus yang keeil terpeeah dan kemudian bergabung kembali pada titik bawah yang menunjukkan bahwa tahanan tersebut sejajar sejauh yang diperhatikan adalah pembaeaan ohmmeter. Intinya, lintasan arus perasa pada ohmmeter mengungkap earn tahanan dihubungkan menuju dua tenninal yang dieari dan bagaimana tahanan Thevenin akan ditentukan. Ingat hal tersebut dalam benak begitu anda mengerjakan bennaeam-maeam eontoh pada pasal ini. Langkah 4: Pasang kembali sumber tegangan (Gambar 9.29). Untuk kasus ini tegangan untai terbuka EThsama dengan jatuh tegangan pada tahanan 6-0. Dengan menggunakan aturan pembagi tegangan, R~E1

En. = R~ ...

R,

= (6 0)(9 V) = 5~ \' = 6 V 6!l+3H 9

R, JU

u

_i

E

F.

-

,"

GAMBAR 9.29

Hal ini khususnya penting untuk mengenal bahwa ETh adalah potensial untai terbuka antara titik a dan titik b. Ingat bahwa sebuah untai terbuka dapat bertegangan sembarang akan tetapi arusnya harus nol. Kenyataannya, arus yang melalui sembarang elemen yang seri dengan untai terbuka juga harus nol. Penggunaan voltmeter untuk mengukur EThtampak pada Gambar 9.30. Catat bahwa ia ditempatkan seeara langsung pada tahanan R2,karena EThdan VK2sejajar. Langkah 5 (Gambar 9.31):

428


h I L-

=

ETh RTh RL

+

_

6V

2

.0+ 2

- = 1.5 A

I L-_

6V 2 .0 + 10 - = 0.5 A

h=

6V 2.0 + 100 - = 0.059 A

9V b

GAMBAR 9.30

GAMBAR 9.31

Jika teorema Thevenin tidak tersedia maka pada masing-masing perubahantahanan bebanRL akan memerlukan bahwa seluruhjaringan pada Gambar 9.26 diuji lagi untuk memperoleh harga RL yang bam.

CONTOH 9.7. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan dalam daerahterarsir pada Gambar 9.32.

a

II:tA

20

b GAMBAR 9.32

Teorema Jaringan

429

Penyelesaian: Langkah 1 dan 2 diperlihatkan pada Garnbar 9.33. Langkah 3 diperlihatkan pada Garnbar 9.34. Sumber arus diganti dengan untaiterbuka yang setara dan hambatan ditentukan antara terminal a dan b. R2

R2 a

a 20

20 40

RI

40

Rn, b

b GAMBAR 9.33

GAMBAR 9.34

Dalam kasus sebuah ohmmeter yang dihubungkan antara terminal a dan b akan mengirimkan arus perasa yang akan mengalir secara langsung melalui Rt dan R2. Hasilnya adalah bahwa Rt dan R2 seri dan harnbatan Thevenin merupakan jumlah dari keduanya. RTh

= R 1 + R2 = 4

{} + 2 {} = 6 fi

Langkah 4 (Garnbar 9.35): Dalarn kasusini karena untai terbuka muncul antara dua terminal yang ditandai, maka besar arus antara terminal ini dan yang melalui .tahanan 2-Q sarna dengan nol. Oleh karena itujatuh tegangan pada R2 sebesar

+v=ovI)IR2

='20

R. ~40

a

N1 + En.

b

GAMBAR 9.35

dan

Langkah 5 diperlihatkan pada Gambar.9.36

430


a

RJ

f

70 b

GAMBAR 9.36

CONTOH 9.8. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan pada daerab yang diarsir padajaringan Gambar 9.37. Catat daJam contoh ini babwa tidak diperlukan bagian jaringan yang disediakan untuk menjadi ujung susunan tersebut.

40 E

6.0

+

8V

Q

GAMBAR 9.37

Penyelesaian: Langkah 1 dan 2: Lihat Gambar 9.38.

R2 a

R1J6fl

If.. 40

E18V I b

GAMBAR 9.38

+

RJ2

0

Teorema Jaringan

431

Langkah 3: Lihat Gmnbar 9.39. Langkah 1 dan 2 relatifmudah digunakan, akan tetapi kini kita hams hati-hati memegang terminal a dan b sebagai harnbatan Thevenin dan tegangan yang ditentukan. Pada Garnbar 9.39, semua elemen yang tersisa berubah menjadi sejajar, dan jaringan dapat digarnbar lagi seperti yang diperlihatkan.

Circuit redrawn:

411

a

R",~2n \

611

"R, b

"Short circuited"

'-.y--J Rr = 0 n II2 n = 0 11 GAMBAR 9.39

411

E, b. +

8V +

+

GAMBAR 9.40

Langkah 4: Lihat Garnbar 9.40. Dalarn kasus ini rangkaian tersebut dapat digambar lagi seperti diperlihatkan pada Gambar 9.41, dan karena tegangan sarna besar pada elemen sejajar, maka tegangan pada tahanan seri RI dan R2 sebesar EI atau 8 V. Penggunaan aturan pembagi tegangan,

E

48 V = RIEl = (60.)(8 V) =-=48V Th RJ + R2 60. + 4 0. 10

.

432


~ R2

4n

EThRI4!-6n

I

EI

t :8 V

RJ

._~

2n

..fab

+

~Ba'~'~V,

GAMBAR

GAMBAR9.42

9.41

Langkah 5: Lihat Garnbar 9.42.

Pentingnya penandaan terminal harusjelas dari Contoh 9.8. Catat bahwa tidak diperlukan tegangan Thevenin yang rnerniliki polaritas yang sarna seperti rangkaian setara yang sernula diperkenalkan. CONTOH 9.9. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan pada daerah yang diarsir padajaringanjernbatan Garnbar 9.43.

E

~

+ 72V

,

GAMBAR 9.43

Penyelesaian: Langkah 1 dan 2 diperlihatkan pada Gambar 9.44.

+ E -::b- 72 V

GAMBAR 9.44

Teorema Jaringan "433

Langkah 3: Liliat Garnbar 9.45. Dalarn kasus ini hubung-singkat sebagai pengganti sumber tegangan E memberikan hubungan langsung antara titik c dan c' pada Garnbar 9.45(a), yang. memungkinkan pelipatan jaringan tersebut pada garis a-b untuk menghasilkan susunan pada Garnbar 9.45(b). RTh

= Ra-b = Rl

II

=6 0

R3 II

+ R211 R4

3 0 + 4 0 11120

=20+30=Sn

c

,\ \

, ,I I ~ c, c' (b)

(a)

GAMBAR 9.45

Langkah 4: Rangkaian tersebut digarnbar lagi pada Gambar 9.46. Tidak adanya hubungan langsung antara titik a dan b menghasilkanjaringan yang memiliki tiga cabang sejajar. Oleh karena itu tegangan VI dan V2 dapat ditentukan dengan menggunakan aturan pembagi tegangan.

f

I

I

I I

+

E-=-n

v

+ \', H,

' bill'

-

I l: I I

+

'

+

, "V L ')

II -

\ \

,

H,

I:!!l

H.

4 !l

V2

/-:/1.

I>

\ I

R1

"

311 I

GAMBAR 9.46

VI

=

RIE (611)(72 V) 432 V = == 48 V RI + R, 611+ 3 n 9 R,E

( 12 11)(72 V)

V, = = - R~+R4 1211+4n

X6-t V

=-

16

= 54 V

434


Anggaplah bahwa polaritas yang diperlihatkan untuk EThdan pemakaian hukum tegangan Kirchoff pada kalang sebelah atas dengan arah searah jarum jam akan menghasilkan dan En, = V2 -

VI

= 54 Y - 48 Y = 6 V

Langkah 5 diperlihatkan pada Gambar 9.47. (/

RTh

= 5n

+ En = 6 V b

GAMBAR 9.47

Teorema Thevenin tidak terbatas pada sebuah elemen pasif tunggal, seperti diperlihatkan pada contoh sebelumnya, akan tetapi dapat dipakai untuk sumber, seluruh cabang, bagian jaringan, atau sembarang susunan rangkaian, seperti yang diperlihatkan dalam contoh berikut. Hal ini juga mungkin bahwa salah satu metode yang telah diuraikan sebelumnya, seperti analisis mesh atau superposisi, bolehjadi hams digunakan untuk memperoleh rangkaian setara Thevenin. CONTOH 9.10. (Dua buah somber) Tentukan rangkaian Thevenin untuk jaringan yang berada dalam daerah yang diarsir pada Gambar 9.48.

GAMBAR 9.48

Teorema Jaringan

435

Penyelesaian: Jaringan tersebut digambar lagi dan langkah 1 dan 2 diterapkan seperti diperlihatkan pada Gambar 9.49. R,

GAMBAR 9.49

Langkah 3: Lihat Gambar 9.50.

Rn. = R..· RI = = = =

U

R~

\I R~

1A kn + 0.8 k!1 !I 4 kn Ii 6 kO IA kH + 0.8 kO II2A k!1 IA kn .,. 0.6 kH 2 kfi R,

R. 0.8 kH -

R,

I.. kH o k!l

R,

I 1

-R,. .it I

GAMBAR 9.50

Langkah 4: Pemakaian superposisi, pertama kita akan memperhatikan pengariJh sumber tegangan El. Catatan Gambar 9.51. Untai terbuka memerlukan bahwa V4 = 14R4= (O)R4= 0 V, dan E'TIt = \', R'T = R:

a

R, = 4

kH

,i6 kn = 2.4 kO

R._ I, = 0

- \.,...

i ~ R. R,~0.8 U} I

f: -=-1> V

I.. kH R.~!> kll \', +

I GAMBAR 9.51

. .I I

436


Dengan menggunakan aturan pembagi tegangan, VJ =

R'TE.

