Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Vektor

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Fungsi Vektor

[MA1124] KALKULUS II

Definisi

Definisi fungsi vektor Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t ε R dengan tepat satu vektor F (t) ∈ R2(3) Notasi : F : R t atau

t

Æ R2(3) Æ F (t) = f(t)î + g(t)ˆj = f(t), g(t) ˆ = f(t), g(t),h(t) Æ F(t) = f(t)î + g(t)ˆj + h(t)k

dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real

7/6/2007

[MA 1124] KALKULUS II

2

Contoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai

Contoh

1. F (t ) = t − 2 ˆ i + (t − 3)−1 ˆ j 3. F (t ) = ln(t 2 + 1)ˆ i + cos−1 t ˆ j r r ⎛2 ⎞ i − 6−t ˆ j 2. F (t ) = cos t ˆ i + sin t ˆ j + kˆ 4. F (t ) = ln⎜ ⎟ˆ ⎝t ⎠

Misal f (t ) = f1(t ) ˆ i + f2(t ) ˆ j + f3(t )kˆ

Daerah Asal (Df )

{

Dfr = t ∈ R |t ∈ Df1 ∩ Df2 ∩ Df3

Daerah Hasil (Rf )

7/6/2007

{

r Rfr = f (t ) ∈ R3 |t ∈ Df

}

}


3

Contoh Tentukan Df (daerah asal)!

1. F (t ) = t − 2 ˆ i + (t − 3)−1 ˆ j

Misalkan f1(t ) = t − 2 dan f2(t ) = 1(t − 3)

{}

Diperoleh Df1 = [2, ∞) dan Df2 = R − 3 Sehingga

DF = {t ∈ R t ∈ Df 1 ∩ Df 2 }

= {t ∈ R t ∈ [2, ∞) ∩ R − {3}}

= { t ∈ [2, ∞) − {3}} = [2, 3) ∪ (3, ∞)

7/6/2007


4

Contoh r 2. F (t ) = cos t ˆ i + sin t ˆ j + kˆ Misalkan f1(t ) = cos t , f2(t ) = sint dan f3(t ) = 1

Diperoleh Df1 = R , Df2 = R dan Df = R 3 Sehingga

DF = {t ∈ R t ∈ Df 1 ∩ Df 2 ∩ Df 3 }

= {t ∈ R t ∈ R ∩ R ∩ R} = R

r 3. F (t ) = ln(t 2 + 1) ˆ i + cos−1 t ˆ j

2 −1 Misalkan f1(t ) = ln(t + 1) dan f2(t ) = cos t

Diperoleh Df1 = R

dan Df2 = [−1, 1]

Sehingga

DF = {t ∈ R t ∈ Df 1 ∩ Df 2 } = {t ∈ R t ∈ R ∩ [− 1,1]} = [−1,1]

7/6/2007


5

Contoh ⎛2⎞ 4. F (t ) = ln⎜ ⎟ ˆ i − 6−t ˆ j ⎝t ⎠ ⎛2⎞ Misalkan f1(t ) = ln ⎜ ⎟ dan f2(t ) = − 6 − t ⎝t ⎠ Diperoleh Df = (0, ∞) dan D f = (−∞, 6] 2 1 Sehingga

DF = {t ∈ R t ∈ Df 1 ∩ Df 2 }

= {t ∈ R t ∈ (0, ∞) ∩ (−∞, 6]} = (0, 6]

7/6/2007


6

Latihan Tentukan Df (daerah asal)! r 1. f (t ) = (t − 4)ˆ i + tˆ j r 2. f (t ) = −t ˆ i − 4 − t2 ˆ j r 1 ˆ 3. f (t ) = i + tˆ j (t − 4) r 1 ˆ 2ˆ 4. f (t ) = i +t j 4− t

7/6/2007


7

Grafik Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan

f (t ) = f1(t ) ˆ i + f2(t ) ˆ j Df=[a,b]

