6 GRADIEN POTENSIAL Gradien potensial adalah suatu metode yang sederhana untuk mencari intensitas medan listrik dari potensial. Hubungan integral garis yang umum antara ke dua kuantitas tersebut, V E.dL
Dengan mengambil aN sebagai vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial dan mempunyai arah ke potensial yang lebih besar. Intensitas medan listrik dinyatakan dalam potensial:
E
dV dL
maks
aN
E diberikan oleh laju perubahan maksimum V dan arah E adalah normal terhadap permukaan sepotensial (dalam arah pengurangan potensial). Karena dV/dLmaks terjadi pada saat L mempunyai arah yang sama dengan aN, maka dapat dituliskan
dV dL dan
maks
dV dN
E
dV aN dN
Operasi pada V untuk mendapatkan –E dikenal sebagai gradien, dan gradien suatu medan skalar T didefinisikan sebagai berikut: Gradien T = grad T =
dT aN dN
aN merupakan vektor satuan yang normal terhadap permukaan sepotensial, dan arah normalnya dipilih dalam arah pertambahan harga T.
9
Hubungan antara V dan E dapat dituliskan:
E grad V V merupakan fungsi dari x,y dan z, kita dapat mengambil diferensial totalnya: dV
V V V dx dy x y z
atau hubungan dengan E
dV E.dL E x dx E y dy E z dz di mana
V x V Ey y V Ez z Ex
Secara vektor diperoleh
V V V E ax ay a z x y z karena itu untuk menghitung gradien dalam koordinat kartesian
V V V ax ay az x y z
grad V Operator vektor
ax ay az x y z
Secara formal sebagai operator yang bekerja pada suatu skalar T
T
T T T ax ay az x y z
10
yang hasilnya akan menunjukkan bahwa
T grad T Dengan persamaan ini dapat dihubungkan dengan E dan V dalam bentuk E=-V Gradien dapat dinyatakan dalam bentuk turunan parsial dalam sistem koordinat kartesian, tabung dan bola sbb:
V
V V V ax ay az x y z
(kartesian)
V
V 1 V V a a az z
(tabung)
V
V 1 V 1 V ar a a r r r sin
(bola)
Misalkan: Medan potensial V = 2x2y – 5z, hitung potensialnya pada titik P (-4,3,6) Vp = 2 (-4)2 (3) – 5(6) = 66 Volt Intensitas medan listriknya, E = - V = -4xy ax – 2x2 ay + 5 az Nilai E pada titik P adalah Ep = 48 ax – 32 ay + 5 az
V/m
Dan Ep = 482 (32)2 52 = 57,9
V/m
Arah E pada P diberikan oleh vektor satuan
a E,P
Ep Ep
11
V/m
a E,P
48ax 32ay 5az 57,9
= 0,829 ax – 0,553 ay + 0,086 az Jika medan dianggap berada di ruang hampa, maka D = oE = (8,854.10-12) (-4xy ax – 2x2 ay + 5 az ) = -35,4 xy ax – 17,71 x2 ay + 44,3 az
p C/m2
Kerapatan muatan volume v = .D = (
ax ay a z ) .(-35,4 xy ax – 17,71 x2 ay + 44,3 az) x y z
= - 35,4 y
pC/m2
4.7 KERAPATAN ENERGI DALAM MEDAN ELEKTROSTATIK Kita tinjau usaha yang diperlukan untuk membentuk suatu distribusi dari 3 muatan titik, muatan demi muatan, dalam ruangan yang mula-mula bebas medan dan bebas muatan. Berdasarkan Gbr, usaha untuk menempatkan muatan yang pertama , yakni Q1 pada posisi 1 adalah nol Q1
Untuk membawa muatan Q2 ke daerah tersebut diperlukan usaha
Q2
1
sebesar perkalian muatan itu dengan 2
potensial yang dibangkitkan Q1.