R

I

T

+ R.

=

(2.4 kO)(6 V)

2.4 kO + 0.8 kO

=

14.4 V

3.2

= 4.5V

dan

Untuk sumber E2 akan menghasilkan jaringan pada Gambar 9.52. V4 = 1414= (0)14 = 0 V, dan E'Th = V3

R'T = R2 II R3 = 4 kO II 6 kO = 2.4 kO

dan V J

=

R'TE2 R'T + R2

=

(0.706 kO)(lO V) 0.106 kO + 4 kO

=

7.06 V 4.706

dan E"Th = VJ = 1.5 V

1.4 kO

R2 4kO R'~O.8 kO

+ 6 kO V3

+ £ "Th

GAMBAR9.52 Karena E'Th memiliki polaritas yang berlawanan, maka ETh = E'Th- E"Th = 4.5 V - 1.5 V = 3V (polarity of E' Th) Langkah 5: Lihat Gambar 9.53.

-

= 1.5 V

Teorema Jaringan

437

+v=ov-

h (b)

(a)

GAMBAR 9.54

Penentuan EThdengan percobaan.

Untuk sembarang jaringan, harga ETh dapat ditentukan dengan percobaan yaitu dengan pengukuran tegangan untai terbuka pada terminal beban, seperti diperlihatkan pada Gambar 9.54; ETh

= Vab. Kemudian harga RTh dapat diten-

tukan dengan cara menghubungkanjaringan tersebut dengan menghubungkan RL seperti potensiometer pada Gambar 9.55(b). Kemudian RL diubah-ubah sedemikian rupa sehingga tegangan yang tampak pada beban setengah besar tegangan untai terbuka, atau VL = ETW2.Untuk rangkaian seri pada Gambar 9.55(a), bila tegangan beban dikurangi sampai setengah untai terbuka, maka tegangan yang melintas RThdan RL harns sarna. Jika kita baca harga RL (seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.55(c)] yang dihasilkan perhitungan yang sebelumnya, maka kitajuga akan mempe~roleh hargaRThkarenaRL = RThjika tegangan VL sarna dengan tegangan yang melintas RTh.

9.4

TEOREMA NORTON

Hal ini telah ditunjukkan dalam Pasal 8.3 bahwa setiap sumber tegangan dengan sebuah hambatan dalam seri memiliki sebuah sumber arus yang setara. Sumber arus yang setara jaringan Thevenin (yang akan anda catat, memenuhi syarat di atas), sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 9.56 akan ditentukan oleh teorema Norton. Ia juga dapat diperoleh melalui pengubahan yang terdapat dalam Pasal 8.3. Teorema tersebut menyatakan:

438


a Q

+ Th

R,

f b

(a)

=R

T En (b)

(c)

GAMBAR 9.55

Penentuan RTh dengan percobaan.

Sembarang jaringan de linear dua arah yang memi/iki dua terminal dapat diganti dengan sebuah rangkaian setara yang berisi sebuah sumber arus dan sebuah tahanan sejajar seperti yang diper/ihatkan pada Gambar 9.56. Pembahasan mengenai teorema Thevenin yang berhubungan dengan rangkaian setarajuga dapat dipakai untuk rangkaian setara Norton. Urutan langkah yang menghantarkan menuju harga IN dan RN yang benar adalah sebagai berikut. Persiapan: 1. Ambillah bagian jaringan yang ingin diperoleh rangkaian setara Norton. 2. Tandailah terminal jaringan dua terminal yang tersisa. 3.

RN: Hitunglah RN pertama-tama dengan menetapkan semua sumber berharga nol (sumber tegangan diganti dengan hubung-singkat dan sumber arus dengan untai terbuka) dan kemudian tentukan hambatan antara dua terminal yang ditandai. (Jika hambatan dalam sumber tegangan dan/atau arus terdapat

Teorema Jaringan

439

a

b

GAMBAR 9.56

Rangkaian setara Norton.

dalam jaringan yang asli, maka ia harus tetap ada pada saat sumber tersebut ditetapkan berharga nol.) Karena RN = RTh, maka prosedur dan harga yang diperoleh dengan penggunaan pendekatan yang telah diuraikan untuk teorema Thevenin akan menentukan harga RN yang benar. IN:: 4. Hitunglah IN pertama-tama dengan mengembalikan semua sumber pada posisi aslinya, kemudian tentukan arus hubung-singkat antara terminal yang ditandai. Ini adalah arus yang sarna dengan arus yang akan diukur dengan ammeter yang ditempatkan antara terminal yang ditandai. 5.

Kesimpulan: Gambarlah rangkaian setara Norton dengan bagian rangkaian yang sebelumnya dilepas dipasang kernbali antara terminal rangkaian setara.

Rangkaian setara Norton dan Theveninjuga dapat diperoleh dari salah satunya dengan menggunakan perubahan bentuk sumber yang telah dibahas sebelumnya dalam bab ini dan dibuat lagi pada Garnbar 9.57.

GAMBAR 9.57

440


CONTOH 9.11. Tentukan rangkaian setara Norton untukjaringan pada daerah yang diarsir pada Garnbar 9.58. a

GAMBAR 9.58

Penyelesaian: Langkah J dan 2 diperlihatkan pada Garnbar 9.59.

RI

RI

a

a

3fi + E9V

R26

fi

R2

6fi

- RN

b

GAMBAR9.59

b

GAMBAR 9.60

Langkah 3 diperlihatkan pada Garnbar 9.60, dan

Langkah 4 diperlihatkan pada Garnbar 9.61, yang dengan jelas menunjukkan bahwa hubungan singkat antara terminal a dan b sejajar dengan R2 yang akan menghilangkan pengaruhnya. Oleh karena itu IN sarna dengan arus yang melalui RI, dan tegangan baterei sepenuhnya tampak melintas RI karena

Teorema Jaringan

I,

-+

E9V

+

IN RI -+

IN -+

311 ! 12 = 0 + V2R2 611

-

441

Short ...

a

\, /

I

-.... IN

.... b

GAMBAR 9.61

Oleh karena itu maka E_9V=3A

IN =

Langkah 5: Lihat Garnbar

Ii; -

3n

9.62.

a

b

GAMBAR 9.62

Rangkaian ini sarna dengan yang pertama kali diperhatikan dalarn pengembangan teorema Thevenin. Sebuah perubahan yang sederhana menunjukkan bahwa rangkaian Thevenin tersebut kenyataannya adalah sarna (Garnbar 9.63).

a -

)(2 11) = 6 V

I .1 GAMBAR 9.63

b

442


CONTOH 9.12. Tentukan rangkaian setara Norton untuk jaringan di \uar tahanan 9-Q pada Garnbar 9.64. 50

I

a

I

---

b

GAMBAR 9.64

Penyelesaian: Langkah J dan 2: Lihat garnbar 9.65.

RJ 50

R2

40

a

lOA b

GAMBAR9.65 Langkah 3: Lihat Gambar 9.66, dan RN

= RI + R2 = 5 {}

+4

50

{}

= 9 fi

a

b

GAMBAR 9.66

Langkah 4: Seperti yang diperlihatkan pada Garnbar 9.67, arus Norton sarna dengan arus yang melalui tahanan 4-Q. Dengan memakai aturan pembagi arus,

Teorema Jaringan

443

R.

\A Sf} I

r-----.

LE

R2 4 0

lOA

I

a

-

.,t

n II I )IOA',,

n

IN

GAMBAR 9.67

=

I N

RtI Rt

+ R2

= (5 fi)(lO

A)

5 fi + 4 fi

= 50 A = 5.556 A 9

Langkah 5: Lihat Gambar 9.68. a

90

b

GAMBAR 9.68

CONTOH 9.13. (Dua buah sumber) Tentukan rangkaian setara Norton untuk bagianjaringan sebelah kiri a-b pada Gambar 9.69. a

b

GAMBAR 9.69

444


"

-I

R:';U

R;,>,,!!

E --- -;\-

'9"

'T

!

:

-"

GAMBAR 9.70

Penyelesaian: Langkah J dan 2: Lihat Gambar 9.70 Langkah 3 diperlihatkan pada Gambar 9.71, dan

R, = Rt

II

R~

=~ n

6!) = (~ !l)(6 (1)

-

~

n+

6!l

:!~n =)() = 2A

n

a

R,~';!1

6!1

b

GAMBAR 9.71 Langkah

4: (pemakaian

superposisi)

1\ =

Untuk baterei 7-V (Gambar

~RI

_ 7 V

- ~ n = \.75 A

Shan circuited

I, (>n

II,

" GAMBAR 9.72

9.72),

Teorema Jaringan

445

Untuk sumber arus 8-A (Gambar 9.73), kita peroleh bahwa Rt dan R2 telah dihubung singkat oleh hubungan langsung antara a dan b, dan J"N= I = 8 A Hasilnya adalah IN = J"N - I'N = 8 A - 1.75 A = 6.25 A Short circuited

a

--::. '"

,.""

,..

R.:? 4 n 6n

-

f"N

f"N

b

GAMBAR 9.73

Langkah 5: Lihat Gambar 9.74. a

Ez-=- 12V b

GAMBAR 9.74

9.5

TEOREMA PEMINDAHAN DAVA MAKSIMUM Teorema pemindahan daya maksimum menyatakan sebagai berikut: Sebuah beban akan mener;ma daya maks;mum dar; sebuah jar;ngan de linear dua arah bila hambatan totalnya tepat sama dengan hambatan Theven;n pada jar;ngan yang dilihat oleh beban.

