Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Barisan dan Deret

Barisan

Definisi Barisan bilangan didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal merupakan bilangan asli. Notasi: f: N Æ R n f(n ) = an Fungsi tersebut dikenal sebagai barisan bilangan Riil {an} dengan an adalah suku ke-n. Bentuk penulisan dari barisan : 1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi an 1 ⎫ ⎧ 1 1 1 1 , a = a = n +1 1 an = ⎨1, , , , ...⎬ 1 + an 2 3 4 ⎭ ⎩ n

7/6/2007

[MA 1124] KALKULUS II

2

Kekonvergenan Barisan

Definisi: Barisan {an} dikatakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai

lim an = L n→∞

Jika untuk tiap bilangan positif ε, ada bilangan positif N sehingga untuk n ≥ N ⇒ an − L < ε

Sebaliknya, barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

7/6/2007


3

Catatan

Akan kita jumpai banyak persoalan konvergensi barisan. Kita akan menggunakan fakta berikut. f ( x ) = L , maka lim f ( n ) = L Jika lim x→∞ n→ ∞

Fakta ini memudahkan karena kita dapat memakai kaidah I’ Hospital untuk soal peubah kontinu.

7/6/2007


4

Sifat Limit Barisan

Sifat dari limit barisan, jika barisan {an} konvergen ke L dan barisan {bn} konvergen ke M, maka

1. lim (a n ± b n ) = lim (a n ) ± lim (b n ) = L ± M n →∞

n →∞

n →∞

2. lim (a n .b n ) = lim (a n ). lim (b n ) = L.M n →∞

⎛ an 3. lim⎜⎜ n →∞ b ⎝ n

n →∞

n →∞

(a n ) L ⎞ nlim →∞ ⎟⎟ = = , untuk M ≠ 0 (b n ) M ⎠ nlim →∞

Barisan {an} dikatakan

a. Monoton naik bila an+1 ≥ an b. Monoton turun bila an+1 ≤ an 7/6/2007


5

Contoh Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini:

n 1. a n = 2n − 1 Jawab: Ambil f ( x ) = I’Hospital,

x , Dalam hal ini menurut kaidah 2x − 1

lim f ( x ) = lim x →∞

Jadi, lim n→∞

x →∞

x 1 = 2x − 1 2

n 1 = 2n − 1 2

artinya barisan an konvergen menuju ½. 7/6/2007


6

Contoh ⎛ 1⎞ 2. a n = ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠

n

Jawab: x 1⎞ ⎛ Ambil f ( x ) = ⎜1 + ⎟, Dalam hal ini menurut kaidah x⎠ I’Hospital, ⎝ ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ln 1 + ⎟ ⎜ x ⎛ ⎞ ⎛ 1⎞ 1⎞ x⎠ ⎛ ⎝ ⎟ lim⎜1 + ⎟ = exp⎜⎜ lim x. ln⎜1 + ⎟ ⎟⎟ = exp⎜ lim 1 ⎟ ⎜ x →∞ x →∞ x⎠ ⎝ x ⎠⎠ ⎝ x →∞ ⎝ ⎜ x ⎟⎠ 2 ⎝ ⎛ ⎞ 1 x

Jadi,

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ .⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = exp⎜ lim ⎝ x ⎠ ⎝ x + 1 ⎠ 2⎟ x →∞ ⎛1⎞ ⎜⎜ − ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎝x⎠ ⎠ ⎝

x ⎞ ⎛ = exp⎜ lim ⎟ = e1 = e ⎝ x →∞ x + 1 ⎠

n

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e n →∞ ⎝ n⎠

artinya barisan an konvergen menuju e. 7/6/2007


7

Latihan Tentukan konvergensi dari barisan di bawah ini: 4n 2 + 1 1. a n = 2 n − 2n + 3

3n 2 + 2 2. a n = n +1

n = a 3. n n + 1

4. a n

n ( − π) =

4n ln(n ) = a 5. n n

1 a = 1 + an , a1=1 6. n+1 2 7/6/2007

2 1 (an + ) , a1=2 2 an

7.

an+1 =

8.

⎧ 1 2 3 4 ⎫ ⎨ , , , ...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭

9. 10.

2 3 4 5 ⎫ ⎧ ⎨ − 1, ,− , ,− ...⎬ 3 5 7 9 ⎭ ⎩ ⎧ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ 1 1 1 , , ...⎬ ⎨ 1, 1 2 3 ⎪ 1− 1− 1− ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 2 3 4

11.


