Pengintegralan Fungsi Rasional

Pengintegralan Fungsi Rasional


Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember

25 Maret 2014 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan

Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014



1


2

Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial

Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




1


2

Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial



Pengintegralan Fungsi Rasional Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial

email : [email protected]

Pengintegralan Fungsi Rasional Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). 1

Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati). 2 f (x) = (x + 1)3 g(x) =

2

x2

2x + 2 − 4x + 8

Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati). x 5 + 2x 3 − x + 1 h(x) = x 3 + 5x







2

x2

2x + 2 − 4x + 8








2

x2

2x + 2 − 4x + 8






Pengintegralan Fungsi Rasional FR Tidak Sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan FR sejati.

h(x) =

x 5 + 2x 3 − x + 1 14x + 1 = x2 − 3 + 3 x 3 + 5x x + 5x





Pengintegralan Fungsi Rasional Tentukan Z

Z =2

2 dx (x + 1)3

(x + 1)−3 d(x + 1) = 2

−1 (x + 1)−2 +C +C = −2 (x + 1)2

Tentukan Z x2

2x + 2 dx − 4x + 8

Misal u = x 2 − 4x + 8; du = 2x − 4 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan





Z =2

2 dx (x + 1)3

(x + 1)−3 d(x + 1) = 2

−1 (x + 1)−2 +C +C = −2 (x + 1)2

Tentukan Z x2

2x + 2 dx − 4x + 8






Z =2

2 dx (x + 1)3

(x + 1)−3 d(x + 1) = 2

−1 (x + 1)−2 +C +C = −2 (x + 1)2

Tentukan Z x2

2x + 2 dx − 4x + 8





Pengintegralan Fungsi Rasional 2x − 4 dx + 2 x − 4x + 8

Z

= ln |x 2 − 4x + 8| + C + 6

Z

Z =

Z

1 dx = 2 x − 4x + 4 + 4

x2

6 dx − 4x + 8

x2

1 dx − 4x + 4 + 4

Z

1 d(x − 2) (x − 2)2 + 4 Z 2x + 2 2 −1 x − 2 dx = ln |x − 4x + 8| + 3 tan +K 2 x 2 − 4x + 8 catatan: Z

1 du 1 −1 u = tan + C = tan−1 2 2 a a 2 a +u


x −2 2

+C




Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial 2 3 2(x + 1) + 3(x − 1) + = x −1 x +1 (x − 1)(x + 1) =

5x − 1 5x − 1 = 2 (x − 1)(x + 1) x −1

Untuk keperluan yang kita pelajari adalah mengerjakan sebaliknya Contoh Jabarkan

3x−1 , x 2 −x−6

kemudian tentukan integralnya !

3x − 1 A B = + (x + 2)(x − 3) x +2 x −3 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial 2 3 2(x + 1) + 3(x − 1) + = x −1 x +1 (x − 1)(x + 1) =

5x − 1 5x − 1 = 2 (x − 1)(x + 1) x −1

Untuk keperluan yang kita pelajari adalah mengerjakan sebaliknya Contoh Jabarkan

3x−1 , x 2 −x−6

kemudian tentukan integralnya !

3x − 1 A B = + (x + 2)(x − 3) x +2 x −3 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Penjabaran Menjadi Pecahan Parsial Penjabarannya 3x − 1 = A(x − 3) + B(x + 2) 3x − 1 = Ax − 3A + Bx + 2B 3x − 1 = (A + B)x + (−3A + 2B) A + B = 3 ←→ A = −B + 3 −3A + 2B = −1 −3(−B + 3) + 2B = −1 8 8 ;A = − + 3 = 5 5 3x − 1 7/5 = + (x + 2)(x − 3) x +2 B=


7 5 8/5 x −3




Faktor Linear Berlainan Integralnya Z

3x − 1 dx −x −6

x2

3x − 1 dx (x + 2)(x − 3) Z Z 7/5 8/5 = dx + dx x +2 x −3 Z

=

=

7 8 ln |x + 2| + ln |x − 3| + C 5 5





Faktor Linear Berbeda Tentukan Z (x 3

5x + 3 dx − 2x 2 − 3x)

