Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal sehingga faktor latihan sangat penting untuk memperoleh hasil yang memuaskan.
Jadi BANYAK BERLATIH dengan soal-soal, maka anda akan sukses.
Fungsi Pangkat:
∫ k du= ku + C u r +1 +C r ∫ u du = r + 1 ln u + C
Eskponensial:
∫e
u
du = e +C u
u
a + C, du ∫a = ln a a ≠ 1, a > 0 u
Misal g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan F adalah suatu fungsi antiturunan dari f. Maka jika u = g(x),
∫ f ( g ( x)) g '( x)dx = ∫ f (u )du = F (u ) + C= F ( g ( x)) + C Ubah integran menjadi bentuk yang lebih mudah untuk disubstitusikan atau diintegrasikan langsung.
cos x ∫ x dx
Tentukan
Substitusi
u=
x
dengan
du =
1 2 x
dx
yang termuat dalam integran, maka:
cos x 2 ∫ x dx = ∫ cos x 2 x dx = 2 ∫ cos udu = 2 sin u = + c 2 sin x + c Ingat : variabel awal harus habis (tidak ada x lagi)
Tentukan
2x2 + x ∫ x + 1 dx
Ubah penyebut menjadi fungsi rasional sejati:
2 x 2 + x 2( x + 1) 2 − ( x + 1) 1 = = 2( x + 1) − x +1 x +1 x +1 Jadi:
2x2 + x 1 ∫ x + 1 dx= ∫ 2( x + 1) − x + 1 dx = x 2 + 2 x − ln( x + 1) + c
Fungsi Rasional: pembagian dua polinomial Fungsi Rasional Sejati: derajat/pangkat polinom pembilang lebih rendah daripada derajat polinom penyebut. Akan ditunjukkan proses dekomposisi fungsi rasional menjadi rasional sejati yang merupakan bentuk-bentuk yang mudah untuk diintegrasikan. (Metode pecahan parsial) Contoh:
∫
1 dx = ?? 3 2 x − 8 x + 16 x
Langkah-langkah:
Faktorisasi penyebut menjadi bentuk linier dan kuadrat yang tidak dapat diuraikan lagi. Contoh:
x 3 − 8 x 2 + 16 x = x( x − 4) 2
Apabila pada penyebut ada faktor yang berlainan, misal (x-a)(x-b) didekomposisi menjadi:
1 A1 A2 = + ( x − a )( x − b) ( x − a ) ( x − b)
Koefisien diperoleh dari penyamaan penyebut. Prosesnya nanti akan diterangkan dengan contoh.
Beberapa cara dekomposisi:
Untuk tiap faktor yang berbentuk
(ax + b)
k
dekomposisi menjadi bentuk
Bk B1 B2 + + + (ax + b) (ax + b) 2 (ax + b) k
Untuk tiap faktor yang berbentuk dekomposisi menjadi bentuk
(ax 2 + bx + c) m
Dm x + Em D1 x + E1 D2 x + E2 + + + (ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c) 2 ( ax 2 + bx + c) m
Tentukan Faktorisasi penyebut:
x 3 − 8 x 2 + 16 x = x( x 2 − 8 x + 16) = x( x − 4) 2
Lakukan dekomposisi berikut:
A1 , A2 , A3
∫
1 dx 3 2 x − 8 x + 16 x
A3 1 A1 A2 =+ + 2 x( x − 4) x ( x − 4) ( x − 4) 2
diperoleh dari proses penyamaan penyebut
A1 ( x − 4) 2 + A2 x( x − 4) + A3 x 1 = 2 x( x − 4) x( x − 4) 2 1= A1 ( x − 4) 2 + A2 x( x − 4) + A3 x= ( A1 + A2 ) x 2 + (−8 A1 − 4 A2 + A3 ) x + 16 A1 maka
1 A1 = 16
1 A2 = − 16
1 A3 = 4
Integran menjadi:
∫
1 1 1 1 dx = dx − ∫ dx + ∫ dx 3 2 2 ∫ x − 8 x + 16 x 16 x 16( x − 4) 4( x − 4)
Gunakan substitusi u = x – 4 untuk integral terakhir jadi
