Contoh 5.1 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema superposisi

BAB V TEOREMA-TEOREMA RANGKAIAN

5.1

Teorema Superposisi

Teorema superposisi bagus digunakan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan rangkaian yang mempunyai lebih dari satu sumber tegangan atau sumber arus. Konsepnya adalah melihat bahwa besar arus yang mengalir pada tiap cabang merupakan penjumlahan dari tiap-tiap arus yang dihasilkan oleh masing-masing sumber tegangan atau sumber arus yang terpasang pada rangkaian tersebut. Misalkan dalam sebuah rangkaian ada N sumber. Kita ingin menghitung besar arus I yang melewati pada salah satu cabang rangkaian. Caranya adalah, pertama kita pilih salah satu sumber kita pakai sebagai sumber tunggal. Untuk sumber yang lain berlaku ketentuan berikut: Jika sumber lainnya berupa sumber tegangan, maka dilakukan hubung singkat. Jika sumber lainnya berupa sumber arus, maka sumber arus diputus (rangkaian terbuka). Kemudian kita hitung besar arus yang melewati cabang yang ditanyakan untuk sumber pertama, misalnya I1. Dengan cara yang sama kita kerjakan untuk sumber yang lain, misalnya diperoleh I2, I3,…IN. Maka besar arus yang melewati cabang tersebut adalah : I = I1 + I2 + I3 + …..+ IN. Teorema ini hanya berlaku untuk rangkaian yang bersifat linier, yaitu rangkaian yang memenuhi persamaan f(x) = k x, dimana k = konstanta dan x = variable, dengan beberapa buah sumber tegangan atau sumber arus.

Contoh 5.1 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema superposisi.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 1

Jawab: Pertama kita pilih sumber tegangan 20V kita pakai sebagai sumber tunggal. Sedangkan sumber yang lain berupa sumber arus 1A, diganti dengan rangkaian terbuka (diputus). Maka diperoleh gambar berikut

Berdasarkan Gambar diatas maka:

Selanjutnya kita pilih sumber arus 1A sebagai sumber tunggal. Maka sumber yang lain yaitu sumber tegangan 20V, diganti dengan hubung singkat, diperoleh Gambar berikut.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 2

Besar arus i2 adalah:

Sehingga, besar arus i adalah :

Contoh 5.2 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema superposisi.

Jawab: Sumber tegangan 17V dipilih sebagai sumber tunggal. Sumber lainnya 6V dihubung singkat, sedangkan arus 2A diputus, diperoleh Gambar berikut.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 3

Sehingga diperoleh:

Pilih sumber tegangan 6V dipakai sebagai sumber tunggal. Sumber lainnya 17V dihubung singkat, dan arus 2A diputus, diperoleh Gambar berikut.

Maka besar i2 dapat dihitung dengan cara berikut

Sumber arus 2A dipakai sebagai sumber tunggal, sumber lainnya 17V dan 6V dihubung singkat, diperoleh Gambar berikut

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 4

Maka besar i3 dapat dihitung dengan cara berikut

Sehingga besar i adalah

Contoh 5.3 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema superposisi.

Jawab:

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 5

Rangkaian diatas hanya mengandung 2 (dua) sumber arus bebas. Karena itu dengan superposisi keadaan yang bisa dianalisis hanya ada dua. Pilih arus 8A sebagai sumber tunggal, diperoleh Gambar berikut

Besar i1 dihitung dengan cara berikut

Pilih arus 4A sebagai sumber tunggal, diperoleh Gambar berikut

Besar i2 dihitung dengan cara berikut

Sehingga besar i adalah:

