Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral Garis

[MA1124] KALKULUS II

Integral Garis

Definisi Integral garis Integral garis di bidang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang) x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b b maka 2 2

∫ f (x, y) dS = ∫ f (x(t), y(t)) (x' (t)) + (y' (t)) dt

Integral

C

a

garis di ruang Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b maka b

∫ f (x, y, z) dS = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (x' (t)) + (y' (t)) + (z' (t)) dt 2

C

7/6/2007

2

2

a

[MA 1124] KALKULUS II

2

Sifat-sifat integral garis 1.

Jika C = C1UC2U … UCn, maka

A C1

C2

Cn B

∫ f (x, y) dS = ∫ f (x, y) dS + ∫ f (x, y) dS + ... + ∫ f (x, y) dS C

2.

C1

C2

Cn

Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga C, maka

∫ f (x, y) dS = −∫ f (x, y) dS

−C

7/6/2007

C


3

Contoh 1.

Hitung

∫ (x

3

)

+ y dS , C adalah kurva x=3t; y=t3 ; 0≤t≤1

C

Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2

∫ (x

C

3

)

∫ ((3t ) 1

+ y dS =

3

)

+ t 3 32 + (3t ) dt 2

0 1

= ∫ 28 t 3 9 + 9t 4 dt 0

1

= 84∫ t 3 1 + t 4 dt 0

(

⎛1 = 84⎜ 1 + t ⎝6

((

= 14 1 + t 7/6/2007

)

)

4 3/2

4 3 /2

)

1 0

1

⎞ ⎟ ⎠0

(

)

= 14 2 2 − 1


4

Contoh 2.

Hitung

∫ (2x ) dS , C adalah terdiri dari busur parabola

C

C1

y=x2 dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2). Jawab. (1,2) Untuk C1: (0,0) Æ (1,1) , berupa busur y = x2. C2 (1,1) Persamaan parameter C1: misalkan x = t Æ y = t2 0≤ t ≤1 x’(t)=1 y’(t)=2t Sehingga

∫ (2x ) dS

C1

7/6/2007

1

1

= ∫ 2 t 1 + (2t ) dt = ∫ 2 t 1 + 4 t 2 dt 0


2

0

5

Contoh (Lanjutan) 1

∫ (2x ) dS = ∫ 2 t

C1

Sehingga

2

1 + 4 t dt

∫ (2x ) dS

0

(

1 2 = . 1 + 4 t2 4 3 1 = 5 5 −1 6

(

)

3 /2

1

C2

0

1

2

Jadi,

Untuk C2: (1,1) Æ (1,2)

∫ (2x ) dS = ∫ (2x ) dS + ∫ (2x ) dS

(berupa ruas garis) Persamaan parameter C1: misalkan

7/6/2007

= ∫ 2 0 + 12 dt

= 2 t 1 = 2(2 − 1) = 2

)

x=1Æy=t x’(t)=0 y’(t)=1

2

C

C1

(

)

1 5 5 −1 + 2 6 1 = 5 5 + 11 6

=

(

1≤ t ≤2 [MA 1124] KALKULUS II

C2

)

6

Latihan 1. Hitung ∫ (2 + x y )dS, C adalah setengah bagian atas C lingkaran lingkaran satuan x2+y2=1 2

2. Hitung ∫ (sin x + cos y ) dS , C adalah ruas garis dari (0,0) C ke (π,2π) 3. Hitung 0≤t≤1

7/6/2007

∫ (2x + 9z)dS, C adalah kurva x=t; y=t2; z=t3; C


7

Kerja r Misalkan F( x, y) = M(x, y)î + N( x, y)ˆj adalah gaya yang bekerja pada

pada suatu titik (x,y) di bidang F Q T r(t) A B Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B? r Misal r = xîr+ yˆj adalah vektor posisi Q(x,y) r dr vektor singgung satuan di Q T= ds r drr drr dt rr ' ( t ) T= = = r ds dt ds r ' ( t ) 7/6/2007


8

Kerja (2) rr r r Maka F.T = F T cos θ adalah komponen singgung F di Q

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah rr ∆W = F.T ∆s

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah

r r rr r drr dt ds = ∫ F.d r W = ∫ F.T ds = ∫ F. dt ds C C C r r d r dx ˆ dy ˆ diketahui = i+ j ⇒ d r = dx î + dy ˆj dt dt dt Jadi, didapat W = ∫ M( x, y)î + N(x, y)ˆj . dx î + dy ˆj

