TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN

KALKULUS FEH1B3 S1 Teknik Telekomunikasi - Fakultas Teknik Elektro

Outline • • • •

Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional

MA1114 KALKULUS I

2

9.1 Integral Parsial Formula Integral Parsial :

 u dv  uv   v du Cara : pilih u yang turunannya lebih sederhana Contoh : Hitung

x x e  dx

misal u = x, maka du=dx

dv  e x dx  v   e x dx  e x sehingga x x x x x x e dx  x e  e dx  x e  e C  

MA1114 KALKULUS I

3

Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali Contoh Hitung Jawab

2 2 x sin x dx   x cos x  2 x cos xdx 

u  x2

(i) Misal

dv = sinxdx (ii) Misal u = x dv = cosx dx

MA1114 KALKULUS I



du = 2xdx V=-cosx du = dx v = sinx

4

Integral parsial

  x 2 cos x  2( x sin x   sin x dx)

  x 2 cos x  2 x sin x  2cos x  C

Ada kemungkinan integran (f(x)) muncul lagi diruas kanan Contoh Hitung

Integral parsial



x x x e cos xdx  e sin x  e sin xdx 

Jawab : (i) Misal

x e  cos xdx

u  ex

dv=cosxdx

du  e x dx

 e x sin x  (e x cos x   e x cos xdx)  C

 e x sin x  e x cos x   e x cos xdx)  C

v=sinx

du  e dx (ii) Misal u  e v=-cosx dv = sinxdx x

x

Integral yang dicari ,bawa keruas kiri

2  e x cos xdx  e x sin x  e x cos x  C x x x 1 e cos xdx  ( e sin x  e cos x)  C 2  MA1114 KALKULUS I

5

MA1114 KALKULUS I

6

Soal latihan Hitung e

1.

 ln x dx 1

2. 3. 4. 5.

6.

 x ln xdx  ln(1  x )dx 2

1 sin xdx  1 tan xdx 

1 x tan xdx 

MA1114 KALKULUS I

7

9.2 Integral Fungsi Trigonometri Bentuk :  cosn x dx &  sinn x dx * Untuk n ganjil, Tuliskan : n n 1 sin n x  sin x sin n 1 x dan cos x  cos x cos x

2 2 dan gunakan identitas sin x  cos x  1

* Untuk n genap, Tuliskan :

sin n x  sin 2 x sin n  2 x dan cosn x  cos2 x cosn  2 x 2 2 dan gunakan identitas cos 2 x  2 cos x  1  1  2 sin x

MA1114 KALKULUS I

8

Contoh Hitung 3 sin x dx 1. 

2.

4 sin  x dx

Jawab 1. 2.

2 3 3 2 1      1  cos x d cos x  cos x  cos xC sin x dx  sin x sin x dx 3   

1  cos 2 x 1  cos 2 x 4 2 2 sin x dx  sin x sin x dx  (    2 ) ( 2 ) dx 1   (1  2 cos 2 x  cos2 2 x)dx  1 ( dx 2 cos 2 x dx  1  cos 4 x dx)   2 4 4  

MA1114 KALKULUS I

3 1 1 1 1 1 1 x  sin 2 x  x  sin 4 x  C  x  sin 2 x  sin 4 x  C 8 4 32 4 4 8 32

9

•

Bentuk

m n sin x cos x dx 

a). Untuk n atau m ganjil, keluarkan sin x atau cos x dan gunakan identitas sin2 x  cos2 x  1 m

n

b). Untuk m dan n genap, tuliskan sin x dan cos x menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan identitas cos 2 x  2 cos2 x  1  1  2 sin 2 x Contoh :





2 2 3 2 2 2   1  cos x cos x d cos x  sin x cos x dx  sin x cos x sin x dx   





   cos2 x  cos4 x d cosx  1 1 5  cos x  cos3 x  C 5 3 MA1114 KALKULUS I

10

1  cos 2x 1  cos 2x dx  sin x cos x dx   2 2 2

2



1 2 (1  cos 2 x)dx  4



1 1 dx  cos 4 x dx 8 8

1 1  cos 4 x  (1  dx) 4 2

1 1  x  sin 4 x  C 8 32

MA1114 KALKULUS I

11

m n m n tan x sec x dx dan cot x csc xdx  

Bentuk

Gunakan identitas

tan 2 x  sec2 x  1 , cot2 x  csc2 x  1 serta turunan tangen dan kotangen

d (tan x)  sec 2 xd , d (cot x)   csc2 x dx .