Q3 3
Maka usaha total untuk menempatkan Ketiga muatan tsb adalah WE = W1 + W2 + W3 = 0 + (Q2 V2,1) + ( Q3 V3,1 + Q3 V3,2) Potensial V2,1 artinya “potensial pada posisi 2 oleh muatan Q1 pada posisi 1”. Apabila penempatan ketiga muatan itu dilakukan dalam urutan kebalikan dri yang telah dikerjakan, usaha total menjadi,
12
WE = W1 + W2 + W3 = 0 + (Q2 V2,3) + ( Q1 V1,3 + Q1 V1,2) Kedua persamaan tsb dijumlahkan, hasilnya dua kali energi yang tersimpan, 2WE = Q1(V1,2 + V1,3) + Q2 (V2,1 + V2,3) + Q3 (V3,1 + V3,2) Suku Q1 (V1,2 + V1,3) adalah usaha yang dilakukan untuk melawan medan dari Q2 dan Q3, yakni muatan-muatan selebihnya di dalam daerah itu. Karena itu (V1,2 + V1,3) = V1, yaitu potensial pada posisi 1, sehingga. 2WE = Q1V1 + Q2V2 + Q3V3 WE
1 n QmVm 2 m 1
(untuk daerah yg mengandung n muatan titik)
Untuk suatu daerah dengan rapat muatan (C/m3), energi yang tersimpan dalam daerah adalah
WE
1 V d 2 vol
Dengan menggunakan persamaan I Maxwell dimana = .D dan dengan memakai indentitas vektor untuk setiap fungsi skalar V dan fungsi vektor D · (VD) V (·D) + D· (VD) maka didapatkan
WE
1 (.D)V d 2 vol 1 (VD ) D (V) d 2 vol
Dengan menggunakan teori Divergensi
WE
1 1 ( VD ) dS (.D)V d 2 s 2 vol
Integral tertutup sama dengan nol karena permukaan tertutup dilingkupi V mendekati nol, maka dengan substitusi E = - V ke integral lainnya,
13
1 1 1 D2 2 WE D E d o E d d 2 vol 2 vol 2 vol o Pada suatu rangkaian listrik, energi yang tersimpan di dalam suatu medan kapasitor WE
1 QV 2
1 CV 2 2
Bukti: Misalkan suatu kapasitor pelat dengan luas permukaan plat A dan jarak antara kedua plat d dengan mengabaikan efek sisi medan E =(V/d)a n seperti pada Gbr, dimana C = A/d
WE E 2 d vol
+
V d 2 d
AV 2d
2
V A
2
E
1 CV 2 2
atau dengan Hk. Gauss: D
V an d
Q DA
VA d
W
1 1 VA QV 2 2 d
W
1 CV 2 2
14
d
-
Contoh 1. Medan potensial sebesar V = 10 (+1) z2 cos Volt terdapat di dalam koordinat tabung. Pada titik P (3, 60o, 2) dalam ruang hampa hitunglah: (a) V
(b) E
(c) D
dan (c) v
Penyelesaian: (a)
Vp = 10 (3+1)(2)2 cos 60o = 80 Volt
(b)
E = - V
V 1 V V a a a z 10( 1)z 2 cos z
= -[10 z2 cos a - 1/ 10 (+1) z2 sin a + 20(+1)z cos az ] Ep = - [ 10(4)(1/2) a - (10/3)(4)(4)(0,87) a + 20(4)(2)(1/2) az ] = - 20 a + 46,2 a - 80 az
V/m
(c) D = o E = 8,854. 10-12 (-20 a + 46,2 a - 80 az ) pC/m2
= -177,1 a + 409 a - 708 az
(d)
v = D
1 1 a a a z o 10z 2 cos a 10( 1)z 2 sin 20( 1)z cos a z z
= -354
pC/m3
Contoh 2. Diberikan fungsi potensial V = 2x + 4y Volt dalam vakum. Hitung energi yang tersimpan dalam volume 1 m3 yang berpusat di titik asal. Penyelesaian: E = - V
15
E V a x a y a z (2x 4 y) y z x = - 2 ax – 4 ay
V/m
Besar medan konstan dalam arah seluruh ruang E = (2)2 (4)2 20 V/m Kerapatan energi konstan adalah W
1 E2 2
W
1 1 3 o (20) (8,854.1012 ) (20) 8,85.1011 J/m 2 2
(3) Hitunglah energi yang tersimpan dalam suatu sistem empat muatan titik identik, dengan Q = 4 nC, jika masing-masing menempati titik sudut dari suatu bujursangkar dengan sisi 1 m. Jika hanya ada dua dari muatanmuatan itu menempati titik-titik sudut yang berhadapan, berapa besarnya energi yang tersimpan dalam sistem. Penyelesaian 2WE = Q1V1 + Q2V2+ Q3V3+ Q4V4 = 4Q1V1 persamaan tersebut adalah karena sistem simetri
Maka
V1
Q2 Q3 Q4 4 o R12 4 o R13 4 o R14
4x109 1 1 1 97,5 4 o 1 1 2
WE = 2Q1V1 = 2(4x10-9)(97,5) = 780
nJ
Untuk hal hanya dua muatan yang ada, 2WE = Q1V1 + Q2V2 = 2Q1V1 WE = Q1V1 = (4 x 10-9) ( = 102
nJ
16
4x109 ) 4 o 2
Volt
