Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Integral Lipat Tiga
[MA1124] KALKULUS II
Integral Lipat Tiga pada Balok Bk
(x k , yk , zk )
z
B
∆ yk
1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, …, Bk, …, Bn ∆zk Definisikan ||∆|| = diagonal ruang terpanjang dari Bk ∆xk 2. Ambil ( x k , y k , z k ) ∈ Bk 3. Bentuk jumlah Riemann n
∑ f (x k =1
k
, y k , z k )∆Vk
4. Jika ||∆|| 0 diperoleh limit jumlah Riemann n lim ∑ f ( x k , y k , z k )∆Vk ∆ →0
y x
k =1
Jika limit ada, maka fungsi w = f(x,y,z) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis n
∫∫∫f (x, y, z)dV = lim ∑ f (x 2/11/2010
B
[MA 1124] KALKULUS II
∆ →0
k =1
k
, y k , z k )∆Vk 2
Integral Lipat Tiga pada Balok (2) ∆vk = ∆xk ∆yk ∆zk dV = dx dy dz Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius:
∫∫∫f (x, y, z)dV = ∫∫∫f (x, y, z)dx dy dz B
2/11/2010
B
[MA 1124] KALKULUS II
3
Contoh Hitung
2 x ∫∫∫ yz dV dengan B adalah balok dengan ukuran B
B = {(x,y,z)| 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 1 ≤ z ≤ 2} Jawab. 2 1 2
2 x ∫∫∫ yz dV =
2 x ∫ ∫ ∫ yz dx dy dz 1 0 1 2 1
B
2
1 = ∫ ∫ yz x 3 dy dz 3 1 1 0 1 2 7 1 = ∫ z y 2 dz 3 2 0 1 2
= 2/11/2010
7 1 2 7 z = 6 2 1 4 [MA 1124] KALKULUS II
4
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang Hitung
2 x ∫∫∫ yz dV , Jika S benda padat sembarang S
Pandang S benda padat yang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. 1) B z
S
y x
(gb. 1) 2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
5
Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang (2) z=ψ2(x,y) z
S
z=ψ1(x,y)
Jika S dipandang sebagai himpunan z sederhana (gb.2) (S dibatasi oleh z=ψ1(x,y) dan z=ψ2(x,y), dan proyeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka: b φ2 (x) ψ2 (x,y)
a b
y=φ1(x)
x
Sxy (gb. 2)
2/11/2010
∫∫∫f (x, y, z) dV = ∫ φ ∫ ψ ∫ f (x, y, z) dz dy dx
y y=φ2(x)
S
a
1 ( x)
1(x,y )
Catatan: Jika f(x,y,z) = 1, maka ∫∫∫f (x, y, z) dV S menyatakan volume benda pejal S
[MA 1124] KALKULUS II
6
Contoh Hitung
∫∫∫ f (x, y, z) dV dengan W=f(x,y,z) = 2xyz dan S benda S
padat yang dibatasi oleh tabung parabola z=2- ½x2 dan bidang-bidang z = 0, y=x, y=0 z y=x
Jawab.