446


GAMBAR 9.75

Untuk jaringan pada Gambar 9.75, daya maksimum akan diberikan kepada beban bila (9.2) Dari pembahasan yang lalu, kita menyadari bahwa sebuah rangkaian setara Thevenin yang melintas sembarang elemen atau kelompok elemen dapat diperoleh dalam sebuah jaringan de linear dua arah. Oleh karena itu jika kita memperhatikan kasus rangkaian setara Thevenin yang berhubungan dengan teorema pemindahan daya maksimum, intinya kita memperhatikan pengaruh total sembarangjaringan yang melintas sebuah tahanan RL, seperti pada Gambar 9.75. Untuk rangkaian setara Norton pada Gambar 9.76, daya maksimum akan diberikan kepada beban bila (9.3)

GAMBAR9.76

Teorema Jaringan

447

HasH ini [Persarnaan (9.3)] akan digunakan untuk memperoleh keuntungan yang sepenuhnya dalam analisisjaringan transistor di mana model rangkaian transistor yang paling sering digunakan menggunakan sebuah sumber arus dibandingkan dengan yang menggunakan sumber tegangan. Untukjaringan pada Garnbar 9.75, 1=-

Ero. RT~- R,

dan PI.

,

i

:

En.

-

= I-R, = \ R r~

.

RI

) RL

dengan demikian maka I I _)

.

n.~RI tR,..

. - R/J:

Untuk ETh = 4 V dan RTh = 5 0, maka daya pada RL untuk harga RL yang berbeda

diberikan dalam Tabel 9.1. Garnbar dari data ini (Gambar 9.77) secara jelas mengungkap bahwa daya maksimum diberikan kepada RL bila ia harganya tepat sarna dengan RTh. Dalam keadaan pemindahan daya maksimum, efisiensi operasinya adalah

R,.

16R, P,=-, . 15 + R,.I-

. Ohm.'i I

IWatts I

I

2

0.444

0.653

3

0.750

.. 5

0.800(

6

7

8 9 10

0.790

!

M-I" imIIftJ

0.793

0.778 0.757 0.735 0.711

TABEL9.1

1

448


1.0 0.9 0.8.--------------

/

Maximum

f ~ I I I 1 I I . I . I I I I I

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

o

2345678910

a

t RTh

= RL

GAMBAR 9.77

Po

7)%

=-

X 100%

Pi

=-

VdL

EThh

X 100%

=-

VL

X 100%

ETh

dengan

dan 7)%

ETh/2 1 X 100% = - X 100%= 50% ETh 2

=-

yang mengungkap bahwa hanya setengah daya yang diberikan oleh sumber yang akan sampai ke beban. Efisiensi 50 % yang relatif rendah dapat diterima:dalam keadaan di mana harga daya relatif rendah, seperti bermacam-macam sistem elektronika. Akan tetapi bila melibatkan daya yang besar, seperti pada stasiun pembangkit, efisiensi sebesar 50% tidak dapat diterima. Kenyataannya, biaya yang besar dan penelitian ditujukan untuk meningkatkan efisiensi pembangkitan daya dan transmisi hanya beberapa persen saja. Peningkatan efisiensi pada stasiun pembangkit 10-megakW dari 94 % menjadi 95 % (peningkatan 1 %) dapat menghemat 0.1 mega-kW, atau 100juta watt daya, suatu penghematan yang sangat besar!

Teorema Jaringan

449

100% 90% 80% 70% 60% 50% --------------40% 30% 20% 10% o

1

2

3

4

5

6

GAMBAR

7

8

9

10 RL(0)

9.78

Perhatikan perubahan besar beban dari 5 0 menjadi 10 Q. Pada Gambar 9.77, besar daya hanya turun dari 0.8 W menjadi 0.711 W (penurunan 11.125 %), sementara efisiensinya meningkat menjadi 66.7% (peningkatan 33.4 %) seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.78. Titik imbang hams ditandai di mana efisiensi cukup tinggi tanpa pengurangan daya yang menuju beban menjadi sangat rendah. Jika PL, VL, dan h digambarkan pada grafik semilog untuk ETh = 4 V dan RTh

=

5 0, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 7.79, maka perubahan harga

tahanan untuk jangkauan harga yang luas menjadi jelas. Pada grafik semilog, salah satu sumbu digambarkan pada skala logaritma sedangkan yang lain menggunakan skala linear. Catat bahwa PL hanya mencapai satu maksimum (pada RL = RTh),VL bertambah dengan penambahan harga tahanan seperti yang ditentukan oleh aturan pembagi tegangan, dan h turun dengan bertambahnya RL sebagaimana dikendailkan oleh hukum Ohm. Salah satu keuntungan yang jelas daripada skala logaritma adalah bahwa mereka bisa menerima perubahan yang luas dalam harga sebuah parameter (seperti RL pada Gambar 9.79). Skala logaritma akan diuraikan secara rinci dalam Bab 21. Gambar 9.79 mengungkap faktor penting lain yang berhubungan dengan pembangkitan daya dan transmisi serta dampak harga efisiensi. Untuk harga RL yang karakteristik lebih besar dari 100 0, harga VL masih cukup tetap (konstan) yang diinginkan untuk pengiriman daya. Akan cukup mengganggu untuk melihat harga tegangan di rumah atau perusahaan yang berubah terhadap beban (RL), seperti yang diperlihatkan untuk harga RL dari 0.1 0 sampai 100 O. Gabungan antara tegangan beban yang tetap dan efisiensi yang lebih tinggi (termasuk

-

450


PL(W)

IdmA) 1000

1.0

900

0.9

800

0.8

700

0.7

600

0.6

500

0.5

400

0.4

300

0.3

200

0.2

100 0.1 0

o

RL

- r-r--.

r---r--.!.L .......

" /

/

/

"

-

0.1

I'

! I

/

/

3

\ 2

'\

I

"-

I

"-

"",

-

2

=4

/'

\

./

0.20.3 0.5

Y'

ETh

\

"\1

/

V

;'

RTh

PI.;I T

/ ,r

=I

-

VL

3 4567810

20 3040

100

I

-

GAMBAR 9.79

Gambar 9.78) mengungkap bahwa daerah yang berada jauh di sebelah kanan pada Gambar 9.79 merupakan daerah yang sesuai untuk keadaan daya tinggi. Daya yang diberikan kepada RL pada keadaan daya maksimum (RL = RTh) adalah

dan (watt, W)

(9.4)

Untuk rangkaian Norton pada Gambar 9.76,

(W)

(9.5)

Teorema Jaringan

451

CONTOH 9.14. Sebuah generator dc, baterei, dan catu untuk laboratorium masing-masing dihubungkan menuju sebuah beban hambatan RL pada Gambar 9.80(a), (b), dan (c). Untuk masing-masing sumber, tentukan hargaRL agarterjadi pemindahan daya maksimum menuju RL.

(a)

(c)

(b)

GAMBAR 9.80

Penyelesaian: Untuk generator dc, RL = 2.5 Q.

Untuk baterei, RL = 0.5 Q

Untuk catu laboratorium, RL = 40 Q.

Hasil dari contoh sebelumnya mengungkap bahwa bentuk modifikasi berikut mengenai teorema pemindahan daya maksimum tersebut benar: Untuk beban yang dihubungkan secara langsung menuju catu tegangan dc, daya maksimum diberikan kepada beban pada saat hambatan beban sama dengan hambatan dalam sumber tersebutj jadi, bila

(9.6)

CONTOH 9.15. Analisis sebuah jaringan transistor dihasilkan dalam susunan yang disederhanakan terdapat pada Gambar 9.81. Tentukan RL yang diperlukan agar terjadi pemindahan daya maksimum menuju RL, dan hitunglah daya yang menuju RL pada keadaan ini.

452

Teknik RanglcaianListrik

GAMBAR 9.81

Penyelesain:

Persamaan (9.3); RL=Rs =40kQ

PRN Persamaan (9.5): PL -~= - 4

(10

X

10-' A)'(40 kG) 4

~

1W

CONTOH 9.16. Untuk jaringan pada Gambar 9.82, tentukan harga R agar terjadi pemindahan daya maksimum menuju R, dan hitunglah daya yang diberikan pada keadaan ini. RJ

RI

+

6

E12V

R2

R

3 !l

GAMBAR 9.82

Penyelesain:

Lihat Gambar 9.83 RTh= R3+ Rill Rz = 80+

60

(6 0)(3 0) 6 0 +3 ~ = 8 0 + 2 0

so

GAMBAR 9.83

Teorema Jaringan

dan

453

= RTh = 10 0

R

Liliat Gambar 9.84 E

_

R2E

_ (3 0)(12 V) _ 36 V _

Th- R2 + R. -

30 + 60 -

+ V3

= 0v

6

+

R =3n

E12V

- 4V

R3

RI

+

9

ETh

ETh

GAMBAR 9.84

dan dengatT Persamaan (9.4), P

. = ~E2 =

Lmu

4RTh

2 (4 V)

= 0.4 W

4(100)

CONTOH 9.17. Tentukan harga RL pada Gambar 9.85 untuk daya maksimum menuju RL, dan tentukan daya maksimum. 3n

+- -

68V

IOn

2n GAMBAR9.85

Penyelesaian:

dan

Lihat Gambar 9.86; RTh= Rl + R2 + R3 = 3 n + IOn + 2 n = 15 n

454


R, 4.Nv 30

I

~

-R,,"

R:~IO 0 I

l

.

GAMBAR 9.86

Catat Gambar 9.87, di mana

- \", = 0 \" + 1=0 +--

I

;

I=r-\

- ..t

6A

...\":

!

~

.I~

E,

'M

+ II

R" = 30

~"

R:

6X

.

\"

'.-..

= 10n

.

~'M

!'I=/)A

R. = ~ n \", = 0 \" -

-

GAMBAR 9.87

dan v~

= I:R~ = IR~ = (6

A)(\O 11) = 60 \"

Pemakaian hukum tegangan Kirchoff,

dan En. = \.:

-

E;

= 60

V + 68 V

=

128 V

Jadi,

PL

-.