Jawab 5x + 3 5x + 3 A B C = = + + x(x + 1)(x − 3) x x +1 x −3 (x 3 − 2x 2 − 3x) 5x + 3 = A(x + 1)(x − 3) + Bx(x − 3) + Cx(x + 1) substitusikan x = 0; x = −1; x = 3 3 = A(−3) ←→ A = −1 −2 = B(4) ←→ B = − 21 18 = C(12) ←→ C = 23 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Linear Berbeda Tentukan Z (x 3

5x + 3 dx − 2x 2 − 3x)

Jawab 5x + 3 5x + 3 A B C = = + + x(x + 1)(x − 3) x x +1 x −3 (x 3 − 2x 2 − 3x) 5x + 3 = A(x + 1)(x − 3) + Bx(x − 3) + Cx(x + 1) substitusikan x = 0; x = −1; x = 3 3 = A(−3) ←→ A = −1 −2 = B(4) ←→ B = − 21 18 = C(12) ←→ C = 23 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Linear Berbeda

Z

5x + 3 dx − 2x 2 − 3x Z Z Z 1 1 1 3 1 =− dx − dx + x 2 x +1 2 x −3 x3

1 3 = − ln | x | − ln | x + 1 | + ln | x − 3 | +C 2 2





Faktor Linear Berulang Tentukan Z

x dx (x − 3)2

Jawab Penjabarannya x A B = + 2 x − 3 (x − 3)2 (x − 3) x = A(x − 3) + B substitusi : x = 3; x = 0 3=B 0 = A(−3) + B ←→ A = 1 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Linear Berulang Tentukan Z

x dx (x − 3)2

Jawab Penjabarannya x A B = + 2 x − 3 (x − 3)2 (x − 3) x = A(x − 3) + B substitusi : x = 3; x = 0 3=B 0 = A(−3) + B ←→ A = 1 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Linear Berulang

Integralnya Z

x dx = (x − 3)2

Z

1 dx + 3 x −3

= ln | x − 3 | −


Z

1 dx (x − 3)2

3 +C x −3




Faktor Linear Berbeda dan Berulang Tentukan Z

3x 2 − 8x + 13 dx (x + 3)(x − 1)2

Jawab Penjabarannya 3x 2 − 8x + 13 A B C = + + 2 x + 3 (x − 1) (x + 3)(x − 1) (x − 1)2 3x 2 − 8x + 13 = A(x − 1)2 + B(x − 1)(x + 3) + C(x + 3)





Faktor Linear Berbeda dan Berulang Tentukan Z

3x 2 − 8x + 13 dx (x + 3)(x − 1)2

Jawab Penjabarannya 3x 2 − 8x + 13 A B C = + + 2 x + 3 (x − 1) (x + 3)(x − 1) (x − 1)2 3x 2 − 8x + 13 = A(x − 1)2 + B(x − 1)(x + 3) + C(x + 3)





Faktor Linear Berbeda dan Berulang Substitusikan : x = 1; x = −3; x = 0 8 = C(4) ←→ C = 2 64 = A(16) ←→ A = 4 13 = A + B(−3) + C(3) 13 = 4 + B(−3) + 6 ←→ B = −1

Z

3x 2 − 8x + 13 dx = 4 (x + 3)(x − 1)2

Z

dx − x +3

Z

dx +2 x −1

= 4 ln | x + 3 | − ln | x − 1 | −


Z

dx (x − 1)2

2 +C x −1




Faktor Linear Berbeda dan Berulang Substitusikan : x = 1; x = −3; x = 0 8 = C(4) ←→ C = 2 64 = A(16) ←→ A = 4 13 = A + B(−3) + C(3) 13 = 4 + B(−3) + 6 ←→ B = −1

Z

3x 2 − 8x + 13 dx = 4 (x + 3)(x − 1)2

Z

dx − x +3

Z

dx +2 x −1

= 4 ln | x + 3 | − ln | x − 1 | −


Z

dx (x − 1)2

2 +C x −1




Faktor Kuadrat yang Berbeda Tentukan Z

6x 2 − 3x + 1 dx (4x + 1)(x 2 + 1)

Jawab Penjabarannya 6x 2 − 3x + 1 A Bx + C = + 2 2 4x + 1 (4x + 1)(x + 1) (x + 1) 6x 2 − 3x + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)





Faktor Kuadrat yang Berbeda Tentukan Z

6x 2 − 3x + 1 dx (4x + 1)(x 2 + 1)