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 6

5.2

Teorema Thevenin

Jika diketahui sebuah rangkaian aktif memiliki satu sumber atau lebih dan terdiri dari susunan tahanan, maka rangkaian tersebut dapat disederhanakan menggunakan Teorema Thevenin. Teorema Thevenin digunakan untuk menyederhanakan analisis rangkaian, dengan cara mengganti rangkaian menjadi sebuah rangkaian yang hanya terdiri dari sebuah sumber tegangan tunggal yang dihubungkan secara seri dengan sebuah tahanan tunggal. Teorema ini menyatakan bahwa “ Sebuah rangkaian bisa disederhanakan menjadi sebuah sumber tegangan yang dihubungkan seri dengan tahanan penggantinya”. Berikut adalah langkah-langkah untuk menentukan besarnya arus dan tegangan dalam suatu rangkaian menggunakan metode Thevenin. Misalkan diketahui rangkaian seperti Gambar 5-1(a). 1. Berdasarkan rangkaian yang diketahui, pertama dicari dahulu Tegangan Thevenin (VTH), yaitu, tegangan yang diperoleh dengan cara melepaskan komponen yang akan dicari besar arus atau tegangannya. 2. Selanjutnya mencari nilai tahanan pengganti (RTH) yaitu, tahanan yang diperoleh dengan cara berikut: a. Jika semua sumber merupakan sumber bebas, maka sumber tegangan dihubung singkat sedangkan sumber arus dilepas (rangkaian terbuka). b. Jika ada sumber tak bebas, maka dicari dahulu ITH, kemudian RT dicari menggunakan hukum Ohm: RTH = VTH/ITH. 3. Gambar rangkaian pengganti Thevenin (Gambar 5-1(b)) dan pasangkan kompenen yang telah dilepaskan. Dengan menggunakan hukum Ohm dapat diperoleh besar tegangan drop dan kuat arus yang mengalir pada komponen tersebut.

(a) Rangkaian Aktif (b)

Komponen yang akan dicari besar I atau V

RTH VTH + −

(b)

Komponen yang akan dicari besar I atau V

(b)

(a) Gambar 5-1: (a) Rangkaian aktif FASILKOM-UDINUS

(a)

(b) Rangkaian pengganti Thevenin

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 7

Contoh 5.4 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema Thevenin.

Jawab: arus i pada rangkaian terletak pada tahanan R = 4Ω. Beri tanda terminal a-b pada tahanan tersebut. Hitung tegangan VTH dititik a-b pada saat kondisi terbuka.

VTH

Vab

5 4.6 19 V

Karena rangkaian hanya mengandung sumber bebas, maka untuk mencari RTH, semua sumber di nonaktifkan.

RTH

Rab

8x0 4 4 8 0

Gambar rangkaian pengganti Theveninnya adalah

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 8

Sehingga besar arus i pada rangkaian adalah : i

19 4 4

19 A 8

Contoh 5.5 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema Thevenin.

Jawab: arus i pada rangkaian terletak pada tahanan R = 6Ω. Beri tanda terminal a-b pada tahanan tersebut. Hitung tegangan VTH dititik a-b pada saat kondisi terbuka.

Dalam hal ini Vab lebih mudah dihitung menggunakan analisis node.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 9

Lihat node v1 (KC):

v1 v1 12 3 6 12 v1 16V Maka : Vab

4.3 v1 12 16

28 V

Karena rangkaian hanya mengandung sumber bebas, maka untuk mencari RTH, semua sumber di nonaktifkan.

RTH

Rab

6.12 4 8 6 12

Gambar rangkaian pengganti Theveninnya adalah

Sehingga besar arus i pada rangkaian adalah : i

28 8 6

2A

Contoh 5.5 Tentukan besar Vab pada rangkaian berikut menggunakan teorema Thevenin.

Jawab: Vab pada rangkaian terletak pada sumber arus 2A. Beri tanda terminal a-b pada sumber arus tersebut. Hitung tegangan VTH dititik a-b pada saat kondisi terbuka.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 10

Menggunakan konsep pembagi tegangan: 24 48 VTH Vab Vax Vxb .( 24) .24 4V 24 24 48 24 Karena rangkaian hanya mengandung sumber bebas, maka untuk mencari RTH, semua sumber di nonaktifkan.