Contoh a.

4 2 2 2 2 tan xdx  tan x (sec  1)dx   tan x tan x dx  

  tan 2 x sec 2 xdx   tan 2 xdx   tan 2 xd (tan x)   (sec 2 x  1)dx

 13 tan 3 x  tan x  x  C MA1114 KALKULUS I

12

b.

2 4 2 2 2 tan x sec x dx  tan x sec x sec xdx  

  tan 2 x(1  tan 2 x)d (tan x)

  tan 2 x  tan 4 x d (tan x) 1 1 5  tan x  tan 3 x  C 5 3

MA1114 KALKULUS I

13

Soal Latihan Hitung 1.

4 5 sin x cos x dx 

 /4

2.

4 2 tan t sec t dt  0

4 sec x dx 3. 

2 4 cot w csc w dw 4. 

5.

3 csc  x dx

MA1114 KALKULUS I

14

9.3 Substitusi Trigonometri a. Integran memuat bentuk a  x 2

Contoh Hitung

25  x dx 2 x 2

 Misal

x  5 sin t dx = 5 cost dt

5

x

t



,misal

x  a sin t

25  x 2 dx 2 x

 

25  25 sin 2 t 5 cost dt 25 sin 2 t 25(1  sin 2 t ) 5 sin 2 t

cos2 t 2 dt  cot t dt cos tdt   2  sin t

  (csc2 t  1)dt   cot t  t  c 25  x 2 1 x   sin ( )  C x 5

25  x 2 MA1114 KALKULUS I

2

15

b. Integran memuat bentuk Contoh Hitung

x Misal

25  x 2

1 2

25  x

2

x

dx

x  5 tan t

dx  5 sec 2 t dt x tan t  5

a2  x2

1 2

25  x



2

x  a tan t

dx

5 sec2 t dt 25 tan 2 t 25  25 tan 2 t

1 sec2 t dt 1 cost 1 d (sin( t ))   dt   25  tan 2 t sec t 25  sin 2 t 25 sin 2 t

1 25  x 2  C   C 25 x 25 sin t

x

t 5 MA1114 KALKULUS I

,misal

16

c. Integran memuat bentuk Contoh Hitung

x Misal

1 2

x  25 2

x

1 2

dx

x  5 sec t

dx  5 sec t tan t dt x sec t  5

x

x  25 2



x2  a2

5 sec t tan t dt 25 sec2 t 25 sec2 t  25

1 sec t tan t dt 1 sec t 1    2 dt   cost dt 25  sec2 t tan t 25 sec t 25

1  sin t  C 25

5 MA1114 KALKULUS I

x  a sec t

dx

x 2  25

t

,misal

17



x 2  25 C 25 x

Soal Latihan Hitung 1. 2. 3. 4.

5.

  

 

MA1114 KALKULUS I

x2 9 x

2

2x  3 4  x2

dx dx

6.



7.



8.



dx x2 4  x2 dx x x2  9

dx

9.



dx



x2  9

3/ 2

3x dx x 2  2x  5

5  4 x  x 2 dx

2x  1

 x2  2x  2 dx

x 2 x 2  16

18

Substitusi Bentuk Akar

Integran memuat n ax  b Contoh Hitung Jawab :

Misal



dx 22 x

u2  x

Dengan turunan implisit

2u

du 1 dx

MA1114 KALKULUS I

u

n

ax  b

dx 22 x

 u x

,misal

dx=2udu

2udu u   du 2  2u u 1 1 u 11  ( 1  )du  du  u 1 u 1  u  ln( u  1)  C

 19



x  ln 1 



x C

Soal Latihan Hitung 1.

x 3x4

dx

x 2  2x dx 2.  x 1

t 3.  t  1 dt 4. 5. 6.