[

y r f(a)

] a≤t≤b

c r f(t) f(b)

x

Jika t berubah sepanjang [a,b] Æ ujung-ujung f (t ) menjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu f (a) disebut titik pangkal lengkungan C f (b) disebut titik ujung lengkungan C

Jika f (a) = f (b) Æ kurva C disebut kurva tertutup 7/6/2007


8

Grafik fungsi vektor

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah tertentu Cara menggambar grafik fungsi vektor 1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C 2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva) 3. Tentukan arahnya

7/6/2007


9

Contoh Gambarkan grafik fungsi dibawah ini: 1. F (t ) = 3 cos t ˆ i + 2 sin t ˆ j ; 0 ≤ t ≤ 2π

Persamaan parameter x = 3 cos t Ö x/3 = cos t y = 2 sin t

Ö

cos2 t + sin2 t =1 2 2 x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 (ellips) ⎝2⎠ ⎝3⎠

y/2 = sin t

Arahnya

F (0) = 3 ˆ i = (3, 0) π F( ) = 2 ˆ j = (0, 2) 2 F (π ) = −3 ˆ i = (−3, 0) 3π F ( ) = −2 ˆ j = (0, − 2) 2 F (2π ) = 3 ˆ i = (3, 0) 7/6/2007

y

2

C 3

-3

x

-2 [MA 1124] KALKULUS II

10

Contoh r 2. F (t ) = (t − 4)ˆ i + tˆ j ; 0≤t ≤4 Persamaan parameter x=t–4 Ö t = x+4

y=

x = y 2 − 4 (parabola)

y= t

Arahnya

F (0) = −4 ˆ i = (−4, 0) F (4) = 2 ˆ j = (0, 2)

y

2 C -4

7/6/2007

x+4


x

11

Contoh r 3. F (t ) = −t iˆ + a 2 − t 2 ˆj ; − a ≤ t ≤ a Persamaan parameter x=–t y = a 2− (− x ) 2 ⇒ y 2= a 2− x 2 y = a2 − t 2 x 2+ y 2= a 2 (lingkaran) Arahnya

y

F (−a) = a ˆ i = (a, 0)

F (0) = a ˆj = (0, a)

C

F (a) = −a ˆ i = (−a, 0) –a

7/6/2007

a


a

x

12

Latihan Gambarkan grafik fungsi dibawah ini: r 1. F (t ) = t ˆ i − 4 − t2 ˆ j ; −2 ≤ t ≤ 2

2. F (t ) = 4 − t 2 ˆ i + tˆ j ; −2 ≤ t ≤ 2 r 3. F (t ) = (4t − 1)ˆ i − 2t ˆ j ;0≤t ≤3

(

)

4. F (t ) = t 2 + 2t ˆ i + (t − 3) ˆ j ; −2 ≤ t ≤ 3

7/6/2007


13

Persamaan Parameter di R3 Persamaannya adalah sebagai berikut: x = f1(t) ; y = f2(t) ; z = f3(t) , t ε I Contoh: r i + sin t ˆ j + t kˆ Æx = cos t; y = sin t; z = t , t ε R 1. F (t ) = cos t ˆ 2. Garis

z

P0=(x0,y0,z0)

r w0

P(x,y,z)

r w

r v x

7/6/2007

y


14

Garis (ljt)

Garis adalah himpunan semua titik P sehingga

r P P =tv r 0r - w0 + w = t v

r v = vektor yang sejajar dengan garis

r r r w = w0 + t v

Jika w =<x, y, z> dan w0 =<x0,y0,z0> serta v = maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulis sebagai berikut x = x0 + t a y = y0 + t b z = z0 + t c Sedangkan persamaan simetrinya adalah x − x 0 y − y0 z − z 0 = = a b c 7/6/2007


