TEOREMA GREEN UNTUK MENYELESAIKAN PERHITUNGAN INTEGRAL GARIS

TEOREMA GREEN UNTUK MENYELESAIKAN PERHITUNGAN INTEGRAL GARIS Prasetiyo Budi Darmono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo

Abstrak Integral merupakan operasi kebalikan dari turunan. Salah satu bentuk dari penerapan integral adalah integral garis. Dalam menyelesaikan perhitungan integral garis dapat dilakukan menggunakan Teorema Green. Teorema ini dipilih karena proses perhitungannya lebih cepat dan tepat. Namun, dalam menggunakan teorema green diharuskan memiliki keahlian dalam mencari turunan parsial. Pada dasarnya fungsi dari teorema green sama dengan integral garis yaitu untuk mengetahui panjang lintasan sekeliling kurva C. integral sekeliling C seringkali dinamakan suatu integral Contour (integral Lintasan). Teorema green dapat diterapkan dalam kurva atau daerah terhubung sederhana dan berganda. Kelebihan lain dari teorema green adalah tidak harus memper-hatikan arah positif seperti halnya secara langsung jika dengan cara lang-sung arah positif tersebut berlawanan arah putaran jarum jam. Kata kunci : Teorema Green, Integral Garis. Pendahuluan Dalam

kerja

ilmiah

atau

berderajat

tinggi

atau

berbentuk

teknik, sering dijumpai suatu ma-

fungsi transeden seperti

salah (problem) untuk mencari

1 + cos (x - 5x), ex – cos x,

akar-akar persamaan yang berben-

sin (x – 3) + 2x dan seterusnya, tidak

tuk f(x) = 0. Bila f(x) berbentuk

tersedia

kuadrat, pangkat tiga atau pangkat

menyelesaikannya (solusinya). Un-

empat

rumus-rumus

tuk itu digukan cara mencari akar-

aljabar untuk menghitung akar-

akarnya dengan metode(cara) aprok-

akarnya. Apabila f(x) suatu polinom

simasi (pendekatan). Adapun meto-

maka

ada

metode

aljabar

Prasetyo Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menyelesaikan Perhitungan Integral Garis

untuk

59

 P(x, y)dx  Q(x, y)dy

de yang digunakan antara lain

c

Metode Biseksi, Metode Iteratif, Metode

Posisi

Salah,

Metode

atau  Pdx  Qdy........ ……….. (1) c

Newton-Raphson, Metode Muller,

Perhitungan

dan lain-lain.

integral

garis

Metode yang sering diguna-

dapat dilakukan dengan dua cara.

untuk

integral

1. Jika diberikan persamaan kurva

antara lain: metode substitusi, inte-

C sebagai y = f(x), maka integral

gral parsial dan pecahan parsial

garis (1) dihitung dengan me-

(Spiegel, 1990:84-85). Di samping

nempatkan y = f(x), dy = f’(x)

itu, diperkenalkan adanya integral

dx dan dua titk dalam kurva C

kan

menghitung

garis yang penyelesaiannya menggunakan

integral

rangkap

dua

dengan metode berlainan. Dalam tulisan teorema

untuk

ini diuraikan menyelesaikan

integral garis. Teorema tersebut adalah Teorema Green oleh George Green.

yang dihubungkan adalah (a1, b1) dan (a2, b2) maka untuk menghitung integral tertentunya: a2

 Px, f ( x)dx  Qx f ( x)f ' ( x)dx 1

a1

yang kemudian dihitung biasa. 2. Jika C diberikan x = g(y), maka dx = g1(y) dan integral garis

Integral Garis Riil

tersebut menjadi:

Jika P(x,y) dan Q(x,y) ada-

b2

lah fungsi riil dari x dan y yang

b1

 Pg, ( y).yg ( y)dx  Qg( y).ydx 1

kontinyu di semua titik pada kurva C, maka integral garis riil dari

Perhitungan

integral

garis

Pdx + Qdy sepanjang kurva C dapat

bertujuan untuk menghitung panjang

didefinisikan dengan cara sebagai

lintasan kurva dari titik (a1, b1) dan

berikut:

(a2, b2)menggunakan sifat-sifat yang

60 Prasetyo Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menyelesaikan Perhitungan Integral Garis

analog dengan sifat-sifat integral biasa.