⎧ ⎫ ⎪⎪ 1 ⎪⎪ 4 3 2 . .. , , , ⎨ ⎬ ⎪ 2− 1 3− 1 4− 1 5− 1 ⎪ ⎪⎩ ⎪⎭ 5 4 3 2 8

Deret Tak Hingga

Bentuk deret tak hingga dinotasikan dengan notasi sigma, sebagai berikut: ∞

∑a n =0

n

= a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an + …

dengan an adalah suku ke-n.

7/6/2007


9

Barisan Jumlah Parsial Misalkan Sn menyatakan jumlah parsial ke-n suku deret ∞ a i , maka ∑ i =0 S1 = a1 S2 = a1 + a2 . . n . Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an = ∑ a i ∞ i =0

Barisan {Sn}, dinamakan barisan jumlah parsial deret

∑a i =0

Dari jumlah parsial ini di dapat bahwa Sn – Sn-1 = an.

7/6/2007


10

i

Kekonvergenan Deret Tak Hingga ∞

Deret tak hingga

∑a i =0

i

konvergen dan mempunyai

jumlah S jika barisan jumlah-jumlah parsialnya {Sn} konvergen ke S. Sebaliknya apabila {Sn} divergen maka deret divergen.

7/6/2007


11

Deret Geometri

Bentuk umum deret geometri adalah ∞

∑

ar n −1 = a +ar +a r + ... + a r 2

n-1

+ ...

n =1

dengan a ≠ 0. Jumlah parsial deret ini adalah n

Sn =

∑

ar i −1 = a +ar +a r + ... + a r 2

(

i =1

n-1

)

a 1− r n dan dapat ditulis sebagai Sn = , r ≠ 1. 1− r

7/6/2007


12

Sifat Deret Geometri 1. Jika

r < 1 maka barisan {rn} konvergen ke 0 karena a lim r n = 0, maka deretnya konvergen ke n →∞ 1− r

2. Jika r

> 1 maka barisan {rn} divergen karena lim r n = ∞ ,

maka deretnya juga divergen

7/6/2007


n →∞

13

Contoh (Selidiki kekonvergenannya) 1 1 1 1 1 + + + + + . .. 2 4 8 16 32

1.

Jawab: Kalau kita perhatikan

S1 =

1 1 =12 2

S2 =

1 1 3 1 2 + = =1–( ) 2 4 4 2

1 3 1 1 1 7 S3 = + + = = 1 – ( ) 2 2 4 8 8 Sehingga kita peroleh jumlah parsial ke-n-nya 1 Sn = 1 – ( )n 2 Dan 1 n lim S n = lim (1 – ( ) ) = 1 n →∞ n →∞ 2 Jadi karena barisan jumlah-jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. 7/6/2007


14

Contoh (2) ∞

2.

1 ∑ (Deret Kolaps) i =1 i (i + 1) Jawab: Kalau kita perhatikan

1 1 1 = i +1 i(i + 1) i

Dari sini kita peroleh bahwa jumlah parsial ke-n-nya 1 ⎞ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1/ 1 ⎞ ⎛ Sn = ⎛⎜1 − ⎞⎟ + ⎛⎜ − ⎞⎟ + ⎛⎜ − ⎞⎟ + . . . + ⎛⎜ − ⎟ = ⎜1 − ⎟ ⎝ 2/ ⎠ ⎝ 2/ 3/ ⎠ ⎝ 3/ 4/ ⎠ ⎝ n/ n + 1 ⎠ ⎝ n + 1 ⎠ Dan

1 ⎞ ⎛ lim S n = lim ⎜1 − ⎟ n →∞ ⎝ n →∞ n +1⎠

=1

Jadi karena barisan jumlah parsialnya konvergen ke 1, maka deret di atas juga konvergen. 7/6/2007


15

Contoh (3) ∞

3.

1 ∑ i =1 i

(Deret Harmonik)

Jawab: Dari sini kita dapatkan 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 + + + + + + + + . . . + 2 3 4 5 6 7 8 n 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 + + ⎛⎜ + ⎞⎟ + ⎛⎜ + + + ⎞⎟ + . . . + 2 ⎝3 4⎠ ⎝5 6 7 8⎠ n 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 1 + + ⎛⎜ + ⎞⎟ + ⎛⎜ + + + ⎞⎟ + . . . + 2 ⎝ 4 4⎠ ⎝8 8 8 8⎠ n 1 1 1 1 1 =1+ + + + + . . .+ 2 2 2 2 n Sehingga akan kita dapatkan limit untuk Sn untuk n menuju tak hingga harganya adalah tak hingga juga. Jadi deret harmonik di atas adalah deret divergen. 7/6/2007


16

Uji kedivergenan dengan suku ke-n. ∞

Apabila ∑ a n konvergen maka lim a n = 0, ekivalen n →∞

n =0

lim a n ≠ 0 maka deret divergen.

n →∞

∞

Contoh: Buktikan bahwa

∑ 3n n =1

Bukti

lim

n →∞ 3n 2

n2 + 3n + 4

2

+ 3n + 4

divergen.