15

Contoh 1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor <-1, 2, 3> Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah x=1–t y=2+2t z=3+3t 2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4) Jawab: vektor yang sejajar dengan garis tersebut: r v =<5 – 2, –1 + 3, –4 + 1> = <3, 2, –3> Pilih titik (x0, y0, z0) = (2, –3, –1) maka persamaan parameter garis tersebut adalah x = 2 + 3t , y = –3 + 2t , z = – 1 – 3t 7/6/2007


16

Latihan 1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan: a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6) b. (2, -1, 5), (7, -2, 3) c. (4, 2, 3), (6, 2, -1) 2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan a. (4, -6, 3), <-2, 1, 5> b. (-1, 3, 2), <4, 2, -1> c. (2, 5, -4), <-3, 4, 2>

7/6/2007


17

Ekivalen Fungsi r r r r f (t ) dan g(t ) disebut ekivalen jika f (t ) dan g(t ) menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama. Contoh r f (t ) = a cos t î + a sin t ˆj , 0 ≤ t ≤ π r g(t ) = −t î + a 2 − t 2 ˆj , − a ≤ t ≤ a r r g f (t ) dan (t ) ekivalen Norm r r ˆ ˆ ˆ Misalkan f (t ) = f1 (t ) i + f 2 (t ) j + f 3 (t ) k maka norm dari f (t ) adalah r 2 2 2 f (t ) = (f1 (t )) + (f 2 (t )) + (f3 (t ))

7/6/2007


18

Sifat r r ˆ ˆ ˆ Misalkan f (t ) = f1(t ) i + f2(t ) j + f3(t ) k dan g(t ) = g1(t )î + g2(t )ˆj + g3(t ) kˆ

r r r r 1. f (t ). g(t ) = f1(t ) g1(t ) + f2(t ) g2(t ) + f3(t ) g3(t ) = f (t ) g(t ) cosα

α adalah sudut antara dua vektor tersebut 2.

ˆ i r r f (t ) x g(t ) = f1(t )

ˆ j f2(t )

kˆ f3(t ) =

g1(t ) g2(t ) g3(t )

(

f2(t )

f3(t )

f (t ) f3(t ) f (t ) f2(t ) ˆ ˆ ˆ i − 1 j+ 1 k g2(t ) g3(t ) g1(t ) g3(t ) g1(t ) g2(t )

)

r r i + c(f2(t ) ± g2(t ))ˆ j + c(f3(t ) ± g3(t ))kˆ 3. c f (t ) ± g(t ) = c(f1(t ) ± g1(t ))ˆ c =konstanta

7/6/2007


19

Limit Definisi

r r lim f (t ) = L → ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∋ 0 < t − a < δ → f (t ) − L < ε t →a

y

Ilustrasi

r f(t) - L

r f(t)

.

( a-δ a

) a+δ

ε L

x

7/6/2007


20

Teorema r r i + f2(t )ˆ j, maka f (t ) mempunyai limit di a Misalkan f (t ) = f1(t )ˆ

↔ f1(t) dan f2(t) mempunyai limit di a. Dan r i + lim f2(t ) ˆ j lim f (t ) = lim f1(t ) ˆ t →a

(

t →a

) (

)

t →a

Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan):

⎡ t 2 − 9 ˆ t 2 + t − 6 ˆ⎤ 1. lim ⎢ i + 2 j⎥ t → −3 t −9 ⎦ ⎣t +3

⎡ sin t ˆ t i + t 2. lim ⎢ t →0 ⎣ t e 7/6/2007

3. lim+ ln(t 2 ), t ln t t →0

⎤ ˆ j⎥ ⎦ [MA 1124] KALKULUS II

21

Contoh (Jawab) ⎡ t 2 − 9 ˆ t 2 + t − 6 ˆ⎤ t2 + t − 6 ˆ t2 − 9 ˆ i + lim 2 j i + 2 1. lim ⎢ j ⎥ = lim t → − t → − 3 3 t → −3 t +3 t −9 t −9 ⎦ ⎣t +3