Jawab Penjabarannya 6x 2 − 3x + 1 A Bx + C = + 2 2 4x + 1 (4x + 1)(x + 1) (x + 1) 6x 2 − 3x + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)





Faktor Kuadrat yang Berbeda

Substitusikan : x = − 41 ; x = 0; x = 1 6 3 17 16 + 4 + 1 = A( 6 ) ⇒ A = 2 1 = 2 + C ⇒ C = −1 4 = 4 + (B − 1)(5) ⇒ B = 1 Z

6x 2 − 3x + 1 dx = (4x + 1)(x 2 + 1)


Z

2 dx + 4x + 1

Z

x −1 dx x2 + 1





Substitusikan : x = − 41 ; x = 0; x = 1 6 3 17 16 + 4 + 1 = A( 6 ) ⇒ A = 2 1 = 2 + C ⇒ C = −1 4 = 4 + (B − 1)(5) ⇒ B = 1 Z

6x 2 − 3x + 1 dx = (4x + 1)(x 2 + 1)


Z

2 dx + 4x + 1

Z

x −1 dx x2 + 1





Z

6x 2 − 3x + 1 1 dx = 2 (4x + 1)(x 2 + 1) =

Z

4dx 1 + 4x + 1 2

Z

2xdx − x2 + 1

Z

dx x2 + 1

1 1 ln | 4x + 1 | + ln | x 2 + 1 | − tan−1 x + C 2 2 Z

du 1 u = tan−1 ( ) + C a a a2 + u 2






Z

6x 2 − 3x + 1 1 dx = 2 (4x + 1)(x 2 + 1) =

Z

4dx 1 + 4x + 1 2

Z

2xdx − x2 + 1

Z

dx x2 + 1

1 1 ln | 4x + 1 | + ln | x 2 + 1 | − tan−1 x + C 2 2 Z

du 1 u = tan−1 ( ) + C a a a2 + u 2





Faktor Kuadrat Berulang Tentukan Z

6x 2 − 15x + 22 dx (x + 3)(x 2 + 2)2

Jawab Penjabarannya 6x 2 − 15x + 22 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 x + 3 (x + 3)(x + 2) x +2 (x + 2)2 6x 2 − 15x + 22 = A(x 2 + 2)2 + (Bx + C)(x + 3)(x 2 + 2)+ (Dx + E)(x + 3) Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Kuadrat Berulang Tentukan Z

6x 2 − 15x + 22 dx (x + 3)(x 2 + 2)2

Jawab Penjabarannya 6x 2 − 15x + 22 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 x + 3 (x + 3)(x + 2) x +2 (x + 2)2 6x 2 − 15x + 22 = A(x 2 + 2)2 + (Bx + C)(x + 3)(x 2 + 2)+ (Dx + E)(x + 3) Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Kuadrat Berulang

substitusikan : x = −3; x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 x = −3 −→ 121 = A(121) ←→ A = 1 x = 0 −→ 22 = A(4) + C(6) + E(3) −→ 18 = C(6) + E(3) ←→ E = 6 − C(2) x = 1 −→ 13 = A(9) + B(12) + C(12) + D(4) + E(4) −→ 4 = B(12) + C(12) + D(4) + E(4).................................(1) x = 2 −→ 16 = A(36) + B(60) + C(30) + D(10) + E(5) −→ −20 = B(60) + C(30) + D(10) + E(5)..........................(2) x = 3 −→ 31 = A(121) + B(198) + C(66) + D(18) + E(6) −→ −90 = B(198) + C(66) + D(18) + E(6)........................(3)





Faktor Kuadrat Berulang E = 6 + C(2)...........................................................................(4) 1 = B(3) + C(3) + D + E −→ −5 = B(3) + C + D................(5) −4 = B(12) + C(6) + D(2) + E −→ −10 = B(12) + C(4) + D(2) ←→ −5 = B(6) + C(2) + D....................................................(6) −15 = B(33) + C11)+D(3) +E −→ −21 = B(33)+ C(9)+D(3) ←→ −7 = B(11) + C(3) + D...................................................(7) (5) dan (7) −5 = B(3) + C + D −7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2).................(8)





