si
AS
Se
INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI Teknik substitusi aljabar yang telah dipelajari sebelumnya memiliki bentuk
∫ [ f ( x )]
n
f ’( x ) dx = ∫ un du =
un+1 +c n +1
Di mana: u = f(x) du = f ’( x ) → du = f ’( x ) dx dx Dapat diterapkan pula pada bentuk fungsi trigonometri, selama memiliki ciri yang memenuhi bentuk umumnya.
CONTOH SOAL 1.
∫ sin
3
x ⋅ cos x dx = ....
Jawab: Misal u = sin x du = cos x dx du = cos x dx
1
GAN
04
BUN
KEL
A - K U RIKUL I IP UM GA
MATEMATIKA
XI
Maka
∫ sin
3
2.
∫
x ⋅ cos x dx = ∫ u3 du
1 = u4 + c 4 1 = sin4 x + c 4
cos 2x ⋅ sin2x dx = ....
Jawab: Misal u = cos2x du = −2 sin2x dx 1 − du = sin2x dx 2 Maka
∫
3.
1 cos 2x ⋅ sin2x dx = ∫ u ⋅ − du 2 1 1 = − ∫ u2 du 2 1 2 3 = − ⋅ u2 + c 2 3 3 1 = − ( cos 2x ) 2 + c 3
∫ tan
2
x sec2 x dx = ....
Jawab: Misal u = tan x du = sec2 x dx du = sec2 x dx Maka
∫ tan
2
x sec2 x dx = ∫ u2 du
1 = u3 + c 3 1 = tan3 x + c 3
2
4.
∫
co sec2 2x
cot an2x Jawab:
dx = ....
Misal u = co tan2x du = −2co sec2 2x dx 1 − du = co sec2 2x dx 2 Maka
∫
1 − du 2 dx = ∫ cot an2x u
co sec2 2x
1 − 21 u du 2∫ 1 1 = − ⋅ 2u2 x + c 2 = − cotan2x + c =−
5.
∫ sec
3
x tanx dx = ....
Jawab:
∫ sec
3
x tanx dx = ∫ sec2 x ⋅ sec x tan x dx
Misal u = sec x du = sec x tan x dx du = sec x tanx dx Maka
∫ sec
6.
2
x ⋅ sec x tan x dx = ∫ u2 ⋅ du
∫ x ⋅ sin( x
1 = u3 + c 3 1 = sec3 x + c 3
2
+ 1) dx = ....
Jawab: Misal u = x 2 + 1 du = 2x dx 1 du = x dx 2
3
Misal u = x 2 + 1 du = 2x dx 1 du = x dx 2 Maka
∫ x ⋅ sin( x
7.
2
+ 1) dx = ∫ sin( x 2 + 1) ⋅ x ⋅ dx 1 = ∫ sin u ⋅ du 2 1 = ∫ sin u du 2 1 = − cos ( x 2 + 1) + c 2
∫ sin x dx = .... 3
Jawab:
∫ sin x dx = ∫ sin x ⋅ sin x dx = ∫ (1− cos x ) sin x dx 3
2
2
Misal u = cos x du = − sin x dx −du = sin x dx Maka
∫ (1− cos x ) sin x dx = ∫ (1− u )( −du) = ∫ ( u − 1) du 2
2
2
1 = u3 − u + c 3 1 = cos3 x − cosx + c 3
8.
∫ tan 2x sec 3
4
2 x dx = ....
4
2 x dx = ∫ tan3 2x ⋅ sec2 2x ⋅ sec2 2x dx
Jawab:
∫ tan 2x sec 3
= ∫ tan3 2x ( tan2 2x + 1) sec2 2x dx
1 Misal u = tan2x → du = 2 sec2 2x dx → du = sec2 2x dx 2
4
Maka bila disubstitusikan pada persamaan di atas akan didapatkan
∫ u (u 3
2
1 1 + 1) du = ∫ ( u5 + u3 ) du 2 2 1 1 1 = u6 + u4 + c 2 6 4 1 1 = tan n6 2x + tan4 2x + c 8 12
Catatan: tan2 A + 1 = sec2 A. 9.
sin5 x dx = .... 6 x Jawab:
∫ cos
sin5 x sin5 x 1 = dx ∫ cos6 x ∫ cos5 x ⋅ cos x dx = ∫ tan5 x sec x dx = ∫ tan4 x ⋅ sec x tan x dx 2
= ∫ tan2 x ⋅ sec x tan x dx 2
= ∫ sec2 x − 1 sec x tan x dx Misal u = secx → du = secx tanx dx , maka
∫ sec
2
2
2
x − 1 sec x tan x dx = ∫ u2 − 1 du
= ∫ ( u4 − 2u2 + 1) du
1 2 = u5 − u3 + u + c 5 3 1 5 2 = sec x − sec3 x + sec x + c 5 3 Coba perhatikan rumus dasar integral trigonometri berikut: 1
1.
∫ sin( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c
2.
∫ cos ( ax + b ) dx = a sin( ax + b ) + c
3.