(t − 3)(t + 3) î + lim (t + 3)(t − 2) ˆj t → −3 t → −3 (t + 3)(t − 3) t +3 ⎛t − 2⎞ ˆ i + lim ⎜ = lim (t − 3) ˆ ⎟j t → −3 t → −3

= lim

⎝t − 3⎠

⎡ sin t ˆ t 2. lim ⎢ i + t t →0 e ⎣ t

⎤ ˆ j⎥ ⎦

5 = − 6ˆ i + ˆ j 6 sin t ˆ t = lim j i + lim t ˆ → 0 t →0 t t e

= ˆ i + 0ˆ j =ˆ i 7/6/2007


22

Contoh (Jawab) 3. lim+ ln(t 2 ), t ln t t →0

=

lim+ ln(t 2 ), lim+ t ln t

t →0

t →0

karena lim+ ln(t 2 ) = −∞ (tidak ada) t →0

Jadi lim+ ln(t 2 ), t ln t t →0

7/6/2007

tidak ada


23

Latihan Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan): ⎡ t − 2 ˆ t 2 + t − 6 ˆ⎤ 1 j⎥ 1. lim ⎢ 2 i + 3. lim+ e1 / t , t →2 t →0 t −2 t ⎣t − 4 ⎦

⎡ sin t ˆ t 2 + 1 2. lim ⎢ i + 2 2t − 3t t →∞ ⎣ t

7/6/2007

⎤ ˆ j⎥ ⎦


24

Kekontinuan Definisi r r r a. f (t ) kontinu di a ∈ Dfr jika lim f (t ) = f (a ) t →a r r b. f (t ) kontinu pada himpunan A ⊂ R jika f (t ) kontinu di setiap titik pada A Teorema r Fungsi f (t ) = f1 (t ) î + f 2 (t )ˆj + f 3 (t ) kˆ kontinu pada B⊂ Dfr ↔ f1(t), f2(t) , f3(t) kontinu pada B

7/6/2007


25

Turunan r Definisi: Misalkan f (t ) = f1 (t ) î + f 2 (t )ˆj + f 3 (t ) kˆ

[

][

r f1 (t + h) î + f 2 (t + h)ˆj + f3 (t + h) kˆ − f1 (t ) î + f 2 (t )ˆj + f3 (t ) kˆ f ' (t ) = lim h →0 h

]

⎡ f (t + h) − f1 (t ) ˆ f 2 (t + h) − f 2 (t ) ˆ f 3 (t + h) − f 3 (t ) ˆ ⎤ k⎥ = lim⎢ 1 i+ j+ h →0 h h h ⎣ ⎦ f3 (t + h) − f3 (t ) ˆ f1 (t + h) − f1 (t ) ˆ f 2 (t + h) − f 2 (t ) ˆ i + lim j + lim = lim k → → h →0 h 0 h 0 h h h = f1 ' (t ) î + f 2 ' (t )ˆj + f 3 ' (t )kˆ r Jadi f ' (t ) = f1 ' (t ) î + f 2 ' (t )ˆj + f 3 ' (t ) kˆ 7/6/2007


26

Contoh r r r 2ˆ 2t ˆ 2 1. Diketahui f (t ) = (2t + 3) i − e j . Tentukan Dt f (0) dan Dt f (0) Jawab

r r i. Dt f (t ) = f ' (t ) = 2 (2 t + 3) 2 ˆ i − 2e2t ˆ j

= (8 t + 12) ˆ i − 2e2t ˆ j

r Dt f (0) = 12 ˆ i −2ˆ j r r 2 i − 4e2t ˆ j ii. Dt f (t ) = f " (t ) = 8 ˆ r 2 Dt f (0) = 8 ˆ i − 4ˆ j