1 1 = (Tidak Nol) n →∞ 3 4 3 3+ + 2 n n

= lim

∞

Jadi terbukti bahwa

∑ 3n n =1

7/6/2007

n2

n2 2

+ 3n + 4


divergen.

17

Masalah Baru Dalam banyak kasus bahwalim a n = 0, tetapi dari sini n →∞ kita sangat sulit menentukan apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Sebagai contoh deret harmonik, ∞

∑ n =1

1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 =1 + + + + + + + + . . . + + . . . 2 3 4 5 6 7 8 n

Jelas bahwa lim a n = 0, tetapi deret harmonik adalah n →∞

deret yang divergen. Oleh karena itu perlu dilakukan uji-uji untuk deret positif.

7/6/2007


18

Uji Deret Positif 1. Tes Integral Misalkan fungsi f kontinu monoton turun dan f(x) > 0 pada selang [1,∝) ∞ a. Jika integral tak wajar f ( x ) dx konvergen, maka deret ∞

∑ f (n ) n =1

konvergen.

∫

1

∫

∞

b. Jika integral tak wajar f ( x ) dx divergen, maka deret ∞ 1 ∑ f (n) divergen. n =1

7/6/2007


19

Contoh ∞

1. Selidiki kekonvergenan dari

∑ne

−n 2

n =1

Jawab. Kita ambil f ( x ) = x e

∫

∞

1

xe

−x 2

dx = lim

∫

b

b →∞ 1

xe

−x 2

1 −x 2 = − lim e 2 b →∞ Jadi karena

∫

∞

xe

−x 2

−x2

, sehingga

1 dx = lim 2 b →∞ b 1

=

∫

b

e

−x 2

d( x 2 )

1

⎛ 1 1 1 1⎞ − lim ⎜⎜ 2 − 1 ⎟⎟ = 2 b →∞ ⎝ e b e ⎠ 2e ∞

dx konvergen, maka

1

∑ne

−n 2

n =1

juga konvergen.

7/6/2007


20

Contoh ∞

2. Selidiki kekonvergenan dari Jawab. Kita ambil f ( x ) =

∫

∞

2

∑ n =2

1 , sehingga x ln x

b dx ∞ d (ln x ) dx = lim ∫ = lim ∫ 2 b → ∞ x ln x x ln x b → ∞ 2 ln x = lim ln (ln x ) = lim ln (ln b ) − ln (ln 2 ) = ∞ b→∞

Jadi karena

b→∞

∫

∞

2

dx divergen, maka x ln x

juga divergen.

7/6/2007

1 n ln n


∞

∑ n =2

1 n ln n

21

Latihan Selidiki kekonvergenan deret berikut: ∞

1.

∑ (n − 2) n =3

∞

2.

∑ n ln n =2 ∞

3.

∑ n =1

7/6/2007

∞

1

4.

2

n =1 ∞

1 2

∑

5.

n

1 2n + 1 1

∑ 4n n =1

2

+1

1

(4 + 3n )

3 2


22

Uji Deret Positif 2. Uji Deret -p Deret-p atau deret hiperharmonik mempunyai bentuk umum

1 ∑ p i =1 i ∞

Dengan menggunakan tes integral, kita dapatkan lim

∫

∞

t →∞ 1

t

⎡x ⎤ t 1− p − 1 dx = lim ⎢ ⎥ = lim p t →∞ ⎢ 1 − p ⎥ x ⎣ ⎦ 1 t →∞ 1 − p 1− p

1

Kalau kita perhatikan, untuk

1. p = 1 diperoleh deret harmonik, sehingga untuk p = 1 deret divergen. 1− p lim t = 0, sehingga diperoleh deret 2. p > 1 maka t →∞ yang konvergen. 7/6/2007


23

Uji Deret Positif 3. p < 1 maka lim t t →∞ divergen.

1− p

=∞, sehingga diperoleh deret yang

1 1 4. p < 0, suku ke-n deret ∑ P , yaitu, P tidak menuju 0. n i =1 i Jadi deret divergen menurut Uji Suku ke-n n

Sehingga dapat kita simpulkan untuk uji deret-p, yaitu: 1. Deret-p konvergen apabila p > 1 2. Deret-p divergen apabila 0 ≤ p ≤ 1

7/6/2007


24

Contoh Apakah deret berikut konvergen atau divergen? ∞

1.