RTH

Rab

24.24 24 24

24.28 24 28

28

Gambar rangkaian pengganti Theveninnya adalah

Sehingga Vab

4 28 .2 52 V

Contoh 5.6 Tentukan besar tegangan V pada rangkaian berikut menggunakan teorema Thevenin.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 11

Jawab: V pada rangkaian terletak pada tahanan 3Ω. Beri tanda terminal a-b pada tahanan tersebut. Hitung tegangan VTH dititik a-b pada saat kondisi terbuka.

VTH

Vab

2i1 1.i1 12

3i1 12

Kita lihat pada Gambar diatas bahwa i1 = −6A, sehingga VTH

Vab

3i1 12

3( 6) 12

30 V

Karena pada rangkaian terdapat sumber tak bebas, maka untuk menghitung RTH tidak bisa langsung menonaktifkan semua sumber. Karena itu RTH dicari dengan cara menghitung ITH terlebih dahulu, yaitu arus yang diperoleh saat terminal a-b dihubung singkat.

iTH

isc

i2

6

Hukum KVL:

12 1.i2 2.i2 i2

0

4A

Sehingga, I TH isc i2 6 4 6 10 A Maka VTH 30 RTH 3 I TH 10 Gambar rangkaian pengganti Theveninnya adalah

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 12

Dengan menggunakan konsep ppembagi tegangan, maka besar tegangan V adalah:

3

V

3 3

.30V

15V

Contoh 5.7 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema Thevenin.

Jawab: arus i pada rangkaian terletak pada tahanan 1Ω. Beri tanda terminal a-b pada tahanan tersebut. Hitung tegangan VTH dititik a-b pada saat kondisi terbuka.

VTH

Vab

12 3( 6)

6V

Karena pada rangkaian terdapat sumber tak bebas, maka R TH dicari dengan cara menghitung ITH terlebih dahulu, yaitu arus yang diperoleh saat terminal a-b dihubung singkat.

Hukum KVL:

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 13

2isc 3(isc 6) 12 0 isc

6 A 5

Dalam hal ini, I TH

isc

VTH 6 5 I TH 6/5 Gambar rangkaian pengganti Theveninnya adalah Jadi, RTH

Jadi, i 5.3

6 1 5

1A

Teorema Norton

Teorema Norton digunakan untuk menentukan besar arus yang melewati sebuah komponen yang terdapat dalam rangkaian. Dengan teorema ini kita bisa menyederhanakan rangkaian hingga menjadi rangkaian yang hanya terdiri dari sebuah sumber arus IN (arus Norton) yang dihubungkan secara paralel dengan tahanan ekivelennya RN (Tahanan Norton). Arus Norton adalah arus yang mengalir pada komponen, saat komponen tersebut dihubung singkat. Sehingga arus Norton disebut sebagai arus hubung singkat. Tahanan Norton adalah tahanan pengganti rangkaian setelah menonaktifkan semua sumber yang terdapat dalam rangkaian. Gambar 5-2 menunjukkan skema rangkaian ekivalen Norton.

(a) Rangkaian Aktif (b)

Komponen yang akan dicari besar I atau V

FASILKOM-UDINUS

IN

Komponen yang akan dicari besar I atau V

RN (b) (b)

(a) Gambar 5-2: (a) Rangkaian aktif

(a)

(b) Rangkaian pengganti Norton

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 14

Langkah-langkah penyelesaian dengan teorema Norton: 1. Cari dan tentukan titik terminal a-b dimana parameter yang ditanyakan. 2. Lepaskan komponen pada titik a-b tersebut, short circuit kan pada terminal a-b kemudian hitung nilai arus dititik a-b tersebut (Iab = Isc = IN). 3. Jika semua sumbernya adalah sumber bebas, maka tentukan nilai tahanan diukur pada titik a-b tersebut saat semua sumber di non aktifkan dengan cara diganti dengan tahanan dalamnya (untuk sumber tegangan bebas diganti rangkaian short circuit dan untuk sumber arus bebas diganti dengan rangkaian open circuit) (Rab = RN = Rth). 4. Jika terdapat sumber tak bebas, maka untuk mencari nilai tahanan pengganti Nortonnya didapatkan dengan cara RN