7/6/2007


27

Contoh r f (t ) = cos 2t î + e t ˆj . Tentukan

2. Diketahui r r a. f ' (t ) dan f " (t ) r r b. sudut antara f ' (0) dan f " (0) Jawab r a. f ' (t ) = −2 sin2t ˆ i + et ˆ j r f " (t ) = −4 cos 2t ˆ i + et ˆ j r b. f ' (0) = ˆ j r f " (0) = −4 ˆ i +ˆ j

r r f ' (0).f " (0) 1 cosθ = r r = 17 f ' (0) f " (0)

7/6/2007

Ö


⎛ 1 ⎞ ⎟ ⎝ 17 ⎠

θ = cos−1 ⎜

28

Latihan r 1. Diketahui f (t ) = tan−1 t ˆ i + t e−2t ˆ j + ln t 2 + 1 kˆ r r 2 Tentukan Dt f (0) dan Dt f (0) r 2. Diketahui r (t ) = e2t ˆ i + ln(t 3 ) ˆ j r r Tentukan Dt [r (t ).r ' (t )] r r 3. Tentukan r ' (t ) dan r " (t ) r t −t ˆ t2 ˆ a. r (t ) = e + e i − e j r i − 2t 5 / 3 ˆ j b. r (t ) = tant ˆ

(

(

7/6/2007

)

)


29

Arti Geometris z Df=[a,b] [

P

r r f(t + h) - f(t)

r f(t)

c r f(t + h)

] a≤ t ≤b

O y r r x r r f (t + h) − f (t ) Vektor dengan vektor f(t + h) - f(t) , hr > 0 searah r h f (t + h) − f (t ) r = f ' (t ) Jika hÆ 0, maka lim h →0 h

Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat t ∈ Dfr r Arti Geometris f ' (t ) : Vektor Singgung 7/6/2007


30

Garis Singgung r P f ' (t 0 )

z Df=[a,b] [

r f(t 0 )

] a≤t≤b

x

O

c

y

Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah

r r r x(t ) = f (t 0 ) + t f ' (t 0 )

atau <x, y, z>=+t 7/6/2007


31

Contoh r Diketahui f (t ) = cos t ˆ i + sin t ˆ j + t kˆ Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–1, 0, π). Jawab: t0 = waktu saat P tercapai, yaitu t0 = π

r f ' (t ) = − sint ˆ i + cos t ˆ j + kˆ r f ' (π ) = 0 ˆ i + (−1) ˆ j + kˆ =< 0, − 1, 1 > r f (π ) = (−1) ˆ i +0 ˆ j + π kˆ =< − 1, 0, π >

Persamaan parameter garis singgung di titik P (–1, 0, π) adalah x = –1, y = – t , z = π + t

7/6/2007


32

Latihan r 1. Diketahui f (t ) = 3 sin t ˆ i + 4 cos t ˆ j Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4). r 2. Diketahui f (t ) = et sin t ˆ i + et cos t ˆ j + 1 + t 2 kˆ

(

)

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1). r 3. Diketahui f (t ) = (2t − 2) ˆ i + 3t2 − 2 ˆ j

(

)

Tentukan persamaan garis singgung di titik P (–2, –2).

7/6/2007


33

Gerak Sepanjang Kurva Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka r

r (t ) = f (t ) î + g(t )ˆj

menyatakan vektor posisi dari titik P.

r Jika t berubah Æ ujung vektor r ( t ) bergerak sepanjang lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear)

7/6/2007


34

Definisi

Contoh

1. Kecepatan

r v(t ) titik P adalah 1. Gerak Linear r r r r r ˆ ˆ r ( t ) = p + h ( t ) q v(t ) = r ' (t ) = f ' (t ) i + g' (t ) j r r r p, q vektor tetap; h(t ) fungsi real v(t ) di sebut laju titik P r 2. Gerak pada Lingkaran 2. Percepatan a ( t ) titik P r r r r (t ) = a cos t î + a sin t ˆj , a > 0 a (t ) = r ' ' (t ) = f ' ' (t ) î + g' ' (t )ˆj r a (t ) di sebut besar percepatan 3. Gerak pada ellips r pada saat t r (t ) = a cos t î + b sin t ˆj , a, b > 0 4. Gerak pada heliks Lingkaran

r r (t ) = a cos ωt î + a sin ωt ˆj + bωt kˆ 7/6/2007


35

Contoh Gerak Sepanjang Kurva Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