1

∑n n =1

1, 001 ∞

Berdasarkan uji deret-p, deret karena p=1,001 > 1 ∞

2.

∑ n =1

n =1

1, 001

konvergen

1 n

1

2 ∞

Berdasarkan uji deret-p, deret karena p= ½ < 1

7/6/2007

∑n

1


∑ n =1

1 n

1

2

divergen

25

Uji Deret Positif 3. Tes Perbandingan dengan deret lain ∞

Andaikan 1. Jika 2. Jika

7/6/2007

∑ a dan ∑ b deret positif, jika an ≤ bn maka n

n =1`

∞

∑b

n

n =1` ∞

∑a n =1`

∞

n

n =1`

konvergen, maka ∞

n

divergen, maka

∞

∑a n =1`

∑b

n

n

konvergen

divergen

n =1`


26

Contoh Selidiki Kekonvergenan deret berikut: ∞ n 1. ∑ 2 n =3

n −5

Jawab: 1 Akan kita bandingkan deret ini dengan an = dan bn= ∞

n

n n −5 1 kita tahu bahwa adalah deret harmonik dan n ∞ n =1 n 1 1 ≥ , Sehingga karena deret divergen, maka 2 n n −5 n n =1

∑

2

∑

∞

∑n n =2

7/6/2007

n 2

−5

deret yang divergen.


27

,

Contoh ∞

2.

∑n n =1

1 2

+5

Jawab: 1 1 Akan kita bandingkan deret ini dengan bn= 2 dan an= 2 ∞ n +5 n 1 kita tahu bahwa 2 adalah deret hiperharmonik dengan

∑n

p = 2 >1 dan

1 n

2

konvergen, maka

≥

1 n +5 2

∞

∑n n =1

7/6/2007

∞

n =1

, Sehingga karena

1 2

+5

∑n n =1

1 2

deret

deret yang konvergen.


28

Latihan Selidiki kekonvergenan deret berikut ∞

1. ∑ n n =1

∞

2.

∑n n =3 ∞

3.

∑2 n =1

7/6/2007

∞

n 2

4.

+5

n =3 ∞

1

5.

−5

2

∑ (n − 2) 1

∑ n =1

2

1 2n − 1

1 n

+1


29

Uji Deret Positif 4. Tes Banding limit

an Andaikan an dan bn deret positif dan lim =L n →∞ b ∞ ∞ n 1. Jika 0 < L < ∞ maka

∑a n =1`

n

dan ∑ b n sama-sama n =1`

konvergen atau divergen ∞

2. Jika L = 0 dan

7/6/2007

∑b n =1`

∞

n

konvergen maka


∑ a konvergen. n =1`

n

30

Contoh Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : ∞ 2n + 3 1. ∑ 3 2 n =1 n − 5n + 7 Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1 n 2 sehingga 2n + 3 3 3 2 2 an 2 n + 3 n n 5 n 7 − + lim = lim = lim 3 =2 2 n →∞ b n→∞ 1 n → ∞ n − 5n + 7 n n2 ∞

1 Jadi karena L=2 dan ∑ n 2 konvergen, maka deret n =1 ∞ 2n + 3 konvergen. ∑ 3 2 n =1 n − 5n + 7 7/6/2007


31

Contoh Selidiki kekonvergenan dari deret berikut : ∞

2.

∑ n =1

1 n2 + 4

Jawab: Kita gunakan Uji Banding Limit. Kalau kita perhatikan deret tersebut, suku umumnya mirip dengan bn= 1 n sehingga 1 2 an n2 n 4 + lim lim lim =1 = 2 = n →∞ n →∞ b n →∞ n + 4 1 n n

∞

1 Jadi karena L=1 dan ∑ divergen, maka deret ∞ n =1 n 1 divergen. ∑ 2 n =1 n +4 7/6/2007


32

Latihan Selidiki kekonvergenan dari deret berikut: ∞

n 1. ∑ 2 n =1 n + 2 n + 3 ∞

2.

∑n n =1

∞

3.

7/6/2007

∑ n =1

1 n +1

3n + 1 4. ∑ 3 n =1 n − 4 ∞

∞

ln n 5. ∑ 2 n =1 n

2n + 3 n2


33

Uji Deret Positif 5. Tes Hasil Bagi ∞

Diketahui ∑ ak merupakan suatu deret dengan k =1

suku-suku yang positif, misalkan 1. Jika ρ < 1 maka deret 2. Jika ρ > 1 maka deret

a k +1 =ρ k →∞ a k lim

∞

∑ak k =1

konvergen

∞

∑ak k =1

divergen

3. Jika ρ = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

7/6/2007


34

Contoh Selidiki kekonvergenan deret berikut: ∞ 3n 1. ∑ n =1 n ! Jawab: 3n Misalkan suku ke-n adalah an = , maka suku ke-n+1 n +1 n! adalah an+1= 3 sehingga (n + 1)! a lim n +1 n→∞ a n

3n + 1 = lim n→∞

(n + 1)!