VOC IN

5. Untuk mencari Voc pada terminal titik a-b tersebut dibuka dan dicari tegangan pada titik tersebut (Vab = Voc). 6. Gambarkan kembali rangkaian pengganti Nortonnya, kemudian pasangkan kembali komponen yang tadi dilepas dan hitung parameter yang ditanyakan.

Contoh 5.8 1. Dengan mempergunakan teorema Norton carilah i bagi jaringan pada Gambar 1.

2 kΩ

3 kΩ i

4V

+ −

2 mA

1 kΩ

Gambar 1: Lihat contoh soal 1.

Jawab:

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 15

Untuk mencari arus Norton (iSC) kita ganti rangkaian tahanan 1 kΩ dengan rangkaian hubung singkat

2 kΩ

3 kΩ i

+ −

4V

2 mA

Gambar 2: Gambar 1 dimana 1 kΩ diganti dengan rangkaian hubung singkat.

dengan mempergunakan superposisi yaitu pertama jika sumber tegangan 4 V bekerja maka sumber arus 2 mA diganti dengan rangkaian hubung terbuka,

2 kΩ

3 kΩ (iSC)4V

4V

+ −

(a) Gambar 3a: Gambar 1 dimana sumber arus 2 mA dihubung terbuka.

(i SC ) 4V

4 2 3

0,8 mA

dan kedua yaitu dengan mengganti sumber tegangan 4 V dengan rangkaian hubung singkat.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 16

2 kΩ

3 kΩ (iSC)2mA 2 mA

(b)

Gambar 3b: Gambar 1 dimana sumber tegangan 4 V dihubung singkat.

(iSC ) 2 mA maka

(i SC ) total

2 2 3

2

4 5

0,8 mA

0,8 0,8 1,6 mA

Sehingga rangkaian ekivalen Norton untuk Gambar 3 adalah

i 5 kΩ

1,6 mA

1 kΩ

(c)

Gambar 3c: Ekivalen Norton untuk Gambar 1.

i

FASILKOM-UDINUS

5 5 1

1,6

5 1 1,6 1 mA 6 3

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 17

2. Tentukan nilai i dengan teorema Norton !

Gambar 4: Lihat contoh soal 2. Jawab: Superposisi : Sumber Arus dipakai sebagai sumber

6A

Mencari isc:

4A

2A

isc 2A

4A

Gambar 5. Arus hubung singkat pada Gambar 4.

I 48 I 12

24 6 2A 48 24 24 6 4A 24 12

sehingga:

i SC FASILKOM-UDINUS

iN

i12

I 48

4 2

2A

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 18

Mencari RN: Sumber tegangan dipakai sebagai sumber

−+

i1

Gambar 6: Mencari tahanan Norton pada Gambar 4.

RS 1

24 48

72

RS 2

24 12

36

RN

RS 1 RS 2 RS 1 RS 2

i1

72 36 72 36

24

24 1A 24

Sehingga rangkaian pengganti Norton:

Gambar 7: Rangkaian ekivalen Norton Gambar 4. Sehingga : i

iN

FASILKOM-UDINUS

i1

2 1 3A

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 19

3. Tentukan rangkaian ekivalen Thevenin dan Norton sebagaimana terlihat dari terminal a – b bagi jaringan pada Gambar 8.

20 Ω

40 Ω

a + −

+ −

10i1 b

50 V

i1

Gambar 8: Lihat Contoh Soal 3. Jawab: Pertama-tama kita cari tegangan Theveninnya, langkahnya dengan terlebih dahulu mencari besar arus i1 pada loop tunggal : N