7/6/2007


36

Jawab a. Persamaan parameter x = 3 cos t Ö x/3 = cos t y = 2 sin t

Ö

y/2 = sin t y r v (t) 2 P

cos2 t + sin2 t =1 2 2 ⎛y⎞ ⎛x⎞ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1 (ellips) ⎝2⎠ ⎝3⎠

. r

a(t)

3

-3

x

-2

r i + 2 sin t ˆ j b. r (t ) = 3 cos t ˆ r r r ' (t ) = v(t ) = −3 sin t ˆ i + 2 cos t ˆ j r r r ˆ ˆ r " (t ) = a(t ) = −3 cos t i − 2 sin t j = −r (t ) 7/6/2007


37

Jawab (Lanjutan) r v(t ) = 9 sin 2 t + 4 cos 2 t

(

= 5 sin 2 t + 4 sin 2 t + 4 cos 2 t = 5 sin 2 t + 4 sin 2 t + cos 2 t

= 5 sin 2 t + 4 b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ±1, atau t = π/2, 3π/2 yaitu pada titik (0, ±2) Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, π yaitu pada titik (±3, 0)

7/6/2007


38

)

Latihan Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai

7/6/2007


39

Kelengkungan r Andaikan a≤t≤b, r ( t ) = f ( t ) î + g( t )ˆj vektor posisi titik P. Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah t

s= ∫

( f ' (u))

2

t

+ ( g ' (u)) du = ∫ 2

a

r r ' (u) du

a

Laju titik yang bergerak itu adalah

r ds r = r ' (t ) = v(t ) dt dt 1 = r ds v(t )

7/6/2007


40

Kelengkungan (Ljt)

Definisi. Vektor Singgung Satuan di P.

y

r Notasi T(t ) didefinisikan sbb r r r r ' (t ) v(t ) = r T( t ) = r r ' (t ) v(t ) o r Apabila P bergerak Æ T(t ) berubah arah r dT disebut vektor kelengkungan di P ds

7/6/2007


x

41

Kelengkungan (Ljt) r dT Kelengkungan di P; κ (kappa). κ = ds Dengan aturan rantai diperoleh r r r r dT dT dt 1 T' ( t ) = = T' ( t ) r = r ds dt ds v(t ) v(t ) r r T' ( t ) dT = r Jadi κ = ds v(t ) dan

1 R= κ

7/6/2007

disebut jari-jari kelengkungan


42

Contoh Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari

r i + 8 sin3 t ˆ j , di titik P pada t = π 1. r (t ) = 8 cos3 t ˆ Jawab: r r r ' (t ) = v(t ) = −24 cos2 t sin t ˆ i + 24 sin2 t cos t ˆ j r v(t ) = 24 cos 4 t sin 2 t + sin4 t cos2 t

12

= 24 cos 2 t sin 2 t (cos2 t + sin2 t ) = 24 cos t sint r r v(t ) i + sin t ˆ j T (t ) = r = − cos t ˆ v(t ) r T ' (t ) = sint ˆ i + cos t ˆ j r T ' (t ) sin2 t + cos2 t 1 1 κ (t ) = r = = = v(t ) 24 cos t sint 24 cos t sint 12 sin2t 7/6/2007


43

Contoh (lanjutan) π

1

1

1 1 = = = κ( ) = 12 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛1⎞ 6 12 sin2⎜ ⎟ 12 sin ⎜ ⎟ 12 .⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝6⎠ ⎝2⎠ 1 R = = 6 (Jari-jari kelengkungan)