(

)(

)

C

= ∫ M( x, y) dx + N( x, y)dy C

7/6/2007


9

Kerja (3) Dengan cara yang sama untuk r

F (x, y, z) = M(x, y, z)ˆ i + N(x, y, z)ˆ j + P(x, y, z)kˆ

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka W = ∫ M(x, y, z) dx + N(x, y, z)dy + P(x, y, z)dz C

7/6/2007


10

Contoh 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya

r F ( x, y ) = ( x 3 − y 3 )iˆ + xy 2 ˆj dalam memindahkan partikel sepanjang kurva C : x = t2, y=t3 , -1 ≤t≤ 0 Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah ; dx = 2t dt, dy=3t2 dt W = ∫ M dx + N dy C

=

∫ (x

C 0

3

)

− y 3 dx + xy 2 dy

= ∫ ((t ) − (t ) )2t dt + t (t ) 3t dt −1 0

=

2 3

∫ (2t

−1

7

3 3

)

3 2

− 2t 10 + 3t 10 dt =

⎛1 1 ⎞ − 7 = −⎜ − ⎟= ⎝ 4 11 ⎠ 44 7/6/2007

2

0

2

∫ (2t

−1


7

− t 10

)

0

1 8 1 11 t dt = t − 4 11 −1

11

Contoh 2 2. Hitung integral garis ∫ ydx + x dy dengan kurva C : x = 2t, C y=t2-1 , 0 ≤t≤ 2 Jawab. Kerja yang dilakukan adalah ; dx = 2 dt, dy=2t dt W = ∫ y dx + x 2 dy

C 2

=

∫ (t 0 2

=

2

)

− 1 2 dt + (2t ) 2t dt

∫ (2t

2

− 2 + 8t 3

0

2

)

2

16 2 3 4 = − 4 + 32 dt = t − 2t + 2t 3 3 0

100 16 = + 28 = 3 3

7/6/2007


12

Latihan 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya r F (x, y, z) = (2x − y )ˆ i + 2z ˆ j + (y − z)kˆ dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1) 2. Hitung integral garis ∫ ydx + x 2 dy dengan kurva C adalah ruas garis dari (1,1) ke (3,-1) r r r 2ˆ 2ˆ 3. Hitung ∫ F.d r dengan F = xy i + xy j sepanjang C

C

a. C = C1 U C2 b. C = C3

y

C3

(3,5) C2

(0,2)

C1

(3,2) x

7/6/2007


13

Integral Garis Bebas Lintasan PENDAHULUAN r r r Hitung∫ F.d r dengan F = yî + xˆj atas lintasan C

a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1) b. C garis y = x2 dari (0,0) ke (1,1) c. C garis y = x3 dari (0,0) ke (1,1) TEOREMA r A: DASAR INTEGRAL GARIS Misalkan F( x, y) = M(x, y)î + N( x, y)ˆj dengan C adalah kurva mulus sepotong-potong dengan titik pangkal (x0,y0) dan titik ujung (x1,y1). r r Jika F( x, y) = ∇f ( x, y) maka r r F.d r = f ( x 1 , y1 ) − f ( x 0 , y 0 )

∫ C

7/6/2007


14

Integral Garis Bebas Lintasan(2) r r r Jika F( x, y) = ∇f ( x, y) makaF disebut gaya konservatif dan rf disebut fungsi potensial dari F r ∂f ˆ ∂f ˆ ∇f = i+ j ∂x ∂y r Contoh: F = yî + xˆj dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1) r r ˆ ˆ F = yi + xj = ∇f dengan fungsi potensial f = xy r r maka F.d r = f (1,1) − f (0,0) = 1.1 − 0.0 = 1

∫ C

Masalah: Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f). Bagaimana memperoleh f(x,y) jika F(x,y) konservatif? 7/6/2007


15

Integral Garis Bebas Lintasan(3) r DEFINISI: Misal F = M î + N ˆj + P kˆ r r r r maka Curl F = rot F = ∇ x F î ˆj kˆ ∂ ∂ ∂ ⎛ ∂P ∂N ⎞ˆ ⎛ ∂M ∂P ⎞ˆ ⎛ ∂N ∂M ⎞ ˆ = ⎟⎟k ⎟⎟i + ⎜ − ⎟ j + ⎜⎜ − = ⎜⎜ − ∂x ∂y ∂z ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ M N P TEOREMA B r r ˆ ˆ ˆ F = M i + N j + P k maka F konservatif jika dan hanya jika Misalkan r r Curl F = rot F = 0 atau jika dan hanya jika ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P = , = , = ∂x ∂y ∂y r ∂z ∂z ∂x r Khusus jika F = M î + N ˆj maka F konservatif jika dan hanya jika ∂N ∂M = ∂y ∂x