3n

n!

3n +1 n ! 3 = lim n =0 = lim n → ∞ 3 (n + 1)! n → ∞ (n + 1) ∞

3n Karena nilai limit r=0 (< 1), maka deret ∑ konvergen n ! n =1

7/6/2007


35

Contoh ∞

3n 2. ∑ 2 n =1 n Jawab:

3n Misalkan suku ke-n adalah an = 2 , maka suku ke-n+1 n +1 n 3 adalah an+1= sehingga 2 (n + 1) a lim n +1 = lim n→∞ a n→∞ n

3n + 1

(n + 1)2

3

n

= lim n→∞

2

n

3 n + 1 n2

3 (n + 1) n

2

= lim n→∞

3n2

(n + 1)

2

∞

3n Karena nilai limit r=3 (> 1), maka deret ∑ 2 n =1 n

7/6/2007

=3


divergen

36


n! 1. ∑ n n =1 n ∞

n

n 2. ∑ ( ) n =1 2n !

5+n 4. ∑ n =1 n ! ∞

∞

n3 5. ∑ n =1 (2 n )!

4n + n 3. ∑ n! n =1 ∞

7/6/2007


37

Uji Deret Positif 6. Tes Akar ∞

Diketahui ∑ ak merupakan suatu deret dengan k =1

k a =a suku-suku yang positif, misalkan lim k k →∞

∞

1. Jika a < 1 maka deret

∑ak k =1

konvergen

∞

2. Jika a > 1 maka deret

∑ak k =1

divergen

3. Jika a = 1 maka uji deret ini tidak dapat dilakukan.

7/6/2007


38

Contoh Selidiki kekonvergenan deret n ∞ ⎛ 2n+2⎞ 1. ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ n =1 ⎝ n − 1 ⎠ Jawab:

n

⎛ 2n + 2⎞ Misalkan suku ke-n adalah an = ⎜⎜ ⎟⎟ , maka nilai ⎝ n −1 ⎠ limitnya adalah

2n + 2 lim an = lim =2 n →∞ n − 1 n →∞ n

⎛ 2n + 2 ⎞ Karena nilai limit r = 2 (> 1), maka deret ∑ ⎜ n − 1 ⎟ ⎠ n =1 ⎝ ∞

n

divergen 7/6/2007


39

Contoh 2.

⎛ n+2 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ∑ n =1 ⎝ 2 n − 1 ⎠ Jawab: ∞

n

n

⎛ n+2 ⎞ Misalkan suku ke-n adalah an =⎜⎜ ⎟⎟ , maka nilai ⎝ 2n − 1 ⎠ limitnya adalah

n+2 1 lim an = lim = n →∞ 2n − 1 n →∞ 2 n

⎛ 2n + 2 ⎞ Karena nilai limit r = ½ (< 1), maka deret ∑ ⎜ n − 1 ⎟ ⎠ n =1 ⎝ ∞

n

konvergen 7/6/2007


40


⎛ 1 ⎞ ⎟ 1. ∑ ⎜ n =1 ⎝ ln n ⎠ ∞

n

⎛ n ⎞ ⎟ 2. ∑ ⎜ n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠

7/6/2007

∞

⎛1 1⎞ 3. ∑ ⎜ + ⎟ n⎠ n =1 ⎝ 2 n

4.


n

⎛ 3n + 2 ⎞ ⎟ ⎜ ∑ n =1 ⎝ 2 n − 1 ⎠ ∞

n

41

Deret Ganti Tanda dan Kekonvergenan Mutlak

Deret Ganti Tanda Deret ini mempunyai bentuk sebagai berikut ∞

n +1 ( ) − 1 a n = a1 − a 2 + a 3 − a 4 + ∑

...

n =1

dengan an > 0, untuk semua n. Contoh penting adalah deret harmonik berganti tanda, yaitu ∞

∑ (− 1 )n + 1 n =1

7/6/2007

1 1 1 1 = 1− + − + ... n 2 3 4


42

Uji Deret Ganti Tanda Andaikan deret ganti tanda, deret tersebut dikatakan konvergen jika 1. an+1< an 2. lim a n = 0 n →∞