1 ∫ sec ( ax + b ) dx = a tan( ax + b ) + c
1
2
5
4.
1 ∫ cosec ( ax + b ) dx = − a cotan( ax + b ) + c
5.
∫ sec ( ax + b ) ⋅ tan( ax + b ) dx = a sec ( ax + b ) + c
6.
∫ cosec ( ax + b ) ⋅ cotan( ax + b ) dx = − a cosec ( ax + b ) + c
2
1
1
Dapat ditarik kesimpulan umum bahwa u diambil dari ruas sebelah kanan, kemudian mengubah bagian fungsi yang tersisa ke dalam bentuk sebelah kiri rumus. Untuk mengubah bentuk fungsi tersisa dapat menggunakan rumus-rumus berikut: 1. sin2x + cos2x = 1 2. tan2x + 1 = sec2x 3. cotan2x + 1 = cosec2x Sedangkan turunan suatu fungsi trigonometri mudah didapatkan dengan cara membalik rumus dasar trigonometri tersebut. Teknik substitusi lain adalah teknik mengganti fungsi aljabar yang sulit diintegralkan secara langsung atau dengan menggunakan substitusi aljabar. Teknik substitusi ini adalah teknik mensubstitusi fungsi aljabar dengan fungsi trigonometri sehingga menjadi lebih mudah untuk diselesaikan. Bentuk-bentuk fungsi aljabar yang bisa diselesaikan dengan teknik ini adalah fungsi yang mengandung bentuk-bentuk sebagai berikut: Bentuk Fungsi a2 − x 2 ,
a2 + x 2 ,
x 2 − a2 ,
1 a −x 2
2
1 a +x 2
2
1 x −a 2
2
Pensubstitusi
,
1 a − x2
x = a sin θ
,
1 a + x2
x = a tan θ
,
1 x 2 − a2
x = sec θ
2
2
6
CONTOH SOAL 1.
1
∫ 16 + x
dx = ....
2
Jawab: 1
∫ 16 + x
dx = ∫
2
1 dx 42 + x2
2 Misal x = 4 tan θ → dx = 4 sec θ dθ
∫4
2
1 1 dx = ∫ ⋅ 4 sec2 θ dθ 2 2 +x 16 + ( 4 tan θ ) 1 ⋅ 4 sec2 θ dθ 16 + 16 tan2 θ 1 ⋅ 4 sec2 θ dθ =∫ 16 (1+ tan2 θ ) =∫
4 1 ⋅ sec2 θ dθ 16 ∫ sec2 θ 1 = ∫ dθ 4 1 = θ+c 4 =
dari x = 4 tan θ didapatkan x x tan θ = → θ = arctan 4 4 sehingga 1 1 x θ + c = arctan + c 4 4 4 2.
∫
10 25 − x 2
dx = ....
Jawab:
∫
10 25 − x
2
dx = ∫
10 5 − x2 2
dx
Misal x = 5 sin θ → dx = 5 cos θ dθ
7
10
∫
5 −x 2
2
10
dx = ∫
25 − ( 5 sin θ ) 50 cos θ
=∫
25 − 25 sin2 θ 50 cos θ
=∫
⋅ 5co s θ dθ
2
dθ dθ
25 (1− sin2 θ )
50 cos θ dθ 5 cos θ = ∫10 dθ =∫
= 10 θ + c
dari x = 5 sin θ didapatkan x sin θ = 5 x θ = arcsin 5
3.
sehingga 10 θ + c = 10 arcsin x + c 5 1 ∫ x 9x2 − 4 dx = .... Jawab:
∫x
1 9x2 − 4
dx = ∫
1 x
( 3x ) − ( 2 ) 2
2
dx
Misal 3x = 2 sec θ 2 x = sec θ 3 2 dx = sec θ ⋅ tan θ dθ 3 Maka
∫
1 x
( 3x )
2
−2
2
dx = ∫ =∫ =∫
1 2 2 sec θ ( 2 sec θ ) − 4 3 tan θ dθ 4 sec2 θ − 4 tan θ dθ 4 ( sec2 θ − 1)
tan θ dθ 2 tan θ 1 = ∫ dθ 2 1 = θ+c 2 =∫
8
2 ⋅ sec θ tan θ dθ 3
=∫ =∫
tan θ 4 sec2 θ − 4 tan θ
dθ
4 ( sec2 θ − 1)
dθ
tan θ dθ 2 tan θ 1 = ∫ dθ 2 1 = θ+c 2 =∫
Dari 3x = 2secθ didapat 3x 2
sec θ =
θ = arcsec Maka 4.
3x 2
1 1 3x θ + c = arcsec + c 2 2 2
∫
9 − x 2 dx = ....