7/6/2007


16

Contoh: ( ) 1. Diketahui a. Tunjukkan r rbahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1) r F = 2 xy 3 iˆ + 1 + 3 x 2 y 2 ˆj

C

Jawab. ∂N ∂M r = a. (i) F Konservatif ⇔ ∂ y ∂x

M=2xy3 N=1+3x2y2

⇒ ⇒

∂M = 6 xy 2 ∂y ∂N = 6x y2 ∂x

∂M ∂N = ∂y ∂x

r Jadi F Konservatif r r ∂f ˆ ∂f ˆ 3 ˆ 2 2 ˆ (ii) F = 2 xy i + 1 + 3 x y j = i + j = ∇f ∂x ∂y ∂f ∂f = 2 x y 3 ……. (1) = 1 + 3 x 2 y 2 ……. (2) ∂x ∂y

(

7/6/2007

)


17

Contoh (Lanjutan) Integralkan (1) terhadap x, diperoleh f (x, y ) =

∫

2 x y 3 dx

f ( x , y ) = x 2 y 3 + C ( y ) ……. (3)

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh ∂f = 3 x 2 y 2 + C ' (y ) ∂y

……. (4)

Dari (2) dan (4), diperoleh ∂f = 3 x 2 y 2 + C ' (y ) = 1 + 3 x 2 y 2 ∂y C ' (y ) = 1 C (y ) = y + C

Jadi fungsi potensialnya adalah f (x, y) = x2y 3 + y + C 7/6/2007


18

Contoh (Lanjutan) b.

∫

C

r r ( 3 ,1 ) F .d r = ∫ 2 x y 3 dx + 1 + 3 x 2 y 2

(

) dy

(1 , 4 )

= f ( 3 , 1 ) − f (1 , 4 )

(

) (

= 3 2. 1 3 + 1 − 1 2. 4 3 + 4

)

, f ( x, y ) = x 2 y 3 + y + C

= 10 − 68 = − 58

7/6/2007


19

Contoh r 2. Diketahui F ( x , y , z ) = e x cos y + yz î + xz − e x sin y ˆj + xy kˆ

(

)

(

)

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f r r b. Hitung ∫ F .d r dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1) C

Jawab. ∂P ∂M ∂P ∂N ∂M ∂N r , = , = a. (i) F Konservatif ⇔ ∂ y = ∂ x ∂x ∂z ∂y ∂z ∂M ∂M x = − e sin y + z M=ex cosy+yz ⇒ ∂z ∂y ∂N ∂N N=xz – ex siny ⇒ = − e x sin y + z ∂z ∂x ∂P P=xy = x ⇒ ∂P = y ∂y ∂x ∂P = Sehingga diperoleh, bahwa ∂ M = ∂ N , ∂y ∂x ∂x r Jadi F Konservatif

7/6/2007


= y = x

∂M ∂P ∂N , = ∂z ∂y ∂z 20

Contoh (lanjutan) r ∂f ˆ ∂f ˆ ∂f ˆ r x x ˆ ˆ ˆ (ii) F = e cos y + yz i + xz − e sin y j + xy k = i + j+ k = ∇f ∂x ∂y ∂y ∂f ∂f = e x cos y + yz ……. (1) = xz − e x sin y ……. (2) ∂x ∂y ∂f ……. (3) = xy ∂z

(

) (

)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh f (x, y , z ) =

∫ (e

x

)

cos y + yz dx

f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C (y , z ) ……. (4)

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh ∂f = −e x sin y + xz + Cy (y, z) ……. (5) ∂y

7/6/2007


21

Contoh (Lanjutan) Dari (2) dan (5), diperoleh ∂f = −e x sin y + xz + C y (y , z ) = xz − e x sin y ∂y C y (y , z ) = 0 C ( y , z ) = C ( z ) ……. (6)

Masukan (6) ke (4), diperoleh f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C ( z ) ……. (7)

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh ∂f = xy + C' (z) ……. (8) ∂z

Dari (3) dan (8), diperoleh

∂f = xy + C ' ( z ) = xy ∂y C '(z) = 0 C ( z ) = C ……. (9)

7/6/2007


22

Contoh (Lanjutan) Masukan (9) ke (7), diperoleh f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C

Jadi fungsi potensialnya adalah f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C

b.