Contoh Tentukan kekonvergenan deret ganti tanda berikut

1 1 1 1. 1 − + − + . . . 2 3 4 1 1 1 2. 1 − + − + . . . 2! 3! 4! 7/6/2007


43

Contoh 1. Jawab (uji ganti tanda) 1 1 , deret Dari soal diatas kita punya an= n , dan an+1 = n +1

tersebut konvergen jika 1 an n = n + 1 = 1 + 1 > 1 ⇔ a >a a. = n n+1 an +1 1 n n n +1

1 =0 n →∞ n

b. lim an = lim n →∞

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

7/6/2007


44

Contoh 2. Jawab (uji ganti tanda)

1 1 , deret Dari soal diatas kita punya an= , dan an+1 = (n + 1)! n! tersebut konvergen jika 1 a n! a. n = = 1+ n > 1 1 an +1 (n + 1)!

⇔ an >an+1

1 b. lim an = lim = 0 n →∞ n →∞ n !

Karena a dan b terpenuhi maka deret di atas konvergen.

7/6/2007


45

Latihan Selidiki kekonvergenan dari deret ganti tanda berikut: ∞

∞

2 n +1 1. ∑ (− 1) 3n + 1 n =1 n+3 2. ∑ (− 1) 2 n +n n =1

4.

n =1 ∞

∞

n

∞

3.

7/6/2007

∑ (− 1) n =1

n +1

n ( ) 1 − ∑

5.

∑ (− 1) n =1

n

n 3n 1 n( n + 1)

nn n!


46

Konvergen Mutlak dan Konvergen Bersyarat Suatu deret dikatakan konvergen mutlak bila harga mutlak deret tersebut konvergen. Atau dengan kata lain ∞

∞

∑ b n dikatakan konvergen mutlak jika ∑ b n konvergen. n =1 n =1 ∞

Dan dikatakan konvergen bersyarat jika ∑ b n divergen, tetapi

7/6/2007

∞

n =1

∑ b n konvergen. n =1


47

Pengujian Kekonvergenan Mutlak ∞

Misalkan ∑ n =1

an

a n +1 lim dengan an ≠ 0 dan n→∞ a = r. Maka n

1. bila r < 1 maka deret konvergen mutlak 2. bila r > 1 maka deret divergen 3. bila r = 1 maka tes gagal.`

7/6/2007


48

Contoh Selidiki deret berikut konvergen bersyarat, konvergen mutlak atau divergen n ∞ n +1 2 1. ∑ (− 1) n! n =1 Jawab: Dari soal diatas kita punya an= (− 1) sehingga

(− 1)

n+2

r = lim n →∞

an +1 an

= lim n →∞

(− 1)

2 n +1

n +1

(n + 1)!

2n

(n )!

n+1

n +1 2n n+2 2 , dan an+1 = (− 1) (n + 1)! n!

2 n +1 n ! 2 = lim n =0 = lim n →∞ 2 (n + 1)! n→∞ n + 1

Menurut uji hasilbagi mutlak, deret ini konvergen mutlak 7/6/2007


49

Contoh ∞

n +1 ( ) − 1 2. ∑ n =1

1 n

Jawab: ∞

n +1 Dengan uji deret ganti tanda deret ∑ (− 1)

(buktikan!!), sedangkan

∞

∑ n =1

∞

an = ∑ n =1

n =1

1 n

konvergen

1 adalah deret divergen n

(karena merupakan deret-p dengan p= ½ < 1) ∞

Jadi deret

7/6/2007

n +1 ( ) 1 − ∑ n =1

1 adalah konvergen bersyarat. n


50

Latihan Selidiki apakah deret tersebut konvergen mutlak, konvergen bersyarat atau divergen: ∞

n⎛ n ⎞ ( ) − 1 1. ⎜ n⎟ ⎝5 ⎠ n =1

∑ ∞

2.

∑ n =1

(−4) n

7/6/2007

4.

1 (− 1) ∑ n(n + 1) n =1

5.

(−1) n +1 ∑ n =1 n ln n

2 n

n

∞

n

(−1) 3. ∑ n =1 3n + 2 ∞

∞

(−1) n +1 6. ∑ n =1 n n + 1 ∞


51

Deret Pangkat Deret pangkat secara umum ada dua bentuk 1. Deret pangkat dalam x didefinisikan ∞

∑

an x n

n =0

2.

= a0 + a1 x + a2 x2 + . . .

Deret pangkat dalam (x – b) didefinisikan ∞

∑a n =0

n

(x − b )n = a0 + a1 (x-b) + a2 (x-b)2 + . . .

Untuk kali ini kita bicara selang kekonvergenan / untuk harga x berapa saja deret pangkat tersebut konvergen.