MA1114 KALKULUS I

 x x  1 dx t  3t  4 dt 2/3 x ( 1  x ) dx 

20

9.4 Integral Fungsi Rasional P x f  x  , der (P)< der(Q) Q x

•

Integran berbentuk fungsi rasional :

•

Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) ) yaitu : 1. Faktor linear tidak berulang. 2. Faktor linear berulang. 3. Faktor kuadratik tidak berulang. 4. Faktor kuadratik berulang.

•

Kasus 1 ( linier tidak berulang ) Misal Q x  a1 x  b1 a2 x  b2 ... an x  bn



maka, dengan MA1114 KALKULUS I



 

P  x A1 A2 An    ...  Q  x a1 x  b1 a2 x  b2 an x  bn

A1, A2 , ... ,konstanta An yang dicari. 21



Contoh Hitung Jawab



x 1 dx 2 x 9

Faktorkan penyebut :

x 2  9  ( x  3)( x  3)

x 1 A B A( x  3)  B( x  3)    x 2 9  x3  x3 ( x  3)( x  3)  x  1 A x3 B x3   A Bx   3A3B Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan A +B =1 -3A+3B=1

x3 x1

3A +3B=3 -3A+3B=1 + 6B=4

Sehingga

 MA1114 KALKULUS I

B=2/3 ,A=1/3

1 2 x 1 3 dx 3 dx  1 ln | x  3 |  2 ln | x  3 | C dx    x3   x3 x 2 9 3 3 22

Kasus 2 Linear berulang Misal Q x   Maka

 ai x  bi  p

Ap 1 Ap Px  A1 A2   ...  2 p 1 Qx  ai xbi  ai xbi  ai xbi  ai xbi p

dengan konstanta Contoh Hitung



A1 , A2 ,..., Ap 1 , Ap akan dicari 1

 x  2   x  1 2

dx

Jawab

1

 x22  x1



A B C   x2 x 22  x1

MA1114 KALKULUS I

23

A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2  2  x2  x1 x 22  x1 1

Penyebut ruas kiri = penyebut ruas kanan

1 A( x  2)( x  1)  B( x  1)  C ( x  2) 2 1 ( A  C ) x 2  ( A  B  4C ) x  (4C  2 A  B) A+C=0 A+B+4C=0 -2A-B+4C=1

1

  x2  x1 2

A+B+4C=0 -2A-B+4C=1 + -A+8C=1

dx

A+C=0 -A+8C=1 9C=1

+

B=-1/3 A=-1/9 C=1/9

1 1 1 1 1 1 dx  dx  dx 2    9 x2 3 x 2 9  x1

1 1 1   ln | x  2 |   ln | x  1 | C 9 3( x  2) 9 MA1114 KALKULUS I

24

Kasus 3 Kuadratik tak berulang Misal



Q x   a1 x 2  b1 x  c1

  a2 x2  b2 x  c2  ... an x2  bn x  cn 

Maka

P  x A1 x  B1 A2 x  B2 An x  Bn    ...  Q  x  a1 x 2  b1 x  c1 a2 x 2  b2 x  c2 an x 2  bn x  cn Dengan

MA1114 KALKULUS I

A1 , A2 ,..., An , dan B1 ,B2 ,...,Bn konstanta yang akan dicari

25

Contoh Hitung

dx xx 2  1



Jawab



1 A B xC   2 2 x x 1 x x 1











 