z=2–½ x2
Dari gambar terlihat bahwa
y=0
S={(x,y,z)|0≤x≤2, 0≤y≤x 0≤z≤ 2 – ½x2} 0
2
Sxy
y
Sehingga,
1 2− x2 2
0 0
0
∫∫∫ 2xyz dV = ∫ ∫ ∫ 2xyz dz dy dx
x
S
Sxy = proyeksi S pada XOY (segitiga) 2/11/2010
2 x
[MA 1124] KALKULUS II
2 x
=
∫ ∫ xy 0 0
z
2
1 2− x2 2 0
dy dx 7
Contoh (lanjutan) 2
2 x
1 = ∫ ∫ xy 2 − x 2 dy dx 2 0 0 x 2 1 1 = ∫ x 4 − 2x 2 + x 4 y 2 dx 4 2 0 0 2 1 = ∫ 2x 3 − x 5 + x 7 dx 8 0 2 1 4 1 6 1 8 = x − x + x 2 6 64 0 =8−
2/11/2010
32 4 +4= 3 3
[MA 1124] KALKULUS II
8
Latihan 1. Hitung
∫∫∫ z dV , S benda padat di oktan pertama yang S
dibatasi oleh bidang-bidang z = 0, x=y, y=0 dan tabung x2 + z2 = 1. 2. Sketsa benda pejal S di oktan pertama yang dibatasi tabung y2 + z2 = 1 dan bidang x =1 dan x = 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatnya. 3. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh : a. y = x2, y + z = 4, x = 0, z = 0. b. 1 = z2+y2, y = x, x = 0. c. x2 = y, z2 =y, y = 1. d. y = x2 + 2, y = 4, z = 0, 3y - 4z = 0. π/ 2 z y 4. Hitung sin(x + y + z)dxdydz
∫ ∫∫ 0 0 0
2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
9
Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola) Koordinat Tabung z
Koordinat Bola
P(r,θ θ,z)
P(ρ ρ,θ θ,φ φ)
z φ
z θ
r
θ
y
x Syarat & hubungan dg Kartesius r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π x = r cos θ y = r sin θ z=z r2 = x2 + y2
z
ρ r
y
x Syarat & hubungan dg Kartesius ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ φ ≤ π x = r cos θ r = ρ sin φ } x = ρ cos θ sin φ y = r sin θ r = ρ sin φ } y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ x2 + y2 + z2 = ρ2
Jika D benda pejal punya sumbu simetri Koordinat Tabung Jika D benda pejal yang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola 2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
10
Contoh 1.
Sketsa D; D benda pejal di oktan I yang dibatasi oleh tabung x2+y2=4 dan bidang z = 0, z = 4 z
Jawab.
4
D dalam koordinat: 2
0 2 x
2/11/2010
θ
y
r x2+y2=4
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − x 2 , 0≤z≤4} b. Tabung: D={(x,y,z)| 0≤r≤2, 0≤θ≤ π/2, 0≤z≤4}
[MA 1124] KALKULUS II
11
Contoh 2.
Sketsa D; D bagian bola x2+y2 + z2=4 di oktan I. Jawab.
z
z = 4 − x 2 − y 2 D dalam koordinat:
2 ρ 0 2 x
2/11/2010
θ
r
2 y
a. Cartesius: D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ 4 − x 2 , 0≤z≤ 4 − x 2 − y 2 } b. Bola D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2}
[MA 1124] KALKULUS II
12
Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga Definisi misalkan x=m(u,v,w); y=n(u,v,w); z=p(u,v,w) maka:
∫∫∫f (x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫f (m(u, v, w), n(u, v, w), p(u, v, w)) J(u, v, w) du dv dw D
D
dimana
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y ∂y J(u, v, w ) = ∂y ∂u ∂v ∂w ∂z ∂z ∂z ∂u ∂v ∂w
Jacobian
2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
13
Koordinat Kartesius Tabung x = r cos θ y = r sin θ z=z Matriks Jacobiannya: ∂x
∂r
∂x
∂θ
∂x
∂z