= Eh.

~Rn.

_ (128 V)~ - ~'15 11)

"

= 273.07

W

Teorema Jaringan

455

9.6 TEOREMA MILLMAN Melalui pemakaian teorema Millman, sembarangjumlah sumber tegangan sejajar dapat disederhanakan menjadi satu. Contohnya pada Gambar 9.88, tiga sumber tegangan dapat disederhanakan menjadi satu. Hal ini memungkinkan perolehan arus yang melalui atau tegangan yang melintas RL tanpa harus menggunakan metode seperti analisis mesh, analisis titik, superposisi, dan lain sebagainya. Teorema tersebut dapat diuraikan dengan cara yang paling baik dengan menerapkannya pada jaringan yang terdapat pada Gambar 9.88. Pada dasarnya ada tiga langkah yang terlibat dalam pemakaiannya.

GAMBAR 9.88

Langkah 1: Ubahlah semua sumber tegangan menjadi sumber arus seperti yang telah diutarakan dalam PasaI8.3. Langkah ini dilakukan pada Gambar 9.89 untukjaringan pada Gambar 9.88.

GAMBAR 9.89

456


Langkah 2: Gabungkan sumber arus sejajar seperti yang diuraikan pada Pasal 8.4. Jaringan yang dihasilkan diperlihatkan pada Gambar 9.90, di mana IT

= II + h + 13

GT=GI + G2 + G3

GAMBAR 9.90

Langkah 3: Ubahlah sumber arus yang dihasilkan tersebut menjadi sebuah sumber tegangan, dan jaringan sumber tunggal yang diinginkan diperoleh seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.91.

-- GAMBAR 9.91

Secara umum, teorema Millman menyatakan bahwa untuk sembarang jumlah sumber tegangan sejajar, Esetara

atau

. . . :t IN + G2 + G3 + . . . + Gn

IT

:t II :t h :t 13 :t

GT

GI

=- =

Teorema Jaringan

457

(9.7)

Tanda plus dan minus yang tampak pada Persamaan (9.7) untuk mencantumkan kasus-kasus di mana sumber barangkali tidak mencatu energi dengan arah yang sarna. (Catat Contoh 9.18.) Hambatan setaranya adalah

(9.8)

Dalam suku harga hambatan,

(9.9)

dan (9.10) Sedikit langkah yang relatif langsung diperlukan agar memungkinkan para mahasiswa menggunakan masing-masing langkah daripada menghafal dan menggunakan Persamaan (9.7) sampai (7.10). CONTOH 9.18. Dengan menggunakan teorema Millman" tentukan arus yang melalui dan tegangan yang melintas tahanan RL pada Gambar 9.92.

E) 16V ~8

GAMBAR 9.92

Penyelesaian:

Dengan Persamaan (9.9),

V

458


EJ E2 +---+RJ 1

R2 1

-+-+RJ

R2

E3

R3 1 R3

Tanda minus digunakan untuk E2/R2 karena catu terse but memiliki polaritas yang

berlawanan dengan dua catu yang lain. Oleh karena itu pemilihan arah referensi sesuai dengan EI dan E3. Hantaran total tidak dipengaruhi oleh arOO,dan 10V 16V 8V +---+50. 40. 20. = 2A-4A+4A 1 1 1 0.2 S + 0.25 S + 0.5 S -+-+5H 40. 20. 2A =-=2.105V 0.95 S dengan

=

R cq

1 1

=

1

1

-+-+50. 40.

1 0.95 S = 1.053 fi

20.

Sumber yang dihasilkan diperlihatkan pada Gambar 9.93, dan h

=

2.105V

1.053 0. + 3 0.

= 2.105V = 0.519A 4.053 0.

GAMBAR 9.93

dengan VL

= hRL = 10.519

:\)(3 HI

= 1.557 V

Teorema Jaringan

459

CONTOH 9.19. Marilah kita perhatikan masalah sejenis yang dihadapi dalam pengenalan analisis mesh dan titik dalam Bab 8. Analisis mesh digunakan untuk jaringan pada Gambar 9.94 (Contoh 8.12). Kini marilah kita gunakan teorema Millman untuk memperoleh arus yang melalui tahanan 2-Q dan bandingkan hasilnya.

GAMBAR 9.94

a. Pertama-tama marilah kita gunakan masing-masing langkah dan pada penyelesaian (b) dengan Persamaan (9.9). PengubahaTl sumber akim menghasilkan Gambar 9.95. Penggabungan sumber dan hantarancabang sejajar (Gambar 9.96) menghasilkan 5 333 1 GT = GI + G2 = 1 5 + - 5 6 IT

15

5

6 6

I 6

20 A 3 7 =- 5 6

= II + 12 = 5 A + - A = - A + - A = -

--- -

=- 5 +- 5

-

GAMBAR 9.95

GAMBAR 9.96

Dengan mengubah sumber arus menjadi sumber tegangan (Gambar 9.97), kita peroleh 20 -A IT 3 (6)(20) 40 E vV eq- GT - -5 7 - (3)(7) - -, 6

460


GAMBAR 9.97

dan 116 G" 7 T -s 6

R =-=-=-0 eq

7

dengan demikian maka

=

40V 7 6 -0+20 7

_ -6

40 -V 7 =40V 200 =2A

7"0+.!io7

yang cocok dengan hasil yang diperoleh dalarn Contoh 8.18. b. Kini marilah kita gunakan persamaan yang sesuai, Persarnaan (9.9): 30 V 10 V 5V IOV +-+-+10 60 E = 60 60 =40V eq 1 1 6 1 7 -+-+10 60 60 60 dan R = eq

1 -+10

1 60

6 -+60

1 60

=~

7 -s 6

6

=-0 7

yang sarna dengan harga yang diperoleh di atas.

Teorema dual Millman menggabungkan sumber arus serioDual dari Gambar 9.88 adalah Gambar 9.98.

Teorema Jaringan

461

GAMBAR 9.98

Dapat diperlihatkan bahwa Ieq dan Req seperti yang diperlihatkan pada Garnbar 9.98 ditentukan oleh persarnaan

(9.11) dan (9.12) Penurunan persarnaan terse but akan dijadikan soal pada akhir Bab ini.

9.7

TEOREMA PENGGANTIAN Teorema penggantian mtmyatakan hal berikut:. Jika tegangan yang melintas dan arus yang melaJui sembarang eabang pada sebuah jaringan de dua arah diketahui, moka eabang ini dapaJ diganti dengan sembarang gabungan elemen yang akan mempertahankan tegangan lintas dan arus yang melaJui eabang yang dipilih. Yang lebih ringkas, teorema tersebut menyatakan bahwa untuk cabang yang setara, maka tegangan terminal. dan arus harus sarna. Perhatikan rangkaian pada Gambar9.99 yang mana tegangan yang melintas atau arus yang melalui cabang

462


a

6!l E

30 V

~3A + R2 ~ 4!l :2 V b

GAMBAR 9.99

a-b yang ditentukan. Melalui penggunaan teorema penggantian, sejumlah cabang a-a' yang setara diperlihatkan pada Gambar 9.100. Catat bahwa untuk masing-masing kesetaraan, tegangan terminal dan arusnya sarna. Juga perhatikan bahwa tanggapan rangkaian yang tersisa pada Garnbar 9.99 tidak berubah dengan adanya penggantian salah satu cabang yang sarna. Sebagaimana ditunjukkan oleh kesarnaan sumber tunggal pada Gambar 9.100, perbedaan potensial dan arus yang diketahui dalam sebuah jaringan masing-masing dapat diganti dengan sebuah sumber tegangan ideal dan sumber arus ideal. Ketahuilah bahwa teorema ini tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan jaringan yang memiliki dua sumber atau lebih yang tidak seri atau sejajar. Baginya agar bisa digunakan, beda potensial atau harga arus harus diketahui atau diperoleh dengan menggunakan salah satu teknik yang telah dibahas sebelumnya. Salah satu pemakaian teorema terse but diperlihatkan pada Gambar 9.101. Catat bahwa dalarn Gambar tersebut beda potensial V yang diketahui telah diganti dengan sebuah sumber tegangan, yang memungkinkan penyekatan bagian jaringan yang mencakup R3, R4, dan Rs. Ingat bahwa ini merupakan dasar bagi pendekatan yang digunakan dalarn analisis jaringan tangga yang telah kita kerjakan

ke arah tahanan terminal Rs.

a

a

!3A 12V f+

a

2!l

]3A

12V

+

_II2V b

a

_ b

2A

1

12!l

6VI_ b

GAMBAR 9.100

b

I: V

Teorema Jaringan

RI

a

RJ

a

463

RJ

<;>

R'

+

_

Rs £VT

b

R'1 b

GAMBAR 9.101

Sumber arus setara rangkaian di atas diperlihatkan pada Gambar 9.102, di mana arus yang diketahui besamya diganti dengan sebuah sumber arus ideal, yang memungkinkan penyekatan R4 dan Rs. Anda juga akan ingat dari pembahasan mengenai jaringan jembatan bahwa V = 0 dan I = 0 masing-masing digariti sebuah hubung-singkat dan sebuah untai terbuka. Penggantian ini merup.akanpemakaian yang sangat khusus dari teorema penggantian.

a

-I

b

b

-

GAMBAR 9.102

464


9.8 TEOREMA TIMBAL-BALIK Teorema timbal-balik dapat digunakan hanya terhadap jaringan yang memiliki sumber tunggal. Oleh karena itu bukan sebuah teorema yang digunakan dalam analisis jaringan yang memiliki banyak sumber yang diuraikan sejauh ini. Teorema tersebut menyatakan sebagai berikut: Arus I dalam sembarang cabang pada sebuah jaringan, karena adanya sumber tegangan tung gal E di manapun di dalam jaringan tersebut, akan sama dengan arus yang melalui cabang tersebut yang mana sumber yang sebenarnya terletak jika sumber tersebut ditempatkan dalam cabang yang mana arus I yang sebenarnya diukur.