A x 2  1  ( Bx  c) x  x x2 1



1  A x 2  1  ( Bx  c) x A+B=0 C=0 A=1



1  ( A  B) x 2  cx  A x x d ( x 2  1) dx   2 2 x 1 x  1 2x

B=-1



1 x 1 dx  dx   x x 2  1  x  x 2  1 dx











1 d ( x 2  1)   2 2 x 1

1  ln | x |  ln( x 2  1)  C 2 MA1114 KALKULUS I

26

Kasus 4 Kuadratik berulang



Misal Q x   ai x 2  bi x  ci



p

Maka

Ap 1 xB p 1 Ap x  B p P x  A1 xB1 A2 xB2   ...  2 p 1 2 2 2 Qx  ai x bi xci ai x bi xci ai x bi xci ai x 2 bi xci









Dimana A1 , A2 ,..., Ap1 , Ap danB1 ,B2 ,...,Bp1,Bp

MA1114 KALKULUS I

27







konstanta yang akan dicari

p

Contoh Hitung  Jawab :

6 x 2  15x  22

 x  3  x2  2

6x 2 15 x 22

 x3x 2 22







2

dx

A B xC DxE  2   x3 x 2 x 2 2 2















A x 2 2  ( BxC ) x 2 2  x3  ( DxE )( x  3) 2



 x3x 2 22





6 x  15 x  22  A x 2  ( BxC ) x 2 2  x3  ( DxE )( x  3) 2

2

2

6 x 2  15 x  22  ( A  B) x 4  (3B  C ) x 3  (4 A  2 B  3C  D) x 2 

(6B  2C  3D  E ) x  (4 A  6C  3E )

MA1114 KALKULUS I

28

Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh A+B=0 3B+C=0 4A+2B+3C+D=6 6B+2C+3D+E=-15 4A+6C+3E=22

Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3 D=-5, E=0

Sehingga

6x 2 15 x22

1 x3 x  x3 x 2 2 2 dx   x3 dx x 2 2 dx 5 x 2 2 2 dx dx 1 2x dx 5 2x    2 dx  3 2   2 dx 2 x3 2 x 2 x  2 2 ( x  2)













1 3 5  x   ln | x  3 |  ln( x 2  2)  tan 1    C.  2 2 2  2  2( x  2) MA1114 KALKULUS I

29

Catatan jika der ( P( x))  der (Q( x)) , bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x), sehingga P( x) S ( x) , der( S ( x))  der(Q( x))  H ( x)  Q( x ) Q( x ) Contoh Hitung

x 3  2x 2  x  4  x 2  4 dx

Der(P(x))=3>der(Q(x))=2

Bagi terlebih dahulu P(x) dengan Q(x) x +2

x2  4

x3  2 x 2  x  4 x3  4 x

x 3  2x 2  x  4 5x  4  x  2  x2  4 x2  4

2 x 2  5x  4

2x 2  8

5x+4 MA1114 KALKULUS I

30

5x  4 5x  4 A B    x 2  4 ( x  2)( x  2) ( x  2) ( x  2) 

A( x  2)  B( x  2) ( x  2)( x  2)

5 x  4  A( x  2)  B( x  2) ………………………..(*) Persamaan (*) berlaku untuk sembarang x, sehingga berlaku juga untuk Untuk x=2 dan x=-2 Untuk x = 2

5.2+4=A(2+2)

5.(-2)+4=B(-2-2) Untuk x = -2 Dengan menggunakan hasil diatas :

A=7/2 B=3/2

x3  2 x 2  x  4 7 1 3 1 dx  ( x  2 ) dx  dx  dx  x2  4    2 x2 2 x2

1 2 7 3  x  2 x  ln | x  2 |  ln | x  2 | C 2 2 2 MA1114 KALKULUS I

31

Soal Latihan Hitung 1.

2x  1

 x2  6x  18 dx

1 2.  ( x  5) 2 ( x  1) dx

6.



7.

x3  x2  x 2  5x  6 dx



5 x 2  3x  2 dx 3.  3 2 x  2x dx 4.

 x(x

2

 1) 2

x 2  2x dx 5.  x 3  3x 2  4 2 5

MA1114 KALKULUS I

2 x 2  3 x  36

32



2 x  1 x2  9



dx