κ

Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6

7/6/2007


44

Contoh r i + e t cos t ˆ j + et kˆ, di titik P pada t = π 2. r (t ) = e t sint ˆ

2

Jawab: r r r ' (t ) = v(t ) = et sint + et cos t ˆ i + et cos t − et sint ˆ j + et kˆ r 2 2 v(t ) = et (cos t + sin t ) + (cos t − sin t ) + 1

(

)

(

)

= et 1 + 2 cos t sint + 1 − 2 cos t sint + 1 = 3 et r r v(t ) 1 (sint + cos t )î + (cos t − sint )ˆj + kˆ = T (t ) = r v(t ) 3 r 1 (cos t − sint )î + (− sint − cos t ) ˆj + 0kˆ T ' (t ) = r3 2 2 T ' (t ) ( cos t − sint ) + (sint + cos t ) 2 κ (t ) = r = = t v(t ) 3e 3 et

[

]

[

7/6/2007

]


45

Contoh (lanjutan) ⎛π ⎞ κ⎜ ⎟ = ⎝2⎠

2 π

3 e2

π

2 −2 = e 3 π

1

3 2 e 2 (Jari-jari kelengkungan) R= = κ 2 π

− 2 Jadi kelengkungan (κ) kurva diatas di t= π/12 adalah e 2, 3

π

3 2 e2 Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 2

7/6/2007


46

Latihan Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan

1. 2. 3.

4.

r r (t ) = et sint ˆ i + et cos t ˆ j , di titik P pada t = π 2 r 2 r (t ) = 2t ˆ i + t −1 ˆ j , di titik P pada t = 1 r r (t ) = 4t 2 ˆ i + 4t ˆ j , di titik P pada t = 1 2 r r (t ) = 8 sint ˆ i + 8 cos t ˆ j + 4t kˆ, di titik P pada t = π

(

)

r i + cos 3t ˆ j + t kˆ, di titik P pada t = π 5. r (t ) = sin3t ˆ

7/6/2007


9

47

6

Teorema Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka

κ=

x' y"−y' x"

[(x')

]

3

+ (y') 2 Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku y" κ= 3 2 2 1 + (y') 2

[

7/6/2007

2

]


48

Contoh 1. Tentukan kelengkungan elips x = 2 cos t, y = 3 sin t pada titik t = 0 dan t = π/2 Jawab: x’ = –2 sin t x” = –2 cos t

y’ = 3 cos t y” = –3 sin t

Kita peroleh κ=

x' y"−y' x"

[(x')

2

+ (y')

2

]

3 2

=

6 sin 2 t + 6 cos 2 t

[(− 2 sint )

2

+ (3 cos t )

]

2 32

=

6

[4 sin t + 9 cos t ] 2

2

3

2

Sehingga κ(0) =

7/6/2007

6

[4 sin 0 + 9 cos 0] 2

2

3

2

=

6

[9] 32

=

3 6 π 2 = κ( ) = 3 4 2 9 ⎡ 2⎛ π ⎞ 2⎛ π ⎞⎤ 2 4 sin 9 cos + ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎢ ⎥ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎝2⎠ ⎣


49

Contoh 2. Tentukan kelengkungan kurva y = x2 di P(1, 1) Jawab: y’ = 2x Kita peroleh

κ=

y” = 2

y"

[1 + (y') ]

3 2 2

=

2

[1 + (2x ) ]

2 32

Sehingga

κ (1) =

7/6/2007

2

[1 + (2.1) ]

2 32

2 2 5 = 3 /2 = 25 5


50

Latihan Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P 1. y = x2 – x, di P(1,0) 2. r(t)=(t+t3) i + (t+t2) j , di P(2,2) 3. r(t)=2t2 i + (4t+2) j , di P(2,-2) 4. r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8,8π/3)

7/6/2007


51

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Vektor

Recommend Documents