1 1 1 1 ∫ ( x − 4)2 dx =∫ u 2 du =− u + c =− x − 4 + c Jadi hasil integralnya adalah
∫
1 1 1 1 = dx ln x − ln x − 4 − +c 3 2 x − 8 x + 16 x 16 16 4( x − 4)
Fungsi Trogonometri:
1.∫ sin= u du − cos u + C
5.∫ sec u tan u= du sec u + C
2.∫ cos u= du sin u + C
6.∫ csc u cot u du = − csc u + C
3.∫ sec u= du tan u + C
7.∫ tan u du = − ln cos u + C
4.∫ csc 2= u du − cot u + C
8.∫ cot = u du ln sin u + C
2
Fungsi Aljabar:
1.∫
1 a −u 2
u du = sin + C a −1
2
1 1 −1 u 2.∫ 2 du = tan + C 2 a +u a a 3.∫
1 u u2 − a2
a 1 1 −1 u −1 du = sec + C = cos + C a a a u
Fungsi Hiperbolik:
u du ∫ sinh=
u du ∫ cosh =
cosh u + C
sinh u + C
Phytagoras:
Setengah sudut:
sin x + cos x = 1 2
2
1 + tan x = sec x 2
2
1 + cot x = csc x 2
2
1 sin = x (1 − cos 2 x) 2 2
1 x cos = (1 + cos 2 x) 2 2
Hasil Kali Sudut
1 sin mx cos nx = ( sin(m + n) x + sin(m − n) x ) 2 1 sin mx sin nx = − ( cos( m + n) x − cos( m − n) x ) 2 1 cos mx cos nx = ( cos( m + n) x + cos( m − n) x ) 2
Tentukan
∫
7 dx 2 x − 6 x + 25
Ubah penyebut menjadi bentuk kuadrat sempurna
1 1 1 = = x 2 − 6 x + 25 ( x − 3) 2 + 16 ( x − 3) 2 + 42 Bentuk terakhir merupakan turunan dari
∫
7 dx = 2 x − 6 x + 25
u tan −1 a
7 7 −1 x − 3 dx tan +c 2 2 ∫ ( x= 4 − 3) + 4 4
Ada 2 jenis “radikal” yang biasa muncul: 1. Integran yang memuat 2. Integran yang memuat
n
ax + b a −x , a + x , x −a 2
2
2
2
2
2
∫x
Tentukan
Gunakan substitusi #
u = x+3 2
jadi
= u
x+3
#
2u du = dx
x + 3 dx
sehingga #
= x u2 − 3
2 + = x x 3 dx ( u ∫ ∫ − 3)u du
=
3 ( u ∫ − 3u ) du
1 4 3 2 = u − u +c 4 2 1 3 2 = ( x + 3) − ( x + 3) + c 4 2
Untuk jenis yang kedua dapat dilihat bahwa perubahan bentuk integran akan mengarah pada penggunaan kesamaan phytagoras.
a −x 2
2
kesamaan yang digunakan a
2
− a 2 sin 2 t = a 2 cos 2 t
.
x = a sin t
Gunakan substitusi
dengan pembatasan −
π 2
≤t ≤
sehingga diperoleh
a2 − x2 =
a 2 − a 2 sin 2 t =
a 2 cos 2 t = a cos t
π 2
a2 + x2 Gunakan
kesamaan yang dipakai
x = a tan t
a 2 + a 2 tan 2 t = a 2 sec 2 t
dengan pembatasan
−
π 2
π 2
sehingga diperoleh .
a2 + x2 =
a 2 + a 2 tan 2 t =
a 2 sec 2 t = a sec t
x −a 2
2
Gunakan
Kesamaan yang dipakai
x = a sec t
x 2= − a2 dengan
a 2 sec 2 t − a 2 = a 2 tan 2 t
sehingga diperoleh
a 2 sec 2 t= − a2
0 ≤ t ≤ π ,t ≠ π / 2
2 a 2 tan = t a tan t
Tentukan Gunakan substitusi penyebutnya menjadi jadi
∫
x2
x = 3sin t
3cos t
∫
x2 9 − x2
dx
sehingga diperoleh sedangkan
x 2 = 9 sin 2 t
9 sin 2 t dx = ∫ ( 3cos t dt ) 2 3cos t 9− x 2 9 t dt ∫ (1 − cos 2t ) dt = 9 ∫ sin = 2 9 1 t sin 2 t = − +c 2 2 9 −1 x 1 −1 x = sin − sin 2 sin + c 2 3 2 3
Gunakan substitusi
sin 2t = 2 sin t cos t
dan untuk membalikan proses substitusi dari t ke x, diperlukan
−1 x x = = sin t sin sin 3 3 −1 x = = cos t cos sin 3 ?