Dengan kata lain, letak sumber tegangan dan arus yang dihasilkan dapat dipertukarkan tanpa adanya perubahan arus. Teorema tersebut memerlukan syarat bahwa polaritas sumber tegangan tersebut memiliki hubungan yang sarna dengan arah arus cabang pada masing-masing posisi. Dalam jaringan yang mewakili pada Gambar 9.103(a), arus I yang disebabkan karena adanya sumber tegangan E telah ditentukan. Jika letak masing-masing dipertukarkan seperti diperlihatkan pada Gambar 9.103(b), maka arus I akan memiliki harga yang sarna seperti yang ditunjukkan. Untuk menunjukkan keabsahan pemyataan dan teorema ini, perhatikan Gambar 9.104, yang mana harga elemen pada Gambar 9. 103(a) telah ditetapkan. Hambatan totalnya sebesar RT

= R) + R211 (R3 + R4) = 12 n + 6 n

II

(2

n + 4 n)

= 12n + 6 n 116n = 12n + 3 n = 15n a

II

Ii

E ':"&

b (a)

cI6

c

I

E

b (b)

GAMBAR 9.103

d

Teorema Jaringan

465

R,

R, . I:! !1 I'~ , E~ .:5\'

,I,

I

GAMBAR 9.104

dan I, = ..£ _ -15 \. . Rr - .15 ! 1 = .3.-\

dengan I=~ 3 A = 1.5 :\

Untuk jaringan pada Gambar 9. I 05 yang berhubungan dengan jaringan pada Gambar 9. I01(b), kita peroleh Rr = R~

-

= -1 !1

R, - R, R: - 2 !1 12 !! .;..

: 6 !! = lU !!

R. 12 11

.

I

2n

--!!.' ~ R, F~J' I,

GAMBAR 9.105

J

I

I

J !! \

466


dan Is

=~

RT

--

45 V

10 0 = 4.5 A

dengan demikian 1=

(60)(4.5

A)

12 0 + 6 0

4.5 A =-=15A

3

.

yang eoeok dengan hasil yang diperoleh di atas. Keunikan dan kemampuan teorema ini dapat ditunjukkan dengan eara terbaik yaitu dengan memperhatikan sebuah jaringan sumber-tunggal yang rumit seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.106.

q

l'

rw.-r-T3

v

.J

V

,i.J

P

GAMBAR 9.106

9.9 ANALISIS KOMPUTER Begitu mekanisme pada penerapan sebuah paket perangkat-Iunak atau bahasa dipahami, maka kesempatan untuk menjadi kreatif dan pembaharuan akan muncui dengan sendirinya. Melalui pengalaman dalam hal pengamatan dan uji eoba selama bertahun-tahun, para pemrogram yang profesional mengembangkan sebuah katalog mengenai teknik pembaharuan yang bukan hanya seeara fungsional saja tetapi sangat menarik dan hampir artistik seeara alami. Kini banyak operasi dasar yang berhubungan dengan PSPICE yang diperkenalkan, sedikit pembaharuan akan dibuat dalam program berikut. Sebuah program dalam bahasaBA-

Teorema Jaringan

467

SIC akan dicantumkan, akan tetapi analisis akan mengikuti fonnat yang sama dengan yang dihadapi dalam bab sebelumnya, dengan perubahan besar hanya pada tabulasi harga untuk perubahan sebuah variabeI.

PSPICE Superposisi Marilah. kita gunakan superposisi untuk jaringan pada Gambar 9.107, yang tampak sebelumnya sebagai Contoh 9.3, agar memungkinkan pembandingan dari hasil penyelesaian.

OJ

RI

IT]

tv

12 n

E

+ 36 V

R2<: 6 n 1( T ) 9 A

GAMBAR9.107

File masukan untuk seluruh jaringan diberikan pada Gambar 9.108 dengan hasil untuk arus IR2. Untuk memperoleh komponen IR2 hanya dari sumber tegangan, modifikasi yang diperlukan pada file masukan pada Gambar 9.108 adalah dengan menetapkan sumber arus menjadi nol amper, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.109. Hasilnya adalah bahwa Fz sebesar 2 A, sebagaimana yang diperoleh pada Contoh 9.3. Untuk pengaruh dari sumber arus, maka sumber tegangan ditetapkan berharga nol, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 9.110. Akan tetapi ingatlah bahwa pernyataan .DC harus ditulis kembali untuk sumber yang akan memiliki besar harga tertentu. Hasil untuk arus F'z adalah sebesar 6 A, selanjutnya sesuaikan hasil pada Contoh 9.3. Jumlah dari Fz dengan F'z menghasilkan arus total sebesar 8 A yang cocok dengan hasil yang diperole~ pada Gambar 9.108. Teorema Thevenin Pemakaian teorema Thevenin memerlukan cara yang menarik untuk menentukan hambatan Thevenin.lni merupakan sebuah cara, akan tetapi cara tersebut memiliki aplikasi yang jauh dari teorema Thevenin bila

468


************************ CHAPTER

Evaluation

PSpice

(January

1989) *******

10:27:15

*******

9, SUPERPOSITION

/

****

CIRCUIT

,

DESCRIPTION

-

****************************************************************************

VE 1 0 36V Rl 1 :2 12 R2 2 (> 6 IS 0 2 9A .DC VE 36 36 1 .PRINT DC I(R:;» .OPTIONS NOPAGE .END

****

DC TRANSFER

3 &bOOE .. (' 1

B . (h)O[

CURVES

TEMPERATURE

27.000

DEG

C

.1)(1

GAMBAR 9.108

************************ CHAPTER

Evaluat.on

PSpice

(January

19~9) *******

10:31:19

9, SUPERPOSITION

****

CIRCUIT

DESCRIPTION

****************************************************************************

VE 1 0 36V Rl 1 :2 12 R2 2 (> 6 IS 0

:;>OA

DC VE ",6 3b 1 .PRINT DC I (F/2) .

.OPTIONS .END

****

VE

NOPAGE

1)( TPANSFF.P CUR\'Eo.

TF.MPER~TllnE

::7. (1)(,

[lfG

C

*******

Teorema Jaringan

************************ CHAPTER

****

9.

Evaluation

PSpice

(January

1989)

469

******* 10:33:25 *******

SUPERPOSITION

CIRCUIT DESCRIPTION

**********************.*.*****.******.**************************************

VE 1 0 OV Rl 1 2 12 R2 2 0 6 IS 0 2 9A .DC IS 9 9 1 .PRINT DC I(R2) .OPTIONS NOPAGE .END

....

DC TRANSFER

IS

CURVES

TEMPERATURE

27.000

DEG C

I(R2)

9.0(}C)E+OO

b.OOOE-+OO

GAMBAR 9.110

diperlukan harga narnbatannya. Jaringan yang akan dianalisis tampak pada Gambar 9.111 yang sarna dengan jaringan yang dianalisis pada Contoh 9.10. Catat bahwa harnbatan yang sangat besar pada file masukan pada Garnbar 9.12 antara tenninal 4 dan 0 untuk meniru keadaan untai terbuka. PSPICE tidak mengenal "titik bayangan" yang memerlukan paling sedikit satu lintasari de menuju referensi (dalarn kasus ini adalah tanah). Iajuga memerlukan bahwa masing-masing titik muneul dua kali dalarn file masukan (untuk menyelesaikan rangkaian harnbatan yang sebelumnya). File keluaran pada Garnbar 9.112 mengungkap bahwa tegangan untai terbuka EThsebesar -3 V agar eocok dengan penyelesaian pada Contoh 9.10. Tanda minus menunjukkan bahwa titik 4 berada pada potensial yang lebih rendah dari titik referensi

O.


470

rn

R4

m I 80

EI

+

'I8I:.

En

-

6 V E2..... 10 V R+kfi

Tb

- [Q]

GAMBAR 9.111

************************ Chapter

9 - Thevenin's

****

CIRCUIT

Evaluation Theorem

PSpice

(January

1989)

****~** 17:27:53 *******

E(th)

DESCRIPTION

****************************************************************************

VIOl

DC bV

V2 3 0 DC IOV RI J,2 .8K R2 2 "3 4K R3 2 0 bK R4 2 4 1.4K RL 4 0 IE30 .DC VI b b I .PRINT DC V(4,O) .OPTIONS NOPAGE .END

****

DC

VI b .OOcE

TRANSFER

CURVES

TE'MPERAllIRE

V(4,O) ~

00

-:."..OOOE

+(10

GAMBAR 9.112

'27.000

DEG

C

Teorema Jaringan

471

Untuk menentukan RTh, sumber arus 1 A digunakan untuk jaringan pada Gambar 9.111, seperti yang diperlihatkan pada Garnbar 9.113(a). Pada Garnbar 9.113(b) harnbatan R dapat ditentukan dengan menggunakan hukum Ohm dan tegangan VR yang dihasilkan adalah sebagai berikut: (9.13) Pada Persarnaan (9.13), kareJia 1= 1 A maka harga R dalarn ohm sarna dengan harga tegangan YR. Oleh karena itu bila V(4,0) diminta dalarn file masukan pada Gambar 9.114, maka anda sebenarnyajuga memperoleh besar RTh. File keluaran pada Gambar 9.114 mencetak harga 2 kV untuk VR, yang kita baca sebagai harga RTh = 2 kO, seperti yang diperoleh pada Contoh 9.10.

R

I I ..I?:~

I'; U}

0

i; I I

-=-

,'?'~"'Ul

ii

1"\

I

i(

I,

,.-

J..11

.

I

l ICDI'\

II

R\"

! 11.-\

!-

i i i:-G

J.