Kurva Tertutup Sederhana Dae-

Misal :

rah Terhubung Sederhana dan

 P(xy)dx  Q(xy)

1.

atau

Kurva

c

 P(xy)dx   (xy)dx c

tertutup

seder-hana

(simple closed curve) adalah kurva

c

(a 2b2 )

daerah Terhubung Lipat Ganda

tertutup ( a1b1 )

yang

tidak

memotong

 Pdx  Qdy

dirinya sendiri di setiap titiknya.

Jadi pembalikan jalan integrasi

sederhana (simply connec-ted) jika

akan mengubah tanda integral

suatu kurva tertutup sederhana yang

garis tersebut.

terletak dalam R dapat menyusut ke



2.

Pdx  Qdy  

(a 2b2 )

(a 2b2 )

( a2 ,b2 )

( a3 ,b3 )

suatu titik tanpa meninggalkan R,

( a1 ,b1 )

( a1 ,b1 )

dan jika tidak demikian maka dae-

 Pdx  Qdy   Pdx  Qdy

3.

Suatu daerah R dinamakan tertutup



rah tersebut dinamakan terhubung

( a 2 , b2 )

 Pdx  Qdy 

lipat ganda (multiply connected).

( a 3 ,b3 )

dimana (a3, b3) sebuah titik lain pada C. y

y

y a

b a=b x

Kurva Kontinu

a=b x

Tertutup dan Sederhana

x Tertutup, tidak sederhana


61

y

y

x

x

Daerah terhubung berganda memiliki satu lubang

Daerah Terhubung Sementara y

x

Daerah terhubung berganda memiliki tiga lubang Secara intuitif, daerah tertutup

dibatasi oleh kurva tertutup seder-

sederhana adalah suatu daerah yang

hana c dan mempunyai turunan

tak memiliki “lubang” di dalamnya,

 P Q   maka parsial pertama  ,  y x 

sedangkan suatu daerah terhubung berganda memilikinya. Teorema Green dalam Bidang Misalkan P(xy) dan Q(xy) suatu fungsi-fungsi yang ditentukan berharga tinggal dan kontinu dalam

 Q

P 

 Pdx  Qdy    x  y dx dy c

dimana

IR



digunakan

untuk

c

menekankan bahwa c tertutup dan

sebuah daerah sederhana R yang 62 Prasetyo Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menyelesaikan Perhitungan Integral Garis

bahwa kurva tersebut dijelaskan

Y2 ( x )

b

=

dalam arah positif.





P( x, y)

x a

y  Y ( x )1

b

=

Bukti : Untuk

membuktikannya

2

)  P( x , y1 )

b



a

a



b



=  P( x, y1 )dx   P( x, y 2 )dx    Pdx 

P a)  dx dy = y R

 P(x y)dx 1

R

P

c



(1)

R

Demikian juga misalkan persamaan

Untuk dapat membuktikannya dapat menampilkan

c

 Pdx    y dx dy ….

Maka

Q R x dx dy =  Q(x1 y)dy

dengan

 P(x, y a

akan

ditunjukkan :

b)

dx

dalam

kurva EAF dan kurva EBF berturutturut adalah x = X1(y) dan x = X2(y) maka

bentuk y f

P R y dxdy =

F

f

B A

=

R a E

 Q(x , y)  Q(x , y)dy 2

1

C

e 0

 X 2 Q   R  X ( y) x dx  dy yC   1  f

b

x

Misalkan persamaan kurva AEB dan kurva AFB berturut-turut adalah y = Y1(x) dan y = Y2(x). Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C

= =

C

f

f

C

 Q(x1, y)dy   Q(x 2 , y)dy  Qdy C

Maka  Qdy C

=

Q

 x dx dy

(2)

R

maka kita peroleh :

Dengan menambahkan (1) dan (2)

b  Y 2( x ) P  P = dxdy   yY1( x ) y dydx R y x a   

maka


63

 Pdx  Qdy =

Cc

1. Jelaskan Teorema  Q P    dx dy    x y  dalam bidang untuk: R

 (2xy  x

(terbukti) Agar lebih memahami pene-rapan Teorema Green, perhatikan contoh

2

Green

)dx  ( x  y 2 )dy

C

dimana c adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh y

berikut.

= x2 dan y2=x.

