MINGGU KE-7 INTEGRAL LEBESQUE

MINGGU KE-7 INTEGRAL LEBESQUE



INTEGRAL LEBESQUE (Ω, A, µ): measure space Definisi Fungsi Ψ : Ω → R disebut sederhana bila jelajahnya berhingga. Definisi Misalkan A ∈ A. Maka IA : Ω → {0, 1} yang didefinisikan sebagai ( 1 x ∈A IA (X ) = 0 x∈ /A Disebut fungsi indikator himpunan A.


Lemma Misalkan Ψ fungsi sederhana yang terdefinisikan pada Ω dengan jelajah {a1 , a2 , ...an }. Andaikan {Ei , i = 1, 2, ..., n} koleksi himpunan bagian Ω sedemikian hingga, IEi (x) = ai . Maka {Ei , i = 1, 2, ..., n} adalah partisi dari Ω. Definisi Misalkan Ψ fungsi sederhana pada Ω dengan jelajah {a1 , a2 , ..., an }. Misalkan {Ei , i = 1, 2, ..., n} partisi Ω. Maka Ψ=

n X

ai IEi

i=1

disebut penyajian baku dari Ψ.


Contoh Misalkan Ω = N = {1, 2, 3, ...}. Kita definisikan fungsi sederhana Ψ dengan ( 2 bila x genap Ψ(x) = 3 bila x ganjil Penyajian baku untuk Ψ adalah Ψ = 2IE1 + 3IE1 Dengan E1 : himpunan bilangan asli dan genap E2 : himpunan bilangan asli dan ganjil.


Definisi Misalkan Ψ fungsi sederhana non negatif pada R(Ω, A, µ) dengan penyajian baku. Integral Ψ terhadap µ, ditulis Ψ dµ kita definisikan Z n X Ψdµ = ai µ(Ei ) i=1


Contoh R 1 dµ = µ (Ω) 1R = 1IE1 + 0IE2 dengan E1 = Ω, E2 = φ dµ = 1µ(Ω) + µ(φ) = µ(E1 ) = µ(Ω). 2

Misalkan Ω = N dan A = 2N . Definisikan fungsi sederhana Ψ dengan ( 2 bila x genap Ψ(x) = 3 bila x ganjil


Penyajian standar untuk Ψ adalah Ψ = 2IE1 + 3IE1 Dengan E1 : {x : x ∈ N dan x genap} E2 : {x : x ∈ N dan x ganjil} Sekarang kita definisikan µ dengan µ(n) =

X 1 , µ(A) = µ(n). 2n n∈A

Maka Z

∞ ∞ X X 1 1 Ψdµ = 2 + 3 . 22i 22i−1 i=1

i=1


Bila f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, maka kita definisikan Z Z Z fdµ = fdµ(x) = sup Ψdµ Ψ fungsi sederhana standar,0 ≤ Ψ(x) ≤ f (x). Untuk sebarang f (x) ≥ 0, misalkan f+ (x) = max{f (x), 0} f− (x) = min{−f (x), 0} maka f (x) = f+ (x) − f− (x)dan Z Z Z fdµ = f+ dµ − f− dµ


R Integral f (x)dm(x) terhadap ukuran Lebesgue m biasanya ditulis R f (x)dx dan sama dengan integral Riemann biasa bila terdefinisikan. Tetapi, terdapat fungsi dimana integral Lebesgue terdifinisikan tetapi tidak untuk integral Riemann. Sebagai contoh IQ (x) bila Q himpunan bilangan rasional.