,I-,

GAMBAR9.113

Perubahan Seban File masukan yang berikutnya akan menganalisisjaringan yang cukup rumit pada Gambar 9.115 untuk bermacam-macam harga RL.Lima baris yang pertarna dalam file masukan pada Gambar 9.116 sarna dengan masukan pada contoh yang lalu, akan tetapi baris RL menentukan harga awal besaran yang diubah-ubah. Dalam kasus ini harga RL yang pertama di mana VRLdan IRLakan ditentukan adalah sebesar I O. Perintah .MODEL digunakan untuk menentukan karakteristik khusus elemen (tahanan, kumparan, kapasitor, piranti semi-penghantar, dan lain sebagainya) untuk referensi selanjutnya dalam proses analisis. Bagi tahanan ia dapat berupa toleransi atau koefisien suhu. Dalam aplikasi ini karakteristik

472


************************

Chapter

****

Evaluation

9 - Thevenin's

Theorem

PSpice

(January

1989)

*******

17:38:34

R(th)

CIRCUIT DESCRIPTION

****************************************************************************

V1 0 1 DC OV V2 3 0 DC OV 11 0 4 DC 1A R1 1 2 .8K R2 2 3 4K R3 2 0 6K R4 2 4 1.4K .DC 11 1 1 1 .PRINT DC V(4,O) .OPTIONS NOPAGE .END

****

DC TRANSFER

11 1.OOOE+OO

CURVES

TEMPERATURE

27.000

V(4,O) 2.000[+03

GAMBAR 9.114

ill E

GAMBAR 9.115

DEG

C

*******

Teorema Jaringan

Evaluation PSpicv (January 1999) Chaptvr

9

...*

- Load

20102112 .......

Variation

CIRCUIT DESCRIPTION

*...*

*.****.*.*.*

*.*

*.**..............

VE 1 0 48V IS 0 2 2A

R1 1 2 b R2 2 0 :5 R:5 2 :5 8 RL :5 0 RLOAD 1 .MODEL RLOAD RES .DC RES RLOAD (R) 1 20 .PRINT DC V(RL) I(RL) .PLOT DC V(RL) I(RL)

. OPTl

ONS

NOPAGE

.END

....

DC

TRANSFER

R

V(RL) 1.000E+OO 2.000E+OO 3.000E+OO 4.000E+OO 5.000E+OO 6.000E+OO 7.0()OE+OO 8.000E+OO 9.000E+OO 1.000E+Ol 1.100E+Ol 1.200E+Ol t.300E+Ol 1.400E+Ol 1.500E+Ol 1.600E+Ol 1.700E+Ol 1.800E+Ol 1.900E+Ol 2.000E+Ol

TEMPERATURE

CURVES

1.818E+OO 3.333E+OO 4.615E+OO 5.714E+OO 6.667E+OO 7.500E+OO 8.235E+OO 8.889E+OO 9.474E+OO 1.000E+Ol 1.048E+Ol 1.091E+Ol 1.130E+Ol 1.167E+Ol 1.200E+Ol 1.231E+Ol 1.259E+Ol 1.286E+Ol 1.310E+Ol 1.333E+Ol

I (RL)

1.818E+OO 1.667E+OO 1.538E+OO 1.429E+OO 1.333E+OO 1.250E+OO .1.176E+OO 1.111E+OO 1.053E+OO .1.000E+OO 9.524E-Ol 9.,091E-Ol 8.696E-Ol 8.333E-Ol 8.000E-Ol 7.692E-Ol 7.407E-Ol 7.143E-Ol 6.897E-Ol 6.667E-Ol

..

27.000

DEG C

473

474

Teknik Riingkaian Listrik

****

DC TRANSFER

27.000

TEMPERATURE

CURVES

DEG C

LEGEND: *: V(RL) +: J (RL) R

l*)---------(+)---------1.000E+00 2.000E+00 3.000E+OO 4.000E+OO 5.000E+00 6.000E+00 7.000E+00 8.000E+00 9.000E+00 1.000E+Ol 1.100E+Ol 1.200E+Ol 1.300E+Ol 1.400E+Ol 1.500E+Ol 1.600E+Ol 1.700E+Ol 1.800E+Ol 1.900E+Ol 2.000E+Ol

V(RL) O.OOOOE+OO 5.0000E-Ol 1.818E+00 3.333E+00 4.615E+00 5.714E+00 6.667E+00 7.500E+00 8.235E+00 8.889E+00 9.474E+OO 1.000E+Ol 1.048E+Ol 1.091E+Ol 1.130E+Ol 1.167E+Ol 1.200E+Ol 1.231E+Ol 1.259E+Ol 1.286E+Ol 1.310E+Ol 1.333E+Ol

*

*

.. *

1.5000E+Ol 2.0000E+00

1.0000E+Ol 1.5000E+00

5.0000E+00 1.0000E+00

+

*

. .+

+

2.0000E+Ol 2.5000E+00

------

+

+ X +

.+ + +.

+

*

*

..

* .*

+

+ + + +

*

*

*

+

+ + +

*

*

* *

* . * - - - - - - - - - - - - - - - - - -

GAMBAR 9.116

khusus tidak diberikan akan tetapi perintah tersebut diperlukan bila RL diubahubah antara batas khusus. Bagi file rnasukan sifat ini rnerniliki format berikut dengan nama variabel yang dipilih oleh pernakai. .MODEL

,RLOAD, Name

RES

Perintah selanjutnya rnenentukan variabel yang diubah antara batas yang ditunjukkan pada baris yang sarna. Dalarn kasus ini RL akan diubah dari 1 n

.. ___ _.

____

__ _ __

u._

___ ___ _

Teorema Jaringan

475

sampai 20 n dengan penambahan1 n. Fonnat dasar yang mengikutitanda kurung merupakan besaran yang dapat diatur oleh pemakai. .DC

RES

~D~

(R)

Name

1 '-.-'1 ' 20 ' '-.-' BeginningFinal Increment value value

Pernyataan .PRINT menentukan VRL dan IRL sebagai besaran keluaran dan perintah .PLOT DC meminta bahwa data tersebut di atas digambar untuk jangkauan harga RL. File keluaran pada Gambar 9.116 mencetak daftar harga RL, VRr. dan IRLuntuk jangkauan harga RL. Catat bahwa VR bertambah besar akan tetapi dengan pesat yang lebih lambat daripada RL yang akan menghasilkan penurunan besar IRL' Seluruh gambar yang diperlihatkan telah dihasilkan dengan menggunakan PSPICE tanpa tambahan komentar atau perhitungan dalam file masukan. Penetapan skala, pemilihan notasi untuk VRL(*) dan IRL (+), penggambaran rutin, dan lain-lain, merupakan bagian dari paket perangkat-Iunak PSPICE. Pad~ bagian atas gambar, catat bahwa "LEGEND" diberikan untuk penjelasan danjangkauan harga VRLdari 0 sampai 20 V dengan IRL dari 0.5 A sampai 2.5 A. Harga RL dicetak pada ujung kiri yang membentuk sumbu-x, sementara VRLdan IRL membentuk sumbu-y (dengan gambar berada pada posisi 90°). Gambar tersebut meng-

.'

************************Evaluation .

Chapter

****

9

-

PSpice

(January

19891 *******

10:30:55

POWER CIRCUIT

CIRCUIT DESCRIPTION

.*******.*..*********.*******..**********..**.*..**..* VE 1 ° 4V R1 1 2 5 R2 2 0 RLOAD 1 .MODEL RLOAD RES .DC RES RLOAD (RI 1 10 0.1 .PROBE .OPTlONS NOPAGE .END

GAMBAR

9.117

*.*..**..**....

*******

476


ungkap dengan jelas bahwa VRLbertambah dengan bertambahnya harga RL, sedangkan IRLberkurang besarnya.

.PROBE Perintah terakhir yang diperkenalkan dalam bab ini adalah .PROBE, yang bertindak seperti sebuah osiloskop perangkat-lunak. Ia memberikan tampilan variabel khusus yang bisa dilihat dengan sejumlah kendali pada keluaran yang tidak dapat dilakukan dengan perintah .PLOT. Prosedur dasar untuk menjalankan .PROBE diliput dalam Lampiran A, dengan komentar yang ditawarkan di sini terbatas pada kurva keluaran. Gambar yang diperoleh adalah untuk daya bagi R pada jaringan Gambar 9.75 untuk RL dari 1 0 sampai 10 0 dengan kenaikan 1 O. ETh besarnya 4 V dan RThsebesar 5 0, yang akan menghasilkan Gambar yang mirip dengan Gambar 9.77. Jika sistem anda memiliki Math Processor untuk menjalankan .PROBE semua yang diperlukan adalah memanggil .PROBE seperti yang ditunjukkan dalam file masukan pada Gambar 9.117. Tapi ingat bahwa file masukan tidak menentukan gambar yang diperoleh. Salah satu keunggulan penting dari perintah .PROBE adalah bahwa sebuah variabel khusus dapat digambarkan atau sebuah besaran dapat ditentukan dengan sebuah operasi matematika. Dalam kasus ini, karena PL = VL2IRL, bila kita minta gambar V(2)*V(2)/R maka akan menghasilkan kurva pada Gambar 9.118. Catat bahwa gambar tersebut tepat sarna dengan yang diperoleh pada Gambar 9.77 dengan daya maksimum 800 mW (0.8 W) pada RL= 5 O. Dengan menggunakan .PROBE pada perubahan penetapan skala tegak, maka tampilan puncak yang diperbesar dapat diperoleh seperti diperlihatkan pada Gambar 9.119.