∫

C

r r (1,0,1) x F .d r = ∫ e cos y + yz dx + xz − e x sin y dy + xy dz

(

)

(

)

(0,0,0 )

= f (1 , 0 ,1 ) − f ( 0 , 0 ,0 )

(

) (

, f ( x, y , z ) = e x cos y + xyz + C

= e 1 cos 0 + 1 . 0 . 1 − e 0 cos 0 + 0

)

= e −1

7/6/2007


23

Penyataan berikut ekivalen r r 1. F = ∇ f untuk suatu f (F konservatif) r r 2. F .d r bebas lintasan

∫ C

3.

∫

r r F .d r = 0

C

Sudah Jelas???

7/6/2007


24

Latihan (

)

r r Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f F = ∇f r r ˆ ˆ 4. F = (2e y − yex )î + (2xe y − e x )ˆj 1. F = (10x − 7 y )i − (7 x − 2 y ) j r r 2 2 2 2 2 ˆ ˆ 2. F = (12x + 3y + 5y )i + (6xy − 3y + 5x )j 5. F = (2xy + z )î + x ˆj + (2xz + π cos πz )kˆ r 3. F = (4 y 2 cos(xy 2 ) )î + (8x cos(xy 2 ) )ˆj

Hitung integral garis berikut: ( 3,1)

6.

∫ (y

2

+ 2xy)dx + (x 2 + 2xy)dy

(1,1, 4 )

(1,π ) 2

∫ (e

x

sin y )dx + (e cos y )dy x

(1,1,1)

8. ∫ (6xy + 2z )dx + (9x y 3

7/6/2007

10. ∫ (yz − e −x )dx + (xz + e y )dy + (xy)dz ( 0,0,0)

( 0,0)

( 0, 0, 0)

9. ∫ (cos x + 2yz)dx + (sin y + 2xz )dy + (z + 2xy)dz ( 0, 0, 0 )

( −1, 2 )

7.

( π ,π , 0 )

2

2

2

)dy + (4xz + 1)dz 11.∫ (3x

2

− 6 yz)dx + (2 y + 3xz )dy + (1 − 4xyz2 )dz

C

C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)


25

Teorema Green di Bidang

y C4

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka ⎛∂N ∂M⎞ + = M dx N dy ∫C ∫∫S ⎜⎜⎝ ∂ x − ∂ y ⎟⎟⎠dA Bukti. C = C1 U C2 U C3 U C4 Perhatikan S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} C3 y=f(x) S C1

a

7/6/2007

C2

∫ M dx = ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx + ∫ M dx C

C1 b

C2

C3 a

C4

b ⎡b ⎤ M dx = M( x, g( x )) dx + M( x, f ( x )) dx = − ⎢ M( x, f ( x )) dx − M( x, g( x )) dx ⎥ y=g(x) ⎢⎣ a ⎥⎦ C a b f (x) b a b f (x) ⎤ ⎡ ∂M ∂ M ( x , y) x b M dx = − ⎢ dydx⎥ = − dA ∂ y y ∂ ⎥⎦ ⎢⎣ a g ( x ) C a g(x)

∫ ∫

∫

∫

∫∫

∫

∫

∫∫


26

Teorema Green di Bidang Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

∫ C

N dy =

∫∫ S

∂N dA ∂x

Sehingga diperoleh

∫∫ S

7/6/2007

⎛∂N ∂M⎞ ⎜⎜ ⎟⎟dA = M dx + N dy − ⎝ ∂x ∂y ⎠ C

∫


27

Contoh Hitung ∫ y dx + 4xydy dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri C dari busur parabola y = x2 dari titik asal ke titik(2,4) dan segmen garis (2,4) ke titik (0,0) Jawab. Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green 1. Integral garis Untuk C1: (0,0) Æ (2,4) , berupa busur y = x2. Persamaan parameter C1: misalkan x = t Æ y = t2 (2,4) 0≤ t ≤2 x’(t)=1 y’(t)=2t C 2

2

Sehingga

C1 (0,0)