Dengan mempergunakan KVL pada Loop tunggal

0

n n 1

10i1

20i1

40i1

50 50i1 i1

0 50 1A

Kemudian mencari tegangan Thevenin pada salah satu loop :

20 Ω

40 Ω +

10i1

+ −

a

− i1

+ −

i1 −

b

50 V

i1

Gambar 9: Tegangan Thevenin

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 20

N

Dengan mempergunakan KVL pada salah satu Loop

n

0

n 1

TH

40i1

OC

50

40 1 50 40 50 10 V N

atau pada loop yang satunya lagi,

0

n n 1

TH

20

OC

i1 10i1

20 1 10 20 10 10 V

1

Kemudian kita mencari arus Nortonnya (iSC), dengan menghubung singkatkan terminal a – b, sebagaimana terlihat pada Gambar 10,

20 Ω

40 Ω iSC

10i1

i2

+ −

+ −

i1

50 V

i1

Gambar 10: Arus Norton.

N

KVL pada loop i1,

n

0

n 1

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 21

40 i1

50

0

40i1

50

i1

1,25 A

N

KVL pada loop i2,

0

n n 1

10i1

20i2

0

10 ( 1,25) 20i2

0

12,5 20i2

0

20i2

12,5

i2

0,625 A

Sehingga arus Nortonnya adalah

i SC

i2

i1

0,625 ( 1,25) 0,625 1,25 0,625 A Dikarenakan terdapatnya sumber tegangan tak bebas pada Gambar 8 menghambat kita untuk mencari tahanan Thevenin atau tahanan Nortonnya, sehingga cara yang memungkinkan adalah dengan persamaan voc = Rth isc,

RTH

RN

OC

i SC 10 16 0,625

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 22

maka Rangkaian Ekivalen Theveninnya adalah

16 Ω a

10 V

+ − b

Gambar 11: Rangkaian Ekivalen Thevenin Gambar 8. dan Rangkaian Ekivalen Nortonnya adalah

a

0,625 A

16 Ω b

Gambar 12: Rangkaian Ekivalen Norton Gambar 8.

Contoh 5.8 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema Norton.

Jawab:

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 23

arus i pada rangkaian terletak pada tahanan 4Ω. Beri tanda terminal a-b pada sumber tahanan tersebut, kemudian hubung-singkatkan. Hitung arus Norton dititik a-b pada saat kondisi terhubung singkat.

v1

3V 4v1

6isc

isc

2A

IN

isc

0

2A

Karena dalam rangkaian mengandung sumber tak bebas, maka kita harus menghitung besar tegangan Thevenin dahulu.

v1

3V

Vab RN

12 12 x 4v1 x12 8V 12 6 18 Vab 8 4 IN 2

Rangkaian pengganti Nortonnya adalah

Sehingga besar arus i pada tahanan 4Ω adalah :

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 24

4

i

4 4

x 2 A 1A

Contoh 5.9 Tentukan besar arus i pada rangkaian berikut menggunakan teorema Norton.

Jawab: arus i pada rangkaian terletak pada tahanan 1Ω. Beri tanda terminal a-b pada sumber tahanan tersebut, kemudian hubung-singkatkan. Hitung arus Norton dititik a-b pada saat kondisi terhubung singkat.

2isc 3(isc 6) 12 0 6 A 5

isc IN

isc

6 A 5

Karena dalam rangkaian mengandung sumber tak bebas, maka kita harus menghitung besar tegangan Thevenin dahulu.

FASILKOM-UDINUS

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 25

Vab

12 3.6

RN

Vab IN

6V 6 6/5

5

Rangkaian pengganti Nortonnya adalah

Sehingga : i

5 5 1

x(

FASILKOM-UDINUS

6 )A 5

1A

T.SUTOJO

RANGKAIAN LISTRIK

HAL 26