7/6/2007


52

Selang Kekonvergenan Selang kekonvergenan ditentukan dengan uji hasilbagi mutlak sebagai berikut: an + 1 ( x − b)n + 1 Misalkan ∑ an (x − b) dan L = lim n→∞ an ( x − b)n n =0 ∞

n

1. Jika L < 1, maka deret konvergen. 2. Jika L = 1, tidak dapat diambil kesimpulan Æ gunakan uji deret sebelumnya.

7/6/2007


53

Soal Tentukan selang kekonvergenan deret 1.

∞

∑ (n + 1)2 n =0

∞

2.

xn

∑ n =0

n

xn (n + 1) !

∞

3.

∑ (n + 1) ! x

n

n =0

7/6/2007


54

Jawab 1. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak. x n +1 xn x (n + 1) x L = lim n +1 : = lim = n→∞ 2 n → ∞ 2 (n + 2) (n + 2) (n + 1)2n 2

Jadi deret tersebut konvergen mutlak apabila L< 1, yaitu –2 < x < 2 Kemudian akan kita cek untuk titik ujung intervalnya yaitu x = 2 atau x = -2 . Pada x = 2 2n = ∑ n n =1 (n + 1) 2 ∞

1 ∑ n =1 (n + 1) ∞

deret ini adalah deret harmonik yang divergen. 7/6/2007


55

Jawab Pada x = –2

(− 2) n ∑ n n =1 (n + 1) 2 ∞

( − 1) n =∑ n =1 (n + 1) ∞

deret ini adalah deret harmonik berganti tanda yang konvergen. Sehingga selang kekonvergenannya adalah –2 ≤ x < 2

7/6/2007


56

Jawab(2) 2. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak. x n +1 xn x = lim L = lim : =0 n → ∞ (n + 2)! (n + 1)! n→ ∞ (n + 2)

Karena L = 0 < 1, maka deret selalu konvergen untuk semua nilai x. Jadi selang kekonvergenannya adalah (-∞,∞)

7/6/2007


57

Jawab(3) 3. Kita akan gunakan Uji Hasilbagi Mutlak, untuk menyelidiki kekonvergenan mutlak.

( n + 2)! x n +1 L = lim n → ∞ (n + 1)! x n

⎧0, = lim (n + 2) x = ⎨ n→∞ ⎩ ∞,

jika x = 0 jika x ≠ 0

Jadi deret tersebut konvergen hanya untuk x = 0.

7/6/2007


58

Teorema 1 ∞

Himpunan kekonvergenan deret pangkat

∑

a n x n berbentuk

n =0

selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut: 1. satu titik x = 0 2. selang (-c, c), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan riil

7/6/2007


59

Teorema 2 ∞

n a ( x − b ) Himpunan kekonvergenan deret pangkat ∑ n n =0

berbentuk selang yang berupa salah satu dari ketiga jenis berikut : 1. satu titik x = b 2. selang (b-c, c+b), mungkin ditambah salah satu atau keduanya titik ujungnya. 3. seluruh himpunan bilangan riil

7/6/2007


60

Latihan Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat berikut: ∞

1.

( x − 1) n

∑ (n + 1) n =0

2

2 3 4 ( ) ( ) ( ) x + 2 ln 2 x + 2 ln 3 x + 2 ln 4 2 x + 2. + + + + ... 3 2.9 3.27 4.81 ( x + 2)2 (x + 2)3 + + ... 3. (x + 2 ) + 2! 3!

7/6/2007


61

Operasi deret pangkat Dalam pasal sebelumnya untuk −1 < x < 1 deret ∞

∑ n =1

ax n =

a 1− x

Pertanyaan yang muncul mengenai sifat-sifat deret kuasa di ∞

atas (misal S(x)=∑ ax n ) misalkan bagaimana jika S(x) n =1

didiferensialkan dan jika S(x) diintegralkan.

7/6/2007


62

Teorema

Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; jadi ∞

S(x)=

Maka 1. S’(x) =

∑a

nx

n

n =0

= a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .

∑ D[a x ] = D[a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3+ . . .] ∞

n

n

n =0

= a1 + 2a2 x + 3a3 x2+ . . . ∞

= x

2. ∫ S (t ) dt = 0

∞

∑∫ n =0

x

0

∑a

n x n −1

n =1

a n t n dt

1 1 1 3 + 2 a x a3 x4+ . . . x + a = a0 x + 2 1 4 3 2 ∞

= 7/6/2007

n

∑ n =0

a n n +1 x n +1


63

Contoh Sesuai teorema di atas 1 = 1 + x + x2 + x3 + . . . untuk -1< x <1, tentukan 1− x

a.