Penyelesaian Y y = x2

Perpotongan dua kurva : 2

y =x

x2 =

x

x2 -

x =0

x4 – x = 0 (1,1)

x(x3 – 1) = 0

R

x=0 x=1

0

x

Kurva-kurva y = x2 dan y2 = x

=

R

berpotongan di (0,0) dan (1,1). Arah positif dalam lintasan adalah seperti

1

=

yang diperlihatkan dalam gambar. Dengan Teorema Green diperoleh:

 Q P  R  x  y  dxdy

x

  (1  2x)dydx

x 0 y x 2

1

=

 ( y  2xy)

x 0

 1

 ( x  y (2xy  x   =    dxdy x y  R  2

 (1  2x )dxdy

2

=

x x2

dx



x  2x 2  x 2  2x 3 dx 3

x 0


integral

1

2 3 4 5 1 1 = x 2  x 2  x3  x 4 3 5 3 2 0

garis

tersebut

menyamai:

1 2 4 1 1 =     0 satuan 30 3 5 3 2

4

 (x

2

 2xy)dx  ( x 2 y  3)dy

y4

4

=

(x  2xy)dx (x y 3) 2

2. Hitunglah

2

 (4y  3)dy

4





4

mengelilingi daerah yang dibatasi

= 2y2  3y  4

oleh y2 = 8x dan x = 2 secara

= 32 + 12 – 32 + 12

langsung dan dengan Teorema

= 24 satuan

Green

Sepanjang y2 = 8x,

Penyelesaian:

dx =

tersebut sama dengan

y2=8x

y 4

1 y dy integral garis 4

4

(2,4)

 (x

2

 2xy)dx  (x2y  3)dy

y 4

O

R

2

x

=

4

 y 4

  64  4

 y 3  y  y5     3  dy 4  4  64 

4

-4

=

-(-2,-4) x=2

4

= Kurva-kurva bidang y2 = 8x dan x= 2 berpotongan di dan

(-2,-4).

 5

  256 y 4

a) Secara langsung

(2,4)

 1 5 1 4 y5  4  256y  16 y  64  3dy

Arah

positif dalam melintasi C diperlihatkan dalam gambar

5



1 4  y  3  dy 16  4

 5y6 y5  =    3y  1536 80 4

=

128  24 satuan 5

Seluruhnya

sepanjang x=2, dx = 0, Prasetyo Budi Darmono: Teoreme Green untuk Menyelesaikan Perhitungan Integral Garis

65

4

2 2  (x  2xy)dx  (x y  3)dy

y4

persatu sesuai arah positif setelah itu dijumlahkan.

128 128  24 + 24 = 5 5

128 Penutup = satuan 5 Dari yang telah diuraikan di

b) Dengan Teorema Green

depan dapat disimpulkan bahwa

=

 Q

P 

 Pdx  Qdy =   x  y  dxdy

penggunaan Teorema Green memi-

 (x

dan

R

=

 2xy)dx  (x 2 y  3)dy

2

=

 xy

=

 8x

 2 xy



dx

memperhatikan arah positif seperti

2 2

2

2

yang lain yaitu tidak diharuskannya

2 2

0

 

kelemahannya

pertama dari P dan Q. Kelebihan

0 2 2

2

Namun,

cara

rampilan mencari turunan parsial

 (2xy  2x )dydx

2

dibandingkan

adalah kita harus memiliki kete-

2 2 2



tepat

langsung.

 (2xy  2x)dx dy R

=

liki keunggulan yaitu lebih cepat



dengan cara langsung. Definisi dari Teorema Green

 4x 2x  8x 2  4x 2x dx

0

dalam bidang:

0

=   8x 2x dx 2

“Misalkan P(x,y) dan Q(x,y) suatu fungsi-fungsi

128 = satuan 5 Dari contoh soal di atas dapat terlihat bahwa menggunakan teorema Green pengerjaannya akan lebih mudah. Ini telihat bila kita menggunakan metode secara langsung kita harus meninjau kurva satu

yang

ditentukan

berharga tunggal dan kontinu dalam sebuah daerah sederhana R yang dibatasi oleh kurva tertutup sederhana

C

dan

mempunyai

 P Q   turunan parsial pertama  ,   y x   maka


 Q P    dx dy :  Pdx  Qdy    x y  C R  Daftar Pustaka A, Postol.M.Tom. 1985. Mathemtical Analysis, Massachusetts: Addison Weskey Purcell. 1999. Kalkulus dan Geometri Analisis Jilid 2, Jakarta: Erlangga Spiegel, R, Murray, 1990. Kalkulus Lanjutan Versi S1/Metrik. Jakarta: Erlangga. Spiegel, R, Murray. 1994. Peubah Kompleks. Jakarta: Erlangga.


67

TEOREMA GREEN UNTUK MENYELESAIKAN PERHITUNGAN INTEGRAL GARIS

Recommend Documents