R Dalam teori probabilitas, xdP biasanya ditulis dengan E [X ] dan disebut ekspektasi atau harga harapan dari X . Bila A ⊆ Ω maka Z Z f (x)dµ(x) = f (x)IA (x)dµ(x) A

Dalam hal A = [a, b] maka Z f (x)dµ(x) = A

Za

Z f (x|dµ(x) = (a,b)

f (x)dµ(x) b

Bila F adalah fungsi distribusi kumulatif dari ukuran probabilitas P, kadang-kadang kita menulis dF (x) sebagai pengganti dP(x). Perhatikan bahwa ini tidak lebih dari sekedar abuse notation


Sifat-sifat dasar integral Misalkan (Ω, A, µ) ruang ukuran dan f , g fungsi terukur pada Ω. R 1 Bila fdµ ada dan a ∈ R maka Z Z afdµ = a fdµ 2

R

3

Bila f (x) ≤ g (x) untuk setiap R R x, maka Pada khususnya | fdµ| ≤ |f |dµ.

(f + g )dµ =

R

fdµ +

R

gdµ R

fdµ ≤

R

gdµ.

Andaikan s(x) adalah pernyataan yang memuat sebarang x ∈ Ω. Kita mengatakan s(x) berlalu hampir dimana-mana µ(µ.a.e) bila terdapat himpunan N ∈ A sedemikian hingga µ(n) = 0 dan s(x) benar untuk setiap x yang tidak berada dalam N. Himpunan N dengan ukuran 0 disebut himpuan 0. Dalam terminologi probabilitas disebut P-almost surely (P.a.s) atau a.s)


RADON-NIKODYM DERIVATIF Misalkan (Ω, A, µ) ruang ukuran dan f fungsi Borel tak negatif. Dapat ditunjukkan bahwa fungsi himpunan Z λ(A) = f (A)dµ, A ∈ A (1) A

adalah ukuran pada (Ω, A). Perhatikan bahwa µ(A) = 0 maka λ(A) = 0

(2)

Bila (2) benar untuk dua ukuran λ dan µ yang terdefinisikan pada ruang terukur yang sama, maka kita katakan λ kontinu absolut terhadap µ dan ditulis λ << µ.


Rumus (1) tidak hanya memberikan kepada kita bagailana mengkonstruksikan ukuran, tetapi juga metode menghitung ukuran pada himpunan terukur. Misalkan µ adalah ukuran yang sudah kita kenal (sepeti ukuran Lebesque atau counting measure) dan λ ukuran yang relatif tidak kita kenal. Bila kita dapat menentukan f sedemikian (1) berlalu, maka menghitung λ(A) dapat dilakukan melalui integrasi. Syarat perlu untuk (1) adalah λ << µ juga merupakan syarat cukup. Definisi Misalkan (Ω, A, µ) ruang ukuran µ disebut σ−finite bila Ω dapat ∞ S ditulis sebagai Ω = An , An ∈ A, saling asing dan µ(An ) < ∞ n=1

untuk setiap n.


TEOREMA (RADON-NIKODYM) Misalkan λ dan µ dua ukuran pada (Ω, A) dan µ σ−finite. Bila λ < µ, maka terdapat fungsi Borel tak negatif f sedemikian hingga Z λ(A) = fdµ, A ∈ A. A

Selanjutnya R f adalah tunggal a.e. µ yaitu, bila λ(A) = A g dµ untuk sebarang A ∈ A makaf = g a.e µ


R Bila fdµ = 1 untuk suatu f ≥ 0 a.e µ dan λ yang diberikan pada (1) adalah ukuran probabilitas dan f disebut fungsi kepadatan probabilitas terhadap µ. Catatan f disebut derivatif atau densitas atau λ terhadap µ dan ditulis


Berikut adalah hubungan antara probabilitas dan teori ukuran biasanya dipakai Probabilitas Teori Ukuran Ruang sampel Semesta Probabilitas Ukuran bernorma Ruang Probabilitas Ruang Ukuran Kejadian Elementer Singleton Kejadian Himpunan terukur Kejadian pasti Semesta Ω Kejadian mustahil Himpunan kosong ∅ Almost sure (a.s) Almost every where (a.e) Random Variabel Fungsi terukur Ekspektasi Integral

dλ dµ .

MINGGU KE-7 INTEGRAL LEBESQUE

Recommend Documents