BASIC Program BASIC pada Gambar 9.120juga akan menganalisis jaringan pada Gambar 9.115 akan tetapi juga memberikan harga EThdan RTh dan membuat tabel daftar variabel keluaran yang berubah dari RTh/5sampai 2 RThdengan kenaikan RTh/5(baris 330). Karena RThsebesar 10 0, maka jangkauan harga RL dari 2 0 sampai 20 0 dengan kenaikan 2 O. Baris 130 sampai 180 meminta parameter jaringan, sedangkan baris dari 220 sampai 210 menghitung RTh.EThditentukan oleh baris 220 sampai dengan 260 dengan menggunakan superposisi, EThdan RTh dicetak oleh baris 270 sampai 290. Baris 310 dan 320 memberikan judul bagi pencetakan, dengan perintah TAB yang menentukan spasi dari ujung kiri kertas dan antar kolom. Jangkauan harga RL ditentukan oleh baris 330, dan semua yang diperlukan untuk perhitungan dilakukan oleh baris 340 sampai 360. Baris 390 menentukan bahwa jika harga RL untuk sebuah kalang khusus sarna dengan RTh,

Teorema Jaringan

Chapler 9 Dale/Time run: 03/08/89 800mto o

1551'15

-

POWER CIRCUIT

Temperalure' - - _tn_u

---- ~ +- -- - - -t-- n - - -+- --

- -+u

+_u

-- -t-n-

27 0 - --t

o o

,

,, ,, , , to

, o

,, ,, ,

700m+o

o

o o

, , ,, ,

,, ,, .;. , o

600m+o o ,, , ,,

, , , ,

+

, 400m

+ - - - - - - + - - - - - -t- - - - - - -+- - - - - - + - - - -- -t- - - - - - -+- - - - - - + - - - - - -t- -- - - --+ 1 2 3 4 5 6 7 e. 9 10 D

V(2)*V(2J/R

p

GAMBAR 9.118 Ch~pler O~le/Tlme,run

03/09/89

9

-

POWERCIRCUIT

Temper~lure

103055

27 0

820mt - - - - - -- - - - - - + - - - - - - - - - - - - + - - - - - - - - - - - -t- - - - - - - - - - - - -t- - - - - - -- - - - --t

,, ,, ,, o 810mt

800m.;.

1\

,

;

~+

:

!

780m+nn

o

2 __n+__u__ .,0,-",,/,

I

6

_+n

·

\

p

~

GAMBAR 9.119

\\

n;n

10 i

:

477

478

Teknik Rangkaian Listrik 10 REI'Ii

in PRbG .-L..~..*

20 REM.u

m..1

<sp.AaI PrOF-

totebu1.&te

4o.REM.r~9't 30 REM'

.~.", ,***

'...

,

'Ch8I\Q..it't,.l~ lllY1tl.

of load. val",.. u.i.ft9 ,

60. REM 100 PRINT "For 110. ,PRINT "."t... 1~PMNT

the

network of the following

130. INPUT "Rl-",R1

.,>

aREM Ent.,.

- "...

.';,> '114

i~-x~in".~ "'1"1

, ,

". ., rJI

Fig9.11$" data,'"

0. if

r..tator

~1 non-.)(,1.t~,

Rth=

IL 1.666667 1.428572

VL 3.333333 5.714286

1.25

7.5

1.111111 1 .90.90909 .8333333 .769230.8 .7142858 .6666667

8.888889 10 10.90.909 11.66667 12.30769 12.85714 13.33333

PL 5.555556 8.163265 9.375 9.876544 10 9.917354 9.722221 9.467456 9.183674 8.888889

Ok

GAMBAR

9.120

PD 33.33333 28.57143 25 22.22222 20 18.18182 16.66667 15.38462 14.28572 13.33333

I

~ .

140. INPUT "R'2.",R2 ,REM Enter 1E<SO if ,...i.tor non )Ci~~'t 150 INPUT "R3-"JR3 ,REM Enter 0. if re.i.tor non~i.t t 160 INPUT ..Rl JRL 170. INPUT "Supply voltage, E-",E 180. INPUT "and .upply current, 1-",1 190. PRINT ~o. REM Determine Rth 210. RT-R3+R1*R2/(R1+R2) 220. REM U5e 5uerp05ition to determine Eth 230. El-R2tE/(Rl+R2) 240. I2-R2U/ (Rl+R2) 250. E2-R1*R2*I/(Rl+R2) 260. ET-£I+E2 270. PRINT "Using Thevenin'. Theorem," 280. PRINT "Rth ,RT'..ohm... 290. PRINT ".nd Eth-";ET,"volts" 300. PRINT 310. PRINT TAB(7); "RL";TAB<1S), "IL" ,TAB (25) ,"YL", 320. PRINT TAB(3S);"PL",TAB(4S);"PD",TAB(SS),"n'X," 330 FOR Rl.-RT/S TO 2*RT STEP RT/S 340 IL-ET/(RT+RL) 350. VL=-IL*RL 360. PL-IL"'2*RL 370. PD-ETUL 380. N"lo.O*PL/PD 390. IF RLaRT THEN PRINT "Rth.", 40.0. PRINT TAB(5);RL,TAB(13),IL;TAB(23),VLI 410. PRINT TAB(33),PL;TAB(43);PD;TAB(S3);N 420. NEXT RL .. 430. END RUN For the network of Fig. 9.115 enter the following data: R1=? 6 R2=? 3 R3=? 8 RL=? 10 Supply voltage, E=? 48 and supply current, I=? 2 Using Thevenin's Theorem: Rth= 10 ohms and Eth= 20 volts RL 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

." ....

ij

",,~

.

1

nf. 16.66667 28.57143 37.5 44.44445 50 54.54545 58.33333 61.53847 64.28571 66.66666

Teorema Jaringan

479

maka komentar "RTh =" harus ditambahkan pada cetakan seperti yang diperlihatkan. Harga semua be saran dicetak oleh baris 400 dan 410, baris 420 membawa program kembali menuju ke baris 330 untuk mengulang perhitungan untuk harga RL berikutnya.

Catat bahwa daya maksimum diperoleh pada saat RL = RTh = 10 0 dan efisiensi pada keadaan pemindahan daya maksimum sebesar 50 %. PD adalah daya yang diberikan oleh sumber, sedangkan PL adalah daya yang menuju beban.

SOAL PASAL 9.2 Teorema Superposisi

1. a. b. c. d.

Dengan menggunakan superposisi, tentukan arus yang melalui masingmasing tahanan padajaringan Gambar 9.121. Tentukan daya yang diberikan pada RI untuk masing-masing sumber; Tentukan daya yang diberikan pada RI dengan menggunakan arus total yang melalui RI. Apakah superposisi dipakai untuk perhitungan daya? Jelaskim.

R:

E, -=-

III \

R~ ~b

11

I

I

GAMBAR 9.121

2. Dengan menggunakan superposisi, tentukan arus I yang melalui tahanan 10-0 untuk masing-masingjaringan pada Gambar 9.122.

480


I' R.~ln!1 I

-

'~1

-

.t-.

GAMBAR 9.122

*3. Dengan menggunakan superposisi, tentukan arus yang melalui Rl untuk jaringan pada Gambar 9.123. Rs

i

'0

I I

I'!>

R,~Z:..!I

<;mAl ~

,I

I I

'

-

r:n LDJ i'JI

! I ~

L

6A

~

R:~., fl R,

J."7 ;;[1

l

R:

J

n

R,

IS\"

30n

I'!>

E.-=-!: . I

I

I

\"

R.

~: IznE.~~ I ,-

\'

!

GAMBAR 9.123

*4. Dengan menggunakan superposisi, tentukan tegangan V2 untuk jaringan pada Gambar 9.124.

Teorema Jaringan

481

Eo36V

9mA

-

-

GAMBAR 9.124

PASAL 9.3 Teorema Thevenin 5. a. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan di luar tahanan R pada Gambar 9.125.

b. Tentukan arus yang melalu~tahanan R bila R besarnya 2, 30, dan 100 O.

R. 6

E~18V

R3

T

4n

R2 3n

~R

GAMBAR9.125

6. a. TentukanrangkaiansetaraTheveninuntukjaringan di luar tahananR dalammasing-masingjaringanpadaGambar9.126. b. Tentukan daya yang diberikan kepada R bila R sebesar 20 dan 100 O.

482


r. -=- ~o \ I

,II,

GAMBAR 9.126

7. Ulangi SoaI6(a) untukjaringan pada Gambar 9.127

R

E, \

-rn

:.: kf!

1"

"k!1

(II

,'',

GAMBAR 9.127

*8. UIangi Soa16 untukjaringan pada Gambar 9.128. Ion

JA

:5 n

of!

,"I

(/)

GAMBAR 9.128

Teorema Jaringan

483

*9. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk bagian jaringan pada Gambar 9.129di luartitik-titika danb. ~.7 kU

-

I~ \'

ell

III)

GAMBAR9.129

*10. Tentukan rangkaian setara Thevenin untukjaringan di luar R dalam kedua jaringan pada Gambar 9.130.

T R:

R,

20n E

20 v R:

;

III

R,

R)

12n 5 f1

2n R..

16f1

E,

_ 12 \'

~

1

R:

1 1 kH

R

fI

2.2 Hl

R,

b

3 3 kn

R~ ~ - d! ,II,

E:

r -,:

v

GAMBAR 9.130

*11. Untuk jaringah pada Gambar 9.131, tentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan di luar tahanan beban RL.

484


+ 22

\"

~~ U1

f

.~ .~

U1

12 U1

1>.1\ U1

~~t>U1

I I 1

o - i~ \

GAMBAR 9.131

*12. Untukjaringan transistor pada Gambar 9.132, a. Tentukan rangkaian setara Thevenin untuk bagianjaringan yang berada di sebelah kiri terminal basis (B). b. Dengan menggunakan kenyataan bahwa Ie = IE dan VCE= 8 V, tentukan harga IE. c. Dengan menggunakan hasil pada bagian (a) dan (b), hitunglah arus basis IBjika

VBE

= 0.7 V.

d. Berapakah tegangan Vc?