7/6/2007

2 y ∫ dx + 4xy dy =

C1

2

∫ (t )

2 2

2

dt + 4.t.t 2.2t dt =

0


∫ (t

4

)

+ 8 t 4 dt

0

28

Contoh (Lanjutan) 2

=

∫ 0

2

288 9 5 = 9 t dt = t 5 5 0 4

Untuk C2: (2,4) Æ (0,0) (berupa ruas garis) Persamaan parameter C2: misalkan (x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x = 2 – 2t, y = 4 – 4t Sehingga 2 y ∫ dx + 4xy dy =

C2

⇒

x’(t)=-2 , y’(t)=-4 0≤ t ≤1

1

2 ( ) (− 2)dt + 4(2 − 2t )(4 − 4t )(− 4)dt 4 − 4 t ∫ 0

1

(

)

= − ∫ 160 − 320t + 160t 2 dt 0

7/6/2007


29

Contoh (lanjutan) 1

(

)

2 2 y dx + 4 xy dy = − 160 − 320 t + 160 t dt ∫ ∫

C2

0

1

320 2 160 3 ⎞ ⎛ = − ⎜160 t − t + t ⎟ 2 3 ⎝ ⎠0 160 =− 3

Jadi,

2 y ∫ dx + 4xy dy =

C

2 y ∫ dx + 4xy dy +

C1

288 160 − 5 3 64 = 15

2 y ∫ dx + 4xy dy

C2

=

7/6/2007


30

Contoh (Lanjutan) 2. Teorema Green. y

⎛∂N ∂M⎞ ∫C y dx + 4xy dy = ∫∫S ⎜⎜⎝ ∂ x − ∂ y ⎟⎟⎠dA 2

(2,4)

4

2 2x

=

y=2x

0 x2 2

S

= ∫y

y=x2

(0,0)

2

Dengan: M=y2 N=4 yx

∫ ∫ (4y − 2y ) dy dx 2

0 2

x

2x x2

dx

= ∫ 4x 2 − x 4 dx 0

⇒ ⇒

∂M = 2y ∂y ∂N = 4y ∂x

2

4 3 1 5 32 32 64 = x − x = − = 3 5 3 5 15 0

S={(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, x2 ≤ y ≤ 2x} 7/6/2007


31

Latihan 1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya r F( x, y) = (sin x − y)î + (e y − x 2 ) ˆj dalam menggerakkan suatu obyek mengitari satu kali x2 + y2 = 4 dalam arah positif.

∫

2. Hitung

2xy dx + y 2 dy dengan C kurva tertutup yang terbentuk

oleh y = x/2 dan x = y2 antara (0,0) dan (4,2) C

3. Hitung

∫ xy dx + (x + y)dy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya C

(0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung ∫ (e 3x + 2y) dx + ( x 2 + sin y) dy dengan C persegipanjang yg titik

titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4) 2 2 5. Hitung ∫ (x + 4x y) dx + (2x + 3y) dy dengan C ellips C

C

9x2 + 16 y2 = 144 7/6/2007


32

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral Permukaan

[MA1124] KALKULUS II

G

Luas Permukaan

c

a b

Gi

d

R

Ri

Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z ∆Ti

r ∇F. kˆ , cos γ i = r ˆ ∇F k

∆Si

k ∇F

γ

γ

γ

f x2 + f y2 + 1

=

1 f x2 + f y2 + 1

sec γ i = f x2 + f y2 + 1

∆Si~ ∆Ti = ∆Ri sec γi ∆Si = luas Gi dan ∆Ri = luas Ri = ∆xi∆yi ∆Ti = luas bidang singgung yang terletak diatas Ri γi = sudut antara Ri dan Ti

Jadi ∆Si = f x2 + f y2 + 1 ∆R i Luas Permukaan G adalah

∫∫

dS =

G

7/6/2007

−1

cos γ i =

∆Ri

r dengan ∇F = f x î + f y ˆj − kˆ


∫∫

f x2 + f y2 + 1 dA

R

34

Contoh Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z=4 Jawab. Z

z=4

G

x2+y2=4

S

x

Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2+y2=4). y

Misalkan f(x,y)=x2+y2. Maka didapat fx= 2x, fy=2y Sehingga luas permukaan G adalah