Gunakan segitiga berikut ini:
Didapat
a
−1 x = = cos t cos sin 3 x
t
9 − x2 3
Jadi
a2 − x2
∫
9 −1 x 1 x dx = sin − 2 2 2 3 2 3 9− x x2
9 − x2 3
x 9 −1 x = sin − 9 − x2 + c 2 3 2
+c
Jika metode substitusi gagal, maka digunakan metode substitusi ganda. Metode ini didasarkan pada pengintegralan rumus turunan dari hasilkali dua fungsi. Andaikan u = u(x) dan v = v(x) maka
Dx (u= ( x).v( x)) u ( x).v '( x) + u '( x).v( x) dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
= u ( x).v( x)
∫ u ( x).v '( x)dx + ∫ u '( x)v( x)dx
Atau
∫ u ( x).v '( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ u '( x)v( x)dx Karena dv = v’(x) dan du = u’(x) maka Atau
∫ u.dv = u.v − ∫ v.du b
b
∫ u.dv = [u.v ] − ∫ v.du b
a
a
a
Untuk menyelesaikan proses dapat dilakukan teknik ini berulang. Contoh: Tentukan
∫ x sin xdx, ∫ x ∫ e cos xdx x
2
cos xdx ,
Rumus reduksi :
∫f
n
( x) g ( x)dx = h( x) + ∫ f ( x)dx, k < n k
(Pangkat dari f berkurang) Sangat bermanfaat untuk pengintegralan fungsi trigonometri berpangkat tinggi. Contoh: Turunkan suatu rumus reduksi untuk
∫ sin
n
x dx
∫x
α
βx
e dx
Ada 5 jenis yang sering muncul: 1.
∫ sin x dx
2.
∫ sin
3.
∫ cos
n
m
n
x dx
n
x cos x dx
∫ sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx
4.
5.
∫ tan ∫ tan
n
m
x dx, ∫ cot x dx n
x sec x dx, ∫ cot x csc x dx n
m
n
Tipe 1 dan 2: bila pangkat dari fungsi cos atau sin adalah ganjil, maka faktorkan jadi fungsi berpangkat genap dan fungsi 2 2 berpangkat satu. Lalu gunakan identitas sin x + cos x = 1 Contoh:
5 sin ∫ xdx = ?
Bila fungsi berpangkat genap diubah menggunakan rumus setengah sudut:
1 sin = x (1 − cos 2 x) 2 2
Contoh:
4 c os ∫ x dx = ?
1 cos = x (1 + cos 2 x) 2 2
Tentukan
3 −4 sin x cos xdx ∫
Faktorkan fungsi sin berpangkat menjadi
sin 2 x
dimana (-sin x dx) menjadi g’(x), lalu ubah
sin 2 x = 1 − cos 2 x
dan sin x
Tentukan
∫ sin
2 4 sin x cos x dx ∫
1 − cos 2 x 1 + cos 2 x dx ... ∫= 2 2 2
2
4
x cos x dx
Tipe 3: memerlukan kesamaan hasilkali antara fungsi sinus dan cosinus:
1 sin mx cos nx = ( sin(m + n) x + sin(m − n) x ) 2 1 sin mx sin nx = − ( cos( m + n) x − cos( m − n) x ) 2 1 cos mx cos nx = ( cos( m + n) x + cos( m − n) x ) 2
Tentukan
∫ cos y cos 4 ydy
2 Tipe 4: Dalam kasus tangen, faktorkan : tan = x sec 2 x − 1. 2 Sedangkan untuk kasus cotangen, faktorkan : cot = x csc 2 x − 1.
3 c ot ∫ x dx = ?
Tipe 5a: Jika n genap (n adalah pangkat dari sec x atau csc x), maka faktorkan seperti tipe 4.
−3/ 2 4 t a n x se c x dx = ? ∫
Tipe 5b: Jika m ganjil (m adalah pangkat dari tan x atau cot x), maka masing-masing faktorkan menjadi pangkat satu dan sisanya.
∫ tan
3
x sec
−1/2
x dx = ?
1. Carilah substitusi yang membuat integral berbentuk seperti aturan integral yang baku. Contoh:
∫ sin 2 xdx, ∫ xe
− x2
dx, ∫ x x 2 − 1 dx
2. Kenali situasi perkalian dua fungsi: turunan dari fungsi pertama dan antiturunan dari suatu fungsi kedua berbentuk integral baku, hal ini merupakan proses integral parsial. x xe ∫ dx,
∫ x sinh xdx
3. Substitusi trigonometri. Jika integran mengandung x= a sin t. Jika integran mengandung x= a tan t. Jika integran mengandung x= a sec t.
a2 − x2
, gunakan substitusi
x2 + a2
, gunakan substitusi
x2 − a2
, gunakan substitusi
4. Jika integran adalah fungsi rasional sejati, dekomposisi integran tersebut dengan menggunakan metode pecahan parsial. Jika integran bukan fungsi rasional sejati, dekomposisi menjadi suatu polinom dan suatu fungsi rasional sejati.