1

(1 − x )

2

b. ln(1 – x)

Jawab: a.

1

(1 − x )2

Dengan menurunkan suku demi suku, kita peroleh 1 ⎛ 1 ⎞ 2 3 Dx ⎜ ⎟= 2 = 1 + 2x + 3x + 4 x + . . . ⎝ 1 − x ⎠ (1 − x ) ∞ = ∑ n x n −1 , -1< x <1 n =1

7/6/2007


64

Contoh a. ln (1 – x) Sedangkan dengan mengintegralkan suku demi suku, kita peroleh juga x x 1 ln(1 − x ) = ∫ dt = ∫ 1 + t + t 2 + t 3 + ... dt 1− t 0 0 x 1 1 1 1 1 1 = t + t 2 + t 3 + t 4 + ... = x + x 2 + x 3 + x 4 + ... 2 3 4 2 3 4 0 ∞ 1 = ∑ x n , -1< x <1 n =1 n

7/6/2007


65

Latihan Tentukan (Petunjuk : Lihat contoh a dan b di atas)

1 1. f ( x ) = 1+ x 2. f ( x ) =

1

(1 + x )2

x2 2 1 3. f ( x ) = =x 1+ x 1+ x

5. f(x)=tan-1(x)

⎛1− x ⎞ ⎟ 6. f ( x ) = ln ⎜ ⎝1+ x ⎠ 7.

1 f ( x) = (2 + 3x )

1 4. f ( x ) = 1+ x2

7/6/2007


66

Deret Taylor dan Deret Maclurin Deret Taylor Definisi: Misalkan f(x) dapat diturunkan sampai n kali pada x=b. Maka f(x) dapat diperderetkan menjadi deret kuasa dalam bentuk ∞

f(x) = ∑ n =0

f

(n)

(b) (x − b )n = n!

f ' ' (b) ( x − b)2 f(b) + f ’(b)(x-b)+ +... 2!

deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b. Bila b = 0, kita peroleh Deret Mac Laurin, yaitu ∞ f ( n ) (0) n f "(0) x2 f(x) = ∑ n ! (x ) = f(0) + f ’(0)(x)+ +... 2 ! n =0

7/6/2007


67

Contoh Perderetkan fungsi berikut dengan deret maclaurin: 1. f(x)= sin x Jawab: f(x) = sin x

Æ f(0) = 0

f ’(x) = cos x f ’’(x) = - sin x

Æ f’(0) = 1 Æ f’’(0) = 0

f ’’’(x) = - cos x

Æ f’’’(0) = -1

f

lV

(x) = sin x

Æ f lV(0) = 0

Sehingga, 2 n +1 ∞ x3 x5 x7 x f ( x) = sin x = x − + − + . . . = ∑ (− 1) n 3! 5 ! 7 ! (2n + 1)! n =0 7/6/2007


68

Contoh 2. f(x)= ex Jawab: f(x) = ex

Æ f(0) = 1

f ’(x) = ex f ’’(x) = ex

Æ f’(0) = 1 Æ f’’(0) = 1

f ’’’(x) = ex

Æ f’’’(0) = 1

f

Æ f lV(0) = 1

lV

(x) = ex

Sehingga, 2 3 4 n ∞ x x x x x f ( x) = e = 1 + x + + + + . . . = ∑ 2 ! 3! 4! n =0 n !

7/6/2007


69

Contoh 3. Perderetkan f(x)= ex dengan deret taylor dengan pusat di x=1 Jawab: f(x) = ex

Æ f(1) = e

f ’(x) = ex f ’’(x) = ex

Æ f’(1) = e Æ f’’(1) = e

f ’’’(x) = ex

Æ f’’’(1) = e

f

Æ f lV(1) = e

lV

(x) = ex

Sehingga,

f ( x) = e 7/6/2007

x

2 3 ( ( x − 1) x − 1) = e + e( x − 1) + e +e +. . .

2!


3!

∞

=∑ n =0

n ( x − 1) e

n!

70

Latihan 1. Perderetkan dengan f(x) berikut deret maclaurin a. f(x) = cos x

e. f(x) = sin2 x

b. f(x) = cos x2

f. f(x) = sec x

c. f(x) = cos2 x

g. f(x) = tan x

d. f(x) = ex + sin x

h. f(x) = sec x

2. Perderetkan dengan f(x) berikut deret taylor dengan pusat x = a a. f(x) = cos x, a = π/3 c. f(x) = ex, a = 2 b. f(x) = sin x, a = π/3 7/6/2007


71

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Recommend Documents