∫∫ dS = G

∫∫

2

2

fx + fy + 1 dA =

S

∫∫

4x 2 + 4y 2 + 1 dA

S

dengan S={(x,y)| -2≤ x ≤ 2, − 4 − x 2 ≤y≤ 4 − x 2 } 7/6/2007


35

Contoh (Lanjutan) Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi S={(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π } Jadi

∫∫ dS = G

=

∫∫

4x 2 + 4y 2 + 1 dA

S 2π 2

∫∫

4r 2 + 1 r dr dθ

0 0 2π

=

∫ 0

=

7/6/2007

(

)

2 3/2 1 2 2 . 4r + 1 dθ 0 8 3

(

)

(

)

π 2π 1 17 17 − 1 .θ 0 = 17 17 − 1 6 12


36

Latihan Luas Permukaan 1. Hitung luas permukaan G : z = x2 + y2 dibawah bidang z =4 2. Hitung luas permukaan G : z = 4 − y 2 yang tepat berada di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0), (2,1),(1,1)

3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + x2 = 16 di oktan I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3 4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 + y2 = 9 di oktan I antara y =x, y = 3x

7/6/2007


37

Integral Permukaan Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G Misalkan permukaan G berupa grafik z G z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z -Misalkan R proyeksi G pada bidang (x , y , z ) Gi XOY

i

i

i

-Partisi R menjadi n bagian; R1, R2,…,Rn

c

a (x i , y i )

b x

dy R

-Pilih (x i , y i ) ∈ R i dan (x i , y i , z i ) ∈ G i (partisi G yang bersesuaian dgn R) -Bentuk jumlah riemann

∑ g(x , y , z )∆G , n

i

Ri

i

i

i

dengan ∆G i =luas G i

i =1

Integral permukaan dari g atas G adalah g(x, y, z) dS = lim n g(x , y , z )∆G

∑ ∫∫ ∫∫ g(x, y, z) dS = ∫∫ g(x, y, z) P →0

G

atau

G

7/6/2007


i

i

i

i

i =1

f x2 + f y2 + 1 dA

R

38

Integral Permukaan (2) Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang YOZ), maka

∫∫ 2.

g( x, y, z) dS =

G

R

Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang XOZ), maka

∫∫ G

7/6/2007

∫∫

g(f ( y, z), y, z) 1 + f y2 + f z2 dA

g( x, y, z) dS =

∫∫

g( x, f ( x, z), z) f x2 + 1 + f z2 dA

R


39

Contoh 1. Hitung

∫∫

Jawab.

z dS , G adalah permukaan z = 4 − x 2 − y 2

G

z = 4 − x2 − y2

⇒

z2 = 4 − x2 − y 2 z2 + x2 + y 2 = 4

G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2. Z

R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2+y2=4. Kita punya z = 4 − x 2 − y 2 , maka

2

G R

x

2 x2+y2=4

2

2

fx + fx 7/6/2007

2

y

( (

1 4 − x2 − y 2 2 1 fy = 4 − x 2 − y 2 2

fx =

) )

−1 / 2

. − 2x =

−1 / 2

. − 2y =

−x

4 − x2 − y 2 −y

4 − x2 − y 2 x2 y2 4 − x2 − y 2 4 +1 = + + = 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2 [MA 1124] KALKULUS II

40

Contoh (lanjutan) Jadi

∫∫ z dS = G

=

∫∫ z fx + fy + 1 dA 2

2

R

∫∫

4 − x2 − y 2

R

4 dA 2 2 4−x −y

= 2 ∫∫ dA R

dimana daerah R={(r,θ)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π }, sehingga

∫∫ z dS = 2∫∫ dA G

R 2π 2

= 2 ∫ ∫ r dr dθ = 8π 0 0

7/6/2007


41

Latihan Integral Permukaan 1. Hitung

∫∫

x 2 z 2 dS , dengan G bagian kerucut z2 = x2 + y2

G

di antara z = 1 dan z = 2 2. Hitung

∫∫ g(x, y, z) dS G

a. g(x,y,z) = x2 + y2 + z , dengan G: z = x+y+1, 0≤x≤1, 0≤y≤1 b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1 c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: z =

4 − x 2 , 0≤x≤√3, 0≤y≤1

d. g(x,y,z) = 4x 2 + 4y 2 + 1, dengan G: z =x2-y2, 0≤x2+y2≤1

e. g(x,y,z) = x + y , dengan G adalah permukaan kubus, 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1

7/6/2007


42

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Garis

Recommend Documents