cos θ − r sin θ 0
∂y ∂y = sin θ J(u, v, w ) = ∂y ∂r ∂θ ∂z ∂z ∂z ∂z 0 ∂r ∂θ ∂z
r cos θ 0
0 = r cos2 θ + r sin 2 θ = r 1
∫∫∫f (x, y, z) dx dy dz = ∫∫∫f (r cos θ, r sin θ, z) r dr dθ dz D
2/11/2010
D
[MA 1124] KALKULUS II
14
Koordinat Kartesius Bola x = ρ cos θ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ Matriks Jacobiannya: ∂x J (u, v, w) = ∂y ∂z
∂ρ ∂ρ ∂ρ
∂x ∂y ∂z
∂θ ∂θ ∂θ
∂x
∂φ
sin φ cosθ ∂y = sin φ sin θ ∂φ cosφ ∂z ∂φ
− ρ sin φ sin θ ρ sin φ cosθ 0
ρ cosφ cosθ ρ cosφ sin θ = − ρ 2 sin φ 1
2 f ( x , y , z ) dx dy dz = f ( ρ sin φ cos θ , ρ sin φ sin θ , ρ cos φ ) ρ sin φ dρ dθ dφ ∫∫∫ ∫∫∫ D
2/11/2010
D
[MA 1124] KALKULUS II
15
Contoh (Tabung) 1. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan z = 4. Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: 2 2 y S={(x,y,z)|-2 ≤ x ≤ 2, − 4 − x ≤y≤ 4 − x , x2 + y2 ≤ z ≤ 4} Dalam koordinat tabung: S={(r,θ,z)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤ θ ≤ 2π , r2 ≤ z ≤ 4}
Z
z=4
Sxy
x
Sehingga, volume benda pejalnya adalah V =
2 2π 4
∫∫∫1 dV = ∫ ∫ ∫ r dz dθ dr S
2/11/2010
0 0 r2
[MA 1124] KALKULUS II
16
Contoh (Lanjutan) V =
2 2π 4
∫ ∫ ∫ r dz dθ dr 0 0 r2 2 2π
=
∫
4
∫ r z r 2 dθ dr
0 0 2
(
)
2π
= ∫ r 4 − r 2 θ 0 dr 0
1 = 2π 2r 2 − r 4 4
2
= 8π
0
Jadi volume benda pejalnya adalah 8π
2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
17
Contoh (bola) 2. Hitung volume bola pejal x2 + y2 + z2 = 4 di oktan I z
Jawab. z = 4 − x2 − y2
D dalam koordinat:
2
2 x
a. Cartesius: ρ 2 D={(x,y,z)| 0≤x≤2, 0≤y≤ , 4 − x 2 0 0≤z≤ 4 − x 2 − y 2 } y θ b. Bola: D={(x,y,z)| 0≤ρ≤2, 0≤φ≤ π/2, 0≤θ ≤ π/2} Sehingga, volume benda pejalnya adalah V =
∫∫∫1 dV = S
2/11/2010
π /2 π /2 2
∫ ∫
2 ρ ∫ sin φ dρ dφ dθ
0
0
0
[MA 1124] KALKULUS II
18
Contoh (Lanjutan) V =
π /2 π /2 2
∫ ∫ ∫ρ 0
=
0
π /2 π /2
∫ ∫ 0
=
0
π /2
∫ 0
=
2
sin φ dρ dφ dθ
0 2
1 sin φ ρ 3 dθ dr 3 0 π /2 8 (− cos φ ) dθ 3 0
8 (θ ) π0 / 2 = 4 π 3 3
Jadi volume benda pejalnya adalah 4π/3
2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
19
Contoh 1. Hitung
2 x ∫∫∫ dV, dengan D benda pejal yang dibatasi D
z =9 – x2 – y2 dan bidang xy. 2. Hitung volume benda pejal yang di oktan I yang dibatasi bola x2 + y2+ z2 = 1 dan x2 + y2+ z2 =4. 3. Hitung volume benda pejal yang di batasi di atas oleh bola r2+ z2 = 5 dan di bawah r2 =4z. 4. Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh paraboloid z = x2 + y2 dan bidang z =4. 5. Hitung volume benda pejal yang di batasi oleh bola x2+ y2+ z2 = 9, di bawah oleh bidang z = 0 dan secara menyamping oleh tabung x2+y2=4. 2/11/2010
[MA 1124] KALKULUS II
20
Latihan 6. Hitung volume benda pejal yang di dalam bola x2+ y2+ z2 = 9, di luar kerucut z = x 2 + y 2 dan di atas bidang xy. 7. Hitung
9 − x2 − y2
9− x2
3
∫ (x
∫ ∫
2
+ y2 + z2
)
3 /2
dy dz dx
−3 − 9 − x 2 − 9 − x 2 − y 2 3
8. Hitung
9 − x2 2
∫ ∫ ∫ 0
9. Hitung
2/11/2010
0
x 2 + y 2 dz dy dx
0
4 − x2
4 − x2 − y 2
∫ ∫
∫
0
0
0
2
z 4 − x 2 − y 2 dy dz dx
[MA 1124] KALKULUS II
21