Faktor Kuadrat Berulang E = 6 + C(2)...........................................................................(4) 1 = B(3) + C(3) + D + E −→ −5 = B(3) + C + D................(5) −4 = B(12) + C(6) + D(2) + E −→ −10 = B(12) + C(4) + D(2) ←→ −5 = B(6) + C(2) + D....................................................(6) −15 = B(33) + C11)+D(3) +E −→ −21 = B(33)+ C(9)+D(3) ←→ −7 = B(11) + C(3) + D...................................................(7) (5) dan (7) −5 = B(3) + C + D −7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2).................(8)





Faktor Kuadrat Berulang (6) dan (7) −5 = B(6) + C(2) + D −7 = B(11) + C(3) + D −→ 2 = B(−8) + C(−2)................(9) (8) dan (9) 1 = B(−4) + C(−1) 2 = B(−5) + C(−1) −→ B = −1 substitusi ke: (5), (6) dan (7) −2 = C + D.............(10) 1 = C(2) + D...........(11) 4 = C(3) + D............(12) Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan












Faktor Kuadrat Berulang (10) dan (11) −2 = C + D 1 = C(2) + D −→ −3 = C(−1) ←→ C = 3 substitusi ke pers (10) −2 = C + D −→ D = −5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C(−2) −→ E = 0 sehingga diperoleh : A = 1; B = −1; C = 3; D = −5; E = 0 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan
















Faktor Kuadrat Berulang 6x 2 − 15x + 22 A Bx + C Dx + E = + 2 + 2 2 2 x +3 (x + 3)(x + 2) x +2 (x + 2)2 Z 6x 2 − 15x + 22 dx (x + 3)(x 2 + 2)2 Z Z Z −x + 3 −5x 1 dx + dx + dx = 2 2 x +3 x +2 (x + 2)2 Z Z Z Z dx 1 1 2x 5 2x = − dx + 3 dx − dx x +3 2 2 x2 + 2 x2 + 2 (x 2 + 2)2 1 3 x 5 = ln | x + 3 | − ln(x 2 + 2) + √ tan−1 ( √ ) + +C 2 2 2(x + 2) 2 2 Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan




Faktor Kuadrat Berulang catatan: R du = a1 tan−1 ( ua ) + C a2 +u 2 Untuk faktor berbentuk (ax + b)k , penjabarannya: A1 A2 A3 Ak + + + ... + 2 3 (ax + b) (ax + b) (ax + b) (ax + b)k Untuk faktor berbentuk (ax 2 + bx + c)m , penjabarannya: B1 x + C1 B2 x + C2 B3 x + C3 + + + ... (ax 2 + bx + c) (ax 2 + bx + c)2 (ax 2 + bx + c)3 +

Bm x + Cm (ax 2 + bx + c)m





Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal R 5x+3 1 dx x 2 −9 2

R

2x 2 +x−4 x 3 −x 2 −2x

3

R

2x 2 +x−8 x 3 +4x

4

R

x 3 −8x 2 −1 (x+3)(x−2)(x 2 +1)

5

R

x 3 −4x (x 2 +1)2

dx dx dx

dx






R

2x 2 +x−4 x 3 −x 2 −2x

3

R

2x 2 +x−8 x 3 +4x

4

R

x 3 −8x 2 −1 (x+3)(x−2)(x 2 +1)

5

R

x 3 −4x (x 2 +1)2

dx dx dx

dx






R

2x 2 +x−4 x 3 −x 2 −2x

3

R

2x 2 +x−8 x 3 +4x

4

R

x 3 −8x 2 −1 (x+3)(x−2)(x 2 +1)

5

R

x 3 −4x (x 2 +1)2

dx dx dx

dx






R

2x 2 +x−4 x 3 −x 2 −2x

3

R

2x 2 +x−8 x 3 +4x

4

R

x 3 −8x 2 −1 (x+3)(x−2)(x 2 +1)

5

R

x 3 −4x (x 2 +1)2

dx dx dx

dx






R

2x 2 +x−4 x 3 −x 2 −2x

3

R

2x 2 +x−8 x 3 +4x

4

R

x 3 −8x 2 −1 (x+3)(x−2)(x 2 +1)

5

R

x 3 −4x (x 2 +1)2

dx dx dx

dx






R

2x 2 +x−4 x 3 −x 2 −2x

3

R

2x 2 +x−8 x 3 +4x

4

R

x 3 −8x 2 −1 (x+3)(x−2)(x 2 +1)

5

R

x 3 −4x (x 2 +1)2

dx dx dx

dx



Pengintegralan Fungsi Rasional

Recommend Documents