∫
9 − x 2 dx = ∫ 32 − x 2 dx
Jawab:
Misal x = a sin θ x = 3 sin θ dx = 3 cos θ dθ dx = 3 cos θ dθ Maka
∫
32 − x 2 dx = ∫ 9 − ( 3 sin θ ) ⋅ 3 cos θ dθ 2
= ∫ 9 − 9 sin2 θ ⋅ 3 cos θ dθ
= ∫ 9 (1− sin2 θ ) ⋅ 3 cos θ dθ = ∫ 3 cos θ ⋅ 3 cos θ dθ = ∫ 9 cos2 θ dθ 1 1 = ∫ 9 + cos 2θ dθ 2 2 9 9 = ∫ + cos 2θ dθ 2 2 9 9 = θ + sin2θ + c 2 4 9 9 = θ + ⋅ 2 sin θ cos θ + c 2 4 9 9 = θ + sin θ cos θ + c 2 2
9
2 2 9 9 = ∫ + cos 2θ dθ 2 2 9 9 = θ + sin2θ + c 2 4 9 9 = θ + ⋅ 2 sin θ cos θ + c 2 4 9 9 = θ + sin θ cos θ + c 2 2 Dari x = 3 sin θ didapat x x → θ = arcsin 3 3 x (de) sin θ = 3 (mi)
1.
sin θ =
2.
3 x θ 9 −x 2 Maka cos θ =
9 − x 2 (sa) 3 (mi)
sehingga x 9 x 9 − x2 9 9 9 θ + sin θ ⋅ cos θ + c = arcsin + ⋅ ⋅ +c 2 2 2 3 2 3 3 x x 9 = arcsin + 9 − x2 + c 2 3 2 5.
∫x
2
1 dx = .... − 2x + 10
Jawab:
∫x
2
1 1 dx = ∫ dx 2 − 2x + 10 ( x − 1) + 9 =∫
1
( x − 1)
2
+ 32
dx
Misal x − 1 = 3 tan θ x = 1+ 3 tan θ dx = 3 sec2 θ dθ
10
Maka 1
∫ ( x − 1)
2
+ 32
dx = ∫
3 sec2 θ
( 3 tan θ )
2
+9
dθ
3 sec2 θ dθ 9 tan2 θ + 9 3 sec2 θ dθ =∫ 9 ( tan2 θ + 1) =∫
1 sec2 θ dθ =∫ ⋅ 3 sec2 θ 1 = ∫ dθ 3 1 = θ+c 3 Dari x – 1 = 3 tan θ didapat tan θ =
x −1 3
θ = arctan Maka
x −1 3
1 1 x −1 θ + c = arctan +c 3 3 3
LATIHAN SOAL 1.
∫ cos A. B. C. D. E.
5
x ⋅ sin x dx = ....
1 − cos6 x ⋅ cos x + c 6 1 6 − sin x + c 6 1 6 sin x + c 6 1 − cos6 x + c 6 1 cos6 x + c 6
11
2.
∫
3
A. B. C. D. E. 3.
sin2x cos 2x dx = .... 3 cos 2x ⋅ 3 sin2x + c 8 2 cos 2x ⋅ 3 cos 2x + c 8 3 cos 2x ⋅ 3 cos 2x + c 8 2 sin2x ⋅ 3 sin2x + c 8 3 sin2x ⋅ 3 sin2x + c 8
sin x
∫ cos x dx = .... A. -In|cosx| + c B.
In|cosx| + c
C.
In|sinx| + c
D. -In|sinx| + c E. 4.
5.
∫
sec2x + c sec2 x tan x
dx = ....
A.
tanx + c
B.
2 tanx + c
C.
4 tanx + c
D.
secx + c
E.
2 sec x + c
∫
3 cosec2 2x 2 + cotan2x
dx = ....
A.
−3 cosec2x + c
B.
3 cosec2x + c
C.
−
3 2 + cotan2x + c 4
12
6.
D.
3 2 + cotan2x + c
E.
−3 2 + cotan2x + c
∫ 2x A.
C. D. E.
∫
6 x 2 sin( x 3 + 1) + c sin( x 3 + 1) + c
2 sin( x 3 + 1) + c 3 1 sin( x 3 + 1) + c 3
sin x + 1
A. B. C. D. E. 8.
cos ( x 3 + 1) dx = ....
3x 2 sin( x 3 + 1) + c
B.
7.
2
∫
3 x +1
dx = ....
2 cos x + 1 + c 3 2 − cos x + 1 + c 3 1 cos x + 1 + c 3 1 − cos x + 1 + c 3 1 sin x + 1 + c 3 1 1− x 2
dx = ....
A.
arctanx + c
B.
arcsinx + c
C.
x + arcsinx + c
D.
x – arcsinx + c
E.
2x + arcsinx + c
13
9.
1
∫ 16 + 4 x A. B. C. D. E.
10.
∫ A. B. C. D. E.
2
dx = ....
1 x arctan 2 4 x 2 arctan 8 1 arctan2x 8 1 arctanx 8 1 x arctan 8 2 16 3 − 2x − x 2
dx = ....
1 x −1 arcsin +c 2 2 x −1 arcsin +c 2 1 arcsin( x − 1) + c 2 ( x + 1) 1 +c arcsin 2 2 ( x + 1) arcsin +c 2
14
KUNCI JAWABAN LATIHAN SOAL
1.
D
6.
D
2.
E
7.
B
3.
A
8.
B
4.
B
9.
E
5.
E
10. A
15