~l' \ C

9 ~<\\

iiI I'

R

~

I ~

GAMBAR 9.132

.

~ ~ U1

"..

Teorema Jaringan

485

PASAL 9.4 Teorema Norton 13. Tentukan rangkaian setara Norton untuk jaringan di luar tahanan R dalam masing-masing jaringan pada Gambar 9.126 dengan: a. mengikuti prosedur yang diberikan dalam naskah ini. b. mengubah rangkaian setara Thevenin menjadi rangkaian setara Norton jika tersedia dari tugas sebelumnya. 14. Ulangi Soal13 untukjaringan pada Gambar 9.127. *15. Ulangi Soal 13 untuk jaringan pada Gambar 9.128. 16. Tentukan rangkaian setara Norton untuk bagian jaringan pada Gambar 9.129 yang berada di luar cabang a-b dengan: a. mengikuti prosedur yang diberikan "CIalamnaskah ini. b. mengubah rangkaian setara Thevenin menjadi rangkaian setara Norton jika tersedia dari tugas sebelumnya. *17. Ulangi SoaI16untuktahananRpadaGambar9.130. 18. Tentukan rangkaian setara Norton untuk bagian jaringan pada Gambar 9.133 yang berada di luar cabang a-b.

611

i i

L

!

~"" cb:, I

!

.t-I

131

GAMBAR9.133

PASAL 9.5

Teorema Pemindahan

Daya Maksimum

19. a. Untuk masing-masing jaringan pada Gambar 9.126, tentukan harga R untuk daya maksimum menuju R. b. Tentukan daya maksimum menuju R untuk masing.:masingjaringan. 20. Ulangi Soal19 untukjaringan pada Gambar 9.127. *21. Ulangi Soal19 untukjaringan pada Gambar 9.128.

486


22. a. Untukjaringan pada Gambar 9.134, tentukan harga R untuk daya maksimum menuju R.

b. Tentukan daya maksimum menuju R. c. Gambarlah kurva hubungan antara daya dan R untuk harga R sebesar 1/4, 1/2,3/4, 1, 1 1/4, 1 1/2, 1 3/4, dan 2 kali harga yang diperoleh pada bagian (a).

GAMBAR9.134

*23. Tentukan hambatan Rl pada Gambar 9.135 sedemikian rupa sehingga tahanan R4 akan menerima daya maksimum. Pikirkan!

R

!I~i

R, :'1111

-

:'11

11

!

. GAMBAR 9.135

*24. a. Untuk jaringan pada Gambar 9.136, tentukan harga R2 untuk daya maksimum menuju R4.

Teorema Jaringan

487

b. Apakah ada pemyataan umum yang dapat dibuat mengenai hal-hal yang diberikansepertidalamSoal 23? R.

R. '" 2S0 E

Y

100 V

2S0 R.

R:

GAMBAR 9.136

*25. Untuk jaringan pada Gambar 9.137, tentukan harga R yang memastikan agar daya maksimum diberikan kepada tahanan 100-0.

~U)n

R

POI

~~.

I R:

~

IOO!!

I

GAMBAR 9.137

PASAL 9.6 Teorema Millman 26. Dengan menggunakan teorema Millman, tentukan arus yang melalui dan tegangan yang melintas tahanan RL pada Gambar 9.138.

R,~

10 n

GAMBAR 9.138

488


27. UIangi Soal26 untukjaringan pada Gambar 9.139.

, Eo

T -~ \

R ~, ~

" 11 F. ~:u to..

~ __

'.

\

11

GAMBAR9.139

28. Ulangi Soal26 untukjaringan pada Gambar 9.140. 10III Wv R.

r

i T

E: ~

; .

:"1 \

I

E.~

t

. 10V Ii I

E.~~.I\

i

I-

i

J

GAMBAR9.140

29. Dengan menggunakan teorema Millman mengenai dualitas, tentukan arus yang melalui dan tegangan y~g melintas tahanan RL pada Gambar 9.141.

I, =

4 A

470

I: = 1.6 A

3.30

GAMBAR 9.141

Teorema Jaringan

489

*30. Ulangi Soal29 untukjaringan pada Gambar 9.142.

8 mA R:

I,

,., S ..11

),U1

:J IIOmA

/,

i

:..J J

R,~ K.2kO

~ mA

I

GAMBAR 9.142

PASAL9.7 TeoremaPenggantian 31. Dengan menggunakan teorema penggantian, gambarlah tiga cabang setara untuk cabang a-b pada jaringan yang terdapat pada Gambar 9.143. 2.5 kO

(/

8 ill

EJ1kO h GAMBAR 9.143

32. Ulangi Soal31 untukjaringan pada Gambar 9.144.

;.

1--:(\~ I 1.11 -

'0

.; mA

.n \

R:~:!I.II

1.5 1;.11

GAMBAR 9.144

*33. Ulangi Soal31 untukjaringan pada Gambar 9.145. Hati-hati!

490


GAMBAR 9.145

PASAL 9.8 Teorema Timbal-balik 34. a. Untukjaringan pada Gambar 9.146(a), tentukan arus 1. b. UIangi bagian (a) untukjaringan pada Gambar 9.146(b). c. Apakah teorema timbal-balik dipenuhi?

8 Ul

8 \en

. I

GAMBAR 9.146

35. Ulangi Soal 34 untukjaringan pada Gambar 9.147.

I

E~

GAMBAR 9.147

,

10 \'

Teorema Jaringan

491

36. a. Tentukan tegangan V untukjaringan pada Gambar 9. 148(a). b. Ulangi bagian (a) untukjaringan pada Gambar 9.148(b). c. Apakah dualitas dari teorema timbal-balik dipenuhi? I

= tJ A

rB-i I

I

i

R,~;

:u 11

R:

I

:u R.

'~I

I

R,

;n

R.

4U

,bl

GAMBAR 9.148

PASAL 9.9 Analisis Komputer PSPICE 37. Tulisiah file masukan yang diperlukan untuk menentukan arus I dan komponennya untukjaringan pada Gambar 9.122(a) dengan menggunakan superposlsl. 38. Ulangi Soal 37 untuk jaringan pada Gambar 9.122(b). *39. Tulislah file masukan yang diperlukan untuk menentukan tegangan V2 dan komponennya untuk jaringan pada Gambar 9.142 dengan menggunakan superposlsl. 40. Tulislah file masukan untuk menentukan rangkaian setara Thevenin untuk jaringan pada Gambar 9.126(11)di luar tahanan R. *41. Ulangi Soal40 untukjaringan pada Gambar 9.128(11). *42. Ulangi Soal40 untukjaringan pada Gambar 9.130. 43. Tulislah file-file masukan yang diperlukan untuk menentukan rangkaian setara Norton untukjaringan di luar tahanan R pada Gambar 9.128(1). *44. Ulangi Soal 22 dengan menggunakan PSPICE.

492


BASIC 45. Tulislah sebuah program untuk menentukan arus yang melalui tahanan 10-Q pada Gambar 9.122(a) (untuk sembarang harga komponen) dengan menggunakan superposisi. 46. Tulislah sebuah program untuk melakukan analisis yang diperlukan untuk Soal 8, yaitu jaringan (II) untuk sembarang harga komponen. *47. Tulislah sebuah program untuk melakukan analisis pada Soal 22 dan buatlah tabel daya pada R untuk harga yang terdapat dalam bagian (e).

DAFT AR ISTILAH Maximum power transfer theorem: Sebuah teorema yang digunakan untuk menentukan tahanan beban yang diperlukan untuk menjamin agar pemindahan daya yang menuju beban dapat maksimum. Millman's theorem: Sebuah metode yang menggunakan perubahan sumber sehingga memungkinkan penentuan variabel yang tidak diketahui dalam sebuah jaringan yang memiliki banyak sumber. Norton's theorem: Sebuah metode yang memungkinkan penyederhanaan sembarang jaringan de linear dua arah menjadi sebuah jaringan yang memiliki sebuah sumber arus tunggal dan sebuah tahanan yang sejajar. .PROBE: Sebuah perintah dalam PSPICE untuk memperoleh file keluaran yang berisi garnbar dan data. Reciprocity theorem: Sebuah teorema yang menyatakan bahwa untuk jaringan yang memiliki sumber tunggal, arus dalam sembarang eabang dalam sebuah jaringan yang disebabkan karena adanya sebuah sumber tegangan dalam jaringan tersebut, akan sarna dengan arus yang melalui eabang tersebut yang mana sumber yang sebenarnya terletakjika sumber tersebut ditempatkan pada eabang di mana arus yang sebenarnya diukur. Substitution theorem: Sebuah teorema yang menyatakan bahwajika tegangan yang melintas dan arus yang melalui sembarang eabang jaringan de dua arah -diketahui, maka eabang tersebut dapat diganti dengan sembarang gabungan elemen yang masih tetap mempertahankan harga tegangan lintas dan arus yang melalui eabang yang dipilih. Superposition theorem: Sebuah teorema jaringan yang memungkinkan perhatian akan pengaruh masing-masing sumber seeara individu yang tidak tergantung satu sarna lain. Arus dan/atau tegangan yang dihasilkan merupakan jumlah aljabar arus dan/atau tegangan yang dihasilkan oleh masing-masing sumber yang tidak tergantung satu sarna lain.

Teorema Jaringan

493

Thevenin theorem: Sebuah teorema yang memungkinkan penyederhanaan sembarang jaringan de linear dua-terminal menjadi sebuah jaringan yang memiliki sebuah sumber tegangan dan sebuah hambatan serio

Teorema Jaringan 9.1 PENDAHULUAN 9.2 TEOREMA SUPERPOSISI

Recommend Documents